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Gew"ohnliche Differentialgleichungen

Prof. Dr. D. Hinrichsen

ausgearbeitet von Martin Cebulla Tilman Hetsch Tanja Vocke

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe und elementare L"osungsmethoden 15

1.1 Zustandsr"aume, Fl"usse und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . 15

Determinierte, endlichdimensionale, differenzierbare Prozesse . . 16 Fl"usse und Gleichgewichtszust"ande . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Geschwindigkeitsvektorfeld und L"osung einer Differentialgleichung 23 Zeitvariante und zeitinvariante Systeme . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2 Elementare L"osungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Volterrasche Integralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Konstante Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Homogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Inhomogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Der integrierende Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Die Methode des integrierenden Faktors . . . . . . . . . . . . . . 50 Bernoullische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.3 Lineare Differentialgleichungen h"oherer Ordnung . . . . . . . . . 59

Gronwallsches Lemma und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . 59 Der Differentialoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Lineare Unabh"angigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 65 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Fundamentalsysteme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . 71 Spezialf"alle komplexer Fundamentalsysteme . . . . . . . . . . . . 74

4 INHALTSVERZEICHNIS 2 Grundlegende S"atze 89

2.1 Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.2 Eindeutigkeit und Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . 94

Lipschitz-stetige und -beschr"ankte Funktionen . . . . . . . . . . . 95 Fehlerfortpflanzung und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . 99 2.3 Der Existenzsatz von Picard-Lindel"of . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Der Satz von Picard-Lindel"of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Maximale Existenzintervalle und globale L"osung . . . . . . . . . 109

3 Zeitinvariante lineare Differentialgleichungssysteme 119

3.1 Vorbetrachtung und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Normen im Kn\Theta n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Die Matrixexponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2 Zeitinvariante lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 129

Eigenschwingungen und verallgemeinerte Eigenschwingungen . . 129 Berechnung von eA t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Fundamentalsysteme und Fundamentalmatrizen . . . . . . . . . . 139 Zeitinvariante lineare inhomogene Differentialgleichungen . . . . 141 3.3 Differentialgleichungen und Stabilit"at . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Stabilit"at von Gleichgewichtspunkten . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Klassifikation der linearen homogenen Systeme zweiter Ordnung 155 3.4 Exkurs in die Regelungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Berechnung einer Steuerung u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4 Zeitvariante lineare Differentialgleichungssysteme 179