"Stochastik I 004.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Vorlesungsmitschrift:

"Stochastik I" Prof. Dr. R. Gr"ubel Institut f"ur Mathematische Stochastik, Hannover

(SS 96)

24. November 1997

ge-TEX-ed von Sven Meyer (email: [email protected]) (WWW: www.stochastik.uni-hannover.de/,sm)

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Mit bestem Dank, Sven.

Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe, die Axiome von Kolmogorov 1

1.1 Ergebnisraum und Ergebnisalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabh"angigkeit 5 3 Laplace-Experimente 7

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Etwas Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 L"osung einiger typischer Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.1 Paradox von de M'er'e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3.2 Geburtstagsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3.3 Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3.4 Der zerstreute Postbote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Diskrete WR"aume und Zufallsgr"ossen 11

4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Einige wichtige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2.1 Binomial- und Bernoulli-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2.2 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.3 Geometrische Verteilung und negative Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.4 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.5 Multinomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Erwartungswert und Varianz von Zufallsgr"ossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4 Bedingte Verteilungen und Unabh"angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.5 Reellwertige (diskrete) Zufallsgr"ossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.6 Das schwache Gesetz der grossen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsr"aume 19

5.1 "You can't always get what you want" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.3 Zufallsgr"ossen und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.4 Reellwertige Zufallsgr"ossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.5 Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.6 Einige wichtige Verteilungen mit Riemann-Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.6.1 Gleich- bzw. Rechteck-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.6.2 Gamma- und Exponential-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.6.3 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.7 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.8 Unabh"angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Verteilungskonvergenz und Normalapproximation 29