"Topologie 003.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Topologie Prof. Dr. R.J. Nessel

Sommersemester 95

2

Topologie = Einf"uhrung in die Mengentheoretische Topologie. Lokale Strukturen (nicht: globale, allgemeine Topologie etc.), d.h. wichtigste Begriffe aus Analysis I und Analysis II (Konvergenz, Stetigkeit und Kompaktheit etc.) werden analysiert mit dem Ziel, dies in m"oglichst allgemeinen Mengen zu verstehen (nicht nur in IR; lC; IRn).)

Analyse der Strukturen. Sukzessives Einbringen von Eigenschaften die wirklich n"otig sind. Hier: Topologie als Verallgemeinerung von (Teilen) Ana I+II und Vorstufe zur Funktionalanalysis (z.B. lineare topologische R"aume) -nicht zum eigentlichen Gebiet der Topologie.

"Geburtsstunde": F. Hausdorff: Grundz"uge der Mengenlehre, Leipzig 1914Ich hoffe, das Skript ist soweit fehlerlos. Sollte aber jemand von Euch trotzdem etwas finden, das zu bem"angeln ist, dann schickt mir ([email protected]) oder der Fachschaft eine E-Mail. Klaus

Kapitel I Topologische R"aume

Kapitel I.a) Offene Mengen Definition 1 Sei X eine (nichtleere) Menge und P(X) die Potenzmenge von X (d.h. die Klasse aller Teilmengen von X). Ein System T von Teilmengen von X (also T ae P(X)) heisst eine Topologie f"ur X, falls T den folgenden Axiomen gen"ugt:

(O1) ; 2 T ; X 2 T : (O2) Gilt G1; : : :; Gn 2 T , dann ) "

n i=1Gi 2 T ;

d.h. Der Durchschnitt von endlich vielen Mengen aus T geh"ort auch zu T .

(O3) Ist G ein beliebiges Teilsystem von T ,dann

) [G2GG 2 T ; d.h. die Vereinigung von beliebig (auch "uberabz"ahlbar) vielen Mengen aus T geh"ort stets zu T . Also: Die Klasse T von Teilmengen von X sei abgeschlossen unter der Bildung von endlichem Durchschnitt und von beliebiger Vereinigung. Die Elemente von T heissen die offenen Mengen von X (bez"uglich T ). Ist X eine mit einer Topologie T versehene Menge, so bezeichnet man das Paar (X; T ) als einen topologischen Raum. Die Elemente von X heissen Punkte des topologischen Raums.

Beispiele:

1. X = IR1; T = Klasse aller im klassischen Sinne (Ana I) offenen Teilmengen von IR einschliesslich;

und IR. ) (O1): Zu (O2): Es gilt (Ana I.) G1; G2 2 T , also klassisch offen ) G1 " G2 sind klassisch offen, also G1 " G2 2 T : Ebenso f"ur endliche Durchschnitte, aber nicht f"ur beliebig viele Klassen von offenen Mengen, denn z.B. f"ur die abz"ahlbar vielen Mengen Gn = \Gamma \Gamma 1n ; 1 + 1n\Delta f"ur n 2 IN gilt "1n=1Gn = [0; 1])

nicht offen. Bemerkung: Axiom (O2) reflektiert gerade diese Eigenschaften von IR. Zu (O3): Gilt entsprechend (Ana I).)

Ist T die Klasse aller im klassischen Sinne offenen Teilmengen von IR, so ist (IR1; T ) ein topologischer Raum (im Sinne von Definition 1). Die so definierte Topologie f"ur IR wird als die nat"urliche Topologie f"ur IR bezeichnet. Bezeichnung: (IR1; Tnat"urlich).

2. Sei X eine beliebige Menge und T = f;; Xg. Dann ist T eine Topologie und (X; T ) ist ein