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Elementare Zahlentheorie Vorlesung von Prof. Dr. B.H. Matzat

SS 1992 Heidelberg Ausarbeitung von A. Christian

Vorwort Das vorliegende Sriptum ist die Ausarbeitung einer Vorlesung "uber Elementare Zahlentheorie, die ich an der TU Berlin im Sommersemester 1987 und in leicht erg"anzter Form im Sommersemester 1992 an der Universit"at Heidelberg gehalten habe. Das Ziel war eine Einf"uhrung in die Elementare Zahlentheorie mit Ausrichtung auf Fragen "uber Primzahlen und diophantische Gleichungen. Insbesondere sollten am Schluss die Nichtexistenz eines Algorithmus f"ur die L"osung allgemeiner diophantischer Geilchungen (X. Hilbertsches Problem) und die Existenz eines Polynoms, dessen positive Werte genau die Menge der Primzahlen durchl"auft, bewiesen sein. Diese Zielrichtung legten den Stoff der Vorlesung weitgehend fest.

Das erste Kapitel enth"alt den Standardstoff der Elementaren Zahlentheorie: Eindeutigkeit der Primzerlegung, Struktur der Restklassenringe und deren Einheitengruppen, simultane Kongruenzen, Satz von Warning "uber die Anzahl von Kongruenzl"osungen diophantischer Gleichungen und das quadratische Reziprozit"atsgesetz. Dieser wird erg"anzt durch den Primzahltest von Miller und Rabin und den Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, der zur Umsetzung diophantischer Probleme im Bereich der ganzen Zahlen in den Bereich der nat"urlichen Zahlen ben"otigt wird.

Das zweite Kapitel ist den quadratischen Irrationalzahlen gewidmet. Es beginnt mit einer Einf"uhrung der Kettenbr"uche und der Charakterisierung quadratischer Irrationalzahlen durch periodische Kettenbr"uche. Anschliessend wird der Zusammenhang von Kettenbr"uchen mit diophantischen Approximationen dargelegt mit einer Anwendung auf Primzerlegungsalgorithmen (Verfahren von Lehman und Lehmer). Der Rest des Kapitels behandelt die Strukturtheorie quadratischer Zahlk"orper: Hauptordnung, Einheitengruppe mit Berechnung der Grundeinheit im reell-quadratischen Fall unter Verwendung von Kettenbr"uchen, Primidealzerlegung einschliesslich Zerlegungsgesetz, Endlichkeit der Klassengruppe mit Beispielen f"ur die Klassengruppenberechnung im imagin"ar- sowie im reell- quadratischen Fall.

Das dritte und letzte Kapitel hat die von Matijasevi^c 1973 gezeigte Unl"osbarkeit des X. Hilbertschen Problems zum Ziel. Hierf"ur werden zun"achst diophantische Mengen, Relationen und Funktionen eingef"uhrt und die Potenzfunktion unter Verwendung von L"osungen der Pellschen Gleichung, d.h. von Einheiten reell-quadratischer Zahlringe, als diophantische Funktion nachgewiesen. Dann wird gezeigt, dass der beschr"ankt Allquantor und unter dessen Verwendung auch die Menge der Primzahlen diophantisch ist. Im vorletzten Paragraphen wird der Schl"usselsatz bewiesen, dass eine Funktion genau dann diophantisch ist, wenn sie rekursiv ist. Hiermit l"asst sich dann ein Widerspruch zur L"osbarkeit des X. Hilbertschen Problems konstruieren. Im abschliessenden Paragraphen schliesslich wird unter Verwendung definierender Relationen f"ur die L"osungen der Pellschen Gleichung und der Fakult"at ein Satz von definierenden Relationen f"ur die Menge der Primzahlen aufgestellt, der unmittelbar auf die Konstruktion eines Primzahlpolynoms f"uhrt.

Als weiterf"uhrende Literatur sei empfohlen:ffl

H. Hasse: Vorlesungen "uber Zahlentheorie, Springer-Verlag, Berlin 1964

ffl H. Koch, H. Pieper: Zahlentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin

1976

ffl J.I.Manin: A course in mathematical logic, Springer-Verlag, New York 1977

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ffl C: Smorynski: Logical number theory I, Springer-Verlag, Berlin 1991

Abschliessend m"ochte ich an dieser Stelle noch Herrn A. Christian danken, der nicht nur die textliche Ausgestaltung der Vorlesung sondern auch den TEX-Satz des Skriptums

"ubernommen und selbst"andig durchgef"uhrt hat.

B.H. Matzat

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Inhaltsverzeichnis I Ganzrationale Zahlen 6 1 Primzahlen 6

1.1 Teilbarkeit und Primzahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1.2 Der Euklidische Algorithmus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.3 Primzerlegung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.4 Ideale von Z : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10