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Experimentelle Mathematik

Gunther H. Peichl Skriptum zur Vorlesung im WS1998/99

Institut f"ur Mathematik Karl-Franzens-Universit"at Graz

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Vorwort Diese Lehrveranstaltung wendet sich besonders an die Studienanf"anger und H"orer des 1. Studienabschnittes. Die Studierenden sollen zu einem m"oglichst fr"uhen Zeitpunkt mit grundlegenden mathematischen Konzepten und Algorithmen vertraut gemacht werden und lernen, diese mit Hilfe eines interaktiven Softwarepaketes umzusetzen. In dieser Lehrveranstaltung wird MATLAB eingesetzt, dessen Syntax besonders leicht zu erlernen ist. Der notwendige theoretische Vorgriff ist beabsichtigt und soll den Studierenden Motivation f"ur mathematische Inhalte des 1. Studienabschnittes geben. An geeigneten Stellen soll auch die Notwendigkeit bzw. der praktische Nutzen der Theorie verdeutlich werden.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Dr. W. Prager f"ur das sorgf"altige Korrekturlesen und f"ur zahlreiche Verbesserungsvorschl"age.

Contents Kapitel 1. Grundlagen aus der Analysis 1

1. Einf"uhrung in MATLAB 1 2. Der Konvergenzbegriff 10 3. Ableitung und Satz von Taylor 24 4. Unterprogramm Technik in MATLAB 31

Kapitel 2. Nichtlineare Gleichungen 37

1. Das Bisektionsverfahren 37 2. Das Newton Verfahren 39 3. Das Sekantenverfahren 43 4. Fixpunktiterationen 45

Kapitel 3. Lineare Gleichungen 53

1. Das Gausssche Eliminationsverfahren 55 2. Grundlagen der Linearen Algebra 58 3. LU Faktorisierung 60 4. Die Konditionierung eines linearen Gleichungssystems 63 5. Iterative L"osungsmethoden 69

Kapitel 4. Interpolation und Approximation 75

1. Interpolation 75 2. Tschebyscheff Polynome 81 3. Ausgleichsrechnung 84 4. Das lineare Ausgleichsproblem 88

Kapitel 5. Numerische Integration 93

1. Trapezregel, Simpsonregel 93 2. Analyse der Trapezregel 97 3. Gauss Legendre Quadratur 100

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KAPITEL 1 Grundlagen aus der Analysis

1. Einf"uhrung in MATLAB MATLAB, der Name steht f"ur matrix laboratory, wurde urspr"unglich geschrieben, um den Zugang zu den Matrix Softwarepaketen LINPACK und EISPACK, welche den status quo der numerischen Linearen Algebra darstellen, zu erleichtern. Im Laufe der Zeit wurden auch die graphischen M"oglichkeiten verbessert und Methoden der numerischen Integration, Optimierung, und Verfahren zur L"osung gew"ohnlicher Differentialgleichungen eingebaut. Eine erhebliche Erweiterung des Programmumfanges brachte Version 5. Da diese Version aber noch nicht auf allen Plattformen zur Verf"ugung steht und die neuen M"oglichkeiten spezielle Kenntnisse erfordern, werden wir uns in der folgenden Einf"uhrung in MATLAB auf das Niveau der Version 4 beschr"anken.