"Журнал «ЮНЫЙ ЭРУДИТ» № 10 (98), октябрь 2010 г." - читать интересную книгу автора

Домашняя лаборатория

Считаем играючи! Немного арифметики: наблюдаем за удивительными превращениями натуральных чисел!

Многие математики любят на досуге повозиться с арифметикой: поиграть цифрами, посчитать что-нибудь, сложить-умножить — просто так, от нечего делать. Интересно же посмотреть, что получится. Так, французский математик Франсуа ле Лионе рассказывает, что в детстве как-то раз развлекался тем, что умножал числа от 1 до 9 на самих себя (1), отбрасывал десятки и записывал столбиком одни лишь единицы. Проделай то же самое! Любопытно, да? Выстроившиеся в ряд цифры располагаются симметрично по отношению к центральной «пятерке» (2). А теперь снова умножь их на 1, 2, 3… 9 (3) и повтори уже знакомую тебе операцию — десятки долой (4)! У тебя получится ряд цифр от 1 до 9, но вперемешку. Впрочем… Так ли уж вперемешку? Если приглядеться, окажется, что в их чередовании существует определенный порядок: начни складывать числа по парам, располагающимся симметрично по обе стороны от центральной цифры «5», и тебя ждет сюрприз: сумма всякий раз будет равняться 10! Попробуй еще дважды поумножать — честное слово, не пожалеешь: ты увидишь нечто в высшей степени странное! Чудесная вещь арифметика, правда? Такого рода маленькие игры не только позволяют лучше узнать числа и отношения между ними, но еще и задуматься над их свойствами. Так появилась известная «гипотеза Сиракуз» (от названия города, но не сицилийского, а американского, штат Нью-Йорк, в университете которого она произвела эффект разорвавшейся бомбы). Итак, о чем идет речь. На самом деле всё проще некуда: задумай любое число. Если оно четное, то раздели его на 2. Если нечетное, умножь на 3, а к результату добавь 1. То же самое проделай и с получившимся числом. И так далее. Скажем, возьмем число 3. Нечетное, поэтому умножаем и прибавляем: 3 х 3 + 1 = 10. А это уже четное, поэтом делим на 2, получается 5. Опять умножаем на 3, прибавляем 1. Дальнейшие арифметические действия дадут нам следующую цепочку чисел: 16, 8, 4, 2,1. Дальше продолжать подсчеты бесполезно, потому что мы получим бесконечную последовательность чисел 4, 2 и 1. А вскоре оказалось, что какое бы число ты ни задумал, действия по умножению, делению и сложению всегда дадут один и тот же результат: бесконечную последовательность чисел 4, 2 и 1. Впрочем, данное утверждение пока всего лишь гипотеза, которую никто не доказал. Попробуй сам поиграть с числами. Если хочешь, можешь построить графики взлета и падения числовых последовательностей. Так, для числа 3 движение линии будет проходить по следующим точкам «высоты»: 10, 5,16, 8, 4, 2,1 (5). У каждого такого «полета» есть своя «протяженность» (например, число 21 приходит к единице на восьмом шаге, а 27 — на сто двенадцатом!), «максимальная высота» и «продолжительность нахождения на высоте», то есть до момента, когда полученная в результате вычислений цифра не окажется меньше начального числа. Что любопытно, даже показатели двух соседних чисел могут быть совершенно различными. Сравни, например, графики «полета» двух чисел: 7 (отмечен синим цветом) и 8 (зеленым). И помни: доказать гипотезу еще никому не удалось! Может быть, тебе повезет?