"Numerik IIb 001.ps.gz" - читать интересную книгу автораNumerik IIB -- Numerische Verfahren f"ur Differentialgleichungen -- Bernhard Schmitt Sommersemester 1999 Inhaltsverzeichnis 1 Gew"ohnliche Differentialgleichungen 5 1.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Einschrittverfahren f"ur Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Stabilit"at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Adams-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Lineare Mehrschrittverfahren und Stabilit"at . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Extrapolationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 Steife Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6 Schiessverfahren f"ur Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7 Differenzenverfahren f"ur Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Gemeinsame Prinzipien von Diskretisierungsverfahren 46 2.1 Konvergenz, Konsistenz, Stabilit"at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Allgemeine Verfahrens-Ans"atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 3.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Differenzenverfahren f"ur elliptische Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.1 Die Poissongleichung auf einfachen Gebieten . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.2 Eigenschaften der Differenzen-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.3 Diskretisierungsfehler, Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.4 Allgemeinere Gebiete und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Finite-Elemente-Verfahren f"ur elliptische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.1 Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.2 Rayleigh-Ritz-Galerkin-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.3 Spline-R"aume, Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 Partielle Anfangs-Randwert-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Index 83 Einleitung In den (Natur-) Wissenschaften lassen sich viele beobachtete Effekte durch Differentialgleichungen unterschiedlicher Art beschreiben. Ein aktuelles Beispiel ist der Komet Hale-Bopp, da man sich hier tats"achlich f"ur unterschiedliche Aspekte interessiert. Zur Bestimmung seiner Bewegung durch das Sonnensystem reicht es aus, ihn als punktf"ormige Masse im Schwerefeld von Sonne, Planeten usw. zu betrachten. Die Bahn (in Abh"angigkeit von der Zeit) wird dann durch ein System von gew"ohnlichen Differentialgleichungen beschrieben, wie sie im ersten Teil der Vorlesung behandelt werden. Die sichtbare Gestalt des Kometen am Himmel kommt dagegen durch die Einwirkung der Sonnenstrahlung und des Sonnenwinds zustande. Der Schweif bildet sich aus verdampfter Kometenmaterie, seine Form wird durch die Str"omung im Sonnenwind bestimmt. Die Modellierung der Materiedichte im dreidimensionalen Raum erfordert partielle Differentialgleichungen. Einfache F"alle solcher Dgln werden im zweiten Teil der Vorlesung besprochen. 3 |
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