"Reelle Bewertungen 001.ps.gz" - читать интересную книгу автораReelle Bewertungen Karl Mathiak TU Braunschweig 1994 1 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition reeller Bewertungen 3 2 Komplettierung bewerteter K"orper 12 3 Endliche Erweiterungen vollst"andiger K"orper 20 4 Archimedische Bewertungen 34 5 Vollst"andige diskret bewertete K"orper 41 6 Die p-adischen Zahlen 47 7 Bewertungsfortsetzungen 55 8 Satz von Gelfand-Mazur 68 1 DEFINITION REELLER BEWERTUNGEN 3 1 Definition reeller Bewertungen Es sei K ein K"orper und IR+ := fx 2 IR j x * 0g die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. Definition Eine Abbildung j j : K ! IR+ ; x 7! jxj heisst eine Bewertung von K, wenn sie folgenden Axiomen gen"ugt: (1) jxj = 0 () x = 0 (2) jx + yj ^ jxj + jyj (3) jx \Delta yj = jxj \Delta jyj f"ur alle x; y 2 K. Man unterscheidet zwei Arten von Bewertungen. Definition Eine Bewertung heisst nicht-archimedisch, wenn (20) jx + yj ^ max (jxj; jyj) f"ur alle x; y 2 K gilt. Gilt (20) nicht allgemein, so heisst die Bewertung archimedisch. Wegen max(jxj; jyj) ^ jxj + jyj ist (20) eine Versch"arfung von (2). Der gew"ohnliche Absolutbetrag auf IR ist eine archimedische Bewertung. Wegen j1 + 1j = 2 ? 1 = max (j1j; j1j) ist (20) verletzt. 1 DEFINITION REELLER BEWERTUNGEN 4 Beispiele 1.) Es sei K ein beliebiger K"orper. Durch jxj := (1 f"ur x 6= 00 f"ur x = 0 wird, wie man leicht zeigt, auf K eine Bewertung definiert, die man als triviale Bewertung bezeichnet. 2.) Es sei K = Q der K"orper der rationalen Zahlen und p eine Primzahl sowie d 2 IR mit 0 ! d ! 1. Dann wird f"ur alle x 2 Q durch jxj := 8!: 0 falls x = 0dk falls x 6= 0, x = pk u |
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