"Kommutative Algebra I 001.ps.gz" - читать интересную книгу автораKOMMUTATIVE ALGEBRA I Robert W. Berger Wintersemester 1996/97 R. W. BERGER Adresse des Autors: Robert W. Berger Fachbereich Mathematik Universit"at des Saarlandes Postfach 15 11 50 D-66041 Saarbr"ucken Germany E-mail address: [email protected] KOMMUTATIVE ALGEBRA I R. W. BERGER Vorwort Dies ist das Manuskript meiner vierst"undigen Vorlesung "Kommutative Algebra I", die ich im Wintersemester 1996/97 an der Universit"at des Saarlandes gehalten habe. Die Vorlesung ist die Fortsetzung der vorhergehenden Vorlesungen "Algebra I" und "Algebra II".W"ahrend in der Algebra I im wesentlichen die Galoistheorie behandelt wurde, wurden in Algebra II neben den Grundlagen der Theorie der Differentialmoduln mit Anwendungen auf die K"orpertheorie auch die Elemente der Theorie der noetherschen Ringe und Moduln betrachtet: Nenneraufnahme, ganze Abh"angigkeit, Lying-over, Going-up, Going-down, ganzer Abschluss in einer K"orpererweiterung, noethersche Normalisierung, additive Idealtheorie in der Fassung f"ur noethersche Moduln. Insbesondere die Tatsachen "uber ganze Ringerweiterungen und die additive Idealtheorie werden also als bekannt vorausgesetzt. Im Anschluss an die additive Idealtheorie werden in dieser Vorlesung zun"achst die multiplikative Idealtheorie in Krull-Ringen behandelt. Dies leitet in nat"urlicher Weise "uber zu den Grundlagen der Bewertungstheorie. Wir behandeln dann die Charakterisierung von Krull-, ZPE-, und Dedekind-Ringen als Durchschnitte von diskreten Bewertungsringen. Komplettierung eines bewerteten K"orpers, die Charakterisierung der kompletten archimedisch bewerteten K"orper sowie die Fortsetzung von Bewertungen auf algebraische K"orpererweiterungen schliessen sich an. Damit sind dann die klassischen Grundlagen der Bewertungstheorie, wie man sie in der algebraischen Zahlentheorie und algebraischen Geometrie braucht, im wesentlichen abgehandelt. Im zweiten Teil dieser Vorlesung betrachten wir filtrierte Ringe und Moduln, die zugeh"origen Topologien, Komplettierung, assoziierte graduierte Ringe und Moduln. Besonderes Gewicht liegt dabei auf dem noetherschen Fall. Als Abschluss behandeln wir dann die Dimensionstheorie der noetherschen Ringe und Moduln, wobei als Hauptsatz die Berechnung der Dimension eines endlich erzeugten Moduls "uber einem semilokalen Ring durch den Grad des Hilbert-Samuel-Polynoms und durch die L"ange eines Parametersystems bewiesen wird. Im Sommersemester 1997 soll die Vorlesung zun"achst mit der Darstellung der homologischen Methoden beim Studium von Moduln "uber semilokalen Ringen fortgesetzt werden. Schliesslich m"ochte ich nicht vergessen, den H"orern meiner Vorlesung f"ur ihre Aufmerksamkeit zu danken. Mein besonderer Dank gilt dabei den Herren Dipl.-Math. Martin Baumgartner und Dipl.-Math. Johannes Heinrich, die in m"uhevoller Kleinarbeit das Manuskript auf Druck- und andere Fehler durchgesehen und wertvolle Verbesserungsvorschl"age gemacht haben. Saarbr"ucken, im Februar 1997 R. Berger Inhaltsverzeichnis Vorwort 1. Multiplikative Idealtheorie 1 1.1. Motivation 1 1.2. Definition und Grundeigenschaften der Sternideale 3 1.3. Multiplikation der Sternideale 6 1.4. Unzerlegbare Sternideale 9 1.5. Krull-Ringe 11 1.6. Dedekind-Ringe 15 1.7. Umkehrung der Ergebnisse 17 1.8. Lokalisierungen von Krull-Ringen 19 1.9. Zusammenhang zwischen multiplikativer und additiver Idealtheorie 21 2. Grundlagen der Bewertungstheorie 24 2.1. Grundbegriffe 24 2.2. "Aquivalente Bewertungen 26 2.3. Exponentenbewertungen. Bewertungsringe 29 3. Schnitte von Bewertungsringen 35 3.1. Der endliche Approximationssatz 35 3.2. Schnitte endlicher vieler diskreter Bewertungsringe 38 3.3. Krull-Ringe 40 3.4. ZPE-Ringe 44 3.5. Dedekind-Ringe 45 4. Komplettierung eines K"orpers 50 4.1. Cauchyfolgen und Limites 50 4.2. Konstruktion der Komplettierung 50 4.3. Diskret bewertete komplette K"orper 54 5. Normierte K"orper und Vektorr"aume 56 5.1. Der Satz von Gelfand-Tornheim 56 5.2. Normierte Vektorr"aume "uber kompletten bewerteten K"orpern 61 6. Das Lemma von Hensel 65 7. Fortsetzung einer Bewertung auf eine algebraische K"orpererweiterung. Kompletter Fall 70 8. Verzweigungsindex und Restklassengrad 73 9. Fortsetzung einer Bewertung auf eine algebraische K"orpererweiterung. Allgemeiner Fall 81 10. Die allgemeine Gradrelation 87 11. Ganze Abschl"usse 90 11.1. Ganzer Abschluss eines Bewertungsrings 90 11.2. Ganzer Abschluss von Krull- und Dedekind-Ringen 91 12. Filtrierte Ringe und Moduln 93 12.1. Die durch eine Filtrierung definierte Topologie 94 12.2. Cauchyfolgen und Limites 95 12.3. Konstruktion der Komplettierung 96 13. Graduierte Ringe und Moduln 108 13.1. Definitionen 108 13.2. Leitformen (Anfangsformen) 109 14. Noethersche filtrierte Ringe und Moduln. q-adische Filtrierungen 115 15. Das Hilbert-Samuel-Polynom 124 15.1. Polynome mit ganzzahligen Werten 124 15.2. Das Hilbert-Samuel-Polynom eines graduierten Moduls 126 15.3. H"ohe und Multiplizit"at eines Moduls bzgl. eines Ideals 129 16. Dimensionstheorie noetherscher Ringe 134 16.1. H"ohe und Dimension (Coh"ohe) von Idealen 134 16.2. Die Dimension eines Moduls 135 16.3. Moduln "uber semilokalen Ringen 135 16.4. Parametersysteme 139 Literatur 142 Index 143 KOMMUTATIVE ALGEBRA I 1 1. Multiplikative Idealtheorie 1.1. Motivation. Bekanntlich gilt nicht in allen Integrit"atsbereichen der Satz von der Primelementzerlegung (ZPE). Das klassische Beispiel ist R := Z \Theta p\Gamma 5 \Lambda . Hier sind 2; 3; 1 + p\Gamma 5; 1 \Gamma p\Gamma 5 paarweise nicht assoziierte unzerlegbare Elemente, die nicht prim sind; denn 6 = 2\Delta 3 = (1 + p\Gamma 5)\Delta (1 \Gamma p\Gamma 5) sind zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen der 6 in R. Es stellt sich heraus, dass die Ideale (2); (3); (1 + p\Gamma 5); (1 \Gamma p\Gamma 5) zwar innerhalb der multiplikativen Halbgruppe der Hauptideale von R unzerlegbar sind (d.h. sie sind als Elemente unzerlegbar), nicht aber innerhalb der multiplikativen Halbgruppen aller ganzen Ideale von R. Hier lassen sich die genannten Hauptideale in Produkte von Primidealen zerlegen. Solche Zerlegungen haben viele Eigenschaften der Primfaktorzerlegung, wie die allgemeine Theorie zeigen wird. Insbesondere sind sie (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig. Wir f"uhren nun das angegebene Beispiel n"aher aus. Dass die angegebenen Elemente unzerlegbar und paarweise nicht assoziiert sind, setzen wir dabei als bekannt voraus. 1.1.1. R := Z \Theta p\Gamma 5 \Lambda ist der ganze Abschluss von Z in Q \Gamma p\Gamma 5 \Delta . Beweis. (1; p\Gamma 5) ist eine K"orperbasis von K := Q \Gamma p\Gamma 5 \Delta "uber Q. Jedes Element a 2 Q \Gamma p\Gamma 5 \Delta hat also eine eindeutige Darstellung a = ff0 + fi0 \Delta p\Gamma 5. a ist ganz "uber Z genau dann, wenn die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von a "uber Q , als SpK=Q(a) und NK=Q(a) in Z liegen. In der angegebenen Darstellung ist SpK=Q(a) = 2ff0. Wir schreiben daher besser a = ff2 + fi2 \Delta p\Gamma 5 mit ff; fi 2 Q: Dann ist SpK=Q (a) = ff; NK=Q (a) = ff |
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