"Einfuehrung in die Zahlentheorie 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Prof. Dr. K. Mathiak Einf "uhrung in dieZahlentheorie

Braunschweig, Februar 1993

Prof. Dr. K. Mathiak Technische Universit"at Braunschweig Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie Pockelsstrasse 14 38106 Braunschweig

Dieses Skript wurde mit dem LATEX 2"-Makropaket AZ-LATEX 2" erstellt. Satz: D. Pape

Dr. W. Oelke, Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Nat"urliche Zahlen 5 1. Peano-Axiome 5 2. Addition und Multiplikation 6 3. Anordnung in IN 8 4. Die Elementanzahl einer Menge 10 5. Aufgaben 11 Kapitel 2. Primfaktorzerlegung in IN 13 1. Primzahlen 13 2. Primfaktorzerlegung 14 3. Division in IN 17 4. Vollkommene Zahlen 18 5. Aufgaben 21 Kapitel 3. Algebraische Grundlagen 23 1. Gruppen und Halbgruppen 23 2. Teilbarkeit in Ringen 27 3. Euklidische Ringe 29 4. Der Gausssche Ring ZZ[i] 31 5. Aufgaben 33 Kapitel 4. Restklassenringe 35 1. Kongruenzen 35 2. Chinesischer Restsatz 38 3. Allgemeiner chinesischer Restsatz 40 4. Zerlegung der Restklassenringe 42 5. Aufgaben 43

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4 INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 5. Prime Restklassengruppe 45 1. Eulersche '-Funktion 45 2. Primitive Kongruenzwurzeln 47 3. Die Indexrechnung 51 4. Anwendungen in der Kryptologie 52 5. Aufgaben 54 Kapitel 6. Quadratische Reste 57 1. Das Legendre-Symbol 57 2. Das Reziprozit"atsgesetz 59 3. Das Jacobi-Symbol 64 4. Polynomkongruenzen 66 5. Aufgaben 69 Kapitel 7. Summe von Quadraten 71 1. Pythagoreische Tripel 71 2. Summe von zwei Quadraten 75 3. Summe von vier Quadraten 78 4. Aufgaben 82 Literatur zur Zahlentheorie 83 Index 85

KAPITEL 1 Nat"urliche Zahlen

1. Peano-Axiome Gegenstand der elementaren Zahlentheorie sind in erster Linie die nat"urlichen Zahlen. Will man ihre Grundeigenschaften nicht von vorneherein als bekannt voraussetzen, so w"ahlt man heute "ublicherweise folgendes von Peano stammende Axiomensystem als Ausgangspunkt.

P1 1 ist eine nat"urliche Zahl. P2 Zu jeder nat"urlichen Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte nat"urliche Zahl

n+, die Nachfolger von n heisst.

P3 Es gibt keine nat"urliche Zahl, deren Nachfolger die Zahl 1 ist. P4 Aus n+ = m+ folgt n = m. P5 Ist W eine Menge nat"urlicher Zahlen, die 1 und mit n auch n+ enth"alt, so

ist W gleich der Menge aller nat"urlichen Zahlen.

Die Menge aller nat"urlichen Zahlen bezeichnet man mit IN, die ersten Elemente von IN mit

2 = 1+; 3 = 2+; 4 = 3+; : : :

Die letzte Bedingung P5 heisst Induktionsaxiom. Hierauf beruhen die Beweise durch vollst"andige Induktion:

Ist A(n) eine Aussage "uber nat"urliche Zahlen, f"ur die

(1) A(1); (2) A(n) ) A(n + 1) gilt, so erf"ullt die Menge W = fn 2 IN j A(n)g wegen (1) und (2) die Voraussetzungen von P5. Also ist W = IN, d.h. A(n) gilt f"ur alle n 2 IN.