"Zahlentheorie 002.ps.gz" - читать интересную книгу автораProf. Dr. K. Mathiak Dr. W. Oelke Zahlentheorie Braunschweig, Juli 1993 Prof. Dr. K. Mathiak Technische Universit"at Braunschweig Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie Pockelsstrasse 14 38106 Braunschweig Dieses Skript wurde mit dem LATEX 2"-Makropaket AMS-LATEX 2" erstellt. Satz: Dr. W. Oelke, Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie D. Pape 2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Bewertungen 5 Kapitel 2. Komplettierung bewerteter K"orper 13 1. Die Komplettierung 13 2. Quadratische Gleichungen in vollst"andigen K"orpern 20 Kapitel 3. Die p-adischen Zahlen 23 1. Allgemeine Eigenschaften 23 2. Quadrate in Qp 33 Kapitel 4. Hilbert-Symbole 37 Kapitel 5. Das Lokal-Global-Prinzip 45 Kapitel 6. Quadratische Erweiterungen 51 1. Quadratische Zahlk"orper 51 2. Einheiten in O 54 3. Eindeutige Primfaktorzerlegungen 58 4. Bewertungen quadratischer Erweiterungen 61 Anhang A. Tabelle reell quadratischer Zahlk"orper 67 Anhang B. Aufgaben und L"osungen 69 Literatur zur Zahlentheorie 89 Index 91 KAPITEL 1 Bewertungen Es sei K ein K"orper und IR+ := fx 2 IR j x * 0g die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. Definition 1.1. Eine Abbildung j j : K ! IR+ ; x 7! jxj heisst eine Bewertung von K, wenn sie f"ur alle x; y folgenden Axiomen gen"ugt: (1) jxj = 0 () x = 0 (2) jx + yj ^ jxj + jyj (3) jx \Delta yj = jxj \Delta jyj Beispiel. Es sei K ein beliebiger K"orper. Definiert man jxj := (1 f"ur 0 6= x 2 K0 f"ur 0 = x 2 K ; so erh"alt man eine Bewertung, die als triviale Bewertung von K bezeichnet wird: |
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