"Einfuehrung in die Fuzzy Logic 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Spezialvorlesung Einf"uhrung in die Fuzzy-Logik

Helmut Thiele Sommersemester 1993 Sommersemester 1994 Sommersemester 1995 Vorabversion: 1. Auflage 1995

Stand: 21. November 1995, 2305 h

Universit"at Dortmund Fachbereich Informatik Lehrstuhl f"ur Informatik I

Hinweis Dies ist nur eine Vorabversion, die von Professor Thiele nicht autorisiert ist und wahrscheinlich noch eine Vielzahl von Fehlern enth"alt. Diese wird sich in der n"achsten Zeit auf Grund von Korrekturen und Erweiterungen

sehr h"aufig ver"andern. Wir raten dringend davon ab, diese Datei (mehrfach) auszudrucken, um ein 'Unwesen` kursierender, inkompatibler Versionen und "Arger mit der IRB zu vermeiden. Lernen mit Hilfe dieser Vorabversion erfolgt auf eigene Gefahr. Meldungen "uber Fehler bitte an Stephan Lehmke ([email protected]).

Inhaltsverzeichnis 1. Zweiwertige und mehrwertige Logik. Scharfe und unscharfe Mengen 6

1.1 Der aristotelische Wahrheitsbegriff. Zweiwertige Logik : : : : : : : : : : : 6 1.2 Zweiwertige Pr"adikate. Scharfe Mengen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.3 Mehrwertige Pr"adikate. Unscharfe Mengen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.4 Beziehungen von Fuzzy-Mengen zu scharfen Mengen : : : : : : : : : : : : 18 1.5 Einige wichtige Eigenschaften (Definitionen) von (f"ur) Fuzzy-Mengen : : : 19

2. Mengenoperationen 22

2.1 Hilfsmittel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 2.2 Boolesche Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 2.3 Operationen mit scharfen Mengen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 2.4 Lukasiewiczsche Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 2.5 Standard-Operationen mit Fuzzy-Mengen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37

3. Theorie der T- und S-Normen. Negationen 43

3.1 T-Normen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 3.2 S-Normen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 3.3 Die Funktion min bzw. max als ausgezeichnete T-Norm bzw. S-Norm : : 65 3.4 Theorie der Negationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 3.5 Nicht-Standard-Operationen mit Fuzzy-Mengen : : : : : : : : : : : : : : : 81 3.6 Mischnormen (averaging operations) und Aggregationsfunktionen : : : : : 93

4. Implikationen in der Fuzzy-Logik 98

4.1 Motivationen und Vorbemerkungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98 4.2 Ein Axiomensystem f"ur Implikationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 4.3 S-Implikationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 112 4.4 R-Implikationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 4.5 QL-Implikationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 123

5. Die Teilmengenbeziehung f"ur Fuzzy-Mengen 125

5.1 Motivationen und Vorbemerkungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 5.2 Die scharfe Teilmengenbeziehung f"ur Fuzzy-Mengen : : : : : : : : : : : : 127 5.3 Die "weiche" Lukasiewiczsche Inklusionsbeziehung : : : : : : : : : : : : 129 5.4 Nicht-Lukasiewiczsche "weiche" Inklusionsbeziehungen : : : : : : : : : : 136 5.5 Axiome zur Charakterisierung "weicher" Inklusionsbeziehungen : : : : : : 137 5.6 Fuzzy-Wahrheitswerte und deren Anwendung : : : : : : : : : : : : : : : : 141 5.7 Weiche Identit"atsbeziehungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141

3

Inhaltsverzeichnis 6. Fuzzy-Relationen 142

6.1 Scharfe und unscharfe Relationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 142 6.2 Durchschnitt, Vereinigung und Komplement von Fuzzy-Relationen : : : : 144 6.3 Das Produkt von Fuzzy-Relationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 6.4 Fuzzy-Relationen als Abbildungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152