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Funktionalanalysis Vorlesung im Wintersemester 1994/95 und im Sommersemester 1995

von Prof. Dr. Rolf Leis

Universita"t Bonn

Inhaltsverzeichnis 1 Inhaltsverzeichnis Einfu"hrung 3 1 Grundlagen 7

1.1 Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Das Zornsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Fortsetzung linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Topologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Topologische Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Metrische Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Ra"ume von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.4 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.5 Der Satz von Arzela`-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Normierte Ra"ume und stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.1 Normierte Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.3 Stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.4 Lineare Homo"omorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.5 Endlichdimensionale Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4 Hilbertra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.1 Skalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.2 Der Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.3 Orthonormalsysteme und separable Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.4 Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5 Dualra"ume und beschra"nkt lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5.1 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.5.2 Konjugierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.5.3 Der Rieszsche Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Fixpunktsa"tze 55

2.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Der Brouwersche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3 Der Schaudersche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Der Satz von Baire-Hausdorff und Folgerungen 60

3.1 Das Prinzip von der gleichma"ssigen Beschra"nktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Der Satz von Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Die Sa"tze von der offenen und der inversen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Schwache Konvergenz 65

4.1 Schwache Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Schwache Konvergenz in speziellen Ra"umen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Konvexe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4 Schwache Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Abgeschlossene Operatoren 78

5.1 Der Satz vom abgeschlossenen Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2 Abschliessbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4 Ein Beispiel: Der \Delta -Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Spezielle Funktionenra"ume 94