"Numerik GDL 002.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Numerik gew"ohnlicher Differentialgleichungen

Hans-J"urgen Reinhardt1)

Vorlesungsskriptum

im SS 1997

Fachbereich Mathematik

Universit"at - GH Siegen

1)Email: [email protected]

Vorwort Das vorliegende Skriptum ist aus einer Vorlesung entstanden, die der Autor dreimal -- zuletzt im SS 1997 -- an der Univ.-GH Siegen gehalten hat. Zu der Vorlesung wurden theoretische und praktische "Ubungen gestellt. Die "Ubungsaufgaben finden sich im Anhang B; Musterl"osungen der praktischen Aufgaben sind im Anhang C zusammengestellt.

Dieses Skriptum wurde von Frau M. Beier mit LaTEX erstellt. Herr Dipl.-Math. R. Ansorge hat die "Ubungsaufgaben zusammengestellt und betreut. Herr cand. math. M. Charton war bei der Aufarbeitung der praktischen Aufgaben behilflich. Ihnen und meinen Studenten sei f"ur Ihren Einsatz und Ihre Mitarbeit gedankt.

Siegen, im August 1997 H.-J. Reinhardt

Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele und Anwendungen 1

1.1 Anfangswertprobleme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2 Randwertprobleme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 Einschrittverfahren f"ur Anfangswertprobleme 9

2.1 Definition des Verfahrens : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.2 Konsistenz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13

2.2.1 Konsistenzbedingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 2.2.2 Konsistenz spezieller Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.3 Runge-Kutta Formeln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 2.4 Die Methode der Taylor-Entwicklung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2.5 Konvergenz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 2.6 Stabilit"at : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

3 Mehrschrittverfahren f"ur Anfangswertaufgaben 31

3.1 Definition des Verfahrens : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 3.2 Konsistenz von Mehrschrittverfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 3.3 Stabilit"at und Konvergenz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 3.4 Die Wurzelbedingung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

4 Differenzenverfahren f"ur Randwertprobleme 61

4.1 Singul"ar gest"orte (gew"ohnliche) Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : : 61 4.2 Differenzenappr. f"ur lin. gew"ohnl. Diff. gln. 2. Ordnung : : : : : : : : : : : 64