Главная

"Мультипликативная теория чисел" - читать интересную книгу автора (Давенпорт.)   MULTIPLICATIVE NUMBER THEORY H. DAVENPORT   Г. ДЭВЕНПОРТ МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ     Перевод с английского Е. П. ГОЛУБЕВОЙ Под редакцией Н. Г. ЧУДАКОВА MARKHAM PUBLISHING COMPANY, CHICAGO, 1967   ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО–МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  МОСКВА   1971      889 Кб + 968 Кб + 1156 Кб   Оглавление Предисловие редактора перевода 3 Предисловие к русскому переводу 5 Предисловие к английскому изданию 5 1. Простые числа в арифметической прогрессии 7 2. Сумма Гаусса 19 3. Деление круга 24 4. Простые числа в арифметической прогрессии; случай произвольного модуля 34 5. Примитивные характеры 44 6. Формула Дирихле для числа классов 52 7. Распределение простых чисел 64 8. Мемуар Римана 69 9. Функциональное уравнение для L-функций 75 10. Свойства Γ-функции 82 11. Целые функции порядка 1 84 12. Бесконечные произведения для ξ(s) и ξ(s,χ) 88 13. Граница нулей для ζ(s) 94 14. Граница нулей для L(s,χ) 98 15. Число N(T) 109 16. Число N(T,χ) 113 17. Точная формула для ψ(x) 116 18. Асимптотический закон распределения простых чисел 123 19. Точная формула для ψ(x,χ) 127 20. Закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии (I) 133 21. Теорема Зигеля 138 22. Закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии (II) 144 23. Метод большого решета 147 24. Теорема Бомбьери: сведéние к оценке для N(α,T,χ) 168 25. Применение теоремы Литлвуда 175 26. Прямая σ = ½ 182 27. Прямая σ = 1 186 28. Завершение доказательства теоремы Бомбьери 187 29. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем 191 30. Краткий обзор других результатов 194 Литература  198 Предисловие редактора перевода На русском языке уже имеется достаточное количество монографий, излагающих современную теорию ζ-функции Римана и L-функций Дирихле. Перечень этих книг приложен. Однако перевод небольшой книги английского математика Г. Дэвенпорта «Мультипликативная теория чисел» (лекции в Мичиганском университете в 1966 г.) оправдан тем, что в ней изложены подробно различные варианты метода большого решета, первоначальная идея которого принадлежит акад. Ю. В. Линнику. Автор посвятил целых 6 глав (гл. 23–28) изложению известных работ Бомбьери, который значительно уточнил этот метод в приложении к теории L-функций. Сам Дэвенпорт и его ученики Халберстам и Галлахер нашли более простые формы для теорем Бомбьери. Метод большого решета позволяет получить сильные оценки числа нулей L-функций «в среднем», т.е. для всех характеров заданного интервала модулей. Подобные оценки весьма нужны для аддитивных задач с простыми числами; например, так называемая квази-гольдбахова проблема о представлении чисел суммами вида n = p + a, где p — простое, после работ Бомбьери и А. А. Бухштаба доведена до состояния, когда для почти всех n можно утверждать, что a состоит не более чем из двух простых сомножителей. Эта же работа позволяет установить законы распределения простых чисел в арифметических прогрессиях «в среднем», т.е. для совокупности арифметических прогрессий, разности которых заключены в заданных интервалах. Нужно отметить, что многочисленные применения большого решета были сделаны в работах советских математиков Ю. В. Линника, М. Б. Барбана, А. А. Бухштаба и др. Наряду с указанной выше основной задачей автор книги излагает и классические факты теории L-функций: теорию характеров и функций Дирихле, вывод функционального уравнения для них, включая и исследование аналитических свойств этих функций; оценку числа N(T,χ) — числа нулей L(s,χ) в прямоугольнике высоты T, явные формулы для ψ(x,χ). Полученные результаты прилагаются к классической теории распределения простых в арифметической прогрессии. Заключительная глава книги является обзором состояния исследования некоторых проблем распределения простых, например, иррегулярность поведения функции Чебышева ψ(x; q, a), оценка разности pn+1 – pn и др. Изложение всех указанных вопросов отличается ясностью и точностью; от читателя требуется знание только элементарных сведений из теории чисел и анализа. Поэтому книга будет очень полезной для начинающих специалистов; но и опытный читатель также найдет в этой книге ценный материал справочного характера. Н. Г. Чудаков Предисловие к русскому переводу Мне доставило большое удовольствие известие, что готовится русское издание моей книги под редакцией профессора Н. Г. Чудакова. Я надеюсь, что книга заинтересует советских математиков, которые внесли большой вклад в эту проблематику. Я должен предупредить читателя, что книга не охватывает предмета в целом, поскольку я писал ее, имея в виду прежде всего ознакомить студентов с классическими результатами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях и затем с недавними работами Бомбьери, которые основаны на методе «большого решета». Этот метод был открыт Ю. В. Линником в 1941 г., однако лишь в последнее время раскрылись все его возможности, которые, вероятно, далеко еще не исчерпаны. Г. Дэвенпорт Предисловие к английскому изданию Основная цель этих лекций — дать связное изложение аналитической теории чисел в приложении к мультипликативным задачам, причем особое внимание уделено здесь вопросу о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Большинство излагаемых фактов ныне уже стали классическими и я в значительной степени следовал историческому порядку их открытия. Я также включил сюда материал, который хотя и известен специалистам, но тем не менее не содержится в существующих курсах. Второй моей целью было доказать в этой книге все результаты, на которые ссылается Бомбьери в своей работе «О методе большого решета» (Mathematika, 1965, 12, 201–225) о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем, и закончить лекции изложением самой работы Бомбьери, которая, несомненно, сыграет важную роль в дальнейших исследованиях. Выбор материала, включенного сюда, в значительной мере определялся этим соображением. Все же я добавил короткий параграф, в котором приводятся ссылки на другие работы. При подготовке лекций к печати я стремился создать как можно более доступное изложение предмета, даже ценой отказа от некоторых подробностей. Я надеюсь, что эта книга окажется полезной в качестве введения в существующую литературу по аналитической теории чисел. Содержание §23 и §29 составляет работа, принадлежащая проф. Халберстаму и мне, и я признателен проф. Халберстаму за разрешение включить ее сюда. В первом из этих параграфов содержится изложение нашего варианта метода большого решета, а во втором теорема о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем, которая, по-видимому, явится полезным дополнением к результатам Бомбьери. В книге не рассматриваются другие методы решета, поскольку им посвящен следующий том этой серии, написанный профессорами Халберстамом и Ричертом. Г. Дэвенпорт 1. Простые числа в арифметической прогрессии Аналитическая теория чисел фактически началась с трудов Дирихле, в частности, с его работы 1837 г. о существовании простых чисел в данной арифметической прогрессии. Задолго до Дирихле предполагали, что в каждой арифметической прогрессии a,   a + q,   a + 2q,   ..., в которой a и q взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. Лежандр, который основывал некоторые из своих утверждений на этом предположении, безуспешно пытался доказать его. Впервые этот факт доказал Дирихле в упомянутой работе (Dirichlet's Werke I, стр. 313–342), и то, строго говоря, его доказательство было полным только в случае, когда q — простое число. В общем случае Дирихле вынужден был предположить справедливость своей формулы для числа классов, которую он доказал в статье 1839–1840 гг. (Werke I, стр. 411–496). В конце работы 1837 г. Дирихле утверждал, что у него есть другое, очень сложное и запутанное, доказательство нужного ему результата (т.е. того факта, что L(1,χ) ≠ 0 для любого неглавного действительного характера χ; см. §4), но мне неизвестны никакие другие указания на этот счет. Следуя Дирихле, я рассмотрю сначала более простой случай, когда q — простое число. Мы будем предполагать, что q>2, так как если q=2, то арифметическая прогрессия содержит все достаточно большие нечетные числа и утверждение тривиально. Отправным пунктом для Дирихле, по его словам, явилось доказательство Эйлера существования бесконечного множества простых чисел. Пусть ∞ ζ(s) = ∑  n–s n=1 для вещественных s>1; тогда тождество Эйлера имеет вид ζ(s) =  ∏  (1 – p–s)–1,  p где s>1, а p пробегает все простые числа; это тождество эквивалентно утверждению о том, что любое натуральное число допускает единственное разложение на простые множители. Из этого тождества следует, что ∞ ln ζ(s) =  ∑  ∑  m–1p–ms,  p m=1 а поскольку ζ(s) → ∞  при  s → 1 + 0  и ∞ ∞  ∑  ∑  m–1p–ms <   ∑  ∑  p–m =  ∑  1  p(p – 1)  < 1,  p m=2  p m=2  p то  ∑   p–s → ∞  p при s → 1 + 0. Этим доказано существование бесконечного множества простых чисел и, более того, что ряд Σ p–1, где суммирование распространено на все простые числа, расходится. Дирихле намеревался доказать аналогичное утверждение, когда p ≡ a(mod q). [· · ·] 30. Краткий обзор других результатов Основным пробелом в этих лекциях является отсутствие какого-либо рода результатов об иррегулярности в распределении множества всех простых чисел или простых чисел в различных арифметических прогрессиях с данной разностью q. В связи с вопросом об иррегулярности в распределении множества всех простых чисел, прежде всего следует заметить, что здесь уже не существует связи между поведением ψ(x) и π(x). В 1903 г. Э. Шмидт доказал элементарными методами, что ψ(x) – x = Ω±(√ x ), где последнее выражение означает, что существуют произвольно большие x такие, что ψ(x) – x > c√ x , где c — положительная постоянная и произвольно большие x такие, что ψ(x) – x < –c√ x . Однако аналогичная задача для π(x) – li x оказалась гораздо более трудной. На основе вычислений было высказано предположение, что π(x) < li x для больших x. Оно было опровергнуто Литлвудом в 1914 г. Он показал, что  π(x) – li x = Ω±  ( √ x  ln ln ln x ln x )  . В доказательстве Литлвуда 1 отдельно рассматривались два случая в зависимости от того, справедлива гипотеза Римана или нет, причём в первом случае возникают бóльшие трудности. Ввиду того, что доказательство носит не конструктивный характер, оно не даёт возможности указать число x0, обладающее тем свойством, что π(x) > li x для некоторого x < x0. Только в 1955 г. Скьюз 2 нашёл такое число; оно оказалось равным 104(2), где 101(x) = 10x, 102(x) = 10101(x) и так далее. Вопрос об иррегулярности в распределении простых чисел по различным классам вычетов по модулю q был подробно изучен в недавних работах по относительной теории чисел Турана и Кнаповского 3. Невозможно изложить здесь все их результаты, но один простой результат мы всё-таки приведём. Предположим, что функция L(s,χ) при любом характере  χ (mod q) не имеет нулей в прямоугольнике 0 < σ < 1,     |t| < δ. Тогда, если a1 ≠ a2 (mod q), то разность ψ(x, q, a1) – ψ(x, q, a2) по меньшей мере один раз меняет знак в интервале ω ≤ x ≤ exp(2√ω) при условии, что ω больше некоторой известной функции от q и δ. Некоторые из их результатов не опираются на какие-либо недоказанные гипотезы. Работа Турана и Кнаповского частично основана на некоторых из методов, созданных недавно Тураном и изложенных в его книге Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen, (Budapest, 1953). Задача о нахождении верхней границы для наименьшего простого числа в данной арифметической прогрессии была вполне удовлетворительно (учитывая её трудность) решена Ю. В. Линником 4. Он доказал, что существует абсолютная положительная постоянная C такая, что для взаимно простых a и q существует простое число p, удовлетворяющее условиям p ≡ a (mod q) и p < qC. Доказательство этого факта является сложным 5. Задача о поведении pn+1 – pn, где pn обозначает n-е простое число, всегда привлекала большое внимание, однако все результаты, касающиеся её, далеки от желаемых. Первый общий результат о верхней границе этой разности получил Хосхайзель, который доказал, что существует постоянная α, меньшая 1, такая, что pn+1 – pn = O(pnα). Наилучший из известных сейчас результатов принадлежит Ингаму 6, который показал, что эта оценка справедлива при всех α, больших чем 38/61. В обоих этих случаях доказано, что π(x + xα) – π(x) ~  xα  ln x        при  x → ∞. Грубо говоря, можно утверждать, что из асимптотического закона следует, что среднее значение для pn+1 – pn равно ln pn. Эрдёш первым доказал, что существует бесконечно много n, для которых pn+1 – pn существенно больше, чем ln pn, а Ранкин 7 доказал, что существует бесконечно много n, для которых  pn+1 – pn > c ln pn   ln2 pn · ln4 pn  (ln3 pn)2  , где ln 2 x = ln ln x  и так далее, а c — положительная постоянная. С другой стороны, Бомбьери и я 8 доказали недавно, что существует бесконечно много p таких, что pn+1 – pn < 0,46...·ln pn. Разумеется, если верна гипотеза о простых близнецах, то существует бесконечно много n таких, что pn+1 – pn = 2. Совершенно парадоксальная ситуация сложилась в связи с вопросом о предельных точках последовательности  pn+1 – pn ln pn Эрдёш и Риччи независимо показали, что множество предельных точек этой последовательности имеет положительную меру Лебега, и тем не менее не известно ни одного числа, которое принадлежало бы этому множеству. Что касается источников, где можно ознакомиться с обзорами других работ по мультипликативной теории чисел, то тут прежде всего следует обратиться к работам Бора, Крамера и Хуа. ПРИМЕЧАНИЯ 1. См. Ингам, гл. 5, или Прахар, гл. 7 § 8. назад к тексту 2. Proc. London Math. Soc. (3) 5, 48–69 (1955). назад к тексту 3. Первая серия из восьми работ напечатана в Acta Math. Hungaricae 13 (1962) и 14 (1963), затем три работы в Acta Arithmetica 9, 10, 11 (1964–1965) и ещё одна работа в J. Analyse Math. 14 (1965). назад к тексту 4. См. Прахар, гл. 10. назад к тексту 5. См. так. Acta Arithmetica, IX (1964), стр. 375. назад к тексту 6. Quarterly J. of Math. 8, 255–266 (1937); Прахар, гл. 9. назад к тексту 7. J. London Math. Soc. 13, 242–247 (1938). назад к тексту 8. Proc. Royal Soc. (London) A293, 1–18 (1966). назад к тексту Литература На приведенные ниже работы в тексте даны лишь краткие ссылки на фамилию автора или название. Bohr H. and Cramér Н. Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften II. 3, Heft 6, Teubner, Leipzig, 1923. Hua L.–K. Die Abschätzung von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften I. 2, Heft 13, Teil 1, Teubner, Leipzig, 1959. (Русский перевод: Хуа Ло–ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, М., «Мир», 1964.) Ingham A.E. The distribution of prime numbers, Cambridge, Mathematical Tracts, No. 30, Cambridge, 1932. (Русский перевод: А.E.Ингам. Распределение простых чисел. 1936). Landau E. Vorlesungen über Zahlentheorie, 3 vol., Hirzel, Leipzig, 1927. Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 2nd ed. with an appendix by P. T. Bateman, Chelsea, New York, 1953. Prасhar K. Primzahlverteilung, Springer, Berlin, 1957. (Русский перевод: К.Прахар. Распределение простых чисел. М., «Мир», 1967). Titchmarsh E.С. The theory of the Riemann zeta-function, Clarendon Press, Oxford, 1951. (Русский перевод: Э.Ч.Титчмарш. Теория дзета-функции Римана. М., ИЛ, 1953). Дополнительная литература на русском языке И.M.Виноградов, Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1971. А.О.Гельфонд, Ю.В.Линник, Элементарные методы в аналитической теории чисел. М., Физматгиз, 1962. Ю.В.Линник, Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л., изд. ЛГУ, 1961. Н.Г.Чудаков, Введение в теорию L-функций Дирихле. М.–Л., 1947. Н.Г.Чудаков, К.А.Родосский, Новые методы в теории L-функций. УМН 4, вып. 2 (1949), с. 22–56.

889 Кб + 968 Кб + 1156 Кб

Оглавление Предисловие редактора перевода 3 Предисловие к русскому переводу 5 Предисловие к английскому изданию 5 1. Простые числа в арифметической прогрессии 7 2. Сумма Гаусса 19 3. Деление круга 24 4. Простые числа в арифметической прогрессии; случай произвольного модуля 34 5. Примитивные характеры 44 6. Формула Дирихле для числа классов 52 7. Распределение простых чисел 64 8. Мемуар Римана 69 9. Функциональное уравнение для L-функций 75 10. Свойства Γ-функции 82 11. Целые функции порядка 1 84 12. Бесконечные произведения для ξ(s) и ξ(s,χ) 88 13. Граница нулей для ζ(s) 94 14. Граница нулей для L(s,χ) 98 15. Число N(T) 109 16. Число N(T,χ) 113 17. Точная формула для ψ(x) 116 18. Асимптотический закон распределения простых чисел 123 19. Точная формула для ψ(x,χ) 127 20. Закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии (I) 133 21. Теорема Зигеля 138 22. Закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии (II) 144 23. Метод большого решета 147 24. Теорема Бомбьери: сведéние к оценке для N(α,T,χ) 168 25. Применение теоремы Литлвуда 175 26. Прямая σ = ½ 182 27. Прямая σ = 1 186 28. Завершение доказательства теоремы Бомбьери 187 29. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем 191 30. Краткий обзор других результатов 194 Литература  198

где p — простое, после работ Бомбьери и А. А. Бухштаба доведена до состояния, когда для почти всех n можно утверждать, что a состоит не более чем из двух простых сомножителей. Эта же работа позволяет установить законы распределения простых чисел в арифметических прогрессиях «в среднем», т.е. для совокупности арифметических прогрессий, разности которых заключены в заданных интервалах. Нужно отметить, что многочисленные применения большого решета были сделаны в работах советских математиков Ю. В. Линника, М. Б. Барбана, А. А. Бухштаба и др. Наряду с указанной выше основной задачей автор книги излагает и классические факты теории L-функций: теорию характеров и функций Дирихле, вывод функционального уравнения для них, включая и исследование аналитических свойств этих функций; оценку числа N(T,χ) — числа нулей L(s,χ) в прямоугольнике высоты T, явные формулы для ψ(x,χ). Полученные результаты прилагаются к классической теории распределения простых в арифметической прогрессии. Заключительная глава книги является обзором состояния исследования некоторых проблем распределения простых, например, иррегулярность поведения функции Чебышева ψ(x; q, a), оценка разности p_n+1 – p_n и др. Изложение всех указанных вопросов отличается ясностью и точностью; от читателя требуется знание только элементарных сведений из теории чисел и анализа. Поэтому книга будет очень полезной для начинающих специалистов; но и опытный читатель также найдет в этой книге ценный материал справочного характера.

в которой a и q взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. Лежандр, который основывал некоторые из своих утверждений на этом предположении, безуспешно пытался доказать его. Впервые этот факт доказал Дирихле в упомянутой работе (Dirichlet's Werke I, стр. 313–342), и то, строго говоря, его доказательство было полным только в случае, когда q — простое число. В общем случае Дирихле вынужден был предположить справедливость своей формулы для числа классов, которую он доказал в статье 1839–1840 гг. (Werke I, стр. 411–496). В конце работы 1837 г. Дирихле утверждал, что у него есть другое, очень сложное и запутанное, доказательство нужного ему результата (т.е. того факта, что L(1,χ) ≠ 0 для любого неглавного действительного характера χ; см. §4), но мне неизвестны никакие другие указания на этот счет. Следуя Дирихле, я рассмотрю сначала более простой случай, когда q — простое число. Мы будем предполагать, что q>2, так как если q=2, то арифметическая прогрессия содержит все достаточно большие нечетные числа и утверждение тривиально. Отправным пунктом для Дирихле, по его словам, явилось доказательство Эйлера существования бесконечного множества простых чисел. Пусть

для вещественных s>1; тогда тождество Эйлера имеет вид

где s>1, а p пробегает все простые числа; это тождество эквивалентно утверждению о том, что любое натуральное число допускает единственное разложение на простые множители. Из этого тождества следует, что

а поскольку ζ(s) → ∞  при  s → 1 + 0  и

то

при s → 1 + 0. Этим доказано существование бесконечного множества простых чисел и, более того, что ряд Σ p^–1, где суммирование распространено на все простые числа, расходится. Дирихле намеревался доказать аналогичное утверждение, когда p ≡ a(mod q). [· · ·]

где последнее выражение означает, что существуют произвольно большие x такие, что

где c — положительная постоянная и произвольно большие x такие, что

В доказательстве Литлвуда ¹ отдельно рассматривались два случая в зависимости от того, справедлива гипотеза Римана или нет, причём в первом случае возникают бóльшие трудности. Ввиду того, что доказательство носит не конструктивный характер, оно не даёт возможности указать число x₀, обладающее тем свойством, что π(x) > li x для некоторого x < x₀. Только в 1955 г. Скьюз ² нашёл такое число; оно оказалось равным 10₄(2), где 10₁(x) = 10^x, 10₂(x) = 10^101(x) и так далее. Вопрос об иррегулярности в распределении простых чисел по различным классам вычетов по модулю q был подробно изучен в недавних работах по относительной теории чисел Турана и Кнаповского ³. Невозможно изложить здесь все их результаты, но один простой результат мы всё-таки приведём. Предположим, что функция L(s,χ) при любом характере  χ (mod q) не имеет нулей в прямоугольнике

Тогда, если a₁ ≠ a₂ (mod q), то разность

по меньшей мере один раз меняет знак в интервале

при условии, что ω больше некоторой известной функции от q и δ. Некоторые из их результатов не опираются на какие-либо недоказанные гипотезы. Работа Турана и Кнаповского частично основана на некоторых из методов, созданных недавно Тураном и изложенных в его книге Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen, (Budapest, 1953). Задача о нахождении верхней границы для наименьшего простого числа в данной арифметической прогрессии была вполне удовлетворительно (учитывая её трудность) решена Ю. В. Линником ⁴. Он доказал, что существует абсолютная положительная постоянная C такая, что для взаимно простых a и q существует простое число p, удовлетворяющее условиям p ≡ a (mod q) и p < q^C. Доказательство этого факта является сложным ⁵. Задача о поведении p_n+1 – p_n, где p_n обозначает n-е простое число, всегда привлекала большое внимание, однако все результаты, касающиеся её, далеки от желаемых. Первый общий результат о верхней границе этой разности получил Хосхайзель, который доказал, что существует постоянная α, меньшая 1, такая, что p_n+1 – p_n = O(p_n^α). Наилучший из известных сейчас результатов принадлежит Ингаму ⁶, который показал, что эта оценка справедлива при всех α, больших чем 38/61. В обоих этих случаях доказано, что

где ln ₂ x = ln ln x  и так далее, а c — положительная постоянная. С другой стороны, Бомбьери и я ⁸ доказали недавно, что существует бесконечно много p таких, что

• Bohr H. and Cramér Н. Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften II. 3, Heft 6, Teubner, Leipzig, 1923.
• Hua L.–K. Die Abschätzung von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften I. 2, Heft 13, Teil 1, Teubner, Leipzig, 1959. (Русский перевод: Хуа Ло–ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, М., «Мир», 1964.)
• Ingham A.E. The distribution of prime numbers, Cambridge, Mathematical Tracts, No. 30, Cambridge, 1932. (Русский перевод: А.E.Ингам. Распределение простых чисел. 1936).
• Landau E. Vorlesungen über Zahlentheorie, 3 vol., Hirzel, Leipzig, 1927.
• Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 2nd ed. with an appendix by P. T. Bateman, Chelsea, New York, 1953.
• Prасhar K. Primzahlverteilung, Springer, Berlin, 1957. (Русский перевод: К.Прахар. Распределение простых чисел. М., «Мир», 1967).
• Titchmarsh E.С. The theory of the Riemann zeta-function, Clarendon Press, Oxford, 1951. (Русский перевод: Э.Ч.Титчмарш. Теория дзета-функции Римана. М., ИЛ, 1953).

• И.M.Виноградов, Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1971.
• А.О.Гельфонд, Ю.В.Линник, Элементарные методы в аналитической теории чисел. М., Физматгиз, 1962.
• Ю.В.Линник, Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л., изд. ЛГУ, 1961.
• Н.Г.Чудаков, Введение в теорию L-функций Дирихле. М.–Л., 1947.
• Н.Г.Чудаков, К.А.Родосский, Новые методы в теории L-функций. УМН 4, вып. 2 (1949), с. 22–56.