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LIE-GRUPPEN VORLESUNG IM WINTERSEMESTER 1997/1998

an der Eberhard-Karls-Universit"at T"ubingen

Richard B"odi

Inhalt 1. Bezeichnungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2. Die Exponentialfunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3. Lokale Gruppen und Lie-Algebren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 4. Das Differential der Exponentialabbildung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 5. Lokale Gruppen und die Campbell-Hausdorff-Formel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 6. Lineare Lie-Gruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 7. Lie-Gruppen und "Uberlagerungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 8. Korrespondenz zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 9. Die adjungierte Darstellung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 10. Unterstrukturen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 11. Normalisatoren, Zentralisatoren und Kommutatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 12. Aufl"osbare Lie-Algebren und -Gruppen, das Radikal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 13. Halbeinfache und einfache Lie-Algebren und -Gruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78

Literatur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85

Ich bedanke mich ganz herzlich bei Herrn Prof. K.-H. Hofmann f"ur die freundliche Bereitstellung von Kapitel 5 des in B"alde erscheinenden Buches "uber kompakte Gruppen (K.-H. Hofmann, S. Morris). Grosse Teile dieses Manuskriptes basieren auf genau dieser Grundlage.

Kapitel 1: Bezeichnungen 1 KAPITEL 1 Bezeichnungen

(1.1) Definition. Ein vollst"andiger, normierter linearer Raum E = (E; jj:jj) "uber K = R oder K = C heisst Banach-Raum.

(1.2) Beispiele von Banach-R"aumen. (a) K n mit der gew"ohnlichen Norm jj(x1; : : : ; xnjj = Pni=1 xixi: (b) End (K n ) mit der (Spalten- oder Zeilen-) Supremumsnorm. (c) `p = (f(an)n2N j an 2 K ; jj(an )n2Njjp ! 1g ; jj:jjp) mit 1 ^ p ^ 1, wobei jj(an)n2Njjp = (P1i=1 jaijp)1=p f"ur p 6= 1 und jj(an)n2Njj1 = supi2N jaij. (d) c = (f(an)n2N j an 2 K ; limn!1 an 2 K g ; jj:jj1). (e) c0 = (f(an)n2N j an 2 K ; limn!1 an = 0g ; jj:jj1).

(f) Lp([a; b]) = (ff : [a; b] ! K j jjf jjp ! 1g ; jj:jjp) mit jjf jjp = iR ba f (x)p dxj

1=p, wobei

1 ^ p ! 1. (g) Die Menge C([a; b]) ist bez"uglich jj:jj1 vollst"andig.

(1.3) Definition. Eine assoziative und distributive Algebra A = (A; +; \Delta ; 1) mit EinsElement 1l "uber K auf einem Banach-Raum (A; jj:jj) "uber K heisst Banach-Algebra "uber K , falls gilt

(BA1) jja \Delta bjj ^ jjajj jjbjj f"ur alle a; b 2 A, (BA2) jj1jj = 1. Die Menge aller invertierbaren Elemente von A wird mit A\Gamma 1 bezeichnet. Die Elemente aus A\Gamma 1 werden auch Einheiten genannt.

(1.4) Beispiele von Banach-Algebren. (a) End (K n ) oder allgemeiner BL(E; E) (der Banach-Raum aller beschr"ankten linearen Operatoren des Banach-Raumes E in sich) mit der Komposition als Multiplikation. (b) Der Raum c mit der punktweisen Multiplikation. (c) Die R"aume `p und c0 besitzen bez"uglich der punktweisen Multiplikation kein EinsElement.

(1.5) Definition. Eine Familie fajgj2J von Elementen aus A heisst absolut summierbar, wenn es f"ur jedes " ? 0 eine endliche Teilmenge F ` J gibt, so dass f"ur jede zu F disjunkte

2 Kapitel 1: Bezeichnungen endliche Teilmenge G ` J stets Pj2G jjajjj ! " gilt. Ein Element a 2 A heisst Summe obiger Familie, falls es f"ur jedes " ? 0 eine endliche Teilmenge F ` J gibt, so dass f"ur jede endliche Teilmenge G ` J mit F ` G stets jja \Gamma Pj2G ajjj ! " gilt. Man schreibt in diesem Fall a = Pj2J aj.

Bemerkungen. (i) Jede absolut summierbare Familie fajgj2J besitzt eine eindeutige Summe und die Menge fj 2 J j aj 6= 0g ist abz"ahlbar: besitzt fajgj2J zwei Summen a1 und a2, so gibt es zu vorgegebenem " ? 0 endliche Mengen F1; F2 ` J , so dass f"ur alle endlichen G1; G2 ` J mit Fi ` Gi gilt

jjai \Gamma X