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Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Dynamische stochastische Systeme mit diskretem

Zustandsraum

Friedrich Graef Institut f"ur Angewandte Mathematik

der Universit"at Erlangen-N"urnberg

Fassung vom 25. Februar 1998

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Wahrscheinlichkeitsr"aume 9

1.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsr"aume . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Die Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Stochastische Unabh"angigkeit. . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Faltungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Konvergenzbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 Stochastische Konvergenz von Zufallsvariablen . . . . . 22 1.3.2 Verteilungskonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Verzweigungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1 Der Ansatz von Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2 Die Aussterbewahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . . . . 30 1.4.3 Die totale Familiengr"osse . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.4 Zeitdiskrete Bedienungssysteme . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Markoffketten 45

2.1 Zeitdiskrete stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.1 Wahrscheinlichkeiten auf Folgenr"aumen . . . . . . . . . 46 2.1.2 Die Markoff-Eigenschaft. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.3 Spezielle Markoffketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2 Homogene Markoffketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.1 Die Mehrschritt- "Ubergangswahrscheinlichkeiten . . . . 60 2.2.2 Die station"are Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

2.2.3 Erreichbarkeit von Zust"anden . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.4 Periodische Zust"ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.5 Rekurrente und transiente Zust"ande . . . . . . . . . . . 68 2.2.6 Positive Rekurrenz und Nullrekurrenz . . . . . . . . . . 73 2.2.7 Die Struktur des Zustandsraums . . . . . . . . . . . . . 75 2.3 Absorbierende Markoffketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3.1 Absorbierende Zust"ande . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3.2 Die Absorptionswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . 79 2.3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.4 Die mittlere Schrittzahl bis zur Absorption . . . . . . . 83 2.3.5 Graphenreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4 Ergodische Markoffketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87