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Stochastik II Vorlesung von Prof. Gru"bel LATEX-Version von Dirk Hillbrecht

Wintersemester 1994/95

INHALTSVERZEICHNIS i Inhaltsverzeichnis III Allgemeine Wahrscheinlichkeitsra"ume 1 10 Mengensysteme 1 11 Additive Mengenfunktionen 5

11.1 ??? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 11.2 Fortsetzung von Pra"massen zu Massen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 11.3 Das Lebesgue-Mass : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13

12 Messbare Abbildungen 16

12.1 Grundlegendes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 12.2 Abbildungen mit Werten in R oder R : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 12.3 Bildmasse, Verteilungen und Verteilungsfunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20

13 Integrale und Erwartungswerte 23

13.1 Das Lebesgue-Integral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 13.2 Die "u"bliche Maschinerie" mit Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 13.3 Konvergenzsa"tze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 13.4 Masse mit Dichten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 13.5 Erwartungswerte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 13.6 Ungleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37

14 Produktmasse und Unabha"ngigkeit 41

14.1 Das Produkt von zwei Massra"umen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 14.2 Produkte von mehr als zwei Massra"umen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 14.3 Unabha"ngigkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47

15 Gesetze der grossen Zahlen 51

15.1 Konvergenz fast sicher und Konvergenz in Wahrscheinlichkeit : : : : : : : : : : : : : : : : 51 15.2 Das schwache Gesetz der grossen Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 15.3 Das starke Gesetz der grossen Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

16 Charakteristische Funktionen 57

16.1 Grundbegriffe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 16.2 Ableitungen und Momente : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 16.3 Umkehrsa"tze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 16.4 Faltungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

17 Verteilungskonvergenz 68

17.1 Definitionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68 17.2 Straffheit und charakteristische Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

Stochastik II

ii INHALTSVERZEICHNIS 18 Der Zentrale Grenzwertsatz 76

18.1 Identisch verteilte Summenanden : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 18.2 Der Satz von Lindeberg : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78 18.3 Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81