"Bewertungstheorie 001.ps.gz" - читать интересную книгу автораProf. Dr. K. Mathiak Bewertungstheorie Braunschweig, 1993 Prof. Dr. K. Mathiak Technische Universit"at Braunschweig Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie Pockelsstrasse 14 38106 Braunschweig Dieses Skript wurde mit dem LATEX 2"-Makropaket AMS-LATEX 2" erstellt. Satz: Dr. W. Oelke, Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie 2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Reelle Bewertungen 5 Kapitel 2. Vollst"andige K"orper 15 1. Die Komplettierung 15 2. Quadratische Gleichungen 21 Kapitel 3. Endliche Erweiterungen vollst"andiger K"orper 23 Kapitel 4. Archimedische Bewertungen 31 Kapitel 5. Die p-adischen Zahlen 37 1. Allgemeine Eigenschaften 37 2. Quadrate in Qp 50 Kapitel 6. Bewertungsfortsetzungen 53 Kapitel 7. Geordnete Gruppen 63 Kapitel 8. Krullbewertungen 71 1. Multiplikative Krullbewertungen 71 2. Additive Krullbewertungen 79 Kapitel 9. Fortsetzungssatz f"ur Krullbewertungen 83 Kapitel 10. Der Approximationssatz 91 Kapitel 11. Pr"uferringe 99 Kapitel 12. Algebraische Erweiterungen 109 Kapitel 13. Relativ vollst"andige K"orper 113 Literatur 117 Index 119 3 KAPITEL 1 Reelle Bewertungen Es sei K ein K"orper und die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. Definition 1.1. Eine Abbildung j j : K ! IR+ ; x 7! jxj heisst eine reelle Bewertung von K, wenn sie f"ur alle x; y 2 K folgenden Axiomen gen"ugt: (1) jxj = 0 () x = 0 (2) jx + yj ^ jxj + jyj (3) jx \Delta yj = jxj \Delta jyj Man unterscheidet zwei Arten reeller Bewertungen: Definition 1.2. Eine reelle Bewertung j j : K ! IR+ heisst nicht-archimedisch, wenn (20) jx + yj ^ max (jxj; jyj) f"ur alle x; y 2 K gilt. Gilt (20) nicht allgemein, so heisst die Bewertung archimedisch. Bemerkung. Weil f"ur alle x; y 2 K max (jxj; jyj) ^ jxj + jyj gilt, ist (20) eine Versch"arfung von (2). Beispiel. 1.) Es sei K ein Teilk"orper von C. Der gew"ohnliche Absolutbetrag |
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