"Einfuehrung in die Funktionentheorie 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Einf"uhrung in die Funktionentheorie1

Martin Ziegler Freiburg, Wintersemester 1994/95

Literatur [1] Klaus J"anich. Funktionentheorie. Springer Verlag, 1993. [2] H.Behnke und F.Sommer. Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver"anderlichen. Heidelberger Taschenb"ucher. Springer Verlag; Berlin, G"ottingen, Heidelberg, 1962.

Inhaltsverzeichnis 1 Holomorphe Funktionen 3

1.1 Der K"orper der komplexen Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2 Komplex differenzierbare Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.3 Potenzreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.4 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 Der Cauchysche Integralsatz 7

2.1 Der Satz von Goursat : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2.2 Der Cauchysche Integralsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.3 Der Logarithmus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10

3 Erste Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz 12

3.1 Die Cauchyformel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 3.3 Topologische Eigenschaften holomorpher Funktionen : : : : : : : : : : : : : : 15 1Version 1.b (Juli 96)

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4 Isolierte Singularit"aten 17

4.1 Pole und wesentliche Singularit"aten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 4.2 Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlkugel : : : : : : : : : : : 17

5 Der Residuensatz 20

5.1 Laurentreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 5.2 Der Residuensatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 5.3 Der Residuenkalk"ul : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 5.4 Die Umlaufszahlversion des Residuensatzes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 5.5 Das Null- und Polstellen z"ahlende Integral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30

6 Folgen holomorpher Funktionen 32

6.1 Stetige Funktionen auf topologischen R"aumen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 6.2 Holomorphe Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33

7 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstrasssche Produktsatz 34

7.1 Der Satz von Mittag-Leffler : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 7.2 Der Weierstrasssche Produktsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36

8 Der Riemannsche Abbildungssatz 39