"Kommutative Algebra II 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

KOMMUTATIVE ALGEBRA II

Robert W. Berger Sommersemester 1997

R. W. BERGER

Adresse des Autors: Robert W. Berger Fachbereich Mathematik Universita"t des Saarlandes Postfach 15 11 50 D-66041 Saarbru"cken Germany

E-mail address: [email protected]

KOMMUTATIVE ALGEBRA II

Vorwort Dies ist das Skript meiner vierstu"ndigen Vorlesung "Kommutative Algebra II", die ich Sommersemester 1997 an der Universita"t des Saarlandes gehalten habe. Sie ist die Fortsetzung der vorhergehenden Vorlesungen "Algebra I", "Algebra II" und "Kommutative Algebra I". In dieser Vorlesung stehen die homologischen Methoden im Vordergrund. Daher werden in dem ersten Kapitel die Grundlagen der homologischen Algebra behandelt, wobei naturgema"ss besonderer Wert auf das Studium der abgeleiteten Funktoren gelegt wird. Das zweite Kapitel ist der homologischen Dimension und Kodimension von Moduln gewidmet, wobei das Hilfsmittel des Koszul-Komplexes eine zentrale Rolle spielt. Im dritten Kapitel werden, soweit es die Zeit des Semesters zuliess, als Anwendungen des Vorhergehenden spezielle Cohen-Macaulay Ringe behandelt: Regula"re lokale Ringe, vollsta"ndige Durchschnitte und Gorensteinringe. Schliesslich mo"chte ich nicht vergessen, den Ho"rern meiner Vorlesung fu"r ihre Aufmerksamkeit zu danken. Mein besonderer Dank gilt dabei, wie schon im Teil I dieser Vorlesung, den Herren Dipl.-Math. Martin Baumgartner und Dipl.-Math. Johannes Heinrich, die in mu"hevoller Kleinarbeit das Skript auf Druck- und andere Fehler durchgesehen und wertvolle Verbesserungsvorschla"ge gemacht haben.

Saarbru"cken, im Juli 1997 R. Berger

Inhaltsverzeichnis Vorwort 1. Homologische Algebra 1 1.1. Homologie von Komplexen 1 1.2. Homotopien von Komplexen 8 1.3. Auflo"sungen eines Moduls. Projektive und injektive Moduln 9 1.4. Zusammenha"nge zwischen Auflo"sungen 18 1.5. Exakte Funktoren 25 1.6. Abgeleitete Funktoren. Ext und Tor 30 1.7. Funktoren in zwei Variablen 49 1.8. Tensorprodukt von Komplexen 50 1.9. Berechnung abgeleiteter Funktoren durch Doppelkomplexe 56 2. Homologische Dimension und Kodimension 66 2.1. Der Koszul-Komplex 66 2.2. Tiefe eines Moduls u"ber einem semilokalen Ring 75 2.3. Cohen-Macaulay-Moduln. (C-M-Moduln) 81 2.4. Der Support eines Cohen-Macaulay-Moduls 84 2.5. Homologische Dimension eines Moduls 87 2.6. Globale homologische Dimension eines Ringes 91 2.7. Homologische Dimension noetherscher Moduln und Ringe 92 2.8. Zusammenhang zwischen projektiver Dimension und Tiefe 98 3. Spezielle Cohen-Macaulay-Ringe 100 3.1. Regula"re Ringe 100 3.2. Vollsta"ndige Durchschnitte 112 3.3. Gorenstein-Ringe 115 3.4. Eindimensionale Gorenstein-Ringe 123 Literatur 129 Index 130

KOMMUTATIVE ALGEBRA II 1 1. Homologische Algebra 1.1. Homologie von Komplexen. 1.1.1. Definition. Sei R ein Ring. Als graduierter Ring sei R mit der trivialen Graduierung versehen (R0 = R und Ri = 0 fu"r i 6= 0). Ein "absteigender (oder linker) Komplex von R-Moduln" (M; d) ist ein graduierter R-Modul M zusammen mit einer R-linearen Abbildung d : M ! M, die homogen vom Grad \Gamma 1 ist und fu"r die gilt d ffi d = 0. Es ist dann

M = M

i2Z

Mi und d = (di j i 2 Z)

mit R-Moduln Mi und R-linearen Abbildungen di, so dass gilt

di ffi di+1 = 0 fu"r alle i 2 Z (d.h. Im di+1 ` Ker di ): Man hat also eine Folge

: : : d3! M2 d2! M1 d1! M0 d0! M\Gamma 1 d\Gamma

1! M\Gamma 2 d\Gamma 2! : : : :

Ein "aufsteigender (oder rechter) Komplex von R-Moduln" (M; d) ist ein graduierter R-Modul M zusammen mit einer R-linearen Abbildung d : M ! M, die homogen vom Grad +1 ist und fu"r die gilt d ffi d = 0. Es ist dann

M = M