"Partielle Differentialgleichungen 002.ps.gz" - читать интересную книгу автораVorlesungen u"ber Partielle Dioeerentialgleichungen von Rolf Leis Vorwort i Vorwort In den Jahren 1992-1996 habe ich eine Vorlesungsreihe zur Einfu"hrung in die Analysis fu"r Studenten der Mathematik und Physik an der Universita"t Bonn gehalten. Diese Reihe begann mit den Vorlesungen u"ber Infinitesimalrechnung I-IV fu"r das Grundstudium. Daran schlossen sich im Hauptstudium jeweils zweisemestrige Vorlesungen u"ber Funktionalanalysis und Partielle Differentialgleichungen an. Im Anschluss an diese Vorlesungen habe ich meine Aufzeichnungen den Ho"rern in Form von Skripten zur Verfu"gung gestellt. Der vorliegende Text u"ber Partielle Differentialgleichungen ist aus den entsprechenden Skripten entstanden. Dabei habe ich den Stoffumfang bewusst auf den einer zweisemestrigen Vorlesung beschra"nkt und mich bei der Auswahl darum bemu"ht, Anwendungen aufzuzeigen, die besonders auch fu"r Studenten der Physik mit dem Nebenfach Mathematik interessant sein ko"nnen. Der Text ist der zweite Band aus der Reihe dieser Vorlesungen fu"r das Hauptstudium und baut auf der Vorlesung u"ber Funktionalanalysis auf. Kenntnisse aus einer Vorlesung u"ber Funktionalanalysis werden also vorausgesetzt. So finden sich im vorliegenden Text viele Verweise auf den ersten Band dieser Reihe. Natu"rlich kann man die zitierten Resultate auch in anderen Bu"chern u"ber Funktionalanalysis finden. Danken mo"chte ich vor allem Frau R. Mu"ller fu"r die hervorragende TEX-Niederschrift und vielen Ho"rern meiner Vorlesungen fu"r ihre Kommentare zu den Skripten und fu"r ihre Hilfe bei deren Erstellung. Herr F. Linke hat den Text der Skripten kritisch durchgesehen und das Sachverzeichnis erstellt. Bonn, im Februar 1998 Rolf Leis Inhaltsverzeichnis iii Inhaltsverzeichnis Einfu"hrung 1 1 Differentialgleichungen erster Ordnung 5 1.1 Glatte Lo"sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Schwache Lo"sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Einfu"hrung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung 17 2.1 Klassifizierung partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Hyperbolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.4 Das Tricomiproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Elementare Potentialtheorie 26 3.1 Einfu"hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Grundlo"sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Darstellungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Potentialfunktionen spezieller Belegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5 Die Kelvintransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5.1 Anwendung auf Aussenraumaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6 Greensche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6.1 Die Neumannsche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.7 Die Poissonsche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4 Die Dirichletsche Randwertaufgabe in der Potentialtheorie 48 4.1 Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 Die Integralgleichungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Direkte Bestimmung des Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4 Die Perronsche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 |
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