"Funktionalanalysis 002.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Funktionalanalysis Nach den Vorlesungen von Prof. von Wahl im WS 1993/94 und im SS 1994

Bearbeitet von Harald Meyer1

1Harald Meyer, Luisenburgstr.6, 95145 Oberkotzau, Tel. 09286/6668

Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Einleitung 2 1 Hilbertr"aume 3

1.1 Allgemeines : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2 Orthogonale Projektion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1.3 Beschr"ankte lineare Funktionale in H : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 1.4 Lineare Operatoren in H : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 1.5 Die Inverse eines linearen Operators : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 1.6 Unit"are Operatoren, Projektoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 1.7 Sesquilinearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 1.8 Das Theorem von Fourier-Plancherel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26

2 Kompakte Operatoren 39

2.1 Schwache Konvergenz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 2.2 Kompaktheit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 2.3 Die Fredholmschen S"atze f"ur kompakte Operatoren im Hilbertraum. : : : : : : : : : : 47 2.4 Anwendungen auf Integraloperatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 2.5 Integraloperatoren in Banachr"aumen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 2.6 Spektraltheorie im n - dimensionalen unit"aren Raum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75 2.7 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78 2.8 Anwendungen auf Integraloperatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84 2.9 Beispiel: Das Dirichletproblem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

3 Beschr"ankte lineare Operatoren im Banachraum 103

3.1 Die Fredholmschen S"atze f"ur kompakte Operatoren im Banachraum : : : : : : : : : : 103 3.2 Der Rieszsche Zerlegungssatz, die Eigenwerte eines kompakten Operators, die Neumannsche Reihe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 3.3 Der Satz von Hahn-Banach : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 115

4 Unbeschr"ankte Operatoren im Hilbertraum 122

4.1 Abgeschlossene Operatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 4.2 Der Graph eines linearen Operators : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 4.3 Hermitesche Operatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 127

5 Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren 135

5.1 Die Resolvente eines selbstadjungierten Operators : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 5.2 Spektralscharen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137 5.3 Die Stieltjes-Umkehrformel. Weitere Eigenschaften von Funktionen beschr"ankter Variation. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147 5.4 Integraldarstellung der Resolvente : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 155 5.5 Fundamentaleigenschaften der Funktion * 7\Gamma ! ae(*; f; g) : : : : : : : : : : : : : : : : : 160

I

5.6 Der Spektralsatz f"ur selbstadjungierte Operatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166 5.7 Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 171 5.8 Beispiel: Der Schr"odinger - oder Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms : : : : : : : : 186 5.9 Funktionen eines selbstadjungierten Operators. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 198 5.10 Einparametrige unit"are Gruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 210

A Das Lebesgue-Integral, die R"aume Lp(\Omega ) 219

A.1 Die Definition des Lebesgue-Integrals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 219 A.2 Konvergenzs"atze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 221 A.3 Messbarkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 225 A.4 Definition der Lp\Gamma R"aume : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 227 A.5 Approximation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 232 A.6 Der Satz von Ascoli-Arzel`a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 236

B Normierte R"aume 240

B.1 Topologische Grundlagen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 240 B.2 Normierte R"aume - Banachr"aume : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 246