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Numerische Mathematik I

C. Cryer Wintersemester 1993/94

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1

1.1 Definition der numerischen Mathematik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2 Grundaufgaben der praktischen Mathematik : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1.3 Ein Beispiel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.4 Geschichte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 Informationshilfsmittel 7

2.1 Klassische Bibliotheksdienste : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2.2 Tabellenwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2.3 Mathematische Systeme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.4 Software : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.5 Elektronische Informationsdienste : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10

3 Das Gausssche Eliminationsverfahren 33

3.1 Einleitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 3.2 Gauss-Elimination ohne Pivotsuche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 3.3 Blockmatrizen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 3.4 Dreiecksmatrizen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 3.5 Elementare Matrizen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 3.6 Das Gausssche Eliminationsverfahren als Matrixprozess : : : : : : : : : : : : 46

3.6.1 Schritt 1: LR-Zerlegung von A : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 3.6.2 Schritt 2: Bestimme y 2 Rn mit Ly = b : : : : : : : : : : : : : : : : 53 3.6.3 Schritt 3: Bestimme x 2 Rn mit Rx = y : : : : : : : : : : : : : : : : 53 3.6.4 Berechnung der Inversen A\Gamma 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

iv INHALTSVERZEICHNIS

3.7 Alternative Implementierungen des Gaussschen Eliminationsverfahrens : : : 53

3.7.1 Das Crout-Doolittle Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 3.7.2 Das Cholesky Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54 3.8 Das Gausssche Eliminationsverfahren mit Permutationen : : : : : : : : : : : 60 3.9 Effizienz: einfache Absch"atzungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

4 Rechenhilfsmittel 69

4.1 Einf"uhrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69 4.2 Rechnereigenschaften : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71

4.2.1 Rechnerische Leistung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 4.2.2 Speicherkapazit"at : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73 4.2.3 Die Merkmale einiger Rechner : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73 4.3 Die Darstellung reeller Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

4.3.1 Einf"uhrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73 4.3.2 Positionssysteme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 4.4 Zahldarstellung auf einem Rechner : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76

4.4.1 Wahl der internen Basiszahl d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77 4.4.2 Maschinenzahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77 4.4.3 Ein Beispiel: Der IEEE P754 Standard f"ur Gleitkommazahlen : : : 80 4.5 Rechnerarithmetik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82

4.5.1 Die Rechenzeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82 4.5.2 "Uberlauf und Unterlauf : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83 4.5.3 Rundung und Schneiden : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86 4.5.4 Maschinenoperationen - Ganzzahlige Arithmetik : : : : : : : : : : : 88 4.6 Die automatische Bestimmung der Merkmale eines Rechners : : : : : : : : 90 4.7 Die Merkmale von einigen Rechnern und Sprachen in M"unster : : : : : : : 91

4.7.1 IBM 4381 FORTRAN : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91 4.7.2 IBM 4381 PL1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 4.7.3 FX-720P Basic : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 4.7.4 Rainbow 100 Pascal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94