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TOPOLOGIE VORLESUNG IM SOMMERSEMESTER 1996

an der Eberhard-Karls-Universit"at T"ubingen

Richard B"odi



Inhalt 1. Topologische R"aume und stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Konstruktion topologischer R"aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Trennungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Zusammenh"angende R"aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6. Kompakte R"aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7. Lokalkompakte R"aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8. Kompaktifizierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9. Uniforme R"aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 10. Uniformisierung und Metrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11. Vervollst"andigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 12. Kompaktheit und Vollst"andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 13. Ausgew"ahlte Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56



Kapitel 1: Topologische R"aume und stetige Abbildungen 1 KAPITEL 1 Topologische R"aume und stetige Abbildungen

(1.1) Definition. Sei X eine Menge und sei O t, P(X). Das Paar (X, O) (oder einfach nur X) heisst topologischer Raum, wenn gilt:

(T1) ; 2 O, X 2 O (T2) 8 O0 t, O : S O0 2 O (T3) 8 O0 t, O (O0 endlich =) T O0 2 O). Das Mengensystem O heisst Topologie auf X, die Elemente O von O heissen offene Mengen, geschrieben als O t,o X. Eine Menge A t, X heisst abgeschlossen, in Zeichen A t, X, wenn sie das Komplement einer offenen Menge ist.

Bemerkung. Offenheit und Abgeschlossenheit sind keine Gegens"atze; es gibt Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind (etwa ; und X).

(1.2) Beispiele. Sei X eine Menge.

(a) Oindiskret = {;, X} ist eine Topologie auf X, genannt die indiskrete Topologie. (b) Odiskret = P(X) ist eine Topologie auf X, genannt die diskrete Topologie.

(c) Ocofinit = {O t, X | X \ O endlich} [ {;} ist eine Topologie auf X, genannt die

cofinite Topologie. (d) OS = {;, X, {1}} ist eine Topologie auf X = {0, 1}, genannt die SierpinskiTopologie.

(1.3) Definition. Sei (X, O) ein topologischer Raum und sei x 2 X. Eine Menge U heisst Umgebung von x, wenn es eine offene Menge O t,o X mit x 2 O t, U gibt. Das Mengensystem U(x) aller Umgebungen von x heisst Umgebungsfilter von x. Das Teilsystem aller offenen Umgebungen von x wird mit O(x) bezeichnet. F"ur A t, X heisst U eine Umgebung von A, falls U 2 U(x) f"ur alle x 2 A ist. Die Familie aller Umgebungen von A wird mit U(A) bezeichnet. Die Menge O(A) wird entsprechend definiert.

(1.4) Lemma. Sei O Teilmenge eines topologischen Raumes X. Dann sind "aquivalent:

(a) O ist offen. (b) O 2 U(x) f"ur alle x 2 O.