"Einfuehrung in die Funktionalanalysis 001.ps.gz" - читать интересную книгу автораEinf"uhrung in die Funktionalanalysis: Teil I Vorlesung im Wintersemester 1997/98 Professor J. Zowe 1 Normierte Vektorr"aume 1.1 Grundbegriffe Definition 1.1.1 X heisst ein Vektorraum "uber K (= R oder C ), falls es zwei Operatoren "+" und "\Delta " auf X \Theta X bzw. K \Theta X gibt, so dass f"ur alle x; y 2 X und alle ff; fi 2 K ffl x + y = y + x ffl (x + y) + z = x + (y + z) ffl es gibt genau ein neutrales Element 0X : x + 0X = x ffl 8 x gibt es genau ein inverses Element \Gamma x : x + (\Gamma x) = 0X ffl ff(x + y) = ffx + ffy ffl (ff + fi)x = ffx + fix ffl (fffi)x = ff(fix) ffl 0 \Delta x = 0X ffl 1 \Delta x = x Beispiel 1.1.2 (a) X := Rn ; X := C n (b) X := fx = f,kg1k=1 j ,k 2 K g mit x + y = f,kg1k=1 + fjkg1k=1 = f,k + jkg1k=1 (b1) X1 := fx 2 X j ,k konvergente Folge g (b2) X2 := fx 2 X j 9 Mx : j,kj ^ Mx 8 kg 1 mit (f + g)(t) := f (t) + g(t) f"ur a ^ t ^ b (fff )(t) := fff (t) " " (c1) X1 := ff 2 X j f Polynom g Definition 1.1.3 Sei X ein Vektorraum "uber K . (a) M ae X heisst ein linearer Teilraum:() ffx + fiy 2 M 8 x; y 2 M; 8 ff; fi 2 K (Beispiele siehe oben) (b) V ae X heisst ein affiner Teilraum :()9 x 2 X 9 linearen Teilraum M ae X: V = x + M (= fx + m j m 2 M g) Definition 1.1.4 Sei X ein Vektorraum und K ae X. (a) K heisst konvex :() ffx + (1 \Gamma ff)y 2 K 8 x; y 2 K; 8 ff 2 [0; 1] (b) K heisst Kegel :() *x 2 K 8 x 2 K 8 * * 0 konvex nicht konvex Schnitt konvexer Mengen: konvex Vereinigung konvexer Mengen: |
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