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Numerik I Vorlesung TU Chemnitz Sommersemester 1998, Volker Mehrmann

\Gamma \Delta Literatur:

(a) J.H. Wilkinson

Rundungsfehler, Springer

(b) G.H. Golub/C.F. Van Loan

Matrix Computations, Johns Hopkins University Press

(c) A. Frommer

L"osung linearer Gleichungssysteme auf Parallelrechnern, Vieweg

(d) J. Stoer

Numerische Mathematik I, Springer

e) H.R. Schwarz

Numerische Mathematik, Teubner

u.v.a.m.

Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1

1.1 Was ist numerische Mathematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Zahlendarstellung auf dem Digitalrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Rundungsfehler (Reduktionsfehler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Moderne Rechnerarchitekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Die ':' Notation, flops und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 L"osung linearer Gleichungssysteme 16

2.1 Gauss-Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 L"osung von Dreieckssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 LR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Fehleranalyse der Gauss-Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4 Partielle Pivotisierung (Spaltenpivotisierung) . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.5 Vollst"andige Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.6 Absch"atzung der Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.7 Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.8 Iterative Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Der Cholesky-Algorithmus, Bandmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34