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Theoretische Physik D QUANTENMECHANIK II1

nach einer Vorlesung von Prof. W. "Turbo" Hollik

im Sommersemester 95 an der Uni Karlsruhe

Gerrit Jahn

August 095

1Es besteht keinerlei Anspruch auf Vollst"andigkeit oder Richtigkeit der verwendeten Formeln und Herleitungen in diesem Skript. Benutzung auf eigene Gefahr!

2 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 5

0.1 Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Quantenmechanische Streutheorie 9

1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Theoretische Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Zweiteilchen-Steuung, Reduktion auf EinteilchenStreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Stromdichten und Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Optisches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Streutheorie mit Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Integralgleichungen der Streutheorie . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Bornsche N"aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Darstellungsfreie Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Partialwellenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 sph"arische L"osung der freien Schr"odingergleichung . . . . . 27 1.3.2 Streul"osung f"ur Potential V 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3 Streuamplitude, Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . 32 1.3.4 Erg"anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Symmetrien in der Quantenmechanik 43

2.1 Transformationen von Observablen u. Zust"anden . . . . . . . . . . 44

2.1.1 Gruppeneigenschaften von Transformationen . . . . . . . . 45 2.2 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.1 Diskrete Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.2 Kontinuierliche Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.3 Innere Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3 Erhaltungsgr"ossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1 Zeitentwicklung eines Zustands fifi\Psi (t)ff . . . . . . . . . . . 51 2.4 Darstellungen und Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1 Gruppendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2 EWP bei Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58