"Funktionalanalysis 003.ps.gz" - читать интересную книгу автораVorlesungen u"ber Funktionalanalysis von Rolf Leis Vorwort i Vorwort In den Jahren 1992-1996 habe ich eine Vorlesungsreihe zur Einfu"hrung in die Analysis fu"r Studenten der Mathematik und Physik an der Universita"t Bonn gehalten. Diese Reihe begann mit den Vorlesungen u"ber Infinitesimalrechnung I-IV fu"r das Grundstudium. Daran schlossen sich im Hauptstudium jeweils zweisemestrige Vorlesungen u"ber Funktionalanalysis und Partielle Differentialgleichungen an. Im Anschluss an diese Vorlesungen habe ich meine Aufzeichnungen den Ho"rern in Form von Skripten zur Verfu"gung gestellt. Der vorliegende Text u"ber Funktionalanalysis ist aus den entsprechenden Skripten entstanden. Dabei habe ich den Stoffumfang bewusst auf den einer zweisemestrigen Vorlesung beschra"nkt und mich bei der Auswahl darum bemu"ht, Anwendungen aufzuzeigen, die besonders auch fu"r Studenten der Physik mit dem Nebenfach Mathematik interessant sein ko"nnen. Der Text ist der erste Band aus der Reihe dieser Vorlesungen fu"r das Hauptstudium, im zweiten Band werden Partielle Differentialgleichungen behandelt. Danken mo"chte ich vor allem Frau R. Mu"ller fu"r die hervorragende TEX-Niederschrift und vielen Ho"rern meiner Vorlesungen fu"r ihre Kommentare zu den Skripten und fu"r ihre Hilfe bei deren Erstellung. Herr F. Linke hat den Text der Skripten kritisch durchgesehen und das Sachverzeichnis erstellt. Bonn, im Herbst 1997 Rolf Leis Inhaltsverzeichnis iii Inhaltsverzeichnis Einfu"hrung 1 1 Grundlagen 5 1.1 Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Topologische Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Metrische Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Ra"ume von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.5 Der Satz von Arzela`-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 Normierte Ra"ume und stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.1 Normierte Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3 Stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.4 Lineare Homo"omorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.5 Endlichdimensionale Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4 Hilbertra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.1 Skalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.2 Der Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.3 Orthonormalsysteme und separable Ra"ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.4 Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5 Dualra"ume und beschra"nkt lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.5.1 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.5.2 Konjugierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.5.3 Der Rieszsche Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2 Fixpunktsa"tze 54 2.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2 Der Brouwersche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3 Der Schaudersche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 Der Satz von Baire-Hausdorff und Folgerungen 59 3.1 Das Prinzip von der gleichma"ssigen Beschra"nktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Der Satz von Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Die Sa"tze von der offenen und der inversen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Schwache Konvergenz 64 |
|
|