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Vorlesungsskript Numerik gew"ohnlicher Differentialgleichungen

\Gamma \Delta Volker Mehrmann Technische Universit"at Chemnitz-Zwickau

Fakult"at f"ur Mathematik Wintersemester 1996/1997

Inhaltsverzeichnis 1 Einf"uhrung 1 2 Numerische L"osung von Anfangswertaufgaben 5

2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Ein einfaches Beispiel: Transportmodelle f"ur chemische Reaktionen 5 2.1.2 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Existenz- und Eindeutigkeitss"atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Einf"uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Existenz der L"osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3 Eindeutigkeit der L"osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Das Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Diskretisierungsfehler, Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3 Modifiziertes Euler-Verfahren, Verfahren von Heun, klassisches RungeKutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.4 Konvergenz und Gesamtfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Explizite und implizite Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Implizite Runge-Kutta Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Schrittweitensteuerung bei Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . 41 2.5 Extrapolationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.1 Schrittweitensteuerung mittels Extrapolation . . . . . . . . . . . . . 52

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ii INHALTSVERZEICHNIS

2.6 Einf"uhrung von Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Konsistenz von Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.8 Pr"adiktor-Korrektor-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.9 Konvergenz von Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.9.1 Ein instabiles Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.9.2 Einiges aus der Theorie der Differenzengleichungen . . . . . . . . . 79 2.9.3 Konvergenz und Stabilit"atsbedingungen f"ur Mehrschrittverfahren . 82 2.10 Stabilit"atsbegriffe, Stabilit"atsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.11 Steife Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 Numerische L"osung von Randwertaufgaben 109

3.1 Verschiedene Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2 Das einfache Schiessverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3 Mehrzielmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4 Differenzenverfahren f"ur Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.4.1 Allgemeine Konvergenztheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5 Variationsmethoden (Finite Elemente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.5.1 Das Ritzsche Verfahren zur L"osung der Minimierungsaufgabe . . . . 134 3.6 Vergleich der L"osungsmethoden f"ur Randwertprobleme . . . . . . . . . . . 139 3.7 Kollokationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.8 Zusammenfassung Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148