"Оглавление. Обыкновенные дифференциальные уравнения" - читать интересную книгу автора (Карташев, Рождественский.)

980 Кб + 1539 Кб + 1022 Кб

Предисловие		6
Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
§ 1.	Общие понятия, определения и примеры	7
§ 2.	Геометрическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений. Задача Коши	13
§ 3.	Некоторые интегрируемые случаи одного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной	16
Задачи		25
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1.	Нормальная система линейных дифференциальных уравнений	26
§ 2.	Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка	39
§ 3.	Метод исключения для линейной системы дифференциальных уравнений	43
§ 4.	Приёмы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений	45
§ 5.	Линейные дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами	47
§ 6.	Преобразование линейных систем дифференциальных уравнений. Преобразование линейной системы с постоянной матрицей к линейной системе с треугольной матрицей	49
§ 7.	Структура решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами	52
§ 8.	Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами	57
§ 9.	Линейные системы и линейные дифференциальные уравнения с постоянными действительными коэффициентами	64
§10.	Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами	66
§11.	Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами	76
Задачи		80
Глава 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1.	Теоремы существования и единственности	83
§ 2.	Непродолжаемые решения	100
§ 3.	Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения	103
§ 4.	Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий	109
§ 5.	Приближённые методы решения задачи Коши	119
§ 6.	Поведение решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка	132
§ 7.	Первоначальные сведения о краевой задаче	137
Задачи		145
Глава 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 1.	Динамические системы и их геометрическая интерпретация	148
§ 2.	Свойства решений динамических систем	149
§ 3.	Поведение траекторий динамических систем на плоскости	154
§ 4.	Поведение траекторий линейной однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными действительными коэффициентами	164
Задачи		177
Глава 5. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1.	Определения и примеры	179
§ 2.	Однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость решения x ≡ 0	181
§ 3.	Лемма Ляпунова	185
§ 4.	Теорема Ляпунова	188
§ 5.	Консервативная механическая система с одной степенью свободы	194
Задачи		196
Глава 6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1.	Основные определения	198
§ 2.	Понятие характеристики квазилинейного уравнения	200
§ 3.	Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка	203
§ 4.	Решение задачи Коши для квазилинейного уравнения	205
§ 5.	Линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка и первые интегралы динамических систем	212
§ 6.	Решение задачи Коши для нелинейного уравнения с частными производными первого порядка	219
Задачи		223
Глава 7. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1.	Функционалы в линейном нормированном пространстве	225
§ 2.	b Функционалы вида F(y) = ∫  f (x, y, y′) dx a	234
§ 3.	b Функционалы вида F(y) = ∫  f (x, y, y′, ..., y(n)) dx a	240
§ 4. Функционалы вида F(u) =  ∫∫  f  ( x, y, u,  ∂u ∂x ,  ∂u ∂y )  dx dy G		242
§ 5.	Замечания о достаточных условиях экстремума функционала	246
§ 6.	Условный экстремум	250
§ 7.	О приближённых методах решения вариационных задач	259
Задачи		261
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1.	Некоторые сведения из линейной алгебры	264
§ 2.	Комплексные функции действительного переменного и действия над ними	279
§ 3.	Три леммы о вектор-функциях	280
Предметный указатель		285

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга написана на основе лекций, которые авторы читали в Московском инженерно-физическом институте. Она предназначена для студентов высших учебных заведений и в первую очередь для студентов физико-технических специальностей. При изложении материала существенно используется аппарат линейной алгебры. Применение векторов и матриц позволяет значительно сократить изложение. Авторы предполагают, что студенты встречались ранее с основными понятиями и методами линейной алгебры, тем не менее в дополнении приводятся некоторые сведения, необходимые для понимания излагаемого материала. Широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближённого нахождения решений. В связи с этим мы приводим здесь некоторые сведения о численных методах решения задачи Коши, о краевой задаче и методе «прогонки». Большое внимание уделено теоремам существования и единственности, теоремам о непрерывной зависимости решения от параметров и начальных значений. В конце каждой главы помещены задачи, иллюстрирующие рассматриваемые понятия и методы, а также содержащие дополнительные сведения, не вошедшие в основной текст книги. В процессе работы над книгой авторы пользовались советами многих своих коллег из Московского инженерно-физического института. Особенно мы благодарны Д. А. Василькову, который прочёл рукопись и сделал много критических замечаний. Мы также признательны С. Г. Селивановой за обсуждение содержания гл. 5.

---