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Mitschrift zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie

von Wolfgang Wefelmeyer im Wintersemester 1997/98

Martin R. Elsner

14. Oktober 1998

Einf"uhrung Der Nobelpreis, der 1997 an Robert Merton und Myron Scholes vergeben wurde, zeugt von der grossen Bedeutung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nicht nur in den Wirtschaftswissenschaften, wo z.B. der Bereich der Wertpapierentwicklung oder relativ neue stochastische Konjunkturtheorien mathematische Hilfe ben"otigen, sondern auch in den Naturwissenschaften ist die Theorie von der Wahrscheinlichkeit unerl"asslich.

In der Physik seien nur die Stichworte Magnetisierung, Teilchensysteme, Supraleitung, Turbulenzen, Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung genannt.

Chemische Anwendungen finden sich z.B. im Bereich der Katalysatoren, der Proteinfaltung oder Polymere.

Stochastik in der Biologie begegnet uns in den wichtigen Bereichen der Evolutionstheorie und Epidemiologie, aber auch in der Neurologie, bei der stochastischen Resonanz und den PredatorPrey-Systemen.

Schliesslich sei noch die Mineralogie genannt, in der das Kristallwachstum nicht ohne Wahrscheinlichkeitsbetrachtung denkbar w"are.

Dies stellt zwar nur einen Teil der interdisziplin"aren Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie dar, zeigt aber die Notwendigkeit der mathematischen Auseinandersetzung mit diesem Bereich.

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Inhaltsverzeichnis I Masstheorie 1

1 Vereinigung und Durchschnitt von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Algebra, oe-Algebra, Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 Masserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Lebesgue-Stieltjes-Masse und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 Messbare Funktionen und Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7 Satz von Rad'on-Nikod'ym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8 Produktmasse, Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 9 Masse auf abz"ahlbaren Produktr"aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II Wahrscheinlichkeitstheorie 17

10 Zufallsvariable und Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 11 Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 12 Unabh"angige Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 13 Konvergenz von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 14 Starkes Gesetz der grossen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 15 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 16 Schwache Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 17 Charakteristische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 18 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 19 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungswerte . . . . . . . . . . . 28 20 Eigenschaften des bedingten Erwartungswerts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 21 Martingale; Optional Skipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 22 Stoppzeiten; Optional Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 23 Submartingal-Konvergenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A Die wichtigsten Verteilungen 36 B Literatur 37

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iv INHALTSVERZEICHNIS Kapitel I Masstheorie

1 Vereinigung und Durchschnitt von Mengen Gegeben seien die Menge \Omega und die Teilmengen A1; A2; : : : Weiter werden die De Morgan'schen Regeln ben"otigt: (S An)c = T Acn; (T An)c = S Acn. Gilt A1 ae A2 ae : : : und A = S An, dann schreibt man An " A (aufsteigend); analog f"ur A1 oe A2 oe : : : und A = T An An # A (absteigend).