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Skript Numerische Bildverarbeitung

Frank W"ubbeling

21. April 1997

Kapitel 1 Einleitung

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Kapitel 2 Mathematische Grundlagen In diesem Kapitel werden wir einige S"atze aus der Integralrechnung mehrerer Ver"anderlicher und der Funktionalanalysis zusammentragen. Die Beweise sind immer sehr kurz gehalten, ausf"uhrlich finden sie sich im Rudin und im Forster.

2.1 Fouriertransformation auf S Nach der Einleitung m"ussen wir uns n"aher mit der Fouriertransformation und der Faltung besch"aftigen. Hierzu einige Vorbemerkungen:

Lemma 2.1 Es gilt:

1. Soweit nicht extra darauf hingewiesen wird, sind alle hier auftauchenden Integrale Lebesgue-Integrale.

2. Mit L1(IRn) bezeichnen wir den Vektorraum aller Lebesgue-integrierbaren

Funktionen von IRn nach IR "uber den gesamten IRn modulo aller Funktionen vom Mass 0. jf j = RIRn jf (x)jdx ist die kanonische Norm in diesem Vektorraum. Wenn die Dimension aus dem Zusammenhang klar ist, werden wir ihn kurz mit L1 bezeichnen.

3. Satz von Fubini: Sei f : IRk \Theta IRm 7! IR integrierbar. Dann gibt es

eine Funktion g mit f = g f."u., so dass g(\Delta ; y) integrierbar ist, undZ

IRk+m f (x; y)d(x; y) = ZIRm ZIRk f (x; y)dx dy: Insbesondere giltZ Z

f (x; y)dx dy = Z Z f (x; y)dy dx:

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4. Seien f; g 2 L1 und g f."u. beschr"ankt. Dann ist f g 2 L1. 5. Sei ' eine bijektive Abbildung von IRn nach IRn, f 2 L1. Dann gilt:Z

IRn f (x)dx = ZIRn f ('(x))jdet((D')(x))jdx: 6. Differenzierbarkeit: Sei f : IRk \Theta IR 7! IR. Sei f (\Delta ; t) integrierbar und

f (x; \Delta ) differenzierbar. Weiter sei j dfdt (x; t)j ^ F (x) f"ur eine integrierbare Funktion f . Dann gilt: