"Funktionentheorie 002.ps.gz" - читать интересную книгу автора

FUNKTIONENTHEORIE

Prof. Dr. Karl Mathiak

Vorlesung SS 1998

TU Braunschweig

Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie Pockelsstrasse 14 TU Braunschweig

Inhaltsverzeichnis

1 Komplexe Zahlen 1

1.1 Konstruktion der komplexen Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2 Quadratische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.3 Trigonometrische Darstellung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.4 Erweiterte komplexe Ebene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1.5 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

2 M"obiustransformationen 9

2.1 Die Gruppeneigenschaft : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.2 Das Doppelverh"altnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 2.3 Die Kreisinvarianz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.4 Invarianz der Orientierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 2.5 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18

3 Differentiation 19

3.1 Grenzwerte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 3.2 Differenzierbare Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 3.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : 22 3.4 Die Exponentialfunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 3.5 Gebiete : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 3.6 Konforme Abbildungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 3.7 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31

4 Integration 33

4.1 Kurven und Wege : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 4.2 Definition komplexer Integrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 4.3 Integration "uber glatte Kurven : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 4.4 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

i

5 Die Umlaufzahl 43

5.1 Abstand von Mengen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 5.2 Die Umlaufzahl : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 5.3 Einfach zusammenh"angende Gebiete : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 5.4 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

6 Integration holomorpher Funktionen 51

6.1 Cauchyscher Integralsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 6.2 Die Integralformeln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 6.3 Wegunabh"angige Integrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 6.4 Der Logarithmus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 6.5 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62