"Numerik von PDG II 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Colin W. Cryer Numerik PartiellerDifferentialgleichungen II

Sommersemester1 1995

a

Westf"alische Wilhelms-Universit"at

M"unster

1Letzte "Anderung am 2. Oktober 1995

Inhaltsverzeichnis 1 Elliptische Gleichungen 1

1.1 Definition elliptischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Skalare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Einf"uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Der Rand @\Omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Typische Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Existenz und Eindeutigkeit der L"osungen von Randwertaufgaben . . . . . 9

2 Das Maximumprinzip 11

2.1 Die grundlegenden S"atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Finite Differenzen 19

3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Ein Modellproblem: das Dirichlet-Problem f"ur die Poisson- Gleichung . . 22 3.3 Differenzenoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Finite Differenzen: Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.1 Beispiel 1: Das Neumann Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.2 Beispiel 2: Nichtquadratische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.3 Beispiel 3: Neumann Bedingungen auf gekr"ummten R"andern . . . 33 3.4.4 Beispiel 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 Das Maximumprinzip f"ur Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6 Konvergenzbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Iterationsverfahren f"ur grosse lineare Systeme: klassische Verfahren 47

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 Das Jacobi-, Gauss-Seidel-, SOR- und SSOR-Verfahren - eine Einleitung . 53

4.3.1 Anwendung auf ein Modellproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.2 Das Jacobi-Verfahren oder Gesamtschrittverfahren . . . . . . . . . 55

iv INHALTSVERZEICHNIS