"Differentialgeometrie 003.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Topologie 3

1.1 Der topologische Raum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2 Die topologische Mannigfaltigkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.3 Abbildungsr"aume : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 Homotopietheorie 7

2.1 Definition der Homotopie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2.2 Die Fundamentalgruppe und "Uberlagerungen : : : : : : : : : : : : : : 7 2.3 Homotopiegruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 2.4 Faserungen und Kofaserungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 2.5 Exakte Sequenzen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 2.6 Eilenberg-Mac Lane-R"aume : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.7 Stabilit"atss"atze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

3 Homologietheorie 18

3.1 Simpliziale Homologie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 3.2 Singul"are Homologie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 3.3 Homologie von CW-Komplexen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 3.4 Zusammenhang zur Homotopie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 3.5 Homologische Algebra und Axiomensystem : : : : : : : : : : : : : : : 25

4 Kohomologietheorie 29

4.1 Die De-Rham-Kohomologie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 4.2 Garbenkohomlogie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 4.3 Axiomensystem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 4.4 Kohomologiefunktor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36

5 Faserb"undeltheorie 37

5.1 Definition und Beispiel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 5.2 Zusammenhang und Kr"ummung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 5.3 Klassifikation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 5.4 Characteristische Klassen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

1

6 K-Theorie 45

6.1 Whitneysummenb"undel und Stabile "Aquivalenz : : : : : : : : : : : : 45 6.2 K-Funktor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 6.3 H"ohere K-Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49

7 Indextheoreme 54

7.1 Elliptische Komplexe und Kohomologie : : : : : : : : : : : : : : : : : 54 7.2 Analytischer und Topologischer Index : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 7.3 Atiyah-Singer Indexsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 7.4 Indexsatz von Lefschetz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60

8 Morsetheorie 62

8.1 Kritische Punkte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 8.2 Theoreme von Morse, Bott und Smale : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 8.3 Kritische Untermannigfaltigkeiten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64

9 Kobordismustheorie 65

9.1 Thomsche Kobordismusgruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 9.2 Das h-Kobordismustheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 9.3 Pontrjagin-Thom Konstruktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68