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INTRODUCTION TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Lecture Notes given by

DINH NHO H `AO Universit"at - GH - Siegen Summer Semester 1996

Foreword The author has worked for 4 years (1993-1996) at the University of Siegen in the group of Applied and Numerical Mathematics. His stay was supported by a DFG-scholarship and by a guest professorship from the University of Siegen. During this time, this lecture was held for graduate students.

The group of Applied and Numerical Math. and the students of his lecture like to thank Priv.-Doz. Dr. Dinh Nho H`ao for his great efforts in research and teaching.

Comments on this lecture note should be sent directly to the author via email (hao@thevinh. ac.vn) or to [email protected] .

Siegen, Sept. 1997 H.-J. Reinhardt

Contents 1 Introduction 1

1.1 Definitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2 Examples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1.2.1 Equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2.2 Solutions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1.3 First-order linear equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1.3.1 The constant coefficient case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1.3.2 A variable coefficient case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.4 Where PDE come from? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

1.4.1 Simple Transport : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.4.2 Vibration Equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1.4.3 Diffusion Equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.4.4 Steady State Equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.4.5 Schr"odinger's Equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.5 Classification of Linear Differential Equations : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

1.5.1 Differential Equations with Two Independent Variables : : : : : : : : 9 1.5.2 Differential Equations with Several Independent Variables. : : : : : : 14

2 Characteristic Manifolds and the Cauchy problem 17

2.1 Notation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 2.2 The Cauchy problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 2.3 Real Analytic Functions and the Cauchy-Kowalevski Theorem : : : : : : : : 21

2.3.1 Real Analytic Functions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 2.3.2 The Cauchy-Kowalevski theorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 2.4 The Uniqueness theorem of Holmgren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24

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ii CONTENTS

2.4.1 The Lagrange-Green Identity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2.4.2 The Uniqueness theorem of Holmgren : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25