"Введение в статистическую радиофизику. Случайные поля" - читать интересную книгу автора (Авторы: С.М.Рытов, Ю.А.Кравцов, В.И.Татарский....)

Введение
в статистическую
радиофизику
ЧАСТЬ II
С. М. РЫТОВ, Ю. А. КРАВЦОВ, В. �. ТАТАРСК�Й
СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
�ЗДАН�Е ВТОРОЕ. ПЕРЕРАБОТАННОЕ
� ДОПОЛНЕННОЕ,
под общей редакцией С. М. РЫТОВА
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦ�Я
Ф�З�КО-МАТЕМАТ�ЧЕСКОЙ Л�ТЕРАТУРЫ
1978
32.841
Р  05
УДК 538.3
20407—179
100-79
Наука
Главная редакция
физико-математической
1978
ОГЛАВЛЕН�Е
От редактора б
Глава I
Общие сведения о случайных полях
S 1. Основные понятия 7
§ 2. Пространственные корреляционные функции комплексных слу-
случайных полей 10
§ 3. Пространственные спектральные разложения для однородных
случайных полей 16
§ 4. Локально однородные случайные поля 21
§ 5. Квазиоднородные поля 26
§ 6. Пространственно-временные спектральные разложения случайных
полей 27
§ 7. Функциональный метод описания случайных полей 33
Задачи 44
Глава II
�злучение и дифракция случайных волновых полей
§ 8. Основные типы статистических волновых задач 58
§ 9. Случайные волны в неограниченной однородной среде 62
§ 10. Дифракция плоской волны на безграничном хаотическом экране 71
S 11. Дифракция случайных полей в простейших оптических системах 87
§ 12. Возбуждение полей случайными источниками 102
Задачи 113
Глава 1П
Тепловое электромагнитное поле
§ 13. Предварительные замечания 123
§ 14. Стохастические уравнения Максвелла 127
$ 15. Равновесные тепловые флуктуации в непрерывных диссипативных
системах 130
§ 16. Корреляция сторонних тепловых источников в электродинамике 13S
§ 17. Обобщенный закон Кирхгофа 139
§ 18. Примеры применений обобщенного закона Кирхгофа 145
J 19. Полноводная форма закона Кирхгофа 153
| 20. Тепловое излучение и антенны 158
§ 21. Равновесное тепловое поле. Равновесная форма ФДТ 164
1*
4 ОГЛАВЛЕН�Е
§ 22. Тепловое поле в гиротрипных телах 16?
§ 23. Тепловое поле в среде с пространственной дисперсией 172
Задачи 18S
Глава IV
Теория однократного рассеяния волн
§ 24. Метод малых возмущений lOi.
§ 25. Средняя интенсивность рассеянного поля 197
§ 26. Эффективный поперечник рассеяния. Границы применимости при-
приближения однократного рассеяния 208
§ 27. Пространственная корреляция и вероятностные распределения
рассеянного поля 215
§ 28. Рассеяние на нестационарных неоднородностях 220
§ 29. Рассеяние импульсных и модулированных сигналов 229
§ 30. Рассеяние электромагнитных волн 233
§ 31. Рассеяние на дискретных вкраплениях 241
Задачи 251
Глава V
Распространение волн в средах с крупномасштабными
случайными неоднородностями.
Метод геометрической оптики
§ 32. Уравнения геометрической оптики 256
§ 33. Флуктуации эйконала 261
§ 34. Флуктуации углов прихода, боковых смещений луча и группового
запаздывания волны 271
§ 35. Флуктуации уровня 279
§ 36. Флуктуации параметров волн в турбулентной тропосфере .... 286
§ 37. Среднее поле и функция когерентности 290
Задачи 292
Глава VI
Метод плавных возмущений
§ 38. Обоснование параболического уравнения 297
§ 39. Закон сохранения энергии в приближении параболического урав-
уравнения 306
§ 40. Метод плавных возмущений 308
§ 41. Анализ результатов МПВ 316
§ 42. Распределение вероятностей флуктуации амплитуды и фазы. За-
Закон сохранения энергии и границы применимости МПВ 330
Задачи 336
Глава VII
Приближение марковского процесса
в задаче о распространении волн
в среде со случайными неоднородностями
§ 43. Обоснование марковского приближения 342
§ 44. Уравнения для статистических моментов волнового поля в при-
приближении марковского случайного процесс» 349
ОГЛАВЛЕН�Е 5
§ 45. Среднее поле и функция когерентности второго порядка .... 355
§ 46. Функция когерентности четвертого порядка и флуктуации интен-
интенсивности 364
§ 47. Учет конечности продольного радиуса корреляции флуктуации е
и границы применимости марковского приближения 372
Задачи 379
Глава VIII
Элементы общей теории многократного рассеяния волн
§ 48. Теория возмущений и диаграммная техника для среднего поля
и функции корреляции 385
§ 49. Среднее поле точечного источника н неограниченной случайно-не-
случайно-неоднородной среде 401
§ 50. Функция когерентности поля. Оптическая теорема и уравнение
переноса излучения 413
Задачи 426
Глава IX
Рассеяние на шероховатых поверхностях
§ 51. Рассеяние на малых неровностях. Метод возмущений ,-_._. . . . 429
§ 52. Рассеяние на крупномасштабных неровностях. Метод Кирхгофа 442
§ 53. Дополнительные замечания. Другие подходы 451
Задачи 455
Литература 456
ОТ РЕДАКТОРА
Вторая часть кннги, посвященная теории случайных полей,
построена в соответствии с тем же принципом, чго и первая
(случайные процессы): математическая теория излагается в тес-
тесной связи с приложениями к физическим задачам, выбор кото-
которых ограничен вопросами, имеющими самостоятельное значение
и интерес. Вместе с тем эти вопросы позволяют довольно широ-
широко осветить различные методы теории случайных нолей, главным
образом корреляционной теории.
Выбраны две физические проблемы — излучение и распростра-
распространение скалярных и векторных воли в случайно-неоднородных
средах и равновесные поля теплового происхождения.
Первой проблеме уделено наибольшее место. Рассмотрено рас-
рассеяние волн преимущественно на флуктуациях непрерывной не-
неоднородной среды, но затронуты также случаи и дискретных рас-
сеивателей (вкраплений), и случайно-неровных границ раздела
(шероховатых поверхностей).
В вопросах, касающихся тепловых полей, упор сделан на
обобщение и различные формы флуктуационно-диссипационной
теоремы применительно к распределенным системам, сплошным
средам и телам.
Каждая глава сопровождается задачами, предназначенными,
как и в ч. I, для упражнений и для дополнительных сведений по
теории.
Главы I (кроме § 7), II, IV, V и IX написаны Ю. А. Крав-
Кравцовым, глава III—СМ. Рытовым, §7главы I иглавы VI —VIII —
В. �. Татарским.
С. М. Рытое
Глава I
ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
§ 1. Основные понятия
В части I этой книги мы, почти без исключений, имели
дело с однопараметрическими случайными функциями g(a),
причем в"; большинстве приложений параметра являлся ^вре-
^временем I. Если же речь идет о случайной функции более чем
одного параметра, ? (а, р, ...), то ее называют обычно случай-
случайным полем (в пространстве параметров а, р, ...). Мы сразу же
ограничимся случаем, когда параметров всего четыре: время
t и точка пространства г = (х, у, г). Можно, конечно, назы-
называть ? (t, r) полем В четырехмерном пространстве, но в нереля-
нерелятивистских задачах привычнее и нагляднее говорить о перемен-
переменном (зависящем от t) поле в трехмерном пространстве (х,у, г).
В свою очередь случайное поле может описываться не одной,
а N функциями \U)(t, г), » = 1,2, .... N, и называется тогда
//-мерным случайным полем, подобно //-мерной случайной функ-
функции |1" (t), 1 = 1,2, .. ., N. С чисто математической точки ярения
компоненты I'1'1 (t, г) Смогут быть чем угодно и даже не обяза-
обязаны обладать одинаковой размерностью. Например, флуктуации
плотности жидкости р, давления р, температуры Т и скорости v
образуют в совокупности шестимерное случайное ноле. Но осо-
особый физический интерес представляют, конечно, те случаи, ког-
когда величины |ш (t, г) одноразмерны и обладают определенными
трансформационными свойствами при ортогональных преобразо-
преобразованиях координат в пространстве к, у, г, т. е. являются сово-
совокупностью компонент тензора какого-либо ранга. При таком под-
подходе целесообразнее говорить в приведенном примере о четырех
полях—трех скалярных (р, р и Т) и одном векторном (v).
Ряд определений и свойств, введенных и' установленных'ра-
нее в ч. I для случайных функций одного параметра, естествен-
естественным образом обобщается и на случайные поля, зависящие
8 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
от многих параметров, в частности, на пространственно-времен-
пространственно-временные случайные поля, зависящие от х, у, z, t. Эти (зачастую до-
довольно очевидные) обобщения касаются и вопроса о том, что
означает полное задание случайного поля.
Обозначим для краткости через Q = ((, г) точку в четырех-
четырехмерном мире. Полное задание одномерного случайного поля | (Q)
означает, что известны все его л-мерные, или, как иногда гово-
говорят, я-точечные (п^-1,2, ...), плотности вероятностей, т. е.
для любого числа я произвольно выбранных точек Qv известны
функции
юв{Ei, .... U«i ••¦ <Ч.=
= P{Sv<5C?v)<?v+4v (v = i,2, ..., Р»)}, (l.i)
где Р {?^ I (Q) < l + dfy — вероятность того, что случайная ве-
величина l(Q) приняла значение, лежащее в интервале (1,% + dg)1).
Аналогично, полное, статистическое задание (описание) JV-мерно-
го поля |ш (Q) дается совокупностью пМ-мерных плотностей веро-
вероятностей
w«n(1?\ БР, •¦¦. V«N>)dii»dU1' ... <№ =
= ^{gift<&")(<3v)<iii)+^). v-1,2, .... Рї, i=l, 2 N\.
(1.2)
Эти плотности вероятностей, разумеется, должны быть подчине-
подчинены условиям неотрицательности, симметрии, согласованности и
РЅРѕСЂРјРёСЂРѕРІРєРё (С‡. I, В§ 14).
Очевидным образом распространяется на случайные ноля и
понятие статистической однородности. Одномерное случайное по-
поле | называется однородным (в узком смысле), т.е. стационарным')
по / и однородным по х, у, z, если все л-мерные плотности ве-
вероятности wn инвариантны относительно преобразования транс-
трансляции Q-+Q ] 8Q:
I 4v, v=i,2,...,В«}-
i(Qv)<^v + dlv, v-l,2,...,n}. (1.3)
Если речь идет о Л'-мерном случайном поле |';' и указан-
указанной инвариантностью относительно сдвига 6Q обладают все
«iV-мерные плотности вероятностей wnN, то говорят об однород-
однородных и однородно связанных (в (Э-пространстве) полях ?(П (I— 1,2,...
..., .V).
Понятие пространственной однородности для случайных по-
полей (инвариантность плотностей wn no отношению к простран-
х) Полное описание случайного поля достигается также при помощи харак-
характеристических функционалов, о которых пойдет речь в §7.
2) Однородность по времени принято называть стационарностью.
§ 1J ОСНОВНЫЕ ПОНЯТ�Я
9
ственному сдвигу г—>г + 6г) является естественным обобщением
понятия стационарности для случайных функций времени
(ч. I, § 16). Но многомерность пространства параметров х, у, г, t
открывает новые возможности, а именно: поле может быть по
части параметров однородным, а по остальным — неоднородным.
Например, наряду с полями, однородными в Q-пространстве,
иногда приходится иметь дело со стационарными, но простран-
пространственно, неоднородными полями или же однородными, но нестацио-
нестационарными полями. В волновых задачах часто встречаются поля,
однородные только на определенных поверхностях, скажем на
плоскости или на сфере.
Зная многомерные плотности вероятностей, можно вычислить
моменты случайного поля | любого порядка. В общем случае
эти моменты будут функциями координат: Qv=(tv, rv). Во мно-
многих вопросах наибольший интерес представляют наинизшие мо-
моменты (первого и второго порядка), с которыми оперирует кор-
корреляционная теория случайных полей. Основные понятия этой тео-
теории те же, что и в корреляционной теории случайных функций.
Среднее значение случайного поля g (Q) (момент первого по-
порядка) вычисляется при помощи одномерной плотности вероят-
вероятностей 0>х (?)'):
<? (?)> = $ 5^(1)4- (1.4)
Флуктуационную часть случайного поля |, т. е. величину |—<|>,
мы по-прежнему будем обозначать волнистой чертой сверху:
i^g-<?> = S-I. (1.5)
Смешанный момент второго порядка В| вычисляется при по-
помощи двумерной плотности вероятностей ffia(|j, 5г):
. Bt(Qlt Q1)-<1(Q1)|(Q,)>=SSEiE,В»,(5i, E,)В«*6idE,. (1-6)
Через нее же выражается и функция корреляции (точнее, функция
автокорреляции):
- JJ (Е,-<Е*»<Е.-<Е.»».(Ei. У dEi«, =
ej-<E«?i)><S «?•)>. 0-7)
Для случайных полей с нулевым средним значением функции
Bt(Qi, Qa) = <i(Q,)E(Q2)> и t&(Qi, Q.) совпадают. Дисперсия
*) Операция статистического усреднения обозначена здесь посредством
угловых скобок, но иногда, если это будет удобнее, мы будем пользоваться,
как и в ч. I, прямой чертой сверху, так что <|> =з |.
10 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. I
случайного поля ?>[?], т. е. средний квадрат флуктуации, равна
/)[E] = oi(Q)-<i'(C)> = <[EВ«?)-<Eв„–)>]*> = *e(Q. Q)- d-8)
51, Многомерное поле ?(" (Q) в рамках корреляционной теории
характеризуется совокупностью средних значений <?"' (Q)> и
матрицей моментов второго порядка с элементами
Р’Рї (1,2) = <В§">(1 )6В«*>(2)> (1.9)
или, что равносильно, — корреляционной матрицей с элементами
Для краткости аргументы <2j и Qa здесь заменены просто своими
номерами 1 и 2. Диагональные элементы корреляционной мат-
матрицы представляют собой функции автокорреляции ^w(l,2), a
недиагональные—функции взаимной корреляции т|1,ь(1,2) полей
ЦП и g<ft>_
Наряду с вещественными случайными нолями 1(Q), о кото-
которых шла речь выше, часто приходится рассматривать также комп-
комплексные поля
C(Q) = 6W) + В»4(Q). (I.")
где ? = Ке?иг)=1т ?—вещественные функции в Q-пространстве.
Полное статистическое описание комплексного случайного поля
?(<?) осуществляется заданием 2я-мерных плотностей вероятно-
вероятностей �1„ (llt ,.., Ъ„; т)а ту (п = 1,2, ...), через которые
выражаются вероятности
(С†, v=l,2. ...,/t)}
аналогично (1.1). Через aisn можно выразить любые моменты
комплексного случайного поля ? и, в частности, его низшие мо-
моменты. Последние представляют для рассматриваемых далее за-
задач наибольший интерес, так что мы лишь изредка будем вы-
выходить за пределы корреляционной теории случайных полей.
§ 2. Пространственные корреляционные [функции
комплексных случайных полей
Рассмотрим сначала случайные поля, зависящие только от
пространственных координат, т. е. не зависящие от времени.
К полям, зависящим также от времени, мы обратимся в § 6.
�так, пусть одномерное комплексное случайное поле зависит
только от г:
«2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦ�ОННЫЕ ФУНКЦ�� Ц
По определению корреляционная (автокорреляционная) функция
комплексного поля % равна
= <? (г,) ?• (rs)>-<? (Г1)> <?• (га)>. (2.1)
Положив здесь г, = г2 = г, получим дисперсию в точке г:
С‘*СЃ(Рі1 Рі). (2.2)
Многие свойства пространственной корреляционной функции
¦*Mri> гй) имеют аналоги в теории случайных процессов (ч. I,
§§ 14, 17, 18 и 38). Перечислим кратко эти свойства.
Корреляционная функция ^(г^ г2) является эрмитовой:
%(<-!, РіРі) = Р§(РўВ» ri). (2-3)
как это непосредственно следует из определения (2.1). В част-
частном случае вещественного случайного поля (? = ?•) корреляци-
корреляционная функция симметрична:
%(i\, rs) = i|>t(ra, rx). (2.4)
Далее, квадрат модуля iji^r,, га) никогда не превышает про-
произведения дисперсий оК^) и а|(г2):
|Фс(Г1. •",) |2<<г|(rjerf (r2) = г^с(г,, r,)^(r2, r2). (2.5)
�з (2.5) вытекает, в частности, что коэффициент корреляции
(иначе—нормированная корреляционная функция), определяемый
как
К-(г г)= фЕ(г"Гз) — ^(п.гг)
' " " OE(ri)(rj;(r2) /ifttrx, Р“,)^(Р“2, Р“,) ' (/-Р¬)
не превышает по модулю единицы:
(2.7)
следует,
что корреляционная функция ij'jfo, га) является положительно
определенной, т. е.
J S % (ri, «•«)«(«Ч)"' (г,)*M»/-S > 0, (2.8)
v
где и(г)—произвольная комплексная функция, aV—произволь-
aV—произвольная область интегрирования, для которых интеграл (2.8) суще-
существует.
�з неотрицательности величины (| J |(г) и(г)<Р
|2 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
Взаимной корреляционной функцией двух комплексных полей
(л (г) и v(r) называется величина
Wrj)>. (2.9)
Квадрат модуля 4>v не превышает произведения дисперсий oj,
Рё Р«,:
KO-,), (2.Р®)
что аналогично (2.5). Как следствие этого, взаимный коэффициент
корреляции
по модулю не превышает единицы: | K^v I ^ 1 ¦ Существенно, что,
в отличие от автокорреляционных функций, взаимная функция
корреляции i|5,n, не обладает ни свойством эрмитовости (2.3), ни
положительной определенностью (2.8), но при этом i|?v'r,, r2) —
= ЧЧи(г„ г,).
Наряду с iff (rlt г,) иногда полезно ввести еще одну автокор-
автокорреляционную функцию комплексного поля:
*t(r1,r1) = <E(rOt(f,)>. (2-12)
которая ранее (ч. I, § 38) была названа второй корреляционной
функцией. В отличие от ^(i-j, r2), т. е. от первой функции кор-
корреляции, определенной выражением (2.1), значение случайного
поля ?(г2) входит в (2.12) без комплексного сопряжения. Вторая
корреляционная функция симметрична относительно своих ар-
аргументов, ijij (r2, )"1) = ifj(r1, г2), а для вещественного поля ? она
совпадает, очевидно, с ^(г^ г,).
Череа первую и вторую функции корреляции t))j (r^ rs) и
x[)j{rj, г2) можно выразить автокорреляционные функции веще-
вещественной и мнимой частей комплексного поля ? = |-i-ii\:
1|>„ (г„ г,) = <л (г,) л (г2)>,
а также их взаимную функцию корреляции:
%л (Г1. г,) - <1 (rj ч (г,)> = Фп5 (г„ г,).
Заметим, что симметрии относительно аргументов г, и г, у функ-
функции %,,, вообще говоря, нет. �спользуя очевидные соотношения
!, га), 1 • '
S 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦ�ОННЫЕ ФУНКЦ�� 13
получаем следующие выражения для компонент корреляционной
матрицы вещественных полей ? (г) и г\ (г):
(14, Рі,) - V, Re Р“*; fa, Рі,) + \ fa, Рі,)],
r2) —ijjgfa, г„)],
E fa, ra)-fyfa, r2)], (Jl 4)
, r2)].
От аналогичных формул (38.3) в ч. I формулы (2.14) отличаются
только тем, что вместо моментов времени t и f в них фигури-
фигурируют радиусы-векторы г, и г2.
В случае статистически однородного (в широком смысле)
случайного поля ? инвариантность относительно сдвига г—>-r-f6r
должна выполняться только для среднего значения и для мо-
моментов второго порядка. �ными словами, должно быть
<?(Рі)> = <? (Рі+ Р±Рі)>, (2.15)
¦Фе fa .«-.) = *s fa + бг, r2 + 8r). (2.16)
Условие (2.15) означает, что <J> = const, т. е. среднее зна-
значение является постоянной величиной. Положивв (2.16) 8г = — г2,
находим, что ^jfa, i"2) = %fa — тг, 0), т. е. корреляционная функ-
функция -ij-g статистически однородного поля зависит только от раз-
разности rt — г2, но не от г1 и га порознь. Для краткости вместо
т|^(г,—г2, 0) принято писать просто i)ij(r):
4;(r)=<efa)e-fa-r)>. С‡ (2.17)
Подобным же образом (только без комплексного сопряжения)
записывается и вторая корреляционная функция ij^(r).
Дисперсия статистически однородного поля постоянна:
Рѕ|=<|РЎ(Рі)|'> = +СЃ(0), (2.18)
а общие свойства (2.3), (2.5) и (2.8) корреляционной функции
для статистически однородных полей принимают следующую
форму, аналогичную соотношениям для стационарных случайных
процессов:
*: (г) = ^S (-«•). (2Л9)
1*6 (Рі) |< of, (2.20)
Согласно (2.19)
(—r) = Ret|>;(r), 1шф:(—г) = —
г) = V, F*h (г) + Re % (г)], г|>„ (г) = V, [Чч (г) - Re ^ (r)J,
W ^(r) VInnji(r)
14 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
т. е. вещественная часть \f>j четна по г, а мнимая—нечетна.
Четность функции tyj (r) автоматически влечет за собой ее ве-
вещественность.
Вторая корреляционная функция, симметричная по своим
аргументам, для однородных полей становится четной: tJjj (—г) =
= (^(г). Для частного случая, когда четна не только вторая,
но и первая корреляционная функция, выражения (2.14) при-
принимают вид
(г) + Re % (г)] г|> (г) = V [Чч (г) Re ^ (r)J
�з этих соотношений следует, что вещественная' и мнимая части
? и ^комплексного статистически однородного поля ? = ?+ir|
тоже статистически однородны и, кроме того, однородно связаны.
Статистически однородные поля, у которых %(г) и ipg (г)
зависят только от модуля (но we от направления) вектора г =
= г, — г2, соединяющего точки гг и г2,
*;(>•) = +;('•). *е (г) = *;(»¦). (2-23)
где г = | г | = Yх% + i/a + za, называются статистически изотроп-
изотропными. Полноправного аналога изотропных полей в теории слу-
случайных процессов указать нельзя. Ограниченную аналогию можно
провести лишь со стационарными вещественными процессами, для
которых функция корреляции четна: 1()(т) = гр(|т|).
Для изотропных случайных полей корреляционная функция
всегда четна и, следовательно, всегда вещественна. �з (2.22)
следует, что если поле ? изотропно, то поля g = ReJn T] = Im?
изотропны и изотропно связаны между собой.
Примерами корреляционной функции однородного и изотроп-
изотропного случайного поля ? могут служить корреляционная функция
в виде гауссовой кривой
\pt(r)=ale-r'"l> (2.24)
и экспоненциальная функция корреляции
1|>{(Рі) = РѕРі|Рµ-''/'. (2.25)
В обоих примерах /—радиус корреляции поля, т. е. расстояние
г == [Fj—г2|, на котором tyi(r) уменьшается примерно вдвое по
сравнению с дисперсией о|. Для полей с функцией корреляции
произвольного вида эффективный (или интегральный) радиус
корреляции обычно определяется как
'.*4=-rj"i>s (')* =
* Рћ
S2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦ�ОННЫЕ ФУНКЦ�� J5
У гауссовой функции корреляции (2.24) 1,^=вУ1/1п1, а у эк-
экспоненциальной функции (2.25) /Вфф = /.
�ногда встречаются корреляционные функции, имеющие оп-
определенный масштаб изменения, но для которых эффективного
радиуса корреляции не существует из-за расходимости интеграла
в (2.26). Так обстоит дело, например, для функции корреляции
РІРёРґР°
, ^ < 1/2.
Хотя понятие радиуса корреляции (как и времени корреля-
корреляции для случайных процессов) часто оказывается полезным,
универсальное его определение, пригодное для флуктуации про-
произвольного вида, дать нельзя. Корреляционные функции часто
обладают не одним, а несколькими характерными масштабами,
как, например, быстро осциллирующая корреляционная функция
с плавно меняющейся огибающей, или же корреляционные функ-
функции анизотропных полей, к которым мы и перейдем.
У статистически однородных, но анизотропных полей функции
корреляции зависят не только от модуля, но и от направления
вектора г = г1—г,, как, скажем, в следующих двух примерах:
(2.28)
Анизотропные поля, очевидно, не имеют аналога в теории
случайных процессов. Расстояния, на которых значения анизо-
анизотропного случайного поля становятся некоррелированными, раз-
различны по разным направлениям. Так, для анизотропной гауссовой
корреляционной функции
которая является частным случаем функций вида (2.28), вели-
величины а, Ь и с характеризуют масштабы пространственной кор-
корреляции в направлениях х, у и г. Масштаб / для функций вида
(2.27) характеризует радиус корреляции в направлении, перпен-
перпендикулярном плоскости ах+ р^+тг = О, тогда как в самой этой
плоскости (и в параллельных ей) корреляция простирается до
бесконечности.
�ногда вместо статистической анизотропии говорят об анизо-
мерии случайных полей. Термин «анизомерныё флуктуации»
удобен в некоторых задачах электродинамики и теории упругости,
в которых речь идет о статистически анизотропных флуктуациях
параметров в анизотропных же средах, но пользоваться им нам
почти не придется.
16 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. I
Наряду с моментами первого и второго порядков, можно
ввести и высшие моменты комплексного случайного поля ?. При-
Принято определять (т +поточечный момент Вт„ (момент (m-fn)-ro
порядка) следующим образом:
>. (2.30)
Поле ? входит под знак усреднения т раз, а комплексно со-
сопряженное поле ?*—п раз. Для краткости вместо координат г,
здесь снова написаны только номера точек /, например, ? (т)
вместо ? (гт) и т. д. Моменты второго порядка В и В запишутся
в этих обозначениях следующим образом:
Р’(1,2) = Р’Рё1(1,2), ?(1,2) = РЇ,,,(1,2).. (2.31)
Некоторые простые свойства моментов ВЯ]Я вытекают непо-
непосредственно из определения. Так, очевидно, что В„,п(1, ...,п;
п, ..., 1)^0. При перестановках внутри первой (1, ...,т) и
второй (т + 1, ...,т + п) групп аргументов момент Bm,n не ме-
меняется, а комплексное сопряжение приводит к следующим изме-
изменениям в порядке следования аргументов и индексов:
Рї> .... 1). (2.32)
Эрмиговость В и симметрия В представляют собой частные
случаи этого тождества.
§ 3, Пространственные спектральные разложения
для однородных случайных полей
Запишем формальное разложение флуктуационной компоненты
однородного случайного поля \ (г) в трехкратный интеграл Фурье:
?(«•)= I Ше^&к. (3.1)
-ао
Здесь ?(к)—пространственная спектральная амплитуда (или,
короче k-амплитуда) поля ?, которая выражается через" ? (г) при
помощи обратного преобразования Фурье:
«о
= (-2Sjr J Ur)e-'"d>& (3.2)
— CD
�ногда вместо ? (к) используется более краткое обозначение ?к.
Спектральное разложение (3.1) мы назвали формальным по-
потому, что для неубывающей на бесконечности функции, какой
является однородное случайное поле |(г), трансформанты Фурье
§3] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 17
? (к) не существует. Для того чтобы придать спектральным раз-
разложениям таких случайных полей обычный математический смысл,
следовало бы предположить, что поле однородно в большой, но
конечной области V, вне которой оно достаточно быстро убывает
до нуля, и переходить к бесконечным размерам области V лишь
на последнем этапе расчетов, уже после статистического усред-
усреднения. Мы не будем, однако, пользоваться здесь такого рода
приемами (как мы не делали этого в аналогичной ситуации и
для спектральных разложений стационарных случайных процес-
процессов), а будем считать, что интегралы (3.!) и (3.2) существуют
в смысле вероятностной сходимости, а именно — в среднем квад-
квадратичном (ч. I, § 40).
Согласно (3.1) функция корреляции однородного случайного
поля i|.'E (ri — ги) Равна
РЄ (i-i-Рі*) = [ S <? (Рє') ?' (Рє")> ei(k'r'-k"r'> d'k' d*k". (3.3)
- РЎРћ
Спектральные амплитуды ? (к') и ?*(к") оказываются дельта-
коррелированными по к. В самом деле, в силу (3.2)
? (Рі,) I* (Рі2)> Рµ-'(Рє'Рі-Рє"Рі''dVt dY2.
Введем здесь новые переменные интегрирования r = rt — г2,
R = (г, + га)/2, для которых darLdsr2 = d3rd3R. Учитывая, что
после интегрирования по R получаем
<? (к') Г (к")> = Фс (к') S (к'-к"), (3.4)
РіРґРµ
ФС(к) = ^)з J %(г)е-^*г. (3.5)
Подставляя же (3.4) в (3.3), находим
РґР°
\ Рє'*/Рі. (3.6)
Функция Ф^(к) называется пространственной спектральной
плотностью (к-плотностью) или, короче, пространственным
1 спектром случайного однородного поля ? (г) и аналогична спек-
спектральной плотности (ш-плотности) g (ю) в теории стационарных
случайных процессов. Соотношение (3.5) представляет собой обоб-
обобщение теоремы Хинчина (ч. I, § 41) на случайные поля. Заме-
Заметим, что наряду с трехмерными спектральными разложениями
18 ОЁЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
иногда удобно использовать также одномерные и двумерные
спектральные разложения (см. задачи 2—4 в конце главы). Не-
Нетрудно убедиться, что пространственный спектр Ф;(к) является
вещественной и неотрицательной величиной. Вещественность
Фс(к) вытекает из (2.19), а неотрицательность—из положитель-
положительной определенности корреляционной функции.
В отличие от Ф^(к) взаимный пространственный спектр
»Аг)е-'к1<1*г, (3.7)
отвечающий взаимной корреляционной функции. %iV (г) двух ком-
комплексных полей ц (г) и v (г), в общем случае является комплексной
величиной.
Для четных корреляционных функций t|)t (— г) = ijjj (r), в част-
частности для функции корреляции вещественного или изотропного
поля, спектральная плотность тоже четна, Фс (— к) = Фс (к). В этом
случае т|); (г) и Ф{(к) связаны косинус-преобразованием Фурье:
ГС
fcW= \ В«*<k)coskr*fc, (3.8)
— CD
СЃРѕ
= jk? I *(г) сач kr d'r- (3-9}
— 00
В частном случае изотропного однородного случайного поля,
для которого i|'j(r) = i)5j('')) пространственная спектральная плот-
плотность зависит только от модуля вектора к. Для того чтобы это
показать, перейдем в (3.5) к полярным координатам (г, 9, ф)
с полярной осью, направленной по вектору к. Тогда кг = &r cos9
и мы получаем
1 d(p Isin e de I ^(r) e~"" cВ°s e 'Рі dr =
0
^] (3.10)
2^k]
Рѕ
Зависимость Ф{ только от k позволяет записать (3.6) и (3.8)
в более простом виде, а именно через однократный интеграл
по k. Вводя сферические координаты в пространстве волновых
векторов к (с полярной осью по вектору г), после интегрирова-
интегрирования по угловым переменным получаем
(3.11)
$3] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 19
Приведем в качестве примера значение пространственного
спектра <Dj (к) однородного и изотропного случайного поля с гаус-
гауссовой функцией корреляции (2.24):
Фс(А) = (2я)-'/.а|/»е-'/.*1'1, (3.12)
и с экспоненциальной функцией корреляции (2.25):
(ЗЛЗ)
Эти выражения можно получить при помощи любой из формул
(3.5), (3.9) или, что проще всего, (3.10).
�з этих примеров видно, что «неопределенность» (ширина)
спектра Дй обратно пропорциональна радиусу корреляции слу-
случайного поля: Aft~l//. Но I характеризует «неопределенность»
(ширину) Аг корреляционной функции, которая существенно
отличается от нуля лишь при г^;Дг~/. В результате для изо-
изотропных случайных полей можно формулировать соотношение
неопределенностей (т. е. размытостей)
AfeAr>l, (3.14)
которое является аналогом соотношения ДоДО! для случай-
случайных процессов (ч. I, § 44). Согласно (3.14) коротко коррелиро-
коррелированным полям (Дг — I мало) отвечают широкие пространственные
спектры (ДА велико), тогда как при больших радиусах корре-
корреляции ширина спектра мала.
Для анизотропных полей неопределенности (радиусы корре-
корреляции) по разным направлениям неодинаковы, и для них вместо
одного неравенства (в.14) выполняются сразу три неравенства:
Afe^Ar^l, AkvHru7s\, Skzhr2^\. (3.15)
Для иллюстрации этих соотношений можно привести про-
пространственный спектр, отвечающий гауссовой корреляционной
функции (2.29):
Ф;(к)= -^^ехр{-1(а»# + Ь«й« + с»*э} • (3.16)
Ширина этого спектра по осям kx, ky, hz обратно пропорцио-
пропорциональна соответственно величинам а, & и с, которые характери-
характеризуют масштаб изменения корреляционной функции (2.29) по осям
С…, Сѓ Рё Рі.
Для существования 4'с(г)> т- е. для существования интеграла
в правой части (3.8) и (3.11), необходимо, с одной стороны,
чтобы с ростом k спектральная плотность Ф^(к) убывала быст-
быстрее ?'. С другой стороны, при k—>-0 у спектра Ф^(к) допустимо
наличие степенной особенности вида fe~a с а < 3.
20 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
В тесной связи с условиями существования корреляционной
функции находится вопрос о требованиях, которым должен под-
подчиняться спектр дифференцируемых случайных полей. Так же,
как и в теории случайных процессов (ч. I, § 19), можно убедить-
убедиться, что необходимое и достаточное условие существования (разу-
(разумеется, в среднем квадратичном) первых пространственных произ-
производных, например v?(r)> сводится к существованию величины
<XZ («Ч) V?* (r2)> = — Лт|>? (i\—rs). (3.17)
Если подставить сюда спектральное разложение (3.6) и поло-
положить r1 = r2 = r, то условие существования у? запишется в виде
<J VS (г> |а> = — Д1>? (0) = \ Й2ФЕ (k) <Pk<oo. (3.18)
Это условие допускает при ft—>0 степенные особенности вида
©j(k)-~ft~a более высокого порядка, чем это требуется для
существования i|Jj(r): интеграл (3.18) сходится, если а < 5, тогда
как для сходимости интеграла (3.6) допустимы лишь а < 3. В то
же время условие (3.18) предъявляет более жесткое требование
к скорости убывания Ф^(к) при k—уоо. Необходимо, чтобы
Ф^ (к) с ростом к убывало, как ft" с ц > 5 (для существования
\J)j (г) необходимо лишь ц, > 3). Последнему условию не удовлетво-
удовлетворяет, например, случайное поле с экспоненциальной функцией
корреляции (2.25), поскольку его спектральная плотность (3.13)
убывает на бесконечности недостаточно быстро (как fe~4). Сле-
Следовательно, такое поле недифференцируемо.
Еще более жесткие требования при k —>- оо предъявляет
к Ф{,(к) существование у случайного поля производных п-го
порядка. �з условия <| V"? (г) |2> < оо следует, что должно вы-
выполняться неравенство
[ &2"ФЕ (k) d*k < оо, (3.19)
так что с ростом k спектр Ф^(к) должен убывать быстрее, чем
fc-з-гп Очевидно, для бесконечно дифференцируемого поля Ф;(к)
должно уменьшаться при fe-^-oo быстрее любой отрицательной
степени к, например, экспоненциально. Таким является, напри-
например, случайное поле с гауссовой корреляционной функцией (2.24).
Примером спектра, спадающего более медленно (чем по эк-
экспоненте), но быстрее любого \jkm, может служить функция
Ф? (ft) = С ехр {— (In ft)2} = Ck~^ x,
для которой при любом конечном т
&М!ФС (ft) dk = Vn exp
$.(] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 21
§ 4. Локально однородные случайные поля
Случайное комплексное поле ? (г) можно характеризовать не
только корреляционной функцией (2.1), но и так называемой
структурной функцией, которая представляет собой средний
квадрат модуля приращения флуктуационной компоненты ? (г)
поля ?(г):
Dt (г„ г2) = <\\ (г,) -\ (г,) |> >. (4.1)
Очевидно, при rt = r2 структурная функция обращается в нуль,
D5(ri> Рі,) = 0.
Если структурная функция D^^ г2) и приращение среднего
поля fc(r1} r2) = <S(r1)> —<J(r2)> зависят только от разности
Dt(r,, rJ-Dth-r,), /t(rIt r.J^/tfr,—г.), (4.2)
то такие поля называют локально однородными. Понятие локально
однородных полей ввел А. Н. Колмогоров [3, 4], а термин «струк-
«структурная функция» был предложен позднее А. М. Обуховым. Усло-
Условия локальной однородности налагают определенные ограничения
на моменты приращений ? (г), т. е. разностей значений поля
в двух точках г, и г2, а не на моменты самих этих значений
?(гх) и ?(г2). В силу полной аналогии таких полей со случай-
случайными процессами со стационарными (первыми) приращениями
(ч. I, § 56) можно было бы назвать локально однородное поле
также случайным полем с однородными приращениями, но это
название не получило распространения.
Требованию однородности величины/vfo, Г2) = <?(г,)> — <?(г,)>
можно удовлетворить,„только если среднее поле линейно зави-
зависит от г: <?(r)> = <a>r + const, где а —произвольный вектор,
который может быть и не случайным. Действительно, при ли-
линейной зависимости <Цт)> от г имеем
Ы»Ч. 1"2) = <а>(г1-г2)-/Е(г1-га).
Если у поля существует корреляционная функция ipi(rlt r2) =
= <? (О ?• (г,)>, то, согласно (4.1),
Dz(г,, г2) = i|)E (г„ г,) + i|>t(г„ г,)-фс(14, ig-ift(г„ rj. (4.3)
В частности, для одтгородного поля ?(г) имеем из (4.3)
(4.4)
Важным преимуществом структурной функции является то, что
эна может сохранять смысл и в том более общем случае, когда
корреляционной функции не существует. Ситуация здесь такая
же, как для случайных процессов (стационарные процессы пред-
22 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
ставляют собой частный случай процессов со стационарными
приращениями). Аналогия становится еще более полной, если
речь идет о локально однородных и изотропных полях. Под этим
понимаются случайные поля, у которых Dj(r) и /;(г) зависят
только от модуля вектора г = гх—г2:
?>;(Рі) = ?>5(Рі), /t(r)-ft(r). (4.5)
Второе из этих условий удовлетворяться, если <а> = 0, т. е.
вектор а обладает изотропным распределением в пространстве.
В приложениях и, в частности, в теории атмосферной турбу-
турбулентности часто можно считать равным нулю сам вектор а. Так
или иначе, среднее значение локально однородного и изотроп-
изотропного поля постоянно: <?> = const. Для однородного и изотроп-
изотропного случайного поля равенство (4.4) принимает вид
(4.6)
причем ?>?(/¦) и i]Jj(r) вещественны. Если i|'t(r) при г—>«> исче-
исчезает, то ?>Е (оо) = 2фс (0), что позволяет выразить tfc (r) через Z>j (r):
4() '/[r>()l-D:(r)]. (4.7)
Важное свойство структурной функции состоит в том, что на
нее не влияют большие по пространственной протяженности
флуктуации ?, т. е. флуктуации с характерным размером l^> r=
= | га—г, |. Обусловленные такими флуктуациями возмущения
практически одинаковы в точках гх и г2, разность ?(г,)— ?(г2)
для них мала и, соответственно, мал их вклад в D^(r). Корре-
Корреляционная же функция в равной мере учитывает флуктуации
любого масштаба. �менно поэтому использование структурной,
а не корреляционной функции оказывается физически оправдан-
оправданным в тех случаях, когда крупномасштабные флуктуации поля
не сказываются на интересующих нас явлениях. Это вовсе не
означает, что такие флуктуации отсутствуют. Напротив, их доля
в результирующих флуктуационных возмущениях может быть
даже велика, но для наблюдаемых явлении они несущественны.
Примером может служить статистическая теория развитой
турбулентности [1, 2], т. е. такого вихревого движения газа или
жидкости, в котором присутствуют вихри с очень широким диа-
диапазоном размеров I. Наиболее интересными по своим внутренним
закономерностям здесь оказываются вихри, значительно усту-
уступающие по размерам тем наиболее крупным вихрям (размера Lo,
так называемого внешнего масштаба турбулентности), которые
порождены первичным потоком и еще сильно зависят от его
геометрических и кинематических особенностей. �менно для
субдиапазона 1<^LO A. H. Колмогоров ввел понятие локальной
однородности случайного поля и предложил для его статисти-
54 Локально однородные случайные поля 23
ческого описания функцию ?>g, которая просто исключает крупно-
крупномасштабные неоднородности из рассмотрения.
Тем самым, предположение об однородности, если оно де-
делается для ?)j, гораздо менее обременительно, т. е. оно позво-
позволяет охватить класс случайных полей (локально однородные
поля) более широкий, чем такое же предположение для фЕ (одно-
(однородные поля).
Обратимся к пространственным спектральным разложениям
локально однородных полей. По аналогии со спектральными раз-
разложениями для процессов со стационарными случайными при-
приращениями (ч. I, § 56) имеем
Dt (г) = 2 J Ф; (k) (I —cos кг) dsk. (4.8)
�нтеграл (4.8) сходится, если при k—>-0 спектр Ф{(/г) имеет
степенную особенность вида k~a с а < 5, тогда как существова-
существование i)i[(r) обеспечено лишь при а < 3.
Формула обращения разложения (4.8) в случае^локально од-
однородных полей получается несколько.[более сложным путем,
чем для однородных^ полей, Сначала^надо продифференциро-
продифференцировать (4.8) по г и только после этого применить обратное пре-
преобразование Фурье. Мы получаем тогда, что
(4.9)
Для изотропного поля, переходя в (4.8) и (4.9) к сферическим
координатам и учитывая, что kV-Dj (г) = kr D' (г)/г (штрих обозна-
обозначает производную по г), находим
()В©t(A)ft>dft, (4.10)
09
=-~ В§ (sm kr-kr cos kr)Di(r) dr. (4.11)
0
Рассмотрим в качестве примера локально однородного и изот-
изотропного поля пространственные флуктуации диэлектрической
проницаемости е турбулентной атмосферы. Структурная функ-
функция этих флуктуации
О. (г) — <| 5 (rj —i (г.) |«>
подчиняется при достаточно больших г «закону двух третей»
Колмогорова —Обухова [1]:
Oe(r)В«C|rV., r>/0> (4.12)
24
ОВЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
(ГЛ. 1
где Се—так называемая структурная постоянная, а ^—внутрен-
^—внутренний масштаб турбулентности1). При малых, же г, т. е. г<^/0,
структурная функция нарастает по квадратичному закону:
Л.(г)«СУ.-'ЛЛ r^t,. (4.13)
Внутренний масштаб 1„ входит в формулы (4.12) и (4.13) так,
что значения обоих асимптотических выражений одинаковы при
Рћ I
Р РёСЃ. 1.
r —Iq. Соответствующие графики показаны на рис. 1 пунктир-
пунктирными кривыми, а сплошной линией изображен реальный ход
структурной функции ?>8(г).
Подобрать слекгр, отвечающий реальному ходу структурной
функции De(r), можно из следующих соображений. Для степен-
степенной структурной функции
РЎ*РіВ», 0<|С…<2, (4.14)
(4.15)
(4.16)
пространственная спектральная плотность равна [1]
так что «закону двух третей» (|л = г/8) отвечает спектр
С„, (Рє) =
Р“ В¦('
C\k-"i> = 0,033C|fe-"/..
Для того чтобы получить квадратичный ход Ds (r) при малых
значениях г<^1а, следует подавить спектральную плотность (4.16)
1) В противоположность внешнему масштабу Ц внутренний масштаб /„ •
это наименьший размер вихрей. Возмущения с / < /0 уже ламинарны.
§ 41 ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 25
при больших значениях /г^>1//„. Физически эта операция ото-
отображает диссипацию турбулентных вихрей из-за вязкости, когда
их масштаб l/fc становится малым (l/fe<^f0). Подавление плотно-
плотности (4.16) при больших k можно осуществить, например, путем
введения множителя e~k'lv'm, т. е. полагая
/В»e-6V'u. (4.17)
Получаемая отсюда структурная функция De{r) будет обладать
требуемой асимптотикой (4.12), (4.13), если параметр обреза-
обрезания хт взять равным б,92//0. Она хорошо описывает турбулент-
турбулентное поле при не слишком больших значениях г—не превышаю-
превышающих внешнего масштаба турбулентности Lo. В действительности
же при r^>L0 структурная функция «насыщается» (см. рис. 1)
и стремится к конечному значению, которое удобно записать
РІ РІРёРґРµ
De(oc) = ClLl>\ (4.18)
Если значение Lo вводится таким путем, то кривая (4.12) пере-
пересекает уровень De — De(<x>) как раз при r=La. Согласно (4.6)
предельное значение (4.18) равно 2сг|—удвоенному среднему
квадрату флуктуации: C|Z/0/' = 2o|.
В результате мы приходим к тому, что структурную функ-
функцию Dc(r) можно аппроксимировать на отдельных интервалах г
следующими функциями:
=2el (r/L0)''В». /0<-g/-<gLg, (4.19)
Ограниченность структурной функции при г —>• оо можно от-
отразить и в (4.17), заменив множитель ft-"/» на (ft'+ »<$)-".'•, где
xo — 2nlLo—волновое число, отвечающее внешнему масштабу тур-
турбулентности. При такой замене, т. е. при спектральной плотно-
плотности
Фе (ft) = 0,033C| (ft2 + xj)- "/«<Г*!/К«, (4.20)
значения интегралов (4.8) и (4.10) будут конечны при любых г.
Конечно, поведение флуктуации е в реальной турбулентной
атмосфере подчинено более сложным закономерностям, чем при-
приведенные здесь аппроксимации. Тем не менее формула (4.20)
достаточно хорошо описывает пространственный спектр турбу-
турбулентных флуктуации е во многих задачах радиофизики.
Систематическое изложение вопросов, относящихся к стати-
статистической гидродинамике, можно найти в монографиях [1, 2].
26 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
§ 5. Квазиоднородные поля
�деализация реальных неоднородных случайных полей при
помощи рассмотренных выше локально однородных полей, описы-
описывающих довольно специальный вид уклонений от однородности,
далеко не всегда применима. Поэтому особое значение приобре-
приобретает рассмотрение и других специальных случаев нарушения
однородности. Сюда относится, в 'частности, класс полей, не-
неоднородность которых в определенном смысле пространственно
медленна, или, иначе говоря, плавна, а в остальном произвольна.
Это так называемые статистически квазиоднородные поля, т. е.
поля с плавно меняющимися статистическими характеристиками —
средними значениями, дисперсиями и т. д. Очевидно, они пред-
представляют собой пространственный аналог квазистационарных
случайных процессов, рассмотренных в ч. I, § 57,
Согласно (2.6) в общем случае корреляционная функция свя-
связана с коэффициентом корреляции К,% соотношением
rl, rt),
которое в координатах т = т1 — г2 и R = (r1 + r2)/2 принимает вид
2)cc(R-r/2)/CE(r, R). (5.1)
Если 1%— радиус корреляции поля ? (масштаб изменения Kj(r, R)
по разностному аргументу г = г1—г,), а L—характерный масштаб
изменения дисперсии <з\, среднего поля <?> и коэффициента кор-
корреляции /<? по аргументу R, то для квазиоднородных полей
выполняется неравенство
(5.2)
В силу (5.2) можно заменить в формуле (5.1) произведение
U;(R +г/2) <t^(R—г/2) на о|. Такая замена безусловно справед-
справедлива внутри сферы радиуса г^.1^, что же касается пространства
вне этой сферы, то там значение множителя при /Cj несущест-
несущественно, так как А^(г, R)—>-0 при г^>/г. Таким образом, мы при-
приходим к следующему выражению для функции корреляции квази-
квазиоднородного поля:
R). (5.3)
Поскольку квазиоднородность представляет собой нарушение
строгой однородности, дельта-корреляция спектральных ампли-
амплитуд Цк) теперь уже не имеет места, подобно тому как нет
дельта-корреляции для со-амплитуд в случае квазистационарных
случайных процессов (ч. I, § 57).
Рассматривая спектральные разложения'таких процессов (ч. I,
§ 57), мы выяснили, однако, что в случае квазистационарных
процессов определенный физический смысл приобретает мгновен-
S 61 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 2?
ный частотный спектр g(<a, t), получающийся при спектральном
разложении функции корреляции i]) (т, t) только по «быстрой»
переменной x = tt —12. To же справедливо и для квазиоднород-
квазиоднородных полей. Записав преобразование Фурье только по разностной
переменной г = Г! — гг:
¦ф;(г, R)= $ ФЕ(к, R)eikr*fe, (5.4)
можно рассматривать величину
С„; (Рє, R) - С‰$Рі J ^ (r- R) e"'"r dv <5-5)
как локальную пространственную спектральную плотность, ко-
которая медленно меняется от одной точки R к другой (с харак-
характерным масштабом L§>/^).
Естественно, напрашивается сочетание обоих видов нарушения
пространственной однородности, т. е. локальной однрродности
и квазиоднородности. Такого рода поля можно было бы назвать
локально квазиоднородными, определив их как поля, первые при-
приращения которых квазиоднородны. Примером локально квазиодно-
родното (и изотропного) поля может служить рассмотренное
в [1] поле флуктуации диэлектрической проницаемости в (г)
в плавно неоднородной по высоте г турбулентной атмосфере.
§ 6. Пространственно-временные спектральные разложения
случайных полей
До сих пор мы отвлекались от временной зависимости слу-
случайных полей с тем, чтобы оттенить особенности, обусловленные
зависимостью полей от нескольких пространственных координат
и отсутствующие у однопараметрических случайных функций.
Конечно, при учете зависимости случайных полей также от
времени возникает ряд новых возможностей в отношении раз-
различных комбинаций пространственных и временных статистиче-
статистических свойств поля J (t, r) (стационарности по t, однородности
по г и разных видов отклонений от стационарности и однород-
однородности), о чем мы уже упоминали в § 1. Однако использование
четырехмерных (пространственно-временных) гармонических раз-
разложений t, (t, г) с формальной стороны осуществляется довольно
очевидным образом и соответствующие обобщения вряд ли тре-
требуют подробного описания. Мы приведем лишь некоторые наи-
наиболее важные соотношения и формулы, которые понадобятся нам
в дальнейшем.
28 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
Запишем для флуктуации одномерного случайного поля ? (/, г)
четырехмерное спектральное разложение:
Рі) = Р�
где?(о>, к)—шк-амплитуда (точнее, амплитудная плотность) поля,
иногда обозначаемая ?^к. В отличие от ч. I, где в гармонических
разложениях процессов вводился временной фактор е'^', в дан-
данной части книги зависимость от времени мы будем описывать
множителем е~ш, так как при рассмотрении волновых явлений
удобнее оперировать с пространственным гармоническим мно-
множителем е1кг, а не e~ikr. В связи с этим при использовании тех
или иных комплексных выражений из ч. I надо заменять в них
«со на —ш.
У однородного и стационарного случайного поля спектраль-
спектральные амплитуды ? (<&', к') и ? (со", к") дельта-коррелированы как
по ш, так и по к:
<?(<в', к')?*(ю\ k°)> = Gt(w', к')б(ш'—w")fi(k' —к"). (6.2)
Здесь Ge(g>, к) — пространственно-временной спектр поля (или
wk-плотность), который всегда неотрицателен. �ногда представ-
представляют этот спектр в виде G[(w, к) = |?Шк|2, но следует помнить,
что это лишь иное обозначение множителя при дельта-функциях.
Пространственно-временная корреляционная функция Ч^ (т, г)
связана с юк-плотностью Gj(<o, к) преобразованием Фурье:
ЧЧ(т, г) =
= 55°г(ш. k)e((kl-'«)dcod3fe (6.3)
(обобщение теоремы Хинчина). Обратное преобразование Фурье:
G;(eo, k)=—L-fCY^T, г) е-1 »'-<«) dtd'r. (6.4)
В случае четной корреляционной функции, *F(— т, —г) = гР'(т, г),
экспоненту в этих разложениях можно заменить на cos (кг—<вт).
Через wk-плотность Gj(oa, к) можно выразить как простран-
пространственный Ф^(к), так и временной (частотный) gf(oJ) спектры
случайного поля:
Р¤{(Рє)= J G:(ft), k)Ae= J VE(0, r)e-(krdV, (6.5)
— oo — cc
CO В»
5 )d<>fc= J ^((С‚, O)e(UTdT. (6.6)
§61 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 29
В качестве примера рассмотрим поле с так называемыми
«замороженными» неоднородностями, т. е. поле, в котором все
временные изменения ?,(t,t) обусловлены только перемещением
пространственных возмущений х (г) с постоянной скоростью V.
Если покоящееся однородное случайное поле v (г) описывается
пространственной корреляционной функцией 1|\(г), то при не-
нерелятивистских значениях скорости1) ?(/, r) = v(r — \t), и тогда
У;(Т, Г) = ЫГ-УТ). (67)
Подставляя (6.7) в (6.4), находим простую связь между ик-
плотностью Gj(w, к) «замороженного» поля 1,(1,т) и простран-
пространственной спектральной плотностью <t>v (k) покоящегося поля v (г):
Gc(o), k)=(l\,(k)8(w — kv). (6.8)
При помощи (6.5) и (6.8) легко убедиться, что
Р¤;(Рє)=Рћ\,(Рє), (6.9)
т. е. пространственные спектры полей ?(/, г) и v (г) совпадают.
Что же касается временного спектра флуктуации t(^,r),. то из
(6.6) и (6.8) находим
= j dkn
где k\\ и k^—продольная и поперечная (по отношению к век-
вектору скорости v) составляющие волнового вектора к. Выражение
(6.10) упрощается в случае изотропного поля v(r), когда
<DV (Ац, kx) = ®v(VAft|| + fe'i). Переходя в (6.10) к полярным коор-
координатам и вводя вместо fej_ новую переменную интегрирования
x = ]/(co/t')2 + fe^, получаем
J В«Wxdn (6.11)
I Рћ I/O
Дифференцируя (6.11) по ш, нетрудно выразить пространственный
спектр замороженного изотропного поля ФЕ (к) = Ф7 (fe) через
частотный спектр ()
(6.12)
Об особенностях релятивистского случая см. в задаче 7.
30 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Й О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
Формулы типа (6.11) и (6.12) часто используются при анализе
полей, которые можно с достаточной точностью считать заморо-
замороженными.
Сказанное выше относительно спектральных разложений одно-
одномерных полей легко переносится на многомерное поле ?"'*(/, г)
(i=l,2, . . ., п). Наиболее простыми свойствами обладают поля
однородные и однородно связанные (в широком смысле) в прост-
пространстве Q = (t, г).
В случае векторного поля t,U) элементы корреляционной матри-
матрицы Ч"$ трансформируются при ортогональных преобразованиях
координат как компоненты л-мерного тензора второго ранга,
т. е. можно говорить о корреляционном тензоре векторного поля.
Для однородных и изотропных векторных полей доказан ряд
изящных теорем, часть которых сформулирована в задачах
8—10.
Разложение многомерного случайного поля t,U)(t,r) в инте-
интеграл Фурье имеет вид, аналогичный (6.1); при этом для одно-
однородного и стационарного поля выполняется равенство
<?,•(«', k')S/K> k")> = G(,5'(«>', k')6(w' — (o")8(k' — k"), (6.13)
которое естественно приводит к обобщению теоремы Хинчина
на многомерные пространственно-временные поля:
СЃРѕ
Р§"# (С‚, Рі) = f ? Gft (СЃРѕ, Рє) Рµ'<РєРі-С€" dm d'k (6.14)
с обратным преобразованием
(Рё, Рє) = JL-JJy#(t, r)e-В«*-">dx#r. (6.15)
Корреляционная матрица многомерного поля Tjp положи-
положительно определена. Отсюда вытекает, что диагональные компо-
компоненты матрицы (ok-плотности вещественны и неотрицательны:
G'Jj'fffl, к)!> 0. Недиагональные же элементы в общем случае
комплексны.
Отметим теперь следующее существенное обстоятельство. Об-
Область интегрирования по а и к в разложениях Фурье самих
полей, равно как и их корреляционных функций (6.3) и (6.14),
вообще говоря, четырехмерна. Но в том случае, когда рассмат-
рассматриваемые поля удовлетворяют некоторым динамическим уравне-
уравнениям (в частности, волновым уравнениям) в однородной и ста-
стационарной среде, свободной от источников (т. е. сами уравнения
однородны), то а и к уже не независимы, а подчинены так на-
называемому дисперсионному уравнению:
Рђ (РґР°, Рє) = 0. (6.16)
j6} ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 31
Это уравнение следует из требования, чтобы плоская монохро-
монохроматическая волна exp (tkr—Hot) была собственной волной, т. е.
была частным решением динамических уравнений.
Говоря на геометрическом языке, дисперсионное уравнение
описывает в пространстве (со, к) некую трехмерную гиперповерх-
гиперповерхность—дисперсионную поверхность, — которая может быть и
многолистной (например, в анизотропной среде). Вне точек этой
гиперповерхности cok-амплитуды полей равны нулю, а значит,
равны нулю и спектральные плотности в (6.3) и (6.14). Другими
словами, t(1)(u), k) и С$'(ю, к) содержат множителем дельта-функ-
цию 6[Д(со, к)] и, соответственно, снижается кратность инте-
интегралов Фурье: они распространяются фактически только, на дис-
дисперсионную поверхность (всю или ее участки), т. е. на со и к,
удовлетворяющие дисперсионному уравнению. Уже в следующей
главе мы непосредственно столкнемся с этим обстоятельством.
В тех случаях, когда стационарное поле ? (t, г) является,
как функция от t, эргодическим (ч. I, § 20), угловые скобки
в предыдущих выражениях можно трактовать (в смысле вероят-
вероятностной сходимости) как усреднение по времени, т. е. считать,
например, что для произвольной детерминированной функции
практически справедливо равенство
С‚
r)]>= Ш^ЩГ^^^^г J f[t,(t, г)] Л, (6.17)
причем для получения средних по ансамблю путем временного
усреднения можно с достаточной точностью ограничиваться ко-
конечными Т, существенно превышающими время корреляции
~РєРѕСЂ-
7>W (6-18)
Наряду с эргодичностью по времени, можно ввести понятие
пространственной и пространственно-временной эргодичности.
Так, для однородных пространственно эргодических полей сред-
средние по ансамблю «совпадают» в смысле сходимости по вероят-
вероятности со средними по пространству. Практически это означает,
что_ для произвольной детерминированной функции / можно счи-
считать справедливым равенство
где V—пространственная область, по которой ведется усредне-
усреднение. Предельный переход V—-*оо опять-таки может быть при-
приостановлен на областях V, поперечник [которых L велик
по сравнению с радиусом корреляции lz, т. е. выполняется
32 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
неравенство, аналогичное (6.18):
Р› ~ V'/С„./Р•. (6.20)
О пространственно-временной эргодичности стационарных и
однородных полей говорят тогда, когда имеет место сходимость
но вероятности как при Т—>-оо,таки при V—>», что практи-
практически означает одновременное выполнение равенств (6.17) и (6.19).
Возможны также случаи, когда поле ? (t, г) является эргодиче-
ским только по части пространственных аргументов, например
только в плоскости (х, у) или только на поверхности сферы.
Наконец, иногда удобно пользоваться понятием квазиэргоди-
ческих полей, которые находятся по отношению к эргодическим
полям в таком же положении, как квазиоднородные поля по
отношению к однородным. �ными словами, эти поля являются
эргодическими лишь в объемах, малых по сравнению с харак-
характерными масштабами L; изменения статистических характеристик
поля (среднего значения, дисперсии и т. д.). В отличие от (6.19),
область пространственного усреднения для квазиэргодических
полей должна быть ограничена сверху масштабом Lj, но при
этом должно по-прежнему выполняться неравенство (6.20). Сле-
Следовательно, о квазиэргодичности полей можно говорить лишь
при таких условиях, когда можно ввести объем усреднения V,
который удовлетворял бы двухстороннему неравенству
Ll>V'/-$>lt. (6.21)
В феноменологической физике V называют обычно «физически
бесконечно малым объемом». Этот объем должен быть, с одной
стороны, достаточно малым, чтобы в его пределах исследуемые
поля были статистически однородными (в механике и электро-
электродинамике сплошных сред обычно требуется лишь постоянство
в объеме V средних полей), а с другой — настолько большим,
чтобы в пределах V поле ? испытывало достаточно много про-
пространственных флуктуации.
В физике сплошных сред под /j следует понимать среднее
расстояние между источниками возмущений, которыми могут
быть отдельные молекулы, дислокации, вкрапления и т. д. Если
п — концентрация молекул (или других возмущающих объектов),
то /j ~ п.-'/•, и тогда неравенство У'»^-/; принимает видя�^>1,
что и отвечает большому числу молекул в физически бесконечно
малом объеме V. При выполнении этого неравенства усреднение
по ансамблю молекул можно заменять усреднением по малой
пространственной области V. Таким образом, в макроскопической
физике существенно используется предположение о пространст-
пространственной квазиэргодичности тех или иных полей, характеризующих
состояние сплошных сред.
$ 7] ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 33
§ 7. Функциональный метод описания случайных полей
Как мы знаем, полное описание вещественной случайной
величины ? дается ее характеристической функцией фе(и) =
= <ехр (iti%f>, при помощи которой можно найти как плотность
вероятностей |, так и моменты разного порядка, а также ку-
кумулянты.
Для W-мерной случайной величины ? = {|„ .--. 5дг} характе-
характеристическая функция имеет вид <p$(«) = <exp(fu$)>, где и? =
N
= 2 иЛ/ и тоже содержит всю информацию о совокупности
случайных величин 1, (ч. I, § 9).
При рассмотрении общих вопросов, обсуждаемых в данном
параграфе, целесообразно отказаться на время от ограничения"
числа параметров, от которых зависят интересующие нас функ-
функции, и'вернуться от четырех координат х, у, г, t к п-мерному
пространству параметров х= {х^ хп). Пусть \ (*„ ..., хп) =
= |(х)—вещественное случайное поле в этом пространстве
(в частном случае единственного параметра, п=1, мы будем,
как и ранее, обычно считать, что параметр х является временем t).
Рассмотрим теперь другой, по существу равносильный, но во
многих задачах более удобный и лаконичный способ задания
случайных функций—при помощи так называемых характери-
характеристических функционалов. Убедимся прежде всего, что полное
вероятностное описание поля |(х) дается характеристическим
функционалам
ФГ«]«(ехр {*$!(*) «(*)*<}). dx = dXl...dxn. (7.1)
Здеськ(х)—произвольная функция, для которой интеграл в (7.1)
сходится при всех возможных реализациях S (х). Функция а (х)
заменяет дискретную совокупность переменных и = {ц1? ..., и^},
от которых зависит характеристическая функция для jV-мерной
случайной величины !={ii, ..-, ?яЬ Подчеркнем, что/функцио-
нал Ф\и] должен быть известен для любой функции «(х).
Зная Ф\а\, можно получить характеристическую функцию
для любой совокупности случайных величин |( = 1 (хт), .... ?у=
«= |(хл.). Для этого достаточно взять в качестве аргумента «(х)
функционала Ф[м] функцию вида
f«y(*) = «i8*(x—х,) + ... + Uffi (x—xN).
РўРѕРіРґР°
2 С, М. Рытоя н др. 1. II
34 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
и функционал Ф[и\ превращается в характеристическую функ-
функцию ^-мерной случайной величины {^ %N}, т. е. значений
поля ? (х) в N точках xt, ..., х^:
Но характеристическая функция ф(и,, ...,un) позволяет, как
мы знаем, найти ^-мерную плотность вероятностей a>yv(En • • • > 5лг)-
Тем самым, ясно, что характеристический функционал Ф[и] одно-
однозначно определяет плотности wN(?,,, ..., |^) при любом N и при
любом выборе точек xt, ...,хл-, т. е. полностью определяет слу-
случайное поле ? (х).
Зная функционал Ф[ы], мы можем найти также моменты
(в частности, корреляционные функции) и другие статистические
характеристики случайного поля |(х). Однако для этого необхо-
необходимо уметь дифференцировать функционал Ф[и] по функциональ-
функциональному аргументу ы(х). Поэтому часть этого параграфа будет по-
посвящена чисто математическим вопросам, касающимся функ-
функционалов.
Прежде всего дадим оби^ее определение функционала. Мы
говорим, что функционал задан, если установлено правило, по
которому каждой функции, принадлежащей области определения
функционала, сопоставлено число, называемое значением функцио-
функционала на этой функции. Приведем некоторые примеры функцио-
функциоFN\u] = \ АА,(х„ ..., хЛ,) и (х2) ... и (хд,) dx,... dxN,
Фо [и] = ехр {—\/2 \ I i|j (х,, х.) и (х,) и (х,) dx, dx.) .
Здесь FJu]—линейный функционал, FN[u] функционал ЛГ-й
степени, Фо[«]—гауссов функционал (ниже будет показано, что
Фо[«] — характеристический функционал для гауссовых случай-
случайных полей). Отметим, что функционал зависит от вида функции
и (х) в целом (т. е. от ее поведения во всем пространстве х),
в силу чего в обозначении F \и\ мы не пишем явно зависимости
и от ее аргумента х. В тех случаях, когда на эту зависимость не-
необходимо указывать, мы будем отмечать аргумент функции и
тильдой: F[u(%)]. Однако при такой записи следует иметь в виду,
что сам функционал F не зависит от х (подобно тому как в тен-
тензорной алгебре величина xkuk не зависит от «немого» индекса
k — индекса суммирования).
Рассмотрим значения одного и того же функционала F для
двух различных «значений» его аргумента, а именно для функций
„j ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 35
и(х) и а(х) + би(х). Будем при этом считать, что функция 6и (х)
отлична от нуля лишь в некоторой области Дх вокруг точки х„.
Функциональной (или вариационной) производной функционала
F [и] в точке х0 называется предел
+ WFM
конечно, при условиях, что этот предел существует и не зависит
ни от вида 6и (х), ни от способа стягивания к нулю объема
области j Ax|, ни от закона, по которому стремится к нулю
максимум модуля функции би(х). Приведем некоторые примеры.
Найдем функциональную производную линейного функцио-
функционала Ft [и] = J А (х') и (х') dx' в точке х„. �меем
FJu +6Рё\ = \ Рђ (С…') [Рё (С…')+6Рё (С…')] dx',
так что
РђС… РђС…
Применяя теорему о среднем к интегралу в числителе, находим
где точка xt принадлежит Д-окрестности точки х„. Переходя
к пределу при |Дх|—>-0, получаем
(x')U(x')dxl = A(xa). (7.3)
Такимjже образом производится дифференцирование и более
сложных функционалов (см. задачу 13).
Выберем в качестпе 6ц (х) функцию би(х) = Хб(х—х0) (как и
ранее, 6(х—х,) = 6(*,—*„).. .6(*„—О)- Тогда j 8« (х') dx'= Я
и, согласно (7.2),
(7Р›)
Зб ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. 1
Формула (7.4) сводит операцию вычисления функциональной
производной к обычному дифференцированию.
Приведем теперь формальные правила функционального диф-
дифференцирования, аналогичные обычным правилам.
Если At и А% не зависят от и, то
Далее,
Пусть /(г)—функция от г. Рассмотрим функционал вида ср[и]
= f{F[uj) (функция от функционала). Тогда
где f'=i-4"l —обычная производная функции f по ее аргу-
аргументу. Формулы (7.5)—(7.7) непосредственно следуют из (7.4).
Наконец, положив в (7.3) i4(x') = 6(x'—xj, получаем
С….). (7.8)
Формулы (7.5)—(7.8) позволяют, не прибегая к формальному
определению (7.2) операции функционального дифференцирова-
дифференцирования, дифференцировать большинство функционалов, с которыми
приходится встречаться в конкретных задачах. В частности, из
(7.5) следует, что можно производить дифференцирование
функционалов под знаком интеграла или производной.
В качестве еще одного примера найдем функциональную про-
производную от гауссова функционала:
В соответствии с (7.7) получаем
На основании (7.5) дифференцируем под знаком интеграла, ис-
используя при этом формулы (7.6) и (7.8):
+ u (xj 6 (х,—х)
j ФО М11» (х. х') + * (х', ж)]и (х') ix'.
ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 37
В данном примере можно считать, что ^(х,, х,) = ф(ха, х,),
так как несимметричная часть ty (х„ ха) не вносит вклада в функ-
функционал, поскольку .интеграл от произведения несимметричной
функции на симметричную и (xt) и (xs) равен нулю. Поэтому полу-
полученную производную можно записать короче:
Функционал F\u-\-v\ можно разложить в функциональный
ряд Тейлора по v(ic) (см., например, [1J, приложение I):
(7.9)
Подобно операторной записи формулы f (х+Ъ)=ехр i^-g^
для обычного ряда Тейлора, удобно записать и формулу (7.9)
в операторном виде:
В фигурных скобках мы имеем степенное разложение экспоненты,
так что
\В§^}[u]. (7.10)
Вернемся к характеристическому функционалу (7.1) и подей-
подействуем на него оператором тНиш ' ^ыполняя дифференцирова-
дифференцирование под знаком среднего, находим
Таким образом, оператор у 6ц, у , действуя на Ф [и], вводит под
знак усреднения множитель ?(х'). Повторяя эту операцию, при-
приходим к* формуле
1 6 1 6 ~,Рі 1
x'}). (7.12)
38 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
Если теперь положить здесь и = 0, то получим
(7.13)
Таким образом, моменты (7.13) случайного поля ?(х) мож-
можно находить как значения функциональных производных харак-
характеристического функционала при нулевом значении его аргу-
аргумента.
Если разложить экспоненту в (7.1) в ряд и записать k-ю
степень интеграла в виде ft-кратного интеграла, то получится
формула
(7.14)
представляющая собой разложение характеристического функ-
функционала Ф[«] в функциональный ряд Тейлора.
Рассмотрим теперь функционал В[и] = 1пФ[и], так что Ф[«] =
= ехр{0[«]}. Разложение в[и] в ряд Тейлора определяеткуму-
лянтные (или корреляционные) функции различных порядков:
СЃРѕ
РІ ["] = 5L "Р�" f Р§>* (xl xk)u{xl)...u{xk)dx1...dxk. (7.15)
Кумулянтная функция ?-го порядка (А=1, 2, .. .) определена
формулой
, 1 РІРњРїВ«^Рё]_ (7]6)
T*W1 ' " /* &и{^...Ьи(щ
аналогичной формуле для к}'мулянтов случайной величины. �з
(7.13) и (7.16) вытекает связь между моментными и кумулянт-
ными функциями (см. задачу 16). В частности,
Выше мы рассмотрели несколько примеров функционалов
общего вида. Обратимся теперь к примерам характеристических
функционалов.
1) Пусть %{х)—нормальное случайное поле. Обозначим через 3
интеграл
Тогда характеристический функционал Ф0{и] запишется в виде
7] ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 39
{нтеграл от гауссовой случайной функции является гауссовой
лучайной величиной, что позволяет сразу же написать штотноаь
(ероятностей для 3'-
4з выражения для З очевидно, что параметры 1 г о' =
=<{3—J?)'> = <(.?)"> этого распределения выражаются следую-
цим образом:
РѕР° = 5 5 % (С…Рі, С…2) Рё (xj Рё (С…Рі) cfxjdxa.
Вычисляя теперь <ехр (t'J?)>, получаем известный результат:
а подстановка выражений для 3? и с2 дает
Фо [и] = ехр | i j f(x) и (х) dx—
-jjj%(*,. з^аЮи^^Лц}.. (7.18)
Отсюда следует, что
= I 5 РўР© Рё (С…) dx-V, 5 5 Р§>8 (В«1. С…2) Рё (С…,) Рё (С….) dx,ixa. (7.19)
Сопоставление (7.19) с (7.15) показывает, что для гауссовых
случайных полей все кумулянтные функции выше второго по-
порядка равны нулю.
Центральные моменты нормального случайного поля обладают
следующими свойствами (ч. I, задача 6 к гл. II):
<!,--• !,*+,> = О, h^i(Xi),
<!х- • •!,*>= S <L,U>- ¦ ¦ dh.-ti»,^. (72?)
где р. п. под символом 2 означает, что суммирование произво-
производится по всем возможным разбиениям индексов 1, 2, ...,2k на
пары. Нетрудно подсчитать, что число слагаемых в сумме, вхо-
входящей в (7.20), равно (2k— 1)11 = 1 -3-5.. ,(2fe—1). Например,
РїСЂРё fe=2
40 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. 1
Аналогичная формула для шестого момента содержит ^слагае-
^слагаемых. Определения гауссова поля (7.18) и (7.20) равносильны
(см. задачу 17).
2) Пуассоновское случайное поле строится следующим образом.
Рассмотрим сначала конечную область V пространства парамет-
параметров x={xlt ..., хп\. Пусть т.—случайная величина, распреде-
распределенная по закону Пуассона Р(т) = (т)яе-т\т\, где т— среднее
значение т. Выберем в V случайным образом т точек xlt ..., хт,
считая, что плотность вероятностей для координат каждой из
этих точек равна V'1 при xftgV и нулю вне V и что коорди-
координаты всех т точек статистически независимы. Возьмем, далее,
т случайных величин Аг, ..., Ат, взаимно независимых и имею-
имеющих одинаковую плотность вероятностей w(A), а значит, и
характеристическую функцию %(Х). Пусть g(x)—фиксированная
детерминированная функция. Пуассоновское случайное поле мы
определим теперь формулой
С…*). (7.21)
Согласно построению в (7.21) содержатся следующие случайные
параметры: «амплитуды» Ак, положения «центров» хк и число
слагаемых т. Мы распространяем здесь на случай поля в п-мер-
ном пространстве параметров х то, что в ч. I было сделано для
однопараметрических случайных функций, т. е. для случайных
процессов'(см., в частности, ч. I, гл. II).
Характеристический функционал случайного поля (7.21) имеет
вид (см. задачу 18)
Р¤[Рё] = exp {v J [РҐ ( Jg(С…-С…') Рё (С…) dx)-l] dx'}, (7.22)
где v — m/V—средняя плотность случайных точек. Область V
в (7.22) можно считать и неограниченной (V—>-оо, m—>-<» при
v = m/V = const).
�з (7.22) нетрудно вывести кумулянтные функции пуассо-
новского случайного поля (см. задачу 19). Они имеют вид
x)...g(x(k-x)dx. (7.23)
Гауссово случайное поле можно получить из пуассоновского,
если определенным образом устремить в бесконечность v, умень-
уменьшая в то же время «амплитуды» А (см. задачу 20).
При решении многих физических задач возникает необходи-
необходимость вычисления величин вида <|(x)i?[|]>, где R [?] — некото-
некоторый функционал от случайного поля I (х). Выведем, следуя ра-
работе [5], полезную формулу, позволяющую находить эту величину.
$ 7] ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД
Рассмотрим среднее значение выражения
где т) = ^'(х)—некоторая детерминированная функция. Восполь
зовавшись формулой (7.10) для ряда Тейлора, представим функ
ционал R[1-j-i\]b виде
РўРѕРіРґР°
Разделив и умножив это равенство на оператор
(он коммутирует с входящим в (7.24) оператором), получаем
Введем функционал Q, зависящий от функции и (х) и кроме того,
являющийся обычной функцией параметра х:
01*. и] «Ц rV TV1- <7-26)
С его помощью можно записать (7.25) в виде
где в последнем сомножителе неслучайная величина R [у\] вве-
введена под знак усреднения. Снова воспользовавшись формулой
(7.10), получаем
или, внося неслучайный оператор под знак среднего,
42 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. ]
Поскольку функционал R зависит лишь от суммы ц + Е, можно
заменить оператор дифференцирования по г) оператором диффе-
дифференцирования по §. Таким образом,
причем здесь уже можно приравнять вспомогательную функцию
t\ нулю. Это приводит к окончательной формуле, полученной
В. �. Кляцкиным [5]:
Р¦[|?][|]). (7.27)
Функционал Й[х, и] можно, согласно (7.26), (7.11) и (7.1),
выразить через логарифм характеристического функционала поля
? (х) следующим образом:
1 61пФ[«1 1 беМ у28,
ы{х) - ; 6и(х) — i fiH(x) • V-Z°>
Воспользуемся теперь разложением (7.15) функционала 0
по кумулянтным функциям. Дифференцируя (7.15), получаем
с учетом результата задачи 13
S (k-[)] f'M*' XX. • • ¦ . X*-l
Заменив здесь «(х,) на -г.. . и подставив результат в (7.27),
находим
<! (С…) R [|]> = X -jjrijr J Р¤* (*
Рассмотрим частный случай гауссова поля ?(х), у которого
Ф» = Ф4— • • • =0 и, следовательно, в (7.29) остаются только два
первых слагаемых с i|\(x) = ?(x) и i))2(x, х') = г|3|(х, х'):
<iwСЏ 1Р•]>-
Формула (7.30) была получена К- Фуруцу [6J, Е. А. Новиковым
[7] и М. Д. Донскером [8].
j7j ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 43
Укажем, как изменятся некоторые из предыдущих формул,
если рассматривать совокупность N случайных полей (Af-мерное
поле) ?i(x)> •••,5дг(х). Характеристический функционал опреде-
определяется тогда формулой
ФК ...,«w]-(exp|<|jJ«»(x)6»W«ix|). (7.31)
Формулы (7.5)—(7.7) сохраняют прежний вид, но с заменой
в них б/б«(х) на 6/6tty(x). Вместо (7.8) теперь справедлива
формула
^gL (7.32)
Формула Фуруцу—Новикова (7.30) принимает вид
В заключение сформулируем свойства однородности и изо-
изотропности случайных полей на языке характеристического
функционала. Статистическая однородность поля g (x) (в узком
смысле) означает, что Ц (х, +х0) ... g (хк + х,)> = <| (х:)... | (хл)>.
�спользуя это равенство, можно записать разложение (7.14)
РІ РІРёРґРµ
1 J
или, после замены переменных х/ + х„ = Х;) в виде
<SW)... i(xi)>x
X «(xj—х„) ... u (xi—х„) dxl... dxj5.
Но, как легко видеть, в правой части получился функционал
Ф[«(х—х0)]. Таким образом, для статистически однородных полей
Р¤[Рё(?)] = Р¤[РІ?-С…,)], (7.34)
т. е. характеристический функционал не меняется, если его
аргумент и рассматривается в смещенной точке.
Аналогичным образом, если /?х = х' означает преобразова-
преобразование поворота в пространстве параметров, то статистическая
44 ОБЩ�Б СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫЙ ПОЛЯХ 1ГЛ. I
изотропность поля ?(х) выражается равенством
Ф[и(х)] = Ф[и(?-»х)]. (7.35)
Возможны случаи, когда поле статистически однородно или
изотропно не по всем координатам jc,, ..., х„, а лишь в отно-
отношении некоторой их части, т. е. в некотором подпространстве
параметров х. Тогда инвариантность Ф[и] должна иметь место
при преобразованиях трансляции (вектор х„ в (7.34)) или пово-
поворота (оператор R в (7.35)), осуществляемых только в этом под-
подпространстве.
Приведем в качестве примера характеристический функционал
статистически однородного гауссова поля, у которого 1 = 0.
Для него
Ф[и]=ехр{— »/, Jjfsfa—x,)«(x1)«(x,)(ix1dxi,} . (7.36)
Ясно, что (7.34) здесь выполнено. Если рассматриваемое поле
статистически изотропно, то вместо (7.36) будет
Ф[и] = ехр {- V, J $ 1* (| х—х, |) и (х.) и (xs) rfx, dxa} . (7.37)
Как уже было сказано, этот параграф посвящен в основном
правилам оперирования с функционалами и выводу ряда важ-
важных соотношений и формул. Примеры использования функцио-
функционального метода при решении конкретных задач рассматриваются
в некоторых из последующих глав. В задаче 22 функциональ-
функциональный метод применен для вывода приведенного в ч. I уравнения
Эйнштейна—Фоккера (36.15) для вероятностей перехода слу-
случайного отклика дискретной динамической системы на гауссовы
дельта-коррелированные по времени воздействия.
Задачи
1. Найти пространственную спектральную плотность для анизотропного
однородного случайного поля с гауссовой корреляционной функцией общего
РІРёРґР°
% (г)*=о| ехр | — »/• 2[aijxix/ \ •
где Xi=x, xt—y, Xs — г и Det||a;/|! Ф 0.
Ответ.
где || Ay!! = flay Ц-1—матрица, обратная матрице ]| ct,-y- {). В частном случае,
Когда корреляционная функция имеет вид (2.29), пространственный спектр
дается выражением (3.16).
ЗАДАЧ� 4S
2. Доказать следующее неравенство для статистических моментов порядка
[в + 1) комплексного поля ? (г):
Вп,„(1,.--.2«)|а<
<?„,„(! п; п 1)Я„,и(л+1 2л;2л, .... л + 1). (1)
Решение. Неравенство следует из того, что при любом комплексном к
Если положить
РЇ. = Р°[Р’СЏ,СЏ(1 2Р»)]В»,
где а вещественно, то неравенство (I) представляет собой условие неотрица-
неотрицательности квадратичного по а трехчлена. Частный случай (1) при л=1—это
неравенство
|?<l,2)|a<B(l, !)S(2,2),
аналогичное (2.20).
3. Если провести в пространстве какую-либо прямую линию и рассмат-
рассматривать значения однородного'и изотропного поля ?(г) только на этой пря-
прямой, то получится случайная функция одной пространственной переменной —
координаты, отсчитываемой вдоль этой прямой. Обозначим ее через г. Можно
записать разложение корреляционной функции if»(г) в одномерный интеграл
Фурье:
РґР°
\{z)^ J T;(k) cos kzdk,
где f*{k)—одномерная спектральная плотность, выражающаяся через i|^(z)
посредством обратного преобразования Фурье:
(1)
Показать, что трехмерный пространственный спектр Ф. (k) однородного изо-
изотропного поля Z, (г) связан с одномерным спектром у. (k) соотношением
Указание. Надо продифференцировать (IJ'no к и сравнить результат
с формулой (3.10).
Формула (2) удобна для расчета трехмерного спектра в тех довольно
ияогочисленных случаях, когда интеграл (1) для у»(*) вычисляется проще,
«ей ватеграл (3.10) для Ф»(?). Примерами могут служить'даже простые
корреляционные функции (2.24) и (2.25).
Формула (2) используется также для нахождения трехмерного спектра
случайного изотропного поля по одномерному спектру V; (*)• полученному по
»кспериментально измеренной одномерной корреляционной функции ^(г).
4. Пусть, как и в предыдущей задаче, г — координата, отсчитываемая
вдоль какого-либо выбранного направления в пространстве, а случайное поле
Ь(г) однородно в плоскости г = const. Вводя в плоскости г = const двумер-
двумерный вектор р = (х, у), так что г = (р, г), можно записать корреляционную
46 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
Функцию поля С (г) в виде
Эту функцию можно разложить в двумерный интеграл Фурье:
(•)
где kL = (kx, ky). Функция f. (k^, Zx—za) называется двумерной спектральной
плотностью поля или просто двумерным (пространственным) спектром.
Показать, что для однородного и изотропного случайного поля дву-
двумерный спектр />(*j_, z,—Ч) и трехмерный спектр Ф*(?) связаны между собой
соотношениями
(2)
(3)
Решение. Формула (2) следует из сопоставления (1) с трехмерным
разложением (3.5), если учесть вещественность корреляционной функции тк (г)
для изотропного поля. Обращая (2), находим
Формула 13) получается отсюда при hz^0. Отметим, что Ф{(У А|+А^) как
функция от kz имеет характерный масштаб k^_. В силу этого из (2) следует,
что Fr(k,, Si — z2) сосредоточена в области
(4)
5. Выразить спектральное разложение корреляционной функции поля,
изотропного в плоскости z —const, в виде однократного интеграла.
Решение. В общем случае корреляционная функция 4>(*' У)~$г(Р)
и ее двумерный спектр F,(-xx, ку) — F* (и) связаны прямым и обратным
преобразованиями Фурье:
(1)
В случае изотропного поля имеем ^(p) = itj(p) и fj(x) = f^(x). Переход
в формулах (1) к полярным координатам (соответственно в р-и «-пространст-
«-пространствах) с последующим интегрированием по угловым переменным приводит
к прямому и обратному преобразованиям Ганкеля:
(2)
РіРґРµ
-нулевая бесселева функция.
ЗАДАЧ�
47
6. Найти частотный спектр §.(ш) замороженного поля ?(Г,г), если
соответствующее покоящееся случайное поле v (г) обладает гауссовой прост-
пространственной корреляционной функцией i|>v(r) = ffj exp {—г*/2(а}.
Ответ.
7. Найти корреляционную функцию, пространственно-временной, прост-
пространственный и частотный спектры замороженного поля ?(/, т) при реляти-
релятивистских значениях скорости и, если известна функция корреляции i|>v(r)
(или пространственный спектр 3>v(k)) соответствующего покоящегося поля v(r).
Ответ. Если скорость v направлена по оси х, то в соответствии с пре-
преобразованием Лоренца
О;(и, к)= ^1 —
Огиетии, что если покоящееся поле v (г) изотропно, то замороженное поле
?(f, г) статистически анизотропно. *
8. Пусть а (г) и Ь(г)—изотропные и изотропно связанные случайные
векторные поля. Найти общий вид корреляционного тензора <оа (r^*g (га)>
в этом случае.
Решение. Для построения корреляционного тензора однородных и
изотропных векторных полей мы располагаем только скалярными функциями
от р = | Г1 — п|, единичным вектором р/р и
единичным тензором 6ар. Поэтому общий
вид корреляционного тензора будет
_
(Рі,) /
(1)
Выбор 'скалярных коэффициентов в (1) в
форме F и G—Р обусловлен тем, чтой(р)
и F(р)'_опнсывах>т при атом продольную и
поперечную корреляции. Действительно,
рассмотрим корреляцию между а-компонен-
тами па и Ь<х. Если точки ri и г9 лежат на
прямой, параллельной оси ха,т. е. р—р«,
to (СЂРёСЃ. 2, Р°)
(г,)*—^
(продольная корреляция). Если же :
то ра«О (рис. 2,6) и
(поперечная корреляция).
Р РёСЃ. 2.
ектор р = Г].— гг перпендикулярен оси ха
18 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
Вместо F (р) и 0 (р) можно ввести две другие скалярные функции, положив
<в»(Г1)»Ь(г,» = {/(р)ва(| + д^-. (2)
Сопоставление (1) и (2) показывает, что
где штрих означает производную по р.
9. Показать, что для однородного и изотропного потенциального поля
а (г) (rota = 0) продольная и поперечная функции корреляции F(p) и 0(р),
введенные в предыдущей задаче, связаны соотношением (А. М. Обухов)
РЎ)
а для соленоидального поля (diva = 0)—соотношением (Т. Карман)
^ (2)
Решение. Пусть а = —>р<р—потенциальное поле, a ifф(р)—корреля-
ifф(р)—корреляционная функция потенциала ф(г). Тогда
т. е. в формуле (2) предыдущей задача У=0, V= — -фф. Следовательно, по
формулам (3) той же задачи F (р)=з—V и G=V", откуда и вытекает (1).
Рассматривая соленоидальное поле, умножим div a (rj = 0 на а (га) и про-
проведем статистическое усреднение, используя соотношение (2) задачи 8. Это.
приводит к условию \?(У + ДС) = 0, откуда с точностью до постоянной, ко-
которую всегда можно включить в U, имеем U + ДУ=0. Отсюда следует, что,
Согласно формулам (3) задачи 8
/¦ = -V— V\ G = — — V,
Р  Р 
что эквивалентно (2).
10. Показать, что при условии однородности и изотропности векторное
соленондальное поле а (г) не коррелировано со скалярным полем <р (г)
(A.M. Обухов) и с векторным потенциальным полем b(r)=—V9(r)-
Решение. Для однородных и изотропных полей корреляционная функ-
функция <9 (г,) а* (г,)> должна быть вектором, параллельным р:
<V (ri) »* <Xt)>—Н (р) — ~ в (р) >
где � (ft)—скалярная функция. Поскольху для солепоидального поля diva = 0,
должно быть
V» «Р (ri) о* (г,)> = — di vp В (р) = О,
т. е. вектор В должен быть соленоидальным (уз означает дифференцирование
по га). В отсутствие источников единственное допустимое решение есть В = 0,
Задачи 49
что и означает некоррелированность скалярного и соленоидального вектор-
яого полей. Отсюда вытекаег также некоррелированность солекоидального в
потенциального векторных полей:
<»Ц (ri) «а (г,)> = -~ «р (г,) <& (г,)> = - ^^-О.
U. О флуктуациях с корреляционными функциями типа (2.24) и (2.25)
говорят как об одномасштабных флуктуационных полях, имея в виду, что
поведение if (г) характеризуется только одним масштабом I (пространствен-
(пространственный спектр таких флуктуации содержит, разумеется, множество масштабов,
сосредоточенных в области k^.l/1). Реальные функции корреляции часто
имеют много характерных масштабов (при этом говорят о многомасштабных
флуктуациях). �ногда удобно аппроксимировать такие функции суперпози-
суперпозицией гауссовых функций корреляции, т. е- записывать коэффициент корре-
корреляции в виде [9]
5
Рѕ
подчиняя, конечно, весовую функцию / (а) условию нормировки
Обычный гауссов коэффициент корреляции К(р) = е~1''^11* получается отсюда
ири /(а)=6(a— /2i).
Найти весовую функцию /(о), отвечающую:
а) экспоненциальному коэффициенту корреляции er'll;
б) локально однородной и изотропной модели турбулентных флуктуации
диэлектрической проницаемости воздуха; коэффициент корреляции для таких
флуктуации в соответствии с (4.19) имеет асимптотические выражения
Ответ.
РїСЂРё Р° < (0 Рё Р° > Р¦,
В¦ Р°~ 1-Рѕ~ РїСЂРё /0<;Р°<?0.
12. В ч. I, § 47 было выведено выражение для функции корреляции ин-
тенсквкостеи двух нормальных комплексных колебании d (/) и ?г (t) в пред-
предположении, что ti = ?2 = 0- Получить аналогичное выражение для случая,
когда среднее значение случайного поля ?((, г) отлично от нуля.
Ответ. В обозначениях !m = \im\2, где lm = l.(tm, гт), т~\, 2, функ-
функция корреляции интенсионоетей есть
if, (1, 2) = </,/j>—7,7j = <717S>,
РіРґРµ
50 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ, I
�спользуя результаты задачи 2 к гл. VI ч. I, получим
¦Ч>У<1,2)НЧ>6(1.2)1а + ЙЕ (1.2)1» + 1Ч=;0. 2ШГ2 + *Е U.2)� SJ + K.c].
При ?i=?j=0 отсюда следует формула
которая в случае $? = 0 принимает вид ф/(1, 2) = | i|>j(l,2)|a.
13. Пусть Fn\u\—функционал N-& степени:
Показать, что
а) значение fjv[u] вависит только от симметричной по всем аргументам
части функции А;
... + A(\i,Xi,...,С…РґРі,!,С…)1 Рє(xj...u(xjv-Jdxi...dxjv-i:
в) в случае симметричной функции А
( аналог формулы —r—=NxN
Указание. Задачу полезно решить тремя способами: исходи из опре»
деления (7.2), при помощи формулы (ТА) и при помощи правил (7.5)—(7.8).
14. Найти вариационную производную функционала действия классичес-
классической механики
Решение. Дифференцируя под знаком интеграла, получаем
_&5 hm _±_ /<�тП» 8У(х
РІС…(0~Р�"2РІ*(В»)1 Р› ) Sx(t)
На основании (7.7)
6 /<fa(T)\' .2dJc(T) 6 ()
6Р» (Рћ V dx J dx 6x (0 rfx "
Так как производная dx(%)ldx есть предел отношения ' ~ . можно
на основании (7.5) внести операцию функционального дифференцирования
под знак djdx, после чего использовачь (7.8):
Для второго слагаемого в S [х], используя (7.7) и (7.8), получаем
ЗАДАЧ�
В результате
откуда
Принцип наименьшего действия '=0 дает уравнение движения тд:=—V'(x).
6Sf]
15. Найти , для функционала
Ответ.
т. е. вариационная производная представляет собой левую часть уравнения
Эйлера—Лагранжа.
Для получения этого результата следует использовать формулы (7.5)—
(7.8), подобно тому как это сделано в предыдущей задаче.
16. Вывести формулу для i|>i(xi, ха, хэ), аналогичную формуле (7.17) для
фа(х,,х2).
Ответ. _
, Х„ X,) = <1 (X,) 1 (X,) | (Х,)>-| (Xj) <| (X») 1 (Х,)> —| (X,) <|(Xl) |_(Х„)>-
х,) | (х2) f (х„).
17. �сходя из выражений (7.20) для центральных моментов гауссова слу-
случайного поля \ (х), получить характеристический функционал для флуктуа-
флуктуации 1(х).
Решение. Согласно (7.14) имеем
? J\ J СО- • •!
причем, в силу (7.20), в этой сумме присутствуют только члены с &=2
ФЛа] = 1+ ? fei
�спользуя теперь вторую формулу (7.20), получаем
m=l
SS ОВЩ�В СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
�кмграл краткости (2м) распадается на произведение т двукратных интег-
интегралов, отличающихся друг от друга лишь обозначением переменных интегри-
интегрирования. Каждый из двукратных интегралов имеет вид
Следовательно, каждый из членов внутренней суммы равен 1т, а так как
сумма содержит всего (2т—1)11 членов, функционал Фг [и] равен
те= 1
или, поскольку (2т)1 = (2т)!!(2т —1)!! = 2«/п!(2т—I)!!,
Таким образом,
Ф| [в] = ехр [-1/2 J J тр? («!, ха) я (хх) и(х.) dxjdx,} .
Очевидно, эта формула является частным случаем (7.18), отвечающим ну-
нулевому среднему значению, как это и должно было получиться для ^ — ?—|,
поскольку <|>=0. Тем самым доказана эквивалентность определений гауссова
случайного поля при помощи равенств (7.20) и при помощи характеристи-
характеристического функционала (7.18).
18. Найти характеристический функционал пуассоновского случайного
поля (7.21).
Решение. По определению пуассоновского поля
Р¤ Р“
\ dx
где каждая из уг ловых скобок с индексом внизу означает усреднение по
соответствующим случайным величинам. Очевидно,
Ф [и] = ((( Д exp [lAk \g (x-x,) и(х) Л})лл)х;}и.
Выполним усреднение по Ак. Так как <ехр{(.Да>.}>^=х(Х), где х(М—ха-
х(М—характеристическая функция для Ль, находим
((Рџ(^
Далее произведем усреднение по х&. Оно сводится к интегрированию каждого
сомножителя по xs с весом V~l по области V:
J
Р¤ [В«] =(v-i J С… Q g (С…-С…Рћ u(x) dx) <&l ..
I7-1 U ( f г(х-х„) и (x) dx) dxm)m
ЗАДАЧ� 53
_.__. * вдесь выражение в квадратных скобках через а. Последнее усред-
вение (по распределению Пуассона для т) дает
РЎРћ 05
"^ -^^ /Р»!
С‚=0 С‚-0
Таким образом, получаем
Ф[«] = ехр(йГи-1и(и(х-х'
что, в силу тождества
¦южно записать в виде
l=/->f 1-dx',
Вводя v=m/V—среднее число случайных точек в единице объема, приходим
К формуле (7.22).
19. �сходя из формулы (7.22), получить кумулянтные функции пуассо-
невского случайного поля.
Решение. �меем
Подстановка разложения характеристической функции
дает
Запишем k-ю степень интеграла в виде А-кратного интеграла и изменим ао
рядок интегрирования по х и хг (1 = 1,2 к):
"k'S ("i-x') • ¦ • 8 (x*-x')|
2
Сравнивая это выражение с (7.15), получаем, что
J g(xj—x').. .g (x*—x') dx'.
54 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. I
_ 20. Показать, что если А имеет гауссово распределение вероятностей и
Л = С, то при v—>», А*—<¦<) и vA% — const пуассоновское случайное поле
стремится к гауссову. Показать, что аналогичный результат можно полу-
получить, если считать, что А имеет платность вероятностей а>(А)~{2А%)~1Х
Хехр {— | А \/А„], т. е. нормальность распределения вероятностей для ампли-
амплитуд несущественна.
Указание. Воспользоваться формулой (7.23) для кумулянтов пуассо-
новского случайного поля.
21. �сходя из (7.27), получить формулу для вычисления среднего значе-
значения от произведения пуассоновского случайного поля |(дг) на функционал
Rill
Решение. Согласно (7.22)
Действуя на это равенство оператором —, . . , найдем
О [х, и] = у Vdx'x' ( Vg(x*—x')u(x")dx"Jg(x—x').
РќРѕ
X (РЇ,) = РЎ Рµ'Рј С€ (Р›) dA, 4- X' (>.) = Р“ Рµ""4В»! (Р›) Р› dA.
Полагая \ — — \ dx*g(x*—X')^F7^ » получаем
В результате формула (7.27), с учетом операторной записи функционального
ряда Тейлора (7.10), принимает вид
22. Пусть Л;(х, 0—Детерминированные функции, /;(х, г)—случайные
гауссовы функции (n+l) переменных (х, г), причем
x, x', 06 (:-!')• (1)
Пусть функции Е|(0 подчинены системе динамических уравнений
^Р = XiH(i), t) + f;(l (0,0 (2)
с начальным условием ^,(0) = J;.
Вывести дифференциальное уравнение для плотности вероятностей ш(х, t)sm
^<Л(|(О—х)> решения уравнений (2).
Решение. Продифференцируем ш(х, О ПО t:
и подставим сюда dltV)fdf из уравнений (2):
).Рћ1)
ЗАДАЧ� 55
Последнее выражение — результат вынесения ^— [за скобку н за знак сред*
него, поскольку единственный сомножитель, зависящий от х,— это дельта-
функция. �спользуя равенство
6 (% (0-С…) F (I (/))=6 (5 (0-С…) F (С…),
получаем
*^Д—д^<« (1(0-*)№(*. О I¦/«(«. 01> =
где мы вынесли за знак среднего неслучайный множитель Xj(x, t). Так как
<6 (|(0—х)> = ю(х, 0. получаем уравнение
РіРґРµ
Q/(x. 0=-</РќС…. 0*(РЁ-*)>. (4)
Уравнение (3) не является замкнутым, так как кроме искомой функции to
в него входят еще неизвестные функции Q,-. Дальнейшая задача состоит в том,
чтобы выразить Qj через ш. �спользуем для этого .формулу Фуруцу—Нови-
Фуруцу—Новикова (7.33), которая в нашем случае и с учетом (1) имеет вид
OR 1/]>=
Для того чтобы получить Qi (x, 0. надо, согласно (4), положить R [/] =
= S(|(0—х). Это вполне законное равенство, поскольку \(,1), будучи реше-
решением системы уравнений (2), является функционалом от //.
Чтобы найти <6Я/б/л:>, обратимся снова к уравнениям (2). Проинтегри-
Проинтегрировав их по t, находим
(
it to=Р°+\ ^ СЏ Рј, С‚)+/,-
Рѕ
, что ?;(
интервале OaSteS/. Поэтому
Зк=0, если г' < 0 или /' > U (7)
Формула (7) показывает, что решения системы уравнений (2) удовлетворяют
принципу динамической причинности. Запишем (6) в виде
lt(t) = lВ°i+ J Р› ^ ^ Р± (I (С‚)-С…) [Xi(С…, С…) + /, (С…, С‚)]
56
ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. I
н применим к »тим выражениям оператор й/б/у (ж', г')> гд* 0 </'<<:
Первое слагаемое в фигурной скобке проинтегрируем по частям. Во втором
же слагаемом учтем, что, согласно (7.32),
и используем при интегрировании наличие этих дельта-функций. В результате
, т».
Но, в силу условия причинности (7), 67 Л t') = 0 ПР� т < ''• чт0 позволяет
СЋ Рі РЅР° <':
заменять нижний предел интеграла по •
Тогда переход к пределу при /'—>t обращает интеграл в нуль и мы полу-
получаем точную формулу
являющуюся следствием динамических уравнений (2).
В ф (б) Qi- Так
(С‚
щу д д ур ()
Вернемся к формуле (б) для Qi- Так как при С>/ в силу (7) имеем
(тт-WO, интегрирование по V в (5) происходит в пределах (0, /). При выпол-
выполнении интегрирования по /' следует учесть, что \ в(t-t')it' —1/«. поскольку
фигурирующая здесь дельта-функция предполагается пределом четной корре-
корреляционной функции. Поэтому
(^)^ (9)
Так как R [/] = 6 (1 (*)— х), имеем
J!?I/L—JL_
С…'. Рћ"
ЗАДАЧ�
57
или, в силу (8),
ыг\п ,
Усредняя sto равенство, получаем формулу
с учетом которой выражение (9) принимает вид
Записывая иптегранд в виде
С…' <)Рґ~
-*>* (С…, С…',
, 0 РІ (С…-С…')
06d-i
получаем
Ql (x, () = - J^ J FВ«(x, x', 0 w (x, 0 8 (x-x') dx'
-L I —J I w (x, i
Таким образом, функция Q,(x, t) выражена через искомую плотность
вероятностей ш (х, t), после чего (3) становится замкнутым уравнением:
dw(x, t) , РґРђ((С…, t)w _d*F;k(,x, x, t)w
dt + дх, ШГГ
где введено обозначение
tluJ
Глава II
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я
СЛУЧАЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ
§ 8. Основные типы статистических волновых задач
Среди разнообразных случайных полей, с которыми имеет
дело статистическая радиофизика, волновые поля занимают цент-
центральное место. Мы тоже сосредоточим внимание на волновых
(в первую очередь электромагнитных) полях и ограничимся при
этом только линейными и неквантовыми задачами'). Весьма
широкий класс таких задач можно сформулировать следующим
образом.
Пусть распространение волн той или иной физической при-
природы (электромагнитных, упругих, поверхностных и т. д.) опи-
описывается линейным пространственно-временным оператором L
(обычно дифференциальным, реже—интегро-дифференциальным),
так что волновое поле «^удовлетворяет уравнению
?В« = 9, (8.1)
где функция q(t, r) описывает источники волн. Поля и и q могут
быть и многокомпонентными (в частности, векторными), и тогда
L—операторная матрица (в частности, тензор). Во многих зада-
задачах пространственная область, в которой рассматривается поле
и, выделенная некоторой поверхностью 50, не содержит источ-
') Укажем некоторые обзоры и монографии по нелинейным волновым
задачам и по квантовой статистике излучения. Статистическим явлениям
в нелинейной оптике посвяшены книга [1] и обзор [2]. Обширные исследо-
исследования ведутся по теории слабой турбулентности—явлению, которое проис-
происходит во многих ситуациях, в том числе в случае волн в плазме [3, 4J, на
поверхности жидкости [4, 5], в активных распределенных системах и т. д.
Статистические вопросы нелинейной акустики рассмотрены в книге [45].
Вопросы квантовых флуктуации электромагнитного поля, ставшие особенно
актуальными в связи с развитием лазерной техники, освещены в работах
[6-10].
S8J ОСНОВНЫЕ Т�ПЫ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х ЗАДАЧ 59
ников (9=-0), а задано р.ервичное волновое поле и„, приходящее
в эту область извне. Тогда уравнение (8.1) однородно:
Р¬ = 0, (8.2)
но на So заданы значения первичного поля (или его производ-
производных), например:
)\rtS.. (8.3)
(Обычно в этом случае говорят, что на Sa заданы «виртуаль-
«виртуальные» источники поля.) �скомым является здесь рассеянное или
дифракционное поле, т. е. это задачи теории дифракции.
При наличии внутри поверхности So границ раздела между
разными средами или телами (поверхности раздела S) поле и
должно удовлетворять еще определенным граничным условиям.
Если поверхность So не замкнута или же охватывает все про-
пространство, так что волны от реальных источников, расположен-
расположенных в конечной области, могут уходить в бесконечность, то
должны также выполняться известные условия излучения (на
достаточно больших расстояниях от источников должны суще-
существовать только убегающие волны).
В задачах прикладного характера часто представляет инте-
интерес измерение излученного или дифракционного поля—для полу-
получения информации об источниках поля, о рассеивающих телах
или о среде, в которой распространяются волны. Тогда в опи-
описанную схему может быть включен еще приемник излучения х),
а также разного рода помехи как внешнего (по отношению
к приемнику), так и внутреннего происхождения. Отклик прием-
приемника w будет зависеть и от измеряемого поля и, и от помех Jj:
w=w(u, %), (8.4)
где а)— в общем случае нелинейный оператор.
Все, что было сказано в ч. I, § 33 об обыкновенных стохас-
стохастических дифференциальных уравнениях, теперь, когда мы рас-
рассматриваем случайные поля, переносится на уравнения в част-
частных производных. Статистические волновые задачи ставятся
теми же уравнениями и условиями, что и динамические, но
теперь это будут стохастические уравнения и условия, т. е.
уравнения и условия для о/Лдельных реализаций случайного
поля и. Другими словами, фигурирующие в задаче параметры,
функции и операторы теперь случайны (все или их часть) и,
соответственно, заданы своими распределениями вероятностей.
1) Под приемником подразумевается все измерительное устройство в це-
целом, например 'радиоантенна вместе с усилительным трактом и регистрирую-
регистрирующим устройством или фотодетектор с измерительными приборами и т. п.
60 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. II
Поэтому гораздо большее разнообразие возможностей для про-
пространственно-временных полей (по сравнению с процессами во
времени) в равной мере затрагивает как динамические, так и
статистические задачи.
В соответствии с описанной постановкой динамической вол-
волновой задачи случайными могут быть
1) источники поля (реальные или виртуальные, так что можно
различать заданную «статистику источников» q и «статистику
первичного поля» v);
2) свойства среды (задана «статистика среды», ачзначит, опе-
оператора L);
3) форма и положение границ раздела S (задана «ста!истика
границ»);
4) условия приема и регистрации волн (заданы «статистика
приемника»—оператора w и «статистика помех» |).
К этим четырем основным статистическим схемам, которые
мы назовем первичными, фактически сводится постановка подав-
подавляющего большинства задач статистической волновой теории.
Конечно, возможны задачи и смешанного типа, например о теп-
тепловом излучении в случайно-неоднородной среде [11], но пока
таких задач рассмотрено немного (краткий их обзор приве-
приведен в [12]).
Если бы мы располагали точным решением динамической
задачи, например некоторым интегральным представлением иско-
искомого поля и в виде
u = Gq, (8.5)
где Gq= L~1q—решение неоднородного уравнения (8.1), записан-
записанное, скажем, через функцию Грина, учитывающую все гранич-
граничные и другие условия, то вычисление моментов поля свелось
бы к [усреднению произведений вида м(1)м(2) ...и(л) по сов-
совместному распределению всех фигурирующих в задаче случай-
случайных параметров и функций, характеризующих статистику источ-
источников, среды, границ раздела и т. д. Но в реальных ситуациях
этот идеал осуществляется не часто, например, в задачах о воз-
возбуждении полей случайными источниками, которые рассматри-
рассматриваются в данной главе. Чаще же всего мы не умеем находить
точное решение при любых детерминированных функциях и, тем
самым, при произвольных реализациях всех случайных величин
и функций, в силу чего приходится уже на этапе решения дина-
динамической задачи обращаться к разного рода приближенным мето-
методам. Зги разнообразные методы и приемы приурочены к конк-
конкретным особенностям задачи.
Флуктуации случайных параметров и функций могут быть
(в каких-то характерных масштабах) большими и малыми, плав-
§8] ОСНОВНЫЕ Т�ПЫ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х ЗАДАЧ g|
ными, медленными и, наоборот, резкими, быстрыми; корреляция
может быть сильной, «далекой», или же слабой, «короткой», и
т. п. Эти различия требуют использования разных приближен-
приближенных подходов и приводят к многочисленным вторичным статис-
статистическим схемам, связанным уже с теми или иными приближен-
приближенными методами решения.
Следует заметить, что во многих случаях, в особенности когда
нас интересуют только моменты поля, этап отыскания динами-
динамического решения (для последующего вычисления моментов) опу-
опускается и речь идет о выводе уравнений и условий для самих
моментов (исходя из уравнений и условий для поля и). Однако
и в такой постановке практически нельзя обойтись без макси-
максимально возможного упрощения исходных уравнений для и, зара-
заранее учитывающего особенности флуктуации и характер детерми-
детерминированных функций.
Выделенные выше четыре первичные статистические схемы
отражают лишь фактически часто встречающееся разделение пара-
параметров и функций, входящих в условия задачи, на детермини-
детерминированные и случайные. Остановимся коротко на этих схемах и
укажем некоторые примеры относящихся к ним задач.
В схеме 1), если присутствуют реальные источники, мы имеем
дело с неоднородным уравнением (8.1), в котором статистически
задана правая часть q. Однородные граничные условия детермини-
детерминированы. Задач такого типа много и в радиофизике, и в оптике,
и в акустике. Они охватывают, в частности, статистическую
теорию антенн и теорию тепловых флуктуации в распределенных
системах.
С виртуальными случайными источниками мы сталкиваемся,
очевидно, во всех задачах о дифракции случайных (иначе—час-
(иначе—частично когерентных) полей1), когда однородное уравнение (8.2)
и все необходимые условия детерминированы, за исключением
случайного первичного поля и„. Такие задачи типичны прежде
всего для оптики (формирование оптического и голографического
изображений, действие интерферометров и др.), но с ними при-
приходится иметь дело и а радиодиапазоке (в частности, в радиоастро-
радиоастрономии), и при дифракции рентгеновских волн.
Задачи типа I) мы рассмотрим в данной главе, но тепловые
флуктуации в распределенных системах, ввиду важности и спе-
специфичности этого круга вопросов, мы выделяем в самостоятель-
самостоятельную (следующую) главу.
Схема 2) охватывает проблему распространения и дифракции
волн в случайно-неоднородных средах (случайный оператор L). Эти
') Применительно к волновым пилям термины «случайный» я «частично
когерентный» равнозначны.
62 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. '
вопросы представляют большой интерес для радиосвязи, лазер
ной связи, гидроакустики, радиоастрономии, диагностики плазм!
и т. п., и им уделена поэтому половина данной части книги.
К схеме 3) относятся волновые задачи при наличии тел
имеющих случайную форму или занимающих случайное положе
ние. Речь может идти, в частности, о граничных поверхностя:
со множеством случайных неровностей (так' называемые шеро
ховатые или статистически неровные поверхности). Различны'
методы расчета^ рассеяния волн на таких поверхностях рассмот
рены в гл. IX.
В задачах о телах, занимающих случайное положение в про
странстве, речь может идти о рассеянии как на одном ил1
немногих телах, так и на очень большой совокупности дискрет
ных вкраплений (осадки, туман, аэрозоли и т. п.). Последня]
весьма общая задача требует, вообще говоря, учета многократ
ного рассеяния. Мы ограничимся ее рассмотрением лишь в при
ближении однократного рассеяния (§ 31).
Наконец, схема 4) охватывает многочисленные задачи прием;
и обработки информации о волновых полях при наличии помех
Если статистические свойства поля и, помех % и оператора w, опи
сывающего приемник, известны, то, в соответствии с (8.4), в прин
ципе можно рассчитать статистические характеристики отклик;
приемника да.
Однако более ^важным и вместе с тем более сложным явля
ется другой вопрос—о выборе оптимального (в каком-то опре
деленном смысле) способа приема при наличии помех, т. е. воп
рос о нахождении оптимального оператора w. Примером задач:
такого типа может служить проблема восстановления форм!
объекта по его изображению, представляющая первостепенны!
интерес для оптики, радиоастрономии, радиолокации, гидроакус
тики и т. д. Эта проблема оптимального приема случайных поле]
требует привлечения идей и методов теории информации — воз
можно, даже в большей степени, чем вопросы обработки слу
чайных процессов. Но, как и в ч. I, мы не будем углублятьс:
в эти проблемы, поскольку они ближе по своему характер;
к «радиоматематике», а не к радиофизике. Ряд вопросов опти
мального приема и пространственной фильтрации рассматри
вается в работах [13—20].
§ 9. Случайные волны в неограниченной однородной среде
Задачи возбуждения полей случайными источниками (реаль
ньми илк виртуальными), откесекные нами к статисхкческо
схеме 1), принадлежат к тем весьма немногочисленным пробле
мам статистической волновой теории, которые допускают, п
jgj СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ дЗ
существу, универсальный подход. Это обусловлено тем, что
поле и связано с источниками линейным детерминированным
оператором, который, в принципе, может быть обращен.
При возбуждении поля реальными источниками в силу (8.5)
любые моменты поля могут быть получены усреднением произ-
произведений вида u(l)u(2) ... и (л.) лишь по ансамблю случайных
источников q. В частности, для двух низших моментов имеем
<ц> = Й <<?>, <UjUa*> = 6Д* <9t(7*> • (9.1)
В случае виртуальных источников, когда в соответствии
с (8.3) заданы значения v первичного поля (или его производ-
производных) на некоторой поверхности So, а искомое поле выражается
через v при помощи линейного детерминированного оператора S*'-
u = &v, (9.2)
искомые моменты и связаны с известными моментами v линей-
линейными соотношениями, подобными (9.1):
<Рё> = 54В»>, <u1uZ> = P1S>l<v1v'2>, ... (9.3)
Соотношения вида (9.1) или (9.3), в принципе, дают полное
решение статистических задач схемы 1), поскольку совокуп-
совокупность всех статистических моментов однозначно определяет всю
совокупность я-мерных плотностей вероятностей случайного
поля. Однако эта формально простая процедура фактически
реализуема крайне редко. Удобные для физического анализа
выражения для моментов поля и в большинстве случаев удается
получать только для низших моментов и лишь при использо-
использовании тех или иных приближений для обратных операторов
G или 5>. Получение же плотности вероятностей поля осущест-
осуществимо обычно лишь при условиях, когда применима центральная
предельная теорема.
С необходимостью прибегать к различным приближениям мы
сталкиваемся даже в простейшем 'случае скалярного волнового
поля в однородной безграничной среде, когда мы располагаем
сравнительно простыми точными выражениями для операторов
Си?. Приведем относящиеся к этому случаю и необходимые
для дальнейшего динамические соотношения и выясним на при-
примере скалярного поля ряд свойств случайных волновых полей.
В последующих параграфах мы обратимся к конкретным радио,
физическим задачам, относящимся к схеме 1).
В однородной и стационарной среде без дисперсии и погло-
поглощения скалярное поле и удовлетворяет волновому уравнению
?и=(Д—jirgTrW.r)-.^. г), (9.4)
64 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1!
где с—скорость распространения волн, a q—поле случайных
источников. Решение уравнения (9.4), удовлетворяющее усло-
условиям излучения на бесконечности, имеет, как известно, вид
««.O — ^f"'-^^', (9.5)
где /J = |r—r'|. Это частный случай линейной, связи (8.5) поля
с источниками.
Во многих задачах удобнее рассматривать не само случай-
случайное поле и (t, г), а его спектральную амплитуду
(9.6)
которая, в силу (9.4), удовлетворяет уравнению
4Рё(В«,Рі)+Р№(Рѕ),Рі) = 9РљРі), k = a>/c, (9.7)
где g (а, г)—спектральная амплитуда q(t, г). Для спектральных
амплитуд решение (9.5) принимает вид
> (9'8)
Здесь введена функция Грина для неограниченной однородной
среды
удовлетворяющая уравнению
При помощи (9.8) легко записать выражения для всех моментов
поля.
Если источники сосредоточены в ограниченной области, ска-
скажем в пределах сферы радиуса а, а нас интересует поле и
в дальней (фраунгоферовой) зоне распределения источников, то
формулы (9.6) и (9.8) упрощаются, так как можно воспользо-
воспользоваться приближенным выражением функции Грина. Пусть начало
координат помещено в центр области, занятой источниками.
Тогда при r^ka1 расстояние R = |r—г'| в формуле (9.9) можно
приближенно заменить на г—(пг') в показателе экспоненты я
на г в знаменателе, что и приводит к фраунгоферову прибли-
приближению. В этом приближении (9.8) принимает вид
«(<о,г)«—^-J<?(», r')e-ik"r'd>r', r^>ka\ (9.10)
где n = r/r единичный вектор в направлении на точку наблю-
наблюдения.
I 9] СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ Е ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 65
Приведем теперь динамические соотношения для того случая,
когда заданы виртуальные источники. Будем исходить из фор-
формулы Грина, которая связывает спектральную амплитуду поля
й(ш, г) внутри области, ограниченной поверхностью So, со спект-
спектральной амплитудой граничного поля v(<a, r'):
Здесь /? = |г—г'|—расстояние от точки наблюдения до точки
г', лежащей на поверхности So, по которой ведется интегриро-
интегрирование, а д/dN означает дифференцирование в направлении внеш-
внешней нормали N к So. Граничные значения к (а, г') и dv(a>, r')jdN,
как известно, должны быть заданы математически непротиворе-
непротиворечивым образом. Поэтому двучленная формула Грина (9.11) может
быть использована лишь в тех случаях, когда из каких-либо
дополнительных соображений вытекает связь (точная или при-
приближенная) между граничным полем v и его нормальной произ-
РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРЅРѕР№ dv/dN.
Особым является случай, когда поверхностью So служит
плоскость, замкнутая полусферой бесконечно большого радиуса.
В этом случае, которым мы и ограничимся, двучленная фор-
формула (9.11) сводится к одночленной.
Если на плоскости. г=0 задано само поле v (ш, р)га(й>,г)|1>_||,
где р — {х, у)—двумерный вектор, то интеграл по бесконечно
удаленной сфере обращается в нуль, и тогда в полупростран-
полупространстве г > О
) = —^ J t»((D,p')|-(^
Если же на плоскости г = 0 задана нормальная производная
dv(a>, р)/дг = ди (ш, г)/3г |г=0, то
(9.13,
Таким образом, в случае плоской границы г = 0 достаточно
задания на Sa либо самого поля и, либо его нормальной произ-
РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРЅРѕР№ РґРё/РґРі.
Другой метод расчета полей в полупространстве г > 0 вос-
восходит к Релею и основан на разложении полей по плос-
плоским волнам. Представим граничное поле v(e>, p) двумерным
3 С. �. Рытов в др. ч. �
66 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. 11
интегралом Фурье:
СЃРѕ
Рё (СЃРѕ, СЂ)= 5 v(w, jc) exp (ixp) <Px, (9.14)
— 00
где х=(х„и„)—двумерный волновой вектор, а »(<о, к)—омс-
амплитуда граничного поля, связанная с v(a>, р) обратным пре-
преобразованием Фурье:
i J >, р) ехр {—i«p)dap.
В полупространстве г > 0 каждая пространственная гармо-
гармоника граничного поля v (со, и) ехр (шр) порождает плоскую соб-
собственную волну о(ш, к) ехр (txp -f-ifz) (напомним, что множитель
e~mt опущен), которая удовлетворяет волновому уравнению при
условии, что
РёР° + /?Р° = СЃРѕР°/СЃР° = /РіР°.
Таким образом, в случае волнового уравнения для однородной
и изотропной среды дисперсионная поверхность (см. § 6) пред-
представляет собой в четырехмерном пространстве (со, к) трехмерный
конус с осью по <в и вершиной в начале координат. В соответ-
соответствии с этим дисперсионным уравнением в свободной от источ-
источников области г > О возможны при заданном и собственные
волны двух типов—в зависимости от того, вещественна или
мнима z-компонента р волнового вектора к:
Р™=РЎ0/РЎ,
(9.15)
При ч < k компонента р вещественна и мы имеем бегущие
волны. При "&>k, когда период осцилляции на границе 2я/%
меньше длины волны \ = 2n/k, соответствующей частоте со, ком-
компонента р мнима и получаются неоднородные волны. Они экспо-
экспоненциально ослабевают с удалением от границы г = 0. Практи-
Практически уже при гё>Я остаются только бегущие волны.
Результирующее волновое поле и (со, г) = и (<*, р, г), удовлет-
удовлетворяющее граничному условию «(«, г)|г=|1 = о(й), р), выражается
суперпозицией плоских волн обоих типов:
и(а>, р,г)= J v (ю, х) ехр (txp lripz)d*K. (9.16)
— 33
Аналогичное представление поля нетрудно записать и\в том
случае, когда на плоскости г —0 задана производная по нор-
нормали ди[дг.
jj] СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 67
Формула Грина (9.12) и разложение по плоским волнам (9.16),
разумеется, эквивалентны друг другу. В дальнейшем мы будем
пользоваться той из них, которая быстрее ведет к окончатель-
окончательному результату. Любая из них позволяет выразить моменты
и(в>, г) через моменты и(<о, р).
При вычислении моментов поля при помощи приведенных
выше формул часто приходится рассматривать те или иные част-
частные случаи. Перечислим наиболее существенные из них. При
т.е. в волновой зоне, для ядра в формуле (9.12) имеем
При выполнении неравенств |р—р'[<^г н fc|p—р'[4<^г3
справедливо так называемое френелевское приближение, в кото-
котором R = V z2 + (p— р')2 заменяется на г + (р — р')г/2г в показа-
показателе экспоненты и на г в знаменателе предыдущей формулы;
при этом формула Грина (9.12) принимает вид
РћРў
«(», Р.г)=^? J о(ю. р')ехр («ft ?=?>!) <Рр'. (9.17)
— со
Наконец, в зоне Фраунгофера, z^>kaa, где а—радиус области,
в которой граничное поле о (со, р) отлично от нуля, имеем
-ik<?f]dy. (9.18)
Обратимся теперь к некоторым свойствам моментов и спект-
спектров волновых полей Статистические моменты волновых случай-
случайных полей ч'асто называют функциями когерентности, так как
соответствующие коэффициенты корреляции служат количест-
количественной мерой когерентности этих полей (ч. I, §§ 47 и 48). Тер-
Термины «время когерентности», «длина когерентности», «степень
когерентности» являются в отношении волновых полей синони-
синонимами «времени корреляции», «радиуса корреляции», «коэффи-
«коэффициента корреляции». В связи с этим мы предпочитаем и в этой
части книги говорить о теории случайных волн, а не о «теории
когерентности», рассматривая последнюю просто как одно из
приложений общей теории случайных полей. Однако мы не будем
избегать и терминов «функция когерентности» или «степень
когерентности», которые уже прочно вошли в физический обиход.
Смешанный момент волнового поля и (t, г) порядка т-\-п
(функция когерентности порядка /п + гс) определяется соотноше-
соотношением вида (2.30) и вместо бта_ „ обычно обозначается Г„,? „. Корре-
Корреляционная теория случайных волн ограничивается рассмотрением
68 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 11
моментов лишь первого и второго порядков: среднего поля <и>
(функции когерентности первого порядка Г.,==1<и>) и_двух сме-
смешанных моментов второго порядка, называемых первой и второй
функциями когерентности второго порядка:
Последние связаны с первой и второй функциями корреляции
поля формулами
•ф (1, 2) = <и (1) ы (2)> = Г (1, 2»—<о (1 )> <ы (2)>
(как обычно, здесь и —и—<«>)¦
Для зависимости волновых полей от времени мы примем
комплексное представление в виде аналитического сигналаг)
u(t,T) = iu{fa,T)e-""d<a, (9.21)
Рѕ
где спектральная амплитуда и (<о, г) тождественно равна нулю
для отрицательных частот, а для w^O равна удвоенной спект-
спектральной плотности исходного вещественного поля ur(t>r)=
Если поле и (t, г) является как функция t аналитическим
сигналом и стационарно, то среднее значение поля <ы> и его
второй смешанный момент Г равны нулю (ч. I, § 38).
Без предположения об аналитическом сигнале среднее зна-
значение стационарного поля может быть отличным от нуля и
представляет собой некоторую функцию чщько от г, удовлет-
удовлетворяющую уравнению Лапласа Ан(г) = 0. Так как такие стати-
статические детерминированные поля нас не интересуют, можно и
в этом случае рассматривать только флуктуации « = «,— и, т. е.
считать, что и — О. Что касается нестационарных и, в частности,
монохроматических полей (—е~'ю'), то для них среднее поле и
Г, вообще говоря, отличны от нуля.
Энергетические величины (интенсивность, плотность энергии,
плотность ее потока) квадратичны по полю, в силу чего их
средние значения можно выразить через статистические моменты
первого и второго порядков (ч. 1, § 47 и задача 1).
J) Еще раз напомним, что при разложении в интеграл Фурье по t мы
берем здесь и далее функцию е~1(0*, а не eiat, как в ч. I. Поэтому поле ы
как функция I аналитично теперь не в верхней, а в нижней полуплоскости
комплексного прелеии t.
0) СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕД� 69
�з высших моментов наибольший интерес представляет момент
аетвертого порядка
Г,,, (1, 2, 3, 4) = <«(]) и (2) «• (3) и* (4)>, (9.22)
герез который выражается, в частности, корреляционная функ-
функция флуктуации интенсивности комплексного поля /=|и|2:
С‚(>/(1,2) = <7(1)7(2)> = Р“1,,(1!2; 2, 1)-7(1)Р“(2), (9.23)
причем / (1) = <| ы (1) | а> = Г (1, 1). Если поле и нормально, то
все высшие моменты выражаются через первый (и) и вторые
(Г и Г) моменты. Функция корреляции интенсивности для этого
случая приведена (в несколько иных обозначениях) в задаче 12
Рє РіР». I.
Выражения для моментов поля мы получали выше, исполь-
используя динамические решения для и. Как уже было отмечено,
существует и другой способ нахождения моментов—из уравне-
уравнений, которым подчиняются сами статистические моменты. В рас-
рассматриваемой задаче о возбуждении полей реальными источни-
источниками, которая в общем случае описывается уравнением (8.1)
С детерминированным оператором L и с детерминированными
граничными условиями, уравнения для вторых моментов легко
получить простым перемножением левых и правых частей (8.1),
взятых в разных пространственно-временных точках. Так, вто-
второй момент Г(1,2) = <«(1) и* (2)> удовлетворяет уравнению
Ul\2)>, (9.24)
которое становится однородным в области, свободной от источ-
источников.
В рамках схемы 1), когда динамическое решение задачи для поля
и известно, находить моменты из уравнений типа (9.24) обычно
гораздо менее удобно, чем по формулам типа (9.1) или (9.3).
Волновые уравнения для моментов представляют здесь интерес,
пожалуй, лишь в том отношении, что из них очевидны волно-
волновые свойства самих моментов и, соответственно, можно говорить
о распространении и дифракции этих моментов почти в том же
смысле, что и для поля и1). Одно из важных волновых свойств
статистических моментов поля и состоит в том, что их значения
на некоторой поверхности So определяют поведение моментов
во всем объеме, ограниченном поверхностью So, подобно тому
как это имеет место для самого поля.
1) Однако в тех случаях, когда мы не располагаем решением динамиче-
динамической задачи, уравнения для моментов, получаемые из уравнений для и,
приобретают самостоятельную ценность (гл. VI—VIII).
70 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
Как уже было отмечено в § 6, в рассматриваемом случае волно-
волнового уравнения для однородной и стационарной среды дисперсион-
дисперсионная гиперповерхность представляет собой конус и* = тг/сг = ft2 или
|и| = ?. Поэтому спектральная плотность G((o, к) в разложении
Фурье корреляционной .функции однородного и стационарного
поля (6.3) содержит множитель 6(|*1—ft):
G(В«, В«) = /(В«., n)6(|M|-fc). (9.25)
где /(со, n) — функция частоты со и направления п=х/и.
В коэффициенте при дельта-функции можно выделить мно-
множитель и"*:
G (со, х) =¦ У (и, п) й"?8 (а—к). (9.26)
Величина Э1 (со, п) носит название лучевой интенсивности или
яркости и играет большую роль в теории переноса излучения
(гл. VIII). Связь этой величины с функцией корреляции можно
установить, подставив (9.26) в (6.3) и положив d?u = хг dv, do (n)
(do(n)—элемент телесного угла). Выполнив интегрирование по х,
получаем искомое соотношение (т = т1 — г4> t = tx—12):
V(t,r) = [[3 (со, n) fc-a6 (x—k) exp [i (xr — шО] *2dxdo (n)da =
= I da(f 3 (at, n)exp[/(/snr — att)\do(n). (9.27)
Рѕ
При г —0 и /^0 эта формула дает дисперсию поля
OD
Рѕ\ = <| Рё. |2>=W (0, 0) = \ da <f Р­ (Рѕ>, n) do (n). (9.28)
Рѕ
�з последнего выражения видно, что лучевая интенсивность
Э (со, п) описывает распределение энергии по (положительным)
частотам и по углам, т. е. представляет собой частотно-угловой
спектр поля. В частности, изотропному полю отвечает лучевая
интенсивность, не зависящая от углов (общее выражение для
функции корреляции в этом случае дано в задаче 2). Заметим,
что угловым спектром часто называют также двумерное разло-
разложение функции корреляции в интеграл Фурье:
F (со; хх, г) =щг J Ч> (»; Р. г) exp (— /x±p) d?p, xx = (кх, ку).
(9.29)
Как показано в задаче 4, при малой ширине углового спектра
величина F (ю; х±, г) пропорциональна лучевой интенсивности
(при г = 0 эти величины отличаются лишь множителем k~2).
j 10] Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 71
При помощи (9.27) можно оценить минимальный радиус кор-
корреляции /„ свободного волнового поля. Пусть ю,^—максималь-
ю,^—максимальная частота волн, еще заметно представленных в спектре Э (<*, п).
В силу (9.27) радиус корреляции поля 1и можно оценить из
условия kmax (п, г) 251, что приводит к оценке
U *2 С… W
лтах
�ными словами, радиус корреляции случайного волнового поля
не может быть меньше минимальной длины волны, имеющейся
в спектре колебаний. Строго говоря, эта оценка относится
к случаю изотропного поля, когда лучевая интенсивность не
зависит от п. Оценки продольного и поперечного радиусов кор-
корреляции поля для случая, когда его лучевая интенсивность
сосредоточена в узком конусе, даны в задаче 3.
Описанные выше свойства статистических моментов и спект-
спектральных плотностей характерны не только для скалярных, но
и для векторных случайных полей. Мы не будем приводить
здесь векторные аналоги рассмотренных выражений для полей
и их моментов, поскольку в принципе они не выходят за рамки
общих соотношений (9.1) и (9.3). Отметим только, что статисти-
статистические характеристики поляризации плоских квазимонохромати-
квазимонохроматических волн мы уже рассмотрели в ч. I, § 49. Введенная там
матрица поляризации характеризует статистическую связь раз-
разных компонент поля в одной и той же точке в один и тот же
момент времени (см. также [13, 14, 211 и [22]). Общий вид
корреляционной матрицы стационарного, однородного и изотроп-
изотропного поля приведен в задаче 6, а в задаче 5 указана связь
энергетических характеристик поля с корреляционной матрицей
поля и с матрицей лучевых интенсивностей.
§ 10. Дифракция плоской волны
на безграничном хаотическом экране
Первичное поле на границе рассматриваемой области может
флуктуировать как из-за флуктуации в его источниках (нахо-
(находящихся вне данной области), так и в результате случайных возму-
возмущений, внесенных в первоначально детерминированную первичную
волну при ее распространении. Примером может служитытрохож-
дение этой волны через случайно-неоднородную среду или слой
такой среды. Если толщина этого слоя достаточно мала, то его
можно рассматривать как бесконечно тонкий экран. Примени-
Применимость общих методов расчета поля в области, на границе кото-
которой S, задано случайное поле (§ 9), конечно, не связана с тем,
по каким причинам флуктуирует поле на границе. Существенно
лишь то, что статистика этих флуктуации известна.
72 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1Г
Начнем с простейшей задачи о прохождении плоской мо-
монохроматической волны через плоский безграничный хаотический
экран, следуя в основном работе [23]1).
1. Основные соотношения. Пусть монохроматическая
волна ип(р, г)е~ш падает на безграничный экран, расположен-
расположенный в плоскости z — 0. Экран пространственно модулирует па-
падающую волну в соответствии со своей функцией пропускания
f (p)—комплексной функцией, модуль которой описывает ампли-
амплитудную модуляцию, а аргумент—фазовую. Граничное поле«(р),
т. е. поле непосредственно за экраном 2 = 0, есть
а(р) = /(р)«»(р-О). (10.1)
Для краткости мы опускаем множитель е~ш, а также аргумент со
в спектральных амплитудах.
Если падающая волна плоская и распространяется по нор-
нормали к экрану, то ц„(р, z) = elfc!, так что
(Р®.2)
— поле на граничной плоскости 2 = 0 просто равно функции
пропускания, и, соответственно, статистика v(p) в случае хао-
хаотического экрана та же, что у f(p). Формулы (9.12) и (9.16)
позволяют связать статистические моменты* поля и (г) = и (р, г)
за экраном (т. е. в области г > 0) с моментами граничного поля
о(р). Найдем первый и второй моменты поля и (г) в простей-
простейшем случае статистически однородного хаотического экрана,
для которого
</ (СЂ)> . ft = const, Рѕ? = < | f |2> = < | /-/, |В«> = const,
а корреляционная функция зависит только от разностей коор-
координат:
Р§>, (СЂ'.РЈ) = </(СЂ') Р“ (СЂ")> = Р§>, (СЂ'-СЂ*).
В силу (10.2) имеем
<.v> = vo=fe, oj = oj, Ф0(р'—р") =¦*/(?'—р").
Для среднего поля за экраном по формуле (9.12) находим
2) В этой работе суммированы результаты и предшествующих исследова-
исследований [24—26], относящихся преимущественно к прохождению радиоволн через
случайно-неоднородную ионосферу. Более полный список литературы по по-
последнему вопросу содержится в обзоре 127].
|.ll] Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 73
�нтеграл легко вычисляется и равен —2лехр(!Йг). Таким об-
образом, среднее поле за экраном—это плоская волна
u=vee'k*, (10.3)
амплитуда которой v0 равна средней прозрачности /0.
Для нахождения функции корреляции воспользуемся выра-
выражением (9.16), из которого следует, что
1>« (Pi. гп Ра- га) = <«* <ri) "* (Гг)> =
5J pl—ix"pl + ip'z1 — ip"z^), (10.4)
где р' и р" даются выражением (9.15) соответственно при х = и'
и и = к". Но для однородного граничного поля
<5(*')о*(*О> = ->Ч,(»О6-(к'—к"), (10.5)
где ./%,(*)—двумерная спектральная плотность, через которую
выражается корреляционная функция граничного поля:
. (Р®.6)
— оо
Подставляя (10.5) в (10.4), находим
СЃРѕ
4>. = N'«(Pi—P.. Zj, г,)= J ^(x)exp[j»(p1—p,) + »(pZi—p*zz)\d?K,
(10.7)
Таким образом, полг и (р, г) статистически однородно в плос-
плоскостях г = const, что является следствием однородности v (p) в
плоскости г = 0. �з сравнения (10.7) с двумерным спектраль-
спектральным представлением
Фв(р1—Р«. *!, zs)= ^^(я, Zl г?)ехр[?х(р1 —p,)]d'x (10.8)
следует, что пространственная спектральная плотность есть
F. (и; гх, г,) = Fv (x>exp [i (рг,—р*г2)] =
Спектральные составляющие c«>J (неоднородности граничного
поля а(р) меньше длины волны) порождают в полупространстве
z > 0 неоднородные волны, ослабевающие при удалении от эк-
экрана по экспоненциальному закону. Для точек наблюдении г;
74 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
и z2, удаленных от экрана уже на несколько длин волн (г
приближенно
22)], *'<**В¦
Подставляя (10.9) в (10.8), получаем для корреляционной
функции выражение
(Р®10)
где р = р,-—р2, ^=г1 — г2. �з (10.10) видно, что при zli2|>A.
случайное поле и (р, г) становится статистически однородным не
только в поперечных плоскостях г = const, но и в продольном
направлении г.
�спользуя формулу (10.10), рассмотрим частные случаи мел-
мелкомасштабных и крупномасштабных флуктуации граничного
поля v (р).
В случае мелкомасштабных флуктуации, когда радиус кор-
корреляции граничного поля lv мал по сравнению с длиной вол-
волны X, т. е. при &/„<§; 1, можно принять, что спектральная плот-
плотность Fv(x,) практически постоянна в круге к^^и приближен-
приближенно равна FB(0) = Fc. Тогда из (10.10) получаем
*.(Р. ?) = '7. \ ехр(/хр+ ipS)d»*, klv<^\. (10.11)
Поперечная функция корреляции, т. е. функция корреляции в
плоскости г = const, перпендикулярной к направлению распрост-
распространения, получается из (10.11) при ? = гх—гг = 0:
где it—функция Бесселя первого порядка. При увеличении р
отношение /х (?р)/р проходит в первый раз через нуль Лри
fep = 3,83, т. е. при р«0,61А. Таким образом, уже на расстоя-
расстояниях в несколько X от экрана поперечный радиус корреляции
поля /j_ — величина порядка длины волны, т. е. значительно
больше радиуса корреляции lv в плоскости г = 0: lx ~ А, ^> /„.
�з выражения для продольной функции корреляции
следует, что продольный радиус корреляции /„ тоже порядка
длины волны: /,i~Ji^>/j,. Таким образом, в случае мелкомас-
мелкомасштабных флуктуации на экране как поперечный, так и продоль-
J101 Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 75
ный радиусы корреляции поля при удалении от экрана увели-
увеличиваются и при г^>Х достигают значений порядка длины волны.
Вместе с тем происходит уменьшение дисперсии флуктуации,
т.е. их сглаживание. Действительно, при помощи (10.11) находим
РќРѕ
так что
В пределе при Ы„-*-0 (очень мелкие неоднородности экрана)
флуктуационное поле и вообще исчезает, так как столь мелкие
неоднородности порождают за экраном только неоднородные
(экспоненциально спадающие) волны.
Обратимся теперь к крупномасштабным неоднородностям
граничного поля (klv^>l). Такие флуктуации порождают бегу-
бегущие волны, в силу чего они особенно важны в приложениях'.
Мы уделим им поэтому основное внимание.
В случае крупномасштабных флуктуации граничного поля
двумерный спектр Fv(x) сосредоточен в узком интервале зна-
значений х*ги„~ 1//„<^/г. Это позволяет разложить продольное
волновое число p = J/fea—у? в формуле (10.10) в ряд Тейлора
по степеням ка и ограничиться двумя первыми членами:
Кроме того, не совершая заметной ошибки, можно раздвинуть
пределы интегрирования в (10.10) до ±оо, и тогда
t»(P-?)«e'*c $ Fp(x)exp(/xp—ix»5/2fe)d'x (ft/B>I). (10.12)
— OB
Нетрудно убедиться, что сделанные допущения эквивалентны
использованию для поля н (р, г) френелевского приближения
(9.17).
Положив в (10.12) ? = 0, получаем поперечную функцию кор-
корреляции:
*i (Р ) ^ ^ (Р . 0) = \FV (Сѓ.) exp (ixp) dsx = ifc, (p) (10.13)
(см. (10.6)). Таким образом, поперечная функция корреляции
волнового поля и равна функции корреляции граничного поля
76 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1!
и не меняется при удалении от экрана. Тем самым и попереч-
поперечный радиус корреляции такой же, как в плоскости экрана:
Сохранение поперечной функции корреляции, отмеченное
впервые в работе [24], означает сохранение и дисперсии (df,=a$),
и поперечной функции когерентности. В самом деле, учитывая
закон изменения среднего поля (10.3), имеем для волны, не ог-
ограниченной в поперечной плоскости,
1а = Гв(Р)- (10.14)
При p = pt—р, = 0 отсюда вытекает постоянство средней интен-
интенсивности при удалении от экрана:
7« (г) = <| и 1!> = Г„ (0) = <| v |»> = const.
Следует подчеркнуть, что сохранение \|>х, T± и / при удалении
от плоскости г = 0 не имеет места для статистически неоднород-
неоднородного экрана и для неплоской падающей волны, а более высокие
моменты поля не сохраняются даже для плоской волны и ста-
статистически однородного экрана.
Продольная функция корреляции 1^(4) получается из (10.12)
РїСЂРё СЂ = 0:
Заметное уменьшение модуля функции т|>ц(?) по сравнению с
максимальным значением фц(0) = о? наступает при g — 2A/»c|,
когда подынтегральная экспонента начинает осциллировать в
пределах интервала к^х,,~ \/lv, в котором сосредоточен спектр
Fv(n). Отсюда можно оценить продольный радиус корреляции/„:
т. е. /ц в klv^>l раз больше поперечного масштаба l±~lv.
Можно сказать, что продольная корреляция флуктуации поля
исчезает тогда, когда радиус первой зоны Френеля КХ|г,—гг| =
= V4?| Для отрезка | g | = | гг—za | становится больше попереч-
поперечного радиуса корреляции: V Ы, ~1Г
Проиллюстрируем сказанное о соотношении между продоль-
продольным и поперечным масштабами корреляции примером, в котором
функция корреляции поля вычисляется точно. Пусть у поля на
экране корреляционная функция гауссова: %(р) = о\ехр\{— р*/2Щ.
10] Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 77
Для нее
и простой расчет по формуле (10.12) дает
*« (Р. О = °2?е'*:ехр [- р»7/2/у = y^v (р) ехр {(1 - у) р«/2?},
Где -у=[1 +'?/&'У~'- Характерный масштаб изменения |i|)n| имеет
порядок /±~4> B поперечном направлении и Л|~ОД>§>^ в про-
продольном. Поверхности равных значений | г]э„ | имеют при этом
форму овалоидов, сильно вытянутых вдоль оси г.
2. Прохождение плоской волны через фазовый
хаотический экран. Так называют прозрачный экран с
функцией пропускания /(p) = exp[t'S(p)J, где S —вещественная
Случайная функция, т. е. экран модулирует только фазу, но
оставляет неизменной амплитуду (и, следовательно, интенсив-
интенсивность) волны. В полупространстве г>0 фазовый экран вызы-
вызывает в прошедшей волне-как фазовую, так и амплитудную моду-
модуляцию. Последнюю можно наблюдать, например, на листе бумаги
при прохождении света через оптически неоднородное или не-
неровное (скажем, обычное оконное) стекло, если отодвинуть
бумагу на некоторое расстояние от стекла.
Фазовый экран часто используется в качестве модели для
описания ряда явлений как в оптике, так и в радиофизике.
Например, линза с оптическими неоднородностями модулирует
главным образом фазу проходящей световой волны. Такое же
действие оказывает ионосфера Земли на проходящие через нее
радиоволны УКВ-диапазона. Модель фазового экрана применяют
также (хотя и с меньшими основаниями) при анализе мерцаний
радиоволн, посылаемых внеземными радиоисточниками и прохо-
проходящих через статистически неоднородную межпланетную или
¦межзвездную среду.
Если на неограниченный плоский фазовый экран падает
плоская волна и„ = е'кг, то граничное значение поля в плоскости
экрана z = 0 равно
v (р) = ехр [IS (р)] «„ |г=0 == ехр [iS (р)].
Выясним, как связаны статистические моменты поля прошедшей
волны с функцией корреляции фазы
i>5 (Р ) = <S(P.) S(ps)> = o2sKs (Р ),
где о|—дисперсия, a Ks(p)—коэффициент корреляции фазы.
Предположим, что флуктуации S статистически однородны в
плоскости г —0, имеют нулевое среднее значение (5 = 0) и под-
подчиняются нормальному закону распределения вероятностей.
78 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. II
_ Учитывая, что для нормально распределенной величины а с
се = О справедлива формула <eta> = exp (—аа/2), находим
[S(p1)-S(p2)]}> =
= exp|--i<[S(Pl)-S(p2)]2>}.
Но при 5 = 0 средний квадрат разности фаз—это структурная
функция фазы Ds(p), связанная с корреляционной функцией
t|>s(p) соотношением (4.6). Поэтому
Г„(р) = ехр [-Va0s(p)] = exp [ij>s (p)-ij>s (0)] =ехр \a%
Среднее значение и поперечную функцию когерентности поля
за экраном можно найти по формулам (10.3) и (10.14):
п=аое*г = ехр {—
Г± (Р) = Г„ (р) = exp [-7,0s (p)],
причем поперечная функция корреляции равна
l]}-e-^. (10,15)
Если флуктуации фазы на экране слабы (о%<^. 1), то из (10.15)
имеем
т. е. при малых флуктуациях фазы поперечная функция корре-
корреляции поля во всем полупространстве г>0 совпадает с i|>s(p).
В случае же больших дисперсий фазы (ст|§> 1) среднее значе-
значение поля va = e~"sl* пренебрежимо мало по сравнению с едини-
единицей, а величина exp {a% \KS (р) — 1]} заметно отличается от нуля
только при малых р. Учитывая это, пренебрежем в (10.15) чле-
членом e'"s и разложим коэффициент корреляции Ks(p) в ряд Tejuiopa.
Считая для простоты флуктуации фазы на экране изотроп-
изотропными, имеем
?+..., (10.17)
где штрихом обозначено дифференцирование по р (линейный по
р член в разложении (10.17) отсутствует, так как случайное поле
фазы 5(р) предполагается дифференцируемым, АГ^(О)=О). В ре-
результате получаем
*> S (10.18)
101 дифракция плоской еолны на хаотическом экране ¦}§
це учтено, что значения в нуле вторых производных Z(J(O) и
>s (0) = osKs (u) отрицательны.
�з (10.18) видно, что корреляция исчезает при p^\osf(s(0) \~'flf&
ils/as, где /s ¦— | /Cs (0) |~l/P*—радиус корреляции фазы. Поэтому
ля поперечного радиуса корреляции получаем оценку
аким образом, при as§s>l радиус корреляции примерно в as
аз меньше корреляционного масштаба фазы ts. Нетрудно по-
ять, с чем связано это различие масштабов 1± и ls.
При смещении вдоль экрана на расстояние порядка радиуса
орреляции ls фаза S изменяется на величину AS ~ as, совер-
иив при этом не более одной осцилляции. В то же время гра-
[ичное поле v (р) = e's испытывает на том же расстоянии р ~ ls
грнмерно п <— os/n осцилляции, откуда и следует, что l± ~ /j/n~
РЈ<1
РЈР·<*
Приведенные выше соотношения используются, например, при
штерпретации данных о прохождении ультракоротких радио-
эолн от внеземных источников через ионосферу Земли [23—26],
} которой имеются неоднородности электронной концентрации.
При определенных условиях можно считать, что поле о(р) на
выходе из ионосферы испытывает только фазовые флуктуации.
Если дисперсия фазы <з% мала. по сравнению с единицей, то
пространственная функция корреляции поля на поверхности
Земли совпадает, согласно (ГО. 16), с функцией корреляции фазы
^(Р)' которая определенным образом связана с функцией кор-
корреляции ионосферных неоднородностей. Следовательно, прио|<^1
можно непосредственно измерить корреляционную функцию фазы
волны, прошедшей через ионосферу, и судить о неоднородностях
ионосферы.
Значительно сложнее интерпретировать данные наблюдений
при ojSg>l. В этом случае функция корреляции изотропного
поля il>j_(p) связана с г|)5 (р) соотношением (10.18), при помощи
которого можно оценить лишь величину | гр^ (0) | ~ а|//|. Допол-
Дополнительные сведения о as и ls можно извлечь из данных об от-
относительных флуктуациях интенсивности волны (см. ниже), но и
с привлечением этих данных добиться однозначной интерпрета-
интерпретации трудно.
Дело в том, что ионосферные неоднородности расположены
не на фиксированной высоте, а распределены (причем неравно-
неравномерно) на высотах от 100 до 400 и более километров над уров-
уровнем Земли. Кроме того, эти неоднородности имеют широкий
Диапазон горизонтальных масштабов (or 1^.1 до X ^ 500 км), их
действие часто маскируется сильно" фокусирующими~образВва -
ниями («ионосферными линзами») и т. д. Поэтому наблюдения
флуктуации поля на Земле позволяют оценивать только грубые
§0 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 11
характеристики ионосферных неоднородностей: их горизонталь-
горизонтальные масштабы, степень анизотропии (неоднородности, как пра-
правило, вытянуты вдоль линий магнитного поля Земли), вероят-
вероятную высоту их расположения, а также среднюю скорость пере-
перемещения (дрейфа) неоднородностей [28, 29].
3. Флуктуации амплитуды и фазы за безгра-
безграничным фазовым экраном. Во многих приложениях, в
частности в задачах радиосвязи и радионавигации, представляют
самостоятельный интерес статистические характеристики ампли-
амплитуды и фазы волны. Для их вычисления кроме первой функции
корреляции комплексного поля ф_|_ (р) = <и (р1т г) и* (р„ г)>, кото-
которая в случае плоской волны и статистической однородности экра-
экрана не меняется при удалении от последнего, необходима и вторая
корреляционная функция ip_[_ (р) = <u (pt, г) и (р3, г)>.
Закон преобразования второй функции корреляции при/уда-
при/удалении от экрана можно получить при помощи френеле^ского
приближения (9.17), которое применимо к полям именно-'с круп-
крупномасштабными неоднородностями на границе. �спользуя (9.17)
и опуская для краткости аргумент га, находим
Ф± (Р. *) =
- ШУ � *> (р'-р")ехр {Ф(р1-р')'+(р2-р'?]} *р'*р\
(10.19)
где \\fv (р) = <о (pj v (pj—р)>—вторая корреляционная функция
поля на экране. Введем новые переменные интегрирования ? =
= р'~р" и г| = (р' + р")/2. �нтеграл по ц легко вычисляется,
при этом зависимость от рх + ра из (10.19) выпадает и остается
лишь зависимость от pt—р2. Переобозначив в оставшемся инте-
интеграле | через р' и Pi—ра через р, получаем
(10.20)
Таким образом, вторая корреляционная функция преобразуется
почти так же, как и само поле: отличие от (9.17) заключается
лишьвтом, чтов(10.20) входит удвоенное расстояние от экрана 2г.
Последующие выкладки упростятся, если вместо флуктуацион-
ной; части поля и ввести вспомогательную случайную величину
a=;ue~ikz, e = 0, которая представляет собой комплексную ам-
амплитуду флуктуации поля. Первая и вторая корреляционные
функции этой величины преобразуются по формулам, аналогичным
Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ
{10.13) Рё (10.20):
81
*.(Р .*) = Рљ5 5
(10.21)
(10.22)
В отличие от (10.20), в (10.22) не входит множитель eiik*.
Кроме того, удобно нормировать средний квадрат пчля на
экране о(р) к единице:
<|y|*>=.a? + li'0|*=l. (10.23)
Такая нормировка отвечает непоглощающим и неотражающим
экранам, поскольку падающая волна единичной интенсивности
1е~\е11иу—\ порождает за экраном волну с той же средней
интенсивностью: т ,.
Это условие, очевидно, выполнено
для чисто фазового экрана.
Свяжем теперь величину а с ам-
амплитудой А и фазой S волны
и — Ае?+1кг, распространяющейся за
экраном. �меем
В«(Р . Рі) = Рђ (СЂ, Рі) exp [ikz + iS (СЂ,Рі)1=
Р РёСЃ. 3.
где va без ограничения общности можно считать вещественной
величиной. Разделяя а на вещественную (а') и мнимую (а") части,
находим, что
Aets = i\ + a = (у„ + о') -f ia",
откуда
A =l/'K-fa')2+a"'> S = arctg^-~i- (10.24)
На рис. 3 показаны соответствующие векторы на комплексной
плоскости амплитуды U = Aels.
Задача о нахождении из (10.24) статистических характеристик
амплитуды Л и фазы S решается до конца в двух частично пе-
перекрывающихся случаях: при слабых флуктуациях поля на
экране, когда \а'\ и \а"\ малы по сравнению с единицей, и во
фраунеоферовой зоне, когда величины а' и а" распределены по
нормальному закону. Эти случаи и будут рассмотрены ниже.
�сследуем сначала флуктуации амплитуды и фазы при слабых
флуктуациях. Пренебрегая малыми членами порядка je'|3 и |а"|»,
82 излучение и Дифракция случайных полей (гл. п
и учитывая, что в силу (10.23) v\ + (a')2+ (а")2= 1, при помощи
(10.24) получаем средние значения А и S:
Л"=1 — Va<a">, S = — <a'a">, (10.25)
а также выражения для корреляционных функций (p = Pj—ра):
<Ыр, z)=<A(Pliz) А(ра, г)>=^(р, г),
Фг (Р, z) = <S(Pl) z)S(p2, г)> = 1|& (р, г), (10.26)
ЧЬЯ(Р. г)=<Л (pj, z)S(p2, z)>=i|&(p, ?),
где ijjfj (p, г), i, / = 1, 2—корреляционные функции вещественной
и мнимой частей комплексного случайного поля а. В общем слу-
случае они выражаются через первую и вторую функции корреляции
ф„(р,г) и ф„(Р. г) при помощи формул (2.14). Однако, если
^а(Р. 2)—четная функция р, то справедливы более простые
формулы (2.22):
1/(Ф + Кеф) i& = VM>Re4>) (1027)
Таким образом, посредством формул (10.25) и (10.26) первые
два момента амплитуды и фазы выражены через первую и вторую
корреляционные функции комплексного поля а. Последние же
преобразуются при удалении от экрана в соответствии с выра-
выражениями (10.21) и (10.22), чем и решается поставленная задача [23].
В частном случае фазового экрана с начальной фазой 5, рас-
распределенной по нормальному закону, имеем
^-Vp'j, (10.28)
Ъз(Р. г) =§S5 J ШР)«мkj?irXdV- (10.29)
где ф!(р)—корреляционная функция фазы в плоскости г = О.
Для гауссовой корреляционной'функции фазы
iH(p)=a|oe-P'/В«'i (10.30)
эти интегралы легко вычисляются и, в частности, при р = С
дают
где О = ?>(г) = 2z/kl%. Величину D называют вслед за Г, С. Го
реликом [43] волновым параметром. Этот параметр показывает
101 Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ S3
во сколько раз площадь первой зоны Френеля л /
превышает по порядку величины «площадь» одной неоднородности
^/ я/§, т. е. сколько неоднородностей умещается в этой зоне.
В зависимости от значения волнового параметра можно выделить
три области дистанции z (которые тоже называют зонами): ближ-
ближнюю (D<-gl), френелевскую (D~l) и фраунгоферову (D^>1)
зоны (по отношению к отдельной неоднородности). Для каждой
из них характерны определенные особенности флуктуации.
В ближней зоне (D<|;1) преобладают, естественно, фазовые
флуктуации: <з\ <^ст| я: а|0. При удалении от экрана амплитудные
флуктуации нарастают, а фазовые уменьшаются, причем в пре-
пределе D—уса (фраунгоферова зона) дисперсии амплитуды и фазы
выравниваются:
O4.sb-В»=Vsa|,. (10.32)
Корреляция между А и S пренебрежима в ближней и дальней
зонах и максимальна при D ~1.
Обратимся теперь к флуктуациям в зоне Фраунгофера (D^>\)
при произвольных (не обязательно слабых) флуктуациях поля
на экране. При D^>1 в пределах первой зоны Френеля с ради-
радиусом V%z, которая только и существенна для интегрирования
в (9.17), умещается много неоднородностей поля на экране.
В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей
закон рчспределения величин а' и а" приближается поэтому
к нормальному.
Нормализация этих величин обусловлена «фильтрующим» дей-
действием свободного пространства и имеет такую же природу, как
и нормализация временных сигналов на выходе узкополосных
фильтров (ч. I, § 50). Действительно, преобразование случайного
поля по формуле (9.17) вполне аналогично преобразованию слу-
случайных процессов, причем аналогом импульсной функции в на-
нашем случае является разностное ядро преобразования (9.17),
которое и осуществляет фильтрацию с эффективной шириной
полосы пространственных частот Ди~ |/&/г~ (Яг)-*/¦. С ростом
дистанции г эта полоса сужается и при г^>Щ (т. е. в дальней
зоне, D^> 1) становится значительно уже первоначальной ширины
пространственного спектра v.v~ \/lo. При этих условиях и про-
происходит нормализация поля м(р, г).
То обстоятельство, что а' и а" в дальней зоне распределены
по нормальному закону, дает возможность найти плотности ве-
вероятностей амплитуды и фазы и вычислить моменты этих величин.
По существу, речь идет о хорошо изученной задаче о статистике
огибающей А и фазы S сигнала и(р, г) = Ле'я+'*г= (и„+ а)е"",
представляющего собой сумму гармонического колебания i\eikz и
гауссова шума u = ae'kz.
84 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ.
Для гауссовых величин закон распределения вероятностей
полностью характеризуется только низшими моментами—средними
значениями и функциями корреляции. В нашем случае a'=cf = О,
а функции корреляции ф?!, ijft и ^ выражаются через первую
и вторую функции корреляции комплексного поля а посредством
формул (10.27). В зоне Фраунгофера эти формулы существенно
упрощаются, поскольку при D^> 1 вторая корреляционная функ-
функция •фд (р, г) пренебрежимо мала по сравнению с первой. В ре-
результате при D ^> 1 имеем
Р§4(Р , Рі) = Р§)?Рі(Р , z) = 'MUp). 4>?В»(P,z) = 0, (10.33)
т. е. в зоне Фраунгофера поля а' и а" некоррелированы, а их
автокорреляционные функции одинаковы и отличаются коэффи-
коэффициентом V« от первой функции корреляции поля на экране. Как
следствие этого, функции ijifi и тЦ» и связанные с ними стати-
статистические характеристики амплитуды и фазы не зависят от рас-
расстояния до экрана: с ростом дистанции z они остаются такими
же, как на «входе» в дальнюю зону г^ВД.
Определение статистических моментов амплитуды и фазы при
известной (гауссовой) статистике о' и а" проводится таким же
образом, как и в ч. I, §§ 25 и 44 (см. также [30, 31]).
4. Флуктуации интенсивности за безгранич-
безграничным фазовым экраном. При рассмотрении флуктуации
интенсивности обычно интересуются их функцией корреляции
(P = Pi—Ра)
/" Рі) /(СЂ2,Рі)> = </(СЂ1,Рі)/(СЂ!1Рі)>-7Р° (10.34)
и так называемым индексом мерцаний (5:
y(t) = <J'(yC) = ^| (10.Р—Р‘)
который характеризует относительные флуктуации интенсивности.
Если принять, как и выше, что /=1,то
Ь (Р, *) = </ (Pl, г) / (р„ г)>-1, (10.34')
Р * (Рі) = </В» (Рі)>-1 = Рѕ? (Рі). (10.35')
Как и при анализе амплитудных и фазовых флуктуации, рас-
расчеты у, и р удается довести до конца лишь в двух частично
пересекающихся предельных случаях—4цля слабых флуктуации
и дляЩ>раунгоферовой зоны. >
�спользуя результаты п. 3, легко показать, что в случае
слабых флуктуации
Ыр, г)=41|)д(р, г),
Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 85
Таким образом, флуктуации интенсивности меняются при удале-
удалении от экрана по тому же закону, что и флуктуации амплитуды.
При D^l (зона Фраунгофера) (Sa(z) стремится к предельному
значению
pl = 2cjo> 0|Рѕ<1, (10.36)
независимо от вида функции корреляции фазы на экране.
При расчете чр, в дальней зоне (D^>\) воспользуемся фор-
формулой из задачи 12 к гл. I, которая справедлива для полей,
распределенных по нормальному закону. При D^z>\ имеем
^ /^0 так что Г(1,2) = й(1)п(2) и
)ЧГя(р)|а-|й|*=|Го(р)|2-Ы4- (10.37)
Так как мы приняли, что Гв(0) = / = 1, для индекса мерцаний
в дальней зоне (г—>•<») получаем
К~-р!. = 1>/(0)=1-|«».1*- (10.38)
Согласно этим формулам функция корреляции интенсивности ф/
й индекс мерцаний J32 при D^>1 уже.не зависят от г.
В частном случае фазового экрана с гауссовыми флуктуациями
фазы, когда vo — e""^2, а 1|>Лр) дается выражением (10.15), по-
получаем
1V(f>) = e~2<l|<4exp[2i|>В°s(p)l-l}, P*=-1 -Рµ'^\ (10.39)
При о|о<С 1 последнее выражение переходит, как и следовало
ожидать, в формулу (10.36). В другом частном случае—экран
с нулевым средним полем (va — 0) — выражения (10.37) и (10.38)
принимают особенно простой вид:
Анализ флуктуации в общем случае наталкивается на значи-
значительные математические трудности. Если флуктуации поля на
экране не малы и точка наблюдения не удалена во фраунгофе-
рову зону по отношению к отдельной неоднородности, то расчет
индекса мерцаний сводится, в рамках френелевского приближе-
приближения (9.17), к вычислению интеграла
4-1. (10.40)
86
РіРґРµ
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
Г;2'2) (1,2, 3, 4) = <v (pj о (р.) »• (рз) V (Pl)>
— смешанный момент четвертого порядка. Для произвольных
функций Г„>2) (1, 2, 3,4) значения интегралов вида (10.40) можно
находить лишь численными методами. Рассмотрим полученные
таким путем в [32] результаты для фазового экрана.
Если фазовые флуктуации распределены по нормальному за-
закону, то
Г* 3> (1, 2, 3,4) = <ехр {/ [S (Pl) +5 (pJ-5 (p,)-S (Pl)]}> =
где TJ3/ft = л|з5 (р,-— р4) — значения функции корреляции фазы 5 при
р = р(—рк, а а|0—дисперсия фазы. На рис. 4 показаны полу-
полученные в [32] графики зависимости индекса мерцаний Рг от вол-
волнового параметра D = 2z/kl% для
гауссовой функции корреляции
фазы (10.30) и для значений дис-
дисперсии о1о от 0,1 до 5.
Поведение этих кривых нам
уже частично известно: в зоне
Фраунгофера (?>> 1) ра = К =
= 1 —e"2°s», а при слабых флук-
туациях фазы (сг|0<^1) рз =
^2al0D3/(l +D*)- Новым является
наличие при' о|0 > 1 максимумов
(З при промежуточных значениях
^ЬДля величины максимумов
Р2 при сильных флуктуациях фа-
фазы (а|0^>1) в [32], а также в
[33], где было проведено качест-
качественное рассмотрение вопроса, дана оценка pLax^ 1по|0. Более
аккуратные расчеты, проделанные в [34, 35] для функции кор-
корреляции фазы il's(p) произвольного вида, привели к следующему
асимптотическому значению р^ах при а§0^>1:
Р РёСЃ. 4.
Здесь у—численный коэффициент, равный -?¦—й5а ;, а ^ =
=--1 K's (0) |"1/» — величина порядка радиуса корреляции фазы. Для
гауссовой функции корреляции (10.30) у = 72, l\-=h- Эти оценки
указывают на логарифмическое «намодение» индекса мерцаний
Ртах с РОСТОМ О|„.
^[l] Д�ФРАКЦ�Я Ё ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 87
Максимум индекса мерцаний приходится, согласно [32—35],
на расстояние гт, равное
*-=§¦ (ю'41)
Формула (10.41), как и самый факт появления максимумов,
допускает простую геометрическую интерпретацию: флуктуации
интенсивности максимальны там, где волны за фазовым экраном
фокусируются. Действительно, в приближении геометрической
оптики фокусировка происходит на расстоянии zm~ 1/v от фазо-
фазового экрана, где v—кривизна фазового фронта. По порядку ве-
величины \'~' ~? \~fov) (х—одна из координат в плоскости г = 0) и
d2S cSa
-ал 71" • Следовательно, zm ~ 1/v ~ Ws/O"50, что совпадает
с (10.41). Очевидно, чем больше дисперсия фазы а|„, тем ближе
к экрану расположена зона фокусировок.
Эффект фокусировки волн и обусловленные им максимумы
индекса мерцаний характерны, очевидно, только при условии,
что на экране хорошо выражены именно фазовые флуктуации.
Если же на экране флуктуирует только амплитуда, то дифрак-
дифракция приводит не к увеличению, а, наоборот, к сглаживанию
флуктуации интенсивности, т. е. к уменьшению индекса мерца-
мерцаний. Примеры такого сглаживания рассмотрены в задачах 7 и 8.
Сглаживание флуктуации интенсивности происходит также в том
случае, когда на фазовый экран падает не плоская волна, а волна
от источника конечных угловых размеров [32].
§11. Дифракция случайных полей
в простейших оптических системах
В предыдущем параграфе мы рассмотрели одну из простейших
статистических дифракционных задач—дифракцию детерминиро-
детерминированной плоской и монохроматической волны на бесконечном и
статистически однородном хаотическом экране. Здесь мы обра-
обратимся к дифракции случайных полей на детерминированных объ-
объектах. В основном мы будем иметь в виду слабо расходящиеся
волновые пучки, чаще всего встречающиеся в оптических и ква-
квазиоптических системах.
1. Прохожден ие случайной волны через отвер-
отверстие в экране. Теорема Ван-Циттерта — Цернике.
Пусть v (со, р) = ып(со, г)|г=0 — спектральная амплитуда поля, соз-
создаваемого каким либо источником в плоскости г = 0. Если
поместить в этой плоскости непрозрачный экран с отверстием S,
вырезающим пучок волн конечного диаметра, то непосредственно
за экраном образуется поле «на выходе» кв(и>, р), которое в
88 �злучение и Дифракция случайных Полей [гл. и
приближении Кирхгофа равно1)
( v (СЃРѕ, СЂ) РЅР° S,
«°(ш'р>=\ 0 вне S.
Это поле можно записать через функцию пропускания отверстия:
считая, что
РЅР° S,
1 РІРЅРµ 5.
В случае плавных (в масштабе длины волны) флуктуации
граничного поля v(u>, p) для вычисления поля за отверстием
можно воспользоваться френелевским приближением (9.17), кото-
которое с учетом (11.1) дает
М (р'> v <¦«>• Р') ехР fl7 (Р- Р')2] *Р'- (•' -3)
Среднее по ансамблю источников значение v(a>, p) равно нулю,
вследствие чего и
<В«(В«, Рі)> = 0. (11.4)
Вычислим поперечную функцию когерентности дифракционного
поля, т. е. функцию когерентности в плоскости г — const. В со-
соответствии с (П.З) имеем
Г± (Ч ри р2, г) = <ц (ш, ри г) и' (ш, р2, г)> =
= (si)' $ Рњ W Рњ (Р ")Р“" ((0- Р ' ~ Р 
^'^Р ", (Р�.5)
где Г„(со, р'—р") — пространственная функция когерентности гра-
граничного поля v (к>, р), которое предполагается статистически одно-
однородным. Пространственно-временные функции когерентности полей
u(t, т) и v{t, р) связаны с Гх(ео, р13 р2, г) и Г„(к>, р'—р") преоб-
преобразованиями Фурье, например:
OD
РіС…(С‚> Pi. Р Рі. Рі) = ^ r-L(В°>. Pi. Р Рі. Рі)Рµ-*"dm. (11.6)
Рѕ
') Приближение Кирхгофа применимо, как известно, при условии, что
размеры отверстия а велики по сравнению с длиной волны, ар>Л.
|('j] Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 89
Щ силу (11-4) все эти функции когерентности совпадают с соот-
соответствующими функциями корреляции.
Не конкретизируя вида функции когерентности (корреляции)
граничного поля, интеграл (11.5) можно вычислить в двух
предельных случаях — при больших и малых размерах отверс-
отверстия а по сравнению с радиусом корреляции /„ (но всегда при
)
При a<^lv (малое отверстие) функция когерентности гранич-
граничного поля Г„ практически постоянна в пределах отверстия и ее
можно вынести за знак интеграла со значением Fv (го, 0) =7„(ю).
В результате1)
^(Pj.Ps, Рі)=7Рі,РёР›1(СЂ1, Рі)Рё"Рј(СЂ81 Рі), (11.7)
где поле «м(Р. г) дается выражением
и представляет собой дифракционное поле за отверстием при
нормальном падении на него плоской волны единичной амплитуды.
Коэффициент корреляции при дифракции на малом отверстии
равен
rВ±(Pi, Ps, z) ayii(pi.z)uj,(pa, z)
„ ра, г) = уг^ (pi] pi_ г) ^ (pj pj г) = y~Um (Pi_ г) |, Um (p>i г) | >
так что | /Cx<J = 1 ¦ Это означает, что случайная волна, прошед-
прошедшая через малое отверстие), порождает пространственно коге-
когерентное поле. До создания лазеров пропускание света через
малое отверстие (наряду с использованием малых источников
света) было практически единственным способом получения про-
пространственно когерентного света. Этим способом пользуются и
в настоящее время, если не требуется высокой интенсивности
поля.
Обратимся к другому предельному случаю a^>lv (широкое
отверстие). Прежде всего отметим, что вблизи отверстия имеется
область, в которой функция корреляции будет такой же, как
и в отсутствие непрозрачного экрана. Форму и размеры этой
области можно оценить, используя спектральное представление.
Ширина двумерного спектра Fv(n) случайного поля v имеет по-
порядок v.v~\lls или, в пересчете на углы, 8~к.в/к~Х/1Ч1. Сле-
Следовательно, если точки наблюдения rt и г2 находятся внутри
1) Начиная с формулы (11.7), мы опускаем аргумент (О всюду, где это
Может привести к недоразумениям.
90
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
1ГЛ. 11
конуса с основанием а и углом при вершине б (рис. 5), то поле
«не почувствует» влияния краев диафрагмы. Для всех точек
внутри этого конуса поперечная функция корреляции будет та-
такой же, как у граничного поля:
Гц. (Pi. Ра. г) = Г„(р! —р,).
Предельная дистанция глр, на
которой еще справедливо это соот-
соотношение, оценивается как1)
РіСЏСЂ~-| ~-f2-~fe<. (Рџ.9)
При a^>lv эта дистанция отвечает
дальней зоне по отношению к раз-
размеру неоднородностей lv, так как
2„р а
Р РёСЃ. 5.
и ближней зоне по отношению к размеру отверстия а:
РіРїСЂ
a ^*
Отсюда, в частности, следует практически важный вывод, что
распределение флуктуации поля за отверстием нормализуется
еще в ближней зоне апертуры а.
Вычислим интеграл (11.5) при 2^>гпр. Для этого перейдем
к новым переменным | = р' — р" и т] = (р' + р")/2 и обозначим
полусумму (р, + р,)/2 через р+, а разность pj—pa—через р.
Тогда (11.5) принимает вид
Г±(Р, Р+, г) =
_/Js_V
Область интегрирования по \ ограничена здесь неравенством g<
<!/„<^а, так как при |<э/е функция корреляции Tv (|) близка к
нулю. В то же время ц^,а, поскольку при \\>а обращается в нуль
произведение М (t)+|/2) М (ц—1/2)я#Л1в (ц) =М (г\). Поэтому пер-
первое слагаемое в показателе экспоненты ограничено сверху не-
неравенством fe|r|/2 =S/2uZj,/z ~ 2np/z. При г^>гпр этим слагаемым
') Если lv^a, то в качестве гпр следует брать величину гпр~о, так
как в этом случае ширина углдвого спектра 6 сравнима с я/2.
I til Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 91
можно пренебречь, и тогда интегралы по ? и г] разделяются
j *|Г„<5)ехр(--!*l?±-). (НЛО)
Р¶
РґР»
- ' L >
Точно такое же выражение можно получить и непосредст-
непосредственно из формулы (9.18) для поля во фраунгоферовои зоне:
L \ (
(11.11)
Однако приближение (11.11) справедливо только в дальней зоне
2§s>fta\ a формула (11.10) применима и на гораздо меньших
дистанциях г^>гпр~ kalv. �ными словами, функция когерент-
когерентности (11.10) формируется еще в ближней зоне по отношению
к отверстию.
Зависимость функции когерентности (11.10) от поперечных
координат p = Pi — р2 и p+ = (pt + p2)/2 определяется произведе-
произведением трех сомножителей. Множитель перед интегралом
exp {ifepp+/z} = exp {ik (р? —pi)/2z} к, exp {ik (^—г2)}
возникает просто из-за того, что сферические волны, покидаю-
покидающие отверстие, не согласованы с плоской формой поверхности
z = const, на которой рассматривается корреляция поля. Если
взять корреляцию на сфере г = const, этот множитель обратится
в единицу.
�нтеграл по г\ в (11.10), зависящий только от разности р =
= pt—р2> характеризует поле когерентного источника с распре-
распределением амплитуды А1(т|). При размере отверстия а угловая
ширина диаграммы направленности такого излучателя имеет по-
порядок h/a, а линейная ширина центрального дифракционного
лепестка в плоскости г = const равна Др ~ Xz/a. Отсюда для
поперечного радиуса корреляции сразу же следует, что
где ^-—а/г — угловой размер отверстия из точки наблюдения.
Как и ширина дифракционных лепестков, поперечный радиус
корреляции возрастает по мере удаления от плоскости ? = 0.
Увеличение радиуса когерентности геометрически объясняется
� Д�ФРАКЦ�Й СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
1РіР›. it
тем, что при удалении от отверстия фазовые фронты всех эле-
элементарных сферических волн можно считать (с точностью до X)
совпадающими на все большей площади.
Второй интеграл в (11.10) определяет пространственное рас-
распределение средней интенсивности дифракционного поля. Поло-
Положив в (11.10) р = 0 и учитывая, что интеграл по х\ при р = 0
равен площади отверстия S, имеем
J Г,(8)ехр(_2^1.
(11.13)
По предположению масштаб lv изменения функции Г„ мал по
сравнению с поперечником отверстия а. Поэтому ширина рас-
распределения интенсивности 7а в плоскости 2 = const, составляю-
составляющая р+ -~ Яг//„ (угловая ширина имеет порядок p+/z~X/lv~l/ktv),
Р РёСЃ. 6.
велика по сравнению с поперечным радиусом корреляции lL:
Таким образом, мы имеем здесь дело с примером квазиоднород-
квазиоднородного (в плоскости г = const) поля. В данном случае все реали-
реализации дифракционного поля за отверстием представляют собой
быстрые пространственные осцилляции с масштабом /j_ и с раз-
размахом порядка у 1и(р) (рис. 6.).
Если разделить функцию когерентности (11.10) на среднюю
интенсивность дифракционного поля, то мы получим коэффи-
Д�ФРАКЦ�Я Й ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 93
циент поперечной пространственной корреляции поля
где величина
представляет собой нормированное к единице (JF (0) = 1) преоб-
преобразование Фурье от М (ц) и одновременно—диаграмму направ-
направленности отверстия при нормальном падении на него плоской
монохроматической волны. В частном случае круглого отверстия,
когда Л1(р) = 1 при р<а и обращается в нуль вне этого круга,
где У,(ха)—функция Бесселя первого порядка.
В пределе, когда радиус корреляции граничного поля lv мал
по сравнению с длиной волны, интеграл по \ перестает зави-
зависеть от р+:
РѕСЃ
J Г„(1)ехр (-
Через Sv здесь обозначена эффективная площадь когерентности
граничного поля:
[ [ v(l)d4, (Рџ.15)
которая по порядку величины равна 1%. В результате при
^„<^А из (11.10) вытекает так называемая теорема Ван-Цит-
терта — Цернике:
Г.(Р, Р+. Z) = ^-exp (i*MLL) J ^(р')ехр (-Ш.)^'. (11.16)
Входящую сюда величину
¦Г(Р')=^-/АЛ1(Р') (11.17)
называют приведенной интенсивностью.
Согласно теореме Ван-Циттерта—Цернике модуль поперечной
Функции когерентности Гх зависит от разности р = р, — р2 так
94 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ �ГЛ. II
же, как и поле в зоне Фраунгофера, создаваемое полностью
когерентным источником с распределением амплитуды, пропор-
пропорциональным J (р'). От обычных дифракционных формул выра-
выражение (11.16) отличается в двух отношениях. Во-первых, квад-
квадратичная по полю величина Tj_ обратно пропорциональна квад-
квадрату (а не первой степени) расстояния. Во-вторых, это выражение
вместе с исходной формулой (11.10) применимо, как уже отме-
отмечалось, на дистанциях г^>г|ф, причем в рассматриваемом пре-
пределе lv^a величина гпр сравнима с а, тогда как диаграмма
когерентного источника с поперечником а формируется на зна-
значительно больших дистанциях z^>ka?^5=>znv~a.
Обычно теорему Ван-Циттерта—Цернике (11.16) получают
путем формального введения дельта-коррелированных флуктуа-
флуктуации граничного поля, полагая в (11.5) или в (11.10)
при этом в выражении (11.16) для приведенной интенсивности
вместо произведения IVM (р') возникает переменная интенсив-
интенсивность /„ (р'). �сточник с независимыми значениями поля в сколь
угодно близких точках называют пространственно некогерентным.
Представление о пространственно некогерентном источнике
является идеализацией, имеющей ограниченную область приме-
применимости. Дело в том, что поле бегущих волн по самой своей
природе не может быть дельта-коррелированным в пространстве,
поскольку (§ 9) масштаб изменения поля lv не может быть
меньше длины волны X1). Поэтому в рассматриваемой поста-
постановке задачи (дифракция случайного поля на отверстии) переход
к пределу lv—»0 является, строго говоря, незаконным, что ста-
ставит справедливость вывода теоремы Ван-Циттерта—Цернике на
основе (11.18) под сомнение. С теоремой (11.16) мы встретимся
еще в одном важном случае, а именно в задаче об излучении
поля системой точечных независимых источников, к которой мы
обратимся в § 12. Смысл приведенной интенсивности в этой за-
задаче будет, разумеется, иным, чем в (11.17).
Результаты, полученные выше для пространственной корре-
корреляции спектральных амплитуд, в случае квазимонохроматиче-
квазимонохроматического поля сохраняют силу и для самих полей. В самом деле,
1) Заметим попутно, что отождествление приведенной интенсивности (11.17)
со средней интенсивностью поля в отверстии Iv (p) ведет к тому же выводу.
Такое отождествление возможно при *!6'в/4яа= 1, а это означает, что 5„ = X2,
что противоречит принятой в (11.18) гипотезе о дельта-корреляции, по ко-
которой sv — il<g)f.
jll) Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 95
согласно (11-6) пространственная корреляционная функция равна
РўВ±(С… = Рћ, Pl, СЂРі, Рі)=
:? #т]/�(ц)ехр(— -^-) . (11.19)
Для квазнмонохроматического поля функция Г„(м, 1) сосредо-
сосредоточена в узкой полосе частот Дсо вблизи частоты «„. Поэтому
приближенно (k0 = ajc)
Гх(т = 0, plt p2, г) —
(^^(^), (11.20)
РіРґРµ
— пространственная функция корреляции граничного поля, а
A«W—эффективная ширина полосы частот.
Переход от (11.19) к (11.20) возможен при выполнении не-
неравенства
|^-(pp+-lP+-ilp)| = 4f|(p1-p')3-(pJ-P")3Kl, (11-21)
физический смысл которого заключается в том, что разность
хода волн от разных частей отверстия должна быть мала по
сравнению с длиной когерентности tk = стА ~ с/Аш. Простые
оценки показывают, что для выполнения неравенства (11.21) до-
достаточно условия квазимонохроматичности (AoxSjCcoJ и условия
Р+=€а, которое требует, чтобы «центр тяжести» точек наблюде-
наблюдения р+= V2(Pi"l"Pj He выходил за пределы размеров отвер-
отверстия а.
2. Фокусировка случайных волн. Дифракционную
картину в фокусе линзы можно получить из предыдущих ре-
результатов при помощи простых преобразований, поскольку поле
96 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
в фокальной плоскости линзы подобно полю отверстия на бес-
бесконечности.
Пусть в отверстии непрозрачного экрана находится тонкая
линза с главным фокусным расстоянием F. Действие линзы можно
описать, введя под знак интеграла в (11.3) фазовый множитель
ехр{— ikp'2/2F):
Рј СЃРѕВ»( %) (^)
(11.22)
В главной фокальной плоскости z — F показатель экспоненты
упрощается и поле и (р, F) выражается просто преобразованием
Фурье от M(p')v(p'):
-g.)] f , В»
M(p)u(p')exp
(11.23)
От фраунгоферова приближения (11.11) для поля отверстия
(без линзы) выражение (11.23) отличается только заменой г на F,
так что формулы для функций корреляции повторяют соответ-
соответствующие выражения из п. 1. Так, при a<S; Jj, (малое отверстие)
распределение интенсивности в фокальной плоскости оказывается
таким же, как и для пространственно когерентной плоской
волны. В противоположном случае a^>tv (большое отверстие)
распределение интенсивности может быть получено из (11.13):
ГЛ!)ехР(—
Размер фокального пятна в этом случае дается выражением
рф — XF/lv, т. е. оно в a/lv раз больше, чем для детерминиро-
детерминированного поля плоской волны (p4 ~ XF/a). Однако интенсивность
в центре дифракционной картины теперь равна
;-(СЂ+=0,
что примерно в S/Sv ~ (a/lvY раз меньше, чем при когерентном
освещении (малое отверстие). Разумеется, полная интенсивность,
полученная интегрированием /„ по всей плоскости г = F, в обоих
случаях одинакова и равна полной «входной» интенсивности
7vs.
*tll
Д�ФРЛКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ
97
Как и при дифракции на отверстии, распределение интен-
интенсивности для квазимонохроматического поля оказывается прак-
практически таким же, как и для строго монохроматической волны.
Более того, в, оптике даже в случае белого света, у которого
Де> — шл, распределение интенсивности в плоскости z = F лишь
незначительно отличается от соответствующей картины для моно-
монохроматического поля. �менно поэтому при рассмотрении задач
oj формировании оптического изображения допустимо пренебре-
пренебрежение эффектами, обусловленными временной некогерентностью
поля [21, 36].
3. О роли пространственной когерентности
освещения в|форм ир овании оптического изобра-
изображения. Рассмотрим простейшую оптическую систему, содер-
содержащую только одну тонкую линзу (рис. 7). Полупрозрачный
Z—Z,
объект, например диапозитив, характеризуемый комплексным
коэффициентом пропускания f{9i), расположен в предметной
плоскости г= —гГ При освещении этого объекта слева плоской
монохроматической волной «lw = "in(P. г) непосредственно за
объектом создается поле
"i(Pi) = /(PiWPi). »(Pi) = «m(P, г)|2=-г„ (11.24)
где pt — радиус-вектор точки в предметной плоскости.
В плоскости z = 0, где расположена линза, образуется иоле
um(Pi) (Ра—вектор в плоскости 2 = 0), которое вофренелевском
приближении (9.17) равно
J
«На выходе» линзы возникает поле
«a (Pi) = ",„ Ы М (р,) ехр (- 4
* С. «. рыто, „ от. ч, н
(11.25)
J '26)
98 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ГГЛ. II
где множитель М(ра), равный нулю вне линзы и единице на
линзе, описывает действие ограничивающей линзу диафрагмы,
а множитель ехр {— ikpl/2F}— действие линзы с фокусным рас-
расстоянием F.
Наконец, пересчет поля (11.26) от линзы к плоскости изобра-
изображения z = z, также может быть произведен во френелевском
приближении:
(Р�.27)
Выражения (11.24)—(11.27) связывают поле и(р) в плоскости
изображения с коэффициентом пропускания f(Pj), характери-
характеризующим объект, и с первичным полем v (p,), свойства которого
определяются источником света. Не рассматривая собственно
оптический аспект задачи, уделим основное внимание особен-
особенностям формирования изображения в зависимости от степени
пространственной когерентности освещения полупрозрачного
объекта.
С этой целью примем с самого начала, что плоскости пред-
предмета и изображения сопряжены в смысле геометрической оп-
оптики, т. е. 1/г, + 1/г2= 1/F. Подставив последовательно (11.26),
(11.25) и (11.24) в (11.27), получаем
�нтегрирование по ра дает
где S—площадь отверстия, а через ?м(к) обозначена норми-
нормированная к единице (dFM(O) = l) трацсформанта Фурье от М(р)
(см. (11.14)). В результате
Рё(Р ) =
fl ] *
. (11.28)
Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 99
Выражение (11.28) представляет собой частный случай более
бщей формулы
5
51)<Рр„ (11.29)
которая принадлежит к соотношениям типа (9.2) и в рассматри-
рассматриваемой задаче связывает поле в предметной плоскости произ-
произвольной оптической системы с облучающим полем v (pj и функ-
функцией пропускания объекта f(p,}. Функцию ??(р, р,) называют
аппаратной функцией системы. Характерный масштаб изменения
аппаратной функции в плоскости изображения (т. е. по р) — это
радиус дифракционного пятна, отвечающего точечному объекту,
а .масштаб изменения <? по аргументу р4 определяет размер
области в плоскости предмета, дающей заметный вклад в поле
в' данной точке плоскости изображения. �ными словами, это
предел разрешения оптической системы.
В рассматриваемом случае однолинзовой системы с круглой
диафрагмой аппаратная функция равна
f? (р р )=. те ехр I'7' (''+ ** + р2/2га ~ Р'/2г')1 2Ji («Д) (�ЗО)
где M = ft|p/za + Pl/Zi|. Согласно (11.30) точечному объекту, по-
помещенному в точку р10, отвечает дифракционное пятно с центром
в точке р„ — —р1Ог8/г1. Отношение гг/гх характеризует увеличе-
увеличение данной системы, а знак минус отвечает перевернутому
изображению. Так как функция Бесселя J^xa) первый раз
обращается в нуль при иа = 3,83, характерным масштабом аппа-
аппаратной функции по р может служить радиус первого темного
кольца Эйри в дифракционном изображении точечного объекта,
равный—^—г2 т 0,61 Я—, тогда как масштаб изменения по р,
(с точностью до множителя порядка единицы — это релеевский
предел разрешения) равен 6 = 0,61 Я — .
При анализе свойств изображения мы будем исходить из об-
общей формулы (11.29), а частный вид этой формулы (11.28)
используем только для иллюстрации общих выводов. Согласно
(11.29) при освещении объектов частично когерентным светом
средняя интенсивность поля в плоскости изображения равна
= $Гв(р', р")ПР')1* (Р")^(Р, Р')^*(Р, p")d*p'd?p\ (11.31)
РіРґРµ
—пространственная функция когерентности первичного поля.
Для заданного объекта (функция / фиксирована) характер
распределения интенсивности в предметной плоскости зависит
4В»
IUO �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
от соотношения между радиусом когерентности первичного поля /„
(это характерный масштаб изменения функции когерентности Г„),
размером области разрешения б (характерный масштаб изменения
аппаратной функции по pt) и размером наиболее мелких дета-
деталей объекта рш|п. Соотношение между pmin и 6 определяется
характеристиками соответственно объекта и оптического прибора.
Если считать эти величины заданными, то воздействовать на
изображение можно, только менян /.„ т. е. меняя характер об-
облучения.
Рассмотрим предельные случаи 4^>Pmiu. б и /„^Рши- &<
которые принято называть соответственно когерентным и неко-
некогерентным освещением предмета. При когерентном освещении
(/„^>ргаЫ, б) можно считать, что в области, существенной для
интегрирования в (11.31) (в этой области обефункции &({>,р'}
и S?* (р, р") отличны от нуля, так что |р'—р"|^6), функция
когерентности Г„(р'—р") практически постоянна (поскольку
|р' — р"| =^= б<*S/„). Вынося ее за знак интеграла со значением
/„, где /„ = Г„(0)— интенсивность облучающего поля, получаем
(11.32)
Такую же формулу можно получить, разумеется, и непосредст-
непосредственно из (11.31), если считать первичное поле v (р,) когерентным
на всей плоскости предмета. �з приведенного вывода видно, что
требование когерентности на всем предмете является излишним:
для справедливости (11.32) достаточно, чтобы первичное поле и(р)
было когерентным лишь в пределах области разрешения 6.
В другом предельном случае некогерентного освещения (/„<?5
<^S, pmin) существенная для интегрирования область в (11.32)
ограничена площадью когерентности с линейными размерами
| р' — р" | *S lv. В пределах этой площади функции f* (p") и ?р* (р, р")
можно приближенно заменить соответственно на /* (р') и ??* (р, р'),
и в результате получим
Внутренний интеграл равен JVSV, где, подобно (11.15), введена
площадь когерентности Sv, равная интегралу от коэффициента
корреляции первичного поля Kv = Tvllv.
Таким образом, распределение средней интенсивности в пло-
плоскости изображения при некогерентном освещении дается выра-
выражением
!В¦ (11.33)
Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 101
Формально это выражение можно получить из (11.31), считая,
j«k и в (11.18), первичное поле дельта-коррелированным.
формулы (11.32) и (11.33) существенно отличаются друг от
друга. Можно сказать, что при когерентном (в указанном выше
смысле, т.е. при /„^-6, Pmin) освещении происходит преобразо-
преобразование самого комплексного коэффициента пропускания /(Pi) (с пе-
передаточной функцией у 7^i?(p, p,)), а при некогерентном осве-
освещении (/B<^6, pmin) преобразуется квадрат модуля ] /"(рх> |2 (с пе-
передаточной функцией !vSv\f?{(>, Pi)|2). Отсюда следует, в част-
частности, что при некогерентном освещении изображение не зависит
от фазы комплексной функции пропускания /, тогда как коге-
когерентное освещение может выявить резкие вариации фазы / даже
при |/[ = const. Например, если на некоторой линии в плоскости
предмета фаза скачком меняется на я, a |/| = const, то, как
еледует из (11.32), в плоскости изображения на соответствующей
(сопряженной) линии интенсивность /(р)„пг обратится в нуль и
ныувидим там темную полосу. Правда, при плавном (в масштабе 8)
изменении модуля и аргумента коэффициента прозрачности, т. е.
при рш1я^>б, оба вида освещения дают практически одинаковое
изображение, так как в обоих случаях распределение интенсив-
интенсивности в плоскости изображения /(р) пропорционально |f(p,)|2.
Укажем еще на два различия между когерентным и некоге-
некогерентным освещением. Во-первых, при одинаковой интенсивности
освещения /„ интенсивность и плоскости изображения при коге-
когерентном свете будет больше, чем при некогерентном, поскольку
Ширина углового спектра у некогерентного облучения больше,
'Чем у когерентного. Во-вторых, в предельных случаях освещения
возникают различия и в величине разрешающей способности:
при .некогерентном освещении размер наименьших различимых
по Релею деталей несколько меньше (примерно на 30%), чем
при когерентном. Это различие связано просто с тем, что вхо-
Дящий в формулу (11.33) квадрат модуля |,??(р, pjl" меняется
В1 функции от координаты р, круче, чем сама аппаратная
функция ,??(р, Р[) в формуле (11.32). В результате при разре-
разрешении двух точечных объектов с центрами в точках pi и
Pi провал между горбами в распределении интенсивности в пло-
плоскости изображения получается более глубоким, если световые
колебания в точках р[ и р", некогерентны. Провал можно сде-
сделать еще глубже, если добиться отрицательной корреляции
освещающего поля в точках р[ и pi (отрицательные значения
может принимать, например, функция когерентности вида 2i, (x)/x,
отвечающая равномерно светящемуся диску или же пучку света,
пропущенному через малое круглое отверстие). Этот красивый
по своей идее способ увеличения разрешающей способности дает,
однако, весьма незначительный выигрыш (всего лишь на несколько
102 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ГГЛ. II
процентов) по сравнению с некогерентным облучением. Более
подробно этот вопрос рассмотрен в книге [21].
Возникающие в оптике статистические задачи, конечно, не
исчерпываются приведенными примерами. Среди других проб-
проблем упомянем пространственную фильтрацию, статистические
вопросы, связанные с несовершенством оптических систем и с
зернистостью фотоматериалов, исгюльзование оптических систем
для корреляционного анализа н т. д. С этими и некоторыми
другими приложениями можно познакомиться по работам [13—22].
Л1ногие идеи, развитые первоначально в оптике, нашли приме-
применение и в радиотехнике [37].
§ 12. Возбуждение полей случайными источниками
Флуктуации поля, возбуждаемого случайными источниками,
представляют интерес для многих разделов физики. Здесь мы
остановимся на излучении радиоантенн со случайными вариа-
вариациями токов d раскрыве и рассмотрим особенности излучения
большого числа независимых источников.
1. Статистика поля, излученного большой ан-
антенной. Причиной флуктуации поля, излученного антенной, мо-
могут быть случайные отклонения амплитуд и фаз токов в апертуре
от заданных значений, обусловленные различными факторами.
Главными из них являются неровности антенного зеркала, раз-
разброс параметров излучающих вибраторов, случайные отклонения
в системах возбуждения и т. Д. Определенную роль играют также
деформации антенн при изменении температуры или из-за ветро-
ветровых нагрузок. Рассмотрим одну из моделей антенны с флуктуа-
циями токов.
Если размеры плоской антенны велики по сравнению с дли-
длиной волны, а токи в раскрыве монохроматические (~ е~ш) и
имеют только одну компоненту, скажем /,, то в направлениях,
не сильно отклоняющихся от нормали к плоскости раскрыва
z = 0, можно считать, что электрическое поле имеет только ком-
компоненту ?х, удовлетворяющую уравнению
&ЕХ + РЕХ*= —\х.
Таким образом, с учетом иных обозначений (и—Ех, q— —— \Л
задача сводится к уже рассмотренной скалярной задаче (9.7),
имеющей решение (9.8).
В случае антенн с плоским раскрывом токи сосредоточены
в плоскости z = 0, т. е. объемный интеграл (9.8) превращается
в поверхностный. Сохраняя для плотности поверхностных токов
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� ЮЗ
обозначение q, получаем
(p')-V-dy, R = !r-r'|, (12.1)
где для краткости опущен аргумент ы, а интегрирование рас-
распространяется на площадь раскрыва S.
Обычно представляет интерес поле в дальней (фраунгоферо-
вой) зоне г^>каг, где а—поперечник раскрыва. Можно поэтому
воспользоваться приближением фраунгоферовой дифракции, т. е.
формулой (9.10), которая в данном случае (поверхностные источ-
источники, излучение сосредоточено в узком конусе около оси г)
принимает вид
В«(СЂ. *)=^В« J
Здесь р = (х, у)—координаты точки наблюдения на удаленной
плоскости г = const. Ограничимся нахождением среднего значе-
значения к пространственной функции корреляции поля, излученного
большой антенной, имея в виду лишь основные эффекты, к ко-
которым приводят флуктуации токов в антеннах. Систематическому
изложению вопросов статистической теории антенн посвящена
РєРЅРёРіР° [38].
Как и в § �, удобно ввести функцию М (р), которая равна
единице на раскрыве S и обращается в нуль вне S (см. (11.2)):
что позволяет раздвинуть пределы интегрирования в (12.2) до
бесконечности:
(12.3)
Среднее но ансамблю реализаций токов значение ноля дается
интегралом
"{p>z>=TErexP['fc(z + -e-)]J ?(р')Л1(р')ехр(—^l)dV,
— 00
который можно представить в виде
)]ЛГЛ(^). (12.4,
104 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ !ГЛ. II
гДе <7»> — максимальное значение среднего тока в раскрыве, а
?А(х) — нормированная к единице (FA(0) = \) диаграмма на-
направленности антенны:
I Р® (12.5)
причем направление на точку наблюдения (х, у) в плоскости
2 = cortst задается вектором H = kp/z — (kx/z, ky/z). Наконец,
=J-[M((>')q(p')dy
Чт J
— нормировочный множитель, значение которого близко к пло-
площади раскрыва (SA = S при q = const).
Функция корреляции поля в плоскости г = const (попереч-
(поперечная функция корреляции) выражается двукратным интегралом
i, Р 2> Рі) = <Рё {СЂ1 Рі) Рї* (СЂ2, Рі)> =
Рњ(СЂ')Рњ(СЂ")%(СЂ',СЂ")С…
y d?p", (12.6)
где ^„(р', P") = <q(p')q* (p")>—функция корреляции тока. Во-
Вообще говоря, флуктуации тока в раскрыве статистически неодно-
неоднородны, что связано с краевыми эффектами: вследствие взаимного
влияния элементов излучающей системы статистика токов на
краях раскрыва может отличаться от статистики в середине
антенны. Однако в случае больших антенн, размеры которых а
велики по сравнению с радиусом корреляции токов lq, краевым
эффектом можно пренебречь и считать, что на всем раскрыве
Принимая модель мелкомасштабных (/,<?Са.) флуктуации тока
в раскрыве, мы можем воспользоваться изложенными в § 11
приемами вычисления интегралов типа (11.5). Если обозначить
P = Pi —Р2. P+ = (Pi + P4)/2, то (12.6) примет вид
РЎРћ
(12.7)
где a]j =--<| </12> — дисперсия, а К,,—коэффициент корреляции
флуктуации тока,
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� |Q5
Первый интеграл в (12.7) равен SHrM(-~j, где S—площадь
раскрыва, а ?м дается выражением (11.14). Эта величина не-
несколько отличается от диаграммы антенны (12.5), но при
a"=const 3~M = WA- Второй интеграл (по g) тоже можно записать
в виде произведения двух множителей:
J (^) (*) (12.8)
— ос
РіРґРµ
—'Эффективная площадь когерентности токов, a <F9(»«)—нор-
<F9(»«)—нормированная к единице (?q(Q) — \) диаграмма направленности
флуктуационных токов.
С введением этих обозначений корреляционная функция tJjj_
принимает вид
, р.. г) = ехр
Эту формулу можно рассматривать как обобщение теоремы Ван-
Ё[«ттерта—Цернике на случай конечного радиуса корреляции
источников. При дельта-коррелированных флуктуациях &rq=l,
и тогда (12.9) отличается от (11.16) только обозначениями.
Отсюда следует, что пространственное распределение дисперсии
поля определяется сравнительно широкой (с угловым раствором
*>' Vfl) диаграммой Wq.
тогда как пространственный коэффициент корреляции поля за-
зависит от диаграммы §~ix:
Цоследняя имеет угловую ширину ~ Х/а, меньшую, чем ширина
A/J» флуктуационной диаграммы Wv поскольку a^>lq. Попереч-
Поперечный радиус корреляции 1± оказывается таким же, как в (11.12),
it e. lx ~ РҐРі/Р°.
Пространственное распределение средней интенсивности /„
1«ожно получить при помощи (12.4) и (12.10):
/,(СЂ+) Рі) = |Рї(Р +, Рі)|>-|-РѕВ» (СЂ+, Рі) =
106
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
[ГЛ. Н
Здесь первое слагаемое описывает вклад среднего поля, а вто-
второе—вклад флуктуационного поля. На рис. 8 показана зависи-
зависимость 1а от р+ для различных соотношений между этими сла-
слагаемыми в предположении, что полная мощность, подводимая
к антенне, постоянна, т. е.
I q „I
= const Р·=<
(12.12)
В отсутствие флуктуации, когда oQ = 0 и \qm\ = Q, мы имеем
невозмущенную интенсивность
пропорциональную квадрату модуля диаграммы направлен-
направленности $ГА. Ширина этой диаграммы, скажем расстояние между
се нулями, составляет Хг/а (кривая 1 на рис. 8). При малых
&w
Р РёСЃ.
возмущениях появляется флуктуационная компонента, пропор-
пропорциональная угловому спектру флуктуации Wa(kp+lz) и имеющая
ширину Ар+ ~ Xg/lq^Xz/a. Эта составляющая приводит к «замы-
«замыванию» нулей (или минимумов) регулярной диаграммы (кри-
(кривая 2 на рис. 8) и к росту бокового излучения, т. е. излучения
вне центрального максимума. Вместе с тем несколько умень-
уменьшается вклад регулярной составляющей поля, так как при
неизменной мощности, подводимой к антенне, величина \qm\*
уменьшается по сравнению с Qa: |<?m|a = <22—а\-
Распределение интенсивности в плоскости г =const в случае
примерного равенства регулярной и флуктуационной компонент
в центре диаграммы изображает кривая 3 на рис. 8. Согласно
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� 107
(12.11) равенство |u|" = oj достигается при aJ = Qa( 1 —
при этом квадрат среднего значения тока \qm\1 = Qi—о^ мал
по сравнению с Q2, т.е. |9„|2яг—r-Q^^Q*- При столь боль-
ших возмущениях говорят о разрушении диаграммы направлен-
направленности антенны.
С дальнейшим ростом флуктуации регулярное слагаемое в
(12.11) становится пренебрежимо малым и распределение сред-
средней интенсивности уже совсем не похоже на невозмущенное
распределение (12.13):
Ширина диаграммы излучения здесь порядка Xz/lq, а максимум
интенсивности в Sq/S раз меньше, чем в отсутствие флуктуации.
Уменьшение интенсивности в направлении максимума излу-
излучения удобно характеризовать величиной коэффициента направ-
направленного действия (к. н. д.), который показывает, во сколько раз
интенсивность поля в центре главного лепестка диаграммы
больше, чем у ненаправленной антенны, излучающей ту же мощ-
мощность. Вычислим средний к. н. д. антенны <С> при сделанных
выше допущениях. Очевидно, если Go—к. н.д. невозмущенной
антенны, то
<G> = G,-/=**-.
Так как
для величины <Gy/Gt с учетом (12.12) получаем
При малых возмущениях токов в раскрыве (oe<^Q) средний
к. н.д. антенны мало отличается от Cf0: <C)«C,(1—oJ/Qa) (на-
(напомним, что 5,<^S). Уменьшение среднего к. н. д. вдвое на-
наступает уже при заметных флуктуациях, когда о% ~ VjQ3- При
сильных же флуктуациях, когда aq—>Q, а регулярная состав-
ЯйЮщая тока \Qa,\ = VQl—°% стремится к нулю, получаем
<G> S9S Sa
108 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЯ [ГЛ. II
Таким образом, при сильных флуктуациях к.н.д. антенны тем
меньше, чем больше неоднородностей N — S/S^ содержит раскрыв:
<.G> = G0/JV. Учитывая, что G0~S/X*, соотношение (12.15) можно
записать иначе;
<G>~-jr.
Отсюда видно, что если радиус корреляции lq сравним с длиной
волны Л, то 5,«/,2~-?.а и <G>~1. �ными словами, при силь-
сильных (oq^>\qm\) и мелких (/,~М флуктуациях излучение ан-
антенны полностью теряет направленность.
В статистической теории антенн возможны и многие другие
задачи. Например, может представлять интерес направление
центрального лепестка диаграммы направленности, уровень бо-
бокового излучения, статистика амплитуды и фазы и т. д. Эти
вопросы достаточно полно освещены в монографии [38]. Отметим,
что при исследовании статистики излучения антенны основная
трудность заключается, по-видимому, не в вычислении тех или
иных интегралов, входящих в выражения для моментов поля,
а в физически обоснованном задании статистики флуктуирующих
по раскрыву антенны токов. Ясно, что предсказать эту стати-
статистику только из теоретических соображений невозможно. В то
же время прямые измерения статистических характеристик со-
сопряжены со значительными трудностями, в частности, из-за
того, что при внесении в антенну измерительных зондов распре-
распределение токов в ней меняется. Косвенное же нахождение флук-
флуктуации путем измерения полей, излученных антенной, тоже не
дает исчерпывающего решения проблемы: такие измерения под-
подвержены влиянию дополнительных посторонних факторов (рас-
(расположенные рядом предметы и постройки, неровности местности
и т. д.), не говоря уже о том, что измерения поля сложны сами
по себе как в ближней, так и в дальней зонах.
2. Статистика поля, излученного системой не-
независимых источников. Для простоты будем считать вол-
волновое поле скалярным, а источники-—точечными. Если ;-й точеч-
точечный источник движется по траектории г = г7- (V), а его интенсив-
интенсивность меняется по закону (вообще говоря, случайному) Qt (t), то
для системы N точечных источников правая часть волнового
уравнения (9.4) запишется в виде
В результате поле излучения (9.5) будет выражаться суммой
РЄ- СЃ ) (12.16)
|Рі-Рі/(Рћ|
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ�
109
Ц которой |г —Гу(О| — расстояние от точки наблюдения да /-го
�сточника.
Не интересуясь средним значением поля, которое в подав-
подавляющем большинстве задач равно нулю, вычислим простран-
пространственно-временную функцию когерентности, сначала—для си-
системы неподвижных источников (iy = const). В силу (12.16)
Г(Л г'; Г. г») = <«(/', г') «•(<". г")> =
(12.17)
fflfe угловые скобки означают усреднение по ансамблю положе-
положений источников, а черта сверху—усреднение по ансамблю реа-
здязаций случайных процес-
Выражение (12.17) при-
ВЯмает особенно простой вид
|йля системы независимых и
•Одинаковых источников. Для
такой системы при \ф1
(бгесли одинаковую для всех Рис- 9-
1|?оцессов Qj (t) корреляцион-
корреляционную функцию обозначить через г])р(т.) (предполагается стационар-
стационарность этих процессов), то двойная сумма (12.17) превратится в
JSfjjfMMy N одинаковых слагаемых:
n-R||r, —R|/'
R||
Ще т=^—tit а 8=1^ — R |—|гг —R|—разности хода отисгоч-
Йика, находящегося в точке R до точек наблюдения г, и т3
#СЋСЃ. 9).
Усреднение по положениям источников можно представить
%; виде интеграла по объему с весовой функцией u>(R), которая
#1Йедставляет собой плотность вероятностей для радиуса-век-
*РІСЂ R:
Рі,.
¦или, если ввести среднюю концентрацию источников я (R)=Miy(R),
ПО �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. �
В частном случае, когда источники распределены по объему V
равномерно, n = N/V = const.
Временная функция когерентности может быть получена из
(12.18), если положить г1 = г2 = г. Тогда s = 0 и
Отсюда видно, что коэффициенты временной корреляции поля
и источников совпадают: Ku(t)=Kq(i), т. е. временная коге-
когерентность излученного поля оказывается такой же, как у источ-
источников. Это естественно, так как при неподвижных источниках
изменения поля обусловлены только изменениями функций Qy- (t).
Обращаясь к пространственной корреляции излученного поля,
рассмотрим некоторые частные случаи.
Если размеры «облака» источников малы по сравнению со
средней длиной волны излучения Я„, L ~ Vl/a<^.^0, то можно
считать задержку s/c в формуле (12.18) постоянной величиной,
равной sjc=(\r, — Ro| —|r2—R0|)/c = (r1—гг)/с, где R 0
Р± Р” Р±
Сѓ
V.
СЂ j(, o| |20|) (1Рі), o
центр объема V. Для точек наблюдения г, и rs, лежащих вне
объема V, тогда находим
(),3
где учтено, что J n (R) d?R = N. При т = 0 отсюда получается
пространственная функция когерентности излучателя малых
размеров:
^^ (12Р›9)
Согласно (12.19) поле пространственно когерентно внутри
шарового слоя толщины ст„, где хх—время корреляции источ-
источников. Таким образом, пространственный радиус корреляции 1К
совпадает в данном случае с длиной когерентного цуга етк.
�наче обстоит дело для больших (по сравнению с Я„) объе-
объемов V. Соответствующие закономерности проще всего установить
при помощи величины Г„ (ш; г^ г2), являющейся преобразова-
преобразованием Фурье по времени от Г„(т; г,, rj1). Для функции] коге-
когерентности (12.18) имеем [44J
•) В оптике эту величину называют взаимной спектральной интенсив-
интенсивностью, так как она относится к взаимной функции когерентности Г„ (т; Г;, г3),
характеризующей статистическую евяэь подя в двух точках.
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� Ц1
Здесь /г = ш/с, а
— спектральная плотность процесса Q()
Непосредственно из вида формулы (12.20) можно заключить,
что если размеры «облака» источников L велики по сравнению
с длиной волны X, а точки г1 и г2 находятся внутри облака,
то смещение любой из точек i\ или г2 на к приведет к суще-
существенному изменению величины Г„, так как под интегралом
имеется быстро осциллирующая функция e'*s. Отсюда следует,
Что внутри большого (L^>X) облака излучателей пространствен-
йый радиус корреляции сравним с длиной волны1):
la ~ %.
По мере удаления точек наблюдения от облака должно, оче-
андно, происходить некоторое упорядочение интерференционной
Картины—хотя бы из-за того, что волны будут приходить теперь
только из ограниченного телесного угла. Это упорядочение
проявляется в увеличении пространственного радиуса корреля-
корреляции вдали от системы излучателей, подобно вытекающему из
теоремы Ван-Циттерта—Цернике ув»личению 1и для дифракцион-
дифракционного поля отверстия (§ 11). Теорема Ван-Циттерта—Цернике
может быть сформулирована и для системы независимых излуча-
излучателей, но вывод оказывается несколько сложнее, чем в задаче
о,дифракции случайного поля.
Приведем только окончательный результат. Пусть точки тг
и г2 лежат в плоскости г = const, при этом rll8 = (p1,2, г). У век-
вектора R тоже выделим продольную (г') и поперечную (р') коор-
координаты: R —(р', г'), d?R = dzp'dz'. Если расстояние от облака
?елико по сравнению с его поперечником (г^>1), а точки наблю-
наблюдения расположены не слишком далеко от оси г (рь а<^г), то
формула (12.20) принимает вид
Р“.РћВ»; СЂ, СЂ+. Рі) =
Z ! («�1)'Л'. (.2.21)
г) Простая иллюстрация: от брошенного в воду камня расходятся волны
правильной круговой формы. Если же бросить пригоршню камней, го интер-
интерференция круговых волн создает в месте падения камней беспорядочную кар-
Тину гребней и впадин, сменяющих друг друга при смещении примерно на
Длину волны в любом направлении.
Н2 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. П
где р —р,—р2, р+ ={Pi + Pi)l^- Это соотношение эквивалентно
(11.16), если под приведенной (к плоскости г' — 0) интенсивностью
понимать величину
РіРґРµ
— число излучателей, приходящихся на единицу площади в пло-
плоскости г = 0.
Теорема Ван-Циттерта—Цернике сохраняет силу и в случае
движущихся источников, но спектральная плотность goM. вхо-
входящая в определение приведенной интенсивности (12.22), а также
в формулы (12.20) и (12.21), должна быть усреднена по всем
возможным значениям доплеровского смещения частоты, возни-
возникающего из-за движения источников. �ными словами, в форму-
формулах (12.20)—(12.22) нужно произвести замену
-РџРґВ», (12.23)
где угловые скобки обозначают усреднение по распределению
доплеровского сдвига �Л — итЛ1с, пропорционального лучевой
скорости Уц =(m, v), т — (г— R)/|r—R |.
Замена (12.23) справедлива при условии, что «длина свобод-
свободного пробега» источника 1сва6 (т. е. длина, на которой заметно
меняется скорость излучателя, или же расстояние, проходимое
источником за время корреляции излучаемого сигнала) мала по
сравнению с расстоянием |г— R| до точки наблюдения: /св(,й^
<^|г—R |. В подавляющем большинстве практически интересных
случаев это условие выполнено.
В качестве конкретного выражения для спектральной плот-
плотности gQ(a>) укажем на результаты расчетов, проведенных в ч. I
(задача 11 к гл. VI) для пуассоновского импульсного процесса,
состоящего из следующих друг за другом отрезков экспонен-
экспоненциально затухающих синусоидальных цугов. Этот процесс может
служить моделью излучения атомов, возбуждаемых ударами
соседей. Окончательная формула для спектральной плотности
(формула (1) в указанной задаче) имеет вид
где пг—средняя частота соударений, у — радиационная ширина
линий излучения и одновременно показатель затухания импуль-
импульсов вида Q (t) = А ехр {— (v+''w0) t + ф}, А—случайная амплитуда
со средним квадратом А1, (5—случайная фаза, распределенная
ЗАДАЧ� 513
равномерно в интервале (0, 2я), а <о0—частота излучения в си-
системе отсчета, в которой осциллятор покоится. В случае мак-
свелловского распределения скоростей частиц формула (12.24),
в зависимости от соотношения между шириной линии излучения
я, + Т и среднеквадратичным доплеровским уширениемащ="(/й^,
дает либо гауссову (при а^^п^+у), либо лоренцеву (при
Oe^^i + V) Ф°РМУ линии излучения.
Теорема Ван-Циттерта — Цернике допускает обобщение еще
в одном направлении. Спектральная плотность (12.24) соответ-
соответствует модели, в которой излучают атомы только одного сорта
и только на одной частоте. Между тем в реальных нагретых
Тазах могут содержаться атомы многих сортов, излучающие на
многих частотах; в плотном облаке многие световые импульсы
поглощаются другими атомами, не достигнув наблюдателя, и
т. д. Все эти эффекты можно учесть в теореме Ван-Цигтерта —
Цернике, если под J (р) понимать сумму приведенных интенсив-
интенсивности, отвечающих различным линиям излучения:
J (Р ) = ? 1РЇ (Р ) = 47Р“* ? в„– Р� В«""' (Р >-
Спектр каждой из этих линий излучения характеризуется
собственной частотой излучателя &f\ силой осциллятора Ахт,
радиационной шириной ут и средним числом столкновений п'"".
Величина п\т (р) определяет тогда эффективную поверхностную
концентрацию излучателей, импульсы от которых в состоянии
выйти из объема V. Разумеется, если излучатели распределены
не в объеме, а на поверхности, то при расчете следует с самого
йачала ввести вместо объемной концентрации п (R) поверхност-
поверхностную концентрацию ns(p) (см., например, [39]).
Задачи
1. Выразить среднюю плотность звуковой энергии в жидкости W — '/гР»8 +
ЬЬ ViPP2 и средний вектор Уыова (плотность потока энергии) рУ ~ pv через
функцию когерентности потенциала скорости и через лучевую интенсивность.
Решение. Выразив давление р и скорость v через потенциал скорости
Й* с^(Вр)"1'2 — скорость звука, р—средняя плотность, fl—сжимаемость
К*Цкости. Если u(t, г) — комплексный потенциал скорости (аналитический
<?ЙГКал), отвечающий вещественному потенциалу y(t, г): <р^1?е#, то W и $*
114 �ЗЛУЧЕН�Е к Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ НОЛЕЙ [ГЛ. ti
записываются через и следующим образом:
Для изотропного случайного звукового поля, очевидно, <()У> —0. Для квази-
монохроматического звукового поля (спектр сосредоточен вблизи частоты (Оо)
множигель В в написанных выражениях можно вынести за знак интеграла
со значением &о—wii/c2.
2. Найти общий вид функции корреляции изотропного, однородного и
стационарного скалярного волнового поля.
Решение. Лучевая интенсивность J (о>, п) для изотропного поля не
зависит от направления: 3 (со, ti) — ^5 (со), так что корреляционная функция
(9.27) выражается однократным интегралом:
поскольку
Если поле и к тому же и однородно, то его корреляционная функция Va (I, 2)
имеет вид (9.27), что позволяет выразить <й?> и <&> через лучевую интен-
интенсивность:
Усреднение этих выражений дает
Символом 2—i-1 здесь обозначен предельный переход 1г—> i"j, r2—>-ri, ко-
который следует делать после вычисления временных и пространственных про-
производных. Заметим, что закон сохранения div?f + dW/dt~O, который должен
выполняться и для средних значений <IF> и <о5р>, при подстановке в него
выражений (1) можно рассматривать как своеобразное уравнение сохранения
для функций Г„ и Г„.
Если поле и стационарно, то и —О, Г = 0, и тогда
(1)
злдлчи U5
3. Оценить продольный и поперечный радиусы корреляции волнового
поля, лучевая интенсивность которого 3 (а>, п) сосредоточена в узком конусе
направлений с раствором 9<^1.
Решение. Пусть ось г отвечает направлению, но которому лучевая
интенсивность максимальна. Записав единичный вектор п в виде
при л1^Р<€1 имеем пг=У \~nj_ =» 1— пЦЧ, так что (nr) ss z — Vs«Iz +
+ ("j.1 &)• ' (ю> n) ~ 3 (га> ПХ' '' и коРРеля™0Нная функция (9.27) прини-
принимает вид
где p^(jc, у). Поперечный (!^) и продольный ^п) радиусы корреляции оце-
оцениваются из условий [?n.p|^CJ, |i$rc_LZ[^Cf, если подставить в них л, кб,
В результате находим
(1)
(2)
4. Установить связь между лучевой интенсивностью и двумерным спект-
спектром (9.29) в случае узкого углового спектра [40].
Решение. В узком конусе 1 л , |s^6<g;l выполняется приближенное
соотношение do (n) и йпх Апу, которое можно представить d эквивалентной
форме do(n) — k~' dxxdxy = k~zdsx^, если ввести двумерный волновой вектор
к^ — кп^ — (кпх, кпу). Формула (1) предыдущей задачи принимает тогда вид
двумерного спектрального разложения:
Сравнение этого разложения с разложением
обратным (9.29), показывает, что
5. Выразить среднюю плотность электромагнитной энергии и средний век
тор Пойнтннга в вакууме через матрицу лучевых интенсивностей Заа, кото
рая вводится аналогично (9.26):
при этом, подобно (9.27),
(1
116 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
Здесь G^'—матрица спектральных плотностей, представляющая собой преоб-
преобразование Фурье корреляционной матрицы свободного статистически однород-
однородного электромагнитного поля
V$(<. г) = <?„(<!, г,)??(/.. г,)>.
Решение. Рассматривая случай стационарного и однородного электро-
электромагнитного поля с нулевым средним значением и учитывая, что в вакууме
/Н|аНЕ|*. имеем
Но при Ё = 0 в силу (1)
<| Е |«> = 2 Tkf (0, 0)=\ika&3 («о, n) do (n),
Р° = 1 6
где введена лучевая интенсивность
Р­((РІ,Рї)=2СЌРѕС‚(В«>, Рї). (2)
В результате имеем
ее
<r>
I / * (<РІ> n) do(n)-
Рѕ
Среднее значение вектора Пойнтинга
можно получить, используя спектральные разложения для Е и Н и соотно-
соотношение Ншх=[пЕи1е]:
GB РћРЎ
<^> = ~ Re (Рў (Р С…' ifte* Jf *В»' do>"x
X^E-^^E^J^eipli^'-K'ir-<(В«'-В«')]. (3)
где п'=к"/х". Раскрывая двойное векторное произведение, получаем выра-
выражение
<...>-п'<Еи,к.Е^.>-<Е^(п'Еи,к,)>.
Вследствие дельта-корреляции спектральных амплитуд вектор п* можно заме-
заменить на п'=х'/х', но в силу поперечности электромагнитного поля (п'Еш.х.)=0.
В результате, с учетом (2), имеем
Р·
<...>= 2 п'Саа(и'- *')8((о'-4>')8(*'--х*) =
— п'З (в, п)*-»6(ш' — ш")6(и'—*')8(н' — А).
Подставляя это выражение в (3), получаем
*В¦> ^РїР­(С€, n)do(n). (4)
ЗАДАЧ� 117
Легко видеть, что электромагнитные формулы для <�?> и <.df> отличаются
от акустических выражений (см- задачу I) только множителем 1/8л вместо
СЂ*'/2.
�з (4) следует, что величина jr-пЭ (<о, п) имеет смысл потока энергии
через единичную площадку в единичный телесный угол в расчете на единич-
вый.частотный интервал. �менно так вводится лучевая интенсивность (яркость)
в феноменологической теории переноса излучения [41, 42].
в. Построить корреляционную матрицу тЩ1 для изотропного, однород-
однородного и стационарного электромагнитного поля.
Решение. Входящая в формулу (1) предыдущей задачи матрица 3af
в случае изотропного поля должна иметь вид
Кроме того, в силу поперечное™ электромагнитных волн в свободном прост-
пространстве матрица Sa^ должна удовлетворять условиям
', Это возможно только при <? = — ?Р, и тогда
?g(f, Рі)-
где s = 4л sin krjkr, а штрихом обозначено дифференцирование по г. Лучевая
интенсивность 3=2'aa в данном случае равна 2ff5(<i>) и, следовательно,
не зависит от направления; при этом, в соответствии с результатами задачи 5,
Рѕ
7. Вычислить индекс мерцаний в дальней зоне для амплитудно-фажшого
экрана с логарифмически нормальным законом распределения вероятностей
Поля.
Решение. Пусть и — ex+lS!, где фаза S и уровень % распределены но
нормальному закону, так что v—логарифмически нормальное поле. Предпо-
Предположим, что S —0 и <5х> = 0. В силу нормировки (10.23) "x= — oj. В ре-
•Ультате
Следовательно, в дальней зоне
118 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1\
В случае чисто амплитудных флуктуации (os = 0) квадрат индекса мерцаний
в дальней зоне равен (1^ — 1—е х, тогда как на самом экране p2~j}0=^
= е х — J. Очевидно, {$ > 1 > Р«, т. е. амплитудные флуктуации за экраном
сглаживаются.
8. Пусть поле в плоскости экрана вещественно и распределено по нор-
мальнсму закону. Показать, что квадрат индекса мерцаний в дальней зоне
вдвое меньше, чем на экране.
Решение. В дальней зоне, согласно (10.38), $L~ 1 — |t»014. На
экране же
Но для вещественного нормального случайного поля <['*> — 3 <с2> = За2и.
Поэтому, с учетом нормировки сг^ + t-'о-^ 1, имеем
т. с. pt>= 1/аРо- В этой и предыдущей задачах р» < fV потому что поле v
порождает за экраном помимо амплитудных еще и фазовые флуктуации, кото-
которые, очевидно, не влияют на величину флуктуации интенсивности.
9. Вывести из френелевского приближении (9.17) сиитношение (10.13),
согласно которому при падении плоской волны корреляционная функция за
бесконечным экраном i|3j_ (p) совпадает с функцией корреляции граничного
поля тМр).
Решение. Во фреиелевском приближении
Вводя обозначения p = pL—р2, Рч-^(р1 + Рг)/2. ? = (р' —Р*). Л^(Р' —Р")/2,
получаем выражение
�нтеграл по tj здесь вычисляется точно и равен \—г—) 8(1 — Р)> чт° и при-
водит к соотношению 1|э^ (р, г) ^\, (р).
10. Найти закон изменения среднего значении и функции корреляции
сферической волны, прошедшей через неограниченный статистически однород-
однородный хаотический экран.
Решения. Пусть слева от плоскости z —0, в которой расположен
экран, находится источник, излучающий сферическую волну
exp {ik\r — ro|}/|r—r»|,
где г0 — (0, —г0) (рис. 10). Если /(р) — комплексная функция пропускания
экрана, то граничное поле в плоскости z = 0 равно
Задачи
119
Подставим это выражение для поля в формулу Грина (9.12) и, зафиксировав
точку наблюдения г = (р, г), разложим показатель экспоненты в ряд по сте-
степеням отклонения 8 = р'—рст переменной р' от стационарной точки рсТ =
= рг/(г + г0), лежащей на луче, соединяющем точку наблюдения с источни-
источником. Все предэкспоненциальные множители, кроме ! (р), заменим стационар-
стационарными значениями, т. е. значениями при р' = рст.
Получившуюся приближенную формулу
Рё(СЂ, Рі) ~
ke"
(I)
можно назвать френелевским приближением для сферической волны. Здесь
�з (1) находим среднее поле
представляющее собой сферическую волну с амплитудой /, н функцию кор-
корреляции поля в плоскости г —const:
ехр
, (Pi.
где p = pi—p2, P+=(Pi + p>)/2. Аналогичное выражение получается и для
функции когерентности.
В отличие от рассмотренного в § 10 случая плоской волны, функция
корреляции сферической волны, прошедшей через экран, не сохраняется.
В частности, радиус корреляции
7
Сѓ СЂСЂ
поля в плоскости z = const растет
при удалении от экрана пропор-
пропорционально расстоянию от источ-
источника lu = lf^Y^, где //—радиус
корреляции функции пропускания
/. Роль волнового параметра в дан-
данной задаче играет величина DCj,—
= 2L/ktj, которая при г —>¦ °о
стремится к конечному пределу
&mtx =2zo/?(f. Легко попять, что
при?>тах^1, когда радиус первой зоны Френеля YXzz0/(z-{-z0) при любых
z меньше размера неоднородностей на экране If, поле сферической волны
за экраном не нормализуется даже на бесконечности.
П. Найти распределение интенсивности поля в дальней зоне ограничен-
ограниченного хаотического экрана.
Решение. Поле в зоне Фраунгофера определяется выражением (11.11),
» котором под о нужно понимать граничное поле v (р) = /(р)"п. возникаю-
возникающее при падении плоской волны и„=е'*г на хаотический экран с функцией
пропускания /(р). Распределение интенсивности в дальней зоне можно вычис-
вычислить кз (11.11) так же, как это было сделано в § 12 для поля (12.3), воз-
возбужденного антенной с флуктуирующими токами. Учитывая, что выражение
(12.3) переходит в (11.11) при замене q—>-—2ito, по аналогии с распределе-
Р РёСЃ. 10.
120 излучение й Дифракция случайных полей
«нем интенсивности (12.11) можно написать
1РіР». Рё
Р РёСЃ. Рџ.
при этом для малых неровностей
а для больших неровностей
где I?—радиус корреляции неровностей, а величина 4ft!aj играет туже роль,
что и дисперсия фазы о| в теории фазового экрана.
�спользуя для расчета к. и. д. формулу (12.14), в которой, с учетом пре-
предыдущей задачи, можно заменить Sq, ffj, {q\2 и <22 = <rf-f | q I2 соответственно
на Sv, ol, |"o|2 и Ос-т-|й|г = 1, получаем
(1)
где величины Sv и ffv вводятся по аналогии с (12.8).
Заметим, что подобное же распределение интенсивности (с заменой z—>F)
получится в фокальной плоскости линзы, поставленной непосредственно после
ограниченного хаотического экра-
экрана. В обоих случаях при переходе
от слабых флуктуации (Oj, <g v)
к сильным (Oj,^>u) распределе-
распределение интенсивности трансформи-
трансформируется так же, как на рис. 8.
12. Найти средний коэффи-
коэффициент направленного действия па-
параболической зеркальной антенны
с пологими неровностями.
Решение. Пусть z = p!/2f—
уравнение невозмущенного пара-
параболоида, а г — рг/2.Р+?(Р) — урав-
уравнение зеркала при наличии неров-
неровностей 5(р). Облучатель, помещен-
помещенный в фокусе параболоида (рис.
11), посылает на зеркало сфери-
сферическую волну, которая после отра-
отражения превращается в искаженную
плоскую волну. При плавных (в масштабе I) неровностях зеркала искажение
поля в апертуре можно учесть введением фазового множителя exp (i'S(p)]-^
—exp [2i*?(p)] {2kt,—дополнительный набег фазы, обусловленный неровностя-
неровностями). Тем самым задача сведена к расчету дифракции поля с граничным значе-
значением на апертуре ч(р) = ехр [2|°??(р)].
Если высота неровностей ? (р) распределена по нормальному закону, то
ЗАДАЧ� 121
(здесь, кроме того, учтено, что 5^ — 5 при и —const). В предельных случаях
имеем
(1)
(2)
или, если принять во внимание оценку
. Качественный ход зависимости нормированною среднего к. н. д. О/Но
ОТ среднеквадратичного набега фазы ?о> показан на рис. 12. Начальный учас-
участок кривой отвечает первой формуле - ,
(I). а конечный—формуле (2). �з ри- ^/"а
унка видно, что заметное уменьшение
к. н. д. начинается со значений to, — 1,
Т. е. при о*—3/& —Л/2л, что согла-
согласуется с инженерным критерием глад-
гладкости зеркал о"^ < Х/8. Для больших
зеркальных антенн современных ра-
даотелескопов величина <jj. может быть
Доведена примерно до сантиметра. В
!<ййответствии с критерием о^ < ^/8
;]^езкое снижение эффективности таких
ёягенн происходит при переходе от
сантиметрового к миллиметровому
диапазону волн.
: !3. Оценить продольный радиус корреляции поля, созданного облаком
Статистически независимых источников.
Решение. Расположим точки наблюдения ri и Г2 на оси г: 14 — (О, О, z-}-?),
|f«.=(0, 0, г). Для входящей в формулу (12.20) разности хода s имеем
(1)
где переменные интегрирования р' и г' меняются в пределах объема V, заня-
занятого источниками: |p'|sg?, |г |^?. При анализе продольной корреляции
рассмотрим три характерные зоны.
,; В ближней зоне (z^L) можно ожидать малости /ц по сравнению с L, что
ЙЧЗволяет разложить (1) в степенной ряд по t и ограничиться только линей-
жыи членом:
(2)
При всех значениях р' и г' множитель при ? не превышает единицы. Поэтому
Врисутствие множителя exp(ifts) под знаком интеграла в (12.20) проявится
&НШь при А?^>1. Следовательно, продольный радиус корреляции может быть
оценен из условия fe? — 1, т.е.
(3)
В промежуточной зоне {L-^z^kL?) отношения z'jz и р'/z малы по
сравнению g единицей, в результате чего выражение (2) упрощается н
122 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЯ (ГЛ. II
принимает вид
"(•-?)¦ <4>
нсит от перемс:
зие при рассмо
|е'*^| = 1. Второе слагаемое по модулю не превышает величины ??'/2г2. �з
условия k^Lfjz — 1 получаем оценку
Первое слагаемое в (4) не зависит от переменных интегрирования н его
можно не принимать во внимание при рассмотрении корреляции, так как
(5)
Эта оценка аналогична формуле (2) из задачи 3 для продольного радиуса кор-
корреляции однородного случайного поля с шириной углового спектра В ~ а/2.
Можно сказать, что в данном случае ширина углового спектра в опреде-
определяется видимым угловым размером облака источников у — Ljz-
В дальней зоне (z^-kL*) величина ks для всех о' и г' отличается от &?
не более чем на я. Поэтому в дальней зоне е'** х: «"«С, а продольный радиус
корреляции увеличивается до бесконечности:
/,=В«, (z^>kL*), (6)
что отвечает полностью сформировавшейся диаграмме излучения в зонеФраун-
гофера.
Глава III
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
§ 13. Предварительные замечания
Тепловое электромагнитное поле создается в результате хао-
хаотического теплового движения заряженных микрочастиц (элек-
(электронов, ионов и т. п.), из которых построены тела. Уже отсюда
ясно, что интенсивность теплового поля должна возрастать с по-
повышением температуры, подобно тому как с ростом температуры
убыстряется брауновское движение или усиливаются тепловые
шумы в электрических цепях. Но в макроскопической электро-
электродинамике электромагнитное поле рассматривается не как сумма
полей отдельных микрочастиц, а как поле макроскопических же
источников, описываемых, например, объемными плотностями
заряда и тока. Применительно к тепловому электромагнитному
полю это означает, что его источниками являются пространст-
пространственно-временные флуктуации заряда и тока в физически беско-
бесконечно малых элементах объема тел. Чаще всего масштабом ма-
малости таких объемов служит при спектральном описании поля
интересующая нас длина волны, но аналогичную роль могут
играть и размеры тел или их неоднородностей, расстояния между
телами и т. и. Если физические и геометрические условия задачи
допускают выделение таких физически бесконечно малых эле-
элементов объема, то можно пользоваться уравнениями макроско-
макроскопической электродинамики, т. е. уравнениями Максвелла.
Мы уже рассматривали тепловые флуктуации электрических
величин, но в квазистационарной области, т. с. для электриче-
электрических систем, размеры которых / много меньше длины волны
Я: /<^А1). Состояние таких систем можно описать конечным
числом интегральных функций времени — сил токов через сечения
проводов, зарядов на сосредоточенных емкостях и т. п. При по-
помощи теоремы Найквиста и обобщающей ее флуктуаниоино-дис-
синационной теоремы (ФДТ) мы получили в ч. I, § 54 выраже-
выражения для вторых моментов термодинамически равновесных флуктуа-
флуктуации таких интегральных величин. Мы уже знакомы, таким
') Не следует смешивать квазистацнонарноетъ в этом элехтродинамшг-
™*>m смысле со статистической квазистационарностью случайных процессов.
124 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [гЛ. III
образом, с корреляционной теорией электрических тепловых
флуктуации в квазистационарных цепях, т. е. в случае/-^Х.
Но существует и совсем иная область явлений, для которых
теория тепловых электромагнитных полей была развита уже
давно, причем при прямо противоположных условиях, когда все
характерные размеры тел I велики по сравнению с длиной волны:
/^>^. Это классическая теория теплового излучения, созданная
Г. Кирхгофом, Л. Больцманом и рядом других выдающихся фи-
физиков конца прошлого века. Ее завершило в 1900 г. открытие
М. Планком закона, дающего спектральное распределение энер-
энергии равновесного теплового излучения, заключенного в полости
достаточно больших размеров: 1^>Х. Другие законы этой теории
(например, законы Кирхгофа) тоже опираются на асимптотиче-
асимптотическое описание электромагнитного поля в приближении геометри-
геометрической оптики, пригодном только для достаточно коротких воли.
�сторически это произошло потому, что классическая теория
теплового излучения развивалась прежде всего для оптического
диапазона.
Общая флуктуационная электродинамика полей теплового про-
происхождения, основанная на уравнениях Максвелла (понимаемых,
конечно, как стохастические уравнения), должна быть, очевидно,
свободна от ограничений, касающихся соотношения между раз-
размерами тел / и длиной волны Я. Она должна охватывать, наряду
с найквистовской теорией тепловых шумов в квазистационарных
цепях (/ <^ X) и классической теорией теплового излучения
(1^>Х), также промежуточную область 1~Х, в которой оба пре-
предельных подхода неприменимы. Такая общая теория тепловых
электромагнитных полей была построена сравнительно недавно [1],
и в данной главе излагаются ее основы. Для краткости мы
будем далее называть случайное электромагнитное ноле тепло-
теплового происхождения просто флуктуационным полем.
Прежде чем перейти к систематическому изложению, остано-
остановимся на двух вопросах, которые легко могут возникнуть после
сказанного выше. Один из них можно поставить следующим
образом: почему в классической теории теплового излучения
речь идет не вообще о тепловом флуктуационном поле, а именно
об излучении, т. е. только о волновом поле?
Это вполне резонный вопрос, потому что флуктуации заряда
и тока в каждом элементе объема тела порождают не только
разбегающуюся электромагнитную волну, но и так называемое
ближнее квазистационарное поле. �звестно, однако, что оно
убывает с расстоянием R от своего «точечного» источника гораздо
быстрее, чем волновое поле,— не как 1/R, а как I//?2 и \IRS,
простираясь лишь на расстояния порядка X. Кроме того, это
ближнее поле в среднем за период не создает потока энергии.
�менно поэтому классическая теория теплового излучения, инте-
||Л] ПРЕДВАР�ТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАН�Я 125
ресующаяся только переносом «лучистой» энергии и только до-
достаточно короткими волнами (Я.<§/), просто игнорирует ближнее
флуктуационное поле. Она не может поэтому правильно описать
флуктуационное поле, например, в полости, размеры которол
невелики или тем более малы по сравнению с длиной волны.
Равным образом она оставляет без внимания особенности тепло-
теплового поля на малых расстояниях (/<=Х) от поверхности нагре-
нагретого тела. Между тем нетрудно понять, в чем заключаются эти
особенности и каково их происхождение.
Внутри нагретого тела, в каждом элементе его объема про-
происходят непрерывные тепловые флуктуации плотностей заряда
и тока, непрерывное электрическое «кишение», если воспользо-
воспользоваться образным выражением М. А. Леонтовича. Сумма волновых
полей этих источников дает вне тела его тепловое электромаг-
электромагнитное излучение, описываемое законом Кирхгофа. Сумма же
ближних полей (от приповерхностных элементов объема) создает
квазистационарное тепловое поле, которое как бы выстилает
поверхность любого тела. Это поле сосредоточено около поверх-
поверхности, в слое толщины порядка X, так что на расстояниях /^>Х
им можно пренебречь, но при I—>-0 его напряженность неогра-
неограниченно возрастает. В этом, конечно, нет никакого парадокса,
так как на удалениях от поверхности порядка межатомных рас-
расстояний макроскопическое описание поля уже становится непри-
непригодным.
Хотя квазистационарное флуктуационное поле не участвует
в создании потока энергии, его наличие проявляется вполне
наблюдаемым образом, например, в молекулярных силах сцеп-
сцепления между телами (см. § 21).
�спользование приближения геометрической оптики ограни-
ограничивает классическую теорию теплового излучения не только тем,
что она не учитывает квазистационарного флуктуационного поля,
но и тем, что от нее ускользают дифракционные явления в самом
излучении.
Другой законный вопрос касается того, представляет ли ин-
герес область / ~ Я, т. е. тот случай, когда размеры тел срав-
сравнимы с длиной волны.
При своем зарождении радиотехника использовала метровые
и даже сантиметровые волны, возникающие при колебательном
искровом разряде. Весьма быстро, однако, она была вынуждена
перейти к очень длинным (километровым) волнам, после чего —
уже с электронными лампами в генераторах и усилителях—на-
усилителях—начался длительный процесс настоящего технического освоения
все более коротких волн. Постепенно этот путь привел к деци-
дециметровому диапазону, а затем — к сантиметровым и миллиметро-
миллиметровым волнам и, соответственно, к радиотехническим устройствам,
У которых все (или некоторые) размеры сравнимы с длиной
126 тепловое электромагнитное поле 1гл. ш
волны, т. е. к не квазистационарным распределенным волновым
системам. Такого рода устройства (волноводы, объемные резона-
резонаторы, рупорные и зеркальные антенны и т. п.) составили предмет
так называемой электродинамики сверхвысоких частот (СВЧ).
По мере повышения чувствительности и точности применяемых
радиотехнических методов естественно приобрели остроту вопросы,
касающиеся тепловых шумов и в распределенных системах. Таким
образом, если говорить о нуждах радиотехники, то развитие
общей флуктуационной электродинамики было стимулировано
проблемой тепловых шумов в диапазоне СВЧ. Однако физиче-
физические результаты флуктуационной электродинамики, конечно, не
исчерпываются ее радиотехническими приложениями. Например,
одним из основных ее следствий является обобщение такого
фундаментального закона, как кирхгофовский закон излучения,
на общий случай произвольного соотношения между размерами
тел и длиной волны (§ 17).
Заметим кстати, что закон Кирхгофа, строго говоря, отно-
относится уже к неравновесным условиям. Ведь речь идет об излу-
излучении нагретого тела в окружающую более холодную среду,
т. е. температура не одинакова во всем пространстве. Если
теряемая телом энергия не компенсируется, то процесс даже
нестационарен: тело «высвечивается» и остывает. Разумеется, не-
нетрудно создать и стационарные условия, поддерживая темпера-
температуру тела постоянной путем подвода энергии от какого-либо
стороннего источника, как это происходит, скажем, в лампочке
накаливания. Ясно, однако, что и такое стационарное состояние
все равно термодинамически неравновесно: в теле происходит
одностороннее преобразование энергии и протекают явления
переноса (например, связанные с теплопроводностью). В этих ус-
условиях применение равновесных законов (в том числе ФДТ)
уже не вполне строго, но оно оправдано, если, как часто бывает,
роль явлений переноса еще невелика.
Последнее замечание, которое уместно здесь сделать, касается
функций распределения вероятностей флуктуационного поля.
Казалось бы, нахождение этих функций — более сложная задача,
чем вычисление моментов, но во многих случаях дело обстоит
как раз наоборот. Флуктуационное поле слагается из множества
микрополей, порожденных флуктуациями заряда и тока в разных
элементах объема. Если эти вклады можно считать статистиче-
статистически независимыми и «равноправными» по величине (например, по
их доле в суммарной дисперсии), то в силу центральной пре-
предельной теоремы теории вероятностей суммарное поле будет
гауссовым. Тем самым, для его полного статистического описания
достаточно знать только функции корреляции его напряжекно-
стей (поскольку средние значения этих напряженностей равны
нулю).
j,4] СТОХАСТ�ЧЕСК�Е УРАВНЕН�Я МАКСВЕЛЛА 127
§ 14. Стохастические уравнения Максвелла
�сходные уравнения Максвелла
+ J rotE =
необходимо, как известно, дополнить так называемыми материаль-
материальными уравнениями, связывающими индукции D и В с напряжен-
ностями Е и Н. Эти уравнения описывают электродинамические
свойства среды и могут быть в общем случае нелинейны. Однако
если задача о тепловых флуктуациях ставится макроскопическими
уравнениями (а именно так она ставится во флуктуационной
электродинамике) и если мы интересуемся только термодина-
термодинамически равновесными флуктуациями, то макроскопическая не-
нелинейность системы не играет роли, т. е. достаточно пользо-
пользоваться линеаризованными уравнениями. Это обстоятельство было
разъяснено ранее для дискретных систем (ч. I, § 54), но оно
остается в силе и для распределенных систем. Другими сло-
словами, сохраняя полную общность, мы можем исходить из линеари-
линеаризованных материальных уравнений. Последние можно было бы
взять наиболее общими, учитывающими наличие неоднородности
и анизотропии среды, временную и пространственную диспер-
дисперсию, а также движение среды. Однако для упрощения выкладок
и для более четкого выделения принципиальных моментов мы
ограничимся случаем неподвижной и поначалу изотропной среды,
обладающей только временной нелокальностью (частотной дис-
дисперсией). В этом частном случае среду можно описать мате-
материальными уравнениями вида (см. сноску на стр. 173)
+В»
D(t, Рі)- $ РІ (/-Р“, Рі)Р•(Р“, Рі)Р›',
~Р› (14.2)
B(f, Рі)= J Рё (<-<'. Рі)Рќ(Р“, Рі) Р›',
где е и ц—диэлектрическая и магнитная проницаемости.
Переходя к стохастическим максвелловским уравнениям, вве-
введем теперь в правые части уравнений (14.1) случайные сторонние
источники, которые «вызывают» тепловые флуктуации напряжен-
ностей поля и всех связанных с ними электродинамических вели-
величин. Эти распределенные источники играют здесь такую же
Вспомогательную роль эквивалентных ланжевеновских «сил», как
интегральные э. д. с. Найквиста в электрических цепях с сосре-
сосредоточенными параметрами (ч. I, § 54).
Флуктуационные источники можно выбирать различным обра-
образом, в частности в виде объемных плотностей электрических (jf)
128 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
и магнитных (jM) токов1). Стохастические уравнения Максвелла
примут тогда вид
!# ?? ~l.?-?L. (14.3,
Можно было бы воспользоваться вместо токов сторонними индук-
индукциями Ю и ЯЗ, положив
что, как мы увидим далее, оказывается в некоторых случаях
целесообразным. Поля флуктуационных источников \е и ]т (равно"
как и Ю, ЯЗ) мы будем считать стационарными во времени.
Обратим внимание на вытекающее из (14.3) уравнение ба-
баланса энергии (теорему Пойнтинга), которое мы запишем для пол-
полного поля г). Умножив первое уравнение (14.1) на Е, второе—на
— Н; сложив результаты и взяв интеграл по объему V, ограничен-
ограниченному поверхностью 2, получаем
РіРґРµ
dUi'dt — скорость изменения заключенной в объеме V электромаг-
электромагнитной энергии, a Q —диссипируемая в этом объеме мощность.
�нтеграл в левой части равенства пропорционален потоку
энергии (потоку вектора Пойнтинга) через поверхность 2, так
что для полного поля он обращается в нуль. Поэтому dUldt^Q
представляет собой не что иное, как диссипируемую в объеме У
мощность. После усреднения по ансамблю случайных «сил» j,
и )„, если учесть, что для полного и стационарного поля
diUyidt—Q, мы получим для средней диссипируемой мощности
выражение
f dВ«r. (14.5)
') �спользование магнитных токов является, конечно, лишь формальный
приемом, но для многих задач оно удобно (см., например, |2]).
') Напомним, что полным называется в электродинамике поле, равное
нулю за пределами некоторой замкнутой поверхности ?. Возможность по-
построения такой поверхности обусловлена либо наличием идеально отражаю-
отражающих оболочек, либо достаточно быстрым убываиием поля на бесконечности
(поверхность 5 mojkct быть частично или целиком бесконечно удаленной).
j,(4] СТОХАСТ�ЧЕСК�Е УРАВНЕН�Я МАКСВЕЛЛА 129
Нас будут интересовать спектральные амплитуды стационар-
стационарных во времени электродинамических величин, т. е. простран-
пространственные поля трансформант Фурье
Р•(С€, r) = -L J E(/, r).e"В°'dt,
— ся
и аналогично для Н, D, В, j, )r и jm. Для спектральных ампли-
амплитуд уравнения (14.3) принимают вид
rotH = - -ikD + ^- j,, rot E = ifeB —-^-jm, (14.6)
где k = a>lc, а материальные уравнения (14.2) —вид
D(c, В«J-.C, r)EK D
Р’ (id, r) = |i (СЃРѕ, Рі) Рќ (СЃРѕ, Рі),
РіРґРµ
u.(co, Рі)
e (СЃРѕ, Рі) 1 Р» Рµ (С‚, Рі) 1
k Рњ=Р“ ;' U'В«dt. (14.8)
Заметим, что член АпЦс мы объединили в (14.6) с членом ikO.
это означает включение электрической проводимости в в или,
точнее, в ее мнимую часть e"(e=e' + ie"). Вводя [л.(ц = ц'+/ц")
можно учесть и магнитные потерн.
Система неоднородных линейных уравнений (14.G), (14.7) од-
однозначно определяет спектральные амплитуды напряженностей и
индукций флуктуационного поля при заданных граничных усло-
условиях и (если это нужно) условиях на бесконечности, а также,
-Мзумеется, при заданных случайных источниках j, (ш, г) и \т (ш, г).
Таким образом, это задача со случайными источниками (схема 1
;Щ) классификации, введенной в § 8), вероятностные свойства
которых должны быть известны. Так как уравнения линейны,
ДЛЯ нахождения вторых (п-х) моментов флуктуационного поля
надо знать только вторые же (n-е) моменты источников. Эти вто-
вторые моменты, если речь идет о флуктуациях около состояния
термодинамического равновесия, полностью определены (как
.;¦ в случае сосредоточенных систем) флуктуационно-диссипацион-
�Ой теоремой (ФДТ), которую нетрудно распространить и на
¦ распределенные системы (поля). Поэтому мы теперь оставим на
время уравнения Максвелла и обратимся к указанному обобще-
обобщению ФДТ.
130 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЙ ПОЛЕ 1ГЛ. II]
§ IS. Равновесные тепловые флуктуации
в непрерывных диссипативных системах
В ч. I, § 54 была приведена формулировка ФДТ для диск-
дискретных систем, состояние которых описывается совокупностью
какого-то конечного числа п обобщенных координат qf {t). При
помощи этой дискретной формы ФДТ можно получать резуль-
результаты, относящиеся и к распределенным системам,— либо косвен-
косвенным путем, как сделано в задаче 1, либо используя искусствен-
искусственную дискретизацию непрерывной системы, например разбиение
пространства, занимаемого полем, на малые ячейки и замену
дифференциальных операторов разностными. �менно с помощью
последнего способа дискретная ФДТ применена к стохастическим
уравнениям Максвелла в книге [3], гл. 13. Однако представляет
больший интерес получить общую форму ФДТ для непрерывных
систем, состояние которых описывается случайными полями —
функциями времени и точки пространства. Такое обобщение,
удобное для приложений теоремы к полям равновесных тепловых
флуктуации любой физической природы —как электромагнитным,
так и механическим (в аэро- и гидродинамике, теории упруго-
упругости), температурным и энтропийным и т. п.,— можно осуществить
следующим образом [4].
Пусть флуктуации в распределенной системе, занимающей
объем V, описываются стационарным и однородным полем | (/, г).
Для простоты мы берем случай одномерного поля •). Обобщение
на многомерное поле |(" (t, г) (i = 1, 2, ...) легко может быть
получено, и соответствующий результат будет далее приведен.
Пусть f(t, r)—объемная плотность поля обобщенной силы, со-
сопряженной в лагранжеиом смысле с обобщенной координатой
I (/, г), причем спектральные амплитуды ? (со, г) и / (со, г) свя-
связаны между собой посредством линейных пространственных опе-
операторов А и А~1:
6(В«, Рі)-Р›/(В«, Рі), /РљРі) = Р›-В»6(В«,Рі). (15.1)
А и Л~1—взаимно обратные операторы, т. е. их произведение
равно единичному оператору ? (A A ~l — A-1A =?), который остав-
оставляет функцию неизменной (?/(г) = /(г)). В приложениях обычно
задан оператор Л'1, являющийся большей частью дифференци-
дифференциальным.
Если, например, мы имеем дело с волновым уравнением
^? . Рі).
1) Одномерного в «шсле числа описывающих «го функций |.
Jjj] ТЕПЛОВЫЕ ФЛУКТУАЦ�� В НЕПРЕРЫВНЫХ С�СТЕМАХ 131
частное решение которого равно, как известно,
то для спектральных амплитуд получаем (ft — ш/е)
(Р›+ *В«)?(В«>, Рі) = -4Р»/((0, Рі),
/(В», r')-^-dV.
Таким образом,
Допустим теперь, что мы располагаем полной ортонормиро-
ванной системой вещественных функций ipy(r), определенной для
области V:
\b(r)4k(r)d>r = 8/k. (15.2)
v
Разложим %(t,r) и l(t,r) по функциям ffy(r):
), (15.3Р°, Р±)
или в спектральной форме:
i(В».r)-*2S/(В»)4>/M. /(В».Рі) = 2//(В»)Р¤/(Рі). (15.4Р°,Р±)
РіРґРµ
и аналогично для /у (to). Заметим, что согласно (15.2) и (15.3)
средняя мощность, диссипируемая в объеме V под действием
силы f(t, r), записывается в виде
Принимая 5/ (0 за те дискретные переменные, которые опи-
описывают флуктуации в рассматриваемой системе, естественно
распространить дискретную ФДТ на спектральные амплитуды
I/ (<¦>) и \j (w). Единственное допущение, которое необходимо при
этом сделать, заключается в том, что ФДТ остается в силе для
бесконечного множества дискретных переменных \/{t). Опираясь
на это допущение, мы и найдем теперь пространственные функ-
Дии корреляции для спектральных амплитуд ?(о>, г) и f(a>,T).
5В»
(32 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. Ill
Как связаны между собой спектральные амплитуды |у(<о) и
fj (ш)? Подставив (15.3а, б) в первое уравнение (15.1), получаем
Умножим это равенство слева на фу(г) и проинтегрируем по
объему V. Учитывая (15.2), находим'
I/ � - 2 h � \ Ф/ W ^Ф* W *' - 2«/* (•) /* (•)¦ (15-6а)
где величины
(15.7Р°)
представляют собой, очевидно, не что иное, как коэффициенты
разложения функции А<рк(г) по базисным функциям Фу (г), т.е.
Точно такие же операции.над вторым уравнением (15.1) при-
приводят к обратной (15.6а) системе уравнений:
/Сѓ(СЋ) = 2<Р§*'Р�?*Р�. (15 66)
РіРґРµ
ад1 (ш) = j Фу (г) ^"'ф* (г) d*r, (15.76)
т. е. а^1—коэффициенты разложения по фу (г) функции Д~>фА(г):
Л~*ф^ (г) —.^сс^фу (г). (15.86)
Величины (15.7а, б), являющиеся коэффициентами в уравнениях
(15.6а, б), связывающих ?,(<в) и /у(ш), образуют, таким образом,
элементы бесконечномерной матрицы обобщенной восприимчи-
восприимчивости {ад1} и обратной ей матрицы {ву*}.
Дискретная ФДТ дает следующие выражения для спектраль-
спектральных плотностей переменных |у({) и ланжевеновских сил ft(t)
(ч. I, (54.18) и (54.22); отметим, что перед правыми частями
теперь стоит знак минус, поскольку мы пользовались ранее
спектральным разложением с е1"1', а в данной книге перешли
к разложению по е~*"'):
(») � («)> Щ±Р («,.-«W, (15.9а)
<// («) Я (»» = - 2^2 (зд/*- a7i), (15.96)
JJ»1 ТЕПЛОВЫЕ ФЛУКТУАЦ�� В НЕПРЕРЫВНЫХ С�СТЕМАХ 133
где в(ш, У)—средняя энергия квантового осциллятора:
формулами (15.9а, б) мы теперь и воспользуемся.
Согласно (15.4а) и (15.9а)
<¦>, г) ?• (а>, г')> =^ <6/ («) 8 («)> Ф/ (г) <Р* (г')=
При помощи (15.8а) можно записать это выражение в виде
~<i(В«, Рі) I- (СЃРѕ, Рі')> =- -
причем оператор А действует на функции точки г, а А*—на
функции точки г'. Поэтому оба они могут быть вынесены за
знак суммы, которая оказывается тогда разложением дельта-
функции от г—г' по базисным функциям:
В результате
<l(В«),r)?Kr')>=-^-)(/i-i')6(r-r'). (15.11Р°)
Совершенно аналогичным путем при помощи (15.46), (15.96)
в (15.86) получается пространственная функция корреляции для
ьяектральной амплитуды силы / (ш, г):
Поскольку дельта-функция зависит лишь от разности р=г—г',
Оба оператора А к А* можно выразить через компоненты р.
Равным образом можно и дифференциальные операторы Л"1 и
Я"1* (первый содержит ?, а второй \') записать через опера-
«Ч» VP=V = —V.
Формулы (15.11а, б), в которых уже никак не проявляются
форма и размеры области V, и представляют ФДТ для одно-
одномерного однородного ноля i(t,r) и соответствующего ему поля
«нжевеновской силы j(t, г).
Обобщение полученного результата на многомерное поле, т. е.
ва случай системы однородных и однородно связанных между
*обой полей l{/>(t,T), почти очевидно. Вместо уравнений (15.1)
134 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. III
теперь будут системы линейных уравнений
|^(<в,г) = ЗЛ/*/*(«»,г),
* (15.12)
/v> (Рѕ>. Рі) = 2 ^S1*'(<В¦>.').
где А1к и Л/»—элементы прямой и обратной операторных мат-
матриц, а вместо выражения (15.5) для мощности, развиваемой
силами /<¦" (t, г), будет сумма
(15.13)
Наконец, окончательные формулы (15.11а, б) заменяются на кор-
корреляционные матрицы спектральных амплитуд ^'(ш.г) и
Р›/>(СЃРѕ,Рі):
<?V)(о), г) ij1*1*(со, г')> =— g —-(ЛуА—А1/)6(р), (15.14а)
</vl(<°. г)/'*••(«», г')>-= — '82(^Г)(Л*/*—Aji)6(р), (15.146)
где по-прежнему р = г—г'.
�так, в распределенных системах, как и в дискретных, ФДТ
выражает корреляционные функции (матрицы) «-амплитуд1)
совершенно регулярным образом. Эти функции однозначно опре-
определены видом операторов AJk и Aj?, т. е. самими линеаризован-
линеаризованными макроскопическими уравнениями рассматриваемой системы.
Если это уравнения Максвелла, то формулы (15.14) позволяют
найти пространственную корреляцию напряженностей флуктуа-
ционного поля и тех сторонних полей (индукций или токов),
которые «создают» флуктуационное электромагнитное поле. Если
же мы имеем дело, например, с уравнениями теории упругости,
то при помощи тех же формул (15.14) определяется корреляция
тепловых флуктуации деформаций и температуры, равно как и
соответствующих сторонних напряжений и источников тепла [5J
и т. д. Более точно: корреляционные матрицы флуктуационных
и сторонних тепловых полей определяются антиэрмитовыми
частями соответствующих линейных операторов, или иначе
говоря, обусловлены диссипативными свойствами системы.
В отсутствие поглощения энергии, т. е. в отсутствие диссипа-
') А тем самым и шх-амплитуд, если ш-амплитуды разложить в прост-
ранстоенные интегралы Фурье (см. задачу 6).
€16] КОРРЕЛЯЦ�Я СТОРОНН�Х ТЕПЛОВЫХ �СТОЧН�КОВ ]35
ции, операторы или операторные матрицы будут эрмитовыми и
разности, стоящие в правых частях любой из формул, выража-
выражающих ФДТ, обращаются в нуль. Это означает, что в среде (или
участке среды), не обладающей потерями, сторонних источников
флуктуации нет и, следовательно, нет и вклада от такого участка
среды по флуктуациошюе поле. В формулах (15.11а) и (15.14а)
учтен только этот вклад, и он в данном случае тоже обращается
в нуль. Но флуктуационное поле может создаваться источниками,
локализованными вне- данного непоглощающего объема среды,
т.. е. может приходить в этот объем извне. Поэтому корреляци-
корреляционные функции флуктуационного поля, вообще говоря, отличны
от нуля и в тех областях пространства, где среда не обладает
поглощением.
§ 16. Корреляция сторонних тепловых источников
в электродинамике
Вернемся к спектральным уравнениям Максвелла (14.6),
исключив из них при помощи материальных уравнений (14.7)
индукции D и В:
rotH = -(fceE+-^-je, rotE = i/sjiH—^-j,,. (16.1)
Состояние рассматриваемой системы—флуктуационного электро-
электромагнитного поля—описывается 6-вектором напряженностей
|</>г={Е, Н}. Каков при этом 6-вектор сопряженных с gv по
Лагранжу сторонних сил f'^7
Согласно общему выражению (15.13) средняя диссипируемая
мощность <Q> равна (со знаком минус) сумме произведений
координат на скорости изменения сил. Сопоставляя с (15.13)
формулу (14.5), нетрудно усмотреть, что [сторонние токи j, и
|и не являются сопряженными «силами» для «координат» ?у>==
={Е, Н}. Если же воспользоваться сторонними индукциями ©
и- SB и подставить в (14.5) выражения (14.4), то мы получим
Д <Q> формулу как раз вида (15.13):
Таким образом, для напряженностей |V) = {E, H} «силами» явля-
являются величины /У' = {Ю/4я, 89/4я} и общие формулы (15.14а, б),
выражающие ФДТ, следует применять именно к таким |'/> и /v>.
Разумеется, получив корреляционную матрицу для спект-
спектральных амплитуд сторонних индукций О и SB, мы тотчас же
сможем написать такую матрицу и для спектральных амплитуд
136
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
сторонних токов, поскольку, в силу (14.4),
(16.2)
Подставив (16.2) в (16.1), запишем уравнения (16.1) в ком-
компонентах:
где fe = o)/c, а знак О обозначает круговую перестановку индек-
индексов 1, 2, 3. Сопоставление этих шести уравнений со второй
группой уравнений (15.12), где, как мы помним, надо положить
$</> = {Р•, Рќ}, /"> = {Рћ/4СЏ, В®/4Рї} (/ = 1, ..., 6),
дает нам матрицу операторов ^^(V):
! Р·^Рі -V, 0 Vi
4Р»'*\ v, -v. Рѕ
—V.
1
(Р°, Р’= 1,2,3).
Транспонированная комплексно сопряженная матрица, завися-
зависящая от v', будет
(Р°, 6 = 1,2, 3).
Учитывая, что у' — — \ (поскольку операторы действуют на
функцию от г—г'), получаем
8 — »'
4Р»
(Р°, 6=1, 2,3).
Ц.191 КОРРЕЛЯЦ�Я СТОРОНН�Х ТЕПЛОВЫХ �СТОЧН�КОВ 137
Наконец, подстановка этого результата в формулу (15.146),
выражающую ФДТ для ланжепсновских сил, даст нам корреля-
корреляционные функции сторонних индукций D и SB:
<De(co, г)0|(<о, г')> = -?^^-)(Е-е«)баЭ«(г-г'),
i^0i-|i')ee,e(r-r'), (16.3)
В более общем случае анизотропной или гиротропной среды,
описываемой тензорами проницаемостей ea(J и цар. мы получили
бы те же формулы (16.3), но с заменой диагональных тензоров
Sfiaj � |i6aS НЭ вар � Цар, Э 8*5аЭ � [Д.тбар НЭ 8ра � ^^.
Пользуясь (16.2) и (16.3), нетрудно написать корреляцион-
корреляционные функции сторонних токов. Мы приведем эти функции сразу
для случая анизотропной среды'):
(16.4)
Менее формальный вывод этих формул дан в задаче 2.
�так, электрические и магнитные источники флуктуацион-
яого поля пространственно не корродированы между собой,
а радиус пространственной корреляции тех и других порознь
равен нулю (дельта-функция б (г—г')). Для сред без простран-
пространственной дисперсии, которыми мы здесь и ограничиваемся, этот
1Ц>следний результат представляется очевидным. Действительно,
фактический радиус корреляции источников теплового поля
ill.таких средах может быть только микровеличиной (порядка,
Например, межатомных расстояний), и поэтому в макроскопи-
яеекой теории, рассматривающей среду как сплошную, он и
должен быть равен нулю. Напротив, в средах с пространствен-
пространственной дисперсией материальные уравнения нелокальны не только
ло t, но и по г, т. е. вместо (14.2) будут уравнения, содер-
содержащие операторы как по t, так и по г'). Это приводит к
1) Формулы (16.4) были получены Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем |3|
пр« помощи ФДТ в ее дискретной форме. На основе непрерывной формы ФДТ
формулы вида (16.4) были выведены в [4]. В дальнейшем, независимо от
"Мученной в [4] обшей непрерывной формы ФДТ, формулы вида (16.4) выво-
выводили многие авторы (см., например, ссылки [23, 55—62) в книге [6]).
') Соответственно уравнения (14.7) тоже не будут алгебраическими, а
будут содержать пространственные операторы. Алгебраическими будут лишь
уравнения для шх-амплитуд.
138 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
отличному от нуля радиусу корреляции источников флуктуаци-
онного поля, имеющему тот же порядок величины, что н размер
области нелокальности в материальных уравнениях (см. [6J,
В§4).
Для кусочно-однородных сред, т. е. при наличии резких гра-
границ раздела между средами, формулы (16.3) и (16.4) справед-
справедливы (из-за дельта-корреляции) вплоть до самых границ раздела.
При наличии же пространственной нелокальности положение
меняется: вблизи от границ раздела, а именно в слое, толщина
которого порядка радиуса корреляции, поля сторонних источ-
источников неоднородны (их корреляционные функции зависят от г
и г' в отдельности, а не от разности г—г') и анизотропны даже
в том случае, когда сама среда изотропна.
Мы смогли, используя теорему (15.146), сразу написать кор-
корреляционные функции источников флуктуационного поля только
потому, что входящие в (15.146) операторы А?$ нам известны из
самих уравнений Максвелла. �наче обстоит дело с корреляцией
«координат», т. е. напряженное/пей флуктуационного электро-
электромагнитного поля Е и Н. Для того чтобы написать корреляцион-
корреляционные функции Е и Н, надо, согласно (15.14а), знать обратные
операторы ?<#, т. е. надо «обернуть» уравнения Максвелла,
выразив Е и Н через j, и jn (или С и SB). Другими словами,
надо решить неоднородные уравнения Максвелла, считая рас-
распределение источников jj и jn произвольным, но заданным и
налагая граничные условия, отвечающие данной конкретной за-
задаче.
Если краевая задача решена, то тем самым мы получаем
операторы Лар (обычно в виде интегралов, распространенных
на области пространства, в которых сторонние токи \, и )т
отличны от нуля) и можем воспользоваться тогда «готовой» тео-
теоремой (15.14а). Можно поступить и иначе: составить из полу-
полученных решений для Е и Н интересующие нас билинейные ком-
комбинации и усреднить их. Под кратные интегралы, выражающие
вторые моменты напряженностей, войдут при этом корреляци-
корреляционные функции сторонних токов ]„ и ]я, вместо которых
надо будет подставить уже полученные выражения (16.4). Оба
способа вполне правомерны, и ряд флуктуационных элект-
электродинамических задач был решен именно таким путем [I,
7,8].
Однако в обоих указанных вариантах это трудоемкий и не-
неэкономный путь, так как для каждой конкретной задачи его
надо проделывать заново. Попытаемся поэтому выяснить, к чему
приводит ФДТ, если применить ее к решению уравнений Макс-
Максвелла, записанному в обшрй интегральной форме—через функ-
функции Грина.
I 17) ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН К�РХГОФА ]39
§ 17. Обобщенный закон Кирхгофа
Функции Грина представляют собой решения краевой задачи
с элементарными точечными источниками поля. Введем их в нашем
электродинамическом случае следующим образом.
Пусть j0,—детерминированный электрический ток, сосредо-
сосредоточенный в некоторой точке А (г = гд) и направленный по
постоянному единичному вектору 1:
Ue = )b(T-rA). (17.1)
Можно считать ток jot поляризационным, т. е. рассматривать
источник как точечный электрический диполь с моментом
р=—1/гю1). Решение уравнений Максвелла, т.е. напряженности
электромагнитного поля, создаваемого в данной системе тел и
сред источником (17.1), мы обозначим через Ео, (г, г^, 1),
Нв» (г, гд, I) я для краткости будем называть это детерминиро-
детерминированное поле дифракционным. Напряженности Е0(, и Нае и явля-
являются функциями Грина.
Наша цель состоит в том, чтобы выразить напряженности Е
и Н флуктуационного поля, порождаемого случайными распре-
распределенными токами )е и }т, через эти токи и через функции
Грина Е0(, и Ное. Проще всего сделать это при помощи электро-
электродинамической теоремы взаимности, которая связывает «накрест»
напряженности и источники двух различных полей 1 и 2 в одной
и той же системе тел и сред.
Пусть имеются два распределения сторонних электрических
и магнитных токов j,,, jle и jae, |M, которые создают при про-
прочих одинаковых условиях поля Elt H, и Е2, Н2 соответственно.
Теорема взаимности выводится весьма просто (при очень широ-
широких допущениях) из двух систем уравнений Максвелла — одной
для поля и источников 1 и другой для поля и источников 2
(см., например, [6]). Она гласит, что
S (E.JВ«-HJВ«)*r = J (E.Jn-H.UdV, (17.2)
где V—объем полного поля. Фактически интегралы в (17.2)
распространяются только на те области пространства, в кото-
которых сторонние токи отличны от нуля.
*) Плотность поляризационного тока равна dP/dt, где Р—объемная плот-
плотность поляризации. Для точечного диполя с моментом р имеем Р —рв(г—г^),
так что Ье = д?6(г—г/), а для спектральных амплитуд ]Яе = — top 6 (г—г^).
При р = —1/;<о мы получаем (17.1).
140 ТЕПЛОНОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
Отождествим теперь в теореме (17.2) интересующее нас флук-
туационное поле с полем 1:
iВ« = J.. 1., = ].. Ei = E. H1 = H. (17.3)
а вспомогательное дифракционное поле — с полем 2:
)„ = Щт-тА), J.. = 0. Е.-Е.., Н, = Н„;
формула (17.2) дает тогда
S Р• (Рі) 1 Р± (Рі-РіРґ) Рђ-=?,(!-,,) =
v
= S {Е.. (г, г„, 1) J. (г)-Н„, (г, тл, 1) J. (г)} d?r, (17.4)
т.е. именно то, что нам нужно: компонента по направлению 1
электрической напряженности флуктуационного поля в точке А
выражена через распределение случайных токов и через функ-
функции Грина — напряженности детерминированного поля, создавае-
создаваемого электрическим диполем, направленным по 1 и находящимся
в точке А.
Для того чтобы получить аналогичное выражение для ком-
компоненты магнитного флуктуационного поля, надо, сохраняя (17.3),
воспользоваться в теореме взаимности (17.2) другим полем 2,
а именно дифракционным полем Е,я1 Н0(., которое создается
магнитным точечным током
или, что то же, магнитным диполем с моментом т=—1/«ш,
помещенным в точку А:
Мы получаем тогда из (17.2)
..(r. ril,l)-J.(r)-H0-(r1 rAll)]K(r)\d'r. (17.5)
Линейные относительно j, и ]я выражения (17.4) и (17.5)
позволяют получать теперь любые моменты напряженностейфлук-
напряженностейфлуктуационного поля, если нам известны моменты того же порядка
для токов \е и jn. В частности, мы заведомо можем вычислить
вторые моменты компонент флуктуационного поля, поскольку
вторые моменты сторонних токов дает нам (16.4).
Найдем, например, среднее значение произведения ?;,(rJHi,(г,).
Полагая в (17.4) 1-=1„ тл = г1 и записывая скалярные произве-
произведения векторов в компонентах (sb = Oabai где по дважды вхо-
|j?f] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН К�РХГОФА ]41
дящим индексам производится суммирование от 1 до 3), имеем
= $<?o«z(r, г„ \1)jla(r)—Hllm(r, г„ \l)jma{T)}d'r. (17.G)
Полагая в (17.5) 1^12, гА = тг, получаем
РЇ/,(Рі.) =
= -J{?om»(r', г„ 1,)й)(г')-Я„тЭ(г', г3, ls)/mB(r')}dV. (17.7)
Для краткости мы далее опустим аргументы г„ lt в EOf, Hoe
ц аргументы г2, 12 в Ео„, Н0|Я. Умножив (17.6) на выражение,
комплексно сопряженное (17.7), и взяв среднее по равновес-
равновесному ансамблю случайных источников j, и ]я, находим
>.)> =
= — J 5 {?ога (Г) Ешь (Г') </«„ (Г) /*О(Г')> +
+Яога (г) Я^тр (г') </V.ra (г) /яр (г')> —
— Е„т (Г) //Jn:p (Г') </ю (Г) /тр (Г')> —
— Я,га (Г) ?*отр (Г') </та (Г) U (Г'
Согласно (16.4) последние два члена интегранда равны нулю
ш силу некоррелированности электрических и магнитных сто-
сторонних токов; корреляционные же функции токов в первых двух
членах содержат б (г—г'), что позволяет сразу выполнить ин-
интегрирование по г'. В результате
<?,, (Рі,) Рќ'1Рі (Рі,)> =
Но величина
1т.(т)= -^ {ЕмЕшеЫ-г^ + Н^иЫ-Ма)} (17.9)
Лредставляет собой не что иное, как спектральную объемную
Йютность смешанных тепловых потерь (электрических+ магнит-
Вых) в точке г1). �нтеграл от qem* (г) по г—это спектральная
х) Поясним понятие смешанных» потерь на примере изотропной среды,
обладающей только электрическими потерями, когда Еар — [е'-|-? ] бар
• �«в = (*'6аВ' гДе е' и V-—вещественные проницаемости, а—электрическая
проводимость. Формула (17.9) принимает для такой среды вид
Чет* (r)
Си. продолжение примечания на следующей странице.)
142 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
плотность потерь во всем объеме среды (фактически во всех
областях, где есть диссипация энергии, т. е. еоР—г$аф0 и (или)
'ФО)
Q,,n. (гХ1 К; г„ I.) = $ q,m. (г) д?г. (17.10)
Конечно, q,m» и Qem' зависят от координат и направлений то-
точечных источников вспомогательных дифракционных полей, в дан-
данном случае—электрического диполя с моментом p——ll/im
в точке rt и магнитного диполя с моментом m = —12/md в точке г2.
�з (17.8)—(17.10) следует, что
<61(rI)«;.W> = —|в(«, 7) «„.(г,. I,; г„ 1а). (17.11)
Аналогичный расчет при помощи формул (17.4), (17.5) и
(16.4) функций корреляции компонент Е или компонент Н при-
приводит к следующим результатам:
<?,, (г,) ?,', (г,)> -|-в К Т) Qet. (г,. 1,; г„ 1а), (17.12)
; | -('i. >»; г„ 1,). (17.13)
В формулу (17.12) входят смешанные потери дифракционных
полей от двух электрических диполей (рх = — \jirn в точке г,
и р,= —la/i(o в г,), а в (17.13)—от двух магнитных диполей
(m,= — lji<o в г, и т, = — 1,//о> в г,). Не смешанные, а собст-
собственные потери дифракционного поля одного источника опреде-
определяют среднеквадратичное значение какой-либо одной компоненты
флуктуационного поля в одной и той оке точке. Например, по-
полагая в (17.12) rt~ra = r и 1,-1, = !, получаем
< I ?, (Рі) 1*> = # РІ (С€. Рў) Qec. (Рі, 1; Рі, 1), (17.14)
Мы назвали эти потери «смешанными», так как они обусловлены полями от
двух разных источников. Посмотри» на тон же примере, как такие потери
возникают.
Как известно, мгновенная объемная плотность джоулева тепла есть
q(l, г) — а(г)Е'(1, г). Для гзршятческого поля Е(/, г) = >/,[Е(а>, r)W>'-(-
+ Е*(<в, г)е'<>>'] в среднем по периоду Г —2л/о имеем
Если поле Е представляет собой суперпозицию двух полей
очевидно,
где <?п«(ш, г) = */,а|Ех|". ?22.(о, г) = V»01 Е»|*—потери каждого из полей Е]
и Ej в отдельности, a ?ia.(w, г) = VjfEiEj, qmifit, r) = a/»«'ElEj—смешанные
ютери полек Е( и Е,.
JI7J ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН К�РХГОФА |43
т. е. сюда входят собственные потери дифракционного поля, со-
создаваемого электрическим диполем с моментом р=—l/ieo, нахо-
находящимся в точке г.
Формулы (17.11)—(17.13) можно назвать кирхгофовской фор-
формой ФДТ, потому что они представляют собой прямое обобще-
обобщение закона Кирхгофа классической теории теплового излучения.
Этот закон связывает, как известно, интенсивность теплового
излучения тела в каком-либо направлении с поглощением в этом
теле при падении на него плоской волны с обратным направ-
направлением распространения (можно сказать, что это волна от бес-
бесконечно удаленного точечного источника). Обобщение касается
сразу трех сторон дела.
Во-первых, мы можем теперь находить средние значения про-
произведений любых компонент Е и Н, а не только тех, которые
определяют плотность энергии и ее поток (поток вектора Пойн-
тинга)— две величины, которыми только и интересуется клас-
классическая теория излучения.
Во-вторых, мы можем вычислять не только средние произ-
произведения компонент, взятых в одной и той же точке (rt = г,),
что требуется для расчета плотности энергии и ее потока, но
и пространственные функции корреляции флуктуационного поля
[Р¤)
� D-третьих, что наиболее существенно, в формулах (17.11)—
(17.13) нет никаких ограничений для соотношения между дли-
длиной волны X и характерными масштабами задачи / (размерами
тел, радиусами кривизны их поверхностей, расстояниями от
тела до точки наблюдения и т. п.). �наче говоря, в отличие
от классической теории теплового излучения, связанной усло-
условиями применимости геометрической оптики, мы можем вычис-
вычислять теперь вторые моменты флуктуационного поля—как вол:
новой его яасти (с учетом всех дифракционных явлений), так
и неволновой (квазистационарной)—при любом соотношении А, и/.
Необходимо остановиться на преимуществах, которые дает
обобщенный закон Кирхгофа и в отношении вычислительной
стороны дела. Конечно, для нахождения вспомогательных ди-
дифракционных полей (функций Грина) по-прежнему необходимо
решать обычными методами соответствующие краевые электро-
электродинамические задачи. Однако эти задачи проще тех, о которых
Говорилось в конце предыдущего параграфа. Для формул (17.11)—
CJ7.13) надо находить решения однородных уравнений Максвелла,
обладающие дипольными особенностями в заданных точках г,
и г„ а не решения неоднородных уравнений с заданным, но
произвольным распределением сторонних токов j, и \„. Более
того, во многих случаях можно использовать уже известные
функции Грина, т. е. готовые решения задач с точечными источ-
источниками (например, классической задачи А. Зоммерфельда о поле
144 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
диполя, расположенного над плоской границей поглощающей
среды).
Наконец, далеко не всегда необходимо вычислять напря-
напряженности дифракционных полей. Ведь в формулы (17.11)—(17.13)
входят, в конечном счете, не эти напряженности, а тепловые
потери дифракционных полей. Во многих практически интерес-
интересных случаях эти потери можно с достаточной точностью по-
получить приближенными методами. Сюда относится, например,
случай хорошо проводящих тел (сильный скин-эффект), случай
тел, больших по сравнению с Л или, наоборот, малых по срав-
сравнению с X (хотя бы по некоторым своим размерам, как это
имеет место для тонких проводов). Далее мы приведем несколько
примеров применения обобщенного закона Кирхгофа и заодно
проиллюстрируем предельный переход к результатам классиче-
классической теории теплового излучения. В заключение же этого па-
параграфа сделаем еще два общих замечания.
Первое касается распространения обобщенного закона Кирх-
Кирхгофа (17.11)—(17.13) на случай неравномерно нагретых тел. Если
градиенты температуры достаточно малы, так что 9 = 0 (г) —
настолько плавная функция, что роль неравновесных процессов
еще пренебрежимо мала, то, очевидно, учет неравномерного
нагрева сведется к тому, что в (г) надо оставлять под интегра-
интегралом по объему. Вместо произведения QQt в формулах (17.11)—
(17.13) надо при таких квазиоднородных условиях писать
j6dQ,, где dQt = qtd*r—тепловые потери дифракционного поля
в элементе объема d»r рассматриваемого тела.
Второе замечание касается нулевых колебаний. Во все формулы
корреляционной теории равновесных и квазнравновесных флук-
туационных полей входит множителем средняя энергия осцил-
осциллятора 6(о>, 7"), содержащая слагаемое А<о/2 — энергию так
называемых нулевых колебаний (см. (15.10)). Слагаемое в (15.10),
зависящее от температуры Т и обращающееся в нуль при Т— 0,
соответствует так называемому черному излучению. Только эта
часть обычно н рассматривается, когда речь идет об излучении,
т. е. о потоке энергии, поскольку лишь она является в таких
случаях наблюдаемой величиной. Между тем в формулах типа
(17.11) содержится поток энергии и нулевых колебаний. Когда
и почему его не следует учитывать?
Дело в том, что при выводе формул типа (17.11)—(17.13)
сделано неявное допущение, что рассматриваемое тело является
единственным источником флуктуационного лоля. В действитель-
действительности же нулевые колебания существуют и в отсутствие дан-
данного тела, так как они создаются всеми телами без исключения,
в том числе и абсолютно холодными (7* = 0). Можно сказать, что
по отношению к нулевым колебаниям всегда имеет место равно-
ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�Я ЗАКОНА К�РХГОФА
146
веское состояние, т. е. нулевые колебания -это всегда стоячие
волны и, соответственно, любой поток энергии этих колебаний
всюду гасится встречным потоком той же интенсивностиJ).
Поэтому в любых формулах, относящихся к потоку энергии
(но не к ее плотности]), следует удерживать лишь ту часть
9(0), Т), которая относится к черному излучению, вычитая поток
энергии нулевых колебаний, который ьсегда компенсирован при
любом окружении данного тела.
Р РёСЃ. 13.
§ 18. Примеры применений обобщенного закона Кирхгофа
Рассмотрим в качестве первого примера случай полупро-
полупространства г < 0, заполненного поглощающей однородной и изо-
изотропной средой с проницаемостями е„ ц,, над коюрым (г > 0)
среда тоже однородна и изотропна, но проз-
прозрачна (проницаемости виц вещественны)
(рис. 13). Как мы знаем, для нахождения
вторых моментов флуктуацнонного поля
в какой-либо точке прозрачной среды надо
вяать дифракционные поля Еое, Ho, и ЕОя>,
Но- элементарных электрического и магнит-
цЬто диполей с моментами р——1,/io и
ад=—1,/ш, помещенных в эту точку (lt и
>,—единичные векторы). Решение этой клас-
классической задачи можно найти в любом
учебнике по распространению радиоволн
^подробное изложение см., например, в монографиях [9, 10]).
.Потери дифракционного поля Е„ = Е„ 4- Ео„, Н„ = H,f -f- Н,я в
Поглощающем полупространстве г < 0 проще всего вычислить
Как поток энергии через границу г —0 в это полупространство:
В» 2Р»
'1
На плоскости г —0 мы ввели в (18.1) полярные координаты
f и <р, причем диполи находятся на высоте h над началом
Отсчета г —0. Ясно, что Q, будет зависеть только от h и, ко-
йечно, от ориентации диполей I, и !,.
Разные выражения для Q01 отвечающие различным ориеита-
цням I, и I,, определят по формулам (17.11)—(17.14) средние
значения произведении соответствующих компонент флуктуацион-
ного поля. Если, скажем, направить \х по оси дг и положить
') Разумеется, гасится в среднем, т. е. гасятся средние значения встреч-
Вых потокок. Пели интересоваться флуктуациями потока энергии, то к них
¦косят вклад и нулевые колебания.
14В ТЕПЛОВОС ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ |ГЛ. Ill
m —О, то мы получим <|?л.|2>; если направить lL по оси х,
а |3 по оси у, то соответствующее <?„ даст <ЕхНу> и т. д.
Отличными от нуля оказываются только следующие моменты1):
< | Ег f > = < | Нг |а >, <ЕХН;> - - <ЕиН'х>,
зависящие уже только от высоты h точки наблюдения над гра-
границей раздела.
Зная моменты (18.2), нетрудно составить выражения для
спектральных плотностей (по ш > 0) электрической и магнитной
энергий флуктуационного поля в прозрачной среде (с е и ц, не
зависящими от ш, т. е. в отсутствие дисперсии) и для г-компо-
ненты вектора Пойнтинга:
=-^т <,ЕХЩ—ЕуН'х + ЕхНи—Е'УНХ)>.
Как и моменты (18.2), величины (18.3) выражаются одно-
однократными интегралами от 0 до оо по некоторой переменной р,
причем расстояние h точки наблюдения от границы 2 = 0 вхо-
входит в подынтегральные выражения только через экспоненту
ехр[—(<7 + <7*)'1]> где q=V р*—№ , a k—волновое число в про-
прозрачной среде (k = k,,VtyL, ko = w]c). Тем самым, интегралы пор,
выражающие величины (18.3), распадаются на два существенно
различных слагаемых. 1) �нтегралы по интервалу р от 0 до k.
Здесь q чисто мнимое, <?Н-<7* = 0, и эта доля в величинах (18.3)
не зависит от h. Это волновая часть флуктуационного поля.
2) �нтегралы по интервалу р от k до со, где q вещественно и
положительно; соответствующие вклады в u«a(/i) и Umo(/i) убы-
убывают с удалением от границы z = 0, а в потоке энергии ?fa2 эта
часть вообще отсутствует, так как в подынтегральное выраже-
выражение для <5"шг входит еще и множитель q—q*, который при ве-
вещественном q обращается в нуль. Это квазистационарное флук-
туационное поле, не дающее вклада в поток энергии.
Для волнового поля, если в качестве переменной интегриро-
интегрирования ввести вместо р угол 9 между волновым вектором к и
плоскостью z — 0, так что p = Jfesin9, величины (18.3) приводятся
1) Подробно вес вычисления приведены в [6], § G.
ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�Й ЗАКОНА К�РХГОФА
147
Рє РІРёРґСѓ
СЏ/Рі
[l-3t(9)]sin9d9, (18.4)
= 2СЏР­
n/2
В«n\\ [1-
.'A (6)] cos 9 sin 9 dQ.
(18.5)
Здесь п=У~Щ— показатель преломления прозрачной среды,
«о» и Зш~-т-Чаы—соответственно плотность энергии и интен-
интенсивность равновесного излучения в вакууме, а Я (9)—полусумма
френелевских коэффициентов отражения (по энергии) при угле
падения плоской волны 9 и при двух ее поляризациях—с элек-
электрическим вектором, параллельным плоскости падения и пер-
перпендикулярным к ней:
РЇ Р¤) = Vi [5?В»(9) -f Рњ j. (9)J, (18.6)
(РІ) =
II
Рµ
Р�
cose
РЎРћ5РІ
COS 1
— V~N!
i V~N
)— /л
1 Рў^Р»
— sin« в
— sin» в
*—sin2 e
fW = ]/в1ц,/к[1 — относительный показатель преломления). В (18.6)
вошла полусумма 54ц и 5?х. так как в рассматриваемой за-
задаче обе поляризации совершенно равноправны.
Сопоставление (18.5) с общим выражением нормальной к по-
поверхности компоненты вектора Пойнтинга <SF№z через интенсив-
интенсивность а/«(9, ф):
5
РІ<Р»/2
0, <p)cos9do-= J d<f
Р’, <p)cosGsin8dO,
показывает, что в нашем случае, т. е. в случае излучения полу-
полупространства, заполненного однородной и изотропной погло-
поглощающей средой, интенсивность (Уш не зависит от угла tp и
равна (закон Кирхгофа)
(18.7)
Отсюда можно перейти к случаю бесконечного пространства,
аполненного прозрачной средой с показателем преломления п,
росто положив 5i = 0. Тогда получается закон Клаузиуса,
148
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
!ГЛ. Ш
связывающий равновесные интенсивности в прозрачной среде и
в вакууме:
Тот же переход к 54=0 дает, согласно (18.4),
т. е. половину плотности энергии u^n3 равновесного излучения
в прозрачной среде, как и должно быть, поскольку мы выде-
выделили из этого излучения односторонний поток энергии (в сто-
сторону z > 0).
Для квазистационарного поля квадратуры, выражающие плот-
плотности энергии и?? и и?,щ, сложнее, и можно дать лишь прибли-
приближенные их оценки.
Если kh гораздо больше величин
— VN*— 1 и — \/ N1— 1
то
т. е. убывание плотностей энергии с удалением от границы
(с ростом ft) происходит по закону l/h*. На расстояниях h, при
которых
^^) (18.8)
плотность энергии квазистационарной части теплового поля уже
пренебрежимо мала по сравнению с постоянной в полупрост-
полупространстве г > 0 плотностью энергии волновой части поля (18.4).
Напротив, на малых расстояниях h преобладает квазистацио-
квазистационарное поле, так что малые зазоры и полости, для которых
условие (18.8) не выполнено, практически заполнены именно
квазистационарным флуктуационным полем.
При малых kh с точностью до членов порядка I/(ftft)« полу-
получаются оценки
„к. - "�)"'»
, p. ( El РЈР–=Рў \ I
(189)
)} •
Отсюда видно, что при наличии только электрических потерь
(iH — 1тц! = 0) плотность электрической энергии ий растет с
уменьшением h, как 1/А\ а магнитной и%ш—лишь как 1/Л»
(а в случае, когда Ej=Ime1 = 0,—наоборот). �нтеграл от иу =
= uja + umu п0 любому конечному объему, прилегающему к гра-
границе раздела, тоже расходится. Как уже было сказано в § 16,
|)«J ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�� ЗАКОНА К�РХГОФА |49
jro результат принятой нами дельта-корреляции сторонних источ-
источников в поглощающей среде. Если бы мы взяли нелокальную
среду, и которой, тем самым, сторонние флуктуационные токи
,рбладали. бы некоторым отличным от нуля радиусом корреля-
корреляции а, то плотность и" оставалась бы при h—>¦() конечной, до-
достигая значения порядка um/(ka)3.
Современная усилительная техника в диапазоне СВЧ вполне
позволяет поставить прямой опыт, выявляющий сильное на-
.растание квазистационарного флуктуациошюго поля вблизи по-
поверхности нагретого проводящего тела, но, к сожалению, такой
Опыт пока не осуществлен.
В рассмотренном примере мы получили для нолновой части
доля классический закон Кирхгофа (18.7), так как в случае бес-
бесконечного полупространства этот закон справедлив для любой
¦длины волны. Правда, для достаточно малых расстояний h от
поверхности среды были прослежены эффекты, выходящие за
рамки классической теории теплового излучения (наличие квази-
Сгационарного флуктуационного поли). Но особый интерес пред-
представляют приложения общей теории к таким задачам, где клас-
классическая теория вообще неприложима, так как размеры тел не
Слишком велики по сравнению с длиной волны. Тогда и в вол-
Вовой части теплового поля должна проявиться новая законо-
закономерность— зависимость характеристик волнового поля от отно-
Цйашя 1/Х, где I — характерный размер (выше это было расстояние
Ь от границы). Приведем пример, иллюстрирующий сказанное,—
|Епловое излучение равномерно нагретого шара.
Общий метод остается прежним: надо найти вспомогательное
цифракционное) поле диполей с моментами р = —lL/i<o и m—
у— I2/('w, находящихся в какой-либо точке прозрачной среды
(Юществепные проницаемости к и ц), окружающей тар, который
^полнен средой с комплексными проннцаемостями е: и |лг Реше-
яе этой краевой задачи (с обычными условиями непрерывности
тенциальных компонент Ео и Н„ на поверхности шара и
овием излучения на бесконечности) нетрудно получить в виде
¦Ядов по фундаментальным векторным функциям шара. Потери Qo
Рефракционного поля в шаре можно вычислить затем как поток
(Ьергии внутрь шара через его поверхность1). Напомним, что
л» всех таких, по сути дела, неравновесных задачах («высвечи-
Цбние» нагретого тела) предполагается, что внутри тела каким-то
В|разом поддерживается квазиравновесное состояние и, в част-
JfDCTH, постоянная температура.
Мы приведем только один результат—зависимость среднего
Ректора 1 Митинга флуктуационного поля нагретого шара от
*) Подробное изложение расчета см. в [6j, § 7, где таким же путем ре-
а задача и для бесконечного круглого цилиндра.
В¦>5
1,0
0,5
150 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
радиуса шара а. На рис. 14 для случая шара, обладающего
хорошей электрической проводимостью, но лишенного магнитных
потерь, показана зависимость удельной мощности рф (т. е. мощ-
мощности, излучаемой с единицы поверхности шара) от параметра
a=ftoa = <»a/c = 2na/X. При Я/а—0 (а—> «>) мощность стремится
к постоянному значению рт, которое отвечает классическому
закону Кирхгофа. По оси ординат
на р ис. 14 отложено отношение рш/р„.
Мы видим, что с ростом а удельная
мощность излучения сначала растет,
а затем спадает со слабо выражен-
выраженными максимумами, которые несколь-
ко сДвинУты вправо от значений а,
соответствующих собственным часто-
частотам ю электрических колебаний ша-
шара ')• У малого (а~ 1) хорошо про-
t водящего шара излучение с единицы
-, 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 а. поверхности оказывается в полтора—
Рис. Н. два раза интенсивнее, чем у боль-
большого (<х^>1). Зависимость ра от от-
отношения к/а—это и есть то новое, что дает флуктуационная
электродинамика.
Полный поток энергии, излучаемой шаром на частоте го,
равен Ра = 4па2рш и, конечно, одинаков через любую окружаю-
окружающую шар замкнутую поверхность. Но средняя плотность энер-
энергии иа флуктуационного поля ведет себя иначе. Вдали от шара иа
убывает, как 1/R'. Это плотность энергии излучения (волнового
поля). При приближении же к поверхности шара иа быстро
нарастает и при R=a обращается в бесконечность. Разумеется,
и здесь это нарастание нщ обусловлено квазистационарной частью
флуктуационного поля.
Заметим, что решение вспомогательной дифракционной задачи
о полях диполей р и m существенно облегчается в случае хорошо
проводящих тел (сильно выраженный скин-эффект). Для таких
тел можно воспользоваться решением дифракционной задачи
с так называемыми импедансными граничными условиями, т. е. во-
вообще не рассматривать поле внутри тела. В первом приближе-
приближении дифракционное поле рассчитывается для идеально прово-
проводящих тел той же формы и расположения, что и рассматривае-
рассматриваемые (кстати сказать, случай идеально проводящих тел пользуется
из-за простоты граничных условий наибольшим вниманием спе-
специалистов по теории дифракции). Тепловые потери вычисляются
!) Если бы у шара были только магнитные потери, то максимумы при-
приходились бы на собственные частоты колебаний магнитного типа. При нали-
наличии обоих видов потерь картина была бы более сложной.
|18J ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�Я ЗАКОНА К�РХГОФА 151
затем интегрированием по поверхности тела поверхностной плот-
плотности джоулева тепла. На элементе dS поверхности тела по-
поглощается тепло
! /^. (18-10)
где ?'—вещественная часть импеданса, а Я„, (тангенциальная
компонента Н„) берется из решения дифракционной задачи для
идеально проводящего тела.
Другой приближенный способ вычисления потерь Q, дифрак-
дифракционного поля применим в тех случаях, когда, во-первых, все
характерные размеры тела (включая радиусы кривизны его по-
поверхности) велики по сравнению с длиной волны Я и с глубиной
проникновения поля внутрь тела и, во-вторых, моменты флук-
туациошюго поля ищутся лишь вдали от тела—на расстояниях,
значительно превышающих л. Соответственно точечные источники
дифракционного поля тоже помещаются на таких расстояниях.
Кроме того, предполагается, что форма тела такова, что в при-
приближении геометрической оптики лучи, выходящие из точечного
источника, испытывают на границе тела лишь однократные отра-
отражения.'
*. Перечисленные условия позволяют считать, что в ближай-
ближайшей окрестности каждого элемента поверхности тела поле уда-
лелного точечного источника имеет структуру плоской волны,
а значит, полное дифракционное поле у поверхности можно
вайти, пользуясь френелевскими коэффициентами отражения (для
каждой из поляризаций и с локальным значением угла падения
первичной волны). Так как, по предположению, многократных
отражений нет, а преломленная волна поглощается, не доходя
до других участков поверхности тела, потери Qo дифракционного
поля равны просто суммарной мощности преломленных в тело
Фолн, причем интеграл берется по «освещенной» части поверх-
поверхности тела.
Ряд примеров использования обоих приближенных методов
[расчета потерь Qo (т. е. применение формул сильного скин-
уффекта и применение френелевских отражательных формул) при-
приведен в монографии [6J.
Остановимся теперь на случае, когда излучение тела, нахо-
находящегося в свободном пространстве (для простоты—в вакууме),
^нтересует нас только в волновой зоне этого тела, т. е. на рас-
расстояниях R^l'/h, где /—размеры тела. Помещая диполи р и m
taa столь большом расстоянии, мы можем считать, что в области,
Занятой телом, приходящая волна —плоская. Если моменты р
Щ п (т. е. орты I, и 1а) взять взаимно ортогональными и образую-
IWarn с R ортогональную правовинтовую связку (рис. 15), то
Напряженности в падающей на тело волне будут различаться
152 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
только знаком:
Еи--Е„,-Е,. Н„=-НОЯ^НО, (18.11)
т. е. падающая волна линейно поляризована (по IJ, а ее ампли-
амплитуда (при p = l/i(o) равна \Et\ = 2n/ci.R.
В силу (18.11) формулы
(17.4) и (17.5) дают для наиря-
женностей теплового поля в
точке R выражения
?i"ff.= S(E.J.-H,JJ<Pr,
V
(18.12)
где К—объем тела, а индексы 1 и 2 обозначают компоненты
по ортам lt и 1,. По формулам (17.11)—(17.13) мы получаем
поэтому, что
<|?\|»>=<|я,г> = <?,//;> = |вк г)<?„.
mi
Соответственно поток энергии (вектор Пойнтинга) излучения
тела (с поляризацией \ и в направлении R) будет
a>, T)Q,, (18.13)
а поток в телесный угол do, т. е. через площадку R*do, нахо-
находящуюся на расстоянии R от тела, составит
dPm = SrKR%do=~e{(o, T)Q,R'do. (18.14)
�ндекс ш указывает, как обычно, что речь идет о спектре по
частотам а>^0.
Выразим теперь потери Qo дифракционного поля в теле через
так называемый эффективный поперечник поглощения:
Таким образом, а,фф—это та площадь фронта падающей на тело
плоской волны, поток энергии через которую равен поглощае-
поглощаемой телом мощности Qo (на поляризации 1,). Подставив в
значение |?0|, находим
ВОЛНОВОДНАЯ ФОРМА ЗАКОНА К�РХГОФА 153
Наконец, внося это выражение для <?0 в (18.14) и удвоив ре-
результат (для учета обеих независимых поляризаций), получаем
(18.15)
Таков поток энергии теплового излучения тела в дальней зоне
В телесный угол do в направлении Л и на частоте со.
Если тело представляет собой перпендикулярную к R плас-
пластину, размеры которой гораздо больше X, то а.фф = Л2, где
2—площадь пластины, а А—ее коэффициент поглощения. Тогда
(18.16)
соответствии с классической теорией теплового излучения.
§ 19. Волноводвая форма закона Кирхгофа
При рассмотрении передачи электромагнитных сигналов по
волноводам представляет интерес спектральная интенсивность
епловых «шумов», т. е. мощность теплового излучения, пере-
перерешая по волноводу в спектральном интервале (о>, <о + шв).
Шлрвое поле может создаваться стенками самого волновода,
[кнми-либо антенными устройствами, к которым он присоединен
№ль, рупор), рефлекторами, диафрагмами, аттенюаторами и т. п.
азовем для краткости любую систему таких элементов излуча-
елем. Разумеется, флуктуационное волновое поле в волноводе
яке может быть представлено как суперпозиция бегущих (докри-
ческих) собственных волн волновода, или так называемых
бственных мод.
.'На основании формулы (17.11)—(17.13) нетрудно заранее
«двидеть, что мощность теплового излучения, посылаемая в
ышовод любым излучателем на какой-либо п-Ъ моде и на
Стоте и, будет связана с коэффициентом поглощения этого
(иуяателя, когда на него падает л-я собственная волна часто-
I to. Соответствующую формулу, названную волноводной формой
Нона Кирхгофа ([1], §17), легко получить как при помощи
времы взаимности, так и на основе принципа детального рав-
*есня ([6], §9). Мы приведем только второй способ вывода,
тати сказать, не предполагающий заранее выполнения теоремы
«имности.
В ч. I, §54 было показано, что произвольный излучатель,
рласованный с линией (волноводом, коаксиалом) на часто-
>' (0^0, посылает в линию в интервале частот (ш, ш+dai)
154 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ш
МОЩНОСТЬ J)
Если согласованный излучатель возбуждает только одну (я-ю)
собственную волну, то это равенство должно выполняться и для
данной волны, т. е. для каждой моды и частоты, на которых
излучатель согласован, имеем
Р С€*=РЄРЎ- (19.1)
Рџ +
^ rtm
я~.-*—
СЃ
11
Рассмотрим следующую равновесную
~д* д= ^ ^ГГ систему. Между двумя сечениями ре-
т " "т гулярного волновода, показанными
Рис. 16. пунктиром на рис. 16, расположен не-
некоторый несогласованный излучатель
М (причем рассогласование, вообще говоря, различно по обе сто-
стороны от М).
Введем для М коэффициенты поглощения n-й волны А* и коэф-
коэффициенты ее трансформации (п—*т) при отражении от М (RtJ и
при прохождении через занятую М область (D^), где индексы
плюс и минус означают падение первичной гс-й волны на М со-
соответственно слева и справа. �з закона сохранения энергии имеем
(19.2)
Штрих около знака суммы должен напоминать, что суммирование
распространяется только на те т-е волны, которые на частоте о
являются бегущими (докритическими).
Пусть но обе стороны от излучателя М находятся черные
излучатели, т. е. тела, которые имеют ту же температуру, что и
М, и согласованы с волноводом (при данной частоте а) на каж-
каждой из рассматриваемых бегущих волн. Обозначим через Pffl±
мощности, излучаемые М на n-й волне вправо и влево (рис.16).
Принцип детального равновесия требует, чтобы встречные потоки
энергии на этой волне были одинаковы (как справа, так и слева
') Разумеется, под в (со, 7") надо понимать здесь только энергию черного
излучения (§17). Если же речь идет о неквантовой области йох^кГ, то
в (ш, Т) = кТ без каких-либо оговорок.
jig] ВОЛНОВОДНЛЯ ФОРМА ЗАКОНА К�РХГОФА 1В5
РћРў Рњ):
~2^ = Pan ~t" ^ 2.4 (°й« "b^m/i/i
РЇ РІ " , <19-3>
Умножая (19.2) на 9/2п и вычитая из соответствующих ра-
равенств (19.3), получаем
^lAi+^'i^-^DU-D-J. В°9-4)
что и является искомым результатом.
При выполнении принципа взаимности матрицы R и D обла-
обладают симметрией:
и мы получаем тогда из (19.4)
т. е. мощность, излучаемая М направо (налево), определяется
коэффициентом поглощении М при падении n-й волны справа
¦{слева).
В отсутствие трансформации типов волн, когда матрицы R и
D диагональны, получаем из (19.4)
СЂ-=В«_ (19-6)
'an 2Р» \ Рї ]^Рї L/n}'
Выполнение принципа взаимности (D*=D~) или же полная не-
непрозрачность излучателя М (DJ = 0) снова приводят к (19.5).
Заметим, что поскольку/3^ — неотрицательные величины, из
4J9.6) следует, что для любого тела или системы М
$. е. доля энергии, поглощенная и пропущенная при облучении
ijM в одном направлении, всегда не меньше, чем доля энергии,
прошедшая через М при облучении во встречном направлении.
156
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
1ГЛ. 11!
Если материальные уравнения для тел, составляющих излу-
излучатель М, локальны, то можно перейти к квазиравновесному
случаю, считая температуру Т функцией точки, и пользоваться
средним значением Э(ш, Т), взвешенным по локальной величине
джоулевых потерь внутри тел:
В© = :
T)dQtn
тогда (19.5) запишется в более общем виде:
СЂВ± .JL Р»* (РЁ). (19.7)
Значения величин Л± (ш) определяются, конечно, всей структу-
структурой поля, создаваемого в излучателе М падающей на него п-й
р волной, а не только его поглощаю-
поглощающими элементами (см. задачу 4).
Согласно (19.5) какое-либо
удовлетворяющее принципу вза-
взаимности тело излучает, находясь
в волноводе, следующие полные
мощности в интервале частот До:
—
/
s
i
1
/
С‰
С€
С€
i
i
Рі
Р РёСЃ. 17.
(19.8)
Сумма берется по всем докрити-
ческим волнам, число которых
при разных значениях ш различно. Рис. 17 иллюстрирует фор-
формулу (19.8) на примере одностороннего излучения хорошо про-
проводящей поперечной перегородки в прямоугольном волноводе.
Мощность Яш (в некотором произвольном масштабе) показана в
функции параметра ?=2аД, где о—меньшая сторона прямо-
прямоугольного сечения. С ростом g (повышением ш) все большее
число собственных Е- и //-волн переходит в разряд бегущих-
�з-за того, что перегородка обладает только электрическими по-
потерями и лишена магнитных, коэффициенты поглощения Е- и Н-
воли ведут себя при переходе через критические частоты раз-
различно: для Я-волп они плавно нарастают (от нуля при крити-
критической частоте), а для ?-волн они начинаются с острых пиков,
расположенных вплотную к критической частоте. Эти пики и
дают сильные выбросы Рш, которые в принятом масштабе дале-
далеко выходят за пределы чертежа. Пунктиром на рисунке показан
тот ход Рш(5), который получился бы при экстраполяции на
область малых | классического закона Кирхгофа. Непримени-
Неприменимость этого асимптотического закона вполне очевидна.
I J9] ВОЛНОВОДНАЯ ФОРМА ЗАКОНА К�РХГОФА 157
Следует отметить, что для любой совокупности волн, распро-
распространяющихся в одном измерении (например, по радиальному
направлению в случае излучения шара), можно представить из-
излучаемую мощность п виде (19.8), т. е. в виде суммы по взаим-
взаимно ортогональным модам. Таким образом, называя формулы типа
(19-8) валноводной формой закона Кирхгофа, мы несколько су-
сужаем область их применимости. Однако это оправдано, так как
именно волноводы дают реальную возможность выделять волны
отдельных типов (? и Н) и номе-
номеров, тогда как при излучении
тел в свободное пространство пред-
представляет интерес лишь вся вхо-
входящая в (19.8) сумма, причем
сумма бесконечная (ввиду отсут-
отсутствия критических частот).
Полноводная форма закона
Кирхгофа справедлива не только
в бесконечном регулярном волно- Рис. 18.
воде, но и в том" случае, когда
рзлучатель (система тел) М находится на конце полубесконечного
-волновода. Пусть, например, к концу волновода присоединен
рупор, перед которым и (или) внутри него расположены любые
*ела Л*а(сс=1, 2, ...) с температурами Та (рис.18). Под излу-
излучателем М надо понимать всю систему тел Мя, заключенную
внутри замкнутой поверхности, охватывающей левое полупрост-
полупространство и достаточно удаленной от конца волновода, т. е. пере-
пересекающей его там, где уже существует одномерная совокупность
взаимно ортогональных собственных волн регулярного волново-
волновода (сечение Z на рис. 18). Мощность теплового излучения, по-
Сылаемого системой тел М в волновод на л-й собственной вол-
Вё, запишется в том же виде (19.7):
P&.=-^Se.^В«(В«). (19.9)
где суммирование распространяется на все тела Ма (включая,
?онечно, и рупор, если в нем есть джоулевы потери).
Напомним, что А^я(ш)—это поглощенная телом Ма доля мощ-
п-й волны, падающей справа через! сечение 2, т. е. при
те всего устройства в передающем режиме. При этом часть
иости излучается в окружающее пространство. Простое рас-
дение показывает, однако, что можно и эту часть включить
|';(19.9). Действительно, допустим, что среда, заполняющая про-
" ранство, охваченное замкнутой поверхностью, и окружающая
па Ма, обладает сколь угодно малым поглощением. Если при
вся мощность, излучаемая в передающем режиме, в конеч-
счете поглощается средой, то последнюю можно рассматри-
158 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
вать как одно из тел Ма. Таким образом, один из членов сум-
суммы (19.9) будет относиться к среде, а роль соответствующего Aj,
будет играть так называемый энергетический коэффициент излу-
излучения, т. е. доля мощности падающей справа гс-й волны, излу-
излученная рассматриваемой системой в непоглощающую среду.
§ 20. Тепловое излучение и антенны
Как известно, существуют разные виды антенн, например:
тонкие (проволочные) антенны, широко применяемые в радиове-
радиовещании и связи на коротких и более длинных волнах, зеркальные
антенны, используемые о радиоастрономии и для связи на ультра-
ультракоротких и еще более коротких волнах, и др. В любой антенне
происходят тепловые флуктуации в материале антенны и возни-
возникает обусловленное этими флуктуациями собственное тепловое
излучение антенны. Но во многих случаях представляют интерес
не только эти собственные шумы и излучение, но и воздействие
на антенну (а значит, и на последующие каналы) флуктуацион-
ных полей внешних нагретых тел и сред. Мы остановимся на
этих наведенных тепловых шумах и только на тонких антеннах ')•
Внешнее флуктуационное поле наводит в проводах антенны
токи, которые и представляют основной интерес, так как обыч-
обычно именно они являются здесь непосредственно измеряемыми
величинами. В принципе, если корреляционная функция падаю-
падающего на антенну теплового излучения известна, моменты наве-
наведенного тока можно найти, используя формулы теории возбуж-
возбуждения антенн. Однако такого рода расчеты связаны с трудностями,
которые обусловлены в первую очередь тем, что флуктуационное
поле не обладает дельта-корреляцией вдоль проводов антенны.
Эти трудности можно в значительной мере обойти, если вновь
воспользоваться функцией Грина и теоремой взаимности.
В теории тонких антенн удобно и принято оперировать не со
сторонними токами, а со сторонними полями и э. д. с. Целесооб-
Целесообразно поэтому соответствующим образом видоизменить и теоре-
теорему взаимности. Запишем «электрическую часть» этой теоремы
(17.2):
$Е]„*г=$Е.].*г, (20.1)
и заменим сторонние токи j, и j0, —источники флуктуациопного (Е)
и вспомогательного дифракционного (Ео) полей на—напряжен-
') Теория, позволяющая рассчитывать собственное тепловое излучение ан-
антенн, развита в книге (6). в <>§ 10 и 11 —для зеркальных антенн, а в § 12 —
специально для тонких антенн. § 13 указанной книги посвящен наведенным
тепловым шумам в антеннах и содержит более обширный материал, чем при-
приводимый ниже в данном параграфе.
§20] ТЕПЛОВОЕ �ЗЛУЧЕН�Е � АНТЕННЫ ]59
поста сторонних полей соответственно К и Ко- Так как в спек-
спектральном представлении j, = — ш©/4л, а С = еК, где е = е' +
^ (е'—вещественная проницаемость, а—проводимость),
имеем
(20.2)
где вторая формула—для дифракционного тока ]„,,—разумеется,
аналогична первой. Если обозначить плотности токов, наведен-
наведенных в антенне полями ? н Е„ соответственно через j и j0, то и
для них будет
�з (20.2) и (20.3) следует, что Е]ое = КЛ и Eoj,-Kjo, так что
теорема (20.1) принимает вид1)
X К„ (г') j (г') d'r' = J К (г) J. (r) d?r. (20.4)
�менно такая форма теоремы взаимности—с напряженностями
сторонних полей и плотностями наведенных токов—чаще всего
используется в случае тонких проводов (в том числе в теории
проволочных антенн), а также в квазистационарной области (в том
числе в теории цепей с сосредоточенными параметрами).
При применениях (20.4) надо знать корреляционную функцию
компонент стороннего флуктуационного поля К (г). Ее нетрудно
получить из первого равенства (20.2) и первой формулы ФДТ
(16.4), причем мы ограничимся случаем изотропного материала
РїСЂРѕРІРѕРґРѕРІ, РєРѕРіРґР° S
(Рі) Р¦ (Рі')> = -?С‰
| (J|) (20.5)
Более того, если речь идет, как в нашем случае, о металли-
металлических проволоках, то обычно можно пренебречь токами смеще-
»ия внутри этих проволок и считать, что е да с -^. Тогда
<РљР° (Рі) Рљ1 (Рі')> = -^^Рњ (Рі-Рі'). (20.6)
Пусть нас интересует наведенный флуктуационный ток /
в некотором сечении какого-либо из проводов, входящих в со-
*) Для последующего нам удобнее обозначить переменную интегрирования
* левой части иначе, чем в правой; поэтому мы и ввели г'.
160 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
став антенны. Сечение 2 этого тонкого (квазилинейного, как го-
говорят в электродинамике) проводника, вообще говоря, может
меняться по длине провода s, но, по условию, всюду имеет ли-
линейные размеры, малые по сравнению с длиной волны % в окру-
окружающей непроводящей среде. Кроме координаты s, отсчитываемой
по оси провода, введем еще радиус-вектор р, лежащий в плоскости
поперечного сечения провода. Таким образом, dlr' —d'p'ds'.
Для того чтобы выразить ток /(«) через К, допустим, что
вспомогательное стороннее поле К„(г') действует только в по-
поперечном сечении провода с координатой s'—s, на всем сечении
постоянно и направлено по оси провода (орт s):
Рљ,(СЂ', s') = <?os6 (s'-s). (20.7)
Очевидно, #„—это интегральная сторонняя э. д. с, приложен-
приложенная в сечении с координатой s:
$K.s ds'=gt.
Коль скоро Ко имеет вид (20.7), интеграл в левой части (20.4)
равен
$'. OJ(P'.
t: теорема взаимности (20.4) дает
*,/(В»)= U(r)J,(r)*r. (20.8)
При помощи этой формулы нетрудно получить теперь сред-
средний квадрат модуля флуктуационного тока /(s). Умножая (20.8)
на комплексно сопряженное равенство и усредняя, получаем
I *. • < | / («) Г> - $ S <*а (Г) Ц (Г')> /.а (О Jk (Г') *Г *Г>.
Подставив сюда функцию корреляции (20.6) стороннего теплово-
теплового поля К, находим
1*.1'<1/(В«)/*>= IJ РІ (В», T)dQ,, (20.9)
РіРґРµ
|'Рі=-^-^ (20.10)
— джоулевы потери тока, вызываемые сосредоточенной в сече-
сечении s вспомогательной э. д. с. ?0. Очевидно, равенство (20.9)
J20] ТЕПЛОВОЕ �ЗЛУЧЕН�Е � ЛНТЕННЫ ]61
представляет собой модифицированную форму обобщенного зако-
закона Кирхгофа (17.14). Оно позволяет не решать неоднородную
краевую задачу о флуктуационном поле Е в материале антенны,
а сводит нахождение < | / (s) |*> к вычислению квадратуры, если
известно решение задачи о вспомогательном поле Е„ дельта-за-
питываемой антенны, т. е. о поле, возбуждаемом э. д. с. #,,
приложенной в интересующем нас сечении s.
Если ZM (s)—входной импеданс антенны по отношению к э. д. с,
включенной в сечение s, то gt = ZM(s) /0(s), где
/.(В«)-$/В«(P. sW'P
— полная сила «дифракционного» тока в этом сечении. Можно
ввести аналогичным образом эквивалентную тепловую э. д. с. €(s)
в сечении s, определив ее через импеданс ZBX (s) и полный флук-
туационный ток:
(20.11)
Таким образом, #(s)=Sal (s)/It(s), т. е., согласно (20.8),
(r)it(T)dT. (20.12)
Таково выражение эквивалентной тепловой э. д. с. в сечении s
в общем случае, когда обусловливающее ее стороннее поле К (г)
произвольно распределено в объеме проводов антенны. В силу
(20.9) средний квадрат модуля &(s) равен
T)dQ'- <2ОЛЗ)
Следует подчеркнуть, что &(s) не представляет собой флук-
туационной э. д. с, распределенной вдоль провода. Формула
(20.11) вводит (по сути дела, формально) для каждого сечения s
свою сосредоточенную в этом сечении э. д. с. <$(s), смысл ко-
которой состоит только в том, что она обеспечивает правильное
значение флуктуационного тока в том же сечении.
Однако в случае квазистационарной цепи, когда в каждой ее
ветви полная сила тока / и входной импеданс цепи Z» не зави-
зависят от s, з. д. с. € тоже не зависит от s, т. е. может быть
включена в любое сечение данной ветви. Если к тому же цепь
имеет всюду одинаковую температуру (6=const), то ? можно ото-
отождествить с локальной найквистовской э. д. с. е того двухполюс-
двухполюсника, который получается при размыкании рассматриваемой вет-
ветви цепи. При этих условиях (квазистационарности и равновес-
4 см. Рыто»:» id. ч. и
162 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
ности) (20.13) переходит в формулу Найквиста:
< IВ« (В«)!В¦> = 4 РІ -fc = 1 РІ*. , (20.14)
где R3—энергетическое (активное) сопротивление двухполюсника:
QR\ir
Вернемся х антенной формуле (20.13) и рассмотрим два ил-
иллюстрирующих ее примера.
1. Антенна в поле равновесного излучения.
Пусть антенна находится в свободном пространстве, заполнен-
заполненном прозрачной средой со всюду одинаковой температурой
(0=const).
Включенная в каком-то сечении s антенны вспомогательная
э. д. с. <?0 создает дифракционное поле антенны, которое отнюдь
не локализовано только в проводах антенны или в их ближай-
ближайшей окрестности. Напротив, это поле содержит и излучаемые
антенной волны, так что джоулевы потери Q, имеют место как
в материале самой антенны, так и в любых проводящих телах,
оказавшихся на пути излучаемых волн. Пока мы предположим,
что таких тел нет (свободное пространство) и, следовательно,
мощность, отдаваемая э. д. с. ?л, расходуется только на нагре-
нагревание самой антенны и на излучение, причем во всякой антенне,
отвечающей своему назначению, подавляющая доля приходится
именно на излучение.
Предполагая, что среда обладает исчезающе малой проводи-
проводимостью, и пренебрегая тепловыми потерями в самой антенне, мы
можем считать, что полные потери <20 дифракционного поля просто
равны мощности излучения Р„. Последняя записывается обычно
в виде Р„ = /?? (s) | /, (s) р/2, где Rz—так называемое сопротив-
сопротивление излучения антенны, зависящее, конечно, от того, в каком
сечении s включена э. д. с. ?0. Таким образом,
W- (20.15)
При в = const формула (20.13) имеет вид
= 2е<20/л |/, (s) I1. Подставив сюда (20.15), получаем
а спектральная плотность флуктуационной э. д. с. по положи-
положите л оным частотам вдвое больше:
& (s) = 2 < | ? (s) |«> = - еЯг (s). (20.16)
$20] ТЕПЛОВОЕ �ЗЛУЧЕН�Е � АНТЕННЫ 163
�з вывода ясно, что этот результат справедлив для любой
сколь угодно сложной антенны в свободном пространстве, если
только относить Rz и А'ш к одному и тому же сечению антенны.
2. Тепловые шумы, наводимые удаленными те-
телами. Если тело находится на достаточно большем расстоянии R
от антенны, точнее—в ее фраунгоферовой зоне, и размеры тела
тоже малы по сравнению с зоной Френеля, то в области про-
пространства, занятой телом, можно считать антенное поле супер-
суперпозиций плоской волны и дифрагированного телом вторичного
поля. Обозначая, как и в § 18, эффективный поперечник погло-
поглощения тела для падающей на него плоской волны соответствую-
соответствующей поляризации через оЭфф, можно записать поглощаемую те-
телом мощность в виде Qa — оЭфф<#°0. где <У„— модуль вектора Пойн-
тинга первичной волны. Связь &а с полной мощностью
Р0 = /?2 |/0|'/2i излучаемой антенной, дается известным соотно-
соотношением
где G—функция направления, называемая приведенным коэффи-
коэффициентом направленности антенны и описывающая угловое рас-
распределение излучаемой мощности Яо (среднее значение G по еди-
единичной сфере равно единице: -^?Gdo=\). Таким образом,
Согласно (20.13) средний квадрат эквивалентной тепловой э. д. с,
создаваемой рассматриваемым телом в сечении s антенны, равен
(РЅР° С€ > 0)
ад'^?*. 120.17)
Здесь предполагается, что тело обладает всюду одинаковой тем-
температурой (в = const). Если в поле излучения антенны находится
несколько тел с различными температурами и на разных уда-
удалениях от антенны, то
4??!^p2fe- (20.18)
Для абсолютно черных тел эффективное сечение совпадает
с геометрическим (сг,фф = а, предполагается, что линейные раз-
размеры а гораздо больше длины волны X) и, следовательно, a^tJR* =
= о//?* = о, где о—телесный угол, под которым тело видно из
места расположения антенны. Формула (20.18) запишется тогда
164 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ СГЛ. Ш
РІ РІРёРґРµ
или даже
(при условии, что Ж)^>Ь!/Я*)- Если температура всех тел оди-
одинакова, то мы получаем
При сплошном заполнении периферии черными телами со всюду
одинаковой температурой (черная оболочка) мы возвращаемся
к формуле (20.16).
§ 21. Равновесное тепловое поле. Равновесная форма ФДТ
До сих пор мы рассматривали главным образом неравновес-
неравновесные задачи—о поле, создаваемом нагретыми телами в окружа-
окружающей среде1), которая считалась либо прозрачной (и поэтому
не вносящей никакого вклада в тепловые потери вспомогатель-
вспомогательного дифракционного поля), либо настолько холодной, что ее
собственным флуктуационным полем можно было пренебречь.
В этом параграфе мы обратимся к случаю, когда во всем объеме
полного поля температура одинакова, т. е. будем рассматривать
равновесное флуктуациониое поле. Если, в частности, речь идет
о телах, окруженных прозрачной средой, не заключенной в иде-
идеальную зеркальную оболочку, то мы будем предполагать, что
на достаточно больших расстояниях поле ограничено полно-
полностью поглощающей оболочкой, имеющей ту же температуру, что
и нагретые тела.
Общие формулы (17.11) — (17.13) для пространственных кор-
корреляционных функций спектральных амплитуд флуктуационного
поля, создаваемого равномерно нагретыми телами, можно объе-
объединить в одну формулу, если обозначить через А и В какие-ли-
какие-либо две из шести компонент Е и Н. Тогда вместо (17.11)—(17.13)
можно написать
Рћfi'(r2)>= В±f РІ(Р°>, WQubВ» (21-1)
х) Напомним, что состояние самих нагретых тел необходимо предполагать
при этом квазиравновесным.
,,,] РАВНОВЕСНОЕ ПОЛЕ. РАВНОВЕСНАЯ ФОРМА ФДТ 165
Верхний знак отвечает случаю обеих электрических или обеих
магнитных компонент, нижний—одной электрической и другой
магнитной; Qoab*—смешанные потери дифракционного поля, соз-
создаваемого единичными точечными источниками соответствую-
соответствующего типа, помещенными в точках г, и г,.
Кирхгофовская форма ФДТ (21.1) справедлива, конечно, и
для равновесного поля, но под Qoab. надо понимать теперь сме-
смешанные потери дифракционного поля во всем занимаемом им про-
пространстве. Это обстоятельство позволяет существенно упростить
выражение для Qoab>, воспользовавшись так называемой комп-
комплексной леммой Лоренца. Эта лемма, в известном смысле анало-
аналогичная теореме взаимности, отличается от последней тем, что она
связывает «накрест» поле одной системы источников с комп-
комплексно сопряженным полем другой системы источников.
Написав, как и при выводе теоремы взаимности (17.2), две
системы уравнений Максвелла (16.1)--одну для поля и источ-
источников 1, другую для поля и источников 2,—умножим уравне-
уравнения первой системы соответственно на —HJ и EJ, а комплексно
сопряженные уравнения второй системы на — Н, и Et и сложим
результаты. Это приводит к равенству
-?(d1e;-e1dj+b,hj-h1b;).
При интегрировании этого равенства по всему объему V полно-
полного поля интеграл от div обращается в нуль и мы получаем лем-
лемму Лоренца:
= - Рў J
(LA* + UHJ + j^El + j^H,) d'r. (21.2)
Выражение, стоящее в левой части (21.2), если учесть, что
CiCt = eap?1p, Dif—tlaEla (и аналогично для В, и В,), представ-
представляет собой не что иное, как смешанные тепловые потери Q,,.
полей 1 и 2 во всем пространстве (см. (17.9), (17.10)), и, значит,
fir. (21.3)
Этим результатом леммы Лоренца мы теперь и воспользуемся
применительно к дифракционным полям, создаваемым единич-
единичными точечными источниками.
]6б ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
Возьмем случай, когда А и В в (21.1)—компоненты электри-
электрической напряженности теплового поля Е. Тогда
j. = j« = l.8(r-rl), !, = ]„ = 1,6 (г-г,), jmi = L« = O
и (21.3) дает
Q«.(rt, I,; г„ 1,) = -»/.{1,Е1(г1) + 11ЕО1(г,)Ь (21.4)
Но из обычной теоремы взаимности (17.2) следует, что в этом
же случае
1.Е„(г1)-»,Е.1(г,).
�сключая из (21.4) при помощи последнего равенства либо Ео1,
либо Ещ, можно записать потери QKt в следующих двух формах:
C-fa, I,; г„ l,) = -V,Re{l1E,1(r1)} = -V.Re{lsE,l(r1)}.
Подстановка этих выражений в (17.12) дает
<?,,(!¦,) ?•,, (г,)> = - 1в (со, Г) Re {^„(r,)} =
= -В±РІ(В», ^Re^E^r,)}. (21.5)
Применение (21.3) к случаю двух компонент магнитной на-
напряженности теплового поля Н приводит к аналогичному выра-
выражению для Qmm. и, в соответствии с (17.13), к результату:
<Я/. (О Я?. (г,)> = -18 (ш, Г) Re {1,Н„ (г,)} -
= _В±РІ(СЋ. T)Re{laH,i(rs)}- (21.6)
Наконец, в случае, когда Л—компонента Е, а В—компонента
Н, мы получаем Qm, и из (17.11) следует, что
<?,,(Р“1)Р�',,(Рі,)> -= - ie(В», Рў) Im {l.E,,(rj> =
= ^РІ(С€, rjImil.H.^rjf. (21.7)
т. е. корреляционные функции между электрической и магнит-
магнитной напряженностями чисто мнимые.
Формулы (21.5) —(21.7) показывают, что с точностью до мно-
множителя—в/л корреляционные функции равновесного поля совпа-
совпадают с вещественными или мнимыми частями соответствующих
функций Грина. Эти формулы можно назвать равновесной формой
ФДТ. Она избавляет от необходимости вычислять после нахож-
нахождения вспомогательного дифракционного поля его тепловые
потери. Достаточно взять вещественную или мнимую часть самих
напряженностей этого поля. Вместе с тем линейная связь между
вторыми моментами теплового поля и напряженностями дифрак-
fglj РАВНОВЕСНОЕ ПОЛЕ. РАВНОВЕСНАЯ ФОРМА ФДТ 167
двойного поля сразу же позволяет использовать аппарат теории
аналитических функций комплексного переменного при нахож-
нахождении тех или иных интегральных (по спектру) эффектов в рав-
равновесном поле, т. е. при интегрировании корреляционных функ-
функций теплового поля по частоте со.
Располагая функциями корреляции спектральных компонент
флуктуационного поля и зная, в частности, средние значения
произведений этих компонент в одной точке, мы имеем возмож-
возможность находить не только средние плотности энергии и ее потока,
но и другне средние билинейные величины. Мы можем, напри-
например, вычислить средние значения компонент максвелловского
тензора натяжений, т. е. найти механические (пондеромоторные)
силы, с которыми равновесное поле действует на тела. Сказан-
Сказанное относится как к квазиравновесным полям, когда в нашем
распоряжении обобщенный закон Кирхгофа (21.1), так и к равно-
равновесным, когда можно пользоваться равновесной формой ФДТ
(21.5) и (21.6). Однако эти интересные физические применения
указанных теорем [6] не имеют прямого отношения к радиофи-
радиофизике, и поэтому мы ограничимся лишь немногими замечаниями.
На первый взгляд может показаться странным, что даже
в равновесном случае флуктуационное электромагнитное поле
обусловливает действие сил на тела (в том числе и на идеальные
проводники). Но ничего удивительного здесь нет просто потому,
что, говоря о равновесии, мы постоянно имели в виду только
тепловое равновесие, т. е. одинаковую во всей рассматриваемой
системе температуру 7" (в частности, 7 = 0). Это вовсе не исклю-
исключает действия электродинамических сил, которые либо уравно-
уравновешены внешними связями, либо вызывают перемещение тел
К механически равновесной конфигурации. Поэтому нет ничего
удивительного и в том, например, что равновесное поле в полу-
полупространстве над идеальным плоским зеркалом оказывает на это
зеркало давление, спектральная плотность которого в случае
недиспергирующей среды равна
Как всегда, член %а/2 в в (со, Т) (т. е. нулевые колебания) дает
при интегрировании по со расходящееся выражение. Однако эта
Часть давления компенсируется «нулевым» давлением поля по
Другую сторону от зеркала, где равновесное излучение может,
Вообще говоря, иметь другую температуру. Результирующая
сила, действующая на зеркало, определяется разностью давле-
давлений по обе стороны и не содержит в данном примере вклада
Нулевых колебаний.
Это не означает, что нулевые колебания вообще не создают
Оондеромоторных сил. В случае плоского зеркала геомстричес-
168 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 111
кие условия симметричны, одинаковы по обе стороны от зеркала.
Если же взять, скажем, образованный двумя идеальными зерка-
зеркалами двугранный угол (рис. 19), то структура «нулевых» стоячих
волн внутри угла и вне его будет различна. В результате полу-
получается, что даже при Т = 0 на зеркала действует «схлопываю-
щий» интегральный (по со) момент. �нтегрирование по со надо
при этом распространять не до ш=оо, а лишь до некоторой
частоты ю„<^а (а—проводимость; нера-
неравенство является условием того, что при
нормальном скин-эффекте металл еще
можно считать идеально проводящим).
Разумеется, флуктуационное электро-
Рис- '9i магнитное поле порождает силы, дейст-
действующие и на поглощающие тела. Более
того, поскольку поверхности таких тел «выстланы» слоем ближнего
(квазистационарного) теплового поля, сильно нарастающего при
приближении к поверхности, эффект механического взаимодей-
взаимодействия (сил сцепления) становится особенно большим в случае
малых зазоров между поверхностями тел. На такого рода явле-
явления обратил внимание Е. М. Лифшиц, исследовавший их в ра-
работе 17] (см. также [11], [12] и § 18 в [6]).
Теория макроскопических сил сцепления строилась ранее на
основе элементарного закона ван-дер-ваальсовых сил попарного
взаимодействия между атомами или молекулами, что заранее
ограничивало результат случаем разреженных сред. Чисто фено-
феноменологическая теория, основанная на флуктуационной электро-
электродинамике, снимает это ограничение. Напротив, исходя из выра-
выражения для макроскопической силы сцепления, можно в случае
разреженных сред сделать обратное заключение—о законе
попарного взаимодействия отдельных нейтральных атомов и
молекул. Такой путь, как это ни парадоксально на первый
взгляд, оказывается проще, чем прямой квантовомеханический
расчет для двух нейтральных частиц, при котором закон взаимо-
взаимодействия получается лишь в высоких порядках при вычисле-
вычислениях методом возмущений.
§ 22. Тепловое поле в гиротропных телах
Многие среды (ферриты, плазма), находясь в достаточно силь-
сильном постоянном (во времени) внешнем магнитном поле Во, ста-
становятся гирошропными1)- Это означает, в частности, что в одно-
!) Под «достаточно сильным» понимается ноле, модуль напряженности ко-
которого Во существенио больше стандартов иалряжснностей флуктуациошюго по-
поля. Поэтому при линеаризации уравнений Максвелла относительно этих флук-
туаиионных полей сохраняет смысл учет зависимости параметров среды от Во.
jj2j ТЕПЛОВОЕ ПОЛЕ В Г�РОТРОПНЫХ ТЕЛАХ ]$)
родной среде и однородном поле Во собственными волнами явля-
являются монохроматические волны с круговой (правой и левой)
поляризацией, т. е. только эти волны распространяются без
изменения вида поляризации. Если же в среду впущена, ска-
скажем, линейно поляризованная волна, то по мере распростра-
распространения ее плоскость поляризации будет, вообще говоря, повора-
поворачиваться вокруг направления распространения—за счет раз-
разницы фазовых скоростей волн с правой и левой круговой поля-
поляризацией, на которые можно разложить линейно поляризованную
волну.
В то время как в анизотропных средах тензоры проницае-
мостей симметричны:
г) = ер«(ь), г),
V-a» («>. Г) = Цра К Г),
в гиротропной среде, будучи функциями Во, они обладают сим-
симметрией с переменой знака Во:
г, В,) = еВа(ш,г, —В.),
Цар ((О, Г, Во) = цра(«>. Г, —Во).
Тем самым, для гиротропных сред обычная теорема взаимности
(17.2) несправедлива. Ее заменяет равенство, связывающее
«накрест» источники и напряженности поля 1 в среде, находя-
находящейся в магнитном поле B0(jn, ]„,, Е„ HJ, и источники и
напряженности поля 2 в той же среде, но с обращенным внеш-
внешним магнитным полем—В„. Будем отмечать электромагнитные
величины, относящиеся к полю 2 в такой «обращенной среде»,
значком «тильда» (jea, ]„,, Ё,, На). Вместо (17.2) для гиротроп-
гиротропной среды выполняется теорема
J1L-HjJ*r. (22.1)
Формулы (16.4) для корреляционных функций сторонних
токов справедливы, конечно, и в гиротропной среде, но обоб-
обобщенный закон Кирхгофа (21.1), дающий корреляцию напряжен-
ностей флуктуационного поля, уже теряет силу, так как при
выводе этого закона была использована теорема взаимности
(17.2).
Если повторить весь вывод, но опираясь на равенство
(22.1), то мы придем к следующему результату, обобщающему
формулы (21.1) на случай гиротропных сред:
<Рђ (Рі,) Р’* (Рі,)> = В± | РІ (Рѕ), Рў) Q.AB., (22.2)
170 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
а при достаточно плавном пространственном изменении темпе-
температуры—
<А (г,) В* (г,)> = ± | j в (о, Г, г) а$«л„.. (22.3)
Таким образом, корреляция спектральных амплитуд флуктуа-
ционного поля в гиротропной среде, находящейся во внешнем
магнитном поле В, (г), определяется тепловыми потерями вспо-
вспомогательного дифракционного поля в обращенной среде, т. е.
потери надо вычислять при изменении знака внешнего магнит-
магнитного поля (В0(г)—>—В,,^))1)- Формулы (22.2), (22.3) универсаль-
универсальны в том смысле, что они не налагают никаких ограничений ни
на размеры и форму тел, ни на их электрические и магнитные
свойства, включая и гиротропию, зависящую также от интен-
интенсивности и конфигурации постоянного (во времени) подмагни-
чивающего поля В„.
Формулы (22.2), (22.3) облегчают решение флуктуациояных
задач для гиротропных тел в не меньшей степени, чем формулы
(21.1) в отсутствие гиротропии. Разумеется, необходимое для
вычисления тепловых потерь решение вспомогательной дифрак-
дифракционной задачи связано, вообще говоря, с большими труднос-
трудностями, чем для негиротропных тел и сред. Достаточно указать,
что даже нахождение френелевских коэффициентов отражения
плоской волны от однородного гиротропного полупространства
представляет собой при произвольной ориентации однородного
же поля В, чрезвычайно громоздкую задачу. Обычно здесь огра-
ограничиваются поэтому лишь частными случаями (поле В, перпен-
перпендикулярно или параллельно границе, первичная волна падает
нормально). Круг точно решаемых дифракционных задач, т. е.
допускающих нахождение точных функций Грина, ограничен для
гиротропных тел еще более жестко, чем для тел изотропных, но
это лежит в природе вещей, а не в методе решения флуктуа-
ционных задач. Нахождение статистических характеристик теп-
теплового поля в принципе столь же просто.
Естественно, что все формулы, выводимые на основе обобщен-
обобщенного закона Кирхгофа, претерпевают при рассмотрении гиро-
гиротропных тел такое же изменение, какое содержится в (22.2). Так,
например, для потока энергии теплового излучения в телесный
угол do в волновой зоне гиротропного тела вместо формулы
(18.15) будет теперь
') Не только обобщенный, но и классический закон Кирхгофа для гирот-
ропных сред долгое время оставался неизвестным. Закон (22.3) был получен
М. Л. Левиным лишь в конце 50-х годов, а опубликован еще позднее, в кни-
РєРЅРёРіРµ [РІ].
|j2] ТЕПЛОВОЕ ПОЛЕ В Г�РОТРОПНЫХ ТЕЛАХ J71
где о**,—эффективный поперечник поглощения данного тела при
обращенном Лоле —В,. Волноводная форма закона Кирхгофа
(19.5) тоже заменится на
РЇВ±. = ?Р№Рі. (22.5)
Ряд примеров применения формул (22.2)—(22.5) см. в книге [61,
§§ 21-23.
Что касается равновесной формы ФДТ (§ 21), то для нее при
наличии гиротропии дело обстоит следующим образом. Формулы
(21.5)—(21.7) были получены при помощи обобщенного закона
Кирхгофа (21.1) и комплексной леммы Лоренца, т. е. результата
(21.4). Лемма Лоренца справедлива для любых сред с линейными
материальными уравнениями, но (21.1) заменяется в случае
гиротропных сред на (22.2). Поэтому, например, вместо формулы
(СЃРј. (21.5))
<?/.(г,) Е\. (г,)> = -± в (<в, Т) {1.EJ, (г,) + \жЕп (г,)}
мы получим теперь
<Е,МЕ;,(Ф- -5Гв(«. Т) {1,6;, W + U^W}, (22.6)
где справа входят функции Грина в обращенной среде.
Но из теоремы (22.1), т. е. из обобщенной на гиротропные
среды теоремы взаимности, следует, что при рассматриваемых
почечных источниках
•.Ё0,(г1) = 1,Е01(г,). (22.7)
При помощи этого равенства можно исключить из (22.6), скажем
К, (г,), что дает
<?,,(г1)?;,(г,)>= -^в(ш, ЛМЕ;, (г,) +Ё01(г,)}. (22.8)
Это смешанная форма корреляционной функции, содержащая
функции Грина как в исходной среде, так и в среде с обращен-
обращенным подмагничивающим полем. При В, = 0 формулы смешанного
типа (в частности, (22.8)) непосредственно переходят в получен-
полученные ранее формулы для негиротропных тел (в частности, (21.5)).
Можно также, пользуясь (22.7), заменить в (22.6) обе напря-
напряженности с тильдами на напряженности в исходной среде (без
обращения В,), и тогда
<Bj,(rJ Р•',. (Рі,)> = - ^Рµ (<Рѕ. Р“) {1,Рµ;, (Рі,) + IJ-., (Рі,)}. (22.9)
Аналогично формулам (22.8) и (22.9) записываются и функции
Для компонент Н, и взаимные функции корреляции между ком-
компонентами Е и Н.
172 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
Таким образом, в случае равновесного поля гиротропность
не вносит никаких принципиальных усложнений. Как и для
негиротропных тел, надо знать только функции Грина, хотя их
фактическое вычисление, конечно, значительно сложнее, чем для
изотропных тел.
Ясно, что наличие гиротропности не должно нарушать уни-
универсальную связь между интегральным излучением и поглоще-
поглощением одного и того же тела, вытекающую из второго начала
термодинамики. Если, например, тело окружено достаточно уда-
удаленной абсолютно черной оболочкой с той же температурой,
что и у тела, то тепловое равновесие между телом и оболочкой
должно иметь место независимо от того, обладает тело гиротро-
пией или нет. Это значит, что интегральная (по телесному углу)
суммарная (по обеим поляризациям) интенсивность излучения
тела должна быть в обоих случаях одинакова (Р» = Р<и)- Но
в отсутствие гиротропии, согласно (18.15),
а при ее наличии, согласно (22.4),
�з равенства Ра=Ра следует, что
fo,IM)d*>=В§<i,to)do- (22.10)
Точно так же суммарное излучение тела, находящегося в вол-
волноводе между двумя черными пробками, вправо и влево
не должно зависеть от наличия гиротропии, т. е. должно быть
Ра = Ра- Суммируя выражения (19.4) по всем номерам п бегу-
бегущих волн, получаем
С‚.Рї
Конечно, в двойных суммах~по тип эти индексы можно пере-
переставлять. Поэтому
�з равенства Ра^Ра вытекает соотношение, аналогичное (22.10):
2' . (22.11)
JJ3] ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 173
§ 23. Тепловое поле в среде
с пространственной дисперсией
До сих пор мы ограничивались материальными уравнениями
(14.2), описывающими среду (вообще говоря, неоднородную)
в отсутствие пространственной ,'дисперсии: индукции D и В
в точке г зависели от свойств и предыстории как среды (от е
и ц), так и поля (напряженностей Е и Н) только в той же
точке г. Если же состояние среды в точке г зависит от пре-
предыстории (в чем заключается временн&я нелокалькость) не только
в этой же точке, но и в некоторой ее окрестности (простран-
(пространственная нелокальность), то материальные уравнения надо брать
более общего вида:
+ В» + 80
D(i!,r)= \dt' \n(t — V, г, r')E(<\ t')d'r',
-" (23 1)
+ o» +„ \<"s.i/
В (/,г)= $ it' $n(f—V, г, г')Н(Г, r')d?r'.
— 00 — «D
Зависимость ядер e и ц. от разности t—t' отражает стационар-
стационарность интересующих нас процессов, т. е. предполагает неиз-
неизменность свойств среды во времени (если бы среда менялась
во времени, то е и ц. зависели бы от t и V порознь). Зависи-
Зависимость е и ц от г и г' отвечает пространственно неоднородной
среде. В однородной среде ядра е и ц зависят только от раз-
разности р = г—г'. Если область пространственной нелокальности
стягивается в точку, то
Рµ(*-/', Рі,Рі')-*РІ(<-<', Рі)РІ(Рі-Рі'),
и аналогично для ц. Материальные уравнения (23.1) тотчас же
переходят при этом в локальные уравнения (14.2)х).
В (23.1), как и в (14.2), имеются в виду изотропная и че-
гиротропная среды. Для анизотропной или гиротропной среды
соотношение между D и Е устанавливается тензором диэлектри-
') Состояние среды в момент t в точке г может зависеть только от собы-
событий, которые находятся внутри обращенного в прошлое светового конуса
с вершиной в «точке» (I, г). �наче говоря, это события, которые предшест-
предшествуют моменту / по времени и создают поля, распространяющиеся не быстрее
света в вакууме (принцип причинности). Таким образом, интегрирование по
Г и г7 в (23.1) и в последующей формуле (23.2а) в бесконечных пределах
предполагает, что функции е, ц и еар обращаются вне указанного конуса
в нуль. Это налагает определенные ограничения и на их ож-аиплитуды,
« именно устанавливает определенную связь между вещественными и мни-
мнимыми частями этих фупкций. В отсутствие пространственной дисперсии такая
связь выражается формулами Крамерса—Кронига ([3], § 62), а при ее нали-
наличии—более общими формулами [13].
174 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
ческой проницаемости еаВ (а, р"=1, 2, 3), так что первое урав-
уравнение (23.1) заменяется на
+В» +В«
Da(t, г) - \ df \ Kafi(t-t', г, г')?„(/', T')dT'. (23.2а)
Что касается второго уравнения (23.1), то из общих соображе-
соображений следует, что введение еще одного тензора fiaS было бы из-
излишним. Дело в том, что при введении D = Е+4пР и В=Н +4яМ
мы описываем состояние среды поляризацией Р и намагниче-
намагничением М, разбивая для этого индуцированные в среде токи и
заряды на «сорта» (связанные и свободные заряды с соответст-
соответствующими поляризационным током и током проводимости, а кроме
того, молекулярные амперовы токи). Но в нелокальной среде
проще и естественнее включить в D все виды наведенного тока,
так что
Р’ = Рќ, (23.26)
а для D справедливо материальное уравнение (23.2а). Конечно,
определения D и В (т. е. их связь с микрополями и микрото-
микротоками) при этом иные, чем в (23.1), так «то при отсутствии про-
пространственной дисперсии уравнения (23.2а, б) не переходят
РІ (23.1).
Возможность полного описания среды материальными урав-
уравнениями (23.2а, б) показывает, что достаточно одного тензора еаВ
при |1ар = ба0 (подробней см. [8, 14J). Заметим, что в толще
нелокальной среды, даже если она однородна и изотропна, тен-
тензор eap (t—f, г, г') в (23.2а) не вырождается в диагональный,
а имеет общий для данного случая вид:
^, (С‚, СЂ), (23.3)
где x = t—/', р^г—г', т. е. содержит две независимые ска-
скалярные функции в, и е, —поперечную и продольную (по отно-
отношению к р) диэлектрические проницаемости. Отсюда ясно, что
для однородной и изотропной нелокальной среды допустимы
материальные уравнения и вида (23.1), поскольку в них тоже
фигурируют только две независимые скалярные функции е (т, р)
н Р-(т> р)- О связи между е,, в, и е, (i мы скажем несколько
дальше.
Выше мы не случайно подчеркнули, что выражение (23.3)
для Cap относится к толще среды, т. е. к областям, достаточно
удаленным от ее границ. При приближении к границе среды
ea(J не может оставаться функцией только разности р = г—г',
так как направление по нормали к границе становится выде-
выделенным. �наче говоря, прилегающий к границе слой с толщи-
fill ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 175
ной порядка радиуса нелокальности неоднороден и анизотропен
по своим электродинамическим свойствам. Это в особой степени
усложняет электродинамическую часть задачи, т. е. нахождение
вспомогательных дифракционных полей (функций Грина) или
же плотности их джоу левых потерь, если необходимо учитывать
и указанный приграничный слой. Что же касается собственно
флуктуационной части задачи, то в неб все обстоит так же, как
и в случае локальных сред, поскольку и обобщенный закон
Кирхгофа (17.11)—(17.13), и равновесная форма ФДТ (21.5) —
(21.7) справедливы при любой форме материальных уравнений.
Мы ограничимся далее простейшим случаем однородной и
изотропной нелокальной среды, причем среды неограниченной,
когда во всем пространстве можно пользоваться как од (т, р)
в форме (23.3), так и скалярами е(т, р), ц(т, р). Целесообразно
при этом перейти к трансформантам Фурье как по т, так и по р:
(23.4)
и аналогично для ц(т, р). Такое же преобразование Фурье для
тензора еа9(т, р) содержит под интегралом трансформанту
,С…), (23.5)
где е, (», х) и е,(ш, .х) —поперечная и продольная (по отноше-
отношению к х) проницаемости, конечно, не являющиеся преобразова-
преобразованиями Фурье от е, (т, р) и е,(тг, р) в (23.3). Связь скалярных
функций е(ш, х) и р(ш, х) с функциями е4 (со, х) и е,(о>, х) очень
проста [8]:
РІ(<Рѕ, x) = e,(co, С…), (23.6)
Вторая из этих формул показывает, что ц (со, х) не может обра-
обращаться в нуль.
Целесообразность использования при указанных условиях
пространственно-временных трансформант Фурье (шх-амплитуд)
или пространственных трансформант Фурье от спектральных
амплитуд, вытекает из того, что при этом все линейные уравне-
уравнения для полей превращаются в алгебраические линейные урав-
уравнения для их сох-амплитуд. В частности, уравнения Максвелла
(14.6), если мы полагаем
Е(<, г) = J J Е (ш, х) ехр[—I (Ы~xr)]d(od'x (23.7)
176 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ |ГЛ. III
и аналогично для Н, индукций D, В и сторонних токов jOr jn, при-
принимают для юх-амплитуд следующий вид (аргументы ш и х мы
для краткости опускаем):
i[xH] = -ik.D+*^-},,
te (23.8)
i[xEj = ifeBB-^jВ»,
а материальные уравнения-для сох-амплитуд, полученные из (23.1)
с учетом (23.4) и (23.7) (среда однородна!), сводятся к соотно-
соотношениям
D(co, С…)=Рµ(СЃРѕ, С…) Р• (С€, С…), Р’ (СЃРѕ, С…) = С†(РѕРѕ, С…) Рќ (to, x). (23.9)
Наличие пространственной дисперсии отражено в том, что е и
ц зависят от к (для изотропной среды они зависят только от
С… = 1С…|).
Алгебраическую форму принимает и ФДТ. В общем случае
многомерного флуктуационного поля |^'(/, г) и сопряженного
по Лагранжу силового поля /V) (t, г) операторные уравнения
(15.12) переходят для спектральных амплитуд в результате про-
пространственного преобразования Фурье в алгебраические урав-
уравнения
Ev> (В«, Рє) = 2 Рђ1Рє (- io), ix) /'*> (РЁ, С…),
* (23.10)
Р  (to, С…) = 2 -4/* (- ia- в„ў) V" (m. *).
а вытекающие из ФДТ выражения для корреляционных матриц
сох-амплитуд g1'1 и f^> имеют вид (см. задачу 6)
(to, С…) I"В» (СЃРѕ, С…')> ^ Gj| (to, С…) 6 (С…-С…') =
— 7Е$\АМ-Ъ Ы)-А'к1{-ш, ?х)}6(х-х'), (23.11)
со, х) Z*1* (со, х')> = Gft (со, х) 6 (х—х') =
= -Р–1Рђ*"(-'РЄ' ix)-A]?l-ta. В«x)}S(x-x'). (23.12)
где GyS(co, х)—cox-плотности. Преобразование Фурье этих плот-
плотностей по х дает, конечно, спектральные плотности. Например,
g# (со, р) = <?</> (со, г) ?«• (со, г')> =
-t-CD
= J J <g'/> (со, х) ?'*>• (со, х')> ехр [«(хг—xV)] d>x d'x' =
х) fi («—*') ехР [»(кг—хг')]^х<**'в
В«
G$ (ta, х) ехр (top) d'x (p = г-г'). (23.13)
JJ3]
ПОЛЕ В ВРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВВННОЙ1Д�СПЕРС�ЕЙ
17?
Применим равенство (23.11) к уравнениям Максвелла (23.8).
�сключив при помощи материальных уравнений (23.9) индукции
D и В, получаем
iVE + f[*H] = i^j., Й.11Н-ФЛ1—?j... (23.14)
Для того чтобы воспользоваться формулой (23.11), надо разре-
разрешить эти уравнения относительно Е и Н. Детерминант уравне-
уравнений (23.14) равен ?> = #ецД«, где
(23.15)
Пусть среда однородна. Так как ц, (<в, к) не может обращаться
в нуль, дисперсионное уравнение <Э = 0 распадается на два:
либо е(й), х) = 0 (продольные волны), либо Д (со, х) = 0 (попереч-
(поперечные волны). Решение уравнений (23.14) есть
Р• = С€ {-
Рњ
или в компонентах
РіРґРµ
г ! —— ау* -Т_ С9Ч 171
"»"ауР V 1*0'
I
Здесь ЕоуР—полностью антисимметричный единичный тензор
третьего ранга (еи, = 1), а по дважды входящему в (23.16) ин-
индексу р, конечно, производится суммирование. Заметим, что
в силу (23.15)
Де x's^Ax'' Дц
Поэтому элементы диагональных квадратов матрицы (23.17) можно
записать и в другом виде:
178 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
Согласно § 16 величины О/4л — — j,/ia и »/4я =— \Ji<a яв-
являются для полей Б и Н обобщенными силами, так что введен-
введенные в (23.16) коэффициенты А—это именно те коэффициенты AJk,
которые входят в формулу (23.11). Применяя эту формулу,
получаем для «мс-плотностей G'Jrj (ft), х) е> <?в (<о, х) ?| (со, х)>
и т. д. следующие выражения:
^)*& } (23.18Р°)
�з (23.18в) мы видим, что, в отличие от сторонних токов \,
и ]„, компоненты Е и Н взаимно коррелированы, но только их
ортогональные компоненты, так как ?а-^ = 0 при а=р\ Первые
члены в формулах (23.18а, б), содержащие в знаменателях Д,
определяют корреляцию поперечного (по отношению к х) поля,
т. е. напряженностей ЕХ = Е—Е„ и Hj. —H—Н,, а вторые
члены—корреляцию продольного поля Е„ = х(хЕ)/х*, и анало-
аналогично для Нц. Между собой поперечные и продольные напря-
напряженности не коррелированы (в силу чего G = GL+Gl{).
Остановимся в заключение настоящего параграфа на флук-
туациях полного тока в среде, под которым понимается ток, со-
состоящий из всех «видов» электрического тока, за исключением
вакуумного тока смещения. В рамках микроскопической теории
полный ток—это сумма конвекционных токов, обусловленных
движением любых (не подразделяемых на «виды») микрозарядов,
усредненная по физически бесконечно малым объемам среды. При
таком усреднении лоренцевых уравнений для микрополей е и h
мы получаем для Е = е и B=h (волнистая черта—усреднение
по физически бесконечно малому объему) макроскопические урав-
уравнения следующего вида:
rotB'-i-g+^i,, rotE = —L«l. (23.19)
Здесь через j,, обозначена объемная плотность полного тока, а
штрих над В поставлен для того, чтобы не смешивать эту
магнитную индукцию, включающую и стороннюю магнитную ин-
индукцию, с индукцией В в уравнениях (14.3), в которых сторон-
сторонний магнитный ток выделен. Объемные плотности полного за-
заряда и полного тока связаны, конечно, уравнением непрерыв-
непрерывности
^ O. (23.20)
J33I ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 179
�менно эти полные плотности представляют интерес в ряде задач,
в частности, в задачах о флуктуациях в плазме.
Установим прежде всего связь величин В' и )„ с величинами,
фигурирующими в стандартной симметричной форме уравнении
Максвелла. Запишем уравнения (23.19) и (23.20) для ом-амплитуд:
В«ft,B\ (23.21)
(23.22)
Сопоставление вторых уравнений (23.21) и (23.8) показывает,
что В'= В—т*~"^я' в С�ЛУ чего пеРвое уравнение (23.21) прини-
принимает вид
Вычитая отсюда первое уравнение (23.8), получаем
'^^ ^-H)j. (23.23)
Отсюда непосредственно видно, что полный ток слагается из
стороннего электрического тока (первый член), наведенного по-
поляризационного тока (второй член, включающий, конечно, и ток
проводимости) и электрических токов, обусловленных сторонним
магнитным током (третий член) и наведенным намагничением
(последний член, включающий и магнитную проводимость).
Нетрудно записать полный ток в функции только электриче-
электрической напряженности Е. Для этого достаточно подставить в (23.23)
вытекающие из (23.8) выражения для сторонних токов J, и ]я.
Это дает
или в компонентах
Следовательно, шх-плотности полного тока j, и электрической
напряженности Е связаны соотношением
Подставив сюда выражение (23.18а) для СД1 и выполнив сумми-
суммирование по дважды входящим в правую часть индексам у и 6,
180 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
находим
_??)_?,_Рє СЃ|. (2324)
Для шх-плотности флуктуации полного заряда р. единицы объема
среды, в соответствии с уравнением непрерывности (23.22) и
результатом (23.24), получаем
«о, к) = ф а%> (со, х) = ???-! (-L-J,) . (23.25)
В флуктуации полного тока (23.24) вносят вклад как попе-
поперечные, так и продольные волны, но флуктуации объемной плот-
плотности полного заряда (23.25) связаны только с продольными
волнами: в знаменателе выражения для 0<рп> содержится только
в(ш, х), а Д(о>, х) не входит. Множитель х1 в (23.25) подчеркивает
большую роль мелкомасштабных флуктуации. �з-за того, что
в однородной среде е—функция только к = |х|, преобразование
Фурье (23.13), дающее спектральную плотность флуктуации, при-
принимает для заряда р„ вид
в** (•• р)=т&? Т ехр(ixp) (4—?¦)х***=
(P = |r—r'|)- (23.26)
В задаче 7 формулы (23.24) и (23.25) применены к простой
модели среды, обладающей пространственной дисперсией и пред-
представляющей интерес для описания флуктуации в ионосферной
плазме.
Сделаем несколько дополнительных замечаний в заключение
этой главы.
В § 20 мы отметили, что теория случайных полей, обуслов-
обусловленных равновесными тепловыми флуктуациями, относится к ста-
статистической схеме 1), т. е. имеет дело с задачами, в которых
известна статистика случайных источников поля. Тем не менее
мы выделили тепловые поля в отдельную главу, указав не только
на их важность, но и на специфичность. Последняя заключается
именно в том, что в данном круге задач статистика источников
не задается извне, а определяется самими динамическими урав-
уравнениями, задали. Говоря точнее, функции корреляции сторонних
(ланжевеновских) сил определены антиэрмитовыми .частями тех
детерминированных линейных операторов, через которые записы-
записываются динамические уравнения. В этом и состоитфлуктуационно-
диссипационная теорема (§ 15).
}33J ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 181
Если же речь идет о существенно неравновесных тепловых
флуктуациях или вообще о полях нетеплового происхождения,
то статистика источников обычно не определена видом са-
самих уравнений, а должна быть задана—либо формально, либо
на основе статистического исследования микроскопических мо-
моделей.
Другое замечание касается универсальности различных форм
ФДТ. Мы рассматривали в этой главе электромагнитные тепловые
поля, хотя опирались на ФДТ, которая применима к равновесным
тепловым флуктуациям любой физической природы (§ 15). Для
электромагнитных полей были получены другие формы ФДТ —
кирхгофовская (§§ 17, 18), волноводпая (§ 19), равновесная
(§ 21),—более прозрачные физически, более «экономные» по про-
процедуре решения конкретных задач и обладающие более широкими
возможностями в отношении охвата задач, поддающихся решению.
Естественно возникает вопрос о том, являются ли эти формы ФДТ
столь же физически универсальными, как и исходная «канони-
«каноническая» ее форма (15.14).
Все, что нам понадобилось учесть в электродинамике для
получения указанных форм ФДТ, сводится к электродинамиче-
электродинамической теореме взаимности (17.2) или (22.1) и комплексной лемме
Лоренца (21.2). Можно поэтому ожидать, что для любых равно-
равновесных (и квазиравновесных) флуктуационных полей, для кото-
которых справедливы теорема взаимности и аналог леммы Лоренца,
будут верны и перечисленные формы ФДТ. Анализ этого вопроса
показывает, что дело обстоит именно так [15], и отсюда выте-
вытекает ряд интересных следствий.
Например, кирхгофовская форма ФДТ и, в частности, фор-
формула (18.15) полностью справедливы для акустических волн.
Тепловые потери обусловлены здесь вязкостью и теплопровод-
теплопроводностью среды. Представим себе, что тело, обладающее такими
потерями, погружено в «прозрачную» жидкость, т. е. жидкость
с малым поглощением продольных волн. Послав на тело плоскую
волну частоты со (скажем, в звуковом или ультразвуковом диа-
диапазоне), мы можем найти эффективный поперечник поглощения
тела а,фф (при данной ориентации тела). Формула (18.15), в ко-
которой можно, конечно, положить в = кТ, определяет тогда поток
энергии продольных волн частоты ю, излучаемых телом в телес-
телесный угол do, в направлении, противоположном направлению
прихода вспомогательной плоской волны. Хотя физический ме-
механизм тепловых флуктуации в теле (флуктуации плотности,
температуры, скоростей макрочастиц) совершенно иной, чем
в электродинамике, гвызвучивание» нагретого тела в окружающую
«прозрачную» среду происходит по такому же закону, как и
«высвечивание» на электромагнитных волнах, а именно по закону
Кирхгофа.
182 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ш
Задач ¦
1. С учетом реакции излучения уравнение движения упруго связанного
электрона имеет при малых его скоростях I r | <^ с вид
тг-^Н-яю!г=1(0=«Е(0, (1)
где е и т—заряд и масса электрона, с—скорость света в вакууме, а0—соб-
а0—собственная частота осциллятора. Пусть Е(0—напряженность электрического
поля равновесного излучения. Применив ФДТ к уравнению (1), найти спек-
спектральную плотность энергии этого излучения (по положительным частотам и),
т. е. величину (электрон находится в вакууме)
Решение. Уравнение движения (I) в спектральной форме есть
r(Q) = a(ci))f (С€),
РіРґРµ
Спектральная плотность компоненты Ex(t) — fx(t)le флуктуациоиного поля
по со > 0 равна
В«4(m)='?"g?(B)'"ir<|M<1>>l'>' (3)
где < |/* (о>) |*>—спектральная плотность силы fx(t) по ш от —«в до +».
Согласно дискретной ФДТ < | fx (ш) |»> выражается через обобщенную воспри-
восприимчивость а(ш) следующим образом:
(это формула (15.96) в частном случае единственной переменной). �з (2) — (4)
следует, что
Заметим, что Re(l/a(o>)} не играет роли, и поэтому электрон йог бы быть
и свободным (шв=0).
Для того чтобы получить спектральную плотность энергии электромагнит-
электромагнитного поля, достаточно учесть, что равновесное излучение в неограниченном
пространстве изотропно, в силу чего
и что его магнитная энергия равна электрической:
Поэтому
т. е. мы получили формулу Планка.
ЗАДАЧ� 183
2. Формулы (16.4) для корреляционных функций сторонних токов можно
получать и более физическим путей, чем использованный в $ 16, опираясь на
классический закон Кирхгофа и принцип детального равновесия. Последний
требует, чтобы для двух одинаково нагретых тел 1 и 2 мощность <2ц. погло-
каемая телом I из излучения тела 2, была на каждой частоте <а равна мощ-
мощности <3ц, поглощаемой телом 2 из излучения тела 1. Пользуясь этим, вы-
вывести формулы (16.4) из рассмотрения обмена энергией между телом н пластиной
(ряс. 20). разнесенными аа столь большое расстояние Я, что их размеры го-
гораздо меньше радиуса Y\R первой зоны Френели (т. е. они находятся во
фраунгоферовой зоне друг дру-
друга). Вместе с тем размеры »'
пластины настолько больше дли- .^SSSb
вы волны X, что излучение -<<<щ|3 R.
пластины можно вычислять по
классическому закону Кирх-
Кирхгофа.
Решение. Подсчитаем
оря указанных условиях мощ- Рис- *"•
кости <3Т к Qn, поглощаемые
телом н пластиной на частоте ш.
Пусть А —коэффициент поглощения пластины и 2—
Поглощаемая пластиной мощность есть
где &"t—^-компонента вектора ПоЛнтквга теплового излучения тела. Для fft
на одной поляризации мы имеем выражение (18.13), так что при учете обеих
независимых поляризаций 4Гг——<|ЯЖ|*>- Подставив сюда Ег из (18.12) ¦
записывая скалярные произведения векторов в компонентах, получаем в соот-
соответствии с (1), что
^ JJ
(г) tfj, (О </„„ (г)4„ (f)> - ЕЮ(г) Н'ф (г') </«, (г) /* в (г-)>-
. (Рі) /7e (f)>} d>r<Pr\ (2)
Теперь подсчитаем Q,—мощность, поглощаемую телом из излучения пла-
пластины. Так как ее размеры велики по сравнению с X, для интенсивности из-
излучения пластины в телесный угол do, ось которого направлена на тело,
справедлива формула (18.16).
Сопоставим выражение (18.16) с мощностью, излучаемой в тот же телесный
угол do единичным точечным источником (электрическим диполем в точке М
с моментом p = !/iu), лежащим в плоскости пластины):
Мы видим, что пластина излучает в
<1Р С„ _ 2СЃ9 . _
раз больше точечного источника. Следовательно, во.столько же раз больше
¦ мощность QT по сравнению с мощностью Qo> поглощаемой телом из
184 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ СГЛ. III
излучения точечного источника:
Потери же Qa дифракционного поля, создаваемого электрическим диполем,
равны
Со ^" J {^оа(г) ?1в (г)(еор- ejj + Ню (г) Я* (г) ((1«р-1*
так что
п 1<асАЪв (
Рё, 7") Р“" I _.._.
J roa(r) ?*
-nSВ») I *'В¦- (3)
Выражения (2) и (З) должны быть равны друг другу. Почленное сравне-
сравнение подынтегральных выражений дает формулы (16.4). Однозначность резуль-
результата следует из того, что равенство интегралов должно иметь место при
любой форме, величине и расположении тела и пластины (конечно, не нару-
нарушающих условий Я.7?^2>Х2).
Следует заметить, что при данном выоодс формул (16.4) надо понимать
под 6(111, Г) только ту часть средней энергии осциллятора, которая зависит
от температуры. Энергия нулевых колебаний па/'2 не должна учитываться,
поскольку рассматривается обмен энергией посредством излучения (§ 17).
3. В волноводе между двумя черными излучателями с температурой 7°0
находится тело с температурой Т Ф То. Найти поток энергии флуктуационного
поля на п-й собственной волне волновода и показать, что при любых Г и Т„
нулевые колебания из этого потока выпадают.
Решение. Поток энергии, скажем, справа от тела равен собственному
излучению тела (Pjn) плюс отраженное телом излучение правого излучателя
[ -g-i- V" Rmn \ плюс прошедшее излучение левого излучателя / -—- у Р^п\
\ m I \ m }
и минус встречный поток излучения справа (вц/211):
Согласно (19.3)
Pjn = -
РІ-
Но нулевая энергия ta/2 из разности в—в0 выпадает, т. е. встречные по-
потоки энергии нулевых колебаний взаимно уничтожаются при любых Т и 7V
�менно потому, что эти колебания никогда не участвуют в переносе энергии,
член ?ш/2 в в (ш, Т) можно отбрасывать во всех случаях, когда речь идет
о (среднем) потоке энергии.
ЗАДАЧ�
185
4. Найти мощность, излучаемую в идеальный волновод на волне с по-
постоянной распространения к излучателем, состоящим из поперечной идеально
отражающей перегородки и поперечной же полупрозрачной пластинки, отстоя-
отстоящей от перегородки на расстояние / (рис. 21). Пластинка предполагается
тонкой, т. е. ее толщина мала по сравнению с длиной
волны в ее материале, так что интерференции внутри
пластинки можно не учитывать и характеризовать плас-
пластинку вещественными амплитудными коэффициентами от-
отражения (г) и пропускания (d). При этом i*+<P+a—l,
где а—энергетический коэффициент поглощения плас-
пластинки.
0
0
Решение. �злучаемая мощность Р = -^— А, где
Р РёСЃ. 21.
А — 1— Si (излучатель в целом непрозрачен), ^—энергетический коэффи-
коэффициент отражения излучателя. Если справа падает волна е-<*«, то в результа-
результате первого отражения от пластинки н последующих многократных повторных
отражений прошедшей через нес волны между пластинкой и идеально отра-
отражающей перегородкой, амплитуда отраженной излучателем волны будет
Следовательно,
• _ г d» п
="[ !+/••—2rcos2Af j
Or / поглощение зависит осцилляторно с периодом, равным половине
длины волны Л=2я/А, и с максимумами на резонансных длинах резонатора,
образуемого перегородкой и пластинкой. При уменьшении прозрачности
пластинки (d—*0) получаем А—а. Если же коэффициент отражения от пла-
пластинки г*—> ] (при этом с необходимостью d—*0, а—>О), то А —><).
Б. Формула Найквиста для спектральной плотности тепловой э. д. с. е (I)
в двуполюевике с импедансом Z (а) имеет вид
<\С‘(Р°)Р“> = В±Р’(Р°>, r)ReZ(o>).
Для хороших проводников часто заменяют ReZ на омическое сопротивление R.
При каких условиях эта замена законна? Ведь при переходе от проводника
к идеальному диэлектрику (проводимость а—>-0 н соответственно R—,. да)
получается неограниченное нарастание э. д. с. Как уже было отмечено в ч. 1,
§ 64, этот кажущийся парадокс возникает при забвении того, что замена ReZ
на R законна лишь для столь хороших проводников, внутри которых можно
пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости. Ясно, что
при о —* 0 это условие рано или поздно нарушается. Вывести формулу для
<|«(о>)|*> в тонком проводе с учетом тока смещения.
Решение. Если при выводе формулы (20.9) для <|/(s)|*>, а значит,
и при выводе выражения (20.13) для <l#(s)|'> не пренебрегать током сме-
смещения в проводе, т. е. пользоваться общим выражением (20.6) для корреляции
компонент теплового поля, то результатом снова будут формулы (20.9) и
(20.13), но, в отличие от (20.10), теперь
40 2я 1 +(ея>/4ло)»
Следовательно, для квазистационарной (/, не зависит от s) равновесной
(в=const) цепи энергетическое сопротивление, определенное равенством,
186 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
аналогичным (20.15), равно
Поскольку v«*r'-fp/pr, действие линейного оператора Д~1(Т) на е''1' дает
(I)
Смысл этого выражения лучше всего пояснить переходом к предельному
случаю слабого скин-эффекта в проводе из однородного материала («'но
постоянны). Тогда /,=/0/2 и для участка провода длины 1
формула (1) принимает вид
где R = l/aX—омическое сопротивление, а С = е'2/4я/—внут-
е'2/4я/—внутренняя емкость данного участка провода. Таким образом, #„
представляет собой в этом случае активное сопротивление
ЯС-ячейки (рис. 22) и при R —> оо получаем R, — 0. Замена
R, на R справедлива лишь при условии (ЯСю)1 «g 1.
в. Пользуясь формулами (15.11а, б), получить корреляционные функции
шх-аиплятуд полей |(г, г) и /(<, г) в неограниченной однородной среде, т. е.
амплитуд в пространственных разложениях Фурье
Решение. Проведем сначала расчет функции корреляции для «х-ам-
плитуды f(t, r):
С учетом (15.116) имеем
Представим дельта-функцию в виде интеграла Фурье:
(1)
ЗАДАЧ� 187
где A~l{ip)—функция р, получающаяся при замене V—м'р в операторе
Д-1(у). Аналогично1),
Д-»(?')6(г-г')—-щг J A-"(iV)e* <¦<-'"><Рр,
— ВО
так что (1) приникает вид
X
JJ ехр{> [(р—х)г—(р—x')r']}dVdV.
�нтегралы по г и г' дают (2л)16 (р—и)8(р—х'), после чего интегриро-
интегрирование по р приводит к искомому результату:
(2)
Можно получить функцию корреляции для ? (<¦>. х) таким же путем (поль-
(пользуясь формулой (15.11а)), а можно сделать это и иначе—исходя из того,
что ?((!>, х) = Л(—/со, i'x)/(co, x). Полагая х'=х в множителе при
6 (х—х'), имеем
— /л w л (IX) л (IX) ^л (IX) л
' {Р› [i*)-A> (В¦*)} 6 (С…-С…-). (3)
Уравнения (15.1) (если явным образом записать зависимость операторов
А и Д-1 от —|ш) принимают для шх-амплитуд вид
5(ш, я) = А{—/ш, (х)/(и, х), /(ш, к) = А-1( — to, (х)Е(ш, х).
Первьш из них мы только что воспользовались при выводе (3), а из второго
видно, что уравнение
А-\ — ш, /х)-0 (4)
]) В связи с этой и последующими формулами необходимо сделать одно
разъяснение. Знак комплексного сопряжения • понимается здесь и далее в
обычном смысле, т. е. как замена I на —(во всех аргументах вещественной
функции от — let, I'x, ip и т. д. В книге [6] использовано другое (и менее
удачное) обозначение: знак * означает там комплексное сопряжение только
в спектральной амплитуде, т. е. в вещественной функции от Inn, > сво-
сводится, таким образом, к замене —/со—>¦ +(ш. Поэтому в [6] выражение для
Д-1'(у')6(г—г') содержит под интегралом функцию А~х'{—ip). Звездочка
означает изменение знака в ко, а в аргументе —/ранах минус записан явно.
Обычное обозначение, принятое в данной книге, конечно, проще.
где m—иасса электрона, е—абсолютная величина его заряда, ff—средняя
концентрация электронов, р — переменная часть давления:
(2)
(у — отношение Пуассона, в — кТ — энергетическая температура электронного
газа, N—переменная часть концентрации). В уравнение (1) введено также
«трение»—через эффективное число соударений в единицу времени (v). Плот-
Плотность электронного тока (в данной модели это и полный ток) в линейном при-
приближении равна i——Nev, а переменная часть плотности заряда есть Рф—
= —Ne (средние плотности электронного и ионного зарядов скомпенсированы,
т. е. плазыа квазииейтральна). Поэтому линеаризованное уравнение непре-
непрерывности будет
-^-fJVdivv=O. (3)
Найти для описанной модели плазмы спектральную плотность флуктуа-
флуктуации электронной концентрации.
Решение. Согласно (23.25) для нахождения шх-плотности флуктуа-
флуктуации рф достаточно знать продольную диэлектрическую проницаемость е (ш, х).
Для юх-амплитуд (N, p, v, ?~exp[ — i(at — хг)]), исключая из (1) — (3)
все величины, кроме v= —j/Л/е, получаем следующее уравнение для полного
тока j (в компонентах):
') О более общих случаях и, в частности, о деужидкостной модели (эле-
(электроны и один сорт ионов), причем модели неравновесной (температуры эле-
электронов и ионов различны), см. в [14, 16].
188 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ш
представляет собой дисперсионное уравнение задачи. �з (3) ясно, что любой
интеграл по к и х", содержащий <5 (ш, н)?*(ш, х')>, сразу же сводится к
интегралу только по х (из-за наличия 8(х — к')), а последний часто может
быть взят вычетами в полюсах функции А (—it», ix), т. е. в нулях функции
Л-1 (ко, ix), или, иначе говоря, при значениях X, являющихся корнями дис-
дисперсионного уравнения (4).
Нетрудно воспроизвести расчеты, проделанные при выводе формул (2)
и (3), для случая многомерных однородных полей ?'¦" (t, г) и /1Л (t, г), исполь-
используя при этом формулы (15.14а, б). Это приводит к корреляционным матрицам
(23.11) и (23.12) для <вх-амплигуд.
7. Для продольных волн, длинных по сравнению с радиусом нелокаль-
нелокальности a(ka<^\), не слишком разреженная плазма, состоящая из электронов,
ионов разного сорта и нейтральных атомов и молекул, может быть хорошо
описана в так называемом квазигидродинамическом приближении. Уравнения
гидродинамики надо писать при этом для всех видов частиц, но мы ограни-
ограничимся простейшей моделью одножидкостной (электронной) плазмы, т. е. бу-
будем считать ионы неподвижный1).
Тогда линеаризованное уравнение движении электронной жидкости (газа)
запишется в виде
(Рћ
где ш,—плазменная (электронная) частота:
ЗАДАЧ� 189
Удобно явесги обозначения
РіРґРµ
— тах называемый дебаевский радиус (или радиус экранирования электричес-
электрического поля, см. [16]). В этих обозначениях уравнение для J принимает вид
(1 + iZ YY) ja -<?Хка Xjl /в = -^- ХЕа ,
откуда
. 1юХ Гр^
'" 4Р» (1 + iz РЈС…) \ Р°
4Р» (1 -f iZ YX) \ 1+iZ VX-xWX J '
Электрическая индукция Da—Ba^E^ связана с полным током ] соотно-
соотношением D = E — 4nj/ici)1), так что
D = ? -— / =
1Р›
[\+lZVX-x*a>X] I P
1 + iZVxJ aP
Выражение в фигурных скобках—это диэлектрическая проницаемость
еар (ш, и). Она легко преобразуется к виду
V
1 + LZ >ОС-х«а1Х ) у-1 '
откуда следуют выражения для поперечной и продольной проницаемостей:
Y
Р•,(РЁ, РҐ) = 1
x ...
X
ег(оо, и)еэ8(о), х) = 1 == •
1+iZ /Л-х»оаЛ:
Таким образом, в рассматриваемой модели е( не обладает пространствен-
пространственной дисперсией (не зависит от х). Пространственная же дисперсия е,—е воз-
возникает из-за члена с ур в (1), т. е. обусловлена упругостью электронного
газа.
Согласно выражению (4) для в имеем

(1 — X — x
*) Это ясно из первого уравнения (23.21), если записать его в виде
i[xB] = — i*0D.
190 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
Подставив это в формулы (23.25) и (23.26), получаем, что ых-плотность флук-
флуктуации электронной концентрации N= —Рф/е есть
а ее спектральная плотность равна
С…3 sin С…СЂ
Р“ С…3
J (l-X-x
Рѕ
�нтеграл в (6) легко вычисляется. �з-за четности интегранда по х можно
взять половину значения интеграла в пределах ± оз. Записав далее sin xp
в виде [elKp — e~iKp)l2i, изменим знак х в интеграле с е~'хр. Это просто
удваивает первый интеграл (с eiKp) и дает
Замыкание пути интегрирования в верх-ней полуплоскости комплексного у.
сводит интеграл к вычетам в полюсах ¦я—к и х = — к*, где 4 —корень дис-
дисперсионного уравнения в(ш, и)- 0, лежащий в первой квадранте плоскости х:
* = *' | (ft*^-
(7)
Окончательный результат:
Как это видно уже из (6), g(JV| (<n, 0)~оо. Эта особенность при р = 0,
вполне очевидная в (8), обусловлена недостаточно быстрым убыванием 1/&— 1/е*
к нулю при возрастании х. Однако само гидродинамическое описание спра-
справедливо лишь для ха<^ 1, т. е. для пространственных гармоник флуктуации .V
с длинами волн 2д/х = Л:>а. Поэтому брать значения р^а нет смысла.
В этой области х фазовая скорость продольных волн становится одного по-
порядка с тепловой скоростью электронов и, как показывает кинетическое рас-
рассмотрение, происходит сильное затухание продольных волн. Гидродинами-
Гидродинамическая модель не учитывает этого затухания, обусловленного тепловым
движением зарядов ([14], § 2). Отметим в связи со сказанным, что, напри-
например, в слое F ионосферы, если принять Л^ = 5-10* си~3, Г — 300 К и у = 31),
то
(.>,, = 4 10' Гц, a a 0,3 см.
В диапазоне частот ш > ш,,(Х < 1) и при Z<^ 1-Х из (7) имеем при-
приближенно
) Основанием для такого выбора у является кинетическое рассмотрение
([14], В§ 2).
ЗАДАЧ� |91
т. е. *'^>*\ и основную роль в (8) играет член с sinifp. Спектральная
плотность (8) представляет собой в функции от р медленно затухающее коле-
колебание. Напротив, при <й < <л,(Х > I) и Z<^X—l значения К щ Г меняются
пестами:
так что экспонента затухает гораздо быстрее, чем аа период колебания 2л/*'.
В окрестности ше, т. е. при X « 1 и | I— X\-^Z, инеем
Заметим в заключение, что, ограничившись в ранках гидродинамической
модели описанием состояния электронного газа переменными v. p Я R, мы
исключили тем самым из рассмотрения флуктуации его температуры Т = Т—Т.
Глава IV
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
§ 24. Метод малых возмущений
В этой и последующих главах мы займемся флуктуациями
волн, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, т.е.
по классификации § 8 задачами типа 2).
Случайные неоднородности реальных сред влияют на характе-
характеристики волн, распространяющихся в этих средах, и возникающие
при этом явления чрезвычайно разнообразны. Мерцание звезд и
флуктуации радиоизлучения от внеземных источников, замирания
(фединги) радиоволн и релеевское рассеяние света, уширение
лазерных пучков в тропосфере и рассеяние звука в море—это
лишь немногие примеры наблюдаемых эффектов. �сследованием
такого рода эффектов занимается статистическая теория распро-
распространения и рассеяния волн.
Задачи о распространении волн в средах с флуктуирующими
параметрами решаются, как правило, приближенными методами.
Дело в том, что соответствующие дифференциальные уравнения
содержат в коэффициентах случайные функции точки (а возможно,
и времени), описывающие неоднородную среду. Точное решение
такой параметрической задачи означало бы, что мы в состоянии
написать, например, функцию Грина для любых реализаций
входящих в уравнения случайных функций, что практически
никогда не осуществимо1). Это и вынуждает обращаться к при-
приближенным методам. Характер приближения зависит, разумеется,
от постановки задачи—слабо или сильно флуктуируют параметры
среды, каково соотношение между длиной волны и размерами
неоднородностей, какова геометрия задачи (длина трассы, ширина
волнового пучка) и т. д. При всем разнообразии конкретных
') Если не говорить о тех весьма частных случаях, когда среда описыва-
описывается специального вида детерминированными функциями, зависящими от ко-
конечного числа случайных параметров.
5 24] МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕН�� [93
условий значительная часть задач типа 2) может быть решена
при помощи небольшого числа разработанных к настоящему
времени приближенных методов.
Если относительные флуктуации параметров среды достаточно
слабы, а рассеянное поле мало по сравнению с полем первичной
волны, то применяется метод малых возмущений. Анализ полей,
рассчитанных в первом порядке теории возмущений, составляет
содержание теории однократного рассеяния, которой и посвя-
посвящена данная глава.
При нарушении условий применимости теории однократного
рассеяния (флуктуации в среде недостаточно слабы, рассеянное
поле не мало) необходимо принимать во внимание двух-, трех-
и т. д. кратное рассеяние поля, т. е. нужно строить теорию с
учетом многократного рассеяния волн. В случае слабых, но
крупных (по сравнению с длиной волны) неодчородностей мно-
многократно рассеянные волны лишь незначительно уклоняются от
направления распространения первичной волны. В таких условиях
многократное рассеяние эффективно описывается методом геомет-
геометрической оптики (МГО) и примыкающими к нему более общими ко-
коротко-волновыми асимптотическими методами теории дифракции—
методом плавных возмущений (МПВ) и методом параболического
уравнения (МПУ). Последние три метода мы рассмотрим в
гл. V—VII.
Другая возможность учета многократного рассеяния волн
основана на приближенном суммировании рядов теории возму-
возмущений (в основном при помощи методов, развитых первоначально
в квантовой электродинамике). При таком подходе удается, в
частности, рассмотреть не только слабые, но и сильные флуктуации
среды. Однако при этом необходимо, чтобы неоднородности были
мелкомасштабными. Элементы теории многократного рассеяния
изложены в гл. VIII.
Начнем с простейшей постановки задачи: волновое поле
и (t, г) будем считать скалярным и монохроматическим {и (t, г) =
— и (г)е-'ш), а неоднородности среды—не меняющимися во вре-
времени и покоящимися1). Хотя при скалярной постановке задачи
не охвачена поляризация, она достаточна для ряда общеволно-
общеволновых явлений, таких, как интерференция и дифракция. К поля-
поляризационным эффектам в рассеянии электромагнитных волн мы
обратимся в § 30.
При указанных выше условиях распространение волны в
неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца
Ди(г)+А-ге(г)и(г) = О, (24.1)
1) В этой главе мы будем в основном придерживаться монографии [1].
Библиография по вопросам теории однократного рассеяния содержится также
РІ РѕР±Р·РѕСЂРµ [2|.
7 С. М. Рытое и др. «. II
194 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
где ko — u>lc—волновое число в невозмущенной среде или в слу-
случае электрического поля — в вакууме. Функцию в (г), описываю-
описывающую неоднородность среды, мы будем называть (диэлектрической)
проницаемостью, имея в виду в основном электромагнитное поле.
Для случайно-неоднородной среды проницаемость в (г) можно
представить в виде
РІ(Рі)=РІ(СЂ)+5(Рі), (24.2)
где е—среднее (по ансамблю реализаций среды) значение е,
а е—флуктуации проницаемости. Уравнение Гельмгольца при-
принимает при этом вид1)
РђРё (Рі) .|-ftj[e(r) + 8(r)] Рё (Рі) -0. (24.3)
Общих методов решения даже такого простого волнового
уравнения не существует. Наиболее распространенным из при-
приближенных методов является метод возмущений: флуктуации е
считаются достаточно слабыми, а волновое поле и (г) ищется в
виде ряда по степеням е(г), или, что то же—по степеням <те<^е.
Чтобы построить такой ряд, удобно перейти от дифференциаль-
дифференциального уравнения (24.3) к эквивалентному интегральному
уравнению.
Пусть и, (г)— ноле первичной волны, удовлетворяющее не-
невозмущенному уравнению Гельмгольца, т. е. уравнению (24.3)
при е —0:
Atto(r)+ft;i(r)uo(r)-O. (24.4)
Обозначим через О (г, г') невозмущенную функцию Грина, ко-
которая удовлетворяет уравнению для точечного источника
AG(r, r')-r-*!e(r)G(r, Рі') = 6(Рі, Рі'). (24.5)
Разумеется, первичное поле и„ и функция Грина G удовлетво-
удовлетворяют необходимым граничным условиям. Решение неоднородно-
неоднородного уравнения
e
выражается через функцию Грина следующим образом:
\ (24.6)
•) Рассеяние звукопых волн в турбулентной среде описывается более
сложным скалярным уравнением, чем (24.3), поскольку распространение со-
сопровождается нелинейным взаимодействием звуковых волн н гидродинамических
турбулентных движений. Упрощенное описание достигается путем линеариза-
линеаризации исходных нелинейных уравнений гидродинамики но отношению к слабым
звуковым возмущениям. Связанные с этим особенности рассеяния звука рас-
рассмотрены в [1J.
§ 20 МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕН��
Записав исходное уравнение (24.3) в форме
^ — kfeu = F(r) (24.7)
и используя (24.6), получаем следующее интегральное уравнение
для волнового поля:
Рё (Рі) = Рё, (r)-kl $ G (Рі, Рі> (Рі') u (r')i(V', (24.8)
где интегрирование распространяется, очевидно, на область V,
занятую неоднородностями е (г). Уравнение (24.8) эквивалентно
исходному дифференциальному уравнению (24.3), но учитывает
(через функцию G) и все граничные условия задачи.
Ряд теории возмущений строится путем итерирования интег-
интегрального уравнения (24.8). Чтобы получить первую итерацию,
запишем значение поля в точке г —г':
Рё (Рі'). - В«, (Рі')-kl I G (Рі', Рі") С‘ (Рі") Р° (Рі")d*r",
и подставим это выражение в правую часть (24.8). Это дает
Рё (Рі) _ РЅ0 (Рі) -kl\G (Рі, Рі>- (Рі') Рё, (Рі') dV +
+*J$G(r, r')e(r')dV jG(r', r")i(r")w(r")dV". (24.9)
Записав значение поля м(г) в точке г=г" и подставив его в
правую часть (24.9), получим вторую итерацию. Повторяя такую
операцию, мы и получим бесконечный ряд теории возмущений:
и (г) =и„ (г) -kl ] О (г, г>. (г') «0 (г') dV +
+ ki J J РЎ (Рі, Рі') G (Рі', Рі")Рµ (Рі') РІ (Рі") Рё0
>/-"dВ»r'"-f... (24.10)
В математике этот ряд называется рядом Неймана для интеграль-
интегрального уравнения (24.8), а в физике—борцовским разложением1).
Первый член борновского ряда (24.10) — первичное поле ы„(г).
Второе слагаемое,
«х (г) = -*J IG (г, г') в (г')«, (r')dV', (24.11)
') М. Борн впервые применил теорию возмущений в задаче о рас-
рассеянии в квантовой механике. Правда, задолго до М. Борна метод возму-
возмущений в сходной форме был применен Релссм при рассмотрении рассеяния
света на прозрачных телах. В оптике н теперь говорят о релеевском, а не о
борновском рассеянии света.
196 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН Ггл. IV
описывает однократно рассеянное поле. Оно порождено непосред-
непосредственно первичным полем ыо(г) и линейно относительно возму-
возмущений е(г). Третье слагаемое в (24.10) можно представить в
форме, аналогичной (24.11):
tt,(r) = -*sJG(r, r')i(r'K(r')dV. (24.12)
Это—двукратно рассеянное поле, порожденное уже не первичным,
а однократно рассеянным полем. Двукратно рассеянное поле в
свою очередь возбуждает трехкратно рассеянные волны us и т. д.
Таким образом, ряд теории возмущений (24.10) представляет со-
собой разложение рассеянного поля us — u—и„ по кратности рас-
рассеяния:
uss=u—ull = u1 + u2 + u,+ ... (24.I3)
�з самого способа построения этого ряда видно, что я-й его
член, описывающий л-кратное рассеяние, содержит под знаком
я-кратного интеграла произведение е(г1)...е(г„). Отсюда следует,
что для вычисления даже среднего значения поля «надо знать
для 8 моменты <s(rj).. .е(гп)> любого порядка. При произволь-
произвольной статистике е нахождение таких моментов само по себе пред-
представляет сложную задачу, но если даже она и разрешима (как,
например, в случае нормального распределения), то остается
еще огкрытым вопрос о методах суммирования усредненных рядов
теории возмущений. В общей постановке этот вопрос будет ос-
освещен в гл. VIII. Здесь же, как сказано, мы ограничимся более
простой задачей нахождения статистических характеристик поля
в приближении однократного рассеяния (так называемое первое
борцовское или, чаще, просто борновское приближение).
В этом приближении флуктуации е предполагаются настоль-
настолько малыми, что в разложении (24.13) можно ограничиться первым
членом их. С выражениями такого типа мы уже встречались в§ 12
при рассмотрении возбуждения полей случайными источниками.
В данном случае в качестве заданных источников q(t) выступает
правая часть уравнения (24.7) с «0 вместо и: <7(г)— —ftje (г) и0 (г).
Таким образом, в приближении однократного рассеяния задача
о распространении волн в случайно-неоднородных средах (задача
типа 2)) сводится к задаче типа 1)—возбуждению полей задан-
заданными случайными источниками..
Согласно (24.11) рассеянное поле ы^яаи, является линейным
функционалом от флуктуации е. Поэтому и все моменты поля и,
линейно же выражаются через моменты в того же порядка.
В частности, у однократно рассеянного поля а, среднее значение
равно нулю, поскольку <е(г)> = 0, а корреляционная функция
^я(г1» га) = <"i (ri) "i (га)> линейно выражается через функцию
J 25] СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ ]97
корреляции неоднородностей ^г(г', '")'¦
РіС…, Рі,) = Р›*. Р� G (fi- Рі')РЎ* <Рі*-
Xi|'e(r', r*)dV'dV. (24.14)
Выражение (24.14) и аналогичные квадратуры для высших
моментов рассеянного поля и1 в принципе дают полное статисти-
статистическое решение задачи в рассматриваемом борновском прибли-
приближении. Однако этот математический результат еще нуждается
d физическом истолковании.
§ 25. Средняя интенсивность рассеянного поля
Для того чтобы лучше уяснить основные закономерности рас-
рассеяния, сделаем ряд допущений, которые упрощают анализ, но
вместе с тем сохраняют общность, достаточную для многих при-
приложений теории. Допущения сводятся к следующему.
а) Среда в среднем однородна, т. е. « — const.
б) Первичное поле и» (г) представлиет собой ненаправленную
сферическую волну с центром в точке г0:
где ft—волновое- число в однородной среде: k — koy e = — |/ в .
в) Функция Грина G(r, г') описывает ноле точечного источника
в неограниченной однородной среде:
О— -^
г) Поле флуктуации е статистически квазиодно род но, т. с.
корреляционная функция е имеет вид (§ 5)
if, (p, R), (25.3)
где p— r'—г", R —(r'+r")/2 и зависимость фе (p, R) от R «мед-
«медленна», т. е. масштаб Lt изменения if,, по аргументу R сущест-
существенно больше, чем характерный масштаб 1Е (радиус корреля-
корреляции е) по разностному аргументу р. Спектральная плотность
таких флуктуации, определяемая выражением
р, R)exp(— ixp)d3p, (25.4)
— медленная функция R, т. е. она мало меняется на рассто-
расстояниях порядка I, .
д) Наконец, будем считать, что случайные неоднородности
заполняют ограниченный объем К и в этом объеме содержится
|9Я ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я НОЛ� [ГЛ. IV
много неоднородностей. Последнее условие можно записать в виде
неравенства
V~/,»>/!, или L~W'^>U, (25.5)
где L — поперечный размер области, занятой неоднородностями.
Предположение о конечности рассеивающего объема необходимо
для обеспечения малости однократно рассеянного поля, тогда
как неравенство (25.5) принято лишь дли упрощения расчете».
Конечность рассеивающего объема удобно учитывать при по-
помощи обрезающей функции
( 1 внутри V,
Рњ(Рі)^{ . ,, (25.6)
(Рћ РІРЅРµ V.
Введя ее под знак интеграла в (24.11), можно распространить
интегрирование на все пространство. Для первичной сферической
волны (25.1) и функции Грина свободного пространства (25.2)
однократно рассеянное поле (24.11) запишется в виде
Б дальнейшем мы обратимся к некоторым более общим по-
постановкам задачи (учет временных изменений е, расчет поляри-
поляризационных характеристик электромагнитного поля и др.). Вместе
с тем мы будем иногда вводить частные допущения (плоская
первичная волна, статистически однородные флуктуации и т. д.).
Здесь же, исходя из (25.7), мы получим выражения для функции
корреляции и, в частности, для средней интенсивности рассеян-
рассеянного [ШЛЯ.
Согласно (25.7) пространственная функция корреляции поля
равна
у е*Р('»(|Г|-г'| -|г2-г"|-|г'-го|-|г*-го!)} ,.,,,,„ ,„,- о.
От выражения (24.14) эта формула отличается только тем, что
в ней конкретизированы вид первичного поля и вид функции
Грина.
Перейдем в (25.8) к переменным интегрирования р —г' —г",
R = (r' + r")/2, откуда г'--R + p/2, r" = R — р/2, причем d3r'd3r" =
=tf>p d'R.
26] СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ
Формула (25.8) принимает вид
|99
(25.9)
РіРґРµ
(25.10)
Все последующие упрощения формулы (25.9) основаны на том,
что функция корреляции неоднородной среды if>e (p, R) стано-
становится при р^> U очень малой. Мы можем поэтому воспользоваться
разложением модуля вектора (г—р| в ряд Тейлора по степеням
малого отношения р/г:
^ ^), (25.11)
где п = г/г, а рх — перпендикулярная к п составляющая век-
вектора р: р^ = р—п(пр).
Применим разложение (25.11) к каждому из слагаемых, вхо-
входящих в Т, и V,. Для Tj получаем
Здесь
(25.12)
s = |r,-R|-|r.-R| (25.13)
— разность хода от «точки рассеяния» R1) до точек наблюде-
наблюдения Tj и г3; пм и п„—единичные векторы, направленные на
точки rt и г2 (рис. 23):
а рХ1 и р1а—перпендикулярные к nsl и nJ2 составляющие век-
вектора р.
') Точнее, от «центра тяжести», т. е. от точки, лежащей посередине между
точками рассеяния г' и г", раздвинутыми на чалое расстояние fi^lB .
200
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
[Гл. IV
Выясним условия, при которых в (25.12) можно пренебречь
квадратичными и кубичными по р членами. Фактическая область
Р РёСЃ. 23.
интегрирования по р выделена неравенством р^/е- Требуя ма-
малости квадратичных членов в (25.12) по сравнению с я при
р ~ 1е, получаем неравенство
, <СЏ, (25.15)
которое заведомо будет выполнено, если оно справедливо для
каждого из слагаемых:
Смысл же последних неравенств заключается в том, что точки
наблюдения г, и г2 должны находиться во фраунгоферовой зоне
по отношению к неоднородностям размера U '¦
|r,,2—R|>-^~-y-. (25.16)
Ясно, однако, что неравенство (25.16) следует рассматривать как
достаточное условие пренебрежения высшими степенями р, по-
поскольку в (25.15) входит разность двух примерно одинаковых
по величине, слагаемых. Если точки наблюдения совмещены
(г1 = гг), то левая часть (25.15) обращается в нуль и квадратич-
квадратичные члены в разложении (25.12) просто отсутствуют. Вместо
(25.15) следует потребовать в этом случае малости (по сравнению
с я) уже не квадратичных, а кубичных членов:
Это неравенство налагает на расстояния |r,i2 — R | ограничение
(25.17)
$ 25! СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ 201
В случае крупных иеоднородностей (lt^>X) условие (25.17) зна-
значительно слабее условия (25.16), согласно которому точки наб-
наблюдения должны находиться во фраунгоферовой зоне отдельной
неоднородности (размер ~ 1г). Напротив, при /е < А неравен-
неравенство (25.17) сильнее условия (25.16). Для неодиородностей, раз-
размеры которых сравнимы с длиной волны, оба условия (25.16)
и (25.17) равносильны.
Что касается слагаемого Ч^, то разложение этой величины
содержит только нечетные степени р. Поэтому при выполнении
аналогичного (25.17) условия
IR—го|ЖЛ7?:, (25.18)
позволяющего отбросить кубичные члены разложения, имеем
РіРґРµ
— единичный вектор в направлении распространения первичной
волны в точке R (рис. 23). В результате
,В»* [s-V2(ntl + nj СЂ j n,p] . (2520)
В знаменателе подынтегрального выражения (259) и в про-
произведении /� (R | р/2)М (R —р/2) мы просто пренебрежем р. Для
такого упрощения знаменателя достаточно, чтобы обе точки наблю-
наблюдения г, и Г| и точка излучения г0 отстояли от точки рассея-
рассеяния R не меньше, чем на /„ . Замена же произведенияМ(Я-\гр/2)х
XM(R — р/2) на M^R) или, что то же, на М (R) пригодна во
всем объеме V, за исключением приграничного слоя толщины
порядка /в . Совершаемая при этой замене относительная ошибка —
порядка отношения объема пограничного слоя L4S к полному
объему V~L*, т. е. порядка U;L<^.\ (см. (25.5)).
При сделанных допущениях формула (25.9) принимает вид
— да
где введено обозначение
Q (R) = * { V, [¦„ (Ю+п„ (R)] -n,. (R) J . (25.22)
Согласно (25.4) интеграл по р можно выразить через спект-
спектральную плотность квазиоднородных флуктуации:
ее
I 1|>, (p, R) exp (-»Qp) d°p = 8л>Фе (Q, R), (25.23)
202 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ПОЛ� [ГЛ. IV
так что окончательно получаем
Анализ этой функции корреляции мы отложим до § 27, а здесь
рассмотрим только пространственное распределение средней ин-
интенсивности
РњРі) = <|Рє1(Рі)|Рі>-Р§>.0-, Рі). (25.25)
При совмещении точек наблюдения (^ -г? — г, так 4tos = 0)
вектор Q (25.22) переходит в так называемый вектор рассеяния
(25.26)
В результате средняя интенсивность будет
Как видно отсюда, волны, рассеянные отдельными элементами
объема d*R, складываются некогерентно, т. е. складываются их
интенсивности: выражение под интегралом (конечно, вместе с ко-
коэффициентом, вынесенным в (25.27) из-под интеграла) представ-
представляет собой среднюю интенсивность dl1 поля, рассеянного элемен-
элементом объема d'R.
Формулу (25.27), выведенную для сферической' первичной
волны (25.1), нетрудно распространить на волны другой формы.
Величина /0 (R) = | А |'/| R—г01!—это интенсивность сферической
волны в точке R. Записав (25.27) в виде
****, (25.28)
мы получаем выражение, справедливое для любого первичного
ноля, если его структура в пределах одной неоднородности раз-
размера /с практически не отличается от структуры сферической
волны. Последнее означает, что в пределах отдельной неоднород-
неоднородности амплитуду поля и радиус кривизны RKf волнового фронта
можно считать постоянными, причем радиус RKt должен удов-
летворять еще неравенствам вида (25.18), т. е. R^^VWT.
Таким образом, мы можем применить выражение (25.28) и к
плоской первичной волне
и[--А<1е""ЧТ. (25.29)
В§25]
СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ
203
для которой /„ — l/lol2^ coast (в отличие от (25.19), единичный
вектор п;, указывающий направление распространения первкч-
ной волны, здесь постоянен во всем пространстве), и к направ-
направленной сферической волне
В»/-^/.(n.)g|r_r<| (25.30)
(/o(nf)—диаграмма направленности излучателя), для которой
Наиболее существенная особенность формул (25.27) и (25.28)
заключается в том, что они отражают селективный характер
рассеяния. Пусть 6 — угол между волновыми векторами падаю-
падающей (к,-) и рассеянной (V.s) волн, называемый углом рассеяния.
Очевидно,
q-^k\ns—n;| = 2/jsinVj9. (25.32)
Этому значению q отвечает пространственная гарйоника возму-
возмущений е1чг с длиной волны
(25.33)
а направление нормали к фронту параллельно лектору q, т. е.
параллельно (п, —п,-) (рис. 24). Следовательно, равенство (25.33) —
это условие Вульфа—Брегга, опреде-
определяющее пространственный период той
гармоники, на которой волна дифра-
дифрагирует под углом 0.
Разумеется, пространственный
спектр флуктуации я (г) содержит
бесконечный набор таких гармоник
(объемных «дифракционных реше-
решеток») со всевозможными периодами
и ориентациями. Селективность рас-
рассеяния заключается в том, что в
заданном направлении п, дают вклад
волны, рассеянные лишь на выде-
выделенной решетке—с пространствен-
пространственным периодом (25.33) и с ориентацией
ражения (в точке R) первичной волны из точки
�нтенсивность этой гармоники пропорциональна спектральной
плотности Фе (q), которая и фигурирует в (25.27) и (25.28).
Р РёСЃ. 24.
отвечающей закону от-
г„ а точку г.
204 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛ� [ГЛ. IV
При обратном рассеянии, когда ks — — к,, так что вектор
рассеяния равеЕ! q - —2k,, a 9 —я, рассеяние обусловлено гар-
мон нкой с периодом А, = \;2, т. с. г. периодом, равным половине дли-
длины волны падающего излучения. Обратное рассеяние наблюдают
в очень многих случаях, например в радио- и гидролокации, когда
источник и приемник излучения расположены в одной точке.
Рассеяние под произвольным
углом часто используется в
оптике при изучении неодно-
родностей в прозрачных ма-
материалах.
При уменьшении угла
рассеяния 9 период Л? уве-
увеличивается. Значения Aq и
X равны друг другу при
9^= л/3. При дальнейшем
уменьшении 9 пространст-
пространственный период рассеивающей
решетки Л, превышает ). и
Рис. 25. для рассеяния вперед (9—»0)
величина q обращается в
нуль, а Лч—в бесконечность. Это означает, что рассеяние впе-
вперед обусловлено наиболее крупными объемными возмущениями
с пространственными масштабами Л?^>Я.
Формула (25.28) упрощается для столь малого рассеивающего
объема, что в его пределах величины 0e(q, R), /0(R) и I/|r—R|a
практически постоянны. Вынося их из-под знака интеграла со
значениями, соответствующими, скажем, центру О рассеивающего
объема (R — 0), получаем
* '^РЈ^РЈ Сѓ. (25.34)
Здесь q0 — q (()) —ft (п,„ —п/0)—вектор рассеяния, отвечающий
центру рассеивающего объема, a nst=r/r и п,^-—го/г0—единич-
п,^-—го/г0—единичные векторы, направленные из О (рис. 25).
Замена множителя 1/|г—R |* на 1 /г' возможна при очевидном
условии, что точка наблюдения удалена на расстояние, значи-
значительно превышающее поперечный размер L рассеивающего объема:
(25.35)
Если падающая волна сферическая, то переход от точного выра-
выражения для интенсивности /0 (R) = \ А |*/| R—г01" к приближенному
значению /„ (0) = | A |VS требует выполнения такого же неравен-
неравенства и для расстояния до источника: г,^>1.
Что касается замены Фс (q, R) постоянным значениемФ8 (q0,0),
то для этого необходима, во-первых, статистическая однородность
f 25] СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ 205
флуктуации в пределах V (масштаб /.е должен быть больше попе-
поперечника L) и, во-вторых, малость изменения (в пределах объема V)
вектора q по сравнению с характерным масштабом изменения
спектра Фе (q, 0), равным 1/1е:
(25.36)
По порядку величины Aq ~ kAn, или k Дя, (Ans и Дп,— вариации
направлений падающей и рассеянных волн в пределах V). Оче-
Очевидно, Дя4 ~ JL/r, так что неравенство (25.36) сводится к условию
LU/l. (25.37)
Поскольку ограничения для расстояния г0 до источника сфери-
сферической волны формулируются аналогичным образом, мы будем
далее говорить только о неравенствах, относящихся к расстоя-
расстоянию г до точки наблюдения.
В случае мелкомасштабных неоднородностей (/е <^ А.) из двух
неравенств (25.35) и (25.37) более жестким, очевидно, является
первое, тогда как для крупномасштабных неоднородностей(1е^>Х)
минимальное расстояние до точки наблюдения ограничено уело-,,
вием (25.37). Обозначив через rmin меньшщо^из величин L и LIJX, /
можно записать оба неравенства/(23^5Т и (25.37) в виде
г>rrain -=ЗД L, ЫЛ). (25.38)
Обычно упрощенное выражение (25.34) выводят в предполо-
предположении, что точка наблюдения находится во фраунгоферовой зоне
всего объема V. Для этого в выражении (25.7) (или в аналогич-
аналогичном ему выражении для плоской первичной волны) разлагают
модуль разности |г—г'| в ряд по степеням г' и пренебрегают
квадратичным слагаемым kr\/2r непосредственно в функции
Грина (25.2). Это и приводит к фраунгоферову приближению
f e-^M(t')l(r')dHl. (25.39)
Выражение для средней интенсивности, вычисляемое при помощи
(25.39), значительно проще, чем в общем случае, а именно сов-
совпадает с (25.34). Однако условие
или
которое необходимо для фраунгоферова приближения (25.39), го-
гораздо жестче, чем условие (25.38), достаточное для применимо-
применимости (25.34).
Во многих прикладных задачах измеряется не само рассеян-
рассеянное иоле «Лг), а сигнал на выходе приемной антенны. Если
206 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
центр приемной апертуры расположен в точке г, то выходной
сигнал а представляет собой поле и, (г + р), проинтегрированное
по апертуре 2 с весовой функцией Ь(р), которая описывает
распределение тока в антенне в передающем режиме:
v^ui(T)^\ В«I(r+p)6(p)*p. (25.41)
Рє
�нтегрирование по апертуре (волнистая черта), разумеется, не
равносильно статистическому усреднению.
Подставим в (25.41) рассеянное поле (25.7), не конкретизируя
пока вида первичной волны uo(r):
Величину [г(-р—г'| разложим в ряд Тейлора но р:
r'| = |r-r'| + ni» i 91гХ_„№-ШЧЛ-'.., (25.43)
где n,s /_^|-—единичный вектор, направленный из точки рас-
рассеяния г' в центр приемной апертуры г (рис. 26).
Пусть d—наибольший размер приемной антенны, так что
в пределах ее апертуры i>*id, и пусть выполнено условие
ftd!<§|r—г'| (точка г' лежит во фраун-
гоферопой ^оне антенны, где уже сфор-
сформировалась диаграмма направленности).
Тогда в показателе экспоненты в (25.42)
можно ограничиться двумя первыми чле-
членами разложения (25.43), а в знаменателе
^П. подынтегрального выражения — первым
членом этого разложения. Выполнив ин-
интегрирование по р, находим
в„ў-Р° M(r'KCTe(r'HV',
(25.44)
РіРґРµ
Р РёСЃ 20. Mn,-)-$&(p)exp(iftn;p)<IВ«p (25.45)
— диаграмма направленности приемной антенны. Максимальное
значение |/, (п,)| удобно нормировать к единице. Если весовая
функция Ь(р) симметрична относительно центра р = 0, то макси-
максимум |/, (nj)| достигается при njp = O, т. с. при ориентации век-
вектора п| по нормали к плоскости антенны.
i 25] 1
СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ
207
От исходной формулы (25.7) выражение (25.44) отличается
тем, что под интегралом появился диаграммный множитель /t (n,).
При малых по сравнению с длиной волны размерах приемной
антенны (ftd<^l) этот множитель не зависит от направления п'„
и мы возвращаемся тогда к формуле (25.7).
Взяв в качестве первичной направленную сферическую волну
(25.30), получаем для v выражение
•W (О
I* (|Рі-Рі |
r-rMlr'-r I
которое, если ввести обозначение
4Р»
-РіРѕ I
можно записать в виде
и = \ 5> (г') е1'*«'-»'1^-1 •'-'• 1)Ё (г') d»r'.
''• (2546>
(25.47)
(25.48)
Заметим, что в рассматриваемом случае, когда излучение и
прием осуществляются направленными антеннами, область инте-
интегрирования в (25.46) или
(25.48) остается конечной и
тогда, когда неоднородности
8 (г) заполняют все простран-
пространство, т. е. М (г') всюду равно
единице. Специальное огра-
ограничение величины занятого
неоднородностями объема
теперь излишне, так как про-
произведение диаграммных мно-
множителей спадает практичес-
практически до нуля вне области пе-
пересечения центральных
(главных) лепестков обеих
диаграмм (рис. 27).
Располагая выражением (25.46), нетрудно^ычислнть среднюю
интенсивность сигнала на выходе антенны /„«з<|о'|>. В отли-
отличие от (25.27), под знак интеграла теперь войдет множитель
1/(/Р«
Р РёСЃ. 27.
(25.49)
208 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
При использовании остронаправленных передающих и прием-
приемных антенн интенсивность рассеянного поля удобно характери-
характеризовать величиной эффективного рассеивающего объема. Обозначим
через q0 вектор рассеяния fe(nI0—п,,),- отвечающий точке пере-
пересечения максимумов диаграмм направленности, которую естест-
естественно принять за начало координат, и запишем (25.49) в форме,
аналогичной выражению (25.34) (/, = | А \Чг1):
» iP '•**•¦ (га.м)
Множитель
[;t]'eM<<'J?' (25-51)
определенный из сравнения (25.49) с (25.34), и представляет
собой эффективный рассеивающий объем.
Величина К,^, как следует из (25.51), зависит от многих
факторов: от расстояний до источника и приемника, от формы
диаграмм направленности антенн и от вида спектра Фе(ч, R)-
При использовании остронаправленных антенн, если область
пересечения диаграмм целиком лежит в рассеивающем объеме,
величины M(R) и rrj\R—г,||г—R| можно с хорошим прибли-
приближением принять равными единице, и тогда
У** = j I /. ("/) /. ("Л I1 §Й^*«. (25.52)
— 00
Эта формула часто используется при расчетах интенсивности
радиоволн, рассеянных в тропосфере и нижней ионосфере [1J.
§ 26. Эффективный поперечник рассеяния.
Границы применимости приближения
однократного рассеяния
Для скалярного монохроматического поля и (г), удовлетво-
удовлетворяющего уравнению Гельмгольца (24.1), в случае прозрачной
среды, т.е. вещественной проницаемости е (г), выполняется соот-
соотношение
и'Аи—и&и' — О, или div(u*v«—uV«*) —0, (26.1)
которое вытекает непосредственно из (24.1). �з (26.1) следует,
что величину
")• (26-2)
I 26] ЭФФЕКТ�ВНЫЙ ПОПЕРЕЧН�К РАССЕЯН�Я 209
удовлетворяющую в прозрачной среде закону сохранения
0, (26.3)
можно при подходящем выборе нормировочного множителя а
интерпретировать как плотность потока энергии*).
Найдем среднюю плотность потока энергии однократно рас-
рассеянного поля
Дифференцируя выражение (25.7), получаем
;SCV'l d'r'-
(26.5)
Единичный вектор nis=(r—г')/|г—г'|, направленный из точки
рассеяния г' в точку наблюдения г, можно при помощи разло-
разложения (25.11) преобразовать к виду
^ ^^i'(') (26.6)
где по-прежнему ni0 = r/r. Принимая, что точка наблюдения г
достаточно далека от рассеивающей области (г ^> L), имеем
|гх|«^г и п^явп,,,. Кроме того, при r^>L заведомо выполнено
неравенство к^>\т—г'|"». В результате выражение (26.5) сильно
упрощается:
РўВ«! (Рі) В« ifensou, (r),
а формула (26.4) дает
^IВ«anJO<|В«1|4> = anj0/I. (26.7)
Зная #v нетрудно найти эффективный поперечник (сечение)
рассеяния о единичного объема в единичный телесный угол в на-
направлении nsz).
По определению
J) Для звуковых волн, если а—потенциал скорости, множитель « равен
(ка'/2с (р—плотность жидкости, с—скорость звука), а для электромагнитных
полей а—с/Яя, где е — скорость электромагнитной волны, если под и пони-
понимать напряженность электрического поля.
*) Для эффективного поперечинка рассеяния часто используется сокраще-
сокращение ЭПР.
210
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССНЯН�Я ВОЛН
[ГЛ. IV
где dPl—средняя мощность, рассеиваемая в телесный угол do
в направлении пг, V—рассеивающий объем, а \^„\—модуль плот-
плотности потока энергии в первичной волне. Через в и <р обозна-
обозначены полярный и азимутальный углы, отвечающие направлению
Рї, (СЂРёСЃ. 28).
Мощность йРг равна
dPl = \&1\rtdo=aIlr*do, (26.9)
или, поскольку при выполнении условия (25.38) средняя интен-
интенсивность /j дается выражением (25.34),
(26.10)
Плотность же потока энергии в первичной волне, будь то пло-
плоская, сферическая или направленная сферическая волна, сог-
согласно (26.2), равна (по модулю)
'"), так что (26.8) дает
Рѕ(6, <СЂ)-='
). (26.11)
J3§ В соответствии со свойствами
преобразования Фурье пространст-
пространственный спектр (25.23) практически
не зависит от q, если корреляцион-
корреляционная функция i|>e(p) отличается от
нуля только в малой области (>»S lt<^X.
В этом случае мелкомасштабных не-
однородностей рассеяние изотропно:
Рѕ (РІ, <p)ttconsi^ll,nk'oG>t(Q)- (26.12)
Р РёСЃ/ 28.
Напротив, в случае крупномасштабных неоднородностей (е^)
спектральная плотность Фе(д) быстро уменьшается с ростом q,
т. е. с ростом угла рассеяния 8, что отвечает преимущественному
рассеянию вперед. Сектор углов 9, в котором сосредоточено излу-
излучение, можно оценить из условия gU^\ или6^1/Мв. Ниже мы
проиллюстрируем эти особенности рассеяния несколькими при-
примерами.
Величину (26.8) называют также дифференциальным сечением
рассеяния—в отличие от полного поперечника рассеяния
о„^^а(9, <p)do^VajiA;/0)s(q)*'. (26.13)
который представляет собой отношение средней полной рассеян-
рассеянной мощности Pl = rJ <j> ^i do к плотности потока энергии в
5 26] ЭФФККТ�ВНЫЯ ПОПЕРЕЧН�К РАССЕЯН�Я 211
первичной волне в расчете на единицу объема:
pt 9 |. 1 ^ (26.14)
Как а, так и а, имеют размерность обратной длины, сечение же
рассеяния всего объема V, равное aV, измеряется в единицах
площади.
Согласно (26.8) и (26.9) для средней плотности потока рас-
рассеянной энергии (?! и для средней интенсивности Ii имеем
<*\-7?Ko|Va(e, ,(>), Р›=-^/,РЈРѕ(РІ, Р¤). (26.15)
В оптике а (0, ф) обычно называют индикатрисой, рассеяния,
причем чаще всего имеется в виду величина /(9, ф) — значение
о(в, ф), отнесенное либо к максимальному значению поперечника
вт,х, либо к полному сечению сг0:
/(РІ, Р¤)В«^. (26.16)
Полный поперечник рассеяния о0 непосредственно связан
с ослаблением перничной волны за счет рассеяния (так называе-
называемой зкетинкции). Представим себе малый цилиндр с осью вдоль
волнового вектора первичной волны k,=fen/. Объем цилиндра
равен dV — dza"S., где dS—площадь поперечного сечения цилин-
цилиндра, a dz—его длина. Мощность, приносимая первичной волной
на передний торец цилиндра, равна Р = С<$"01 dS, а на заднем торце
она изменена до значения P-\-dP, где dP = — dPlt a dPv -мощ-
-мощность, рассеянная объемом dV, равная, согласно (26.14),
Potdz. (26.17)
Следовательно,
т.е. мощность первичной волны уменьшается по экспоненциаль-
экспоненциальному закону Р -~- е'"'г. По такому же закону уменьшается и
плотность потока энергии:
|^0|~е-»«г. (26.18)
Ослабление в с раз происходит на пути dB= 1/а0, который назы-
называется длиной экстинкции (а0 называют также коэффициентом
зкетинкции). Произведение x — aaz, где г—путь, пройденный
волной в рассеивающей среде, называют оптической толщиной
(¦*= 1 на пути z = da).
212 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН ГГЛ. IV
Теория однократного рассеяния строится в предположении,
что амплитуда первичной волны иа, а. стало быть, и плотность
потока энергии <У0 практически постоянны в пределах рассеи-
рассеивающего объема. Согласно (26.18) это справедливо, если оптиче-
оптическая толщина, отвечающая размерам рассеивающего объема
L~V113, мала по сравнению с единицей:
(26.19)
Условие (26.19) можно записать и в форме
(26.20)
т. е. полное сечение рассеяния всего объема 20^o0V должно
быть мало по сравнению с площадью порядка V, вырезаемой
объемом V из фронта первичной волны.
Приведем несколько примеров вычисления поперечника рас-
рассеяния а (9, ф).
1. Неоднородности с изотропной гауссовой
корреляционной функцией:
Ыг) = °1е-"'2'1- (26.21)
Пространственная спектральная плотность флуктуации в рассмат-
рассматриваемом случае равна (см. (3.12))
ф«(<?)=Sirехр (~
так что для эффективного поперечника рассеяния единичного
объема по формуле (26.11) находим
Р° (РІ) - -^^В¦exp[-2ftВ»/isln1(V,e)]. (26.23)
Полный поперечник рассеяния а0 вычисляется интегрированием
(i(6) по единичной сфере (do — smOdQdip) и равен
Р›_Рµ-=Рљ). (26.24)
Условие (26.19) применимости приближения однократного
рассеяния принимает в случае (26.21) вид (для простоты пола-
полагаем 7=1, так что k = ka)
(25.25)
Vell—exp(—2*0J,)J
Это условие ограничивает величину произведения дисперсии
I 26]
ЭФФЕКТ�ВНЫЙ ПОПЕРЕЧН�К РАССЕЯН�Я
213
флуктуации о\ на kaL. С ростом дисперсии а\ или с увеличением
L неравенство (26.25) рано или поздно нарушается. Функция
г^.—
при /го/с —>0 растет, как |/ — (kje)-', а при
В§r (
убывает, как 2 |/ 2/л?0/е. Следовательно, чем больше радиус кор-
корреляции /„, тем жестче ограничена величина oik0L. Поэтому рас-
рассеяние на крупных неоднородностях описывается борновским
приближением лишь на сравнительно малых дистанциях. Увели-
чение же L требует учета многократного
рассеяния. Соответствующие методы будут
рассмотрены в гл. V—VII.
Р РёСЃ. 29.
2. Обратное рассеяние на анизотропных (анизо-
мерных) флуктуациях с гауссовой корреляцион-
корреляционной функцией:
фе (г) =
РЈ. 2)-
^) . (26.26)
Спектральная плотность таких флуктуации дается выражением
(3.1$). Будем считать, что Ь > а, т. е. что большая ось эллипсо-
эллипсоидальных неодноролностеи направлена по оси г.
Пусть волновой вектор первичной волны к,- лежит в плоско-
плоскости \х, г) и составляет угол ty с осью х (рис. 29), так что
k( = (fecosi|), 0, fesinif). При обратном рассеянии q — —2k, и,
следовательно,
=4*4.Фе(-2к,.) =
ехр [— 2k' (a* cos»if +b* sin* if)]. (26.27)
214 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
Рассмотрим записимость сечения обратного рассеяния aa6v от
угла i|:, который иногда называют ракурсным углом. При т|> = 0
(так называемое «ракурсное условие») волновой вектор первич-
первичной волны к/ перпендикулярен к большой оси неоднородностей.
�ндикатриса рассеяния выражается формулой
/ <В¦) - gjg = exp <-2*В» (ft'-a*) sinВ»*}. (26.28)
Она имеет максимум при $ =0 (рис. 30) и минимум при if = ± я/2
(к,- параллелен большой оси неоднородностей).
Этот scjKJieKT (так называемой ракурсной чувствительности)
особенно отчетливо выражен при сильно вытянутых неоднород-
ноотях, когда kVb2—aa^> 1. В этом случае индикатрису (26.28)
можно аппроксимировать выражением
2ft2(6»—аа)т|за}, (26.29)
т. е. узкой гауссовой кривой с шириной
Ai|i~l/fc/16i^a5<^l. (26.30)
3. Рассеяние на турбулентных флуктуациях
в атмосфере. В инерционном интервале волновых чисел
2n/L0<^сq<^2л//0, соответствующем колмогоровскому закону 2/3
{§ 4), спектральная плотность турбулентных флуктуации описы-
описывается степенным законом
Фв (?) = ЛС| </-"/•, „7-0,033. (26.31)
Для такого спектра поперечник рассеяния единицы объема в еди-
единичный телесный угол равен (полагаем е=1)
а (в) = 2-Ч'пЛС\К'и (sin V2e)-"/. = 0,016с"*'/' (sin4fi)~"''- (26.32)
Полный поперечник рассеяния оказывается в этом случае
бесконечным, так как интеграл
расходится при малых углах рассеяния 8. Объясняется »то тем,
что выражение для спектральной плотности (26.31), отвечающей
инерционному интервалу 2n/La<^q<^.2n/lt, непригодно при малых
значениях q — 2ft sin J/36. Расчет полного сечения рассеяния для
другой модели спектра (4.20), принимающего при q~*0 конеч-
конечные значения, приведен в задаче 2.
% 27] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦ�Я 215
§ 27. Пространственная корреляция
и вероятностные распределения рассеянного поля
Возвращаясь к выражению (25.24) для функции простран-
пространственной корреляции рассеянного поля, обратим внимание на
сходство этой формулы с формулой (12.20), которая описывает
пространственную корреляцию поля системы независимых излу-
излучателей. В обеих формулах зависимость от координат точек на-
наблюдения rt и г, входит через один и тот же подынтегральный
множитель схр (iks)/\ гх—R | |г,— R |, где
s = |r1-R|-|ra-R|. (27.1)
Это не случайное совпадении. Как уже было отмечено (§ 24),
нахождение однократно рассеянного поля — задача, относящаяся
к схеме 2), т. е. к распространению волн в случайно-неоднород-
случайно-неоднородной среде, фактически сводится к задаче типа 1), к возбужде-
возбуждению полей заданными случайными источниками. Согласно (24.11)
эти источники непрерывно распределены по объему V. Однако,
в силу конечности радиуса корреляции 1е неоднородностей е, не-
непрерывное распределение источников равносильно конечному
числу (порядка vfl\) дискретных некоррелированных источников.
�менно в этом и лежит причина сходства формул (25.24) и (12.20).
Опираясь на это сходство, можно сделать ряд качественных
и количественных заключений о характере пространственной
корреляции рассеянного поля. Так, можно утверждать, что вну-
внутри рассеивающего объема, а также вблизи него (т. е. пркг^Ц
радиус корреляции поля 1и порядка длины волны X, если неод-
неоднородности мелкие {1е<^Х), и порядка 1е, если l^X. Оба утверж-
утверждения вытекают из оценки
1Р›~Рљ'РЈ. (27.2)
где у—видимый угловой размер области, занятой источниками.
В самом деле, в случае мелкомасштабных неодиородностей,
которые рассеивают изотропно, угол у сравним с я, так что
1п ~ Х/п '¦"А,. Крупномасштабные же неоднородности имеют_хзкую
индикатрису (у~Х/1е), ширина которой определяет эффективный
угловой размер области, занятой источниками. В результате
здесь *,~ A,/v~J«.
По мере удаления от рассеивающего объема происходит неко-
некоторое упорядочение поля, что выражается в увеличении масшта-
масштабов пространственной корреляции. При r^>L угловой размер
рассеивающего объема у становится величиной порядка L/r<^. 1,
и в результате поперечный (по отношению к направлению рас-
рассеяния п,) радиус корреляции превышает длину волны в r/L раз:
/Р». - Xr/L. (27.3)
216 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН |ГЛ. IV
При приближении к началу фраунгоферовой зоны, r~W.', по-
поперечный радиус корреляции увеличивается до диаметра рас-
рассеивающего объема, /х~?, а при r^>kL* превышает L.
Что касается продольного радиуса корреляции 1„, то его
можно оценить по формулам задачи 13 к гл. II: в пределах ближней
зоны рассеивающего объема (r<^.kL')
'В¦-?-? {r <kU), (27.4)
но, начиная с расстояний r~kL}, корреляция простирается до
бесконечности:
. (27.5)
Сказанное можно частично проиллюстрировать на примере
пространственной функции корреляции (25.24) при условиях,
что точки наблюдения находятся в зоне Фраунгофера, r^>kL2,
а рассеивающий объем заполнен статистически однородными
флуктуациями. При этих предположениях можно заменить ks
приближенным значением
kszzkr,— kr.z f fcAn^R, (27.6)
гдеДп, —л„—п„ — r-Jr1—rtirl, и вынести за знак интеграла
в (25.9) вес множители, кроме Af(R) и eihlui>*:
*.(«-!. г,) = кк°\А'* ®*Щ±е1к c»-f.) f M(R)etk*«>*d>>JR. (27.7)
- В»
Мы заменили здес!> произведение |г, — R j [ra — R | на г' ¦= (Tx+tJW,
сделав дополнительное предположение о малости расстояния
между точками наблюдения |г,—гг| по сравнению с расстоя
нием г от центра рассеивающего объема до «центра тяжести»
точек наблюдения.
�нтеграл п (27.7) представляет собой дельтообразную функ-
функцию. Если ввести обозначение
(27.8)
00
то формула (27.7) примет вид
fkir'-r^*ns). (27.9)
Функция 6V (>t) равна V,'8n' при х —0 и, в соответствии со свой-
свойствами преобразования Фурье, спадает до малых значений при
X2;2n/L, где L — поперечник объема V. При V—> оо она перехо-
переходит в б (и).
$ 27] ПРОСТРЛ�СТВЕН.НАЯ КОРРЕЛЯЦ�Я 217
Разделив корреляционную функцию (27.9) на среднюю интен-
интенсивность (25.34), получаем коэффициент корреляции
*.(г„ г.)- «-^ =^y^!ar(fcAB,)- (27.Ю)
l'(r)/(f)
Поскольку 6v(kAnt) заметно отличается от нуля только при
fe| Aiij|sg2jt/L, значения рассеянного поля в точках г, и г, ста-
становятся некоррелированными при An,^;2n/kL — kfL.
Величина |Дп,| приблизительно равна углу Д9 между единич-
единичными векторами nsl и ns. (рис. 23), так что полученная оценка
определяет «угол корреляции»
Р”9Рљ~^-. (27.11)
Но вместе с тем А0к ~ li_/r, так что для поперечного радиуса
корреляции из (27.11) следует прежняя оценка (27.3).
Что касается продольной корреляции, то при расположении
точек наблюдения на одной прямой, когда Дп,=0, коэффициент
корреляции дается выражением
т. е. равен по модулю единице при любых г, и г2, лежащих
в дальней зоне. Это означает, в согласии с (27.5), что для
амплитуды рассеянного поля i41^|uI| продольный радиус кор-
корреляции бесконечен, („— оо, а разность фаз полей в точках г,
и га, лежащих на одной прямой, равна разности оптических
путей k{rl — r2).
Обратим внимание на то, что в формулу (27.10) входят только
геометрические параметры задачи г и /., а также длина волны
первичного поля К, но не входят статистические характеристики
флуктуации ё. Это говорит о том, что корреляционные харак-
характеристики рассеянного моля вытекают из чисто динамических
соображений и лишь косвенно связаны со статистическим опи-
описанием.
Действительно, синусоидальная дифракционная решетка ко-
конечной длины /. и с периодом А, дает и направлении 9 (см.
(25.33)) волновой пучок конечной угловой ширины Д0~ЛД..
Поскольку в спектре флуктуации представлены различные про-
пространственные гармоники, рассеяние на данный угол обусловлено
не только той объемной решеткой, которая точно удовлетворяет
условию Вульфа — Брегга (25.33), но и близкими по размерам
и ориентацням решетками, для которых рассматриваемое направ-
направление лежит в пределах главных дифракционных максимумов
ширины Д9 ~ а//.. Таким образом, пока угловое расстояние между
точками наблюдения меньше AB~X/L, рассеяние обусловлено
218 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
вполне определенной группой дифракционных решеток. Напротив,
при AQ-^XlL поля, рассеянные в направлениях n,i = r1/rl и
ns, = ra/r2, обусловлены уже различными группами решеток (с не-
неперекрывающимися главными максимумами), что и приводит к
исчезновению пространственной корреляции.
Обратимся теперь к вероятностным распределениям рассеян-
рассеянного поля. В приближении однократного рассеяния поле uL(r)
выражается интегралом (24.11) от произведения некоторой де-
детерминированной функции па случайную функцию е(г'). По-
Поскольку линейные размеры L рассеивающего объема по предпо-
предположению велики по сравнении) с радиусом корреляции /е флуктуа-
флуктуации е, можно утверждать, что в силу центральной предельной
теоремы теории вероятностей закон распределения для рассеян-
рассеянного поля близок к нормальному.
Найдем параметры, характеризующие совместные функции
распределения вещественной и мнимой частей комплексного поля:
Ul(r)-U(r) + iV(r). (27.12)
Так как величины ?/, = (/ (г,) и Vk = V(Tk) распределены но
нормальному закону, достаточно получить матрицу вторых мо-
моментов этих величин, которая совпадает с корреляционной
матрицей, поскольку среднее значение рассеянного поля, а значит,
и средние значения <?/у> и <Ук> равны нулю. Билинейные сред-
средние <JJjVty можно выразить тогда через корреляционные функ-
функции комплексного поля
».(«у. r») = <M«»«<f(r»)>.
Первая из этих функций была вычислена в § 25 и рассмотрена
выше. Покажем, что вторая корреляционная функция tya почти
всюду мала по сравнению с $„. С этой целью оценим величину
<и\(т)> — ^и(г, г) в зоне Фраунгофера. Согласно (25.39),
1'4R- (27-14)
Заменяя М (R Ч-p/2)Af(R—р/2) на Af(R), получаем
<"?«> =-^~(2л)-Фг(0)бу(2Ч), (27.15)
где функция 8v-(x) определена выражением (27.8).
I j7] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦ�Я 219
При рассеянии вперед (q = 0) средний кпадрат поля <i;J>
с точностью до фазы совпадает со средней интенсивностью
/1 = <|ы1|2>, поскольку 6y(0) = V/8nJ. Однако при |2ц|^2лД,
значения функции 6v(2q) резко уменьшаются по сравнению
СЃ Р±Сѓ(0), С‚. Рµ.
|<В«?(r)>K7,-<|В«!(r)|>, q^mL. (27.16)
Так как q — 2fcsin \.fi, неравенство q^njL выполняется вне
узкого конуса с раствором 9~X/2L, откуда и следует, что при
рассеянии на не слишком малые углы (6^)./2/,)
|*.Рљ1*.1- (27-17)
Практически это означает, что вне указанного конуса вторую
корреляционную функцию гр„ можно положить равной нулю:
*„ (г,. rt) « 0. (27.18)
Этот результат получен для дальней зоны рассеивающего
объема (г^>Ш), но в ближней зоне (r<^kl.2) он справедлив и
подавно. Действительно, если разбить рассеивающий объем на
отдельные элементы с линейными размерами, малыми но срав-
сравнению с /., но большими по сравнению с радиусом корреляции
неодкородностей, и поместить точку наблюдения в зону Фраун-
гофера каждого из таких элементов, то результирующий средний
квадрат поля <«5> можно получить, суммируя выражения типа
(27.15), поскольку флуктуации е в различных элементах стати-
статистически независимы. Ясно, что суммирование величин, содер-
содержащих осциллирующий множитель е'"кг, может привести только
к уменьшению <u'i> по сравнению с /] = <|ы,|2> даже внутри
конуса с углом раствора 9 ~ X/2L.
Воспользовавшись этим, применим для вычисления моментов
<.UjVky формулы (2.14), которые при равенстве нулю второй
корреляционной функции дают
<и,иа> - <ууг> - >/2 Re ф„ (г„ га),
<K1l/,> = -<I/IV,>=V,Im*.('!. Рі.)- (
Положив в (27.19) г,-=г2 — г, находим, в частности, что
/ V(r)>-0. (27.20)
Последующие вычисления статистических моментов амплитуды
и фазы производятся так же, как в ч. I, §§ 25 и 44.
220 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛ� [ГЛ. IV
§ 28. Рассеяние на нестационарных неоднородностях
1. Временная функция корреляции. Поле, рассеян-
рассеянное на неоднородностях е, (t, г), зависящих от времени, создает
на пыходе антенны отклик, аналогичный (25.48):
Лг'. (28.1)
В отличие от (25.48), мы восстановили здесь множитель е~""',
который для краткости ранее опускали. Волновое возмущение,
возникающие при рассеянии в точке г', достигает точки наблю-
наблюдения г за конечное время Д< — |г — г'|/с (для простоты считаем,
что е=1). Поэтому иод интеграл входят значения е не в мо-
момент /, а в предшествующий момент /'- t — At. Функция 5* (г')
по-прежнему дается выражением (25.47).
Вычислим временную корреляционную функцию рассеянного
поля п предположении, что флуктуации е статистически одно-
однородны и стационарны, так что пространственно-временная кор-
корреляционная функция неоднородностей зависит лишь от разно-
разностных (пространственных и временных) переменных:
%(Р“, Рі'; Р“, Рі") = <?(*', Рі')СЊ"(Р“, Рі")>-Рі|,Рµ(Р“-Р“, Рі'-Рі"). (28.2)
�з (28.1) сразу же видно, что временная корреляционная функ-
функция отклика на выходе антенны
тоже зависит только от разности i — t' — t":
so
yv (Т) = e-fI"J J 9 (г') Э" (r") eiV <¦"• гЦе (т—Дт, г'— г") d'r'&r",
(28.3)
РіРґРµ
Таким образом, в случае стационарных флуктуации е отклик
v(t), как и само рассеянное поле ul{t), является стационарным
случайным процессом.
Входящая в (28.3) величина
Дт=(|г'-г|-|г"-г!)/с
представляет собой разность временных задержек возмущений,
пришедших из точек г' и г". В силу того, что пространственная
корреляция неоднородностей простирается на расстояния
|г'—г"|^с/е> разность задержек Дт фактически не превышает
времени h/с, за которое волна проходит одну неоднородность
$28] РАССЕЯН�Е НА НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ 221
). �нтервал Дтобычно значительно меньше те—времени
корреляции флуктуации е:
Д*~/«/с<те. (28.4)
Поэтому без большой ошибки можно при этом условии поло-
положить в (28.3) Дт = 0, и тогда
¦С
yv(Т) ^e-'<<"l $ 93 (г') .?• (г")е™"'¦ г">х|)е(т, г' — г") d'r'd'r'. (28.5)
Выражение (28.5) отвечает так называемому квазистационар-
квазистационарному приближению, при котором считается, что рассеяние на
отдельных неоднородностях происходит так, как если бы не-
неоднородности покоились, а зависимость i|>e от времени восста-
восстанавливается уже в окончательной формуле (28.5).
Дальнейший анализ временных флуктуации целесообразно
провести отдельно для следующих двух случаев: а) в среднем
покоящаяся случайно-неоднородная среда и б) случайно-неодно-
случайно-неоднородная среда, перемещающаяся в среднем равномерно со ско-
скоростью v, которую принято называть скоростью дрейфа.
2. Рассеяние в отсутствие регулярного дрей-
дрейфа. Для среды, в среднем неподвижной, можно почти без
изменений повторить выкладки § 25, т. е. перейти к переменным
интегрирования R — (г,-| га)/2, р = г, — г8 и разложить показа-
показатель экспоненты ^(г', г") в ряд по степеням р:
ilv(T, p)exp(tqp) =
R I ^ (R) I' фе (т. Ч), (28.6)
РіРґРµ
Фе (т, х) - g^ j *e (t, P) exp (- I xp) d»p (28.7)
— пространственное преобразование Фурье корреляционной функ-
функции $в(т, р), a q = q(R) — вектор рассеяния, отвечающий точке R.
�з выражения (28.6) следует, что время корреляции отклика
на выходе антенны того же порядка, что и у флуктуации е.
Тот же результат можно выразить и в спектральной форме,
222 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ПОЛ� [ГЛ. IV
написав спектральную плотность стационарного процесса v(t):
Учитиная, чти пространстисшш-иремешкж спектр флуктуации к
выражается формулой
Спектр флуктуации Ge(Q, и) обычно сосредоючен в окрестности
нулевой частоты Q я; 0, спектр же рассеянного сигнала gP(fi)
расположен вблизи частоты первичной волны <>>. Как следует
из (28.9), частотный спектр рассеянного поля получается сум-
суммированием пространственно-временного спектра неоднородностей
GefQ — to, q(R)] по рассеивающей области с Бесовой функцией
Если условия задачи позволяют пренебречь изменением вектора
рассеяния q в пределах области интегрирования (согласно (25.38)
это возможно при r^>rmin — m\n(L, Lljl)), то G«fQ—га, q(R)]
можно вынести за знак интеграла со значением при q -q0, где
q0 — ft(ni0—п/0) —вектор рассеяния, отвечающий центру рассеи-
рассеивающей области. В результате частотный спектр поля оказы-
оказывается пропорциональным Ge(Q — to, q0):
g,{Q) = 8j*G.(Q-u, q.) ] d>R\S>(R)\>-
"G.(Q-e, q.)^Р©^-РЈ**. (28.10)
где Vett—эффективный рассеивающий объем. Таким образом,
при r^>rmin можно находить форму спектра флуктуации е не-
непосредственно по измеренным значениям #., (О.). В случае же
протяженных рассеивающих областей, когда спектры. gv(\i) и
Ge связаны между собой интегральным соотношением (28.9), рпре-
деление формы Ge(Q) по измерениям gv{Q) затруднительно.
(28.8)
можно представить частотный спектр сигнала v (t) в виде
(28.9)
i 28]
РАССЕЯН�Е НА НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ
223
Спектр комплексной огибающей 31 (/) сигнала »(/) = Щ(/)е-'и'
сосредоточен в окрестности нулевой частоты, поскольку g*(Q) =
= g,,(fi4-io). В частности, при г^>гш1п, когда gv(Q) дается
выражением (28.10), имеем
'эфф-
3. Рассеяние при наличии регуляриогодрейфа.
Нахождение функции корреляции поля, рассеянного на дрей-
дрейфующих неоднородностях, несколько сложнее, чем при v = 0.
При рассмотрении этого вопроса мы следуем результатам Г. С. Го-
Горелика и его сотрудников [3—6], а также анализу, приведен-
приведенному в [1].
Пусть i|)np(T, р)—функция корреляции неоднородностей
в сопровождающей системе координат, т. е. в системе, равно-
равномерно перемещающейся вместе со средой со скоростью v.
В неподвижной системе координат, связанной с наблюдателем,
функция корреляции, очевидно, равна
t. P) = Р§'Рґ
—VT),
(28.11)
Подставим это выражение в формулу (28.5) и введем новые
переменные интегрирования R и р', равные
R = V,(r' + r"). р' = р—"vt-г'—г"—vx. (28.12)
В этих переменных функция корреляции сигнала v{t) будет
x, p')X
РіРґРµ
Xexp|W
СЂ' 1 vu
P'-I'VT
2
Рі I
R
СЂ'
(¦»
2
—
2
, Р 
l)]*P
)
P' + VT _
2 Г»
VT
(28.13)
Поскольку корреляционная функция tylp(i, p') спадает прак-
практически до нуля при р'^/е. разложим У в степенной ряд по р'
и ограничимся первыми двумя членами разложения:
Т'(т, р', Р)-=Ф(т, R) —q'(T, R)p'+ . .. (28.14)
224 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. I
Здесь
Ф (т, R) - V (т, О, R) - k (| г- R — vt/2 | -| _
-IR + VT/2—re|-|r— R-bvT/2|-|R— vt/2-rJ),
п'/т пч_ » / г—R—vt/2 R | ут/2—Гр
41 ' ; 2 \ | г—R—»т/2| |R-fvt/2-ro|
г—R-l vt/2 . R—ут/2—г» \
|г—R-l-vr/21 |R-vr/2-r,,| ) '
Если подставить в (28.13) приближение (28.14), справедливое
при выполнении довольно слабых условий типа (25.18), то интег-
интегрирование по р' дает
1|!„(*)=8я»е"'<« \ *^^+5з:е'ф(т'к>Флг(т, q'), (28.15)
где 5>.| =^(R±vt/2), а функция
РѕСЃ
Фд, (т, >с) - 8^5 j �>Др (т, Р) exp (tup) J»p (28.16)
— ос
представляет собой пространственное преобразование Фурье кор-
корреляционной функции неоднородностей в сопровождающей си-
системе координат.
Выражение (28.15) сложнее, чем (28.5). Во-первых, под знаком
интеграла теперь содержится дополнительный экспоненциальный
множитель е'®('•*>. Во-вторых, вектор рассеяния q' и произве-
произведение 5*+5**, заменяющее теперь |^(R)|a, зависят от т. Однако
если допустить, что источник первичного поля и приемный пункт-
удалены от рассеивающей области на расстояния, превышающие
ее поперечник (r1p>L и ra^>L), то формула (28.15) упрощается.
В последующих оценках мы будем писать неравенства, относя-
относящиеся только к г. Аналогичные неравенства должны выполняться
и для /•„.
При R ¦$; L произведение &+&*_ стремится к нулю. Следователь-
Следовательно, в области R^J., существенной для интегрирования в (28.15),
отношение Rir<g. 1 в силу принятого допущения r^>L. По той же
причине в (28.15) существенны только значения \t^.L. �мея
это в виду, разложим показатель экспоненты Ф(т, R) в степен-
степенной ряд по малым параметрам R/r^.L/r-^.\ и in/r^.L/r<^1:
Ф(т, R)- -q0VT+*vRT + fto[(4)S^] �0 [^] • (28.17)
J гв] РАССЕЯН�Е НА НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ 225
Здесь v—вектор, имеющий размерность частоты и пропорцио-
пропорциональный скорости дрейфа v:
v = т Гп„ [та,.]] + ? К [vn,o]I- (28-18)
Вектор q' мы тоже разложим в ряд, но лишь по перемен-
переменной т:
q'(T, R) = q(R) |-feO[(^-)*], q(R) = ft(n,-n,) (28.19)
(член, линейный по т, здесь отсутствует).
Ниже мы убедимся, что условие r^>L достаточно для того,
чтобы сохранить в (28.17) два первых члена, а в (28.19)—только
первый член разложения. Если это сделать, то (28.15) прини-
принимает вид
^(т) = 8я»е-"ш+ч»;'>т J &+?'_ ехр(1'ЬЯт)ФД1,(т, q)d?R. (28.20)
Разумеется, при v—> () это выражение переходит в формулу
(28.5), полученную в отсутствие дрейфа.
С ростом х значение интеграла в (28.20) уменьшается по
трем причинам. Во-первых, уменьшается произведение 5*+$*",
которое стремится к нулю при vx-^L. Во-вторых, экспонен-
экспоненциальная' функция exp (ifevRr) начинает заметно осциллировать
в пределах существенной для интегрирования области. В-третьих,
уменьшается функция Фдр(1, q), которая описывает временную
корреляцию флуктуации в сопровождающей системе координат
и стремится к нулю при т—+<х>.
�з условий vx~L и kvRx^koLx/r ~ 1 находим два харак-
характерных интервала времени, отвечающих первым двум факторам
*,-В¦?..
. „\_„ Ь_ (28-21)
' * ~ kvL ~ vL '
Характерное же время изменения функции Ф,р(т. q), т. е. вре-
временной интервал корреляции неоднородностей н сопровождаю-
сопровождающей системе координат, мы обозначим через тп. По существу,
это «время жизни» неоднородностей. Меньшее из трех перечис-
перечисленных значений г определяет, очевидно, время корреляции тж
сигнала:
т, = min {т„ хг,\). (28.22)
При V—>0 (отсутствие дрейфа) т, и т., бесконечно возрастают,
а т„ = т,.
226 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
Применим формулу (28.20) к анализу частного случая рас-
рассеяния на замороженных неоднородностях, которые в сопрово-
сопровождающей системе координат не зависят от времени (тя = оо).
4. Рассеяние на замороженных неоднородно-
неоднородностях. Очевидно, в лабораторной системе координат, относительно
которой не меняющиеся со временем неоднородности дрейфуют
со скоростью v, флуктуации проницаемости e(t, г) обладают
свойством
ё(/,г) = ё(* — т, г — vt), (28.23)
т. е. в точку г в момент времени t приходит возмущение е(С, г'),
которое в предшествующий момент /' = / — т находилось в точке
г' = г—vx и переместилось за время т со скоростью v в точку г.
Как сказано, «время жизни» неоднородностей т, в сопрово-
сопровождающей системе координат формально бесконечно: та = оо.
Практически же замороженными можно считать неоднородности,
для которых
•Ь>т„ V (28.24)
При выполнении этого условия функцию Фдр(т, q) в (28.20)
можно положить равной Фдр(0, q) —Ф, (q), поскольку значение
интеграла в (28.20) сделается малым раньше, чем начнется
уменьшение Фдр(т, q). Таким образом, для замороженных не-
неоднородностей
^„(т) = 8л»<г"ш<-ч.7^ [ .f>^:exp(ikvRr)Ot(q)d'R. (28.25)
— ОС
Поведение этой функции корреляции существенно зависит от
соотношения между т, и т2. Согласно (28.21) они сравнимы
друг с другом при г ~kl}. В ближней зоне, где r^kL1 и одно-
одновременно, по условию, г5>>/., выполняется неравенство тг<*т,.
Следовательно, время корреляции в ближней зоне совпадает с тг:
4 (Lf^kL). (28.26)
Напротив, в дальней (фраунгоферовой) зоне, где r^>W.', время
корреляции совпадает с тч, которое значительно меньше тг:
тк - т., ~ L/o (/•>?/.'). (28.27)
Нетрудно убедиться, что в обеих зонах отбрасывание «лиш-
«лишних» слагаемых в разложениях (28.17) и (28.19) вполне оправ-
оправдано. Например, в ближней зоне, где г-^.kL1 и 1„ = т.,, четвер-
четвертый член разложения (28.17) по порядку величины равен
f 38) РАССЕЯН�Е НЛ НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕоДНОРОДНОСТЯХ 227
т. с. меньше произведения двух малых параметров. Но о» мал
и в дальней зоне, где r^>kL? и тж — tlt так что
Отметим, что при нарушении условия заморожен ноет и (28.24),
т. е. при т,; т,^т,, отбрасывание «лишних» членов является
тем более оправданным, чем меньше т3 по сравнению с т, и та.
�ными словами, единственное условие применимости формулы
(28.20) выражается неравенством r^>L.
Рассмотрим теперь более детально поведение корреляционной
функции (28.25) в ближней и дальней зонах.
Для ближней зоны выражение (28.25) можно упростить, если
учесть, что ~vxt^.vxa ~ rjkL<^.L, а при vx<^.L произведение Р+ЗЧ.
приближенно равно |^(R)|2. Таким образом, здесь
1|)(г(т) = е-|(°нЧ.т ij | ^ (R) |a exp (i/svRt) Ф, (q) d3/?. (28.28)
Для вычисления интеграла, конечно, ну до конкретизировать
вид спектра Фе (q) и весовой функции 13> (R) |*. Однако спек-
спектральный анализ выражения (28.28) можно провести и без кон-
конкретизации этих функций.
Выполнив временное преобразование Фурье (28.28), находим
спектральную плотность сигнала v(t):
ее
g,(?2)=8n» J |^(R)|»O?(q)6(Q—a>-qov-fevR)<W?. (28.29)
- в„–
Согласно (28.29) каждому элементарному объему d'R отвечает
спектральная линия на частоте ?2 —co + qov+ftvR и с «интен-
«интенсивностью» 8яа |^5(R)|3ff'e(q)- Суперпозиция этих линий и обра-
образует частотный спектр gv{±i). Смещение частоты линии il ^
= w-j-q,v-t-ftvR относительно частоты первичного поля ь> обу-
обусловлено эффектом Доплера.
Доплеровский сдвиг частоты
содержит два слагаемых, из которых первое одинаково для
всех точек рассеивающей области, тогда как второе меняется
от точки к точке в силу изменения вектора q (R) внутри рассеи-
рассеивающего объема1).
*) Более тачное выражение доплеровского сдвига: йд = vq(R). Выраже-
Выражение, приведенное выше, содержит только первые члены тейлоровского раз-
разложения но R.
8В»
228 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. IV
Ширина частотного спектра AQ определяется, очевидно, раз-
разностью доплеровских смещений частоты на краях рассеивающего
объема R~L:
AQ ж ДЦ, ~ k\L ~ kvLjr, (28.30)
что, как и следовало ожидать, согласуется с оценкой ширины
спектра ДЙ ~ 1/т„ ~ 1/тг. Оценке' (28.26) можно дать и другую
интерпретацию. Как было показано в § 27, величина r/kL пред-
представляет собой в случае неподвижных неоднородностей попереч-
поперечный радиус корреляции поля /х> т- е- пространственный масштаб
интерференционной картины, образующейся в результате нало-
наложения рассеянных волн. При дрейфе замороженных неоднород-
неоднородностей интерференционная картина будет пробегать мимо точки
наблюдения со скоростью в, так что характерное время флук-
флуктуации поля lJv~r/kvL как раз совпадает с т» = т,.
Оценка (28.26) пригодна, строго говоря, только при r^>L\
Если, несмотря на это, применить ее к случаю г ~ L, когда
точка наблюдения находится вблизи рассеивающей области, то
мы получим, что т,~ 1 /ftu — A./t>. Это не противоречит и оценке
т. ~ Ijv, поскольку вблизи рассеивающего объема l± ~ X
(СЃРј. В§ 27).
�ные закономерности наблюдаются в дальней зоне, для ко-
которой, _согласцо (28.27), время корреляции т. равно времени
т, ~ L/v пребывания отдельной неоднородности в рассеивающем
объеме. В дальней зоне показатель экспоненты в формуле (28.25)
мал по сравнению с единицей, a tDs(q) »Фе(Ч|). так что кор-
корреляционная функция поля дается выражением
РѕСЃ
— 00
Для вычисления интеграла необходима, как и в (28.28), кон-
конкретизация вида функции S* (R). В предельно идеализированном
случае, когда функция 3s (R) =.?', = const внутри куба с ребром L
и равна нулю вне этого куба, а скорость дрейфа v перпенди-
перпендикулярна к одной из граней куба, имеем
—^) при |t|<L/|^|,
РїСЂРё |С‚| > Lj\ v|.
Более сложным закономерностям подчинено рассеяние на
блуждающих неоднородностях, когда поле скоростей состоит из
общей скорости дрейфа v и случайной компоненты v, т. е.
j 29] �МПУЛЬСНЫЕ � МОДУЛ�РОВАННЫЕ С�ГНАЛЫ 229
v = v+v. Некоторые аспекты этого случая рассмотрены в [1]
Рё [3-6].
5. Флуктуации интенсивности. В § 27 уже было
отмечено, что однократно рассеянное поле распределено по гаус-
гауссову закону с нулевым средним значением. Для такого поля
функция корреляции интенсивности
выражается через квадрат модуля корреляционной функции поля
(см. задачу 12 к гл. I):
В¦iв„– = l*.WI'. (28-32)
Отсюда следует, что характерное время пульсаций интенсивно-
интенсивности несколько меньше (в 1,5—2 раза, в зависимости от вида
1|>в(т)), чем время корреляции самого сигнала v{l). Соответ-
Соответственно частотный спектр флуктуации интенсивности
*'(Q) = inr J 1*.Рњ !'В«""* = J &(fli)В«.(fli-a)<В«i (28.Р·Р·)
несколько шире, чем gv(Q).
§ 29. Рассеяние импульсных и модулированных сигналов
Рассеяние иемонохроматических волн обладает рядом инте-
интересных особенностей. Мы ограничимся частным, но важным
случаем квазимонохроматических сигналов, которые часто ис-
используются и в оптике, и в акустике, и в радиофизике. Пред-
Представив такой сигнал в виде произведения медленно меняющейся
¦(вообще говоря, комплексной) амплитуды Э1(<) на е-""'(несущая
частота ш), мы должны, очевидно записать сигнал на выходе
антенны аналогично формуле (25.46), выведенной для монохро-
монохроматической волны, но с заменой постоянной амплитуды А на
переменную амплитуду Ш (I — b'jc) с запаздывающим аргументом
(6' = |г'—гв| + |г—г'|). Если восстановить еще временной фак-
фактор е~ш, опущенный в (25.46), то для квазимонохроматического
сигнала получим
(29.1)
Для упрощения последующих выкладок введем безразмерную
амплитуду а(0 = Я(0/Яя, где Щп = п>ах|«(0|. а через Э> (г')
обозначим произведение неосциллирующих множителей, отли-
230 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛ� (ГЛ. IV
чающееся от (25.47) заменой А на %т. В этих обозначениях
(29.1) запишется в виде
S>(t')a(t —~^e"^'i(r')d^', (29.2)
откуда для временной функции корреляции следует выражение
ФД<1, U) =
51 (г') 5>* (г")а Г/, —?- jа* (<• —у-) е"« <*'-*">X
- РґР°
X*e(t, г'—T")d»r'cPr", (29.3)
где т=<!—f,. Для общности здесь учтена возможная зависи-
зависимость флуктуации е от времени, а именно введен временной
аргумент т в функцию корреляции tyt. Процесс v(t), конечно,
нестационарен, ife зависит порознь от tl и /,. Оценим интервал
корреляции о (0 в случае одиночного импульса (периодическая
последовательность импульсов рассмотрена в задаче 5).
Пусть а (0—прямоугольный импульс длительности Т (а (0—1
при |< |^7\'2 и равно нулю при |/|>71/2). Ясно, что при Т,
превышающем время корреляции неоднородностей те, время кор-
корреляции v (0 совпадает с те. В противоположном же предельном
случае 7"<^те время корреляции будет порядка Т, поскольку
произведение а(г^—6'/с)а*(/,—Ь"/с) обращается в нуль при
l'i~'il>^ Для любых значений г' и г".
Более детальный анализ выражения (29.3) возможен в пред-
предположении, что пространственная длина импульса сТ велика
по сравнению с радиусом корреляции неоднородностей 1е. В этом
случае можно выполнить интегрирование по разностному аргу-
аргументу р = г'— г", как это неоднократно делалось в предыдущих
параграфах. В результате
¦Д'.. <.) =
(^—|-) а* (/„-|-)фе(т, q)d»R, (29.4)
где fl = |r—R|+|R-ro|.
В отличие от случая^ монохроматической первичной волны,
средняя интенсивность /в = <|о|2> зависит теперь от времени:
МО = ¦.('. /)i=8"' J IJ»(/?)!•[«(< —f-) [*Ф« (0. q)#*. (29.5)
I J9l �МПУЛЬСНЫЕ � МОДУЛ�РОВАННЫЕ С�ГНАЛЫ 231
Величина /„ меньше, чем в случае монохроматического сигнала
той же амплитуды, поскольку под знаком интеграла появился
множитель |а|'^1. Этот множитель отличен от нуля внутри
эллипсоидального слоя, для внутренних точек которого имеем
|/—5/с|<Г/2, или в развернутой форме
(29.6)
фокусы ограничивающих слой эллипсоидов (рис. 31) совпадают
с точками наблюдения (г) и излучения (г„), а размеры эллипсо-
эллипсоидов с течением времени увеличиваются. Эллипсоидальный слой
(29.6) можно назвать им-
импульсным объемом. Область, /
принадлежащая в данный
момент одновременно им-
импульсному объему (29.6) и
эффективно рассеивающей
области V^, как раз и оп-
определяет величину интенсив-
интенсивности 7„.
Толщина импульсного
объема 6 наиболее просто Рис. 31.
выражается при обратном
рассеянии, когда г —г0 и эллипсоидальный слой (29.6) вырож-
вырождается в сферический. Как ясно из (29.6), б — сТ/2, т. е. толщи-
толщина импульсного объема равна половине пространственной длины
импульса. В общем случае выражения для б довольно сложны,
но для не очень длинных импульсов (гТ<<?|г—го|) толщина 6
определяется простой формулой [1J:
6 = cr/2sin(e/2), (29.7)
где 9—угол рассеяния (рис. 31). При рассеянии назад (9 —п)
из (29.7) получается прежний результат 6 = сГ/2. Отметим, что
эллипсоид 11 — В/с | = const расширяется со скоростью по нормали
»„ = с/2 sin (9/2).
Временной ход Iv{t) существенно зависит от соотношения
между толщиной импульсного объема б и поперечником рассеи-
рассеивающей области L. В случае длинного импульса (6^L или
Т ^ (2L/c) sin (9/2) происходит монотонное увеличение Iv(t), пока
весь рассеивающий объем не окажется внутри импульсного
объема (29.6). Время нарастания Iv(t) до максимального значе-
значения /шах по порядку величины равно Ljvn = (Ljc) 2sin (9/2). В те-
течение такого же времени происходит уменьшение Jv (l) до нуля
при выходе из рассеивающей области заднего фронта импуль-
импульсного объема. Между стадиями нарастания и убывания интен-
232 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
сивность Iv(t) постоянна и равна средней интенсивности моно-
монохроматического сигнала бесконечной длительности. Если
^5 (29.8)
т. е. времена нарастания и спадания малы по сравнению с дли-
длительностью сигнала Г, то рассеянный импульс практически без
искажений повторяет форму излученного импульса.
Неравенство (29.8) можно представить и в другом виде, если
ввести ширину полосы частот сигнала
Это условие ограничивает ширину полосы пропускания каналов
связи, использующих рассеяние. При передаче и приеме микро-
микроволновых сигналов при помощи остронаправленных антенн,
когда размеры рассеивающего объема атмосферы L порядка не-
нескольких десятков километров, полоса пропускания Дсо оказы-
оказывается достаточной для передачи телевизионных сигналов
(Д/ = Дш/2я~ 10е Гц).
В противоположном предельном случае 6<^L или
T<^(2L/c)sin(6/2) (короткий импульс) «время входа» импульса
в рассеивающую область, а также «время выхода» из нее имеют
порядок длительности импульса: 6lvn ~ Т. Время'же, в течение
которого импульсный объем находится внутри ^рассеивающей
области, приближенно равно Ljvn?a (2L/c)sin(0/2). Для короткого
импульса это время значительно превышает длительность сиг-
сигнала Т, т. е. короткий первичный импульс при рассеянии
существенно растягивается—в общем случае примерно
в (iLlcT) sin (8/2) раз, а при обратном рассеянии — в 2L/cT раз.
Следует отметить, что, несмотря на существенное растягивание
рассеянного сигнала по сравнению с первичным импульсом,
время корреляции по-прежнему остается величиной порядка Т.
Это вытекает как из изложенных выше общих соображений, так
и из выражения
(Р¦^)Рµ-*В« (С‚ = *1-*,), (29.10)
которое, как можно показать при помощи (29.4), связывает
в случае коротких импульсов функцию корреляции поля со
средней интенсивностью /„ и «коэффициентом корреляции»
I 36] РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�Т ПЫХ ПОЛ� 233
огибающей первичного импульса
(29.11)
�з (29.10) ясно, что в случае коротких импульсов рассеянное
поле представляет собой квазистационарный случайный процесс
с переменной дисперсией /„(<) и с коэффициентом корреляции
Як(т)е~1ШТ. Коэффициент корреляции огибающей /Си(т) обра-
обращается при г > Т в нуль, откуда и следует, что время корре-
корреляции рассеянного поля порядка Т.
§ 30. Рассеяние электромагнитных волн
При рассеянии электромагнитных волн (как и при рассеянии
поперечных упругих волн) возникают два новых эффекта, кото-
которые отсутствуют в скалярной задаче. Во-первых, рассеяние
сопровождается изменением поляризации волны, а во-вторых,
если речь идет об анизотропной среде, может происходить транс-
трансформация одних типов поляризации в другие. Мы рассмотрим
однократное рассеяние электромагнитных волн лишь в изотроп-
изотропной недиспергирующей среде, в которой могут распространяться
волны только одного типа, а именно поперечные электромаг-
электромагнитные волны.
1. Рассеяние монохроматических электромаг-
электромагнитных волн на покоящихся неодпороди остях
в изотропной среде. В этом случае уравнения .Максвелла
rotH--~, rotE = --!--^L (30.1)
Нужно решать совместно с материальным уравнением для изо-
изотропной недислергирующей среды
D = eE. (30.2)
Материальное уравнение (30.2) исключает из рассмотрения
не только рассеяние в анизотропных средах (об особенностях
такого рассеяния см., например, в [7]), но и рассеяние на
анизотропных флуктусщиях в изотропной среде (так называемые
флуктуации анизотропии). Такие флуктуации возникают, напри-
например, в вязких жидкостях из-за случайных поворотов молекул,
если последние оптически анизотропны (см. [8] и обзор [9]).
234 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я 6ОЛН 1ГЛ. IV
Пусть монохроматическая волна распространяется в среде
с постоянной средней диэлектрической проницаемостью вис по-
покоящимися неоднородностями:
Рµ =?-"-? (Рі), Рµ"= const, <С‘> = 0. (30.3)
Уравнения Максвелла принимают вид (/;, = <о;с)
rot Н • Ь ik,EE - — ifeoeE, rot E — ift.H = 0, (30.4)
а их решение может быть представлено при слабых флуктуациях
<(е)Ъ<^(е)а рядами теории возмущений
При этом первичное иоле Ео, Но удовлетворяет однородным
уравнениям
rotH0 ' ife0eE0 = 0, rotE0 — ifc0Ho = 0, (30.6)
а однократно рассеянное поле—неоднородным уравнениям
rot Hi-t-i&oeEi = — iftoeEo, rot E, — i'fe0Hl = 0. (30.7)
Уравнения для последующих приближений получаются из (30.7)
при последовательных заменах Е„—>EMtl, Н„- >Н„+1.
Рассеянные ноля Е, и Н, можно найти, используя известные
функции Грина, т. е. решение задачи о возбуждении электромаг-
электромагнитных волн точечным электрическим источником j, —1,6 (г—г').
В волновой зоне.т- е. при R ^\г—т' \^>^, элементарный источник
создает поля
н,Дг,г')4к1Л^* <30-8)
где п^= (г— r')/|r—r'|^=R,'#—единичный вектор, направленный
РёР· Рі' РІ Рі.
�спользуя (30.8), решение неоднородных уравнений (30.7)
можно представить в виде
СЃРѕ
I-JL f Ml 'В»"'"** '< 'Рќ TF
- Р§ (30.9)
Так как существенно новое по сравнению со скалярной задачей
касается только поляризации рассеянного поля, рассмотрим
; 301 РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�ТНЫХ ПОЛ� 235
простейший случай, когда точка наблюдения расположена в зоне
фраунгофера рассеивающего объема (r^W.1), а первичное поле
представляет собой плоскую волну:
E0(r)--AfXlk'T, k^fav-Jfe.yTn,. (30.10)
Здесь е—вектор поляризации первичной волны, вообще говоря —
комплексный. Будем считать его нормированным к единице
условием ее*—1. В силу поперечности волн, распространяю-
распространяющихся в изотропной среде, вектор поляризации е перпендикулярен
к направлению распространения п,-. Простой расчет с использо-
использованием разложений вида (25.11) дает для однократно рассеянных
полей Е, и Н, выражения
Р•, (Рі) = -^ Рљ, [en,J] j Рњ (Рі') Рµ (Рі') Рµ-В«
(30.11)
Н, (D =Щ?^ [п,ое] j М(т') Цт')е-Щ*г:
- ее
где п,„^= г/г —единичный вектор, направленный п точку г из
центра рассеивающей области, a qo = ?(n,o—п/0) — вектор рассе-
рассеяния, отвечающий центру этой области. Для упрощения записи
мы опустим ниже индекс 0 у векторов п10, п/0 и q0.
Легко видеть, что поля Ех и Нх отличаются от скалярного
поля
СЃРѕ
Рё, (Рі) = -^- J* Рњ (Рі') РІ (r')e-*# *Рі', (30.12)
— 30
вычисленного при тех же допущениях, только множителями:
EiM-forenJKtr), H1(r)=/F[nfe]ul(r). (30.13)
Следовательно, в приближении однократного рассеяния при де-
детерминированной поляризации е первичной волны любые средние
билинейные величины, составленные из компонент полей Е,
и Н„ могут быть выражены через функцию корреляции скаляр-
скалярного поля 1|>,(г„ ra) = <u,(r1)uj(r2)>. Если же поляризация пер-
первичного поля случайна, то усреднения по направлениям е и по
ансамблю неоднородностей е производятся раздельно в силу ста-
статистической независимости этих величин. �ными словами, и при
случайной поляризации первичной волны средние от билинейных
комбинаций компонент Ej и Н, можно выразить через яр„ или /,.
Рассмотрим примеры.
236 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
2. Средний вектор Пойнтинга и эффективный
поперечник рассеяния. Среди билинейных комбинаций,
составленных из компонент Е, и Н,, важную роль играет вектор
Пойнтинга
Учитывая, что Hj = y е [n,Ej], и используя выражение (25.34)
для /t — <|ttj|s>, находим
(30.15)
Заметим, что в отличие от исходных формул (30.11), это выра-
выражение применимо не только в зоне Фраунгофера r*^>kL%, но и
на гораздо меньших расстояниях r%>rmi. = min{L, LlJ\\
(СЃРј. (25.38)).
Введем, как и в § 26, эффективный поперечник рассеяния
единицы объема в единичный телесный угол а -= \F1 \ г*11 &„1V, где
||У0| = су g | А |*/8я—модуль плотности потока энергии первич-
первичной волны. При помощи (30.15) находим
'^? к = V у А!Ф»(Ч), (30.16)
где аск — «скалярный» поперечник рассеяния (26.12). Множитель
V = |[n,[en,]]|' = |e-n,(ens)r-l-(n,e)* (30.17)
связан с особенностями рассеяния электромагнитных волн по
сравнению со скалярной задачей и может быть назван поляриза-
поляризационным. Вычислим у для некоторых частных случаев.
Для линейно поляризованной первичной волны е—вещественный
единичный вектор. Если % — угол между е и ns (рис. 32), то
Y=sin3x- Таким образом, для линейно поляризованной первичной
волны
Рѕ = 0^ sin'С…- (30.18)
Множитель sin'x обращается в нуль в направлениях, коллинеар-
ных с е, что связано с дипольным характером рассеяния электро-
электромагнитных волн в каждом элементе рассеивающего объема.
Произвольную эллиптически поляризованную волну можно пред-
представить, как известно, в виде суммы двух линейно поляризованных
колебаний, сдвинутых по фазе на л/2. Пусть большая ось эл-
В»301
РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�ТНЫХ ВОЛН
237
лнпса поляризации направлена вдоль орта et, а малая—вдоль
орта е,. Векторы е, и е, ортогональны к направлению распро-
распространения л,., так что е,, е, и п,- образуют ортогональную связку.
При эллиптической поляризации
(30.19)
где р, и р,—вещественные коэффициенты, удовлетворяющие, в
силу принятой нами нормировки ее*=1, условию р*4р»=1.
Р РёСЃ. 33.
Поляризационный множитель 7 для волн эллиптической поля-
поляризации равен
7=1—Р? (ПА)1-/* ("А)' = 1 -Р! cos'xi—P3 «*«*.. (30.20)
где Xi и Xt — углы между Еектором л^ и ортами е, ие2 (рис. 33).
Подставляя (30.20) в (30.16) и учитывая, что р!+р|=1, по-
получаем
о = (р» sin» xi + Pi sin'x,) «»„¦ (30.21)
В отличие от линейно поляризованной первичной волны,
сечение (30.21) никогда не сбргщается в нуль, потому что
sin'xi и sinsx, не мсгут обратиться в нуль одновременно.
�з (30.13) следует, что в направлениях n, = ±ei и п^ = ±еа
рассеянное поле поляризованно линейно—в силу уже отмечен-
отмеченного дипольного характера рассеяния. В других направлениях
рассеянное поле поляризовано по эллипсу. Параметры эллипса
поляризации могут быть найдены из выражений (30.13), если в
них подставить (30.19).
В частном случае_ круговой поляризации полны, когда
р,= 1/V2, р,= ±1/1^2 (плюс отвечает правой, а минус—левой
поляризации), находим из (30.20)
1 - V, [
,Рµ,)'] =1-V, (cosВ« Xj + cosВ»Xl).
238 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
В силу взаимной ортогональности векторов е^, е, и п, имеем
cos1x14-cos'xj+cos*9= 1, так что для волн„ поляризованных по
РєСЂСѓРіСѓ,
у = 1— 4,(1— cos«e) = »/2(l+cos»e). (30.22)
Таким образом, у зависит здесь только от угла рассеяния в,
т. с. имеет азимутальную симметрию.
Если в точке наблюдения г измеряется интенсивность рассе-
рассеянных волн какой-либо одной поляризации, то плотность потока
энергии будет, очевидно, меньше плотности полного по-
потока (30.15) и, соответственно, уменьшится величина эффектив-
эффективного сечения рассеяния ст.
Пусть измеряется поток энергии, переносимой компонентой
EN=(№,), где N —единичный и, вообще говоря, комплексный
вектор, перпендикулярный к направлению рассеяния п,: (Nn,) — 0.
Вектор N описывает поляризационные характеристики приемной
антенны в случае радиоволн или анализатора в случае световых
волн. �з (30.13) следует, что
?д, = (NEI) = (N [и, [«,]]) в„
так что роль поляризационного множителя у играет теперь
величина
Г*= / (N [п, [en,]]) |*=|(Ne)-(NnJ (en,) [«= | (Ne) [••
Нетрудно убедиться в том, что yv — y, если поляризационные
характеристики приемной антенны «согласованы» с поляризацией
рассеянного излучения, т. е. антенна принимает волну (30.13).
В остальных случаях ул. < у.
3. Рассеяние неполяризованного (естествен-
(естественного) света. С небольшими изменениями полученные резуль-
результаты переносятся и на частично поляризованные поля (ч. I, § 49),
когда компоненты первичного поля Е„ случайны. Усреднение по
этим величинам можно проводить, как уже было отмечено, не-
независимо от усреднения по реализациям флуктуации е. Рассмот-
Рассмотрим простой, но важный случай неполяризоеанной волны.
Разложим напряженность электрического поля первичной вол-
волны на ортогональные компоненты по ортам е, и е,:
В случае нсполяризованной волны амплитуды Л, и А, статисти-
статистически независимы, имеют нулевые средние значения и одинако-
одинаковые дисперсии:
>, (30.23)
где I-EdI'^-^jIM-I Л,'|2—полная интенсивность.
I 30) РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�ТНЫХ ВОЛН 239
Сечение рассеяния неполяризованной волны можно найти из
следующих простых соображений. Если бы первичная волна била
линейно поляризована вдоль орта ех, то, согласно (30.21), сечение
рассеяния равнялось бы a—a1^oBtsiti'y[il даже при флуктуирую-
флуктуирующей амплитуде А1. При линейной же поляризации вдоль е, мы
имели бы <j = aj=scrci(sin2x2. Поскольку в неполяризованной волне
поток энергии делится поровну между двумя ортогональными
компонентами, полное сечение рассеяния должно быть равно
полусумме ох и а2:
a«i = 7, (а, +о,) = 7, (sin2 х, + sin» Xf) <*«•
Но коэффициент при аск здесь такой же, как и в случае рас-
рассеяния волны с круговой поляризацией, и, следовательно, он
равен (l+cos26)/2 (см. (30.22)). Таким образом,
В«rВ«T-iВ±^-В°ae. (30.24)
Множитель g (9) — (1 - Ь cos2 9)/2 называют релеевской индикатрисой
рассеяния. Уменьшение g(0) до значения V, при в=± я/2 объя-
объясняется тем, что в этом направлении вклад в рассеянное поле
дает только одна компонента первичной волны, т. е. рассеянное
поле оказывается линейно поляризованным.
Выражение для степени поляризации Р(9) рассеянного поля
можно получить по формуле (49.18) из ч. I:
СЂ=/'-S- <30-25>
где Jo» = <ЕаЕ1> — элементы поляризационной матрицы в пло-
плоскости, перпендикулярной к направлению распространения. Про-
Простые вычисления дают принадлежащее Релею выражение
�з (30.26) видно, что Р — 0 при 0 — 0 или я, т. е. поле Е,
сохраняет естественную поляризацию при' рассеянии вперед и
назад. При рассеянии под прямым углом (0— ± я/2) степень по-
поляризации равна единице, а в других направлениях рассеянное
поле поляризовано частично (0 < Р < 1).
4. Частотны й спектр рассеянного поля. Некоге-
рентнос рассеяние электромагнитных волн в
изотропной плазме. При неоднородностях к, зависящих от
времени, отличия рассеяния электромагнитных волн от анало-
аналогичной скалярной задачи тоже могут быть учтены введением в
результаты скалярной теории поляризационного множителя у —
— I— (nse)a. Так, например, в отсутствие регулярного дрейфа
240 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
неоднородностей и при г ^> гга]п частотный спектр рассеянного
поля
^ 1 (30.27)
в случае сферической первичной волны может быть получен ум-
умножением спектра (28.10) на у:
^G.fo-a, q), (30.28)
где Ge((o, x)—сох-плотность флуктуации диэлектрической про-
проницаемости.
Применим формулу (30.28) к так называемому некогерентно'
му рассеянию электромагнитных волн в плазме. Первоначально
предполагалось, что рассеяние волн в плазме происходит на сво-
свободных электронах, находящихся в тепловом движении, благо-
благодаря чему интенсивности полей, рассеянных отдельными элек-
электронами, складываются некогерентно (отсюда и возник термин
«некогерентное рассеяние»). В дальнейшем выяснилось, однако,
что существенную роль в этом явлении играют коллективные
процессы '). Мы ограничимся вычислением интенсивности высоко-
высокочастотного ноля, рассеянного в изотропной плазме, опираясь
на макроскопическую теорию тепловых флуктуации (гл. III).
В § 31 мы вернемся к рассмотрению некогерентного рассеяния
в рамках теории рассеяния на отдельных частицах.
В макроскопической электродинамике свойства изотропной
холодной плазмы описываются на высоких частотах (<о^>ш,)
диэлектрической проницаемостью
где е, т и N—соответственно заряд, масса и концентрация элек-
электронов. Таким образом,
- _4СЏ^ ; = Рµ_РІ= _В«*!?, (Р·Рѕ.29)
откуда следует связь между (ox-плотностями ё и N:
•) Возможность наблюдать некогерентное рассеяние радиоволн в ионо-
ионосферной плазме была указана У. Е. Гордоном в 1958 г., а первые наблюде-
наблюдения этого явления осуществил в том же году К- Л. Боулс (см. [10]). Анали-
Анализу коллективных процессов в плазме посвящены многие работы (см., напри-
например, [11]).
§81] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 241
Подставляя это выражение для G8 в формулу (30.28), получаем
-a), q), (30.31)
где ге — е*/тсг—классический радиус электрона. Спектр флук-
флуктуации электронной концентрации GN, как было показано в за-
задаче 7 гл. III, пропорционален температуре Т и средней кон-
концентрации электронов N. Таким образом, спектр рассеянного
поля gE пропорционален полному числу электронов /VE =NV, на-
находящихся в объеме V.
�з (30.31) следует, что спектр рассеянного поля gE сосредо-
сосредоточен в окрестности частоты первичной волны ш, а его форма
полностью определяется видом спектра флуктуации GN{s>, х).
Поэтому частотный спектр рассеянного сигнала gF(Q) позволяет
судить о свойствах и состоянии плазмы. Основанный на этом
метод диагностики широко применяется для анализа не только
ионосферной, но и лабораторной плазмы («метод некогерентного
рассеяния»).
§ 31. Рассеяние на дискретных вкраплениях
1. Поле, рассеянное отдельной частицей. Наря-
Наряду с рассеянием на объемных неоднородностях, большой инте-
интерес представляет и рассеяние на совокупности большого числа
тел (частиц, вкраплений и т. д.), случайно расположенных и
(или) случайно ориентированных в пространстве. Это очень об-
общая задача, имеющая широкие приложения во многих областях
физики.
Строго говоря, проблема рассеяния на системе многих тел
относится к статистической схеме 3) (§ 8). Но если дискрет-
дискретные рассеиватели имеют сравнительно небольшие размеры и рас-
йоложены достаточно редко, то дифракционная задача может быть
решена в приближении однократного рассеяния, которое основа-
основано на допущении, что каждое вкрапление рассеивает падающую
волну так, как если бы других вкраплений не было.
Приближение однократного рассеяния сводит задачу для ди-
дискретных рассеивателей, как и в случае непрерывных неодно-
родностей, к схеме 1), т. е. к излучению полей случайными источ-
источниками. В данном случае речь идет о совокупности дискретных
�сточников, статистика которых задана статистикой положений
(и ориентации) рассеивателей. Как мы увидим, «внешние» зако-
закономерности однократного рассеяния на- дискретных вкраплениях
;й на непрерывных неоднородностях среды (пространственная кор-
корреляция, частотный спектр и т. д.) во многом сходны.
1 Рассмотрим и здесь упрощенную постановку задачи, а имен-
ito рассеяние монохроматической волны на совокупности непод-
242 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССКЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
вижных частиц, размеры которых малы по сравнению с длиной
волны, причем точка наблюдения находится в зоне Фраунгофера
объема V, занятого частицами.
Для малых частиц рассеянное поле можно рассчитывать в
диполыюм приближении. Пусть р — электрический дипдльный
момент частицы, возникающий под действием электрического
поля Е:
p = iE, (31.1)
где а—тензор поляризуемости частицы. Для частиц, малых по
сравнению с длиной волны, а можно вычислить, считая иоле Е
статистически однородным. Сводка формул для некоторых сим-
симметричных тел приведена, например, в монографии [12], посвя-
посвященной рассеянию волн на малых частицах.
Для сферических частиц из изотропного материала, а также
для частиц произвольной формы, но с диэлектрической проница-
проницаемостью, близкой к единице, поляризуемостью является скаляром:
р^аЕ. (31.2)
В качестве электрического поля в формуле (31.2) следует
брать так называемое действующее поле Ед, которое отличается
от ноля первичной волны Е„ тем, что включает также совокуп-
совокупное поле соседних рассеивателей. В приближении однократного
рассеяния (борновское приближение) Ед практически не отли-
отличается от поля первичной волны Ео, которое для простоты мы
будем считать полем плоской волны Е„— Аее'к'Т'ш. Тогда
р-аЕд« яЕ0 = аЛее""г'-'ш', (31.3)
где г' —радиус-вектор частицы, а е —вектор поляризации пер-
первичной полны.
Волновое поле, излучаемое в вакууме отдельным диполем с
моментом (31.3), может быть рассчитано по формуле (30.8), если
подставить туда —/сор вместо \± (множитель е~ш, как обычно,
опускаем):
l'kRtk'} (31.4)
Здесь R = \r — г'|, n's — (г — г')/|г — г'| — единичный вектор, нап-
направленный из точки г' в точку наблюдения г. Магнитное поле
рассеянной волны в волновой зоне дается выражением
H^KE.bKeJfe^""^'1'^. (31.5)
2. Среднее значение однократно рассеянного
поля. Пусть в объеме V находятся /V одинаковых частиц с цент-
центрами в точках г' — rm (m=l, 2 N). В приближении одно-
f 31] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 243
кратного рассеяния поле в точке наблюдения г представляет со-
собой сумму полей, рассеянных отдельными частицами:
*^, (31.6)
где Rm^\r— гт\, a nm=-(r — г„)/|г—г„| — единичный вектор, на-
направленный от т-й частицы в точку наблюдения г. При учете
двукратного рассеяния в качестве Ед надо взять сумму первич-
первичного поля Е„ и однократно рассеянного ноля (31.6) и т. д.
Заметим, что при учете двукратного рассеяния пренебреже-
пренебрежение в действующем поле Ед квазистационарным полем индуци-
индуцированных диполей, ближайших к точке г, т. е. пренебрежение
полем Екв~<хЕ0/|г—г'\" по сравнению с Е„, налагает опреде-
определенное ограничение на среднее расстояние между частицами р. �з
условия ЕКВ<^ЕО следует неравенство в/р»<^1, или поскольку
лр'»1, где га—средняя концентрация частиц, неравенство
ла<1. (31.7)
При выполнении этого условия возможно как р > Я, так и р~< )..
Облако частиц, удовлетворяющее нераиенстну (31.7), можно наз-
назвать разреженным (конечно, в электродинамическом смысле),
в отличие от конденсированной среды, в которой na.'S'X.
Поместим начало координат в центр рассеивающего объема
V ~ L', заполненного частицами. Для точек наблюдения г, вы-
вынесенных в зону Фраунгсфера сбъема V (r^>kL2), межно исполь-
использовать разложение (25.11):
подставив которое в (31.6), получим
N
Ег=8, X, е-""-"1, (31.8)
С‚= 1
где q = fciij — kl — k(ns — n;) — вектор рассеяния, а
Ъ^кЦп^еп^аА— (31.8а)
— поле, рассеянное одной частицей, помещенной в начале коор-
координат, т. с. в центр области V.
Для нахождения статистических моментов однократно рас-
рассеянного поля нужно задаться законом распределения случай-
случайных координат гда = (хя, ут, гт), а если частицы движутся, то и
244 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
законом распределения скоростей ут = (v,,x, vmy, vKZ). Для рас-
расчета среднего значения и функции корреляции рассеянного по-
поля необходимы только одночастичная (а>,) и бинарная (ш,) плот-
плотности вероятностей. Примем, что все частицы и все их пары
равноправны, т. е. функции 01,(0 и а>г(гт, г,) не зависят от
индексов переменных г„ и г,.
Усредняя (31.8) по положению частиц гя, получаем среднее
поле, рассеянное N частицами:
n
Ё,О0 -=&i( L e'iVm) = 8^ Ce-'"?»l(r)d»r= 8^/Лч), (31.9)
m = l Сѓ
РіРґРµ
^'4ra'i (Рі)*В»1 (31-10)
— характеристическая функция одночастичного распределе-
распределения tt.'j(r). _
�нтенсивность среднего поля |Е,|а, т. е. когерентная состав-
составляющая интенсивности, равна
/.„r = |EJ» = |81|«W|/,(q)l>- (31.11)
Когерентная составляющая отличается от интенсивности |ei|J по-
поля, рассеянного одной частицей, множителем N*\fl(q)\l, т. е.
/ког пропорциональна квадрату числа частиц. Величину N \ fL (q) |
можно назвать эффективным числом когерентно рассеивающих
частиц:
При рассеянии вперед (6 = 0, 9 = 0), когда f1 (q) = /t (0) = 1, коге-
когерентно излучают все частицы (NXOI = N) и при этом
(!,)„„ = (ЛГ8Х. = Nklta^-e'1". (31.13)
При рассеянии под углом ЛГК()Г резко падает, поскольку харак-
характеристическая функция /\ (q) сравнима с единицей только при
q^.2n/L или, что то же, при углах рассеяния, лежащих внутри
конуса в^Х//.<^1 (оценки скорости убывания Л^ог с ростом в
даны в задаче 7).
3. Средняя интенсивность. Согласно (31.8) средняя
интенсивность однократно рассеянного поля 7t = <|Ei|1> равна
^-=16, Рљ 2 В«-"Р§'В»-">). (31.14)
I Si] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 245
Выделим из двойной суммы, содержащей Л" членов, Af слагае-
слагаемых cm — /, каждое из которых равно единице, а остальные
N'—N слагаемых с тФ1 усредним при помощи бинарной плот-
плотности вероятностей ад,. В результате получим
]. (31-15)
РіРґРµ
Mfli- qs) —бинарная характеристическая функция. Фактически
f,(q) — это характеристическая функция распределения относи-
относительных координат. В самом деле, если заменить в (31.16)
да, (г', г") d»r' d'r'на W% (p, R) d'pd'R, где р = г' — г", R = (г' + г")/2,
и выделить интегрирование по R, то
Вычитая из (31.15) интенсивность когерентной составляющей
поля (31.11), получаем среднюю интенсивность некогерентного
рассеяния
3« = Л-/„г = < \Е.f>-\Es |« =
?)-|/1(q)|i]J. (31.17)
Если положения частиц статистически независимы, т. е.
tti,(r', r") = K)j(r')Wi(r"), то /3(Ч)—lfi(4)l' = 0 и второе слага-
слагаемое в (31.17), пропорциональное Л'"—Л^, обращается в
нуль. Следовательно, слагаемое, пропорциональное N*—N,
описывает рассеяние на частицах, положения которых кор-
реяированы между собой, и его можно рассматривать как
характеристику коллективных эффектов при рассеянии:
ТШЧЛй)!»]. (31-18)
Первое же слагаемое в (31.17) описывает рассеяние на незави-
независимых частицах:
В¦ (31-19)
Так как ^ (0) = f, (0) = 1, при рассеянии вперед (9 = 0) оба сла-
слагаемых в (31.17) обращаются в нуль, Гтжат(0)=*0. Но это имеет
место только в приближении однократного рассеяния. Можно пока-
показать, что уже при учете двукратного рассеяния 7atKIH(0) Ф 0.
�сключив из рассмотрения рассеяние вперед, т. е. в узкий
конус с раствором 9^:ХД-> можно пренебречь в формуле (31.19)
246 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. IV
слагаемым | Л (ч) |а <^~ 1 (см- задачу 7), что дает
/„„«IS.PJV, (31.20)
т. е. сумму интенсивностей волн, рассеиваемых независимыми
частицами. Если, как чаще всего бывает в приложениях теории,
N^>\, то в (31.18) можно пренебречь N по сравнению с Л?а, и
тогда
Асол « I Sx Is Л^ [?2 (q) —| Л (q) |31 ^ | gj3 Л^ v (q). (31.21)
Представив бинарную функцию распределения w3 в виде.
r', r")], (31.22)
можно связать разность v = /a — |/j|a с величиной ц, которая об-
обращается в нуль для частиц с независимыми координатами
Рі' Рё Рі":
v (q) .= Г f [w, (г', г") —ш, (г') wl (r")J е-'" <''->"№/•' d*r" =
= I J ш, (г') а»! (г") |г (г', г") е-'ч <''-¦"№/•' d3/-'. (31.23)
Если радиус корреляции Zw, т. е. характерный масштаб из-
изменения [I по разностной переменной р = г' — г", мал по сравнению
с поперечником облака L (одновременно L является масштабом
изменения wr{j) и [г по аргументу R = (г' -)- г")/2), то в пределах
сферы р = |г'—г"|^/ц произведение w1(t')w1(t") можно прибли-
приближенно заменить на k{(R), после чего в (31.23) можно выпол-
выполнить интегрирование по р. Это дает
(31.24)
РіРґРµ
— преобразование Фурье ц(р, R) по аргументу р. Таким образом,
(31.26)
4. Средний вектор Пойнтинга. Эффективный
поперечник рассеяния. Поскольку в зоне Фраунгофера
'« = ж Ке[Е.нЯ = -йгп'1Е«11 = ¦?•"''•• <ЗК27)
для среднего значения вектора Пойнтинга <S%eKOI., отвечающего
флуктуационной (некогерентной) компоненте поля, имеем
«^вевог = J^ nf Л,еког = ^ ns ( Л.ез + Л.о») • (31.28)
i 31] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 247
Обозначим через а, поперечник рассеяния отдельной частицы
в единичный телесный угол. Согласно (31.8а)
—вектор Пойнтинга первичного поля, «
поток энергии поля (31.4), рассеянного одной частицей, а 7 —
поляризационный множитель (30.17). Подставляя в (31.28) вы-
выражения (31.20) и (31.26) и учитывая (31.29), получаем для
суммарного поперечника рассеяния cN системы N частиц в еди-
единичный телесный угол выражение
] (31.30)
Вводя среднюю концентрацию частиц
n(r) = A%,(r) (31.31)
и учитывая, что Л/= J га (г) dV, можно представить выражение
(31.30) РІ РІРёРґРµ
<JN = lo1 [п+8л»(п)аФ„ (q, R)] d*R; (31.32)
при этом подынтегральное выражение интерпретируется как се-
сечение рассеяния единичного объема:
<* = РЎРЅВ« + 0РєРѕРґ. (31.33)
где первое слагаемое
аиез =<tyl (31 .34)
отвечает рассеянию в пренебрежении корреляцией между поло-
положениями частиц, а второе слагаемое
^„„^•в�^ЧЛЯ. R) (31.35)
— рассеянию с учетом попарной корреляции положений частиц.
В зависимости от конкретных условий соотношение между
этими слагаемыми может меняться в широких пределах. Ясно,
например, что при малой средней концентрации п преобладает
слагаемое <т„„, а с ростом я—слагаемое <гкол; при этом оказы-
оказывается, что рассеяние на системе частиц с коррелированными
положениями может быть описано как рассеяние на макроско-
макроскопических (объемных) неоднородностях (см. ниже, раздел 5). При
рассеянии электромагнитных волн в квазинейтральной плазме
248 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
коллективное рассеяние и рассеяние на независимых частицах
могут быть сравнимы по величине.
5. Переход к сплошной среде. При макроскопическом
рассмотрении диэлектрическая проницаемость разреженного
(в смысле неравенства (31.7)) облака частиц равна
(31.36)
где а — поляризуемость частицы, а п — макроскопическая концен-
концентрация частиц, являющаяся, вообще говоря, случайной величи-
величиной. Тем самым,
е--е-|-в, е—1+4лпа, i — inna. (31.37)
Постараемся установить, каковы те статистические характе-
характеристики е (или п), при которых макроскопическое описание рас-
рассеяния, т. е. описание на языке флуктуации е, дает те же ре-
результаты, что и микроскопическое рассмотрение. Говоря о ста-
статистических характеристиках е, мы будем иметь в виду только
моменты е и <fe.
В силу (31.31) в качестве среднего значения е(г) следует,
очевидно, взять
С‘ ) = 1-; 4СЏСЃС€(Рі). (31.38)
Среднее поле, рассчитанное при помощи (31.38) в борновском
приближении для зоны Фраунгофера, совпадает с (31.9).-
Для нахождения i|>e отождествим сечение (31.33), вычислен-
вычисленное для системы частиц, с сечением (30.16), описывающим рас-
рассеяние на непрерывных объемных неоднородностях. Приравнивая
эти два выражения, учитывая (31.29) и сокращая на ynkl/2,
получаем
| ^ll(q, R). (31.39)
Корреляционная функция i})e (p, R) получается отсюда преобра-
преобразованием Фурье по q:
iMp, R)-$<P.(q, R)exp(iqp)dВ»? =
=-|- па* С ехр (iqp) d'q + (4пап)г Г Фйехр (tqp) d'q.
�нтеграл в первом слагаемом правой части равен 8л'6 (р), а ин-
интеграл во втором члене, согласно (31.25), равен ц(р, R):
p, R)J. (31.40)
Учитывая, что e = 4nna, получаем из (31.40) корреляционную
функцию концентрации частиц:
) (31.41)
S 31] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 249
Первые слагаемые в (31.40) и в (31.41) связаны с дискрет-
дискретностью рассеивателей. Дельта-функция S (р) появляется в ре-
результате замены реальных частиц точечными диполями. При
конечных размерах частиц вместо б (р) появилась бы дельтооб-
дельтообразная функция, спадающая практически до нуля на расстояниях
порядка размера частиц. Второе слагаемое, обусловленное кор-
корреляцией положений, напротив, описывает особенности рассеяния
на коллективе частиц. При достаточно большой концентрации
частиц п3) это слагаемое становится основным, и тогда можно
рассматривать рассеяние на системе частиц с коррелированными
положениями как рассеяние на объемных макроскопических
неоднородностях сплошной среды с корреляционной функцией
^е = (Апап)% ц (р, R).
Условие, при котором можно при любых умах рассеяния
пренебречь «дискретным» слагаемым а�еъ по сравнению с членом
Ъх0„ имеет вид
8л»л (OUni^l, (31.42)
где (Фц)т|„ — минимальное (по q) значение спектра. При выпол-
выполнении же неравенства 8п'п (Фц)ша% <^ I можно пренебречь кол-
коллективными эффектами. Если ни одно из этих неравенств не
выполняется во всем диапазоне изменения угла рассеяния
0 < 9 < п, то надо пользоваться либо полным сечением (31.33),
либо, определив из условия 8л3пФц~1 граничный угол 8гр, поль-
пользоваться различными предельными формулами при в > 9гр и
РІ < РІРіСЂ.
6. О некогереитпом рассеянии в плазме. Этот
вопрос мы уже затрагивали в § 30. Здесь мы рассмотрим рас-
рассеяние на свободных электронах в плазме под другим углом
зрения, а именно как пример явления, в котором, в силу осо-
особенностей парной корреляции, коллективное рассеяние оказы-
оказывается пропорциональным не второй, а первой степени концен-
концентрации электронов Nt.
Двумерная нлагность вероятностей w2(Tlt г,) в случае плазмы,
находящейся в равновесии при температуре 7", выражается рас-
распределением Больцмана:
r,) = const-exp j~_"В»frj-r.)j _
где & = кТ—температура, выраженная в энергетических едини-
единицах, a Ult(t1, T,) — Ult(rl—г,)—эффективная потенциальная
1) Совместимой, однако, с условней 4лла<^ 1, при котором можно не учи-
учитывать вклада кваэистяционарного поля. Учет Л*кп припел бы к формуле
Лорентца — Лиренца |13].
ю,(Гг
250 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
энергия электрона, находящегося в точке г2, в поле другого
электрона, расположенного в точке г,.
Предположим, что частицы равномерно заполняют большой
объем V, так что ви, (г) = const = 1/К, и рассмотрим случай, когда
энергия взаимодействия двух электронов Uia мала по сравнению
с энергией теплового движения & = кТ. Тогда приближенно
двумерная плотность будет равна
К (г.. r,)«jji(l—^). (31.43)
Сравнивая (31.43) с формулой (31.23), в которой нужно поло-
положить wl=\/V, получаем для функции ц, характеризующей кор-
корреляцию положений электронов, приближенное выражение
В случае изотропной плазмы ?/и = еф1г, где tp12—дебаевский
потенциал, отличающийся от кулоновского потенциала е/\т1—гг|
экспоненциальным множителем ехр {— |г, — г, \/d\, где d =
= (в/8лег^г)'/1—дебаевский радиус (радиус экранирования)
[14], a Ne—средняя концентрация электронов. Таким образом,
Преобразование Фурье эгой функции, равное
O(q)
обратно пропорционально концентрации N,., так что для попе-
поперечника коллективного рассеяния по формуле (31.35) находим
(31.44)
В результате суммарный поперечник рассеяния (31.33) оказы-
оказывается равным _
или, учитывая, что поперечник рассеяния отдельной частицы
01=7ftjaa в случае электрона равен уг1 = уе'/т*с*,
(31-45)
В предельном случае коротких волн (qd^>\) из (31.45) сле-
следует, что _
(31.46)
ЗАДАЧ� 251
Таким образом, суммарный эффект при рассеянии коротких волн
на тепловых флуктуациях электронной концентрации оказывается
таким же, как при рассеянии на N свободных электронах. Это
связано с независимым характером движения электронов в пре-
пределах области h.r~\lq<-^d, целиком лежащей внутри сферы де-
баевского радиуса d.
В противоположном случае, когда длина волны \q=2njq
много больше дебаевского радиуса, движение электронов уже
нельзя считать независимым от движения ионов. В этом случае
сечение рассеяния будет
, (31.47)
т. е. вдвое меньше, чем в (31.46).
Задачи
1. Показать, что полный поперечник рассеяния единичного объема а в
случае мелкомасштабных флуктуации (*'е<й1) равен
j (I)
а в случае крупномасштабных флуктуации (А/е^>1) —
ао = 2/«л*; J Фе(К1, х,, 0)<ue,rfxa = V4*5 J Фе(°- 0, р3) ф,. (2)
Решение. Формула (1) сразу же следует из определения (26.13), так
как при kl <§ 1
В случае же А/е^> 1 надо учесть, что существенный вклад в (26.13) дают
только малые углы рассеяния в^1/*(,-^1. Вводя переменные интегрирова-
интегрирования Xi = ?6cos(p, и2 = *в5тф и учитывая, что при малых углах рассеяния
®e(q) я Ф?(х11 х2, 0) и do — sin6dBdip ~-p- dxidx^, получаем формулу (2).
2. Оценить полный поперечник рассеяния о0 световых волн в случае тур-
турбулентных флуктуации со спектральной плотностью Фв(х)=»#С| (ч2+»<2)-"/«1
не имеющей особенности при х—>-0 (х0 = 2я/10 — волновое число, отвечающее
внешнему масштабу турбулентности ?0).
Решение. В оптическом диапазоне длина волны X мала по сравнению
с внутренним масштабом турбулентности (0. Поэтому для расчета о, можно
воспользоваться формулой (2) предыдущей задачи, что дает (при Л = 0,033)
Р°0 = s/5 Р»*РєРљ4РЎРЄСѓ-''-
252
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
1ГЛ. IV
где R — |г — г'|, Я* = |г — г'*|, а г'* —радиус-вектор зеркально отраженного
источника г', так что г'* —{*', ?/', —г'}.
Подставляя «о и G в формулу (24.П) и используя разложения типа
(25.12), находим, что в зоне Фраунгофера
(Рћ
Отдельные слагаемые в (1) отвечают четырем возможным видам рассеяния,
схематически показанным на рис. 35. Соответствующие векторы рассеяния
равны
q, = fc(n—m), q2 — к(п — m*), qs — A (n*—m), q4 — k{n* — m*),
где через n* обозначен вектор, «зеркальный» по отношению к единичному
вектору л —г/г, направленному из центра рассеивающего объема в точку
наблюдения (nz =—лг)-
Выражение для средней интенсивности 1\ — <| и.\ |г>, вычисляемое при по-
помощи (1), содержит 16 слагаемых, но существенную роль играют только
четыре из них [15]:
(2)
рис 34 гДе m —единичная нормаль к фазовому фронту отра-
отраженной волны ("tj——mzy Функция же Грина для
абсолютно жесткой поверхности равна
шириной диаграммы излучающей антенны у (рис. 34).
Решение. Главный лепесток диаграммы выреза-
вырезает участок слоя с поперечными размерами L — гу. По
формуле (27.3) имеем /х ~ ?,/у. Но у ~ )./d, где d —
размер антенны. Поэтому I^ ~ й, т. е. при ' обратном
рассеянии полеречный радикс корреляции поля порядка
диаметра антенны d.
4. На рассеивающий объем V, расположенный вбли-
вблизи идеально отражающей плоскости г = 0, падает плос-
плоская волна Ле''*шг. Найти среднюю интенсивность рас-
рассеянного поля в зоне Фраунгофера, предполагая, что
поверхность z = 0 абсолютно жесткая, так что гранич-
РґРё
ное условие имеет вид -^ггг = 0.
ON 7=0
Решен и е. Полное первичное поле, удовлетворяю-
удовлетворяющее граничному условию, имеет вид и0 — Л(е1'|<™'_|_ с''"п*г),
В приземном слое атмосферы при Я = 510-' см, L$~ 1 м и С\— 10-" см"*¦''¦
для длины экстннкции d,— l/o0 получаем оценку ds~20 м. Это означает, что
в задачах распространения света в приземном слое атмосферы применимость
борновского приближения ограничена дистанциями такого порядка.
3. Оценить, пользуясь (27.3), поперечный радиус корреляции поля при
обратном рассеянии, считая, что размеры рассеивающего объема L ограничены
Задачи
253
Остальными 'менами можно пренебречь (их нужно учитывать только при
mz • > О или пг —»0, т. е. при малых углах скольжения лерзнчной или рас-
рассеянной волн). В случае крупномасштабных неоднородностей существенный
вклад п (2) дают только слагаемые с q = q, и Q — q3, которые отвечают, как
это видно из рис. 35, рассеянию на малые углы.
Р РёСЃ. 35.
5. Найти функцию корреляции рассеянного поля, если первичное излуче-
излучение представляет собой периодическую последовательность коротких иинуль-
сов, повторяющихся с периодом 7"„.
Решение. В случае покоящихся неодиородностей рассеянный сигнал
в момент 1+Тп был бы в точности таких же, как и в момент (, и мы имели
бы периодическую no t — i^—tt корреляционную функцию, составленную из
слагаемых вида (29.10):
где К а (0— коэффициент корреляции огибающей отдельного импульса (29.11).
При рассеянии же на неодиородностях ё = ё(/, г), меняющихся во вре-
времени, корреляция сигналов в моменты времени ; и 1~-Т„ будет неполной,
потому что за время Г„ рассеивающая среда изменяется. В этом случае из
Очевидно, /о (О совпадает со средней интенсивностью /„(/), которая дается
выражением (29.5).
Зависимость функции корреляции tyv(t, t — т) от т при фиксированном t
схематически показана на рис. 36 в предположении, что Т„^>Т. Ширина
отдельных максимумов tfr определяется длительностью импульсов Т, а рас-
расстояние между максимумами равно Т„. Высота отдельных максимумов lm
уменьшается с ростом m в соответствии с временным ходом Фе(тГп, q).
Следовательно, по убыванию максимумов с ростом m можно судить о времени
корреляции неоднородностей [16].
6. Пусть рассеивающий объем облучается двумя первичными волнами с
разными частотами с»! и ю2. Найти интервал частотной корреляции рассеян-
рассеянного поля в зоне Фраупгофера.
Решение. Обозначив через о^Вц г) и u1(a>i, г) соответствующие этим
волнам рассеянные поля, которые в зоне Фраунгофера даются выражением
(25.39), для коэффициента частотной корреляции находим
При qa^> 1, т. е. при Q^Xfa, Na0T убывает пропорционально (aq)~*.
254 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
(29.1) и (29.4) можно получить, что
РіРґРµ
где Дш^Ш! — ms, by (к)— дельтообразная функция, определенная соотноше-
соотношением (27.8), a q ——(ns — n,-) — вектор рассеяния на средней частоте ш^а»!-]-
+tt»i)/2. �нтервал частотной корреляции Дм можно оценить из неравенства
Дю. . ^ 2п . . /Дю \
— Ifll^—т-• ПР� выполнении которого функция О/ —q еще заметно от-
(Р° L. Сѓ (Рѕ J
личается от нуля. Учитывая (25.32), получаем, что
т. е. интервал корреляции совпадает с шириной полосы частот (29.9), в кото-
которой каналы связи, использующие рассеяние, могут работать без искажений |1].
7. Выяснить, как меняется число когерентно рассеивающих частиц при
изменении длины волны в случае облака частиц, равномерно распределенных
в объеме шара, и в случае непрерывного плавного (в масштабе длины волны)
распределения.
Решение. Для частиц, равномерно распределенных в объеме шара
радиуса а.
так что по формулам (31.10) и (31.12) получаем
ЗАДАЧ� 255
Еще более быарое (экспоненциальное) убывание NKOr с ростом qa про-
происходит при учете размытых границ облака рассенвателей. Пусть плотность
вероятностей ^(г) плавно спадяет от центра облака к периферии с характер-
характерным масштабом изменения а, равным по порядку величины радиусу облака
(о^>Х). Учитывая, что тахш,~1/а3, и используя известные свойства интег-
интегралов Фурье [17], для модуля характеристической функции f, (q) получаем
оценку
., 1 I I 4nasin(8/2)\
Отсюда следует, что при рассеянии назад (6--Д, q— 2k) величина Л/ког с0"
ставдяст ничтожно малую долю от Л' уже при ka^ 10, т. е. при о> 1,6?..
Легко объяснить, почему число когерентно рассеивающих частиц умень-
уменьшается с ростом ka. Рассмотрим слой толщины d<^k, в котором qrh = const
с точностью до величин порядка d/X <^ 1 (слой ориентирован перпендикулярно
к вектору рассеяния q). Частицы, находящиеся в этом слое, рассеивают
падающее излучение синфазно (когерентно). Для каждого такого слоя можно
подобрать другой тонкий слой, излучающий в противофазе (для этого он
должен быть удален иа нечетное число полуволн Л?) н частично гасящий
излучение первого слоя. Гашение было бы полным, если бы оба слоя содер-
содержали одинаковые числа частиц. Однако, в силу случайного положения частиц
в пространстве, каждая пара слоев дает малый нескомпенсированнын остаток.
Сумма таких остатков и оценивается формулой (!)•
Глава V
РАСПРОСТРАНЕН�Е ВОЛН
В СРЕДАХ С КРУПНОМАСШТАБНЫМ�
СЛУЧАЙНЫМ� НЕОДНОРОДНОСТЯМ�
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
§ 32. Уравнения геометрической оптики
В этой и двух последующих главах мы рассмотрим прибли-
приближенные методы решения задач о прохождении волн через среды
с крупными случайными неоднородностями, характерные размеры
которых /в велики по сравнению с длиной волны Я. Как мы
уже знаем, при этом рассеяние на большие углы (и, в частно-
частности, рассеяние назад) пренебрежимо мало. В результате флук-
флуктуации волнового поля определяются преимущественно теми
неоднородностями, которые лежат на пути волны, т. е. в окрест-
окрестности луча, соединяющего источник и точку наблюдения. Обычно
говорят поэтому не о рассеянии, а о распространении волн в
случайно-неоднородных средах с крупными неоднородностями.
Задачи такого типа, как и задачи о рассеянии волн, рассмот-
рассмотренные в предыдущей главе, относятся, по классификации § 8,
к статистическим проблемам типа 2).
Существуют три основных приближенных метода, используе-
используемых для решения задач о флуктуациях коротковолновых (h<S.lt)
полей в случайно-неоднородной среде: метод геометрической
оптики (МГО), метод плавных возмущений (МПВ) и метод пара-
параболического уравнения (МПУ).
Сначала мы рассмотрим наиболее простой и наглядный из
них—метод геометрической оптики. Первые расчеты по флук-
туациям волн в средах с крупными неоднородностями были
проведены именно при помощи МГО ([1, 2] и др.; библиографию
см. в [3—5]). Простота метода связана с тем, что, в отличие
от метода плавных возмущений и метода параболического урав-
уравнения, приближение геометрической оптики не учитывает ди-
дифракционных эффектов, в силу чего область его применимости,
конечно, уже, чем у МПВ и МПУ. Однако в своей области
метод геометрической оптики обладает определенными достоин-
достоинствами. Во-первых, при помощи МГО удается исследовать ряд
эффектов (таких, как влияние регулярной рефракции и усиление
флуктуации поля в окрестности каустик), которые" труднее опи-
описать при помощи двух других методов. Во-вторых, некоторые
результаты МГО сохраняют силу и за пределами области его
применимости. Это относится к расчетам флуктуации фазы и
5 32) УРАВНЕН�Я ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� 257
направления распространения волн (но не к флуктуациям ампли-
амплитуды). Указанные достоинства немало способствовали тому, что
метод геометрической оптики широко применялся, несмотря на
успехи, достигнутые при помощи МПВ и МПУ. Можно добавить
еще, что приближение геометрической оптики послужило эври-
эвристической основой при разработке обоих указанных асимптоти-
асимптотических методов, учитывающих дифракционные эффекты.
Напомним коротко вывод уравнений геометрической оптики
для простейшего случая скалярной монохроматической волны,
распространяющейся в среде с неподвижными непрерывными
неоднородностями. Пусть проницаемость е(г) в уравнении
Гельмгольца
Aufft'e(r)В« = 0 (32.1)
мало меняется на длине волны % (X\Vz\<^b — плавно неодно-
неоднородная среда). В этих условиях естественно предположить, что
поле и в каждой точке приближенно имеет структуру плоской
волны:
Рё<=РђРµ* = РђРµ"В«>, (32.2)
где амплитуда А и градиент фазы VS—медленные (в масштабе X)
функции координат.
Воспользовавшись медленностью изменения А и VS, нетрудно
получить уравнения для Л я S или для величины <p = S/k, ко-
которая представляет собой фазовый путь волны и называется
эйконалом 1).
Предложенный Дебаем способ вывода уравнений для ампли-
амплитуды А и эйконала <р состоит в следующем. Разложим ампли-
амплитуду А в ряд по обратным степеням волнового числа'):
С„- (32-3)
Коэффициенты Лт в этом разложении в общем случае комп-
комплексны и поэтому дают вклад и в фазу результирующего поля.
Подставив ряд (32.3) в уравнение Гельмгольца и приравняв
нулю коэффициенты при одинаковых степенях k, получаем
*) �ногда эйконал ф тоже называют фазой, но ми будем употреблять
термин «фаза» только для безразмерной величины S —Аф.
а) Строго гопоря, разложение следует проводить по безразмерному малому
параметру ц~1/*/Е. где U~ f./| Ve|"j>X — характерный масштаб неоднород-
ностей (см., например, (6|). Однако разложение по степеням I/* фактически
означает именно разложение по степеням |i=l/A/g.
9 с. м. Рытов и лр. ч. и
268 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
систему уравнений для ф, Ло> At, А„ -..:
(ft') (Vq>)В»-В«, (32.4)
(ft) 2(?ф?Л0) + Л0Дф = 0, (32.5)
(ft0) 2(Уф\М1)-М1Дф = —ДЛ„, (32.5а)
(ft1-») 2(УфГЛ„) + Л„Лф = -ДЛ„_1, (32.56)
Уравнение (32.4) носит название уравнения эйконала, а после-
последующие уравнения для А„ (п = 0, 1, 2, ...) называют уравне-
уравнениями переноса для амплитуд соответственно нулевого, первого
и га-го приближений. Обычно ограничиваются нулевым прибли-
приближением МГО, оставляя в разложении (32.3) только член Ло.
Последующие члены в (32.3) отбрасывают не только из-за слож-
сложности их вычисления, но главным образом потому, что ряд
(32.3) является асимптотическим1), а для асимптотических раз-
разложений, как известно, увеличение числа учитываемых членов
не всегда ведет к улучшению аппроксимации.
Уравнению эйконала (32.4) отвечают характеристики (лучи),
на которых функционал ] VUds экстремален (принцип Ферма).
Уравнения лучей можно записать в различных формах. Для
наших целей их удобно представить в виде [3, 4]
-? = *' ^T = ^rve —t(tV8)], (32.6)
где ds—элемент длины луча, a t — касательный к лучу единич-
единичный вектор, который одновременно является и нормалью к фа-
фазовому фронту S = ft9 = const. Так как |V<p| = J/~e, имеем
t vS СѓС„ СѓС„
Ivsi I V4>I - VI. '
Если тем или иным способом решение лучевых уравнений (32.6)
найдено, то уравнение эйконала (32.4) и уравнения переноса
(32.5) могут быть проинтегрированы вдоль лучевых траекторий.
Эйконал ф находится по формуле
(32.7)
') Он сходится к точному решению уравнения Гельмгольца, если одно-
одновременно с увеличением числа членов устремить волновое число k к беско-
бесконечности или, точнее, если безразмерный малый параметр (i~ 1/We устремить
к нулю.
$ 321 УРАВНЕН�Я ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� 259
а амплитуда А„ — из условия сохранения интенсивности / — УгА\
в бесконечно тонкой лучевой трубке сеченин dS (рис. 37):
/ Рґ.2 = VI AldS. - const. (32.8)
Последнее соотношение вытекает непосредственно из уравнения
переноса (32.5), если записать последнее в виде
div (Рђ\ V<p) = div (J/1 Рђ\\) = div (It) =- Рћ
и проинтегрировать по объему между двумя сечениями беско-
бесконечно тонкой лучевой трубки.
Одно из условий применимости МГО состоит в требовании
плавности изменения параметров среды:
(32.9)
В гл. VI, § 38 мы убедимся, что переход к геометрическому
приближению (т. е. пренебрежение всеми членами в (32.3), кроме
нулевого) допустим при условии
малости радиуса первой зоны
Френеля J/XL (L — дистанция,
пройденная волной) по сравнению
с характерным масштабом неод-
иородностей /в:
(32.10) Р РёСЃ- 37<
При выполнении этого условия можно пренебречь дифракцион-
дифракционными эффектами, которые в рамках МГО проявляются именно
в первом порядке по ц^=1//г/е.
Обратимся теперь к случайно-неодаородной среде. Получить
аналитическое решение уравнения эйконала (32.4) или уравне-
уравнений лучей (32.6) при произвольной зависимости проницаемости е,
от координат невозможно. Это вынуждает к здесь при решении
статистических задач прибегать к приближенным методам и в
первую очередь—к методу возмущений'. Пусть г (г) = е(г) + е(г),
причем флуктуационная компонента е мала по сравнению с
регулярной: а„<^:е. Представим эйконал в виде ряда
Ф-9.тф, + ф.+ .-. , (32.11)
предположив, что % удовлетворяет «невозмущенному» уравнению
эйконала
(ТФо)'=-~г (32.12)
и К<р1|~ае^|Тф0|, I V<p,|~oKI,Vq>,| и т.д. Подставляя ряд
(23.11) в уравнение эйконала (32.4) и учитывая (32.12), получаем
9*'
260 МКТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
для поправок ф,, фа, ... следующие линейные уравнения:
Решения этих уравнений можно выразить в квадратурах,
если известны невозмущенный эйконал <|:„ и невозмущенные
лучи ro = ro(s) и t0 =-; t0 (s), удовлетворяющие лучевым уравне-
уравнениям (32.6) при е = е. Заметим, что в нулевом приближении
РЈ
Po У в t0, где t0 — drjds—единичный вектор, касательный
к невозмущенному лучу г — ro(s). Тогда уравнение (32.13) для
поправки первого порядка ср,, которой обычно и ограничиваются
чри расчетах, принимает вид
) = 2/MtovВ«p1) = 2/r^ = e. (32.14)
откуда следует, что
s
L^^rds'. (32.I5)
Рѕ
�нтегрирование здесь ведется вдоль невозмущенного луча
r = ro(s), т.е. под знак интеграла входят функции е— е [г0 (s')j
и ?-"ё[>„($')]•
В простейшем случае плоской волны, распространяющейся
вдоль оси г в однородной (в среднем) среде с е = const, невоз-
невозмущенное значение эйконала ф равно (fo — Ve г; при этом лучи
представляют собой прямые, параллельные оси г:
xe(s)- const, //„ (s) = const, zo(s) = s.
В этом случае
2Рљ
(32.16)
Для приземной атмосферы, а также для ионосферы в случае
ультракоротких радиоволн можно считать ,что~ё х 1, и тогда
z
(p^V.^.^z')^'- (32.17)
Рѕ
Аналогичным образом, как мы увидим далее, можно развить
теорию возмущений для амплитуды, направления распростране-
распространения волн, отклонений луча от невозмущенной траектории и т. д.
§ 33] ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА 261
Применяя метод возмущений для расчета флуктуации ампли-
амплитуды и фазы волн, мы используем малость флуктуации про-
проницаемости:
(Ts-фг, (32.18)
и отбрасываем члены второго порядка малости относительно ас.
Условия, при которых можно пренебречь членами второго
порядка малости, сводятся к требованию малости дисперсии
уровня амплитуОы х = 1п(Л/.4°):
o-x = В«X--/)*> = <X!XI, (32.19)
что эквивалентно (при малых ох) условию ал<^.А. Заметные
флуктуации уровня у_ наступают, очевидно, там, где лучи начи-
начинают пересекаться и образуют случайные фокусы и каустики [7].
Поэтому условие (32.19) фактически ограничивает интенсивность
флуктуации а% и дистанцию L такими значениями, при которых
образование каустик еще маловероятно.
Приведенные условия применимости имеют характер доста-
достаточных условий. Что же касается необходимых условий, то
здесь можно высказать только качественное соображение, состо-
состоящее в том, что дифракционные эффекты слабее влияют на
поведение фазы, чем амплитуды, вследствие чего пределы при-
применимости расчетов фазы могут оказаться более широкими.
� действительно, сравнение с методом плавных возмущений
показывает (§41), что некоторые результаты геометро-оптического
приближения, относящиеся к статистическим характеристикам
фазы и углов прихода, справедливы (с точностью до коэффи-
коэффициента порядка единицы) за пределами, устанавливаемыми нера-
неравенствами (32.10) и (32.19). Неравенства же. (32.9) и (32.18)
должны выполняться в любом случае.
Ниже мы проведем расчеты различных характеристик слу-
случайной волны (флуктуации фазы и уровня волны, статистика
углов прихода и боковых смещений лучей, определение среднего
поля и его функции когерентности), которые нужны для решения
как прямых, так и обратных задач статистической теории рас-
распространения волн. Результаты данной главы (как и двух после-
последующих глав) применимы к анализу широкого круга физических
явлений (см., например, [3—5]).
§ 33. Флуктуации эйконала
В первом приближении теории возмущений для эйконала <р
имеем <р «фц + ф^ Среднее значение поправки первого поряд-
порядка ф, равно нулю, <Р! = 0, так что в принятом приближении
флуктуационная компонента эйконала <р = ф— ф совпадает с фх,
262
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
а корреляционная функция равна
4»»0i, г,) = <ф (rj ф (r,)> = «f, (г,) ф, (г,)>. (33.1)
Корреляционная же функция фазы S = feq> равна, очевидно,
MteO"..',)=*•¦,.(••„¦•,). (33.2)
Начнем с наиболее простого случая. Пусть плоская волна
ff1 распространяется в статистически однородной среде со сред-
средним значением диэлектрической проницаемости в — 1. �спользуя
(32.17), получаем для функции корреляции эйконала выражение
» '•) = V. \ & \ dz''^^-р,, г'-г"),
(33.3)
где г, = (р,, zj и г, = (р„ za)—радиусы-векторы точек наблюдения,
а тр.,—корреляционная функция флуктуации I. Перейдем в (33.3)
к новым переменным интег-
интегрирования ? — г'—г" ит) =
=(г' + г")/2. В этих пере-
переменных
(33.4)
где 2—область интсгрирова-
Рнс' З8' ния в плоскости (?, ti). Если
z, > zlt то эта область имеет
вид параллелограмма, показанного на рис. 38.
Существенный вклад в интеграл (33.4) дает только узкая
полоса —/e^S^'a (на Рис- 38 она заштрихована), в пределах
которой корреляционная функция я|>е заметно отличается от нуля.
Поэтому пределы интегрирования по ? можно сделать бесконеч-
бесконечными, а интеграл по г\ брать от 0 до гд:
Здесь учтено, что функция ф, четна по 5- При г, < г, мы по-
получили бы аналогичное выражение с г, вместо г,. Таким образом,
(33.5)
i 33] ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА 263
где z< = min {г,, г,}— меньшая из величин г, и г,, а р = р,—р,.
В частности, для изотропных флуктуации
�нтеграл от фе в этих выражениях равен произведению диспер-
дисперсии флуктуации о! на эффективный интегральный радиус кор-
00
реляции ;8фф = J Ке (0, ?) &,¦ Поэтому (33.9) можно представить
Рѕ
также в виде
(33.6)
Корреляционную функцию эйконала можно выразить и через
пространственный спектр флуктуации е. Подставив в (33.5)
спектральное разложение
(33.11)
и выполнив интегрирование по ?, находим
(33.7)
Если флуктуации е изотропны, то Фе(хх, O) = <t>e(j/>tj_+Oa) =
— Фе(х±) и переход к полярным координатам и = |Xj_ | = \^х.\ + xj,
a = arctg(xv/xx) с последующим интегрированием по угловой
переменной а. дает
(33.8)
где J0(x)—функция Бесселя нулевого порядка.
Дисперсия эйконала о^, получающаяся из (33.5) или (33.7)
при р — 0 и z, — г2 — г, линейно растет с увеличением дистанции г:
(33.9)
В случае изотропных флуктуации
(33.10)
264
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
1ГЛ V
Если, например, функция корреляции i|:, имеет гауссову форму
*,(Р )=<^~Р >Рљ. _ (33.12)
то эффективный радиус корреляции /8фф равен р^л/2/, и
a'(Z)^^l, (33.13)
Рассмотрим продольную корреляцию эйконала, считая, что
точки наблюдения т1 и г, расположены иа одном и том же луче
(P=-Pi—Pi ^0):
¦ »(*i. О—Г" f *<(°. SK—iH-W (33.14)
Рѕ
�з этого выражения видно, что продольная функция корреляции
не меняется с ростом большей из величии z, и г3. Отсюда не
следует, однако, что при продольном разнесении точек наблю-
наблюдения сохраняется также и коэффициент корреляции КЛ. В самом
деле, из (33.14) находим
График
РїСЂРё Рі,>Рі,.
зависимости /С г, от г, при фиксированном значении г1
показан иа рис. 39, из которо-
которого ясно, что продольная корре-
корреляция ф (а следовательно, и фазы
S) простирается на расстояния по-
порядка пройденного пути, т. е.
1Р»~Рі.
�ными линейными масштаба-
масштабами характеризуется поперечная
корреляция эикондла. Считая, что
точки наблюдения разнесены толь-
только в поперечном направлении
СЂ СЂ
= za = L), для поперечной функции корреляции имеем
(Р .
а при изотропных флуктуациях е
(33.15)
(33.16)
S 3:fl ФЛУКТУАЦ�� ЭГЖОНАЛА 265
�з выражений (33.15) и (33.16) следует, что поперечная корре-
корреляция простирается на расстояния порядка /„—радиуса корре-
корреляции диэлектрической проницаемости, т. е. /j_ ~ 1е. Это не-
непосредственно видно и на примере гауссовой корреляционной
функции (33.12), для которой
чЫр, L)~-^U>.e-pl/s('«-a^-pt/f'!. (33.17)
В дальнейшем нам понадобится также поперечная структур-
структурная функция эйконала
которая выражается через поперечную корреляционную функ-
функцию ijij_ (если она существует) следующим образом:
Dx (р, L) -= 2 [^ (0, /.)-ф± (р, /.)]-!$ Г*. (0. О-*. (Р. О] *•
Рѕ
Но согласно (4.7)
и поэтому
РћРЎ
j (33.18)
В отличие от (33.15), эта формула пригодна не только для одно-
однородных, но и для локально однородных случайных полей е, когда
корреляционной функции i|re не существует. Для «локально
однородных и изотропных полей вместо (33.18) имеем
Y^ (33.19)
Рѕ
Приведем также аналогичное (33.8) выражение для Dj_ через
пространственный спектр флуктуации:
DL(p,L) -2n2i,5В©(,.(x)[l-/0(xp)]xdx. (33.20)
Рѕ
Эти формулы понадобятся в § 36 при анализе флуктуации эйко-
эйконала в турбулентной атмосфере.
Мы рассмотрели флуктуации плоской волны в статистически
однородной среде. Но, оставаясь в рамках метода геометрической
266 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� ГГЛ. V
оптики, нетрудно получить характеристики флуктуации непло-
неплоских (в первую очередь сферических) волн, учесть регулярную
рефракцию_волны, обусловленную изменением средней прони-
проницаемости е(г), и отказаться от статистической однородности
флуктуации е, ограничившись квазиоднородностью. Эти возмож-
возможности, собственно rqeopfl, и составляют преимущество МГО по
сравнению с другими асимптотическими методами—МП В и МПУ,
в которых указанные обобщения либо приводят к слишком
сложным выражениям, либо вообще неосуществимы.
Проведем качественное рассмотрение некоторых обобщений,
используя результаты, полученные выше для плоской волны
(разумеется, количественные
выводы должны опираться на
* исходное выражение (32.15)).
Рассмотрим два невозмущен-
невозмущенных луча, отвечающие цеплос-
кой волне (рис. 40). Обозначим
р 4f) через /., и L2 длины этих лучей,
ис' ' приходящих в точки наблюде-
наблюдения г, и г,, через t01 и t0,—
единичные векторы вдоль этих лучей, а через 6—вектор, соеди-
соединяющий точку на одном луче с ближайшей к ней точкой на
другом луче. Для краткости мы будем называть 6 «расстоя-
«расстоянием» между лучами. В рассмотренном выше случае плоской
волны величины Ц и Lt были расстояниями от начальной плос-
плоскости г = 0 до точек наблюдения г, и г,, векторы t01 и t,, были
равны друг другу и направлены по оси г, а расстояние между
лучами в совпадало с поперечным разнесением точек наблюде-
наблюдения 6 — р = р,—р9. Поэтому выражение (33.5) в новых обо-
обозначениях запишется следующим образом:
Р§>, (Рі,, Рі,) - -%В¦ ] % (6 + U) <РЄ (33.21)
Рѕ
РіРґРµ /-< = min{Z.i, L,\.
Главная особенность неплоской волны заключается в том,
что расстояние между лучами 8 является переменной величи-
величиной, зависящей от пройденного волной пути s. Если попереч-
поперечное разнесение точек наблюдения мало по сравнению с длинами
лучей Lx и L,, то дистанцию s удобно отсчитывать вдоль неко-
некоторого среднего луча, приходящего, скажем, в точку (г,-(-г,)/2.
При этом единичные векторы t01 и t0, приближенно можно счи-
считать равными единичному вектору t, вдоль среднего луча (на
рис. 40 средний луч показан пунктиром). Чтобы получить пра-
правильный результат при переменном расстоянии между лучами,
f 33) ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА 267
нужно заменить в формуле (33.21) /.< на J ds и рассматривать
Рѕ
t, как единичный вектор вдоль среднего луча. Для функции
корреляции нсплоской волны в статистически однородной среде
с е — 1 мы получим тогда
•¦< «
*• (ri. rj = i f Л Г *.[6 (s) + CU «¦ (33.22)
Совместив точки наблюдения г, и г„ т. е. положив Z., =
—L2=L и 8(s) —О, находим из (33.22) выражение для диспер-
дисперсии эйконала:
Отсюда видно, что дисперсия эйконала cj, не зависит от вида
первичной волны и, в частности, одинакова для плоской, сфе-
сферической и цилиндрической волн.
�спользуя (33.22), рассмотрим поперечную функцию корре-
корреляции эйконала расходящейся сферической волны, полагая, что
источник и точки наблюдения находятся внутри случайно-не-
случайно-неоднородной [среды (флуктуации в слое конечной толщины рас-
рассмотрены в задаче 1, а особенности флуктуации фазы сходя-
сходящейся сферической волны—в задаче 2). Пусть точки наблюдения
rt и г, расположены на одинаковом расстоянии L от источника.
Если р = Г!—г,—поперечное расстояние между точками наблю-
наблюдения, то текущее расстояние между лучами 8 (s) линейно
меняется от нуля при s = 0 до р при s=L:
Следовательно, для сферической волны
+ 1.СЃ)В«. (33.24)
формулу можно записать иначе, если учесть, что
(33-25)
268 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
где г|>™(р, Ц — поперечная функция корреляции плоской волны
(33.15). Отсюда следует полезная формула
L I
4? (СЂ, L) ~1 { ds *? (СЂ Рі, L) = Р“ <fy *В« (vp, L). (33.26)
b b
которая связывает функции корреляции эйконала сферической
и плоской волн.
В случае изотропных флуктуации параметров среды, когда
Ф5" зависит от р — | р |, функция корреляции эйконала сфериче-
сферической волны тоже будет зависеть только от р и выражение
(33.26) можно записать в форме
*РЈ(СЂ', L)dp'. (33.27)
�з этой формулы, как и из (33.24), следует, что радиус кор-
корреляции эйконала у сферической волны больше, чем у плоской,
поскольку при одинаковом конечном расстоянии р текущее
расстояние 6(s) между расходящимися лучами меньше, чем
между параллельными. Очевидно, для сходящейся сферической
волны будет справедливо обратное соотношение (см. задачу 2).
Рассмотрим конкретный пример вычисления t^*. В случае
гауссовой корреляционной функции флуктуации ё, когда th™
дается выражением (33.17), для if*!^ получаем
РіРґРµ
f
Рѕ
— интеграл ошибок.
На рис. 41 коэффициенты корреляции эйконала показаны
кривой / для плоской волны: К™(р) — ехр (—рг/2/|) —и кри-
кривой 2 для сферической волны: К^(р) — Кп/2(/,/р)Ф(р//е). �з
рисунка видно, что уровень /(„ = 7, достигается при р=1,18/,,
в случае плоской волны и при р = 2,40/,в случае сферической,
т. е. поперечный радиус корреляции эйконала сферической
волны примерно в два раза больше, чем у плоской.
Обобщение (33.22) на случай среды с постоянной средней
диэлектрической проницаемостью е, отличной от единицы, осу
ществляется просто изменением масштабов в у Е Раз> т- е-
S 331
ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА
269
заменой dsdt, на dsdZJz.:
.28)
% (ri. r2) = | j IJ В¦. [6 (*) + РЁ dt- (33
Эта формула, однако, остается справедливой и тогда, когда s
медленно (в масштабе радиуса корреляции /„) меняется вдоль
среднего луча: e = e[ro(s)]. Сам средний луч под действием ре-
регулярной рефракции становится при этом криволинейным, так
Hflp)
Р РёСЃ. 42.
что направление касательного к нему единичного вектора t0
зависит теперь от s: to = ta(s).
Наконец, можно отказаться и от предположения о статистиче-
статистической однородности флуктуации среды и рассмотреть более общую
модель статистически квазиоднородных флуктуации. Функция
корреляции квазиоднородного поля г имеет вид (§ 5)
te(r', г") —ite(r' —г", R) = о\(R)К,(г' — f, R), (33.29)
причем здесь дисперсия a'i(R) и коэффициент корреляции
/Се (г' — г", R) медленно (в масштабе /е) зависят от координаты
центра тяжести R = (r' —г")/2. При подстановке (33.29) в (33.28)
значения R следует брать на невозмущенном среднем луче
R = ro(s), а разность г —г" целесообразно представить в виде
суммы 6 (s) +10 (s) ?, где 8(s) — поперечное, а to(s) ? — предельное
расстояние между точками г' и г", лежащими на соседних лучах
(рис. 42). В итоге для функции корреляции эйконала имеем
Рі3)
i<
РЎ % Р• |Р“0(5)| J
[6 (s) +1, (s) РЎ; Рі0 (s)] d%. (33.30)
Под L< здесь подразумевается меньшая из длин криволинейных
лучей Z.J и L%. Дисперсия получается из (33.30) при Li = L1 — L
270 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� |ГЛ. V
Рё 6 = 0:
(3331)
Внутренний интеграл в (33.31) представляет собой эффектив-
эффективный радиус корреляции:
В общем случае анизотропных флуктуации /афф зависит не
только от положения точки г0 (s) на луче, но и от направления
луча to(s) в этой точке. Записав дисперсию эйконала в виде
заключаем, что наиболыиий_ вклад в oj, дают те участки луча,
на которых величина а\1^е, максимальна. Отсюда, в частности,
следует, что флуктуации эйконала усиливаются по мере умень-
уменьшения средней диэлектрической проницаемости е. Такое усиле-
усиление флуктуации происходит, например, в ионосфере в области
отражения радиоволн, излученных с Земли (см. задачу 4).
Рассмотрим некоторые особенности поведения поперечной
(относительно невозмущепного луча) функции корреляции эйко-
эйконала, считая, что точки наблюдения г, и г, лежат на одном и
том же невозмущенном фазовом фронте <ро = const:
(33.33)
Очевидно, основной вклад в интеграл (33.33) дают те участки
траектории, на которых расстояние между лучами минимально,
т. е. участки наибольшего сближения лучей (с этим мы уже
сталкивались при сопоставлении флуктуации в сферической и
плоской волнах в среде с е = const). Влияние расстояния между
лучами на функцию корреляции эйконала можно проиллюстри-
проиллюстрировать на примере наклонного падения плоской волны на отра-
отражающий [слой С ё = ?(г). На рис. 43, а и 43,6 показаны две
34]
ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ. СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫВАН�Я
271
amst В¦
пары лучей при разнесении точек наблюдения г, и г. на оди-
одинаковое расстояние р, по один раз — перпендикулярно к пло-
плоскости чертежа (рис. 43, а), а другой раз — в плоскости чертежа
(рис. 43, б). В_первом случае оба луча параллельны друг другу и
расстояние б .между ними всюду равно расстоянию р между
точками наблюдения. Во втором жел случае, когда лучи лежат
в одной плоскости, расстояние б всюду меньше р и даже обра-
обращается в нуль в точке пересечения лу-
лучей. Ясно, что величина радиуса кор-
корреляции эйконала больше именно во
втором случае, когда лучи сближают-
сближаются. Различие радиусов корреляции в
случаях а и б означает, что регуляр-
регулярная рефракция приводит к анизотро- у
пии (анизомерии) флуктуации эйконала,
в плоскости, поперечной к лучу.
В рассмотренном примере лучи,
отраженные от плоского слоя, обра-
образуют каустику, которая касается лу-
лучей в точках их поворота. Строго го-
говоря, применение метода геометрической
оптики в этом случае незаконно, пос-
поскольку на каустике, как известно, ам-
амплитуда волны, вычисленная в прибли-
приближении геометрической оптики, равна бесконечности в силу обраще-
обращения в нуль сечения лучевой трубки dS, в формуле (32.8). Этот
недостаток метода геометрической оптики можно, однако, испра-
исправить, используя для описания поля вблизи каустики более
совершенные асимптотические методы, которые обеспечивают ко-
конечность поля на самой каустике, а вдали от нее дают сумму
падающей и отраженной волн вида �е'*» [8J. В результате вдали
от каустики корреляционная функция эйконала отраженной
волны определяется тем же выражением (33.33), что и для па-
падающей волны. В непосредственной же близости к каустике при-
приближение геометрической оптики, разумеется, непригодно.
Р РёСЃ. 43.
§ 34. Флуктуации углов прихода, боковых смешений луча
и группового запаздывания волны
1. Флуктуации углов прихода. Углы прихода
волны определяются направлением нормали к фазовому фронту,
которое в изотропной^среде совпадает с направлением единич-
единичного вектора t-=V<p/Ke, касательного к лучу. Найдем отклоне-
отклонение этого вектора от невозмущенного положения to = V<Po/' е.
272
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
[ГЛ. V
С точностью до первого приближения включительно имеем
. _ У<р _ V (фо+ф!-1- ¦¦¦) _ Vу0 , I
Р“
Но согласно (32.14) е - 2 |/ е (t0Vq>i). так что
и поправка первого порядка к направлению невозмущенного
луча t0 оказывается равной
РЈ
^) (34.1)
РЈ
где Vi—оператор поперечного (по отношению к невозмущенному
лучу) дифференцирования.
Согласно (34.1) вектор t, перпендикулярен к t0 и лежит в
плоскости, касательной к невозмущенному фазовому фронту
q>o= const. Пусть а и р—
два единичных ортогональ-
ортогональных вектора в этой плоскос-
. . ^,- ¦ ти, составляющие вместе с
'" i -—й2*т^ I вектором t0, касательным к
невозмущенному лучу, ор-
ортогональный репер (a, р, t0).
Вектор t, можно разложить
на две составляющие — по
направлениям а и 0:
С точностью до членов вто-
второго порядка малости углы
прихода луча 0а и Йр, от-
Рис. 44. считываемые от направле-
направления невозмущенного луча t,
(рис. 44), равны соответственно t\a и г^:
Отсюда следует, что средние значения углов прихода в обеих
взаимно ортогональных плоскостях (t0, а) и (t0, p) равны нулю,
Ва-=Вр=О, поскольку Ф! = 0, а элементы корреляционной мат-
матрицы этих углов даются выражением
Л (Pi. Р.) = <в« (Pi) Op (P,)> = i dj; I' ' • (34.2)
i 34] ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ, СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫПАН�Я 273
Эту формулу можно немного упростить, если учесть, что
флуктуации эйконала в плоскости, касательной к невозмущен-
невозмущенному фазовому фронту, квазиоднородны: поперечная функция
корреляции эйконала -ф, (р,, Р2) = 1|'х(р, Р-) «быстро» (с мас-
масштабом ~/Е) зависит от разностного аргумента р —Pi—р„ и
«медленно» (с масштабом /.е^>/Е)—от координаты «центра тя-
тяжести» р+—(р,-f p2)/2. Поэтому при переходе н формуле (34.2)
от переменных р, и р2 к переменным р и р, мы можем диффе-
дифференцировать только по разностной переменной р -р,— р,. Опу-
Опуская для краткости второй аргумент р+ у ^fp и \p_t получаем
Второй вариант этого соотношения сохраняет силу не только
для квазиоднородных, но и для локально однородных флуктуа-
флуктуации е, когда корреляционной функции i)?p не существует.
Выберем орты а и f> так, чтобы при малых р структур-
структурная функция DL имела вид D_ ж сара — c^P's- Тогда флук-
флуктуации углов прихода 0а и 0р, взятые в одной и той же точке
наблюдения, т. с. при р — 0, оказываются некоррелированными:
42^ (34.4)
Дисперсии же этих углов даются выражениями
и в общем случае анизотропных флуктуации ^йконала различны.
В частности, эти дисперсии неодинаковы в случае отражения
плоской волны от плоского слоя, в котором к--в(г) (рис. 43):
даже при изотропных флуктуациях г флуктуации угла прихода-
в плоскости чертежа меньше, чем в перпендикулярной плоскости.
При распространении плоской и сферических волн в статис-
статистически однородной и изотропной среде флуктуации эйконала
в плоскости, перпендикулярной к лучу, изотропны: ?>х (р) = D±(p).
В этом случае, в соответствии с общими свойствами изотроп-
изотропных векторных случайных полей (см. задачу 4 к гл. I), корре-
корреляционный тензор •фао выражается через единичный тензор fia$
и симметричный тензор рарр/рг (считаем, что г — 1):
¦а,-*1(бвв-^)+^. (34.6)
Здесь г))'! —поперечная, a i|>^ —продольная функции корреляции
изотропного двумерного векторного поля 6^{9а, 8ef = {tla, t^}
274 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
(термины «поперечная» и «продольная» функции корреляции
относятся здесь к компонентам корреляционного тензора, а не
к корреляции вдоль и поперек луча). �з сравнения (34.6)
с (34.3) находим
Эти функции связаны соотношением
*В°,(P)"[P*1(P)J'.
которое является очевидным следствием потенциальности век-
вектора e«!t, — Y<Pi- Дисперсии углов 6а и Вр для изотропных
флуктуации е одинаковы:
Для плоской волны, когда D± дается выражением (33.19),
для продольной и поперечной функций корреляции имеем
(34.9)
В частности, если функция корреляции имеет гауссову форму
(33.12), то
i, 0 ~9
где tj.(p) = aj,exp(—p4/2/|), а о^, дается выражением (33.13).
Аналогичным путем можно вывести формулы и для сфериче-
сферической волны. Укажем на полезное соотношение между диспер-
дисперсиями углов прихода плоской и сферической волн1):
(34.10)
') Считается, как и при высоде (33.26), что источник сферической волны
расположен внутри случайно-неоднородной среды и обе волны (плоская и
сферическая) проходят в среде одинаковый путь L.
S 30 ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ. СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫВАН�Я 275
которое легко вывести, используя (33.26):
1 1
[В¦1 (0)]* = В§Jdyiff (w)|pВ»o = [В¦!((0)Р“ J V'^Y = J[Р¤1 (0)]"".
Рѕ Рѕ
Таким образом, дисперсии углов прихода сферической волны
в три раза меньше, чем у плоской волны, прошедшей тот же
путь в среде. Качественно это можно объяснить различием в
величине поперечного радиуса корреляции (напомним, что у
сферической волны lL 'больше, так как лучи идут в среднем
ближе друг к другу, чем а плоской волне).
На опыте обычно фиксируются не сами углы 0а или 0g, a
некоторые другие величины, при помощи которых затем и оп-
определяются 8а и Эр (и большинстве случаев —приближенно). Так,
на интерферометре, ориентированном вдоль оси а и имеющем
базу ра, измеряется разность фаз AS (ра) = k Дф (ра). Если отнести
эту разность фаз к электрической длине базы kpa, получится
величина
Р№ _ Рђ<Р  (Р В«)
T~
которая при малых ра, а именно при
В соответствии с этим дисперсия
= <[Дф (ра
при малых р может служить мерой <9J>, поскольку при ра<^'«
<ei>В»V,O'L(0),
что совпадает с (34.8)
2. Статистика боковых смещений луча. Луч
в среде, содержащей случайные неоднородности, представляет
собой извилистую пространственную кривую. Вычислим средне-
среднеквадратичное смещение луча от его невозмущенного положения,
ограничившись для простоты случаем плоской волны, распро-
распространяющейся в статистически однородной среде.
Запишем для траектории луча r(s) ряд теории возмущений
по е: r(s) = ro(s)-| r,(s) + rs(s)+... Для поправки первого по-
порядка 4 = 1"! из уравнений лучей (32.6) имеем (прие=1)
L L I
q=\tlds=\iVL<fld2', (34.11)
Рѕ Рѕ
откуда видно, что в первом порядке теории возмущений луч
смещается только в поперечном по отношению к невозмущен-
невозмущенному лучу направлении: если волна распространяется вдоль
оси г, то вектор q содержит только х- и ^-компоненты.
276 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
Подставив в (34.11) значение <ра из (32.17) и интегрируя по
частям, находим
q (p, L) = 1J &« J <fc" Vxe (р. О —f J №- «') Vie (P. г') <fa'.
0 0 0
(34.12)
Составим корреляционную матрицу боковых смещений луча
(P = Pi—Р.):
"' (3413>
где ?а и ijB—компоненты вектора q по двум взаимно перпен-
перпендикулярным направлениям а и р в плоскости г = const. Выра-
Выражение (34.13) можно упростить, перейдя в нем к переменным
интегрирования ? — г'—г" и ц^(гЧ-г*)/2. Повторив рассужде-
рассуждения, использованные при выводе (33.5), получаем
Если флуктуации е изотропны, то изотропным будет и дву-
двумерное векторное поле q. Элементы корреляционной матрицы
(34.14) в этом случае принимают вид, аналогичный (34.6):
где продольная и поперечная функции корреляции боковых
смещений луча даются выражениями
(34.15)
Можно убедиться, что при изотропных флуктуациях е взаимно
ортогональные компоненты боковых смещении ?а(р,) и q$(p2) при
pt — р, не коррелировать между собой
f 31) ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ, СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫВАН�Я 277
а средние квадраты qa и qf равны друг другу:
В«. (34.16)
В частности, в случае изотропной гауссовой корреляционной
функции флуктуации проницаемссти (33.12) имеем
Если волна неплоская, но среда по-прежнему статистически
однородна и к= 1, корреляционная матрица боковых смещений
(34.13) приводится к виду
(34,8)
где, как и ранее, 6(s) — текущее расстояние между лучами, за-
зависящее от поперечного разнесения точек наблюдения р. В част-
частном случае сферической волны Ь — pslL, так что ¦;— = 7"лГ и
можно написать
- (34.20)
(34.2.)
Для среднего квадрата смещения qa получаем отсюда
1 Р“ s2 РЎ
2 J 'I2 J
J J
0 Рѕ
Но интегрирование по s дает /.'/30, и поэтому
— средний квалрат бокового смещения луча в сферической вол-
волне в 10 раз меньше, чем в плоской.
Расчеты флуктуации углов прихода и боковых смещений
лучей можно было бы провести, опираясь на иной подход, раз-
развитый в [4] и заключающийся в том, что случайные отклонения
и повороты луча можно при определенных условиях описать
как марковский процесс, возникающий под действием случайных
«толчков», обусловленных градиентами диэлектрической прони-
278 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
цаемости (ч. I, §§ 30 и 36). При таком подходе задача сводится
к решению уравнения Эйнштейна — Фоккера для совместной
плотности вероятностей поперечных смещений и направлений
луча. В случае плоской волны, распространяющейся в статисти-
статистически однородной и изотропной среде, решением уравнения
Эйнштейна—Фоккера является нормальный закон распределе-
распределения, причем вторые моменты, полностью характеризующие нор*
малыюе распределение, совпадают с вычисленными выше. Поэтому
рассмотрения статистики лучей при помощи уравнения Эйн-
Эйнштейна— Фоккера мы здесь не проводим. Отметим только, что
границы применимости такого подхода были установлены в [9,10],
а распространение метода на среды с регулярной рефракцией
было дано в работах [11 —13].
3. Флуктуации группового п ути. Групповой путь 2
в однородной и изотропной среде определяется выражением
РіРґРµ
--СЃ-
РґР°
— групповая скорость волны. Очевидно, отношение Sic пред-
представляет собой время распространения сигнала. В случайно-пре-
случайно-преломляющей среде групповой путь 2, а следовательно, и время
распространения сигнала испытывают флуктуации. Дисперсию
флуктуации группового пути можно вычислить методом возму-
возмущений. Ограничимся случаем, когда e = const, т.е. регулярная
рефракция отсутствует. Разлагая" 2 в ряд по малым флуктуа-
циям е, получаем для поправки первого порядка J?, к невоз-
в„ў Рґ (a VD ,
мущенному значению группового пути ^„=—i-^—-L выражение
�нтегрирование ведется, конечно, вдоль невозмущенного луча.
В недиспергирующей среде как е, так и ё не зависят от
частоты. В этом случае
f, (34.24)
Рѕ
-^
РЈРµ
т. е. возмущение группового пути 2Х совпадает с возмущением
эйконала срг Это является следствием равенства групповой и
t №1 ФЛУКТУАЦ�� УРОВНЯ 279
фазовой скоростей в недиспергирующей среде, так что все ска-
сказанное в § 33 относительно флуктуации эйконала без каких-либо
изменений переносится и на флуктуации группового пути. В част-
частности, для дисперсии группового пути, в соответствии с (33.12),
имеем
L В«
J (34.25)
Важным частным случаем диспергирующей среды является
изотропная холодная плазма, для которой е и е даются выра-
выражениями (30.29). Подстановка (30.29) в (34.23) приводит к выра-
выражению (при е = const)
l| (34.26)
в котором под знак интеграла входит 1/е" вместо 1/е 'в выра-
выражении (32.15) для эйконала <р,. Учитывая это, можно записать
выражение для дисперсии группового пути в плазме, аналогич-
аналогичное (33.31), но с заменой 1/е на 1/(с.)8:
(3427)
Ясно, что дисперсии о# и о, могут совпасть лишь при 8«1,
т. е. в случае достаточно высокочастотных волн, для которых
со1 j> u>\ — An&N ejm.
§ 35. Флуктуации уровня
Как мы уже указывали, уровнем амплитуды или просто
уровнем называют величину
где А'—некоторая постоянная величина той же размерности,
что и А, например амплитуда невозмущенной волны. Найдем
функцию корреляции уровня х-
Уровень х удовлетворяет уравнению
2тхУФ + Д<р = 0, (35.1)
которое непосредственно пытекает из уравнения переноса (32.5).
Представим х в виде ряда по е:
X = Xt + X.-f-X.+ ..., (35.2)
2Я0 МЕТОД ГЕОМЕТР � ЧКСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
гДе Хо — невозмущенное значение уровня, т. е. решение уравнения
0. (35.3)
Подставляя ряд (35.2) и аналогичное разложение (32.11) для
эйконала ф в урапнение (35.1) и учитывая (35.3), для поправки ул
получаем
2V<p0Vy.1 -f ЛФ, + 2VX.V<P, - 0. (35.4)
В этом уравнении можно приближенно заменить \(fx и Дфх на
\±<fL и Ai<f,, где Vx = V —10 (t0T) и Дх--VL —операторы попе-
поперечного дифференцирования. Действительно, по порядку величины
в то прсмя как |V':iVil = ТьЧ = у Ie I ~ °«- Поскольку нас инте-
интересуют дистанции /., большие по сравнению с радиусом корре-
корреляции неоднородностей 1е, можно считать, что I V и <р, I <^ I V j_<Pi |-
Нодобным же образом можно показать, что | А „фд | <^| Д Lrpx j.
В результате уравнение (35.4) принимает вид
Рѕ^^С„1 = 0. (35.5)
У плоской и ненаправленной сферической волн V.:Xo~0. ПО"
скольку на фазовом фронте ф„ —const амплитуда таких волн
постоянна и последнее слагаемое в (35.5) исчезает. Этим слагае-
слагаемым можно пренебречь и во многих других случаях, например
в случае волнового пучка или направленной сферической волны
с шириной луча а, превышающей радиус корреляции неодно-
неоднородностей /е. В самом деле, по порядку величины
откуда следует, что третье слагаемое в (35.5) примерно в Ija
раз меньше, чем второе. Пренебрегая членом с VxXo и учитывая,
что
запишем уравнение для %г в следующей форме:
Решение уравнения (35.6) имеет вид
$ 35] ФЛУКТУАЦ�� УРОЗНЯ 281
так что поперечная корреляционная функция уровня ifx(P> Ц —
--<Xi(Pii L) Xi (Pj, Ц/ выражается через корреляционную функ-
функцию эйконала 4\р(г'> г ) таким образом:
(35.8)
Здесь г'—r'(s') и г" -r"(s") -лежат на иевозмущенных лучах,
приходящих н точки наблюдения г{ и г2 (рис. 45), а А^ и Ах ---
поперечные операторы Лапласа по переменным г' и г". Ограни-
Ограничимся анализом флуктуации уровня для плоской и сферической
волн, распространяющихся в статистически однородной среде
СЃ i-1.
Согласно (.43.5) корреляционная функция эйконала плоской
волны 1рф(г',.г") равна
OS
ЧчрО"'. О-4rU«(P, ?)<*?. (35.9)
Рѕ
где s<—меньшее из двух расстояний s' и s", a p = const — рас-
расстояние между двумя параллельными лучами, приходящими п
точки г, и г2. Подставляя (35.9) в (35.8), получаем
JJ f (35.10)
Рѕ- Рѕ
Двукратный интеграл в (35.10) легко вычисляется:
Р™
Рѕ
так что для плоской волны
p, 0В«- (38.11)
Таким образом, флуктуации уровни нарастают пропорциональ-
пропорционально кубу пройденной волной дистанции L, тогда как поперечная
282 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� (ГЛ. V
корреляционная функция эйконала плоской волны (33.15) растет
пропорционально L:
j (35-12)
Заметим, что если интеграл в (35.11) выразить через ifx, то
корреляционная функция уровня плоской волны запишется в виде
Ai*(P Р¦ (35-13)
Эта формула упрощает вычисление фх, если известна корреля-
корреляционная функция эйконала if>j_-
Корреляционную функцию уровня можно выразить также
через спектральную плотность флуктуации диэлектрической про-
проницаемости:
J *l<b(* O^Vd'X (35.14)
Полагая в (35.11) или (35.14) р = 0, получаем два варианта
формулы для дисперсии уровня амплитуды:
= -^Рі J xiO.(Kj., 0)<ftcx. (35.15)
В случае изотропных флуктуации е функция корреляции
уровня зависит только от модуля расстояния р между точками
наблюдения:
**<<>В¦ '-^РЁ^СЂР©^СЂ^^ (35-16)
или в иной форме
00
Ыр.^) = т^х6Фе(*)Л,(кр)Л<. (35.17)
5
В частности, для гауссовой корреляционной функции (33.12)
расчет по любой из формул (33.16) или (33.17) дает
4>x(P) = В°;(l-f+jJJ)<-pV"i, (35.18)
РіРґРµ
t 35] ФЛУКТУАЦ�� УРОВНЯ 283
Полезно отметить, что отношение дисперсии уровня о\ к дис-
дисперсии фазы о% = №а\ по порядку величины равно
L%&\% JL (VTl
т. е. определяется квадратом волнового параметра D ~ L/kll ~
—- (VХ?//Е)3. Но в области применимости геометрической оптики
выполняется условие Y^L<^.lt (32.10), при котором волновой
параметр мал (размер первой зоны Френеля мал по сравнению
с размером неоднородностей). Поэтому в пределах применимости
метода геометрической оптики флуктуации уровня должны быть
малы по сравнению с флуктуациямн фазы:
Р¬?Рѕ\. (35.21)
Это позволяет в ряде случаев, например при вычислении в рам-
рамках геометрической оптики среднего поля и функции когерент-
когерентности, пренебречь амплитудными флуктуациями по сравнению
с фазовыми (§ 37).
Обратимся еще раз к выражению (35.14), которое можно рас-
рассматривать как двумерное разложение функции корреляции в
интеграл Фурье. Следовательно, величина
Рх ("1, Ц = тг х!Фь (*х. 0) (35.22)
представляет собой двумерную спектральную плотность флук-
флуктуации уровня амплитуды. В случае изотропных флуктуации
Ря(*х, i) = F»(xx, L)—^х1Ф.(хх). (35.23)
Входящий в (35.23) множитель хх приводит к ослаблению вклада
крупномасштабных (хх —• 0) составляющих спектра флуктуации е.
Это означает, что в приближении геометрической оптики флук-
флуктуации амплитуды обусловлены в основном мелкомасштабной
частью спектра флуктуации проницаемости е. Наличие в (35.23)
множителя Xj_ позволяет пользоваться этой формулой и в слу-
случае локально однородных и изотропных нолей, когда простран-
пространственный спектр Ф„ (х) может иметь при х -* 0 степенную осо-
особенность вида у.~а с а. < 5.
Следует специально отметить, что обращение двумерной спект-
спектральной плотности F%{v.i_, L) в нуль при хх—*0 эквивалентно
равенству
В«
(2я)«Рх(0)= J ¦х(р)*р = О, (35.24)
284 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
которое и случае изотропных флуктуации принимает вид
$0. (35.25)
Соотношения (35.24) и (35.25) тесно связаны с законом сохране-
сохранения энергии. Подробно этот вопрос рассмотрен в § 46, где по-
показано, что в случае плоской волны интеграл от флуктуацион-
ной компоненты /—-/-- /.взятый по всей плоскости, равен нулю:
\ 7(СЂ, z)d2p-=O (35.26)
- СЃРѕ
(заметим, что встречающийся иногда вывод соотношения (35.26)
с использованием свойства пространственной эргодичности
\ / (р, L)d'fi— /2 некорректен). Но, поскольку 1 = \А\"-~
— | Ао\ V* « |Л,|'(1 +2%), при малых флуктуациях уровня
(когда только и можно пользоваться приближением геометриче-
геометрической оптики) имеем
так что из (35.26) вытекает закон сохранения для %:
] ?(СЂ,Рі)#СЂ-Рћ. (35.27)
— ОС
Умножая (35.27) на х(р'. г) и усредняя, получаем (35.24).
�з (35.24) следует, что функция корреляции уровня обяиа-
тельно должна наряду с положительными значениями принимать
и отрицательные. Это можно видеть и на частном примере среды,
у которой флуктуация р имеет гауссову корреляционную функ-
функцию: выражение (35.18) в этом случае отрицательно в интервале
p( ,
Несколько сложнее вычисляется функция корреляции уровня
амплитуды сферической волны. Пусть источник и точка наблю-
наблюдения находятся в статистически однородной среде. Согласно
(33.22)
Рі") = | \" ds JiM6 + Eto)d?, (35.28)
причем текущее расстояние между лучами, приходящими в точки
§ .151 ФЛУКТУАЦ�� УРОВНЯ 288
г' и г", равно (рис. 45)
Текущее расстояние между лучами 6 здесь можно выразить
через расстояние p = ri — г2 между точками наблюдения г, и iy
6-ps/i..
Упростим выражение (35.30), воспользовавшись соотношением
которое легко доказывается повторным интегрированием по
частям. В нашем случае
Полученный результат можно представить в иной форме, если
учесть, что внутренний интеграл равен корреляционной функции
плоской волны (35.11), умноженной на 24/L":
(35.32)
Дифференцирование (35.28) дает
(35.29)
(35.30)
и в результате по формуле (35.8) находим
(35.31)
и поэтому
(35.33)
или если ввести безразмерную переменную интегрирования
286 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� (ГЛ. V
При р=0 отсюда следует универсальная связь между диспер-
дисперсиями уровня в плоской и сферической волнах. Поскольку
1
Рћ I * ' * . \* Р›.. *
дисперсия уровня сферической волны в 10 раз меньше, чем у
плоской:
1
[а'х (L)Y* s=3 \)?Ф (0, L) — 3 { уг (1 — v)" Фх"(О) dy = ~ [о?(?)]пл.
(35.34)
Эго соотношение, как и выведенные ранее соотношения (34.10)
и (34.21) для дисперсий углов прихода и боковых смещений
луча, универсально, разумеется, только в области применимости
приближения геометрической оптики.
Множитель v2('— y)' — s'(L—sV/L* в формулах (35.33) и
(35.34) определяет относительный вклад различных участков
луча в суммарный эффект флуктуации уровня амплитуды сфе-
сферической волны. Появление этого множителя, который обра-
обращается в нуль в начале (s = 0) и в конце (S — L) трассы, связано
с фокусировкой и дефокусировкой на неоднородностях среды,
т. е. с их линзовым действием. �звестно, что линза, помещен-
помещенная вблизи точечного источника света или вблизи точки наблю-
наблюдения, не влияет на интенсивность сферической волны. Линзо-
Линзовым же эффектом объясняется и относительная малость флуктуа-
флуктуации сферической волны по сравнению с плоской: неоднород-
неоднородности, расположенные в начале трассы, практически не влияют
на величину флуктуации амплитуды сферической волны, тогда
как именно эти неоднородности сильнее всего сказываются на
флуктуациях плоской волны.
§ 36. Флуктуации параметров волн
в турбулентной тропосфере
Применим общие формулы геометрической оптики к расчету
флуктуации параметров волн в турбулентной тропосфере. Для
тропосферы с хорошей степенью точности можно принять е—1,
а флуктуации е считать локально однородным и изотропным
полем (§ 4). При этих условиях структурная функция эйконала
плоской волны дается выражением (33.19) или (33.20).
Подставим в (33.20) спектральную плотность (4.17):
Фе (к) = 0,033С|х-"'. ехр (- x'/xj,), (36.1)
S 36] ФЛУКТУАЦ�� В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ 287
где С% — структурная постоянная, *„, —5,92//0, а 1Ь — внутренний
масштаб турбулентности. �нтеграл (33.20) от такого простран-
пространственного спектра выражается через вырожденную гипергеомет-
гипергеометрическую функцию Л (см. [3], § 42):
Р¦ = 2. 2 C|W' [^ (-4,1, -4^)-
Если заменить эту функцию ее асимптотическими значениями
при малых и больших значениях ее третьего аргумента, то для
D^(p,L) получаются следующие предельные выражения:
Аналогичные предельные выражения для D±(p,L) можно найти
и непосредственно из (33.19), если распространить грубую аппро-
аппроксимацию для De(r), полученную интерполяцией предельных
значений (4.12) и (4.13), справедливых соответственно приг^>^
и г<^1„, на область r~i0:
Проделав указанные выкладки, мы увидим, что найденный ре-
результат отличается только заменой коэффициента 0,82 на единицу.
Формула (36.3) дает при малом разнесении точек наблюде-
наблюдения квадратичную зависимость структурной функции от р. При
больших же р поведение D± описывается степенным законом
«пять третей». Неограниченное нарастание Dj_ с ростом р соответ-
соответствует бесконечному значению дисперсии эйконала Оф(?) =
=ij!i (0, Ц—л1гОх (оо, L). Конечно, в действительности диспер-
дисперсия <7ф ограничена, поскольку при р—>¦ оо структурная функция
^х (р.'-) «насыщается». Для грубой оценки^Оф примем для
De(p) аппроксимацию (4.19):
^'-СЃРѕРї* Р“>РЎ (36-5)
где ?0—внешний масштаб турбулентности (по сравнению с (4.19)
мы пренебрегаем здесь участком г <! /0, который вносит несу-
несущественный вклад в alp).
Поскольку i|je(r)=[De(oo)—De(r)]J2, из (36.5) находим
288 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
где <т|^1|>е(0) = l/,C|Lo''—дисперсия диэлектрической проницае-
проницаемости. Оказывается, что функция корреляции (36.6), получен-
лая интерполяцией предельных значений при г«^/.о и r^>L0 на
промежуточную область г~10, не является положительно опре-
определенной (спектральная плотность Фе для (36.6) принимает отри-
отрицательные значения). Тем не менее, используя (36.6) для вычис-
вычисления корреляционной функции фазы, мы можем рассчитывать
на получение качественно правильных результатов при г<^1„
и r'^>L0. Оправданием этому служит то, что приводимые ниже
формулы (36.7) и (36.8) могут быть получены и более строгим
путем. I
Подставляя (36.6) в (33.if), получаем корреляционную функ-
функцию фазы:
• - • (36.7)
I
В частности,
Таким образом, средний квадрат флуктуации эйконала опреде-
определяется длиной трассы, внешним масштабом турбулентности и
дисперсией флуктуации o'i—'/jOlL'J', а функция корреляции эй-
эйконала обращается в пуль при р > ?„.
Положив в (36.8) С?—10-" см-*''\ Z- = l км, Lo — 1 м, полу-
получаем для дисперсии эйконала а;, типичное значениесГф —-2-10 8 см2.
Типичное же значение дисперсии фазы a2s — k'cfip составляет 3-102
на длине волны X — 5-10"5см (оптический диапазон) и 3-10~«
при >. — 0,05 см (субмиллиметровые волны).
Статистические характеристики углов прихода луча могут
быть рассчитаны при помощи формул § 34. В частности, при
помощи (36.3) для дисперсии угла прихода <й^> по формуле
(34.5) находим
'?!W^-. (36.9)
Подобно структурной функции фазы, функция корреляции
уровня тоже может быть выражена (при помощи (35.14)) через
гипергеометрические функции [3]. В частности, согласно [3],
для спектра (36.1) дисперсия уровня равна
(^^0,8-C|/.В»Z,"Vl, (36.10)
36] ФЛУКТУАЦ�� В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ 289
а коэффициент корреляции уровня Kx(l>) — ^х(Р. L)lo\(L) ведет
себя так, как показано на рис. 46, взятом из [3J, причем хя^
-=5,92//0. Как видно из рисунка, коэффициент корреляции Kx(v)
принимает отрицательные значения, как это и должно быть для
плоской волны.
Структурную функцию эйконала сферической волны можно
рассчитать при помощи формул (33.26) или (33.27). В предель-
предельных случаях p<4h и р^>/0 для нее получаются выражения [3]
'(36.11)
Что же касается дисперсий углов прихода и уровня амплитуды
сферической волны, то для них справедливы соотношения (34.10)
и (35.34), показывающие, Что
дисперсия угла прихода в три
раза, а дисперсия уровня амп-
амплитуды сферической волны в
десять раз меньше, чем у плос-
плоской волны. Дисперсия бокового
смещения в сферической волне
тоже в десять раз меньше, чем
в плоской (см. (34.21)). о 1 г 3
Общее, ограничение МГО— Рис. 46.
неравенство (32.10) —в случае
турбулентной атмосферы сводится к условию малости радиуса
первой зоны Френеля по сравнению с внутренним масштабом
турбулентности:
/РЇРҐ</Рћ. (36.12)
В приземном слое атмосферы, где /0 ~ 1 см, и в оптическом диа-
диапазоне (Я = 5-10~6см) неравенство (36.12) ограничивает дистан-
дистанцию L значениями порядка 200 м. Однако из дифракционных
расчетов (см. § 41) следует, что некоторые результаты прибли-
жепия геометрической оптики оказываются справедливыми на
гораздо больших дистанциях.
Отчасти это объясняется тем, что в спектре турбулентности
(36.1) мелкомасштабные неоднородности с х^х„ представлены
слабее, чем крупные неоднородности с х^х„. Поэтому, когда
с ростом дистанции размер первой зоны Френеля станет срав-
сравним с внутренним масштабом /„ и неравенство (36.12) нару-
нарушится, для большей_насти неоднородностей еще будет выпол-
выполнено неравенство VkL^l, позволяющее применять геометриче-
геометрическую оптику для более крупных неоднорэдностей, с масштабом
1>1,. Эги крупные неоднородности влияют главным образом на
фазу волны, а не на ее амплитуду. В результате флуктуации
'Э СМ. Рытов'н др. 4.111
290 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� (ГЛ. V
фазы в турбулентной среде выражены (по отношению к флуктуа-
циям уровня) сильнее, чем в среде с одномасштабными неодно-
родностями. Действительно, согласно (36.8) и (36.10) отношение
дисперсий уровня и фазы по порядку величины равно
-%=
По сравнению с (35.20) здесь появился малый множитель
(10[Ьоу/ч^1, который и отражает возросший вклад крупных
масштабов в флуктуации фазы (о роли крупных и мелких неодно-
родностей при учете дифракции см. также § 41).
§ 37. Среднее поле и функция когерентности
В первом приближении геометрической оптики флуктуации
фазы и уровня волны распределены по нормальному закону,
поскольку обе величины выражаются в этом приближении инте-
интегралами от е (или от производных г), причем на пути интегри-
интегрирования L луч встречает много неоднородностей. Нормализация
фазы и уровня при этих условиях является следствием цент-
центральной предельной теоремы.
Если флуктуации фазы S « S, = fop, и уровня x^Xi подчи-
подчиняются нормальному закону, то поле
Рё = ets< Рі СЏ- eВ«.+:t.efs1+jc1 = В«^s.+x, (37.1)
(uo — eiS'+x'—невозмущенное поле) распределено по логарифми-
логарифмически нормальному закону. Учитывая, что в зоне применимости
геометрической оптики дисперсия уровня о|_значителыго меньше
дисперсии фазы а% (см. (35.20) и (36.13))/можно при вычисле-
вычислении моментов поля и пренебречь флуктуациями уровня, т. е.
положить
uxuoeis*. (37.2)
Воспользовавшись формулой
<в«> = «-'/.«¦>, (37.3)
которая справедлива для любой нормальной величины % с 5 = 0.
находим из (37.2)
или, учитывая выражение (33.31) для дисперсии (Тф,
(37.4)
j 3/J СРЕДНЕЕ ПОЛЕ � ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 291
Величина
РѕСЃ
| (37.5)
выступает здесь как коэффициент ослабления среднего поля
вдоль луча, т. е. как коэффициент экстинкции. Согласно (37.4)
среднее ноле убывает тем быстрее, чем больше дисперсия флук-
флуктуации а\.
В статистически однородной среде коэффициент экстинкции
постоянен и среднее поле затухает по экспоненциальному закону
a^u^-'''aL. (37.6)
При « = 1 и для статистически однородных флуктуации коэффи-
коэффициент экстинкции (37.5) записывается в ниде
(37-7)
что совпадает с. полным поперечником рассеяния единичного
объема о,, который определяет затухание поля в приближении
однократного рассеяния (см. задачу f к гл. IV).
Функцию когерентности поля Г,,^, r,) = <u(rx)u* (r,)> можно
вычислить при помощи (37.2) и (37.3). Приведем выражение для
поперечной функции когерентности, когда точки г, и г, распо-
расположены на фазовом фронте (р = г,—г,):
(Р . Р¦ РґР° | Рё0
p, Р©, (37.8)
где /, s= | tio|a—интенсивность невозмущенного поля, a Ds(p, L)—
=/гФх(р, ^ — поперечная структурная функция фазы. В случае
статистически однородной среды (е=1) Dx определяется выра-
выражениями (33.19) или (33.20), а выражения дли Dx в турбулент-
турбулентной атмосфере приведены в предыдущем параграфе. В частном
случае плоской волны, распространяющейся в турбулентной
среде (структурная функция дается (36.3)), функция когерент-
когерентности равна ,
0JV), Р <1,- [ '
Функция корреляции поля равна
Р®*
292 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�] [ГЛ. V
При слабых флуктуаииях фазы, когда о$<^1, корреляционные
функции (а следовательно, и радиусы корреляции) фазы и самого
поля совпадают: \|>а (р) я* ф5 (р). Если же Os^>l, то вторым сла-
слагаемым в формуле (37.10) можно пренебречь, и тогда
Р¤. (P. L) В» Р“.(СЂ, L) ^ /^-1/'РІ5">-В«. (37.
Радиус корреляции поля можно оценить (при о|^>1) из усло-
условия ф„ (р, L) г» V»/, или из эквивалентного уравнения ?>s (p, I) «
«2In2—1,4. Поскольку структурная функция фазы Os=^fe*?)v
пропорциональна пройденному волной расстоянию, радиус кор-
корреляции (когерентности) поля с ростом 1. уменьшается. Напри-
Например, если плоская волна распространяется в турбулентной тро-
тропосфере, а расстояние между точками наблюдения р лежит в инер-
инерционном интервале /,д^>р^>/0. то при помощи первой из формул
(37.9) для радиуса корреляции поля /„ находим
В данном случае он уменьшаете!! с ростом дистанции, как /,-*'».
В дальнейшем мы убедимся, что выражения (37.6) для сред-
среднего ноля и (37.8) для функции когерентности сохраняют силу за
пределами применимости приближения геометрической оптики,
когда флуктуации уровни-не малы и когда нельзя пренебречь
дифракционными эффектами. Как уже было сказано, это связано
с тем, что в случае крупномасштабных неоднородностей наруше-
нарушение пространственной когерен iиости поля происходит а первую
очередь за счет фазовых флуктуации, тогда как флуктуации
амплитуды (уровня) играют меньшую роль.
Задачи
I. В общем сяучас поперечная функция корреляции эйконала дастся вы-
выражением (33.33). В простейшем случае, когда флуктуации статистически
однородны, а средняя диэлектрическая проницаемость постоянна, невозмущен-
невозмущенные лучи можно считать прямыми линиями, расходящимися от источника.
Найти поперечную функцию корреляции эйконала сферической полны,
прошедшей через случайно-преломляющий слой конечной толщины (рис. 47).
Решение. Если /.,—толщина слоя, a Kt, — расстояние от источника до
слоя, то расстояние между лучами меняется по закону 6(s)--ns/(#a—Li),
а интегрирование по s в (3J.33) нужно проводить в пределах от J?, — Rt/сояб
До Ri-rLi — (R<i l-?o)/cosO, где 0—угол падения среднего луча на слой. Тогда
или, если учесть (33.25),
задачи 293
Эти формулы допускают предельный переход к случаю плоской волны (Ro—> о»,
т. е- бесконечно удаленк'-ш источник^ и к случаю источника сферической волны,
находящегося на "границе слоя (/?0—>О).
Выражения такого типа позволяют рассчитывать, например, флуктуации
фазы ультракоротких радиоволн, прошедших через статистически неоднород-
неоднородную ионосферу. Во многих случаях флуктуациями амплитуды (уровня) можно
пренебречь, заменяя ионосферу эдвивалентным фазовым экраном, н тогда легко
вычислить функцию корреляции поля на выходе из ионосферы. Дальнейшая
эволюция поля на пути от ионосферы до поверхности Земли подчиняется за-
закономерностям дифракции волн в свободном пространнее (§ 10).
Гиг. 47: Рис. 48.
2. Пусть иа (.мучайно-поолпородиое полупространство г > 0 падает сходя-
сходящаяся сферическая волна с фокусом в точке г — Г (рис. 48). Найти функцию
корреляции эйконала в плоскости г —const.
РћС‚ Рѕ СЃ С‚.
(Рћ
�з этих выражений следует, что в сходящейся сферической волне радиус кор-
корреляции меньше, чем в плоской, к стремится к кулю при г—> F (разумеется,
непосредственно в области фокуса приведенная форыула непригодна). После
прохождения фокуса радиус корреляции начинает увеличиваться и в пределе
2§>F формула (1) описывает флуктуации эйконала расходящейся сферической
волны.
3. Найти поперечную функцию корреляции эйконала плоской волны в среде
с анизотропными флухтуациями ё, описываемыми гауссовой корреляционной
функций вида (2.29)"с иасштаСгмн а и * — с (о'> Ь).
Ответ. Если большая ось Неоднородностей а лежит в плоскости (у, г)
и наклонена под углом у к направлению распространения волны (ось г), то
по формуле (33.15) имеем
294
РіРґРµ
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
Vn.Lolab
1ГЛ. V
При изменении угла у от 0 до я/2 масштаб корреляции эйконала по оси у,
равный /,= У a1 sin8 у ¦ bs cos2 у. меняется от&(прн у^О) доа(при у —п/2),
тогда как масштаб корреляции по оси х остается постоянный, 1Х — Ь.
4. Вычислить дисперсию эйконала волны, отраженной от плоско-слоистой
?реды с линейным законом изменения средней диэлектрической проницаемости
e=8i—еаг (рис. 49, а) и со статистически однородными флуктуацнями е«
Решение. Пусть случайные неоднородности расположены выше уровня
г=Л. Для статистически однородных флуктуации по формуле (АЧ.32) имеем
11 ' ds
г аУшЫ> Г ds _ °11гЪЪ ['
где L—длина дуги луча от входа до выхода из слоя (рис. 49, б). Для вычис-
вычисления интеграла (1) надо знать зависимость г от текущей длины луча s. Если
в—угол падения луча на слой, а п^шву е(Л) = J^e, -е^Л -коэффициент пре-
преломления в начале слон, то уравнение луча удобно записать через параметр
дг(т) = дто-| T/70sin6, г(т) /i-f n0tcos6 — esTV4,
причем е |г (т)] — п\—е2тп0соз0-!-е|-4/4. Точкам поворота лучей отвечает уро-
уровень гпо1~ Л - «о cos2 G/f,, отстоящий от начала слоя г—Л на расстояние
S
Переходя в (1) к интегрированию по т(йт — ds/к г) в пределах от нуля
до t=4n0cos 9/e2, что отвечает возвращению луча на начальный уровень z = Л,
получаем
г Ое'эфф 1 + cos в
ЗАДАЧ�
295
При помощи этой формулы можно оценить толщину слоя
рый дает пятидесятипроценткый вклад в о,:
A' = *noa—*\ кото-
кото, A sin 0(1— sin6)
2 cos'РІ
= 'поа —Л—-
Прв начальной наклоне луча 6 — 45° находим отсюда А' —0.214, т. е. поло-
половину дисперсии эйконала л, дает примерно пятая часть слоя, а при 0 — 30° —
шестая часть (А' — Д/6). Таким образом, меньшая часть слоя, прилегающая
к точке поворота г — гпов (средняя проницаемость на луче в (г) здесь мини-
минимальна), даст примерно такой же вклад в дисперсию эйконала, как и осталь-
остальной слой.
S. Вывести обшую формулу для поперечной функции корреляции уровня
с учетом регулярной рефракции.
Ответ. Пусть 6*,(Si) и njci(sa) —приращения координат г,-(s,) и Xft(sj)
двух точек на одном и том же невозмущенном луче при переходе на близкий
соседний луч с сохранением длин Si и s2. Если ввести обозначения
6x,-(s,)
s< = mln{s', s"\.
:. S').
где (,—компоненты единичного вектора, касательного к нсвозмущенному лучу,
то при помощи (35.7) и (33.22) получаем для поперечной корреляционной функ-
функции уровня формулу
в которой но повторяющимся индексам производится суммирование.
6. Если волна дважды проходи г через одни и те же'неоднородности (на-
(например, в результате отражения or препятствия), то возникают своеобразные
эффекты двукратного прохождения [14]. Напри-
Например, для плоской волны, прошедшей в случайно-
неоднородной срелг путь L в прямом и обратном
направлениях, дисперсия фазы вдвое больше, чем
для волны, прошедшей дистанцию 2Л в той же сре-
среде, но в одном направлении. Найти дисперсию
°фдв фазы сферической волны, отраженной от
плоскости, удаленной от источника на расстояние
L (СЂРёСЃ. 50).
Решение. Пусть источник расположен в
начале координат. При ? — I флуктуации фазы в точке г -
жащей в плоскости г — 0, выражаются суммой
Р РёСЃ. 60.
'(Р . Рі),
Рѕ i.
первое слагаемое которой соответствует прямомуг а второе—обратному пути
296 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
оолпы. Статистическое усреднение (1) дает (при L^-tF)
Рѕ Рѕ
При р —0, когда точка наблюдения совмещена с источником.
ОфДВ (0, i)_2ij Фе (0, S)dC~4o?,a)-2o5,(2Z.), (3)
Рѕ
где о*ф (г) представляет собой, в соответствии с (^3.9), дисперсию фазы при
однократном прохождении дистанции г. Двукратное увеличение о%д0 (О, I.) по
сравнению с оФ(2?.) обусловлено корреляцией флуктуации фазы на прямом
и обратном пути. Пели же прямой и обратный лучи проходят большую часть
пути через разные неоднородности (т. е. р^>/?), то второе слагаемое о (2) ста-
становится пренебрежимо малым по сравнению с первым, и тогда
<4РґВ« (P. L) =s 2o% (L) ~Рѕ% (2L),
Корреляция флуктуации интенсивности на прямом и обратном пути приводит
н к другому интересному эффекту — усилению обратного рассеяния [15].
Глава VI
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
§^38. Обоснованне^параболическогсЛуравнения
Мы уже говорили о том, что в случае длин воли Я, малых
по сравнению с размерами 1е неодно рода остей диэлектрической
проницаемости, рассеянные волны концентрируются в узком те-
телесном угле с раствором 6 порядка Ме<^1, т. е. распростра-
распространяются практически в том же направлении, что и первичная
волна. В силу этого становится существенным многократное рас-
рассеяние.
Одним из приближенных методов, учитывающих многократное
рассеяние, является метод геометрической оптики (гл. V), но он
полностью игнорирует дифракционные эффекты и ограничен усло-
условием J^XL<<5/e. Если это условие нарушается, т. е. расстояние L,
проходимое волной в неоднородной среде, достаточно велико:
? ^> (Ч/Ц = LR, то дифракционные эффекты становятся сущест-
существенными. Это можно пояснить следующим качественным рассу-
рассуждением. Если неоднородность размера /е освещается плоской
волной, то и размер ее геометрической «тени» на любом расстоя-
расстоянии L равен 1Е. Однако дифракция приводит к «расплыванию»
резких границ тени на величину порядка Y%.L (это размер пере-
переходной области свет—тень при дифракции на краю непрозрач-
непрозрачного экрана). Ясно, что дифракцией можно пренебречь лишь
при условии УП<^/В (см. (32.10)). Это условие зачастую до-
довольно жестко ограничивает длину трассы L.
Как мы видели в § 36, для света в турбулентной атмосфере
уже при L л> 200 м имеет место равенства ]^Xl = lz, т. е. гео-
геометрическая оптика становится неприменимой на расстояниях
порядка нескольких сотен метров.
В гл. V уже были упомянуты более общие приближенные
методы решения дифракционных задач, связанные с примене-
применением параболического уравнения, которые, с одной стороны,
используют, как и МГО, малость параметра ^//г, но вместе с тем
учитывают и дифракционные эффекты. Это — метод плавных
298 мнтод плавных возмущении 1гл. VI
возмущений (МПВ) и метод параболического уравнения (МПУ).
В этом параграфе мы выведем параболическое уравнение, причем
двумя способами, проясняющими разные стороны МПУ. Урав-
Уравнения МПВ будут затем получены из параболического уравне-
уравнения (§ 40).
Будем исходить из скалярного уравнения Гельмгольца
РђРё-| k'[\ РіС‘(Рі)]С†---0, (38.1)
(Рѕ2 -
где fes — -^-в—квадрат среднего волнового числа (предпола-
(предполагается, что f.--const), а е = [е(г)— е]/б- относительная величина
флуктуации диэлектрической проницаемости, так что <в> = 0.
Приведем сначала простейший вывод параболического уравне-
уравнения, основанный на наглядных соображениях.
Пусть неоднородная среда занимает полупространство z>0
и на него падает плоская волна и — /1,,exp(ifez). Так как мы
предположили, что /В^>Я, то рассеянные волны распростра-
распространяются в основном вперед, и волна, отраженная от неоднородной
среды, слаба по сравнению с падающей волной. Будем искать
поле и в среде в виде
Рё(СЂ, z) = i>(p, z)exp(ifor), СЂ = (РґСЃ, Сѓ). (38.2)
Здесь и(р, х)— амплитуда волны (воойце говоря, комплексная).
Если бы среда была однородной (е = 0), то амплитуда v не за-
зависела би от координат. В неоднородной среде можно ожидать,
что функция v (р, г) и ее производная по г будут мало меняться
на протяжении длины волны, так как изменения v связаны
только с наличием неоднородностей, а их размеры велики по
сравнению с ).. Поэтому должны выполняться условия
dv] -
РҐ 35 <l:
Рґ
Рґ
РґРі
dv
РЁ
(38.3)
(быстрое изменение и в зависимости от г уже описывается мно-
множителем схр (ikz)). Условия (38.3) могут выполняться лишь в том
случае, когда поле, рассеянное назад, мало. Действительно,
если поле и содержит и обратную волну Лехр(—ikz), то это
означает, что в амплитуде и присутствует слагаемое вида
Аехр(—2ifez), быстро меняющееся на расстояниях порядка X.
Таким образом, условия (38.3) уже предполагают, что ампли-
амплитуда А обратной волны достаточно мала по сравнению с ампли-
амплитудой прямой волны.
f 38] ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРАВНЕН�Я 299
Подставив (38.2) в (38.1), получаем уравнение
Но в силу второго неравенства (38.3) можно пренебречь членом
d*v/dz' по сравнению с членом 2ikdv/dz, что и приводит к па-
параболическому уравнению для амплитуды v:
Vkpz + d?i + d?, + k4(p,z)v=0. (38.4)
Уравнение параболического типа впервые было использовано
М. А. Леонтовичем при решении детерминированной задачи о диф-
дифракции радиоволн вокруг Земли [1J. Приведенное обоснование
уравнения (38.4), конечно, весьма нестрого. Рассмотрим поэтому
другой его вывод, где более отчетливо выявятся те величины,
которыми нужно пренебречь, чтобы получить (38.4) из (38.1) [2].
Уравнение (38.1) вместе с необходимыми для него граничными
условиями эквивалентно следующему интегральному уравнению:
и (г) = и0 (г) -k" $ G (г—г') ё (г') и (г') d?r'. (38.5)
Здесь и0 (г) — первичная волна (волна в отсутствие неоднородностей
среды), удовлетворяющая уравнению Ди0 + &2и0 = 0, a G (г—г') —
функция Грина:
G(r_r') = ___L__exp^|r-r'|}, (38.6)
удовлетворяющая уравнению AG+&2G = 6'(r— г') и условиям
излучения на бесконечности.
Пусть падающая волна имеет вид и„ (р, г) — Лехр (ikz). Разо-
Разобьем область интегрирования по г' в (38.5) на два участка —
Рћ < Рі' < z Рё Рі' > Рі:
Рі
Рё (Рі) = В«, (С‚)-& РЎdz' U*P'G (Рі-Рі') I (Рі') Рё (Рі') -
i J
—№ \ dz' \ d'p'G (г —г') I (г') и (г'). (38.7)
Рі
Рассмотрим первый из интегралов. Он является суммой слагае-
слагаемых вида
du+ (Рі) = - РєР® (Рі-Рі')С‘ (Рі') Рё (Рі') dz' dy,
причем для каждого из этих слагаемых г > г'. Величина'4и+
представляет сферическую волну (множитель G (г — г')) с центром
в точке г' и амплитудой —k*e (г') и (г') dz'dtp', определяемой рас-
рассеянием волны и(г') на неоднородности е (г'). При этом продоль-
300
МЕТОД ПЛЛПНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
[ГЛ. VI
Рѕ
ная координата точки рассеяния г' всегда меньше г — продольной
координаты точки наблюдения. Это означает, что все источники
сферических волн в первом интеграле (38.7) расположены в слое
п ^ '' < г, т. е. рассеянные волны, учитываемые этим слагаемым,
п приходят в точку наблю-
наблюдения с той же стороны,
что и падающая волна.
Точно так же легко
убедиться в том, что вто-
второй интеграл в'(38.7) сум-
суммирует все волны, прихо-
приходящие в точку г из области
г' > г. Ясно, что для того,
чтобы попасть в точку г
из области г' > г, волна
хотя'бы один раз должна
испытать рассеяние назад
(СЂРёСЃ. 51, Р°).
Если, однако, выпол-
выполняется условие Я<^/е, то,
как мы знаем, при каждом
акте рассеяния основная
часть рассеянной энергии
сосредоточивается в узком
телесном угле вблизи пер-
первоначального направления
распространения волны.
1} этом случае можно ожи-
ожидать, что интенсивность
волны, испытавшей хотя
бы одно обратное рассея-
Р РёСЃ. 51.
ние, будет малой по сравне-
сравнению с интенсивностью волны, которая испытала то же общее число
рассеяний вперед. Па этом основании мы можем пренебречь вто-
вторым слагаемым в уравнения (38.7) и записать его в виде л)
Рі
«"" (г) - «„ (г) —к' $ dz' \ d'p'G (г - т'й (г') и"» (г'). (38.8)
Рѕ
В приближении, описываемом уравнением (38.8), которое должно
удовлетворяться при любом г = г, в каждую точку приходят
волны только из области г' < г. Это означает, что при переходе
от уравнения (38.7) к уравнению (38.8) мы отбрасываем не только
') Смысл верх него индекса (0) в (38.8) разъяснен ниже.
j 381 ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРЛВНЬН�Я 301
волны, изображенные на рис. 51, я, но и волны того типа, кото-
который изображен на рис. 51, б, где волна приходит справа в одну
из промежуточных точек г,. Единственный тип волн, который
учитывается в уравнении (38.8), соответствует рис. fil, в. Здесь
не только в точку г, но и в каждую из промежуточных точек
волна приходит слева. В этом легко убедиться, если па писать
формальное решение уравнения (38.8) в виде итерационного ряда.
Таким образом, уравнению (38.8) удовлетворяют лишь те волны,
которые на пути распространения в слое (0, г) не испытали ни
одного акта обратного рассеяния. Это отмечено верхним индек-
индексом 0 п обозначении и1"'. Можно показать [2], что полное волно-
волновое поле и разбивается на сумму полей ит, и111', иш где
«<"—волна, испытавшая / актов обратного рассеяния.
Уравнение (38.8) можно упростить и дальше, если более после-
последовательно учесть условие >.<^.1е. Как мы знаем, характерный
угол рассеяния па неоднородности масштаба /е имеет порядок
0~V'e- Если первоначально падающая волна распространялась
вдоль оси г, то после перяого же акта рассеяния она будет рас-
распространяться под углом порядка 8 к оси г. Это'означает, что
в (38.8) отношение поперечной составляющей вектора г—г' к его,
продольной составляющей имеет порядок величины в, т. е.
<38-9)
�спользуя малость этого отношения, можно применить раз-
разложение |г — г'| в ряд Тейлора:
Функция Грина 0 содержит в показателе экспоненты фазовый
набег fe|r—г'|. Подставить вместо |г—г'| приведенное разложе-
разложение и ограничиться в нем лишь первыми двумя членами можно,
если выполняется условие
"Если, согласно (38.9), подставить сюда |р—р'|~ ). (г—г')//«, то
мы приходим к ограничениям1)
(38.11)
т) Отиетнм, ЧТО в силу условия ^^е /е д С
не 1го сравнению с единицей, как в МГО, а по сравнению с большим пара-
параметром (/еД)'. Таким образом, первое из неравенств (38. II) может выполняться
� » том случае, когда условия применимости МГО нарушаются,
302 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
при выполнении которых функцию Грина (38.6) можно заменить
на ее френелевское приближение
0,(1-0= -4-^^
(В знаменателе функции Грина с относительной ошибкой порядка
X//,, сказывающейся лишь на амплитуде, можно взять только пер-
первый член разложения (38.10).)
Подставляя в (38.8) приближенную формулу (38.12) для функ-
функции Грипа, приходим к уравнению
)-и„(р, г) +
С‰
p', «г
которое уже эквивалентно параболическому уравнению (38.4).
Чтобы убедиться в этом, используем аналогичную (38.2) подста-
подстановку к'0)(Р. г) —v(p, ?)exp(ifezl. В такой же форме пред-
стапим и падающую волну: «„ (р, г) -- А„ (р) exp (ikz). Отметим, что
в силу уравнения Ди„ 4-ft'«n = 0 амплитуда А„ (о) падающей волны
удовлетворяет условию Л Lj\a (р)=0, где Л , — дг/дхг + д*/ду*. Тогда,
после сокращения на общий множитель exp(/fcz), получим
(38.13)
Чтобы перейти к дифференциальному уравнению для v, следует
продифференцировать (38.13) по г. При дифференцировании ин-
интеграла по верхнему пределу возникает, однако, неопределен-
неопределенность—значение заключенного в квадратные скобки выражения
при г' = г. Чтобы установить, к чему стремится это выражение,
введем временно обозначение а* = 1(г—г')!к. Тогда оно при-
примет вид
и мы узнаем в нем двумерную гауссову плотность вероятностей,
соответствующую дисперсиям а по обеим осям. Но при а—-О
гауссова плотность вероятностей стремится к дельта-функции,
так что
§ 38J ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРАППГННЯ 303
Дифференцируя (38.13) по г и используя последнюю формулу,
получаем
Теперь учтем, что выполняется легко проверяемое непосред-
непосредственным дифференцированием соотношение
¦Ж |.2ж(гг')СХР(2(гг', )\ "Я* ^ [2(
rxJ^ Рђ Р“ cvni
2ж(г-г')СХР(,2(г-г', )\ "Я* ^ [2д«(г-г')еХР [ 2 (*-*'
�спользуя его и вынося оператор Д^. за знак интеграла, полу-
получим, с учетом (38.13), уравнение
! = -?в(г)1>(г)+24Дл>-/10). (38.14)
Но, как отмечалось, Д±Л0 = 0, в силу чего последнее уравнение
совпадает с параболическим уравнением (38.4).
В процессе вывода уравнения (38.14) мы установили, что
переходить в (38.8) ко френелевскому приближению для функции
Грина можно лишь при выполнении условий (38.11). Однако мы
не выяснили еще, когда можно пренебрегать волнами, рассеян-
рассеянными назад. Легче всего это сделать, воспользовавшись форму-
формулой (26.11) для эффективного поперечника рассеяния из единицы
объема (мы рассматриваем простейший случаи статистически
изотропных флуктуации):
^(4) (38.15)
Если проинтегрировать (38.15) по задней полусфере (л/2 <
<6<я, 0 < ф < 2л), то мы получим эффективный поперечник
рассеяния назад из единицы объема:
СЏ/2
�нтегрируя по <р и вводя вместо в нопую переменную интегри-
интегрирования х = 2k sin VjO, находим
2*
1 ^ Ф«М*Л<- (3816>
Эффективный поперечник ао6р равен той доле энергии падающей
волны, которая за счет рассеяния преобразуется в обратную
волну, когда прямая волна проходит единичное расстояние. Если
304 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 1ГЛ. VI
пренебречь уменьшением энергии падающей волны за счет этого
рассеяния, то на мути z в энергию обратной волны перейдет доля
энергии, равная cr^z (заметим, что, пренебрегая потерями энер-
энергии прямой полны, мы завышаем энергию обратной волны).
Поэтому условие, необходимое для того, чтобы пренебречь обрат-
обратным рассеянием и тем самым отбросить второй интеграл в (38.7),
можно записать в виде сг0брг<5$1, или
n'k'z J Фе(х)хЖс<|1. (38.17)
Рє VT
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если бы мы
интегрировали формулу (38.15) по всем углам (Ог^б^С л), то
получили бы полный эффективный поперечник рассеяния а0 (по
всем направлениям) и вместо (38.17) пришли бы к неравенству
24
Рѕ
т. е. к условию применимости борновского приближения. Мы ви-
видим, что условие (38.17) всегда является менее жестким, чем
(38.18). Если в области x>?]^2 функция Фе(") мала по срав-
сравнению с ее значением в области x<fej^2, то условие (38.18)
может нарушаться, даже если (38.17) выполняется.
Пусть, например, ij>B (г) = а|ехр (— ra/2aa). Тогда (§ 3) Фе (v.) =
=(2n)-'('aa|a3exp(—иаа2/2) и, выполняя интегрирование в (38.17),
получаем
У"па\кггае-'"а' (1 —е~к'а') <^ 1. (38.17а)
Условие же применимости борновского приближения (38.18) в этом
случае имеет вид (см. (26.19))
(38.18Р°)
Если ka^>l (крупномасштабные неоднородности), то условие
(38.18а) будет а\кгга^.\, тогда как из (38.17а) получаем
o^fe2za<^exp (fe2a"/2), т. е. параметр а\кага ограничен сверху не
единицей, а большим числом exp (k2a'/2)1).
С другой стороны, если выполняется условие применимости
борновского приближения (38.18), то заведомо выполняется и
') Если помимо условия ка^>1 выполняется также условие каг^>г, при
котором результаты дифракционного расчета совпадают с расчетами по МГО,
то многократное рассеяние вперед оказывается тем не менее учтенным. Отсюда
видно, что и МГО учитывает многократное рассеяние вперед.
f 381 ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРАВНЕН�Я 305
условие (38.17). В этом случае пренебрежимо мала роль много-
многократного рассеяния вообще, в том числе и роль обратного рас-
рассеяния.
В качестве второго примера рассмотрим спектральную плот-
плотность Фг(и) = ЛС|к-">ехр (—х'/хУ, соответствующую флуктуа-
циям диэлектрической проницаемости, обусловленным турбулент-
турбулентностью (см. 4.17)).
Трехмерная спектральная плотность такого вида применима
в области х > 2яД,0, где La — внешний масштаб турбулентности.
Пользуясь этой спектральной плотностью, нельзя оценивать гра-
границы применимости борновского приближения, так как в области
у. < 2л/Л„ она неверна. Если, однако, k^>'2n/L0, то рассеяние
назад обусловлено лишь той частью пространственного спектра
неоднородностей, которую приведенная формула описывает. В этом
случае, оценивая интеграл (38.17), можно получить следующее
условие применимости параболического уравнения:
В атмосфере Земли, например, С|~ 10~16 см-*/>, хя ~ 10'см"1.
Если k~ 10* см"1 (видимый свет), то последнее условие приводит
к ограничению г<§108 км, которое заведомо выполняется, так
как путь светового луча в атмосфере Земли по порядку вели-
величины не может превышать 103 км.
Суммируем результаты этого параграфа. Если выполняются
условия
2ft
$
то распространение волны в случайно-неоднородной среде можно
описывать при помощи параболического уравнения
для медленно меняющейся комплексной амплитуды, связанной
с волновым полем и формулой и(р, г) =ехр (i/гг) v(p, г). Прибли-
Приближение параболического уравнения учитывает многократное рас-
рассеяние волн вперед и не учитывает обратного рассеяния. Дифрак-
Дифракция при использовании МПУ учитывается в приближении Фре-
Френеля. Важной особенностью параболического уравнения является
то, что оно первого порядка по г. Поэтому на плоскости г--const
достаточно ставить только одно граничное условие.
Я0(! МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Я Ц"Л. VI
§ 39. Закон сохранения энергии
в приближении параболического уравнения
�сходное волновое уравнение
AM-t-fe'[l-fe(r)]a = O, (39.1)
из которого было получено, уравнение (38.4) для а(р, г), имеет
интеграл энергии (26.2), (26.3):
(39.2)
= lm(u'Vu) (39.3)
(для упрощения дальнейших формул ми приняли входящий
в (26.2) коэффициент а равным k). Вектор <У представляет собой
плотность потока энергии волны.
Пусть u = Aexp(iS), где А — амплитуда и S—фаза полны.
Тогда для if легко получить формулу
¦У = A*\S. (39.4)
Выразим теперь <?" через v. Если комплексную амплитуду v
представить в форме v — А ехр (iSr), то из выражения и = иехр (ikz)
получаем соотношение
S = kz+S' (39.5)
между полной фазой S и фазой S' медленной функции v. Согласно
(39.5)
и закон сохранения энергии (39.2) принимает вид
4[-4'(a+-^)]+ViHВ»VxS'] = 0. (39.6)
В приближении параболического уравнения имеем
Умножив это уравнение на о*:
liktf |j+xf Р” jo + k4vtf = Рћ,
и вычитая из него комплексно сопряженное уравнение
{ 38] ЗАКОН СОХРАНЕН�Я ЭНЕРГ�� 307
получаем
+V(v*V"vVv*)=;0, (39.7)
где мы использовали формулу v*A±v — v&±v* = Vi(w*V±»—v V±p').
Соотношение (39.7), полученное в приближении параболического
уравнения, заменяет закон сохранения (39.2). Подставим в (39.7)
v = A exp QS'), что дает
В¦% (*<4В«) + Vi (^ VВ±S') = 0. (39.8)
Сравнение (39.8) с (39.6) показывает, что из компоненты &г
плотности потока энергии при переходе к параболическому урав-
уравнению выпадает величина A'dS'/dz. Следовательно, должно вы-
выполняться неравенство
dS'
или
(39.9)
Неравенство (39.9) означает, что фаза S' должна мало меняться
на длине волны в направлении оси г. Это неравенство не является
дополнительным ограничением, а вытекает из уже использован-
использованного при выводе (38.4) условия \<^1г. Действительно, чисто
геометрический набег фазы волны уже учтен слагаемым кг
в (39.5). Поэтому слагаемое S' связано только с наличием неод-
нородностей. Но характерные размеры последних велики по срав-
сравнению с длиной волны, в силу чего неравенство (39.9) удовлет-
удовлетворяется.
Уравнение (39.8) можно интерпретировать еще и иначе. Вели-
Величина A'=vv*=uu*zal пропорциональна плотности энергии
волны. Разделив (39.8) на k, имеем
Уравнение (39.10) аналогично закону сохранения энергии в не-
нестационарном поле. В (39.10) координата г выступает в роли
времени, а энергия распространяется в плоскости (х, у). Если
проинтегрировать (39.10) по некоторой площадке 2, лежащей
в плоскости г = const и ограниченной замкнутым контуром $?,
то получим
^ j" / dx dy+ ^ d\v&'L dx dy = 0.
, i i
Применяя ко второму слагаемому теорему Гаусса для двумерного
случая, находим
308 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Таким образом, изменение энергии, сосредоточенной на площадке
2, связано с потоком энергии через контур &, ограничиваю-
ограничивающий X.
Рассмотрим частный случай, когда неоднородности диэлектри-
диэлектрической проницаемости статистически однородны и плоскостях
z = coiist, а падающая волна — плоская. �з соображений симмет-
симметрии очевидно, что все усредненные величины могут зависеть
в этом случае только от г и не зависят от поперечного радиуса-
вектора р. Усредним уравнение (39.8):
Так как <<4г?х^> не зависит от р, имеем Vi <-4'Vj_S'> = 0
и, значит,
Мы видим, что для плоской волны, распространяющейся
в среде, статистически однородной в плоскостях г —const, выпол-
выполняется равенство
1U? — TO* = ^» = ^J = const. (39.11)
Этот результат строго вытекает из (39.8), но он оказывается
приближенным, если исходить из точного уравнения (39.6). Дей-
Действительно, усредняя (39.6), мы получили бы
откуда видно, что равенство (39.11) справедливо с относительной
погрешностью порядка Х/[г.
§ 40. Метод плавных возмущений
Параболическое уравнение (38.4)
{p, Рі) Рѕ = 0,
СЏРі Р»' (40Р›)
определяющее комплексную амплитуду v, связанную с волновым
полем и формулой и(р, г) = ехр (:'?г) v (p, г), в общем случае, как
и исходное уравнение Гельмгольца (38.1), не. может быть решено
точно. Поэтому и для уравнения (40.1) приходится использовать
приближенные методы решения. В этом параграфе мы рассмотрим
так называемый метод плавных возмущений (МПВ), предложен-
предложенный С. М. Рытовым в детерминированной задаче о дифракции
j <0] МЕТОЛ ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� 309
света на ультразвуковой волне [3] и примененный для решения
статистических задач А. М. Обуховым [4]. МПВ приспособлен в
первую очередь для исследования таких параметров волны, как
ее фаза и уровень.
Представим комплексную амплитуду t' (p, г) в виде
)), (40.2)
откуда Ф —1п(о//4„). Здесь S' — S — fes (см. (39.5)) —отклонение
фазы от регулярного ее набега fez в отсутствие неоднородностей,
а 1п(/1/�|,) = х — уровень. Таким образом,
S' —1тФ.
Подставив (40.2) в (40.1), получим уравнение
^ f A!i (СЂ, 2) =- 0 (40.3)
для комплексной фазы Ф. Уравнение (40.3), в отличие от (40.1),
нелинейно, но случайная функция е входит в него не в качестве
Коэффициента, а аддитивно.
Будем искать решение уравнения (40.3) в виде ряда
Ф--Ф1 + Фа+..., (40.4)
.-предполагая, что Ф; имеет порядок малости ot = y^ <ea>, Фа — по-
порядок ol и т. д. Подставив (40.4) в (40.3) и приравнивая нулю
Группы членов одинакового порядка малости, получаем следую-
следующую систему уравнений последовательных приближений:
2ik^ 1 ЛдФ, --кЧ(р, г), (40.5а)
2<ft^l-AiO, = -(VJ.В©l)'. (40.56)
2ik ^3 -i- дхф3 = -2УХФ, • V±Ф2, (4О.5в)
Рассмотрим при помощи этих уравнений задачу о флуктуа-
Ях уровня и фазы волны в статистически однородной случай-
случайной среде, заполняющей полупространство г > 0, если из области
г<0на нее падает плоская волна и (р, г) — Л0ехр(17гг). Поскольку
*1Ы пренебрегли обратным рассеянием, на границе 2 = 0 должно
быть непрерывным только поле и, но не ди/дг:
а(р, 0) = А„ v(p, 0) = Л„ ^1
310 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й (ГЛ. V!
Таким образом, граничные условия ко всем уравнениям (40.5)
имеют один и тот же вид:
С„,(СЂ, Рѕ)=Рѕ, Рі = 1, 2, ...,
а сами уравнения различаются только правыми частями. Поэтому
решение любого из этих уравнений можно представить в виде
Р¶
Ф( (P. z) = \ dz' \ d*p'K (р — р', 2 — г')/,(р', г'), (40.6)
где К—функция Грина оператора 2ifeg- + Aj_, a f,—правая часть
соответствующего уравнения для Ф(.
Фактически удается вычислить лишь несколько первых чле-
членов ряда (40.4) (обычно используется только первое приближение,
а следующий член Ф2 служит лишь для оценки погрешности).
Для того чтобы Ф мало отличалось от Ф,, необходимо, чтобы
правые части уравнений (40.5) достаточно быстро убывали
с ростом номера /, т. е. необходимо потребовать выполнения
неравенства
\\iO1\'<k*0t, или |bVj/t\|s<<V (40.7)
Условие (40.7) означает, что изменения Ф, на поперечных
расстояниях порядка длины волны X должны быть малыми по
сравнению с сте (сама величина Ф, имеет тот же порядок малости,
что и е). Таким образом, условие (40.7) требует достаточной
плавности изменения Ф,. В связи с этим и сам метод, основан-
основанный н"а использовании теории возмущений для комплексной фазы
Ф, получил название метода плавных возмущений (ЛШВ).
Входящая в (40.6) функция Грина имеет вид (см. задачу 2)
*(СЂ-СЂ\ z-/) = -^exP(<M). (40.8)
Она отличается от функции Грина уравнения Гельмгольца, взя-
взятой в приближении Френеля (см. (38.12)), лишь отсутствием
множителя exp(i'fe (г—г')).
В дальнейшем вместо формулы (40.6) мы будем пользоваться
соответствующей формулой, связывающей трансформанты Фурье
по поперечным координатам:
Ф<(Р> г)=$фг(х, z) exp (ixp) d'x,
ft (P. z) = J C< (x, Рі) exp (ixp) dВ«x.
s 401 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 311
Эквивалентная (40.6) формула имеет вид (см. задачу 2)
Z
«Pi (*. г) - ж I ехР (- '""'а
D
Рассмотрим первое приближение Ф,. Согласно (40.5а) /, (р, г) =
—feJe(p, г) и из (40.9) получаем (опустим индекс 1 в ср,)
С„(С…, 2)=4JВ«p(-^JP^)e(x,2')&'. (40.10)
Рѕ
где е(х, г)—случайная двумерная амплитуда Фурье диэлектри-
диэлектрической проницаемости в(р, г). Перейдем теперь к уровню- % =
= Re Ф и фазе S' — I m Ф.
Так как
Ф* (р, г) — \ ф* (у,, г) ехр (— ixp) d*x = V ф' (—и, z) exp (ixp) d'x,
можно написать
X(Р . Рі) =
= { X (х, г)ехр (ixp) Лс=®^- J Ф(«-»)+»*(-»¦») ехр (/кр) л>
(40.11)
S'()
= j 5' (С…, Рі)СЃС…СЂ (txp) *x-^-J '"В¦"f-"1'1 exp (ixp) #Рё,
(40.12)
причем спектральные амплитуды уровня и фазы выражаются
через ф(х, г) следующим образом:
РҐ(С…,Рі)=С„(РҐРі)+2РЈ>(-"'Рі), S'(x,2) = ^^bVbiiii). (40.13)
Найдем ф* (—х, г). Так как поле е(р, г) вещественно, имеем
е*(—х, г') ~--е(х, г'), и поэтому из (40.10) получаем
(>'.O^'. (40.14)
Подставляя (40.10) и (40.14) в (40.13), находим
(x, z')dz\ (40.15)
[^^i](x,e')<fc'. 440.16)
312 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Усредняя эти формулы, получим Xi = S; = 0 (здесь мы вос-
восстановили индекс 1, так как средние значения уровня и фазы
равны нулю только в первом приближении). Во втором прибли-
приближении в формулах, аналогичных (40.15) и (40.16), вместо е(х, г)
фигурировала бы спектральная плотность величины (Vx^i)*
(см. (40.56)), среднее значение которой не равно нулю. Тем
самым и величины %а и Sj оказались бы отличными от нуля.
На вычислении этих средних мы остановимся позднее. Если же
нас интересуют средние квадратичные величины, например
Хг, S'\ то формулы (40.15) и (40.16) достаточны для их расчета
(учет членов второго порядка в % (х, г) привел бы к членам
третьего порядка малости в <xs>, малым по сравнению с основ-
основным членом).
Рассмотрим корреляционную функцию уровня '/ в плоскости
г — const. �з (40.11) имеем
Фх (Pi> Р>: *) = <Х (Pi. *) х (Р*. г)> =
= \ d% \ dВ«x,exp[f (С….СЂ. + С…^,)] <С… Рљ, Рі) Рі (*,. Рі)>. (40.17)
Таким образом, для расчета i^ необходимо знать функцию кор-
корреляции спектральных компонент, входящую в (40.17). �споль-
�спользуя (40.15), получаем
<X(*i.*)x (*„*)> =
||
(40.18)
Но для статистически однородной случайной среды справедлива
формула
<?(*„ zJeK, 21» = 6(x1 + xt)Fe(x1, Zj-г,), (40.19)
где двумерная спектральная плотность Fe сосредоточена в области
|С…||Рі)-РіРі|<2СЏ (40.20)
(см. задачу 4 к гл. I).
�з (40.19) и (40.18) следует, что
<Х («1, г) х (*„ г)> = б (^+х2) Fx (х„ г), (40.21)
РіРґРµ
**<>"• г)=
жж
^i!>] Р“.(Рє, Рі,-РіРі). (40.22)
* 40]
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
313
Еслк подставить (40.21) в выражение (40.17) для г|)х, то получим
(pl-P2)]Fx(x. Рі). (40.23)
Мы видим, что функция Fx(x, г) предстапляет собой двумерный
(в плоскости г — const) пространственный спектр флуктуации
СѓСЂРѕРІРЅСЏ.
Формулу (40.22), связывающую двумерные плотности флук-
флуктуации уровня и флуктуации г, можно существенно упростить,
если использовать свойство функции Ft, выражаемое неравен-
неравенством (40.20). Для этого сначала введем в (40.22) новые
переменные интегрирования г' -»(z, + гг)/2, 1 = гг—г,. Для этих
переменных уравнения границ области интегрирования будут
' ?2 г' = г±(?/2), и (40.22) примет вид
X sin
Область интегрирования 2 изображена на рис. 52.
В силу (40.20) в области, существенной для интегрирования
по ?, справедливо неравенство ч? < In. Поэтому члены x*J/4fe
в аргументах синусов можно оценить в чтой области следующим
образом:
4*
СЊ ik
Р»
2 '
поскольку максимальное волновое число хя, ограничивающее
-область, где сосредоточена функция Fe(n, ?), по предположению
мало по сравнению с волновым числом к. Следовательно, с точ-
точностью до поправок порядка малости x.Jk можно вообще отбро-
отбросить члены ±х*?/4Л в аргументах синусов, и (40.24) переходит
314 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
тогда в формулу
Fx(С…, Рі) = ? Jdz' dj sin' [**%; *">] Ft(x, I). (40.25)
Рассмотрим спектральную плотность Fx(x, г) при таких х,
которые удовлетворяют условию
С…Рі>1. (40.26)
Это неравенство означает, что характерные поперечные масштабы
неоднородностей уровня, которые мы хотим рассмотреть, малы
по сравнению с длиной трассы г (2я/х<^г). Для таких значе-
значений х область, существенная для интегрирования по ?, ограни-
ограничена в силу (40.20) неравенством |?| < 2л/х<<;г. Следовательно,
из всей области интегрирования, изображенной на рис. 52,
существенной является лишь узкая полоса ширины 2я/х<^г
вблизи оси ь=0 (на рис. 52 она указана горизонтальной штри-
штриховкой). Вне этой полосы функция Ft(x, ?) пренебрежимо мала,
что позволяет добавить к области интегрирования 2 дополни-
дополнительные участки, изображенные на рис. 52 вертикальной
штриховкой, т. е. расширить область интегрирования 2 до бес-
бесконечной (по ?) полосы 0 < г' < г (аналогичные соображения
использовались в § 33, рис. 38). Так как в добавляемой области
интегрирования функция Ft пренебрежимо мала (например, она
убывает там с ростом J экспоненциально, как в случае степен-
степенных спектров Фе), то допускаемая при этом погрешность несу-
несущественна. В результате описанного преобразования мы получаем
из (40.25) выражение
Z В»
Fx (С…, Рі) -= ? J sin* [*'(^Рі>)] dz' j Fe (x, 0 dj. (40.27)
Q -Рё
Но функция F,(x, I) удовлетворяет равенству (см. формулу (3)
в задаче 4 к гл. I)
СЃРѕ
5 /•„ (х, ?) dl = 2лФе (х, 0), (40.28)
— 30
где Ф, (х, 0)—трехмерная спектральная плотность флуктуации е,
аргументом которой является двумерный вектор (х, 0). �споль-
�спользуя это равенство и вычисляя первый из входящих в (40.27)
интегралов, получаем окончательную формулу для Fx;
Fx (Рє.
-~ [l -^sin^] Фе (*. <))• (40.29)
I 401 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 315
Эта формула получена для области хг§>1, т.е.
Однако в области у.<^.У1ф функция 1 j^sin-^ стремится
к нулю, как х4. Поэтому, если Vk/z'^z'1 (т.е. Vkz'^>\), то
практически во всей области, где сосредоточена функция (40.29),
условие хг^>1 хорошо выполняется. Поэтому ограничение
xz^l, использованное при выводе (40.29), несущественно, если
выполняется условие
означающее, что на длине трассы укладывается много длин волн.
Остановимся еще на одном чисто формальном обстоятельстве,
которое, однако, в дальнейшем будет использовано. При выводе
формулы (40.29) мы предположили, что Fe(x, г) является «острой»
функцией ? практически для всех представляющих интерес зна-
значений х. Фактически мы неявным образом заменили функцию
Ft(n, г) на дельта-функцию 6(Q. Убедимся, что при замене
Fe (х, Q ¦— 2яФс (*, 0) б (?) г F|** (х, г) (40.30)
мы сразу же получаем из (40.22) формулу (40.29). Действительно,
подставляя (40.30) в (40.22) и выполняя интегрирование по za,
мы получаем формулу (40.27), в которой использован интеграл
(40.28).
Подобно тому, как, исходя из формулы (40.15), мы подсчи-
подсчитали двумерную спектральную плотность флуктуации уровня,
можно вычислить и двумерную спектральную плотность фазы
Fs{x, г), если исходить из формулы (40.16). Не приводя вычис-
вычисления (см. задачу 3), дадим окончательный результат:
e(x,0). (40.31)
Корреляционная функция флуктуации фазы в плоскости г -const
выражается через функцию Fs(x, z) обычным образом:
fe (Р , Рі) = $ Fs (С…, z) exp (ixp) <Px. (40.32)
Если поле е (р, z) статистически изотропно в плоскостях
г —const или в трехмерном пространстве, то i|)e(p, z) ^г|>е(|>, г)
и трехмерная спектральная плотность Ф8(хя, х„, и,) имеет вид
Фе(Кх»Ч у-1, xj). В этом случае Фе(х, 0) —Фе(х, 0), т. е. зависит
лишь от модуля двумерного вектора х. �з формул (40.29) и
(40.31) при этом. следует, что спектральные плотности Fx(r.,z)
и Fs(x, z) тоже зависят лишь от х = |х| и, значит, случайные
поля j и S' статистически изотропны в плоскостях z —const.
Формулы, выражающие корреляционные функции т)зх и tys через
§ 41. Анализ результатов МП В
Проанализируем полученные в предыдущем параграфе резуль-
результаты. Рассмотрим функцию
Wx(x,z)=\-?-sm^, (41.1)
т.е. множитель, переводящий Фе (к, 0) в Fx(x, г). Разлагая
синус в ряд Тейлора, получаем
Таким образом, в области
или
функция Wx(x) пропорциональна х1. Характерное волновое число
¦x.F -Уk/z~yr2n/Xz соответствует по порядку величины радиусу
первой зоны Френеля У%,г. В области к^>х^ функция Wx пере-
перестает зависеть от х и стремится к единице. График функции
Wx(x, г) изображен на рис. 53. Что касается функции
РЈРђ*,Рі) = 1+&*Р¬1С‚. (41-3)
фигурирующей в (40.31), то при х = 0 она равна 2, а при x>xf
стремится, как и Wx, к единице (рис. 53).
Вид функции Фе(х, 0) может быть различным в разных за-
задачах, но мы предположили, что волновое число ия, соответ-
соответствующее размеру наименьших неоднородностей среды, всегда
мало по сравнению с волновым числом излучения ft, и поэтому
[ГЛ. VI
(40.33)
(40.34)
316 МЕТОД ПЛАВНЫХ ПОЗМУЩЕН�Я
Fx и Fs> принимают мри этом вид
(40.35)
где J0(x) — функция Бесселя.
Структурная функция фазы Ds(p, z) — <{S\p1, г)- S'tPj + p, г)]г>
ныражаетсн в этом случае интегралом
(41.2)
АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ
317
в области х > хм функция Фс(х, 0) пренебрежимо мала. Что же
касается величины v.jv.F — [/Г/х''тг1к = 1/Г2лХг/11, то она зависит от
отношения радиуса первой зоны Френеля к размеру наименьших
неоднородностей диэлектрической проницаемости. Как мы пом-
помним, величину D --Y?mj**F~ Xz'll
принято называть волновым па-
параметром (§ 10).
Рассмотрим сначала случай
^1 т. о. xm<^xF пли
jfe (рис. 54). Как уже от-
отмечалось, в этом случае спра-
ведлива геометрическая оптика.
Во всей области, где сосредо-
сосредоточена функция Фв(х, 0), мож-
можно при D<^1 с ; достаточной
степенью точности ограничить-
ограничиться первыми членами разложе-
разложений №х(ч, г) и 1У4.(х, г), т. е.
считать, что
Рџ75()СЃ,Рі)В»2. (41.4)
Для двумерных простран-
пространственных спектров уровня и О
фазы формулы (40.29) и (40.31)
дают при этом
3
Р РёСЃ.
—Г"
f
53.
Фе(Х
i, 0).
(41
.5)
Таким образом, как уже было показано в гл. V, в области при-
применимости геометрической оптики средний киадрат флуктуации
уровня растете расстоянием, как г3, а средний квадрат флуктуа-
флуктуации фазы —как г. Волновое число k не входит в формулу для
Fx(x, г), т. е. в геометро-оптическом пределе флуктуации уровня
не зависят от длины волны.
Средний квадрат флуктуации уровня выражается через Fx
при помощи формулы.
РҐРі = J Fx (С…, Рі) d'x=-^ Сѓ Рє'Р¤, (Рє, 0)СЃР С…. (41.6)
Отсюда видно, что вклад компонент спектра, соответствующих
Крупномасштабным неодкороднестям, которым отвечают малые
значения х, подавляется множителем х*, обращающимся в нуль
316
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН��
[ГЛ. VI
при х-^0. Основной вклад в %г вносит часть спектра, отвеча-
отвечающая мелкомасштабным неоднородностям. В этой области произ-
Vn x/xF
Р РёСЃ. 54.
Р РёСЃ. 55.
ведение х'Фе(х, 0) имеет максимум. В связи с этим и поперечный
радиус корреляции для флуктуации х имеет порядок величины /„
(СЂРёСЃ. 55).
5 41] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ 319
Формулу (41.6) можно представить также в виде
P.?)]p=orf? (41.7)
(см. задачу 5). В этой форме выражение для %' уже было полу-
получено в гл. V при помощи МГО (см. (35.11)).
Для среднего квадрата флуктуации фазы из (40.31) и (41.4)
находим
~~ """" (41.8)
Здесь основной вклад обусловлен той же частью спектра неод-
нородностей, для которой ФЕ(х, 0) максимально. Таким образом,
амплитудные и фазовые флуктуации обусловлены разными участ-
участками спектра неоднородностей диэлектрической проницаемости.
Формулу (41.8) можно представить также в виде (см. за-
задачу 5)
ее
~~ '" " (41.9)
что отвечает формуле (33.9) для эйконала <p = S'/k, полученной
при помощи МГО. Мы видим, таким образом, что найденные
при помощи МПВ формулы переходят в предельном случае D<^cl
{V}.z<^lt) в соответствующие формулы приближения геометри-
геометрической оптики.
Рассмотрим теперь другой предельный случай ?)^>1, соот-
соответствующий фраунгоферовой дифракционной зоне.
Если трехмерный спектр ФЕ(и) обладает несколькими харак-
характерными масштабами хп (п — 1, 2, ...), то мы будем считать, что
условие D = ¦x'i/к'р ^> I выполнено для наименьшего из этих вол-
волновых чисел и,, т. е. область пространства, в которой рассмат-
рассматривается поле, отвечает фраунгоферовой зоне для неоднородно-
неоднородностей всех масштабов, присутствующих в среде.
Взаимное расположение кривых Wx, Ws и Фе для этого слу-
случая показано на рис. 56. Мы видим, что в большей части
области, существенной для интегрирования, Wx m tys»1.
Поэтому, если трехмерная спектральная плотность Фв(х, 0) не
имеет неинтегрируемой особенности в нуле (и, значит, изменение
в нуле весовой функции Wx{k, г) не играет роли), можно счи-
считать, что
Fx(*, z)»Fs(x, г)х~Фе(у„ 0), Dp-l. (41.10)
320
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
[ГЛ. VI
Таким образом, в предельном случае больших D спектральные
плотности флуктуации амплитуды и фазы оказываются примерно
одинаковыми, в силу чего примерно одинаковы и корреляцион-
корреляционные функции:
фх (р, г) ж ^ (р. г) « ^ j exp (/хр) Ф, (х, 0) d'x, D > 1. (41.11)
Для средних квадратов флуктуации уровня и фазы при D^> 1
получаем
^'«Ря^^^ФЛх, 0)dX D>1. (41.12)
Отметим, что формула для среднего квадрата флуктуации
фазы в случае D ^> 1 отличается от формулы (41.8), справедли-
справедливой при D<§\, только вдвое меньшим коэффициентом. Что
касается флуктуации уровня, то_здесь при переходе к случаю
D^>1 меняется вид зависимости х2 от г: при Д<^1, согласно
(41.6), x*<vz3> тогда как х*~г при Dj->\. �наче говоря, при
постепенном увеличении г величина хг сначала (в зоне геомет-
геометрической оптики, где D~Xzill<§.\) растет, как г», а затем (во
фраунгоферовой зоне, когда величина Xz/ll становится большой)
рост у? замедляется до линейного:
Ull [ фе (Х> 0) dsz при г.>/|/Я.
5 41] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ 321
Рассмотрим в качестве примера среду, у которой корреля-
корреляционная функция флуктуации диэлектрической проницаемости
описывается гауссовой кривой
(41.14)
а соответствующая трехмерная спектральная плотность имеет вид
(41Р›5)
Размер неоднородностей характеризуется здесь единственным
масштабом а.
Несложный расчет приводит для такого спектра ФЕ (х) к сле-
следующим выражениям для у* и S'* (см. задачу 6):
РҐ- =^olk'az f 1 -*Р›*СЂ] =^cl(fta)MD-arctgZ)), (41.16)
S*=Jв„ўol Vaz [ 1 В¦:- '-???] = *^ oВ».(to)В» (D + arctgZВ», (41.17)
где D — 2zika1. При D—*0 можно использовать разложение
arctgD — D—?>'/3+..., что приводит, в согласии с (41.6) и
(41.7), к кубической зависимости у.а от г:
а для S'1, в согласии с (41.8), — к линейной зависимости:
571 l/2S"alfe3az
j (41.19)
В случае же D^>\ членами ±arctgD/?) в (41.16) и (41.17)
можно пренебречь, и тогда, в соответствии с (41.12), получаются
примерно одинаковые выражения для %1 и S'':
(41.20)
Графики функций х1 и S'1, отнесенных к V^2na| (fta)*/16 в за-
зависимости от D приведены на рис. 57.
Следует отметить, что формулы того же вида, что и (41.18)—
(41.20), справедливы и в более общем случае, когда трехмерная
спектральная ллотность неоднородностей Фе(х) всюду ограничена
(Фе(х)<С) и имеет максимум в точке к — О. �сходя из общих
формул (41.6), (41.8) и (41.12), можно показать, что при 1
11 С. М. Рытое в др. ч. II
322
Р° РїСЂРё
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
[ГЛ. VI
где /е—радиус корреляции флуктуации е.
Рассмотрим теперь другой пример, который не укладывается
в общие предельные соотношения (41.10)—(41.12). Мы имеем в
виду степенной спектр, соответствующий флуктуациям диэлек-
диэлектрической проницаемости, вызываемым турбулентностью:
Фе (х) =- Ж1х-"': (41.21)
Здесь Л ж 0,033, а С\—структурная характеристика, входящая
в «закон 2/3» для флуктуации диэлектрической проницаемости.
В действительности спектр Фг(х) является степенным лишь в
ограниченном диапазоне волновых чисел
(41.22)
где /0 и ?0—соответственно внутренний и внешний масштабы
турбулентности. Однако во многих практически интересных слу-
случаях волновой параметр Dg—Xg/xJ.-,'«составленный» из радиуса
первой зоны Френеля и внешнего масштаба турбулентности Lo,
не превышает единицы даже на достаточно больших дистан-
дистанциях г').
') Например, при распространении света в атмосфере типичные значения
радиуса первой зоны Френеля не превышают несколько десятков сантиметров,
тогда как внешний масштаб турбулентности La порядка нескольких .пил ров.
На дистанциях в несколько сотен километров О0 остается малым па сравне-
сравнению с единицей.
АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ
323
Вместе с тем волновой параметр
Р± Р±
— х^/
х^/хр, «составленный»
Р’РјРµ СЂСЂ СЂ
из внутреннего масштаба турбулентности и радиуса первой зоны
Френеля, может быть как меньше, так и больше единицы. В по-
последнем случае метод геометрической оптики уже неприменим
из-за наличия неоднородностей, меньших радиуса первой зоны
Френеля. С другой стороны, поскольку D, <^ 1, всегда присут-
присутствуют и неоднородности размером больше |/"?.г, и для них по-
поэтому еще характерен не режим дифракции Фра у н гофера, а фре-
нелевская дифракция или даже геометрическая оптика.
*/*F
Предположим на время, что ограничения (41.22) отсутствуют.
Тогда функция х/1'х(х, г), интеграл от которой определяет х\ бу-
будет изображаться кривой, показанной на рис. 58. В области
^ имеем x/'x(x,*z) ~ к-к1-и-"'' — *.'!>, т.е. /',.(0, г) — 0, а
) "/ П площадь под
при х^>хР получаем х/-'х(х, г) ~ *-"/¦. Поэтому
кривой xfx(x, г) на рис. 58 конечна и интеграл
Fy(x, z)xdx
(41.23)
сходится.
Посмотрим теперь, к чему приводит учет реального хода
спектра Фе(х) вне интервала (х0, кт), в котором справедлив
закон (41.21). В области х < и, трехмерная спектральная плот-
плотность Фе(ч) возрастает с уменьшением х медленнее, чем х~"'',
или же вообще не возрастает.
324 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Поэтому, если xo<§xFl то в области х < х0 произведение
xWxO, уже мало и не влияет существенно на значение интег-
интеграла (41.23). Следовательно, если «реальная» функция Фе(к) в
области х < х0 уменьшится по сравнению с чисто степенной
функцией (41.21), то это заметным образом не повлияет на зна-
значение интеграла (41.23). Таким образом, если *,,<<;%, то откло-
отклонения «реального» спектра ФЕ(х) от чисто степенного можно
не учитывать.
Равным образом, если х„^>Хр, то точка х,„ лежит уже в той
области, где произведение KFx<ue мало и убывает с ростом х,
так что интеграл
5 x-'V.xdx-'/.С…-1/В» (41.24)
при больших х„ настолько мал, что его вкладом в полный ин-
интеграл (41.23) тоже можно пренебречь. Поскольку интеграл от
произведения «реального» спектра на Wx отличается в высоко-
высокочастотной части спектра от интеграла с чисто степенным спектром
на малую величину (41.24), этой разницей при xm^>xF тоже
можно пренебречь.
�так, если выполняются условия х0 <^;xf<5^*m> то при рас-
расчете ха можно считать, что Фе(х)~х-"'> при всех х, и в этом
случае подстановка (41.21) в (40.33) дает
^-'/.dx. (41.25)
Замена переменной интегрирования tfzjk — t* приводит этот ин-
интеграл к виду
-^)f"'dt. (41.26)
Полагая р=0 (напомним, что /„(0) —1), получаем для
a = i(!x(0, г) выражение
, (41.27)
где N—числовая константа, равная
_!В¦?<!) *-v>?ttВ« 0,077. (41.28)
I 4l] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ. 325
Степенная зависимость %г от г (показатель 11Д>) оказывается
промежуточной между предельными случаями ^а <~ г3 и х9~г>
соответствующими зоне геометрической оптики и зоне Фраунго-
фера. Это обусловлено тем, что при Xo^xf<^xm • всегда суще-
существуют неоднородности, для которых точка наблюдения находится
в зоне дифракции Френеля.
Расстояние р между точками наблюдения входит в (41.26)
лишь в комбинации р]/k'Z = V 2np<V).z. Это означает, что ра-
радиус корреляции флуктуации уровня имеет порядок величины
yTCz. График корреляционной функции (11.26) приведен на
СЂРёСЃ. 59 (СЃРј. [Р�]).
Обратимся к флуктуациям фаны. Если подставить трехмерную
спектральную плотность вида (41.26) в формулу (40.34) и не при-
принимать во внимание ограничений
(41.22), то интеграл в (40.34)
будет расходиться в точке х —0.
Это обусловлено тем, что, в от-
отличие от Wj(k, г), весовая функ-
функция Ws(x, г) не обращается
в нуль при х--0. Таким обра-
образом, роль компонент спектра, от-
отвечающих крупномасштабным не-
однородностям, пренебрежимо ^
малая для амплитудных флуктуа- ° w—¦— /yV&r'
ций, оказывается для флуктуа- р Г)9
ний фазы не меньшей, чем роль
мелкомасштабных компонент. Эго
не позволяет экстраполировать спектральную плотность вида
(41.21) на область х<«„. Для расчета величины S'" необходимо
знать истинную трехмерную спектральную плотность в указанной
области волновых чисел, т. е. надо учитывать влияние крупных
неоднородное!ей. Простейший способ учета «насыщения» флук-
флуктуации в области крупных масштабов состоит в замене спектра
(41.21) спектром (41.15), который не имеет особенностей при
я—>О. Оценка дисперсии эйконала, отвечающая такому спектру,
уже была ранее получена при помощи МГО (см. (36.8)).
Рассмотрим теперь структурную функцию фазы ?>s(P> г) в
плоскости г— const. Здесь мы уже можем ожидать, что крупно-
крупномасштабные неоднородности (с размерами, много большими р)
не будут играть роли, так как они дают одинаковый вклад в
набеги фаз по обоим лучам и поэтому выпадают из разности
S (Pi, г)—S'(p,, г). В формуле (40.35) это находит отражение
¦ "Юм, что множитель 1—У0(«р) в области ч<^р-' ведет себя
как х1. Поэтому, если подставить степенной трехмерный спектр
(41.21) в формулу (40.35) и не учитывать ограничении (41.22),
�сследование этого интеграла (см. задачу 7) приводит к следую-
следующим результатам. Если U<^.p<^.L0 и fep3S>>z, то
326 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й (ГЛ. V]
то мы получим сходящийся интеграл
(41.29)
Особенность в нуле имеет здесь вид х2-"''> — х~"\ т.е. является
интегрируемой. Повторяя рассуждения, проведенные при обосно-
обосновании формулы (41.24), можно убедиться в том, что при выпол-
выполнении условий
(41.30)
справедлива формула (41.29). В этих рассуждениях волновое чи-
число 2л/р будет играть ту же роль, что ки в предыдущем случае,
так как весовая функция [1—У0(хр)]Ws(r-, z) при и<^;2л/|>
имеет вид Xs, а при и^>2л/р она приблизительно постоянна.
Сделав в интеграле (41.29) замену переменной чр = t, получаем
(41.31)
(41.32)
(41.33)
Чтобы найти вид функций tx(i>, г) и АПр. г) ПР� Р^'о.
необходимо учесть, что трехмерная спектральная плотность Фе(к)
в области у-%>'лт быстро убывает. Лля области (><Sj5/n можно
получить формулы (см. задачу 8)
(41.34)
(41.35)
В заключение данного параграфа выведем ряд найденных выше
основных формул при помощи простых рассуждений качествен-
качественного характера (разумеется, мы не получим числовых коэффи-
коэффициентов, входящих в эти формулы).
Рассмотрим сначала флуктуации фазы. Как мы убедились
выше, для их расчета достаточно использовать приближение гео-
геометрической оптики, так как учет дифракционных эффектов при-
приводит лишь к изменению числовых коэффициентов. Возьмем луч
I 4|] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ 327
длины г. Если масштаб неоднородностей равен 1е, то на луче
укладывается N~z/lt независимых неоднородностей. После про-
прохождения одной неоднородности произойдет набег фазы волны,
равный lz — ^t^lgk^l + -|-j, т.е. случайная компонента этого
набега равна по порядку величины /„fee. Так как случайные ве-
величины е, отвечающие различным неоднородностям, статистически
независимы, для суммарного среднего квадрата набега фазы имеем
S1' ~ N (Ijiiy = j- l\k\s\ — alk^lbz, что соответствует формуле
(41.19).
Оценим теперь в том же приближении геометрической оптики
флуктуации амплитуды. �х можно рассматривать как результат
случайных фокусировок и дефокусировок. Пусть по-прежнему
неоднородность имеет размер /е> а отклонение диэлектрической
проницаемости от средней равно е. Как известно, фокусное рас-
расстояние линзы, ограниченной сферической поверхностью с радиу-
радиусом R, равно F — nR/(n — п), где л— показатель преломления
линзы, а п — окружающей среды. Поэтому для рассматриваемой
неоднородности фокусное расстояние будет порядка F~ltiz, a
угол отклонения луча а (рис. 60) имеет порядок a~(lt/F) ~ е. �з-
�зменение диаметра упавшего па «линзу» пучка составит на рас-
расстоянии z позади нее величину Дй = га~ге. Но амплитуда вол-
волны А связана с диаметром\ пучка d соотношением А1йг — АЦ%,
откуда АА/А^ —\d/d. Если
рассматривать только слабые
флуктуации интенсивности,
то фокусное расстояние F
очень велико и d для z<^,F
будет порядка /е, т. е. А~А0
и, тем самым,
Ad^Ji. (41.36) Р РёСЃ0В°-
Ло 'е
Мы подсчитали относительное изменение амплитуды, вызванное
действием одной «линзы». Суммарная оптическая сила 1/F не-
нескольких слабых «линз», расстояние между которыми мало по
сравнению с их фокусными расстояниями, равна сумме оптических
сил составляющих, так что суммарное изменение амплитуды будет
Рњ= V ^i-
328 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУШЕН�П [ГЛ. VI
Среднее значение этой суммы равно нулю, а для среднего квад-
квадрата получаем
где JV« г//е—среднее число неоднородностей на дистанции г.
В итоге
что соответствует формуле (41.18).
Возьмем теперь случай, когда в среде присутствуют неодно-
неоднородности различных размеров, причем в соответствии с трехмер-
трехмерной спектральной плотностью (41.21), которой отвечает струк-
структурная функция Д>(р) = C|pVl, неоднородность размера / харак-
характеризуется флуктуацией диэлектрической проницаемости ё^Су».
Рассмотрим сначала амплитудные флуктуации. Согласно фор-
формуле (41.36)
РђР› _. РіРЎ/С‹ _ СЃ _Рі_ (41.37)
A I z /VВ»
Мы видим, что эффект тем больше, чем меньше неоднородность.
Если размер наименьших неоднородностей 1а удовлетворяет усло-
условию /0§>|АЯг (и поэтому дифракционными эффектами можно пре-
пренебречь), то в качестве I в (41.37) следует взять /„. Число таких
неоднородностей на пути распространения волн равно N ~ г//0,
и суммарный средний квадрат флуктуации амплитуды будет равен
но порядку величины
В¦ <41-Р·Р°)
Пусть теперь /0<^(/Хг, но вместе с тем V\z<^.L0, где Lo —
внешний масштаб неоднородностей. Это означает, что имеются
неоднородности с размерами / > У^г, к которым применима
геометрическая оптика, а значит, и формула (41.37). В то же
время к неоднородностям, размер которых I лежит в интервале
(/„, 1/Тг), геометрическая оптика неприменима к их действие
необходимо рассматривать с учетом дифракционных эффектов-
В данном случае роль дифракции сводится к тому, что линзы
с размерами, меньшими \'Xz, уже перестают фокусировать или
дефокусировать волну, а в обоих случаях создают расходящиеся
лучки с углом раствора порядка X//. Следовательно, неоднород-
неоднородности с размерами, меньшими (/лг, можно вообще не учитывать.
i 111
АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ MlIB
.129
Действие же более крупных неоднородностей по-прежнему опи-
описывается формулой (41.37). Поэтому окончательную формулу мы
можем получить прямо из (41.38), если заменим в ней размер /„
на размер наименьших неоднородностей, которые еще способны
фокусировать (или дефокусировать) волну, т.е. на ]/~Xz. В ре-
результате получаем формулу
Cik'1-z"
(41.39)
которая соответствует (41.27).
Перейдем теперь к флуктуациям разности фаз в двух точках
с координатами (р,,.г) и (р„ г), отстоящих друг от друга на
расстояние р = | pL—ря|.
*
Р РёСЃ. fil.
Рассмотрим два луча, приходящих в точки (р,, г) и (р2, г),
и выберем слой среды такой толщины Дг, чтобы на протяжении
Az величины е(р,-, г) мало менялись. Этот участок трассы вносит
сдвнг^фаз AS ~ k Де (р) Дг, где Де(р) — разность значений е на
лучах (рис. 61). Здесь возможны следующие два случая.
Если р<^/0, то оба луча находятся в пределах одной неод-
неоднородности размера /0 и мы можем выбрать Дг~/0. Тогда для
участка длины /„ имеем
~ fe2 [Ле (p)]a /5. Но Деа (p) — это струк-
структурная функция t. Как было указано в гл. I, § 4, если р<^/0,
то Се(р)~С1(р//0)*/*0''~С^''''(>! и, следовательно,'Ssr|~C|fe8;j'/.p^J.
Число независимых неоднородностей на пути г в этом случае
N ~г//0, так что суммарный средний квадрат разности фаз равен
Пусть теперь L0^>p^>/0. В этом случае основной влад в AS
вносят неоднородности с размерами порядка р. Действительно,
более мелкие неоднородности обладают меньшими значениями к, а
более крупные вносят одинаковый вклад в сдвиг фазы обоих
•тучей" и поэтому несущественны для разности фаз AS. Мы можем
поэтому выбрать Дг~р, и тогда
330 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 1ГЛ. V
(поскольку Де (р)~Сер1/'). Полный средний квадрат разности
фаз, вызванной всеми Л'~г/р неоднородностями, будет иметь по-
порядок величины
6S* ~ CJfe'p''1 — ~ Clfe'p''"^, (41.41)
что соответствует формуле (41.32).
�з приведенных качественных рассуждений видно, что основ-
основные формулы МП В для турбулентной среды можно получить из
геометро-оптического анализа, если только учесть дополнительно,
что неоднородности с масштабами, меньшими радиуса первой
зоны Френеля, несущественны для амплитудных флуктуации.
Что же касается предельного случая D^>1, которому соот-
соответствуют формулы (41.20), то здесь геометрическая оптика уже
полностью неэффективна. Формулы (41.20) тоже можно получить
путем качественных рассуждений, но при этом необходимо поль-
пользоваться чисто дифракционным понятием эффективного попереч-
поперечника рассеяния для зоны фраунгоферовой дифракции [6J.
§д42. Распределение вероятностей флуктуации
амплитуды и фазы. Закон сохранения энергии
в границы применимости МПВ
�сследуем законы распределения вероятностей для уровня
и фазы волны. Если при расчете комплексной фазы Ф можно
ограничиться первым приближением Ф,, то, согласно (40.5а)
Рё (40.РЎ),
Z
Ф|(Р. z) = — fc'Jdy ^ dz'/C(p—р', z—z')e(p', г'), (42.1)
Рѕ
где функция К определяется формулой (40.8). Отсюда для
уровня х ч фазы S' следуют формулы
2
Xi(P> г)~— *'\dV \ <аЬ'Де/С(р — р', г—г')в(р', г'), (42.2а)
S[(p. г) = —fe« J dy $ dz' Im/C(p—р', г—г')ё(р', г'). (42.26)
Рѕ
Для того чтобы найти законы распределения вероятностей х и
S', можно было бы, пользуясь этими формулами, найти моменты
<Х">. <S'in>, <XiS[m> и по ним построить плотности вероятностей
для х. S' и совместную плотность вероятностей для (х/ S[).
Такой путь, однако, слишком сложен.
I ,2| РАСПРЕДЕЛЕН�Е ВЕРОЯТНОСТЕЙ 331
В конце предыдущего параграфа нам удалось получить иснов-
ные формулы для средних квадратов флуктуации уровня и фазы,
исходя из простых качественных соображений, причем неодно-
неоднородная среда разбивалась на отдельные объемы, вносившие ста-
статистически независимые вклады в х и S'. Аналогичное разбие-
разбиение можно провести и в формулах (42.2), представив интегралы
как суммы интегралов по слоям (г,, г1Л1), продольные размеры
которых Дг значительно превышают радиус корреляции флук-
флуктуации диэлектрической проницаемости (Аг^>/8). При этом мы
получим для х и S' формулы, имеющие вид
РҐ~2С…"\ S' -2S"", (42.3)
в которых отдельные слагаемые можно приближенно считать
статистически независимыми. Если размер Дг [можно выбрать
так, что будут выполняться соотношения
то на протяжении пути волны число независимых слагаемых
в формуле (42.3) будет велико: Лг = г/Дг^>1. В этом случае вели-
величины % и S' оказываются представленными в виде сумм большого
числа статистически независимых слагаемых и в силу централь-
центральной предельной теоремы их можно считать распределенными по
нормальному закону.
Приведенное рассуждение весьма нестрого. В дейсгвительно-
сти вклады отдельных слоев не являются полностью некоррели-
некоррелированными, так как неоднородности, примыкающие к границам
этих слоев, вносят коррелированный вклад в соседние члены
сумм (42.3). Далее, и» некоррелированности отдельных слагае-
слагаемых, входящих в суммы (42.3), еще не следует их статистическая
независимость. Позтому строгое обоснование утверждения о стрем-
стремлении законов распределения для у. и S' к нормальным должно
опираться на прелелвные теоремы для линейных функционалов
от случайных функций1) (см., например, [7]). Мы не будем,
1) Например, для случайных процессов 5(0 условия, при которых рас-
пределение вероятностей интеграла т)= f | (t) f (I) it стремится к пормалыюму
t,
при увеличении интервала (lt, lt), включают и так называемое условие силь-
сильного перемешивания:
СЂ
(I
-В¦>
;Ш МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� [ГЛ. VI
однако, углубляться в этот вопрос. Отметим, что эксперимен-
экспериментальные данные хорошо подтверждают вывод о нормальности
распределений вероятностей для х и S' в тех случаях, когда
применимо первое приближение МПВ [8].
Амплитуда А волны связана с уровнем % формулой
2 = In-Рі, (42.4Р°)
откуда
Л = Л„ехр(Х). (42.46)
Как следует из (42.4а), логарифм амплитуды распределен по
нормальному закону, откуда вытекает, что сама амплитуда имеет
логарифмически нормальное распределение. Легко найти мо-
моменты А". Для этого представим % в виде % = % + %¦ Как уже
отмечалось выше, величина х в первом приближении МПВ равна
нулю и для ее расчета необходимо использовать второе прибли-
приближение. Формула (42.46) принимает вид А = Л„ехр(х)ехр (¦/).
Отсюда
~Рђ" = /IJe"* <<?"*>В¦
Так как для нормальной случайной величины п%, среднее зна-
значение которой равно нулю, справедлива формула
то для А" получаем
(42.5)
При распространении плоской волны в статистически однород-
однородной среде имеет место закон сохранения A' — cons,t = A'0(cM. (39.11)).
Полагая в (42.5) п = 2, получаем
Отсюда и из равенства А' = А\ следует, что должно выполняться
соотношение
X = -oJ, (42.6)
являющееся следствием закона сохранения энергии.
Разумеется,' величину х можно было бы найти и непосред-
непосредственно из второго приближения уравнений МПВ. Такой расчет
проведен, например, в работе [9], и его результат согласуется
с равенством (42.6).
{ 42] РАСПРЕДЕЛЕН�Е ВЕРОЯТНОСТЕЙ 333
Если подставить (42.6) в формулу (42.5), то она принимает
РІРёРґ
p^} (42.7)
Найдем средний квадрат флуктуации интенсивности / — Л". Оче-
Очевидно, 7^А*^А\. Для 7*=± А1 получаем из (42.7) fi^Ale'"*.
Поэтому дисперсия интенсивности о*=Р — (/)а будет
o) = Ai(eia*-l). (42.8)
Отметим, что интенсивность 1 — Аг = АЪе'г* имеет, как и ампли-
амплитуда, логарифмически нормальное распределение.
Рассмотрим теперь вопрос о границах применимости МПВ.
Прежде всего, поскольку уравнения МПВ получены из прибли-
приближенного параболического уравнения (38.4), условия применимо-
применимости последнего необходимы и для применимости МПВ. Но урав-
иения МПВ решены нами лишь в первом приближении, поэтому
следует выяснить условия, при которых поправки к величинам
oj, S'', Ds{p) и т. д., найденные из второго приближения, будут
малыми. Соответствующие расчеты проведены в целом ряде работ
{см., например, [9,10]), результаты которых сводятся к сле-
следующему.
Прежде всего, должно выполняться условие малости флук-
флуктуации уровня, найденных в первом приближении МПВ:
С…!<^1. (42.9)
При выполнении этоСЬ условия поправки второго приближения
X величине а| будут несущественными. Например, если трехмер-
трехмерная спектральная плотность флуктуации е имеет чисто степен-
степенной вид, как в случае турбулентных неоднородностей, то для
Величины а\ (с учетом следующих приближений МПВ) справед-
справедлива формула
<4-з2+о,(хВ*- O-MY+ ¦ ¦¦ =/(й). (42.Ю)
причем /(tf)«tf при 5с!<^1.
Если же мы интересуемся величиной Ds(p, г), то для нее
1в случае степенных спектров) с учетом следующих приближений
МПВ имеет место формула
Ds(p, z)=--Dsl(P, z)+ai[Dsl(p, z)]'+..., (42.11)
В которой DSl (р, г) — структурная функция фазы, найденная
¦ первом приближении МПВ. Поэтому условием применимости
з:н метод плавных возмещений [гл. vi
МПВ для вычисления Ds(p, г) служит неравенство
DS1(P, Рі)<1. (42.12)
Следует подчеркнуть, что условия (42.9) и (42.12) независимы:
возможны такие соотношения между параметрами задачи, когда
одно из них выполнено, а другое нет. В этом случае первое
приближение МПВ пригодно для расчета одной величины, но
непригодно для расчета другой. Ограничение (42.12) является,
по-видимому, излишне жестким. Расчеты, проведенные в при-
приближении параболического уравнения (гл. VII), приводят к зна-
значительно более слабому ограничению величины Ds(p, г), чем
(42.12). _
Важно отмстить также следующее. Пели условие %* <^ 1 на-
нарушено, например */.'«1, T0 Учет второго приближения не спа-
спасает положения, так как, согласно (42.10), при этом все члены
ряда становятся существенными.
В области применимости МПВ, в силу условия а?<:1, мы
можем разложить экспоненциальные множители и формулах для
А" в ряды и ограничиться их первыми членами. Например, вме-
вместо (42.8) можно написать
J|=e'4_lВ«4o|. (42.13)
В связи с этим возникает следующий вопрос. Так как МПВ
применим лишь в случае слабых флуктуации уровня (и ампли-
амплитуды) волны, то имеет ли он преимущества по сравнению с ме-
методом малых возмущений?
Если поле и (г) искать в виде u — u,, + ul+..., то флуктуации
амплитуды А и фазы 5 можно выразить через и„ и и,: А/А„ —
= Re(Ug/uJ, S= Im (uu'utI). Поэтому, зная вторые моменты для
Re«, и Im «j, можно найти соответствующие величины для ам-
амплитуды и фазы. Формулы для амплитудных и фазовых флук-
флуктуации, найденные таким путем, совпадают с полученными из
уравнений первого приближения МПВ, за исключением того, что
вместо In А следует подставить 1пЛ0ЧЛ/Л0, т. е. учесть первый
член разложения In Л в ряд по -4/Л0.
Если же обратиться к законам распределения вероятностей
для амплитуды, то здесь выводы, получаемые при помощи обоих
сравниваемых способов, будут отличаться коренным образом.
Применив к амплитудным флуктуациям теорию возмущений,
мы находим для закона распределения вероятностей амплитуды
обобщенный закон Релея (ч. I, формула (25.3)). Для этого за-
закона распределения отношение <Л*>/.А5 =——1--0,27, т.е. ббль-
i 42J
РАСПРЕДЕЛЕН�Е НЕРОЯТНОСТЕЙ
335
шие флуктуации амплитуды не находят объяснения. В то же
время МПВ приводит к логарифмически нормальному закону
распределения для А, при котором такого ограничения нет. Хотя
формально должно выполняться неравенство (42.9), фактически
оказывается, что формулы для а\, получаемые в первом прибли-
приближении МПВ, хорошо согласуются с экспериментальными данными
Р РёСЃ. f.2.
вплоть до значений oJ<S I [8, 11]. Законы распределения вероят-
вероятностей для А, полученные экспериментально при oj<], тоже
хорошо согласуются с логарифмически нормальным распределе-
распределением, и их нельзя аппроксимировать распределением Релея.
Однако в области, где рассчитанная при помощи МПВ вели-
величина сх превышает единицу, экспериментальные данные резко
расходятся с результатами расчета. Сопоставление измеренных
и рассчитанных при помощи МПВ результатов приведено на
рис. 62 [8]. На этом рисунке но вертикальной оси отложены
измеренные значения <тх, а по горизонтальной оси — значения
и0^ у х\, вычисленные в рамках первого приближения МПВ
с использованием независимо полученных (из микрометеорологи-
микрометеорологических измерений) величин С%.
_ �з сказанного ясно, что для описания области, в которой
Х*>1, необходимо использовать методы расчета, выходящие за
рамки теории малых возмущений и МПВ.
336 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Задачи.
1. Функция Грина G(r) удовлетворяет уравнению
ДО (г) | *«С(г)-8(г) (1)
и условию излучения на бесконечности. Вывести для О (г) двумерное спек-
спектральное разложение.
Решение. Подставив в (1) трехмерное разложение Фурье
в{т)-()(р, г)--- J d*x JJ dpg(x, р)ехр{Г(хрН-рг)}, (2)
получаем уравнение
откуда следует, что
В знаменателе подынтегрального выражения введена бесконечно малая
(е --*¦-]- 0) мнимая добавка, соответствующая затуханию юлны (1т?>0) и
приводящая при вычислении интеграла (3) к функции Грина, отвечающей
расходящимся волнам.
Если выполнить в (3) интегрирование по р, то мы получим искомое раз-
разложение функции G (г) в двумерный интеграл Фурье. Рассмотрим интеграл по р:
— э>
Полюсы Pi.j—i Vk*—x*-t-i« расположены как в верхней полуплоскости
(ImPi > 0), так и в нижней (Imp. < 0). Ксли г > 0, то контур интегрирова-
интегрирования можно замкнуть бесконечной полуокружностью в верхней полуплоскости
комплексного переменного р, к вычет в верхнем полюсе дает
pip.* л»п It У^Аа x2zl
; — _ о-.- е ' =- _ nf е»Р 1' Г « х г;
„ « , (Г>)
Pi —Ра V*» — ха
причем
(выбор знака в нижнем равенстве обеспечивает выполнение условия Imp, > 0
как лри кг > х9, так и при к* < я1). Подставляя (5) в (3), получаем, что
РїСЂРё Рі > 0
О (Р. г)— я^-т \ ^и— ,.-,== — , г > 0. (С)
Диалогично вычисляется интеграл и при г < 0, когда вычет надо брать в по-
полюсе pt- Окончательная формула, охватывающая оба случаи, отличается от (б)
<aavr>unfi 9 РІСЏ I 2 t
люсе pt- Окончате
заменой г на | г |.
ЗАДАЧ� 3,47
i. Найти функцию Грина К [р. z) уравнения (40.5).
Решение. Будем искать решение уравнения
+A^-f(p, Рі)
с начальны» условием Ф (р, 0) — 0 в виде двумерного интеграла Фурье
Р¤(СЂ, z)=$exp(ixp).f(x, z)d*x. (2)
Подставляя в (1) такое же разложение и для функции /(р, г):
/(СЂ', z)^\ exp(ixp)n(x,
I r> (3)
(i (x, z)- J-5 Гсхр (-<xp') f(p';z) <Pp',
получаем
%^*,z)^p(*, Рі).
Умножая это уравнение на -^exp^ — JiA f и интегРиРУя по z от 0 до z
с учетом граничного условия <р(х, 0)=-0, находим
Подстановка (4) в (2) дает
z
Ф(Р, г)=-^ J ^' J <Рх «р |.xp-'x (^~ °| и (х, г'
Чтобы получить окончательное выражение для Ф, надо воспользоваться
обратный преобразованием Фурье для ц(х, г') (вторая формула (3)):
', z)
Взяв интеграл по к, получаем формулу вида (40.6), в которой /С(р, г) опре-
определяется формулой (40.8).
3. Найти двумерную пространственную спектральную плотность !¦$(*¦, *)
флуктуации фазы (40.16).
Решение. Как и для флуктуации уровня (см. (40.21)), имеем
, z)S(W, z)> = 6(n+x')fs(x, Рі). (1)
338 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� [ГЛ. VI
�з (40.16) следует, что
<S (С…, Рі) S (С…', *)> = Рў J dz' Idz"cos
Рў J dz' I
Xcos
а так как, согласно (40.19),
«. /—г"),
получаем следующую связь между спектральными плотностями /"s и /"с:
[2^i^3] [!^3] («. *'-*')• (3)
) = ? f В«fe'j
Еслн'воспользоваться теперь эффективной двумерной спектральной плот-
плотностью (40.30):
Fl**(x, г'—г')-2лФ8(х, 0)6 (г'—г*),
то формула (3) принимает вид
z
FS (и, г) = ^Фе(.с, 0) J cos» ["' (г2~г>)] Л',
что после вычисления интеграла приводит'к выражению (40.31).
4. Найти корреляционные функций флуктуации уровня и фазы для точек
наблюдения, разнесенных как в поперечном, так и в продольном направлении.
Решение. �сходя из формулы (3.11), получаем
. *СЊ Р Р°. *Рі) =
�спользуя формулы (40.15), (40.19) и (40.30), находим, далее,
z' Рі" Р“ Р° '1
!, *i)X<*,. Рі,)>-Рў1 Р¤' Idl" 3i" L Kl (2ft~Z ' I
Рѕ Рѕ
1 IL 2ft I X
Рѕ Рѕ
(4,-1 хг)-2пФ?(х„ 0)6(г1-r*)-
л*8 ., , . ^ , „ С ¦ Г"? (г, — г') 1 . Г "it's — г') 1 j.
= -2-6(Ki + «i)1)s(}ei'0)\ sin ^ "¦ г2к—-j sll> у 2k— J '
где z< = min(z1, zt). Подстановка (2) в (1) дает
*x(Pi. «i; Pi- гг) = ~- |(РхФе(х, 0) exp [i« (pj—p,)l X
ЗАДАЧ� 339
формула для функции корреляции фазы \J?s отличается от (3) лишь заменой
СЃРёРЅСѓСЃРѕРІ РЅР° РєРѕСЃРёРЅСѓСЃС‹:
(4)
Вычислив интегралы по г' и истюльзуя равенство
¦=1/«1г1~г»|> находим
Здесь верхние знаки относятся к ipx, нижние—к if5.
При Zj — г2 = г формула (5) переходит в формулы (40.29) и (40.31). Заме-
Заметим, что корреляционные функции, определяемые формулой (5), зависят лишь
от pi—рг, т. е. инвариантны-по отношению к одновременным сдвигам обеих
точек наблюдения в плоскостях z — Zi и z = z2 на одну и ту же величину.
Вместе с тем в (5) входит как (2t—га), так и (Zj-fjj). Таким образом, флук-
флуктуации уровня и фазы статистически однородны по поперечным координатам,
но не являются статистически однородными по продольной координате.
5. Вывести формулу (41.7) из (41.6) и (41.9) из (41.8).
Решение. Проинтегрируем разложение Фурье
(5)
по z в пределах (— оо, со):
(Рѕ
или, учитывая четность <])с(р, г) по г.
Действуя на это равенство оператором Aj_ и [принимая во внимание, что
Д^_ exp (ixp) = х1 exp (ixp), находим
340 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� [ГЛ. VI
Положим здесь р = 0; тогда
х'фе(х, 0)Рх=
Подставляя это равенство б (41.6), получаем (41.7).
Положив р = 0 в формуле (1), получаем
Фе (х, 0) dax=-i- j" Ч-, (0, г) dz
Подстановка этого равенства в (41.8) приводит к формуле (41.9).
6. Найти средние квадраты флуктуации уровня и фазы для частного слу-
случая гауссовой корреляционной функции флуктуации диэлектрической прони-
проницаемости:
Рµ ! (0
Решение. Найдем у_а = ч()х(0, г). Полагая в (40.33) р = 0, получаем
где к! — xjj+Xj. Полагая в (41.15) хг = 0 и подставляя Фе(х, 0) в (2), по-
получим
3D
"=JL—g ) (1-5Г,
* Рћ
Произведем замену переменной интегрирования, положив Ktai/2 = t. Тогда
для х5 получим
ер
Рѕ
где введен волновой параметр D = 2j//to2.
Рассмотрим входящий в х1 интеграл
Рѕ
Очевидно, при П=0 инеем /(0) — 0. Далее,
В« J0 /
j'(D) = \ cos D/(r-'d< ^ Re [ e-i1 + ''°>»ift = Re- ' — '
0 Рѕ'
ЗАДАЧ� 341
откуда
Следовательно,
Средний квадрат флуктуации фазы получается отсюда просто переменой
знака перед вторым слагаемым.
7. Найти асимптотические формулы для структурной функции фази (41.31)
для предельных случаев ?pa<^z и Ара^>г.
Решение. Наиболее существенный вклад в интеграл (41.31) даег область
f ~ 1, так как при г^> 1 мал множитель t~'lx, а при t <^ 1 мал множитель
1—¦'о (01- Если при t— 1 справедливо неравенство *рг/г-з2 1, то
V • ''-
f [1 —'о (01 (i+4tt sin т^г) /-'/•Л*]? [1-У. (01 f!'di--M,
J V Р“ 2 ftp / J
где Л(—числовая постоянная. Если же *i>2/zfe.|, то при (<—1 имеем
I / Р  \; <В« I
sin
�менно поэтому коэффициенты в формулах для Dj(p, г) в случаях
и kp'^-z отличаются в два раза.
8. Ограничиваясь случаем статистически изотропнш флуктуации е, найти
фй f( ) ?>( ) ^/ '
р у р фуу
вид функций ifj(p, г) и ?>,s(p, г) при p<^/Oi ГДе '«-¦¦размер наименьших
неоднородностей диэлектрической проницаемости.
Решение. Будем исходить из формул (40.33) и (40.36):
, (1)
(2)
Так как функция <bs (х. П) пренебрежимо мала при ч>хя~2я//0, основной
вклад в интегралы (1) и (2) дает область х < 2л/1а. Если р^/„, то и этой
области хр < 2яр//0 <^ 1. Поэтому можно воспользоваться перными членами
степенного разложения Л(хр) = 1— xVV*+ ••• Подстановка этого разложе-
разложения в (1) и (2) и приводит к формулам (41.34) и (41.35).
Глава VII
ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА В ЗАДАЧЕ
О РАСПРОСТРАНЕН�� ВОЛН В СРЕДЕ
СО СЛУЧАЙНЫМ� НЕОДНОРОДНОСТЯМ�
§ 43. Обоснование марковского приближения
Во всех рассмотренных в гл. IV—VI приближенных спосо-
способах описания распространения волн в случайно-неоднородных
средах использовалось предположение о малости флуктуации
диэлектрической проницаемости. Оно либо лежало в самой ос-
основе способа (метод малых возмущений для точного волнового
уравнения), либо вводилось потому, что без него нельзя было
продвинуться в решении приближенных уравнений (геометриче-
(геометрическая оптика, метод плавных возмущений). Только при этом
предположении удавалось выразить с помощью указанных ме-
методов в явном приближенном виде волновое поле в случайной
среде или его амплитуду и фазу через г. Для нахождения ста-
статистических характеристик различных параметров волны надо
было лишь выполнить усреднение полученных выражений или
их комбинаций. Разумеется, использование в той или иной
форме теории возмущений по е налагает на границы примени-
применимости этих методов довольно жесткие ограничения. Например,
ни один из рассмотренных выше методов решения стохастиче-
стохастического волнового уравнения не позволяет дать адекватное описа-
описание сильных флуктуации волнового поля.
В ч. I книги для анализа физических задач, описываемых
системой обыкновенных дифференциальных уравнений со слу-
случайными коэффициентами, был применен аппарат марковских
случайных процессов. При этом в ряде случаев удавалось по-
получить уравнение непосредственно для распределений вероят-
вероятностей или для усредненных величин—моментов и т. п. В случае
динамических систем, подверженных случайным параметрическим
воздействиям (см. задачу 22 к гл. I), для применения аппарата
марковских случайных процессов оказалось необходимым выпол-
выполнение следующих условий.
} 43] ОБОСНОВАН�Е МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 343
Во-первых, должен выполняться принцип динамической при-
причинности: решение в некоторый момент времени должно функ-
функционально зависеть лишь от предшествующих по времени значе-
значений случайных коэффициентов.
Во-вторых, время корреляции случайных воздействий (т. е.
случайных функций, входящих в уравнения) должно быть малым
по сравнению с наименьшим характерным временем отклика
динамической системы. В этом случае возможна аппроксимация
корреляционных функций случайных воздействий дельта-функ-
дельта-функциями от времени.
При выполнении обоих условий оказалось возможным полу-
получить замкнутое уравнение для плотности вероятностей состояния
динамической системы. При гауссовых дельта-коррелированных
коэффициентах это было дифференциальное уравнение Эйнш-
Эйнштейна—Фоккера. Если динамическая система к тому же линей-
линейна, то можно получить замкнутые уравнения и для моментов
(ч. I, §§ 36, 37 и задача 7 к гл. V, а также задача 22 к гл. I
данной книги).
Аппроксимация марковским случайным процессом использует,
в отличие от теории возмущений, другой малый параметр—отно-
параметр—отношение то/т, т. е. времени корреляции воздействий т0 ко времени
корреляции отклика т. Нулевому приближению по этому пара-
параметру и отвечает марковское приближение. Для законности такой
аппроксимации, разумеется, могут потребоваться также ограни-
ограничения интенсивности флуктуации параметров, но возникающие
при этом неравенства содержат и параметр то/т, так что огра-
ограничения интенсивности флуктуации оказываются менее жесткими.
Можно ли применить теорию марковских процессов к задаче
о распространении волн в случайно-неоднородной среде, т. е.
к задаче о случайных поля»}
Прежде всего, само понятие марковского процесса предпола-
предполагает наличие упорядоченной переменной (аналогичной времени),
без наличия которой невозможно формулировать основное свой-
свойство таких процессов—возможность представления многоточеч-
многоточечной плотности вероятностей в виде произведения вероятностей
перехода. Ясно, что упорядоченную переменную можно ввести
лишь в отношении одной координаты. Следовательно, можно
надеяться описать распространение волны как марковский слу-
случайный процесс либо в одномерной задаче (например, для слу-
случайно-неоднородной слоистой среды), либо же в том случае,
хогда одна из координат физически выделена по отношению
к другим (например, при распространении плоской волны или
узконаправленного пучка излучения).
Далее, если из трех пространственных переменных удастся
выделить одну, играющую в указанном выше смысле роль вре-
времени, то по этой координате должно выполняться условие
344 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
динамической причинности, т. е. рассматриваемое волновое поле
должно функционально зависеть лишь от предшествующих1) (по
данной координате) значений случайного параметра. В общем
случае волновое поле не удовлетворяет этому требованию, так
как в неоднородной среде присутствуют волны, рассеянные как
вперед, так и назад (§ 38), а наличие волн, рассеянных назад,
обусловлено теми неоднородностями среды, которые расположены
за точкой наблюдения.
Тем не менее для одномерного уравнения Гельмгольца
описывающего распространение скалярной волны в слоистой
среде, можно ввести -функцию
удовлетворяющую уравнению первого порядка
и «начальному» условию (т. е. граничному условию, например,
при z = 0). В таком случае значения R{z) функционально за-
зависят лишь от е(?) при 0^?^z, так что условие причинности
для R выполнено и эту функпию можно аппроксимировать мар-
марковским случайным процессом, если радиус корреляции для
в (г) достаточно мал (см., например, [1]).
Однако для волн в среде, содержащей трехмерные неодно-
неоднородности, не удается ввести аналогичную функцию, для которой
выполнялся бы принцип причинности. Здесь переход к аппрок-
аппроксимации распространения волны марковским случайным процес-
процессом возможен лишь в том случае, когда законно пренебрежение
волнами, рассеянными назад.
Как мы установили в § 38, приближение параболического
уравнения как раз и соответствует пренебрежению рассеянными
назад волнами. Кроме того, в МПУ имеется физически выде-
выделенная координата—вдоль направления распространения волны,,
падающей на неоднородную среду. Таким образом, в приближе-
приближении параболического уравнения переход к аппроксимации рас-
распространения волны в среде со случайными неоднородностями
марковским процессом, вообще говоря, возможен, но необходимо
еще предварительно выяснить, каково соотношение между харак-
') Мы будем пользоваться термином «предшествующий» не только для
временной, но и для любой другой координаты, играющей а указанном выше
смысле роль времени.
I 43] ОБОСНОВАН�Е МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 345
терными продольными масштабами флуктуации е и флуктуации
волнового поля V.
Существенное математическое отличие неодномерной задачи
о распространении волн в случайно-неоднородных средах от
задач, рассмотренных в ч. I, заключается в том, что динами-
динамическое уравнение является теперь уравнением в частных произ-
производных. Вместо случайной величины (или случайного вектора)
мы имеем здесь при каждом фиксированном значении г двумер-
двумерное случайное поле и(р, г). Распределения же вероятностей слу-
случайного поля полностью задаются, как мы знаем, характерис-
характеристическим функционалом (§ 7). Поэтому уравнение Эйнштейна —
Фоккера в интересующих нас случаях должно определять не
функцию, а функционал. В связи с этим оно существенно слож-
сложнее, чем для динамических систем с конечным числом степеней
свободы: вместо уравнения в обычных частных производных оно
оказывается уравнением с функциональными производными. Для
того чтобы упростить свою задачу, мы ограничимся поэтому
выводом уравнений для моментов поля v(p, г).
Как мы убедились на примере динамических систем с конеч-
конечным числом степеней свободы, замкнутые уравнения для мо-
моментов можно получить из уравнения Эйнштейна—Фоккера только
в случае линейных систем. Поскольку параболическое уравнение
(38.4) линейно, можно и здесь надеяться на получение замкну-
замкнутых уравнений для моментов. В отличие от (38.4), исходное
уравнение МПВ (40.3) нелинейно, и поэтому получить из соот-
соответствующего функционального уравнения Эйнштейна—Фоккера
замкнутые уравнения для моментов комплексной фазы Ф не уда-
удается (несмотря на то, что решение уравнения (40.3) для Ф удов-
удовлетворяет условию причинности).
Перейдем теперь41к оценкам продольных радиусов корреляции
флуктуации различных параметров поля. При этом мы будем
основываться на результатах, полученных в гл. VI при помощи
РњРџР’.
Продольный радиус корреляции флуктуации фазы и интен-
интенсивности (или уровня) можно оценить, исходя из качественных
соображений, развитых в конце § 41. Мы видели, что фаза волны
определяется всеми неоднородностями, которые пересекает при-
приходящий в точку наблюдения луч. Для оценки можно считать,
что различные неоднородности вносят в фазу независимые вклады
AS*. Набег фазы вдоль луча, прошедшего через л неоднород-
Р»
ностей, равен S — 2 AS,,. Для другой точки наблюдения, лежа-
Рї'
щей на том же луче, набег фазы будет S'= 2 AS*. Если п'>п,
34b ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
то S' = S-f- 2 AS* и. следовательно,
ssT=(s(s+ jg
\ *=Р»+
поскольку S ASk = 0 при k> п. Коэффициент корреляции равен
поэтому
Но мы видели (см. (41.17)), что S'coz, где г—длина дистанции,
пройденной волной в неоднородной среде. Отсюда следует, что
Ks = VTi? = VTJb. (43.1)
Эту формулу можно получить и более строго при помощи МГО
или МПВ (см., например, формулу (33.14) и задачу 4 к гл. VI).
Если зафиксировать г< = г и положить г> = г + С, то, согласно
(43.1),
W (43-2)
Таким образом, продольный радиус корреляции фазы имеет
порядок величины г, т. е. он во много раз больше радиуса
корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости.
Но, как мы уже убедились ранее, это и есть то необходимое
условие, которое позволяет переходить к приближению марков-
марковского случайного процесса.
Оценим теперь продольный радиус корреляции флуктуации
уровня. В конце § 41 мы подсчитали порядок величины фокус-
фокусного расстояния характерной неоднородности с размером 1г и
отклонением диэлектрической проницаемости от средлюго значе-
значения, равным е:
Если е<^1, то F^>te. В области применимости МПВ все
«линзы» можно считать слабыми, т. е. F^>г. В этом случае к
амплитудным флуктуациям допустимо применить те же сообра-
соображения, которые только что были использованы при оценке про-
продольного радиуса корреляции фазы. Если же условие F^>z не
выполняется, то [точка наблюдения может попадать в область
фокусировки излучения, где флуктуации интенсивности не малы.
Однако при е<^1 мы имеем и в этом случае F^>lt, так что
} 43] ОБОСНОВАН�Е МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 347
протяженность по оси г «области влияния» каждой неоднород-
неоднородности намного превышает размер самой неоднородности.
Анализируя амплитудные флуктуации, следует учесть и тот
случай, когда размер неоднородностей мал по сравнению с ра-
радиусом первой зоны Френеля: /e<^|/"?.z. Здесь уже нельзя
использовать геометрическую оптику, а необходимо привлечь
для оценок основные положения теории дифракции. Как мы
знаем, дифракция на неоднородности размера /е начинает суще-
существенно проявляться на расстоянии порядка гл — 1\J"k от нее.
Поэтому фокусирующее действие неоднородностей возможно лишь
на расстояниях, не превышающих zn. Таким образом, «область
влияния» неоднородности имеет продольный масштаб гл и усло-
условие 2д^>/е, при котором можно использовать приближение мар-
марковского случайного процесса, принимает вид (/?М)^>/Е, т. е.
Как мы видим, для слабых флуктуации и крупномасштабных
неоднородностей продольный радиус корреляции амплитудных
флуктуации оказывается во всех рассмотренных случаях боль-
большим по сравнению с размерами неоднородностей, что и необхо-
необходимо для применимости приближения марковского случайного
процесса.
Разумеется, приведенные качественные соображения не могут
служить строгим обоснованием марковского приближения, и
границы его применимости будут более последовательно рас-
рассмотрены ниже (§ 47). Все же следует подчеркнуть, что нам
нигде не пришлось делать предположение о малости флуктуации
амплитуды волны. Поэтому можно надеяться, что марковское
приближение окажется пригодным и для описания сильных
флуктуации поля,, если только допустимо пренебречь волнами,
рассеянными назад.
Проводя в гл. VI конкретные расчеты флуктуации фазы и
уровня при помощи МПВ, мы уже пользовались аппроксимацией
корреляционной функции в дельта-функцией. R § 40 была при-
применена формула (40.30):
/=•«(*, » — **•(*. 0 = 2яФ.(и. 0)8©, (43.3)
и было показано, что подстановка F|** вместо FB приводит при
расчете спектров флуктуации амплитуды и фазы к правильным
результатам, если выполнены условия
Поскольку корреляционная функция i|>e(P. С) связана с двумер-
двумерной спектральной плотностью Ре(к, t) формулой
i|)e(p, Р•)=^В«(РЅ, ?)exp(В«xp)d4
348 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКО6СКОГО ПРОЦЕССА [ГЛУП
легко установить, что замена (43.3) эквивалентна следующей
замене корреляционной функции:
Ъ (Р. О —1S*(P. S) - * (Р)«(0. (43.4)
РіРґРµ
/1 (р) = 2я $ фе(х, 0) exp (iftep) d*K (43.5)
(в силу четности А(р) можно использовать любой знак показа-
показателя экспоненты).
Рассмотрим интеграл от i)>e (р, z) по продольной координате ?¦
�спользуя трехмерное спектральное разложение
% (Р , S) = $ Р¤, (*, Р›) exp [i (С…СЂ + pg)J dВ»
и интегрируя его по ? в бесконечных пределах, получаем
S * (Р, О « = S ф* (и. Р) ехр (йер) d'x dp J «W d? =
-РћРЎ -РЎРћ
= $Фв(x, p) exp (txp) ¦ 2яб (p) a*x dp = 2n$ Ф„ (x, 0) exp (t'xp) dlx =
= A (p).
С другой стороны, интеграл по ? от аппроксимирующей корре-
корреляционной функции ^^(р, ?) = Л (р) 6 (?) тоже дает функцию
А (р), так что справедливо равенство
J A(p). (43.6)
-РІРѕ -В»
В дальнейшем часто будет встречаться комбинация
РЇ(СЂ) =-1[Р›(0)-Р›(СЂ)]=2|[1 -cosРёСЂ]Р¤,(Рє(/.0)<Р С…. (43.7)
Функция #(р) зависит от двумерного вектора р и выражается
при помощи двумерного преобразования Фурье через трехмерную
спектральную плотность Фе(х, 0).
Если случайное поле 8(р, г) является гауссовым, то для его
полного статистического описания достаточно задания корреля-
корреляционной функции 8 и, в частности, эффективной корреляционной
функции вида (43.4). Однако если не предполагать нормальности
поля е(р, г), то необходимо задавать и более высокие моменты
<"(Pi. г,)...ё(ря1 г„)>.
Для гауссова поля е(р, г) из дельта-коррелированности по г
вытекает, что при любых ггфг, случайные величины е(р„ г,) и
8 (р„ г,) статистически независимы. Но для негауссовых полей
{ 441 УРАВНЕН�Я ДЛЯ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х МОМЕНТОВ 349
некоррелированность еще не влечет за собой независимости.
Оказывается, что для негауссовых полей е (р, г) условие, ана-
аналогичное (43.4), при котором для "моментов случайного волнового
поля v (р, г) можно получить замкнутые уравнения, формулируется
следующим образом. Пусть гг (i — 1, ..., л) и г) (/ = 1, ..., т)
удовлетворяют при любых i, / условиям
*,<*.. г,>г„.
Тогда совокупности случайных величин i(p,, г,) и е(р/, zj)
должны быть статистически независимы. Аналогом дельта-корре-
дельта-коррелирован ности здесь является то, что при любом сколь угодно
малом «зазоре» между переменными обеих групп уже наступает
их полная статистическая независимость.
�звестно, что совместные кумулянты для нескольких случай-
случайных величин обращаются в нуль, если среди этих величин
имеется хотя бы одна, статистически независимая от остальных.
Поэтому совместные кумулянты для е(р,, г,) и e(pj, zj) должны
обращаться в нуль. С другой стороны, для негауссовых случай-
случайных величин высшие кумулянты должны быть отличными от
нуля. Отсюда следует, что кумулянты для случайных величин
*(Р(. гд должны иметь вид дельта-функций по переменным г,-:
¦и(Pi. «i*. P.. г,; ...; р„, г„) =
= Л(р! Р„, zl)6(z,-zl)6(z3-z1)...6(Z,1-*n_l). (43.8)
Случайные функции е (р, г), удовлетворяющие этому условию,
мы и будем называть дельта-коорелированными по г.
§ 44. Уравнения для статистических моментов
волнового поля в приближении марковского
случайного процесса
В соответствии с изложенными выше соображениями рассмот-
рассмотрим теперь приближение параболического уравнения
v(p,
считая е(р, г) случайной функцией, дельта-коррелированной
РїРѕ z.
Получим сначала уравнение для о(р, г) [2]. Для этого при-
применим тождественное преобразование
2*
350 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА (ГЛ. VII
при помощи которого уравнение (44.1) можно записать в следу-
следующей форме:
(p. 2)1.
. Рі). (44.2)
Проинтегрируем это уравнение в пределах от 0 до г, обозначив
переменную интегрирования в правой части через г', а затем
умножим обе его части на
В результате с учетом равенства
получим
2,to (p, Рі)-2/ft exp (^ j i (СЂ, РЎ)В«)Рѕ. (СЂ) =
f РЎ С‘(СЂ, 0^)РґС…В«(Р , Рі'). (44.3)
В правой части (44.3) под знак интеграла входит произведение
( f-
двух случайных величин Axf(p, г') и expl 1/tik ^ е(р,
\ Рі'
Так как о(р, г') функционально зависит лишь от предшествую-
предшествующих по г значений в(р, ?')> где 0<t'<z'ia в экспоненту вхо-
входят только последующие значения е(р, Q при S^z', для дель-
дельта-коррелированных по г случайных функций е(р, г) эти два
сомножителя статистически независимы. Поэтому, усредняя
уравнение (44.3), получаем соотношение
(44.4)
j.,41 УРАВНЕН�Я ДЛЯ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х МОМЕНТОВ 351
представляющее собой замкнутое уравнение относительно функ-
функции о(р, г).
В уравнение (44.4) входит функции
Я (г, г'; р)=(ехр(^ J Ё(Р> ?)<«)). (44.5)
Z'
Она известна, если заданы статистические характеристики слу-
случайной функции е.
Рассмотрим частный случай, кода е(р, г)—гауссово случайное
X
поле. В этом случае величина а= J ё(р, ?)d? является raycco-
2'
вой со средним значением, равным нулю. Следовательно,
С‚(?)] <44-6>
Найдем а4, используя формулу (43.4):
Z 2
= Р› (0) 5 <*РЎ, J dW (Р¬-Р« = (Рі-Рі') Р› (0).
Рі' Рі'
В результате получаем для Р выражение
"Р{г, г') = ехр [_*!^1(г_г')] , (44.7)
где введено обозначение Ло ()
Подставив (44.7) в уравнение (44.4), находим
, 2)-2ifeexp [-^i Рі] Рѕ,(СЂ) =
Z
= - J dz' ехр [-^ (г-г')] Д^(р, г'). (44.8)
После умножения (44.8) на ехр (1/,ЬМ„г) и дифференцирования
по г получаем'равенство
, z),
352 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
из которого вытекает искомое дифференциальное уравнение для
среднего значения о:
|*^^. Рі)=0. (44.9)
Решением этого уравнения мы займемся позднее, а сейчас
обратимся к выводу аналогичных уравнений для моментов лю-
любого порядка
r,,,В« = <f(p;, Рі)...Рѕ(СЂРђ, Рі)РІВ»(Р ;, *)...V(Pm, *)>. (44.10)
Прежде всего выведем дифференциальное уравнение для слу-
случайной функции
7 = Рѕ(СЂ1, Рі)...Рѕ(Р ;, Рі)1РЎ(Р ;, Рі)...Рѕ'(СЂ;, Рі). (44.11)
Запишем для этого уравнение (44.1) для и(р[, г), обозначив
через А, поперечный лапласиан Д'х по координатам х,, yt
точки р[:
Рѕ', Рі)
?-i + A;0(Pi Рі) + РєР§(СЂ[, z)v(p[, Рі)=0.
Умножим это уравнение на a(PJ, г) у (pi, z)...v(p'n, г)х
xo*(pl, г)...у*(Рт, г). Так как этот множитель не зависит
от pi, его можно внести под знак Ai, что дает
^ , Рі)7=0. (44.12)
Записав уравнение (44.1) для г (ft, г) я домножив его на
"(Pi. г)»(Р». г)...ч*(р'т, г), получим
^v(pi, Рі) ...o
(44.13)
Уравнения для t(pi, г), .... ч(р^, г) имеют аналогичный вид.
Взяв уравнение, комплексно сопряженное (44.1}:
запишем его для »•(?, г) и, домножив на t»(pj, z)...t»(pi, г)х
xo'tft г)...о*(Р^, г), получим
2ifar(pl, г)...«(р;,г)^^-^и«(Р;, г)...»»(^, г)—
-AIV-ft4(P;, Рі)С‚=Рћ. (44.14)
Аналогичные уравнения справедливы также для »•(?, г), ...
f(; )
, 44] УРАВНЕН�Я ДЛЯ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х МОМЕНТОВ 353
Сложив теперь все уравнения, начиная с (44.12), получаем
уравнение для случайной функции у:
21РєРґ?+1Сѓ+Рє'В»(Рі)Сѓ = Рћ, (44.15)
где введены обозначения
1=Рґ;+... +Рґ;_Рґ;_... _Рґ;,
? z)-?(ft, г)—...—е(р^, г). (44.16)
Уравнение (44.15) отличается от (44.1) только заменами
V—«-Y. Д±~••?> е—»(i. Поэтому, проделав такие же преобразо-
преобразования, как и при переходеот (44.1) к (44.2), (44.3) и (44.4),
мы получим уравнение для у = Т„,т, аналогичное (44.4):
p'f, 0) =
rn.M(P;, pl,z'). (44.17)
Уравнение (44.17)—замкнутое, а входящая в него функция
(44.18)
известна, если заданы статистические свойства в(р,. г).
Рассмотрим, как и для v (р, г), гауссово случайное поле ё. Тогда
''if*. г') определяется формулой
Pt(z,г') = exp j-kj J«i J«.<l*(Pa. Pp. У Ц (Pi- Pp. ?,)>!• (44.19)
Учитывая, что
n m
i*(p;. pp. В»=2 e(pi, o- 2 С‘ (pi, e).
a=] P—I
получаем
Pi. Pi. J,)(i(Pa, Pi. W>= 2 2
C 1 p 1
-222 <8(p;,ge(pi,y>+ 2 2 <В«(?;.
a=l fl=l a=l P= 1
12 С. М. Рнтов «'др. и. II
354 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Согласно (43.4)
<ё(Ра. ?,) « (рр, ?,)> = Л (Ра-Р„) в (?,-?,),
так что
РіРґРµ
-2 5 2Р»(СЂ;-СЂВ»)+2 2i4(P;-pj). (44.20)
Следовательно,
/>,(*, г') = ехр {-*!<?„.„(*-*')}¦ (44.21)
Подставим (44.21) в уравнение (44.17), затем умножим обе
его части на expO/.fe'-Q,,,,,*) и продифференцируем по г, В ре-
результате получим уравнение
которое, с учетом выражения (44.16) для ?, приводится к сле-
следующему окончательному виду:
«Начальное» условие к уравнению (44.22) имеет форму
г„.«(р;, pJT, о) = о.(р\) ...v.(Р;)vtа>[)...v;(pm).
При «i=l, m = 0 из формулы (44.20) следует, что
Л„ (44.23)
а для Tlttamv(p, г) из (44.22) получаем прежнее уравнение (44.9).
Запишем еще уравнение для момента ri,,=<w(p'i, г)и*(р", г)>,
т. е. для поперечной функции когерентности. Полагая в (44.20)
п = т=\, получаем
Qi. 1=2Р› (0)-2Р» (СЂ;-СЂ;)=2СЏСЏ (Р ;-СЂР­,
gij|gl СРЕДНЕЕ ПОЛЕ � ФУНКЦ�� HU1 'UHUHTHUU'1'� 355
где использовано обозначение (43.7). Уравнение (44.22) прини-
принимает при п = т=1 вид
Решение этого уравнения будет подробно рассмотрено в следую-
следующем параграфе. Функция взаимной когерентности Г,. , играет
важную роль при описании статистических свойств излучения.
В частности, при р" —р' она переходит в среднюю интенсивность
волны: ГЬ1(Р\Р'. *)-<�р',г) |«> = </(р\ г)>.
Наконец, запишем уравнение для момента четвертого порядка
Г,,, = <» (Pi. «) v (pi, г) в* (рГ, г) V (р"„ г)>.
Полагая п = т = 2, с учетом четности функции /4 (р) получаем
из формулы (44.20)
—2Л (pI-pO-2,4 (pI-P;)-2A (Pi—p
=2СЏ[//(СЂ;-СЂР­+Р»(Р ;-СЂ,-)+СЏ(СЂ;-СЂ
Уравнение (44.22) принимает в этом случае вид
Ра-Я(К-р;)-Я(р:-р;)1Га,, = 0. (44.25)
Момент Г,,, связан с флуктуациями интенсивности волны. �ссле-
�сследованию их свойств будет посвящен § 46.
Совокупность всех уравнений (44.22) эквивалентна одному
уравнению с функциональными производными для совместного
Характеристического функционала случайных полей v(p, г) и
о*(р, г) (см. [22]). Это уравнение и является аналогом уравнения
Эйнштейна — Фоккера для рассматриваемой здесь задачи.
§ 45. Среднее поле и функция когерентности
второго порядка
1. Среднее поле. Среднее поле и(р, г) подчиняется полу-
полученному в предыдущем параграфе уравнению (44.9):
12В»
356 приближение марковского Процесса Ггл. vii
Нетрудно получить решение этого уравнения. Заметив, что
запишем уравнение (45.1) в следующем виде:
1 [е*м.г/»у] _ 1 д х [е*м.г/9^ = о. (45.2)
Рассмотрим поле ш(р, г) в однородной среде. Уравнение для
него получается из (45.1), если положить Л„ = 0:
0, w (р, 0) — у0 (р). (45.3)
Сравнивая (45.3) с (45.2),[_мы видим, что эти уравнениями на-
начальные условия к ним) 'совпадают. Тем самым совпадают и
функции exp {'/Ji%Atz\ v (р, г) и w(p, г), подчиненные этим урав-
уравнениям, т. е. имеет место равенство
v(p, г) = ехр (- ^1 г) w (р, г)> (45.4)
которое связывает среднее поле v (р, г) с полем ш (р, г), созда-
создаваемым теми же истопниками на плоскости г--0, но в одно-
однородной среде. Таким образом, влияние случайных неоднородно-
стей среды проявляется в том, что среднее поле экспоненциально
затухает.
Этот результат нетрудно понять, если сравнить коэффициент
экстинкции йМ0/8 в формуле (45.4) с его значением, полученным
в борновском приближении. Последнее определяется формулой
(26.13):
2Р» СЏ
°« = Т" J d4> f sin в d6 Фе'(2ф1п 4)',
которая сразу записана здесь для статистически изотропшйх
флуктуации диэлектрической проницаемости. Выполнив интегри-
интегрирование по <р и введя вместо в новую переменную интегрирова-
интегрирования x = 2fcsin(6/2), приводим формулу для а, к виду
2В»
Но_в интересующем нас случае крупномасштабных неоднород-
ностей функция Фе (х) пренебрежимо мала в области 'л > 2k,
в силу чего можно, практически не меняя значения интеграла,
j^j среднее Поле и функция когерентности 35?
отодвинуть верхний предел в бесконечность:
(45.5)
(эта формула была получена в задаче 1 к гл. IV).
Сравним это выражение с величиной кгАа/8, где, согласно
(43.5),
РЎРћ
Л„ = 2я J Фе (х) dlv. = 4л8 \ Фс (х) х d-л.
Рћ
Мы находим, что
^2?J 4-o.. (45.6)
Для интенсивности среднего поля | о |" из (45.4) и (45.6) полу-
получается следующий закон убывания с ростом г:
, г) |«ехр {-??¦«} = !а.(р, z)|>e^. (45.7)
Отсюда ясно, что убывание среднего поля можно целиком объяс-
объяснить перекачкой энергии из упорядоченной составляющей поля
в его неупорядоченную (флуктуирующую) часть. Например, в слу-
случае падающей плоской волны, когда i»0 —const и w(p, 3) = const,
формула (45.7) принимает вид
|о(р, г)|» = |».1'ехр{-«�. (45.8)
В то же время средняя интенсивность поля, как мы установили
в § 39, в этом случае постоянна:
<| »• |> = |t»0 |s = const. (45.9)
Комбинируя формулы (45.8) и (45.9), получаем
<|Рї|1> = <|РЈ!|>-|В«1' = |РЈРѕ|'(1-Рµ-"'Рі)- (45.10)
Мы видим, что интенсивность флуктуационной части поля нарас-
нарастает по мере углубления волны в неоднородную среду, и на
расстояниях г^а,1 практически вся интенсивность волны свя-
связана с ее случайной компонентой.
2. Функция когерентности второго порядка. Рас-
Рассмотрим теперь функцию когерентности второго порядка Г,,,.
Для нее в предыдущем параграфе было получено уравнение
(44.24). Преобразуем это уравнение.
358 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Введем на плоскости г = const координату р+ центра тяжести
точек р', р" и относительную координату р:
p+ = V,(P' + P"). Р=Р— Р'-
РўРѕРіРґР°
Р°1 Р° Рґ
Если ввести обозначения Fj.^p', р", г) = Г,, j (p+ +P/2, р* —
— р/2, г) = Г(р, р+, г), то уравнение для Г, получаемое из (44.24)
путем перехода к новым переменным, будет
Уравнение (45.11) можно решить при помощи преобразова-
преобразования Фурье по переменной р4:
Г(р, р+, z)-Jv(P. P. г)ехр((рр+)^. (45.12)
Подставив это в (45.11), получаем для у уравнение
Р—Р“+Рў^+Рў-'Р–Рµ^Рћ. (45.13)
�спользуем операторную запись для ряда Тейлора *)
/(p + ft)=exp(ft?)ftp) (45.14)
и преобразуем сумму первых двух членов в уравнении (45.13):
Уравнение (45.13) можно записать поэтому в виде
«р(-5?)в[»р (t^)v(p. р. «)] —?я(й)т(р. р. «).
или, если умножить этот результат слева на Оператор
()
. Р. *)]• (45.15)
•) Разложив ехр<ро^-> в ряд, получаем обычную форму записи ряда
Тейлора.
СРЕДНЕЕ ПОЛБ � ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 359
формулу (45.14) и полагая в ней po = pz/ft, можно
Зависать'уравнение (45.15) еще и следующим образом:
Решение этого уравнения относительно функции y(p + pzjk, p, г)
где V1" (Р. Р) = Y (Р> Р> 0)—значение функции v при г = 0. Если
заменить р на р—рг/fe, то решение примет вид
(45.17)
Подставив (45.17) в (45.12), получаем
Р“(СЂ,Р +,Рі)= Р¶
-T' p)exp ^--^^(СЂ-С‚^-В»)^}^-
(45.18)
Остается лишь выразить здесь трансформанту Фурье У через
функцию Г<в>(р, р+) = Г(р, pti, 0). Согласно (45.12)
V(o)(P. P) =5? Je*P (~'PPi) Р“""(Р , СЂ;)d'p;-
Поставив это разложение в (45.18), находим
Р“(Р . Р +.Рі) =
Для того чтобы придать правой части этого равенства более
симметричный вид, введем вместо р новую переменную интегри-
интегрирования р' = р—(рг/Jfe), d?p = k*<Pp /г?. Тогда окончательно имеем
j
Р“(Р , СЂ+, Рі) = 4-^ j*p'*p;rw(p', p;)x
хехр j|(p_p')(P+_p;)-5*! jtf (р 1 + р' (l -i)) <J-
5
(45.19)
360 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VI)
Мы получили решение уравнения (45.11) в самом общем слу-
случае—для произвольной функции Я(р) и произвольной функции
Г<0|(Р. Р+) на границе [4—6].
Рассмотрим частный случай падения на неоднородную среду
плоской волны. Тогда Г(*'(р, р+) = const = /, и в (45.19) можно
выполнить интегрирование по р+, что приводит к появлению
множителя (4n*z»/feJ) 6 (р—р'). После этого выполняется интегри-
интегрирование и по р', в результате чего получаем
Г (р. р+, «) = /,«р[-5?я(р)]-Г(р,*). (45.20)
Естественно, в случае плоской волны, распространяющейся в ста-
статистически однородной среде, Г не зависит от координаты центра
тяжести р+. Полагая в (45.20) р = 0 и учитывая, что Я(0)=0,
получаем
Р“(0, СЂ+, Рі)-<Рѕ(СЂ+, Рі)РІВ»(СЂ+, Рі)>-=7(СЂ+, Рі) = /0.
Равенство /"=/0 для плоской волны мы уже получали в § 39.
Как мы знаем, функция #(р) возрастает при увеличении
своего аргумента. Поэтому функция Г с ростом р уменьшается.
Можно ввести некий характерный масштаб рк, для которого
Г(р*. г) уже мало по сравнению с Г(0, z), определив этот мас-
масштаб, скажем, как корень уравнения
^РЇ(Р *)=1. (45.21)
Если расстояние р между точками наблюдения мало по сравне-
сравнению с рА, то Г(р, г)/Г(0, г)« 1 и значения полей в этих точках
сильно коррелировани. Если же р??>р*, то ГгО и значения
полей оказываются пространственно некоррелированными. Таким
образом, масштаб рк является пространственным радиусом кор-
корреляции полей, или радиусом когеректости. Ясно, что f>k умень-
уменьшается с увеличением г. Если, например, Я(р)~С^р'/>, ка-;: это
имеет место для турбулентной среды, то
Этот результат уже был получен в § 37 при помощи МГО.
Обратимся теперь к общему случаю, когда Г1" не является
постояннойJ величиной (например, Г"' может быть отлично от
нуля лишь в некоторой области р*, что соответствует ограни-
ограниченному волновому пучку). Рассмотрим интеграл от Г по пере-
переменной р+. �нтегрируя выражение (45.19), получаем под инте-
интегралами по р' и pi множитель (4л*г'/?8)б(р—р'), что позволяет
выполнить интегрирование также по р' и приводит к следующему
I 4б] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ h ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 351
соотношению:
Jr(f>. P+, *)dВ»p+ = exp{-^z//(p)} jr">(p, p;)*p;. (45.22)
Таким образом, усредненная по сечению пучка функция коге-
когерентности второго порядка ведет себя так же, как функция
когерентности плоской волны.
Полагая в (45.22) р=0 и учитывая, что#(0)=0, Г(0, pf, г) =
= /(р+, О),чполучаем закон сохранения
J 7(Р +, 2)rf"P+ =$Up+)dВ«P+- (45.23)
Равенство (45.23) показывает, что флуктуации диэлектрической
проницаемости приводят лишь к перераспределению средней
интенсивности в плоскости г = const; интеграл же от этой интен-
интенсивности по плоскости z = const сохраняется.
Формула (45.19) позволяет рассчитывать распределения сред-
средней интенсивности и степени когерентности для волновых пучков
в Случайно-неоднородных средах (см. задачу 1).
3. Связь с уравнением переноса излучения. Оста-
Остановимся теперь на связи полученных результатов с так назы-
называемым уравнением переноса излучения (УП�), которое приме-
применяется для расчета энергетических характеристик излучения
(в том числе теплового) в рассеивающих средах и широко исполь-
используется во многих задачах астрофизики и геофизики. Обычно
УП� обосновывается феноменологически.
Рассмотрим абсолютную величину плотности потока энергии
|<W| в телесный угол do с вершиной, расположенной в точке R,
и осью, направленной вдоль единичного вектора п:
(45.24)
Введенная таким образом величина 3 носит название яркости
или лучевой интенсивности. Мы уже рассматривали ее в § 9 для
однородной среды (см. формулу (9.26)). Значение 3 (R\ n) в точке
R'=R + n<# отличается от 3 (R, п) да счет двух факторов.
Первый из них —ослабление излучения на пути dl из-за погло-
поглощения и рассеяния в другие направления: ДЭ(1' =— <x3dl. Коэф-
Коэффициент ослабления (экстинкции) а равен сумме коэффициентов
рассеяния н поглощения. Второй фактор—прирост потока энер-
энергии в направлении л из-за рассеяния потоков энергии, перво-
первоначально распространявшихся в других направлениях:
A3<»=^5(R, n')f(n—n')do(n')di.
(Здесь /(п—п')—отнесенное к единице объема сечение рассеяния
при изменении направления от п' до п). Тогда ДЗ =• ДЯ1" &3W
362 ГГР�ВЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
что приводит к уравнению
)+$3(R, n')/(n-n')do(n'),
где -jr—производная по направлению п, которую можно запи-
записать в виде -gJ = п -щ. В результате получаем УП�
(45.25)
Рассмотрим теперь случай крупномасштабных неоднородно-
стей, когда, как мы знаем, индикатриса рассеяния сильно вы-
вытянута вперед, т.е. функция /(п—п) заметно отлична от нуля
лишь при п'«п. Будем также считать первоначальный пучок
излучения узконаправленным, так что функция 9(R,n) заметно
отлична от нуля лишь в узком конусе направлений около оси г и
То же относится и к вектору п': п'г»\, \пх |<^1, поскольку
рассеяние происходит лишь на малые углы. �нтеграл в формуле
(45.25) распространяется на единичную сферу, но основной вклад
в него дает лишь небольшая область вблизи оси г. Воспользо-
Воспользовавшись этим, можно заменить интегрирование по сфере интегри-
интегрированием по касательной плоскости, перпендикулярной к оси г:
В§3(РЇ\ 1, n'j/^.L-nJdoK)^
00
S$ 1. ''l
Это приближенное равенство выполняется в силу того, что функ-
функция 3(R; I, n'L) отлична от нуля лишь при | n'j.1^1 и, значит,
далекие от полярной оси части сферы, равно как и далекие*
части касательной плоскости, не вносят в интеграл заметного
вклада.
Далее,
где R = {p+,«}, Vi=;jR~=ajp' Поэтому в случае крупномас-
крупномасштабных неоднородностей и узконаправленных пучков излу-
излучения можно записать УП� в так называемом малоугловом
ц СРЕДНЕЕ ПОЛЕ � ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 363
Приближении [4, 5]:
j ( ')(Dl. (45.26)
Покажем теперь, что полученное из феноменологических со-
соображений уравнение (45.26) тесно связано с уравнением (45.11)
для функции Г(р, р+, г).
При решении уравнения (45.11) мы вводили преобразование
Фурье функции Г (р, р+, г) по переменной р+. Введем теперь
трвнсформанту Фурье от Г по разностной переменной р:
Р“(СЂ, СЂ+, Рі) = Jexp(В«xp)f (СЂ+, С…, Рі)<Р С…. (45.27)
Умножив уравнение (45.11) на exp(ftcp) н интегрируя по р, по-
получаем с учетом формулы (43.7).
= 0.(45.28)
�спользуем формулу (43.5) с тем, чтобы преобразовать член,
содержащий А (р):
if- J exp (ixp) Рђ (СЂ) Р“ (СЂ, СЂ+, Рі) d'p =
,(x\ Рћ)Р“(СЂ.Р +,
В результате уравнение (45.2$ принимает вид
+т j?+^ F=+j? ф« (*-*''0) F (р+• *'•г) **'¦ (4529)
Сравнивая уравнения (45.29) и (45.26), мы видим, что если по-
положить x/ft = nj., F (р+, х, г) = 7(р+, nj_, г) и сРч' = 6*й'я'1, то
Уравнение (45.29) совпадет с уравнением (45.26), в котором
коэффициенты аи/ принимают значения
«-*?*, /(nj.-ni) = ^®«(A(ni-ni), 0). (45.30)
Легко показать, что интеграл от /, взятый по всем направ-
направлениям рассеяния, равен а. Это означает, что истинное погло-
поглощение отсутствует и введенный выше коэффициент ослабления а
совпадает с коэффициентом рассеяния, т. е. с полным эффектив-
эффективным поперечником рассеяния из единицы объема.
364 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Обращаясь к формуле (45.6), мы убеждаемся, что а = сг0> т. е.
эффективный поперечник рассеяния а из единицы объема во
все направления—это именно та величина о„, которая фигури-
фигурировала в формуле для ослабления когерентной составляющей
поля. Что же касается /(пх—п^), то в этой величине мы узнаем
найденный в гл. IV эффективный поперечник рассеяния в еди-
единичный телесный угол из единичного объема (см. (26.8), (26.11)).
Таким образом, уравнение для функции Г, полученное из
параболического уравнения для поля, описываемого в марковском
приближении, оказывается эквивалентным малоугловому прибли-
приближению УП�. Эта связь впервые была установлена в работе Г7].
Связь между Г и 3 дается следующей, вытекающей из (45.27),
формулой:
Р“ (СЂ, СЂ+> Рі) = ft' Jexp (iknВ±p) 3 (СЂ+1 РїРҐ) Рі) dlnL. (45.31)
В гл. VIII мы получим полное уравнение переноса (45.25)
из уравнения для функции когерентности поля в более общем
случае, исходя не из параболического уравнения, а из уравнения
Гельмгольца.
Отметим, что приведенное выше решение уравнения для Г,
выражаемое формулой (45.19), позволяет, в силу соотношения
(45.31), одновременно найти в аналитической форме и решение
УП� в малоугловом приближении. �менно для этой задачи оно
и было первоначально получено в работах [4, 5].
§ 46, Функция когерентности четвертого порядка
и флуктуации интенсивности
Запишем снова уравнение (44.25) для четвертого момента
Р“,., (СЂ|, P'ii Pi, Pi', Рі) = <Рѕ (Р ;, z) v (pi Рі) V (pi, Рі) ^ (СЂ,\ Рі)>.
Оно имеет вид
+СЏ (СЂ;-СЂР­-СЏ(СЂ;-СЂСЌ-СЏ (СЂ,"-СЂР­] Рі,., - Рѕ. (46.1)
Как мы уже указывали, функция Г,,, связана с флуктуациями
интенсивности волны. Действительно, если совместить точку pi
с р;, а точку р"г с pj, то получим
Pi- Р В«- Рі)
СЂР°, РіВ».
W] ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ� 365
Поэтому корреляционная функция флуктуации интенсивности
может быть выражена через Г,,, и Г,,,:
*,(Р >. ft)
= r,.i(Pi. Pt: Pi, Pt, A—r,.,(Pi, Pi. г)Ти1(рг, р„ г).
Если нас интересуют только флуктуации интенсивности, то, ка-
казалось бы, можно не рассматривать четырехточечный момент Г,,,,
а ограничиться частным случаем двухточечного момента, который
получается из Г,,, при попарном слиянии'точек р[ с р", и pi с р?.
Однако в уравнении (46.1) произвести такое слияние нельзя,
так как при этом войдут, помимо функции Ttit(p[, р'г; р\, р'г, г),
еще Новые неизвестные функции [A^r^^pi, р'*\ Pi', Pi, г)]р-=р; •
Поэтому даже для исследования флуктуации интенсивности необ-
необходимо рассматривать полное уравнение (46.1).
Введем новые переменные:
(462)
Pi = P+ + V, (P,-P,)—V^P,
pj=p+—V.fPi—P,)—'ЛР.
Легко установить, что при этом АН AJ—А^—AJ— 2(VP+Vp+ VPlVp,).
Момент Г,,,, выраженный через аргументы р+) р, рх, р,, г, мы
будем обозначать через Г4(р+, р, р,, р,, г). Уравнение (46.1)
в новых переменных принимает следующий вид:
e^ ^v + VV)r^F(pl, Р Р°, СЂ)Р“4. (46.3)
Здесь р (с учетом четности функции Я(р)) записывается в виде
F(Р .. Р ,. СЂ) = РЇ(СЂ1-^СЂ/2) + //(СЂ,-СЂ/2) +
+ Р� (СЂ, + СЂ/2) +Рќ (СЂ,- СЂ/2)-РЇ (СЂ, + СЂ,)-Рќ (СЂ,-СЂ2). (46.4)
. Рассмотрим сначала простейший случай, когда на неоднород-
неоднородную среду падает плоская волна. В этом случае можно принять
"«(Р+, р, р„ р„ 0)= 1. Так как мы рассматриваем статистически
однородные флуктуации в, ясно, что Г4 не может зависеть от р+,
поскольку совместный сдвиг всех четырех точек наблюдения
на одну и ту же величину приводит к физически тождествен-
тождественной ситуации. Таким образом, Vp+r4 = 0 и уравнение (46.3)
366 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА (ГЛ. VII
упрощается:
^|.-^f(pl, Р ,.Р )Р“4.
(46.5)
Г,(Р„ р„р, 0)=1.
Здесь теперь отсутствуют производные и по р, так что эту
переменную можно рассматривать как параметр и выбирать ее
значение произвольно. Выберем р = 0, и тогда, согласно (46.4)
Рё (46.5),
P.. 0) = 5(р„ р,) =
СЂ1), (46.6)
т?«Т W*r« —^(Pi. Рь) Г4 (Л. Р„ *).
Г* (Р.. Р„0) = 1. (46.7)
Так как p = pl + pi—pi—ft, равенство р = 0 означает, что
Pi—Pi=P»—Ра. т. е. точки р;, pi, pi, pi расположены в вер-
вершинах параллелограмма, сторонами которого являются векторы
/V
р„ р, (рис. 63). Слиянию точек р[ с р[ и pi с р", соответствует
обращение в нуль аргумента ра функции Г4.
Так как
-^\ Рі)),
функция Г4 (pj, р„ г) обладает, очевидно, следующими свой-
свойствами симметрии:
Г4(р1. Р,. г) = Г,(р„ р„ г),
(46.8)
Г.(р1,-р„ г) = Г;(Р1, Pl, г).
Рассмотрим предельный случай |р,|—*оо, р, = const. Это
означает, что две пары точек (pi, p[) и (pa, pj) бесконечно раз-
раздвигаются при неизменных расстояниях внутри каждой пары,
Щ ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ� 367
явно, что корреляции между полями в точках (pi, pj) и (pj, pi)
ipt^mj при этом исчезать, т. е.
Ы Г4(Рх, р„ z) =
Л, ^ , г) Г (-А.1^* • г) • <469>
В силу симметрии относительно перестановки р, J=i р, функция Г«
обладает аналогичным свойством и при |р, j—> <». В частном
'случае плоской волны функции Г не зависят от VitPl + ft) и
»/,(pi + pj) и формула (46.9) принимает вид
lim Г.^.Р,, г) = (Г(р„ г))\
pt-В» В¦>
(46.10)
lira Р“. (Рђ. Р ., *) = (Р“(Р 1, *))'.
Проанализируем теперь следствия из закона сохранения
анергии, приводящие к некоторым ограничениям вида функции Г,.
KiK мы убедились выше (см. уравнение (39.7)), точным следст-
следствием параболического уравнения является закон сохранения
рвергни
}
(46.11)
,рде /(р, г) = |и(р, г)\*. Рассмотрим распространение ограничен-
»ого волнового пучка, для которого |о(р, г)|—>0 при |р|—>оо.
Проинтегрировав (46.11) по плоскости г = const и используя
теорему Гаусса для двумерного случая, получаем
где ^Ip^^^—компонента плотности потока энергии по направ-
направлению вектора п = р/р, взядая на окружности бесконечного ра-
Двуса. Но в силу ограниченности пучка v—>-0 при р-^+оо, так
что ^„Ip^j, =0, и мы получаем закон сохранения
CD
J / (СЂ, Рі) d'p = const = J / (СЂ, 0) d'p- (46.12)
— 00
В левой части этого равенства фигурирует случайная интенсив-
интенсивность У (р, г) = /(р, г) + /(р, г). Усредняя (46.12), приходим
к формуле
$7(СЂ, В«)fi*p-=S'(p.O)*p. (46.13)
368 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА 1ГЛ. VII
которая была уже получена выше из уравнения для Г
(см. (45.23)). Вычитая (46.13) из (46.12), получаем равенство
Рћ, (46.14)
физический смысл которого весьма прост: случайные отклонения
интенсивности от средней, имеющие различные знаки, всегда
взаимно компенсируются, так что флуктуации вызывает лишь
перераспределение интенсивности по поперечному сечению пучка.
Отметим, что равенство (46.14) уже было использовано в гл. V
(формула 35.25)) для объяснения равенства нулю интеграла от
корреляционной функции уровня.
Возводя (46.14) в квадрат и усредняя, имеем соотношение
которое при замене переменных р = р'—р" и р+ = 7, (р'+р")
можно записать в виде
J*#(p+1p,2)*p+*p-0. (46.15)
Отсюда следует, что корреляционная функция флуктуации ин-
интенсивности обязательно должна иметь отрицательный участок.
В случае плоской волны справедливо равенство, аналогич-
аналогичное (46.15):
$ 0, (46.16)
однако его вывод несколько более сложен в связи с тем, что
поле о(р, г) не убывает при р—юо. Равенство (46.16) можно
получить непосредственно из уравнения (46.7). Введем для этого
функцию
Х( р„ г) = Г4(Р„ р„ z)-r*(p,, *)¦ (46.17)
Если р, = 0, то Г4(0, р„ г) = </(р;, г) / (pj, г)>, Г» (0, г) = 7»,
а К(0, ра, г) = 1р,(р„ г)—корреляционная функция интенсивно-
интенсивности. Кроме того, при р,—»оо функция К, согласно (46.10), обра-
обращается в нуль. Привлекая уравнение (45.11) для функции Г
(в этом уравнении в случае плоской волны д'Т;дрдр+ = 0), не-
нетрудно установить, что К. удовлетворяет уравнению
- -^ Г' (р,, г) [F (Pl, р„) - 2Я (Pl)]. (46.18)
Если проинтегрировать это уравнение по р, в бесконечных пре-
пределах, то, в силу отмеченного выше предельного соотношения
lim K"(Pi., p,, <) = 0, интеграл от первого члена правой части
j 4в] ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ� 369
(46.18) обращается в нуль, т. е. получается
i, Р,. г)*р, = -^1^(Р1, р,)ЛГ(Рх, Р„ z)d»p,-
-¦^Т-ГМр,, 2) J[F(Pl. p,)-2//<Pl)jd«p,. (46.19)
Так как F (р,, р,)—2Я(Р1)^0 прир.—к», интеграл от второго
слагаемого в правой части (46.19) сходится. Положим теперь
в (46.19) р( = 0. В силу равенств f(0, р,) = 0, Я(0) = 0 мы по-
получаем дифференциальное уравнение
P,.
Решение этого уравнения с начальным условием } ty,{plt O)dap,=O
(при г = О^флуктуации интенсивности отсутствуют) выражается
равенством (46.16).
Отметим, что из формулы (46.14), справедливой для ограни-
ограниченных пучков, можно получить аналогичные (46.15) соотноше-
соотношения для моментов произвольного порядка.
Аналитического решения уравнения (46.7) для Г4 получить
не удается. В настоящее время получены численные решения
этого уравнения, соответствующие двум моделям флуктуации
диэлектрической проницаемости среды—со спектральными плот-
плотностями вида Фе(х)~ехр{— х'/'/2} [8] и Фе(х)~х-"/. [9—�].
В обоих случаях средний квадрат флуктуации интенсивности
р» = [/»—(Т)*)1(1)г с ростом г насыщается. Численные результа-
результаты, полученные для степенного спектра флуктуации е, удовлетво-
удовлетворительно согласуются с экспериментальными результатами.
Для области сильных флуктуации, где р» яз I, получены асимп-
асимптотические решения уравнения (46.7) [13—16]. Не приводя
довольно громоздких вычислений, необходимых для вывода соот-
соответствующих асимптотических формул, опишем основные резуль-
результаты, полученные в указанных работах.
Формальное решение уравнения (46.7) можно записать в виде
предела при iV—*oo 4#-кратного интеграла, соответствующего
замене непрерывной случайной среды, заполняющей слой (0, г),
иа N фазовых экранов, расположенных на расстоянии г/Л? друг
от друга. В области сильных флуктуации в этом бесконечно-
кратном (так называемом континуальном) интеграле появляется
большой параметр fTi/p*, равный отношению радиуса первой
зоны Френеля к радиусу когерентности рк, определяемому фор-
формулой (45.21). Этот параметр имеет ясный физический смысл.
В случае рк-^у\г когерентным образом складываются только
поля, рассеянные неоднородностями, разнесенными на расстояние,
меньшие р^. Поэтому при р,,<^УТг радиус когерентности играет
370 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
такую же роль, как радиус первой зоны Френеля в случае
При V^г/р*^> 1 асимптотическая формула для Р'(г) имеет вид
2
Р» (г) да 1 +п \ (z—z'Ydz1 $ d*v. х«Фе (*. 0) X
(46.20)
Корреляционная функция ^>,(р, г) обладает двумя характерными
масштабами. Одним из них является рк, другим—отношение
ro = z/ftpt. Первый из них с ростом г уменьшается, а второй —
растет. В первом приближении
^}... (46.21)
Для случая турбулентной среды, когда Фг (у) — ^CJh""/«, фор-
формула (46.20) принимает вид
p-i (z) = t +0,861 (Р Р™-/. + ..., (46.22)
где p5 = 4x5 = O,3O7Cift'/«z"/i—средний квадрат относительных
флуктуации интенсивности, найденный при помощи МПВ (см.
(41.27), (41.28) и (42.13)). Корреляционная функция (46.21)
в этом случае равна
*, (Р. г) = ехр {-0,729С!*'гр*/.> + ..., (46.23)
а масштабы р» и г, по порядку величины равны
Следует отметить, что функция (46.21) не удовлетворяет усло-
условию (46.16). Это связано с тем, что отрицательный участок функ-
функции tyr при р|^>1 располагается в области больших значений
р^>г„. Так как для статистически изотропных флуктуации ра-
равенство (46.16) записывается в виде
то ясно, что значения т|з/(р, г) при больших р входят в интеграл
с большим весом р. Поэтому достаточно очень небольших по
абсолютной величине отрицательных значений ifv, чтобы равен-
равенство (46.16) удовлетворялось. Но эти малые значения ф, не
описываются первыми членами асимптотического разложения,
ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ�
371
Kb что для выполнения равенства (46.16) необходимо учитывать
(уредующие малые члены в (46.21).
В заключение этого параграфа сопоставим результаты числен-
gfgX расчетов [11] с приведенными выше асимптотическими фор-
формулами для случая степенного спектра Ф8(х) = ^С|к""/». На
Р РёСЃ. 65.
рис. 64 приведена полученная в результате этих расчетов кри-
кривая p = f(P0) (кривая /). Там же показаны кривая 2, построенная
по формуле (46.22), а также усредненные экспериментальные
Данные (кривая 3). На обороте обложки данной книги—на фор-
ЙЦе приведено распределение интенсивности света п области
С�ЛЬНЫХ флуктуации [23].
372 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ ГЛ. VI
На рис. 65 приведены точки, полученные путем численных
расчетов функции ф,(р, г), а также кривые, построенные по
асимптотической формуле (46.23). �з рисунка видно, что с уве-
увеличением параметра (Jo результаты все лучше согласуются между
СЃРѕР±РѕР№.
§ 47. Учет конечности продольного радиуса
корреляции флуктуации в
и границы применимости марковского приближения
До сих пор мы предполагали, что случайную функцию е (р, г)
можно считать дельта-коррелированной по г, опираясь на ка-
качественный анализ, проведенный в § 43. Однако у нас пока нет
количественных оценок, из которых можно было бы получить
поправки к результатам марковского приближения, связанные
с конечностью продольного радиуса корреляции е. Рассмотрим
теперь более общий метод вывода уравнений для моментов вол-
волнового поля, позволяющий учесть конечность продольного ра-
радиуса корреляции е, но сразу же ограничимся при этом случаем,
когда е—нормальное случайное поле.
Будем исходить из параболического уравнения
()
"(Р . Рћ) = РёРѕ(Р )
н выведем систему уравнений для среднего поля и. Усредняя
(47.1), получаем уравнение
? = 5*Р”1" + Рў<В«(Р - ZMP>Z)>> (47.2)
»(Р, 0) = и„(р),
которое не замкнуто, поскольку содержит, наряду с искомой
функцией v, новую неизвестную функцию <ва>. Так как е —
гауссова случайная функция, a v—функционал от нее, можнс
применить для нахождения <еи> формулу Фуруцу —Новикова
(7.30), которая в данном случае имеет вид
<С‘(СЂ, Рі)Рё(СЂ, z)> =
|f, Z)e(p', 2<)>(|^)
Верхний предел интегрирования здесь равен г, так каи
6ч(р, г)/6е(р', z') = 0 при г' > г в силу условия причинности.
47] ГРАН�ЦЫ ПР�МЕН�МОСТ� МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 373
которое мы рассмотрели в § 43. Обозначив
запишем уравнение (47.2) с подставленным в него значением (47.3)
для <во> в следующей виде:
, z)?(p\ 2')>S,(p, Рі; СЂ', Рі'). (47.4)
Это уравнение, как и (47.2), не замкнуто.
Найдем теперь уравнение для функции S,. Для этого подей-
подействуем на равенство (47.1) оператором б/6е(р', г'), где г' < г:
д йУ(р.г) _| л Др(р, г) , ik:,_ _ч 8и(р. г) , - ... „
71^^=яд1г^Г+^ (р ^[^ГРГ 2<г<475)
Здесь отброщрн член у6(р—р')б(г—г')и(р, г), возникающий
при дифференцировании в(р, г), так как 6(z—г') = 0 при"г>г'.
Усредним уравнение (47.5):
. Рі; СЂ', Рі') =
^С‘ ^^), 2>Рі'. (47.6)
Но би/бё тоже является функционалом от е, в силу чего для
вычисления этой величины можно снова применить формулу
Фуруцу—Новикова:
^^>. (47.7)
Введем обозначение
Отметим, что функция 5, не меняется при перестановке аргу-
•ментов (р'( г")^*(р', г^. Подставляя (47.7) в (47.6), находим
*Si(p.В»; СЂ', Рі')
374 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Ясно, что использованный процесс можно продолжить и полу-
получить в результате бесконечную цепочку уравнений для функ-
функций v и Sn.
Рассмотрим граничные условия к уравнению (47.8) и анало-
аналогичным уравнениям для Sn. Так как само уравнение справед-
справедливо при г>г', граничное условие должно ставиться при г = г'.
�ными словами, нам надо найти St(p, г'; р', г'). Проинтегрируем
для этого уравнение (47.1) по г, после чего применим оператор
Р±/Р±С‘(СЂ', Рі'):
"(Р . *) = В»
Так как 6а (р, ?)/6е(р', г') —0 при ?<г', нижний предел инте-
интегрирования в первом интеграле можно заменить на г'. Второй
же интеграл вычисляется, и в результате мы приходим к формуле
6С‡ (СЂ, Рі)
6Рµ(СЂ', Рі')
Положив здесь г' = г (при этом интеграл обращается в нуль),
мы получаем
—= = -<г°(Р—Р)v(Р. ч- С'-")
РЎРµ(СЂ', Рі) *
Это равенство является точным следствием уравнения (47.1).
Усредняя (47.9) и полагая г'=г, получаем граничное условие
к уравнению (47.8):
S,(p, г'\ р', г') = ^б(р—p')t»(p, г'). (47.10)
�з формулы (47.9) можно получить граничные условия и для
функции St. Для этого применим к (47.9) оператор б/бе (р*, г"),
усредним результат и положим затем г = г'\
SAP, Рі'; V', Рі'; Р ". *") = ."?, (Р . *'; Р ". Рі"; СЂ', Рі')-
= y6(p-p')S,(P, Рі'; СЂ', Рі"). (47.11)
ГРАН�ЦЫ ПР�МЕН�МОСТ� МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 375
.изводя л-кратное функциональное дифференцирование фор-
улы (47.9), можно аналогичным путем получить граничное ус-
для функции Sn+1.
До сих пор мы не делали предположения о дельта-коррели-
рованности е. Если сделать это предположение в уравнении (47.4),
т. е. положить в нем
<е(р, z)8(p'. г')>^фГ**(р,2; р'.г') = А (р-р')в(г-г'), (47.12)
то интеграл по г' в (47.4) вычисляется и мы получаем
-5Р“ = Р№Р”^+С‚1*Р 'Р›(СЂ-СЂ')51(СЂ,Рі; СЂ\ Рі),
причем при интегрировании б-функции появляется множитель »/»•
Но функция Sl (p, z; p', г) при совпадающих значениях продоль-
продольной координаты нам уже известна из формулы (47.10); подстав-
подставляя ее в интеграл, получаем замкнутое уравнение для v:
|^Ai"-jv4(0)u(p>2), (47.13)
Которое совпадает с полученным в § 44 уравнением (44.9). Таким
образом, если предположить дельта-коррелированность е в пер-
первом из уравнений нашей цепочки, то оно замыкается, так что
остальные уравнения оказываются излишними.
Сделаем теперь следующий шаг: в первом уравнении нашей
цепочки оставим точную корреляционную функцию, а прибли-
приближение дельта-коррелированности используем лишь во втором
уравнении вида (47.8). Тогда интеграл по г" вычисляется, и
в результате мы получаем уравнение
pM(p-p")5a(p^; Р ', Рі'; Р ", Рі). (47.14)
Если заменить в (47.11) г' на г, г" на г' и поменять местами
р' и р", то мы получим необходимое нам значение
S,(p, Рі; СЂ\ Рі'; СЂ", z) = iВ±6(p-p")Sl (СЂ, Рі; СЂ', Рі').
После этого уравнение (47.14) становится замкнутым, принимая
РІРёРґ
IF 2AAj-Sl W^Si' Рі>Рі- (47.15)
Теперь мы имеем уже систему из двух уравнений (47.4) и (47.15),
а остальные уравнения цепочки можно не использовать.
Ясно, что если в первых (я—1) уравнениях мы используем
точное значение корреляционной функции ij!c, а замену (47.12)
376 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА 1ГЛ. VII
совершим лишь в и-м уравнении, то получим замкнутую систему
из п уравнений, которая будет тем точнее, чем больше л.
Рассмотрим подробнее случай л = 2. Сначала нужно решить
уравнение (47.15) с начальным условием (47.10). Нетрудно про-
проверить, что решение имеет вид
Подставив это выражение для S, в (47.4), получаем уравнение
для v:
хехР{'2((Рг~Й' —^<г~г>>}*>(Р-р'' г~г')"(р'-г'); (47-17)
его легко решить, если воспользоваться преобразованием Лапласа
по г и преобразованием Фурье по р. Мы, однако, не будем этого
делать, а ограничимся выяснением условий совпадения решения
уравнения (47.17), которое мы будем называть уравнением вто-
второго марковского приближения, с решением уравнения (47.13).
Уравнение (47.13) получается из (47.17), если продольный
масштаб /„ функции ifs(p—р', г—г'?мал по сравнению с мас-
масштабами по г других сомножителей. Как мы выяснили в § 45
(см. (45.4)), характерный масштаб функции v(p', г') имеет поря-
порядок величины (ЬЛА,)"1. Тот же масштаб входит и в множитель
ехр{—гЦ?А%(г—г')} в (47.17). Поэтому необходимо, чтобы вы-
выполнялось условие
/ЛУ„<1. (47.18)
Если это условие выполнено, то под знаком интеграла в
(47.17) можно заменить v(p', г') на и(р', г) и считать, что
ехр{— г/,к*А,(г—*')}« 1. Тогда это уравнение примет следую-
следующий вид:
(47.19)
В области |р—р'|^>
ир] ГРАН�ЦЫ ПР�МЕН�МОСТ� МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 377
выстро осциллирует. Если характерный масштаб функции % по р,
который мы обозначим через /j., велик по сравнению с Y(z—z')/ft~
му1„/к, то множитель it>e(p—р', г—г') мало меняется на ха-
характерном масштабе функции f и его можно счтитать постоян-
постоянным. Что касается функции ч(р', г), то ее характерный попе-
поперечный масштаб имеет порядок размера пучка а. Поэтому при
выполнении условий
VJ VT (47.20)
произведение_ ife(p—р', г—г')»(р', г) можно заменить на
фв(0, z—г')и(р, г), после чего интеграл по р' вычисляется и
дает единицу. Таким образом, при выполнении условий (47.20)
уравнение (47.19) еще более упрощается:
_ Z
? = ?-РђВ±РЄ-*РЄ(СЂ, Рі) J 11,(0, z-z')dz'. (47.21)
Рѕ
Наконец, если
*>'В¦. (47.22)
то верхний предел интегрирования в (47.21) можно заменить на
бесконечновть, и тогда, с учетом равенства
S*(0, *')&'-'/Р� <Рѕ).
Рѕ
мы получаем из (47.21) уравнение первого марковского при-
приближения (47.13).
�нтересно отметить, что даже уравнение (47.21) дает для v
более точное выражение в области г<^/ц, чем первое марковское
приближение. Например, в случае плоской падающей волны ре-
решение уравнения (47.21) имеет вид
РЄ(z) = Рѕ, exp J- ? j (Рі-РЎ) В¦.(0, QdA. (47.23)
При г<^1„ можно на всем участке интегрирования считать
Ч>«(0, Одаф^О, 0) = а\, и тогда (47.23) дает
(*</В«). (47.24)
Если же г^>/,|, то в формуле (47.23) можно считать
Z <Рћ
$ <* - 0 Р§'. (0. 0 4 * Рі J t|>e (0, ?) d? = V/2,
378 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
и мы получаем
п(г) = к„ехр{—feMnz/8} (z>M- (47.25)
В первом же марковском приближении мы при всех г получаем
для плоской волны формулу (47.25).
Остановимся на условиях (47.18), (47.20) и (47.22) применимо-
применимости марковского приближения для среднего поля и. Первое из ус-
условий (47.20) означает, что продольный масштаб корреляции
in должен быть мал по сравнению с дистанцией feaa, на кото-
которой начинает проявляться дифракция на апертуре пучка. Второе
условие тоже можно записать в виде 1Л <^.Ы\, так что масштаб 1„
должен быть мал и по сравнению с дифракционной длиной, со-
соответствующей поперечным размерам неоднородностей. Условие
(47.18) означает, что ослабление среднего поля на масштабе 1„
должно быть малым (напомним, что согласно формуле (4Я.6)
feM0/4 = eT0 — коэффициент рассеяния), или, иначе говоря, ln <^d=
=Т1. где й^длина экстиикции. Наконец, условие (47.22) озна-
означает, что /ц должно быть мало по сравнению с длиной трассы.
Мы видим, что все четыре условия можно формулировать как
ограничения сверху величины продольного масштаба корреляции
диэлектрической проницаемости. При этом условие (47.18) озна-
означает ограничение и величины al. Действительно, А,~а\1]и так
что неравенство (47.18) можно записать еще и в виде
aJ/W!, <1. (47.18Р°)
Отметим, что полученные условия применимости марковского
приближения не ограничивают сверху длины дистанции г, в от-
отличие от любого из ранее рассмотренных методов, использующих
теорию возмущений по е.
Мы рассмотрели уравнения более высоких приближений для
среднего поля. Подобным же образом можно получить уравнения
второго и более высоких приближений для произвольных мо-
моментов Г„, „ [20]. Мы не будем приводить здесь этих уравнений,
а изложим лишь некоторые качественные соображения и выводы
работы [20].
Если обратиться к уравнению (44.15) при я=т=1, т. е.
к уравнению для функции »(р,', z)v*(p[, г), то в него входит
в качестве случайного коэффициента только разность е (pj, г) —
— e(pj, г). При замене е—«-e + const эта разность не меняется.
Отсюда следует, очевидно, что крупномасштабные неоднородности
не сказываются на произнедении и (р,',г) v* (pl,z). Поэтому и условия
применимости марковского приближения для функции Г не могут
содержать таких величин, как о\, 1„ и /j_, которые зависят от
ЗАДАЧ� 379
доведения спектра флуктуации диэлектрической проницаемости
^области малых волновых чисел.
Условия применимости марковского приближения для Г
имеют вид
(47.26)
Здесь/,—масштаб наименьших неоднородностей диэлектрической
проницаемости. Второе из условий (47.26) ограничивает вели-
величину, характеризующую интенсивность флуктуации е. Если
вспомнить, что радиус когерентности поля определяется из усло-
условия й*г#(р*) ~ 1 (см. (45.21)), то второму условию (47.26) можно
придать вид
*Р В»>1-3 (47.27)
Таким образом, применимость марковского приближения требует,
чтобы радиус когерентности всегда оставался много большим
длины волны.
Задачи
1. Найти распределение средней интенсивности но поперечному- сечению
пучка излучения, у которого в плоскости г—О поле имеет вид
(I)
(гауссов пучок с эффективным радиусом а и с расстоянием от плоскости г=0
до центра излучения, равным F) [6]. Рассмотреть частный случай, когда
H(f>)— jpCjP*'3, что соответствует турбулентным флуктуациям диэлектрической
проницаемости.
Решение. Средняя интенсивность /(р+, г) может быть получена из
функции Г прн р = 0. На основании (45.19) имеем поэтому
!. (2)
Подсчитаем функцию Г<°>, используя начальное условие (1) для поля:
Лодставим (3) в (2) и выполним интегрирование по р+. В результате полу-
получаем формулу
(4)
380 Приближение марковского процесса
где введено обозначение
[РіР». vit
(5)
Формула (4) справедлива при любон виде функции Н (р). Если Н (р) = pCffl; то
I
и формула (4) после перехода к полярный координатам принимает вид
В¦ X
X У ехр{«??± cos,}*,,.
�нтеграл no q> равен 2nJ(,(ip'p+/z), так что для 1 получаем выражение
Рў(Р +. ,)= *^ |Рµ*Р { -<в„ў p.-flcВ«*V} Р› (^) Р Р¤- (6)
Введем /, (г)—интенсивность на оси пучка в однородной среде, т. е.
РїСЂРё РЎРІ = 0:
Отношение 7(р+, z)/{t(z) можно записать в виде
Если ввести безразмерную переменную интегрирования (gftj2a)^-l, то (7)
запишется так:
�з (8) следует простая формула для интенсивности на оси пучка:
РґР°
/о('г[ ¦=/(") = ] ехр{— I — ut'/'}dt,~
РіРґРµ
Злр , / 2о \V.
ЗАДАЧ�
381
Параметр и пропорционален структурной функции фазы на базе 2o/g (г). Раз-
дагая в"' или е~"'ш/> в ряды, нетрудно получить для /(ы) разложения
(— ц)п = 1 -0,94ц+0,75и'—0,56и8+ • ¦ -, (10)
Р»=0
Второе иа них представляет собой асимптотическое разложение f (и) при боль-
больших и. График функции f(u) приведен иа рис. 66.
t.0
0,6
0,2
4 Р’
Р РёСЃ. 66.
Согласно (45.23) интеграл от / (р+, г) по поперечному сечению пучка не
зависит от z. Уменьшение средней интенсивности на оси пучка можно объяс-
объяснить его уширением. Если определить эффективную площадь пучка при по-
помощи равенства
J Р“(СЂ+, Рі)<Р СЂ+-7(0
то из закона сохранения (45.23) будет следовать, что
Рў(0, Рі) S,m {Рі) =1 (0, 0) S,^ (0).
(12)
Правая часть этого равенства не зависит от неоднородностей среды. Поэтому,
если записать (12) для однородной среды, в которую посылает излучение
тот же источник (т. е. то же распределение поля на плоскости г—0), то мы
получим равенство
U W S'&, (z) = Р“(0, 0) Se4t (0), (13)
где /в (г) и 5?фф(г)—интенсивность на оси пучка и его эффективная площадь
в однородной среде.
�з (12) и (13) следует, чтЪ
I, (Рі) = 1 (14,
РџРћ, 2) /W |14
Если и>1, то, согласно (II), /(и) я 1,1и"#/< и
382 приближение марковского процесса [гл. vn
Например, при F — a> (коллимиреванный пучок) g2 (z)—1+А2а*/г!- Если
г<^*«- (ближняя зона источника), то g'{z) да k'a'/z', и тогда
Если же г^> кФ (фраунгоферова зона источника), то g* as 1 я
> . Сѓ/.
w
2. Случайный радиус-вектор «центра тяжести» распределения интенсив-
интенсивности пучка в его поперечном сечении определяется формулой
[СЂ'1(СЂ\ Рі)<Р СЂ'
| 1
$ / <СЂ\ Рі) <Р СЂ'
Выразить средний квадрат ?а через функцию когерентности Г,.
Решение. �нтеграл в знаменателе является постоянной детерминиро-
детерминированной величиной. Обозначая его через Р, получаем
Р� Рі)' (Pi-
РќРѕ
т. е. в формуле для Г, следует положить Pj = pJ и Pj^P^i что эквивалентно
для новых переменных р+, р, р,, ps (см. (46.2)) равенствам ра — 0, р-0.
При этом f?=p+ + VsPi. рг'=р+—VsPi. PiPi=(tl+—1/4pi "
Г«(Р+. р, Pi. Pj, г) = Г,(р+. О, pt, 0, г).
Следовательно,
V = P-> IJ dVVi (P^-'/jPf) Г, (р+, 0, р„ 0, г).
8. Фотодетектор, представляющий собой диск радиуса R, реагирует на
интеграл от интенсивности света / (р, г). Найти закон убывания относитель-
относительных флуктуации фототока J при увеличении R в случае, хогда падающая
плоская световая волна распространяется в статистически изотропной слу-
случайно-неоднородной среде.
Решение. Мгновенное значение фототока равно
7-<xjj/(p, z)d'p. (1)
2
где а—чувствительность фотодетектора, 2 — круг радиуса /?. Усредняя (I),
имеем J = е«72. �з (I) следует также, что
так что относительные флуктуации J/J выражаются формулой
7 1 РЎ 1(0 Рі)
грим случай, когда R намного превышает радиус корреляции флук-
Т|*ив. Тогда функция if/ (p, г) быстро спадает еще при таких значениях р,
M>J которых f(p) не успевает заметно измениться. Разложим / (р) в ряд
teiMopa no степеням р/2Я:
ЗАДАЧ� 383
«Овводя (2) в квадрат � усредняя, получаем
(3)
да ф7 — корреляционная функция, деленная на (/)*. Вводя функцию
I 1 при р € 2,
**> =\ 0 РїСЂРё p#S, "0Р–РќВ° "Р§**в„ў"1В» В° РІ РІРёРґР°
иди, после введения новых переменных интегрирования p = pi—pa в p'^Ps.
(Мовначим через /(р) функцию
Тогда (4) записывается в виде
(4)
(5)
(6)
(7)
8 силу статистической изотропности флуктуации (т. е. if/ тоже зависит только
от Р=|р|) можно записать (6) в виде однократного интеграла:
�з определения М следует, что произведение /2 равно площади перссе-
«ии двух кругов радиуса R, центры которых раздвинуты на расстояние р.
Эдемевтарныв расчет приводит к формуле
384 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VI]
и подставим это разложение в (7):
2В« 2R
I В¦* Рі)С„^ J *< Рі)СЂ'Р¤ + . (8)
2R
Первый интеграл можно записать в форме
S-M-
Рѕ Рѕ РіРє
что приводит к формуле
В» В» tR
—|г f Ъ(р, *)pdp-j^j fi|)/(p. г)р»ф + ... (9)
2В« Рѕ
Но интеграл в первом члене'в силу (46.1С) равен нулю, и поэтому в разло-
разложении (9) член с ?~* исчезает. Таким образом, флуктуации фототока убы-
убывают с ростов R быстрее, чем /}-*:
nR* j
(10)
Заметам, что при больших р функция t(i;(p, z) отрицательна, Э
Убывание о» с ростом R более быстрое, чем Л"1, объясняется тем, что
яа площади фотодетехтора Х = л/?' при больших А происходит почти полная
компенсация положительных и отрицательных флуктуации интенсивности.
Глава VIII
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОР��
МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
§ 48. Теория возмущений и диаграммная техника
для среднего поля � функции корреляции
В этой главе мы рассмотрим некоторые общие вопросы тео-
теории многократного рассеяния волн. С частным случаем такой
теории мы уже встретились в гл. VII, где была очерчена теория
распространения волн в приближении марковского случайного
процесса, учитывающая многократное рассеяние волн, но лишь
при условиях, когда рассеяние происходит практически только
вперед. Если, однако, длина волны недостаточно мала по срав-
сравнению с размерами неоднородностей, то, как мы помним, ста-
становится существенным рассеяние не только на малые, а на любые
углы. Если, кроме того, неоднородная среда достаточно про-
протяженна, то и в этом более общем случае роль многократного
рассеяния может сделаться значительной.
Мы уже упоминали о том, что многократное рассеяние воз-
возможно как на совокупности дискретных рассеивателей (элект-
(электроны в плазме, частицы аэрозоля в атмосфере и т. д.), так и
на непрерывных неоднородностях, например на флуктуациях
диэлектрической проницаемости сплошной среды. Теория много-
многократного рассеяния для этих двух случаев строится несколько
различно, хотя и имеет много общего. Мы ограничимся здесь
методически более простой теорией многократного рассеяния
на непрерывных неоднородностях. Что касается теории рассеяния
на дискретных вкраплениях, то первоначальные сведения о ней
Можно найти, например, в обзоре [1].
Кроме того, мы будем рассматривать лишь наиболее
простую постановку задачи, когда распространение волны опи-
описывается скалярным волновым уравнением. Здесь следует заме-
заметить, что в случае крупномасштабных неоднородностей скалярная
постановка задачи позволяла хорошо описать многие законо-
закономерности распространения также и векторных (электромагнит-
(электромагнитных) волк, тогда как при произвольном соотношении между
Длиной волны и размерами неоднородностей это уже не так,
'3 С. М. Рыто» а др. ч. 1[
386 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
поскольку при многократном рассеянии происходят сильные
изменения поляризации. Тем не менее мы ограничимся скаляр-
скалярным волновым уравнением, так как уже в этом простейшем
случае четко выявляется специфика многократного рассеяния.
Наконец, мы ограничимся задачей о распространении волн
в безграничной среде, в которой флуктуации показателя пре-
преломления являются гауссовым случайным полем. Последние два
предположения делаются только для упрощения излагаемой
теории, но не являются обязательными.
Рассмотрим первоначально задачу о среднем поле точечного
источника, находящегося в некоторой точке г0 неоднородной
среды. Случайная функция Грина, т. е. поле такого точечного
источника в данной среде, удовлетворяет волновому уравнению
Z(r)G(r, r0) = AG(r,r0H Аг[1+ё(г)]О(г, го) = 6 (г-г„) (48.1)
(где Д—лапласиан по переменной г), а также условию излучения
при | г—г„1—»¦ оо.
Запишем ряд теории возмущений для этой задачи, который
получается из формулы (24.10), если считать в ней и,(г) =
= G,(r,r,), РіРґРµ
—функция Грина однородной среды («свободного пространства»).
Подставляя (48.2) вместо и0 в (24.10), получаем ряд
G (г, г,) =G, (r, r,)-ft' J С,(г, г,) в (rj Go (г„ г,)А-, +
+(-ft')' J Go (г, rj i (rj G, (г„ г,) ё(гг) х
X Go (г„ r0) d'r, d?r. + (- ft')» J Go (r, r.) e (r,) Go (г„ г,) х
X ё(г,)G,(г,, г,)е(r.)Go(г„ r0)d>rid>r,d'r3 + ... (48.3)
Заметим, что функция G, (г, г„) симметрична, т. е. удовлетворяет
равенству G, (г, г,) = G, (г,, г). Покажем, что такому же равенству
удовлетворяет и функция G (г, г,). Действительно, используя
симметрию функции G,, можно записать интеграл во втором
слагаемом (48.3) в виде
5 Go (г, г,) ё (г,) G, (г„ г.) dv, = J Go (rIt r0) в (г^ G, (г, г,) dV, =
= SG0(r0,r1)e(rl)G,(r1, r)*^.
Такое же преобразование можно проделать и в следующем
fljfl ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА 387
шатаемом:
$.ff,.(r, rj в (г,) G. (гг> г,) I (rj G. (г„ г.) #г, <*>г, =
= $ РЎ, (Рі0, Tt)l(Tt)GAr,, Рі,) РІ (Рі,) Рћ, (Рі,, Рі)*Рі,*Рі,-
= $ Go (<"«. >Ч) ё(г.) Go (rj, г,) e"(r,) G, (г„ г) d»r, d?r,.
Здесь мы изменили обозначения переменных интегрирования
(г,^г,). Ясно, что подобным же образом можно преобразовать
любой член ряда (48.3), в силу чего и имеет место равенство
G(r,ro)=G(ro,r), (48.4)
выражающее теорему взаимности: а произвольной линейной
неоднородной среде поле не меняется, если точку расположения
источника и точку наблюдения поменять местами.
Рассмотрим теперь среднюю функцию Грина. Усредняя (48.3),
следует учесть, что для гауссова поля е <е (i\)... e(rtn_,)> = 0,
а Лея четных моментов справедлива формула (7.20):
<ё(г.) ... ё(г,.» =2*.(г«,гр) ... Ф.(г„гв), (48.5)
СЂ. Рї.
причем сумма в правой части распространена на все возможные
разбиения множества точек г,, ..., г2я на пары (га,,го,) (поря-
(порядок следования внутри каждой пары не имеет значения). Так,
например, согласно (48.5)
r,, Рі,)С‚|)Рµ(РіСЌ, Рі4) +
i г„ r,)+ij>e(ri. г4)1|>.(г„'«>). (48.6)
а в формуле для <ё(г,) ... е(г2„)> будет (2л —1)11 слагаемых.
Усредняя (48.3) с учетом (48.5), получаем
Рі.(Рі,Рі.) +
J С,(г. ОО.^ГОО.Сг,, го)фе(ги r^firlth,+
J G, (г, г,) G, (г,, г,) G, (г„ г,) G, (г„ г.) G, (г„ г.) X
X ft>. (Гх, Г,) 1(1, (Г„ Г4) +1|)е (Г„ Г,) ф, (Г„ Г4) +
+¦¦ (гж, г.) «ь (г.. ••.)] *гх .. - dV4 + ... (48.7)
Чтобы наглядно представить себе структуру этого ряда,
введен графическое изображение входящих в него элементов.
Такого рода графики (диаграммы) были введены Р. Фейнманом
в квантовой электродинамике и получили затем распространение
в самых различных областях теоретической физики. Это объяс-
объясняется их лаконичностью по сравнению с аналитической записью
13В»
38Й ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VI11
и упрощением выкладок. Разумеется, оперирование этой «диаг-
«диаграммной техникой» требует известного навыка.
Сопоставим функции G0(r,, r,) отрезок прямой линии, концам
которой приписываются координаты гу и г,:
Множителю fe4i))E (г,-, г,) сопоставим пунктирную линию с двумя
точками па концах:
Точки TJt г,, в которых сходятся линии, изображающие С„ и %,
будем называть вершинами диаграммы. Условимся, что по коор-
координатам всех внутренних вершин производится интегрирование.
Число таких вершин в диаграмме будем называть порядком
диаграммы.
Приведенные правила соответствия позволяют сопоставить
каждому члену ряда (48.7) диаграмму Фейнмана. Так, первый
член в правой части (48.7) изображается диаграммой
а второму члену этой формулы соответствует график
Заметим, что, поскольку по координатам rlt г, внутренних вер-
вершин производится интегрирование, аналитическое выражение,
изображаемое диаграммой, не зависит от координат внутренних
вершин. В связи с этим мы не будем в дальнейшем отмечать
эти координаты на диаграммах. Третьему слагаемому в (48.7)
соответствуют следующие три диаграммы:
,-"'-, f-\
Рі РіРѕ
Неусредненный член порядка 2л ряда теории возмущений для G
имеет вид
ft'» \ Go (г, гч) Go (г,, г,) ... Go (г,„. ro)i (rj ... е (rjd'r, ... d'r».
?48] ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА 389
Поэтому диаграммы порядка 2я содержат In 4-1 линий функций
Грина Go и 2п внутренних вершин г,, ..., г4п. Так как при
усреднении множитель <е (rj ... е (г,„)> распадается ва сумму
(2п—1)1! слагаемых, в которых аргументы га, ..., г,„ объеди-
объединяются попарно всеми возможными способами, при усреднении
возникает (2п—1)1! диаграмм порядка 2д, в которых 2п вершин
Соединяются между собой попарно пунктирными линиями всеми
возможными способами. Наконец, введем графическое изобра-
изображение для самой средней функции Грина в неоднородной среде:
Тогда ряд (48.7) можно представить графически следующим
образом:
(48.7Р°)
16
17 С‚ 18 19
РіРѕ
Здесь, помимо написанных в (48.7) членов, представлены еще
все 15 членов шестого порядка (диаграммы с шестью вершинами).
Соответствие между диаграммами Фейнмана и аКалитическими
выражениями является взаимно однозначным. Мы можем не только
составить по аналитическому выражению соответствующую диаг-
диаграмму, но и обратно—восстановить по диаграмме аналитическую
форму записи. Например, диаграмме 19 из (48.7а) соответствует
член ряда С'1", равный
(48.8)
390 элементы теории многократного рассеяния волн 1гл. viit
Некоторые из диаграмм, входящих в (48.7а), содержат в ка-
качестве фрагментов диаграммы более низкого порядка. Например,
диаграмма 3 содержит в качестве фрагмента диаграмму 2, диаг-
диаграмма 19 содержит диаграмму 4. Этим можно воспользоваться
и для сокращения аналитических выражений. Например, можно
записать слагаемое G(1>> (г, г0) в виде
РЎ"В» (Рі, r0) = k' I G, (r, rx)G<*> (r,, r,) G, (Рі., РіСЃ) * fa. Рі,)
(48.9)
РіРґРµ
5<« (г„ г6)=*« \ Ge fa, г;) g0 (г;, гу с0 (г;, г;) х
х g0 (г;, г;) g0 (г;, г,) фе fa\ г;) ч>е («•;, г;) л-;... dv;. (48.1 о)
Легко убедиться, что подстановка (48.10) в (48.9) приводит
после изменения обозначений переменных интегрирования к вы-
выражению (48.8).
Прежде чем развивать дальше технику преобразований диаг-
диаграмм Фейнмана, остановимся на их физической интерпретации.
Диаграмма / из (48.7а) описывает распространение волн из
точки г0 в г без рассеяния (как в однородной среде). Диаг-
Диаграмма 2 описывает следующий процесс: волна распространяется,
как в однородной среде, из точки г0 в точку г,. Здесь проис-
происходит первое рассеяние, после чего рассеянная волна распро-
распространяется в точку Г[, в которой происходит второе рассеяние.
Двукратно рассеянная волна достигает точки наблюдения г.
Распространение описывается множителями G, (r, rt) G, (ru г,) х
X G, (г,, г0). Наличие в диаграмме 2 корреляционной функции
^(•"и ri) указывает на то, что оба рассеивателя (в точках г,
и г2) коррелированы, т. е. оба рассеяния фактически произошли
на одной и той же неоднородности.
Рассмотрим теперь диаграммы второго порядка, т. е. диаг-
диаграммы 3 — 5. Все они содержат одно и тоже произведение функ-
функций Грина
Go (г, г,) С„ (г,, г,) G, (г„ г.) Go (г„ г4) С, (г41 г,).
Это означает, что волна в точку г пришла после рассеяния
в точке г„ в точку гх—после рассеяния в точке г, и т. д., а пер-
первому рассеянию в точке г, подвергалась первичная волна G, (г,, г0).
Таким образом, все эти диаграммы описывают четырехкратное
рассеяние. В чем же состоит различие между процессами, кото-
которые описываются этими топологически различными диаграммами?
В диаграмме 3 линии корреляционных функций соединяют точ-
точку г, с г, и точку г, с г,. Это означает, что обе точки rt и г,
принадлежат одной неоднородности, а обе точки г, и г,—другой.
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
Р—РЈ1
Таким образом, процесс, описываемый диаграммой 3, заклю-
заключается в том, что сначала происходит свободное распростране-
распространение волны от источника к первой неоднородности, затем—дву-
затем—двукратное рассеяние на ней, затем—свободное распространение
двукратно рассеянной волны до второй неоднородности, после
чего—двукратное рассеяние на второй неоднородности. Диаграм-
Диаграмма 4 тоже описывает четырехкратное рассеяние на двух неодно-
родностях, но последовательность рассеяния здесь иная. Сначала
Р РёСЃ. 67.
происходит рассеяние на первой неоднородности (в точке г4),
'затем одиократно рассеянная волна распространяется до второй
неоднородности и рассеивается на ней (в точке га), яатем дву-
двукратно рассеянная волна снова возвращается к первой неодно-
неоднородности н рассеивается на ней (в точке г„ которая соединена
пунктирной линией с точкой г,), после чего трехкратна рассеян-
рассеянная волна снова рассеивается на второй неоднородности (в точке г,)
в достигает точки наблюдения. Схематически последовательность
рассеяний на двух неоднородностях изображена на рис. 67.
Представление решения уравнения (48.1) в виде совокупности
диаграмм (48.7а) полезно не только из-за наглядности, но и по-
потому, что оно позволяет преобразовывать ряд теории возмуще-
возмущений, используя топологические признаки входящих б решение
392 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
диаграмм. При этом удается выразить сумму ряда (48.7) через
сумму некоторой бесконечной подпоследовательности этого же
ряда. Чтобы осуществить такое сведение, произведем сначала
классификацию входящих^ в (48.7а) диаграмм.
Назовем входящую в G~ диаграмму слабо связной, если ее можно
разделить на две отдельные диаграммы, разорвав какую-либо
одну линию Go. В формуле (48.7а) слабо связными являются
диаграммы 3, 6—9 и 12. Остальные диаграммы назовем сильно
связными (2, 4, 5, 10, 11, 13—20 в формуле (48.7а)). Диаграммы,
получающиеся из слабо связной диаграммы путем разрыва ли-
линий Go, в свою очередь могут оказаться сильно или слабо связ-
связными. Если среди «вторичных» диаграмм есть слабо связные,
то и их можно путем разрыва какой-либо одной сплошной линии
разбить на более простые диаграммы. Продолжая этот процесс,
мы придем в конечном счете к некоторому количеству сильно
связных диаграмм. Назовем число сильно связных диаграмм,
на которое может быть разбита слабо связная диаграмма, пока-
показателем связности исходной диаграммы. Возвращаясь к фор-
формуле (48.7а), можно сказать, что диаграммы 3, 7—9 и 12 имеют
показатель связности 2, а диаграмма б—показатель связности 3.
Сильно связным диаграммам можно приписать показатель связ-
связности, равный 1.
Отберем из ряда (48.7а) все сильно связные диаграммы. Так
как каждая из диаграмм начинается и оканчивается линией Go,
то сумму всех сильно связных диаграмм можно представить
РІ РІРёРґРµ
^Рћ^В» (48.11)
где введено обозначение
(48.12)
В аналитической форме (48.11) имеет вид
o о (г, Го).., J G(r r.} q (r- f) G (r.p u)d»r<dV, (48.lla)
В«481
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
393
РіРґРµ
Q (г', г") = fc'G,, (г', г") i|=e (г', г") + ft» $ Go (г;, г,) Go (г„ г,) х
xG0(r,, Рі")СѓСЃ (Рі', rs)i|)e (rt, r")d3r,dВ»ra +
+ ft» $ Go (г', г,) Go (г„ r.) Go (г„ г") *, (г', г") х
X Р§)Рµ (rt, ra) d'r.d'r, + ... (48.12Р°)
Функция Q носит название ядра массового оператора (это назва-
название заимствовано из квантовой теории поля).
Рассмотрим теперь сумму всех диаграмм с показателем связ-
связности, равным 2. Каждая из них имеет вид
(48.13)
где <3D* и <Ж> — какие-либо диаграммы, принадлежащие
правой части (48.12Х Так как при построении ряда (48.7а) переби-
перебираются все возможные способы попарного объединения вершин,
ясно, что сумма всех возможных членов вида (48.13) равна
где <3> —полная сумма (48.12).
Точно так же сумма всех диаграмм с показателем связности 3
имеет вид
и т. д. Таким образом, мы можем представить среднюю функ-
функцию Грина в виде диаграммного ряда
(48.14)
Соответствующая формула отличается от исходного ряда (48.7а)
лишь перегруппировкой его членов.
394
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Убедимся теперь в том, что ряд (48.14) является решением
следующего уравнения:
которое носит название уравнения Дайсона. В аналитической
форме (48.15) имеет вид
G(r, ro) = Gc(r, го) + $ С,(г. г,) Q (rlt г,)О(г„ r.) Ayhy (48.15а)
Для того чтобы показать, что (48.14) есть решение уравнения
(48.15), найдем это решение, пользуясь последовательными ите-
итерациями. Это можно делать как в аналитической форме, так и
в графической, которой мы и воспользуемся. Подставляя выра-
выражение (48.15) для G в правую часть (48.15), получаем
Снова подставляя в правую часть этого уравнения правую часть
(48.15), получим
Ясно, что, продолжая итерации, мы придем к ряду (48.14). Как
сказано, те же выкладки можно было бы проделать и в аналити-
аналитической форме, если исходить из уравнения (48.15а). При этом
мы придем к разложению (48.14), записанному в аналитическом
виде. Мы не будем приводить здесь указанные выкладки, но
советуем читателю проделать их самостоятельно, что, несомненно,
подкрепит его доверие к графическим преобразованиям диаграмм.
Уравнение (48.15а), если считать в нем функцию Q извест-
известной, представляет собой линейное интегральное уравнение отно-
относительно G, которое во многих случаях может быть решено
(см. следующий параграф). При этом получается явное выраже-
выражение G_4epe3 Q, т. е. сумма ряда (48.7а) выражается через вели-
величину С<с"льио св), являющуюся некоторой подпоследовательностью
того же ряда.
I 491 ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА 395
В действительности функция Q точно не известна. В каче-
качестве этой функции можно использовать сумму нескольких пер-
первых членов ряда (48.12) или же выразить Q через некоторую
новую функцию, подчиненную нелинейному интегральному урав-
уравнению. Последний путь, однако, слишком сложен, и его мы
касаться не будем (см. монографию [2]).
Обратимся теперь к корреляции двух полей, создаваемых то-
точечными источниками, расположенными в точках г' и г':
<G(r', r;)C* (Рі", Рі;В» = Р“(Рі', Рі'; Рі;, Q. (48.16)
Для того чтобы найти Г, следует перемножить два ряда вида
(48.3) и после этого произвести усреднение—задача более гро-
громоздкая, чем рассмотренная выше. Ее можно несколько облег-
облегчить, если ввести диаграммные обозначения для входящих в (48.3)
еще-ке усредненных величин. Будем изображать множитель
— k*i(T) в виде косого крестика, а функцию G (г, го)^в виде
волнистой линии; при усреднении этих величин мы должны полу-
полутать введенные выше элементы:
6(r, rt)~f С†, ^ ;>=
(48.17)
-/f-l7rl~ х • (, J? x > = •—•
Р“ \ Р“, Р“,/ Р“, Р“;,
Разложение (48.3) изобразится при этом бесконечной суммой
диаграмм следующего вида:
(48.3Р°)
Если усреднить (48.3а), то диаграммы с нечетным числом крес-
крестиков исчезнут и, в соответствии с правилами усреднения, мы
получим снова разложение (48.7а).
Запишем теперь аналогичное разложение для G* (г*, rj). Оно
отличается от (48.3а) заменой функции С, на GJ, что мы будем
отмечать, перечеркивая соответствующую линию:
(48.18)
Мы должны перемножить теперь разложения (48.3а) и (48.18).
после чего усреднить результат. При перемножении отдельных
слагаемых из (48.3а) и (48.18) будем помещать сверху элементы,
принадлежащие (48.3а), а снизу—принадлежащие (48.18). Напри-
Например, усредненное произведение третьего члена из (48.3а) на
то результат перемножения и усреднения рядов (48.3а) и (48.19)
изобразится в виде
(48.20)
Здесь приведены все диаграммы четвертого порядка 3—10 и
только три из диаграмм шестого порядка.
Остановимся на физической интерпретации этих диаграмм.
Диаграмме / в (48.20) соответствует распространение волны
с учетом многократного рассеяния пз точки г| в г' и из точки
г; в г", причем на обоих путях распространения рассеяние про-
происходит на разных неоднородностях (рис. 68).
396 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. V111
третий член из (48.18) примет вид
(48.19)
Поясним этот результат. При усреднении произведения
в (г,) е (г,) в (г,) е (г,) возникают, согласно (48.5), три слагаемых,
которым соответствуют в правой части (48.19) три диаграммы.
В первой из них усредняется произведение множителей е, при-
принадлежащих G(r', rj) и G*(r", г„). Возникающая при этом диаг-
диаграмма состоит из двух независимых кусков, не соединяемых
какими-либо линиями (несвязная диаграмма). Очевидно, всякая
несвязная диаграмма такого типа представляет собой один из
членов произведения G (г', т'а) GJ (r", rj), а сумма всех несвязных
диаграмм равна этому произведению.
Если ввести для <G(r', ro)G*(r", г„)> графическое обозначение
S4S]
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
397
Диаграмма 2 описывает процесс, при котором и первая, и вто-
вторая волны испытывают однократное рассеяние на одной и той же
неоднородности и т. д. (см. еще два примера на рис. 68).
Произведем теперь классификацию диаграмм, входящих
в (48.20). Все диаграммы, за исключением принадлежащих к /,
Р РёСЃ. 68.
являются связными. Назовем диаграмму для корреляционной
функции сильно связной, если посредством разрыва одной ли-
линии G, и одной линии G; ее нельзя разбить на две такие неза-
независимые части, каждая из которых содержит хотя бы две вер-
вершины. В (48.20) сильно связны диаграммы 2, 4, 7, 9 и 13. Все
остальные диаграммы слабо связны, но' их классифихация_не-
сколько более сложна, чем для диаграмм, представляющих С.
398 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Каждая из сильно связных диаграмм оканчивается четырьмя
линиями Go и GJ, т. е. имеет вид
Рі', РїР° <
(48.21)
Рі, '1
или в аналитической форме
Г(с.ль»о с», (f', г.. г;> гЭ = J Go (Г', Г,) Go (Г,, ГД С; (Г", Г,) X
хС;(г„ г!)/ГЛ. га; г,, Tl)d'ri.. .d'r,. (48.21a)
Функцию К называют ядром оператора интенсивности. Диа-
Диаграммное представление К имеет вид
^^ (48-22>
В том случае, когда на верхнем или на нижнем уровне присут-
присутствует только одна вершина, в аналитическом выражении для К
содержится множитель 6 (г,—г3) или б (г,—г4). В аналитической
форме диаграммный ряд (48.22) записывается следующим образом:
*(fi. г,; г„, г.)-*Ч.(Г1. га)6(г1-г5)б(г,-г4) +
\ (г„ г4) G,* (г„ г,) GJ (г., г4) б (Г1 - rs) d»r, +
rlf г4) % (г„ г,) Go (rit r,) О,* (г„ г4) +
+1 k*fe (rit г,)фе (r6, r.) Gt(rlt r.) G,(tt, г,) б (г,—r.)d»r.+... (48.22a)
(здесь выписаны слагаемые только до четвертого порядка вклю-
включительно).
Рассмотрим теперь возможные типы слабо связных диаграмм.
1. Слабо связная диаграмма может содержать всего один из
сильно связных элементов, входящих в К, но быть слабо связ-
связной за счет того, что одна (или несколько) из внешних линий G,
или С;_заменена на элементы, принадлежащие средней функции
Грина G или G*. В (48.20) к этому типу относятся диаграммы
3, 5, 8 и 10. Все они принадлежат к совокупности диаграмм
РІРёРґР°
1* Р“, Р“, 1J
С‡ Рї
Например, диаграмма 3 в (48.20) получается, если в К выби-
выбирается элемент .—. , в б^(г„ гД—элемент -м'Т'ь ¦¦ ,а в остальных
% 48]
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й It Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
399
функциях G, G*—элемент Go. Очевидно, сумма всех диаграмм
этого типа равна (48.23).
2. Слабо связные диаграммы, содержащие два сильно связ-
связных элемента из К, в сумме равны
(48.24)
К этой совокупности диаграмм в (48.20) относятся диаграммы
6 Рё 12.
Аналогично, диаграммы, содержащие m сильно связных эле-
элементов из К, в сумме равны
Отсюда следует, что ряд (48.20) можно представить в виде
(48.25)
•^¦^^
аналогичном представлению (48.14) для G.
Подобно тому, как из (48.14) следует уравнение Дайсона
(48.15), из (48.25) легко получить так называемое уравнение
Бете—Солпитера:
^yfi-m"' (В«.26)
Рі" РіРђ' Рі*РіСѓ Рі- Рі, Рі4 Рі?
Действительно, если решать [уравнение (48.26) последователь-
последовательными итерациями, мы получим ряд (48.25):
В аналитической форме уравнение (48.26) имеет вид
Г (г', г'; г;, О = G (''• »» 5* (г*> г»> +
+ $ G (r\ rt) G' (г*, г,) /С (г,, г,; г„ г4) х
С…Р“(РіР°, Рі<; Рі;. OdВ»/v . .dv4. (48.26a)
400 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Следующие два параграфа этой главы будут посвящены исследо-
исследованию среднего поля и функции когерентности Г. Относительно
материала, изложенного в данном параграфе, следует сделать
одно замечание общего характера.
Фактически мы нигде не использовали до сих пор конкрет-
конкретного вида функции G0(r', г") и весь проведенный анализ опи-
опирался на разложение (48.3). Это разложение представляет собой
решение следующего интегрального уравнения:
G (г', г") =G0 (г', О-*1 $ Go (г'. О 5(г,) G (г„ Г) dV. (48.27)
Вообще говоря, мы могли бы рассматривать это уравнение с
произвольной функцией С„ в качестве исходной и пришли бы
в результате к тем же диаграммным рядам и тем же уравне-
уравнениям (48.15) и (48.26). Кроме того, размерность пространства,
в котором радиусом-вектором является г, тоже не играет роли.
Поэтому и г можно рассматривать как вектор в n-мерном про-
пространстве с произвольным п.
К уравнению вида (48.27) могут быть сведены весьма разно-
разнообразные физические задачи. Например, в задаче о параметри-
параметрических колебаниях осциллятора со случайной частотой ш =
= ш0у 1 4-е(*). где ?(/)—случайный процесс, стохастическая
функция Грина G (/, /„) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
и начальным условиям G (О, /0) = О, G (0, tt) = 0. Эту же задачу
можно сформулировать в виде интегрального уравнения вида
(48.27):
G(t, U)=G,(t. t0)-
РіРґРµ
здесь 9—функция скачка.
В качестве другого примера, также сводящегося к интеграль-
интегральному уравнению вида (48.27), укажем задачу о рассеянии волн
на поверхности со случайно распределенным импедансом [17].
Ряд других примеров можно найти в обзоре [18] и моногра-
монографии [19].
Другими словами, развитый выше аппарат относится к весьма
широкому кругу задач, описываемых линейными интегральными
уравнениями со случайным ядром гауссова типа.
i 49] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 40|
Отметим также, что наряду с диаграммной техникой часто
используется и теория возмущений в операторной форме (см.
обзор [5J), которая также позволяет получать приближенные
уравнениядлястатистических моментов решения уравнения (48.27).
§ 49. Среднее поле точечного источника
в неограниченной случайно-неоднородной среде
Рассмотрим уравнение Дайсона (48.15а):
§ (г, г0) - G. (г, г.) + J а„ (г. г,) Q (г„г.) G (г„ г.) *г, Л-,. (49.1)
Если применить к нему оператор (Д-f-Аа), то, в силу равенства
(A + ft!)G0(r,r0) = 8(r-r0), (49.2)
мы получим уравнение
AG(r, РіРѕ) + *Р§?(Рі, ro)-$ Q (Рі, r')G(r', ro)tf>r' = 6(r-ro). (49.3)
�з сравнения (49.3) с (49.2) видно, что, в отличие от Go, функ-
функция G удовлетворяет не дифференциальному, а интегро-диффе-
ренциальному уравнению. Уравнение вида (49.3) получается,
например, из уравнений Максвелла в том случае, когда связь
между электрической индукцией D и напряженностью поля Е
в изотропной среде имеет пространственно нелокальный характер:
D (г) а Е (г) + 4лР (г), Р (г) = J х (г, г') Е (г') d»r',
где Р—поляризация, а %—поляризуемость среды. Действительно,
из уравнений Максвелла rot Е = ikH, rot Н = — ikD мы получаем
тогда для напряженности Е уравнение
ДЕ +fe'E + 4nfe* J % (г, г') Е (г') d'r' = grad div E.
Сравнивая это уравнение с (49.3), мы видим, что величину
можно трактовать как поляризуемость среды с пространствен-
пространственной дисперсией. Найденный результат легко понять и с физи-
физической точки зрения, поскольку он выражает тот факт, что сред-
среднее поле в некоторой точке г зависит и от окружающих эту точку
неоднородностей.
Рассмотрим статистически однородную среду, т. е. предпо-
предположим, что \|>е (Гц г,)=\|)е (г,—г,). Если обратиться к разложе-
разложению (48.12а) для Q (г,, г,), то легко убедиться, что в этом слу-
случае ядро Q тоже зависит только от г,—г,, т. е. Q = Q(r1—rj.
402 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ: VII]
Наконец, поскольку функция Грина Go (г, г„) тоже зависит лишь
от разности своих аргументов, ясно.^то и средняя функция Гри-
Грина в неоднородной среде имеет вид G (г, г0) = G (г —г0). При этих
условиях уравнение (49.1) можно разрешить относительно G, вос-
воспользовавшись преобразованиями Фурье
Go (г —14) = $ g0 (к) exp [in (г — rj] d'x,
G (г—г,) = \ g (*) exp [Ы (г - г,)] #к. (49.4)
Q (г,—г,) = $ q М exp [ih (г, — r,)l_d»x.
Для go(x) имеем выражение
В знаменатель этой дроби введена бесконечно малая мнимая
добавка to, обеспечивающая при вычислении интегралов (49.4)
присутствие только расходящихся волн. Величину го можно,
конечно, рассматривать как бесконечно малое поглощение
(fe-,fe + V,В«o).
В рассматриваемом случае уравнение (49.1) имеет вид
РЎ(Рі-РіРѕ) =
= С0(г-г„) + $ С,(г-Г1) Q (г,-г.) Gfr.-r,)*,-!*!-,. (49.6)
т. е. двукратный интеграл представляет собой теперь двойную
свертку. Поэтому при преобразовании Фурье он дает произведе-
произведение трансформант Фурье и уравнение (49.6) приводит к чисто
алгебраическому уравнению
i(С…) = g, (x) + (8СЏ>)В«g, (С…) q (x) i(x). (49.7)
Разрешая это уравнение относительно g, получаем с учетом (49.5)
g (х) = g° М = .—j jJ— . .— . (49.8)
Подставив (49.8) в (49.4) и выразив ?(х) при помощи обратного
преобразования Фурье через Q (г), мы получаем формулу
Рґ(Рі_РіВ§) 1 Р“ ""[,-В»(Рі-РіРѕ)1 #С…, (49.9)
831 J Ai-x» — J Q (г') exp (—нет') tPr' + io
которая в явном виде выражает G через Q.
Хотя формула (49.9) является точной, выражение для Q
известно лишь в виде ряда, просуммировать который в общем
случае не удается. Поэтому формула (49.9) полезна лишь в том
*«] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 403
отношении, что она позволяет по тому или иному приближен-
приближенному выражению для Q получить соответствующее приближе-
приближение для G.
Одно из простейших приближений, которое в дальнейшем
будет рассмотрено подробнее,—так называемое приближение
Бурре—заключается в?том, что для Q берется первый член ряда
(48.12а), т. е. полагается
pr^^hCrV' (49.10)
Соответствующее приближение G, для G мы будем изображать
графически как
Если в (4.8.14) подставить вместо Q диаграмму_(49.10), то полу-
получится следующее диаграммное представление Gt:
/"Сѓ
(49.11)
Следовательно, подстановка (49.10) в (49.9) и последующее вы-
вычисление интеграла позволяет найти 0^ т. е. просуммировать
СЂСЏРґ (49.11).
Если случайно-неоднородная среда не только статистически
однородна, но _и статистически изотропна, то, очевидно,
Q(r')=Q(r') и G(r—ro) = G(|r—го|). В этом случае формула
(49.9) может быть еще более упрощена посредством перехода
к сферическим координатам (как по г', так и по х) и выполне-
выполнения интегрирования по всем угловым переменным. В резуль-
результате (49.9) преобразуется к виду
J^"" . (49.12)
" ¦ *» -xJ —~ \
К = 1'-г„|.
Уравнение Дайсона (49.1) можно преобразовать к виду,
в котором вместо функции Грина невозмущенноб среды Оо будет
фигурировать уже частично просуммированная бесконечная под-
подпоследовательность ряда для G [3, 4J. Тькое преобразование
Позволяет улучшить сходимость ряда для G. Для его осуществле-
осуществления запишем сначала уравнение Дайсона в операторном виде.
404 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН ?ГЛ. VIII
Введем для этого линейные интегральные операторы Af, Л?„ и Q
с ядрами G, <?„ и Q:
(AW)(r)=$G0(r,r0)/(r0)<fV0,
j
Запись (Mf) (г) означает, что функция / преобразуется опера-
оператором М ъ функцию (Af/), значение которой берется в точке г.
Если умножить (49.1) па /(г0) и проинтегрировать по г0, то
полученное равенство можно записать в следующей оператор-
операторной форме:
Так как это равенство справедливо при любой функции /,
его можно записать и как уравнение для оператора М:
AJ = Af, + AV.QAf = iW0(l+QiW). (49.1Р°)
В предыдущем параграфе было показано, что функция
G(r', г") (еще не усредненная) симметрична: G(r', r") = G(r", r').
После усреднения это равенство, естественно, сохраняется:
3(r', r") = G(r*,r').
В операторном виде последнее равенство означает, что транспо-
транспонированный оператор М1 совпадает с М:
ЛГ = Л?. (49.13)
�з симметрии функции G, вытекает такое же равенство и для
оператора /�п:
Лй = Л*„. (49.14)
На диаграммном языке равенство (49.13) означает, что каждая
диаграмма, входящая в ряд для С, либо симметрична относи-
относительно вертикальной оси, проходящей через центр диаграммы,
либо, если она несимметрична, входит в G в сумме с другой
диаграммой, которая получается из исходной несимметричной
диаграммы путем отражения относительно вертикальной оси.
Например, в (48.7а) входят симметричные диаграммы /—6, 10,
13 и 17—20 и пары несимметричных диаграмм (7, Р), (8, 12),
{11, /5), (14, 16).
�з симметрии G (г', г*) следует, что и Q (г', г") = Q (г", г'),
так как диаграммы для Q имеют тот же тип симметрии, что и
S 49] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 405
диаграммы для G. Следовательно,
QT=<?. (49.15)
�звестно, что при транспонировании произведения операторов
порядок их следования меняется на обратный: (ЛВС...)Т =
= ...С'ВГАТ. Применим операцию транспонирования к уравнению
(49.1а). С учетом (49.13)—(49.15) получаем уравнение
M = M, + MUMt = (\+MU)M<l. (49.16)
Предположим, что нам известно какое-либо приближенное
решение Af, уравнения (49.16), соответствующее некоторому
приближенному выражению jjlf т. е. известно решение уравнения
*, = (!+/*!&) Р›?Рѕ. (49.16)
Мы всегда можем получить такое решение, если подставим в (49.9)
некоторое приближенное выражение Q, вместо неизвестного точ-
точного выражения Q (например, используем в качестве Q, при-
приближение Бурре). Умножим операторное уравнение (49.1а) слева
на оператор (1 + М^):
1 + QM).
Учитывая в правой части последнего равенства формулу (49.16),
получаем отсюда
Наконец, перенося член /i^ Qt/M в правую часть этого равенства,
запишем его в форме
<3 — Q,)M. (49.17)
Уравнение (49.17) аналогично уравнению Дайсона (49.1а),
но вместо М„ в нем фигурирует оператор Af,, а вместо Q—раз-
Q—разность (Q—Qj). Ясно, что если норма оператора Q—Q, меньше
нормы исходного оператора Q, то итерационный ряд уравнения
(49.17) будет сходиться быстрее, чем исходный.
Применив операторное равенство (49.17) к дельта-функции,
получим соответствующее уравнение для ядер операторов М,
Р›*,. Q Рё <?,:
G (г, г,) = G, (г, г,) + J G, (г. г,) [Q (г„ г,) - Qx (т„ г,)] х
xG(r2, ro)dV,dVs. (49.17a)
В случае статистически однородной среды уравнение (49.17а)
можно решить при помощи преобразования Фурье. В спектраль-
406 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
ной форме, т. е. для трансформант Фурье, решение имеет вид,
аналогичный (49.8):
<4918>
Описанную процедуру улучшения сходимости ряда для G
можно повторять. Например, мы можем задать приближенное
выражение для Q—Qi = Q, и, используя формулу (49.18), найти
соответствующее выражение для G2.
Обратимся теперь к более подробному рассмотрению при-
приближения Бурре для статистически изотропных флуктуации е.
�з формулы (49.12), в которой вместо Q(r) использовано
приближение (49.10), получаем
В»
М*>-япв ^-^ • <4919>
-"« Аа—Xs : — \ %{r)elkrs\n*rdr + la
"Рѕ1
Для лучшего уяснения этого результата рассмотрим сначала
частный пример, когда $>(r)'=0iexp(—аг), гдеа"1 = /,—радиус
корреляции флуктуации е. При таком виде 1|>г интеграл, входя-
входящий в знаменатель подынтегрального выражения в (49.19), легко
берется. Чтобы вычислить затем интеграл по х, будем считать х
комплексным. Тогда контур интегрирования можно замкнуть
бесконечной полуокружностью в верхней полуплоскости х и
значение интеграла сведется к сумме вычетов в полюсах, лежа-
лежащих в области Im х > 0.
В рассматриваемом примере корни знаменателя легко вычи-
вычисляются; они равны
e^l-j/l+tfffi^.-
Для упрощения дальнейших вычислений рассмотрим достаточно
малые флуктуации, когда |6|<^1, что выполняется при условии
I а» (а—2«)« | ~а» (а«+44») ^" *
В этом случае
б ж — 2/s4jJ/o« (а—2ife)>, 161 <^ I
<49-22)
S 491 СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 407
Потребуем, чтобы, наряду с (49.21), выполнялись условия
<49-23>
позволяющие приближенно извлечь квадратный корень из (49.22)
и записать лежащий в верхней полуплоскости корень х, в виде
<49-24>
Заметим, что три ограничения (49.21) и (49.23) можно объе-
объединить в одно:
Воспользовавшись очевидным неравенством
мы несколько усилим последнее ограничение, заменив его на
требование
при котором все три неравенства (49.21) и (49.23) будут выпол-
выполнены. Последнее же ограничение сводится, очевидно, к тому, что
В¦^ol-=k'l\al<^l. (49.25)
Что касается второго корня х3, то при |6|<^1 он равен
С…, = * + В»<*+... (49.26)
Если теперь взять вычеты подынтегрального выражения в ин-
интеграле по х (49.19) в полюсах х, к к,, то для Gl(R) получится
выражение
1 /j/2) I e(1<lR в «'"•"
Jx,R Л „(x>"
х — 1 (-_?- ? . (49.27)
Проанализируем это выражение.
Функция G, описывает две расходящиеся волны, причем
амплитуда' второй волны много меньше, чем первой. Сравним
коэффициенты ослабления обеих волн, т. е. Imxt и Imx,:
Imxi k*a\
lm щ a2 (аг+4А2)'
408 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. VIII
В силу условия (49.21) это отношение мало, т. е.
Таким образом, вторая волна в (49.27) не только мала по ампли-
амплитуде, но и затухает значительно быстрее основной волны (зату-
(затухание второй iволны происходит на длине порядка размера не-
однородностей а"1 = /е). Поэтому с достаточной точностью можно
считать, что
^Р™ (49.28)
Это выражение отличается от Go лишь заменой веществен-
вещественного k на комплексное xt(причем Imxj > 0), т. е. среднее поле
экспоненциально затухает. Кроме того, и вещественная часть х4
отличается от k: Rex, > k.
Оба эти результата легко объяснить: наличие неоднородностей
приводит к перекачке энергии волны из детерминированной
компоненты поля в случайную, т. е. к ослаблению среднего
поля. Кроме того, неоднородности увеличивают фазовый путь
лучей, что эквивалентно увеличению вещественной части волно-
волнового числа.
Отметим, что в силу условия (49.25) относительные изменения
волнового числа малы:
Это позволяет провести исследование приближения Бурре, опи-
описываемого формулой (49.19), в общем виде, без конкретизации
корреляционной функции т|>е.
Полюсы ч„ подынтегрального выражения в (49.19) являются
корнями уравнения
fe2—*Х + 4- f $e(r)e'*rslnxnrdr + io=0. (49.30)
0
При этом основной интерес представляет тот, лежащий в верхней
полуплоскости х, корень н, уравнения (49.30), который имеет
наименьшую мнимую часть, поскольку остальные корни дают
малые и быстро затухающие вклады в (Г,. Но в силу условия
(49.29) роль интегрального члена в (49.30) мала, и если им
пренебречь, то мы получим х„ = й + !О, а интересующий нас
корень х, будет близок к этому значению. Следовательно, урав-
уравнение (49.30) можно решать последовательными итерациями:
в нулевом приближении x,=ft, а уравнение первого приближе-
приближения получится, если в интегральный член (49.30) подставить
49] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 409
ft1—y.\+k*l^t(r)elkrsinkrdr^O. (49.31)
Рѕ
Решая это уравнение и считая интегральный член малым, полу-
получаем для эффективного волнового числа &,фф = х, выражение
= ft["l+4fsl
n2krtfa (Рі) dr + i j | sin' kr ij>e (r) dr j. (49.32)
Удобно выразить k,^ через спектральное разложение функции
i|)g(r), которое для статистически изотропных флуктуации опре-
определяется формулой (3.11):
99
1|>, (г) = Щ- ^ Фг (х') sin (ч'г) х' 6.Y.1. (49.33)
Рѕ
(3) РІ (49.32) Рё
no r и х'. С учетом формул
Подставим (49.33) в (49.32) и изменим порядок интегрирования
r Рё С…'. РЎ С„
РїСЂРё
получаем после выполнения интегрирования по г
. (49.34)
В рассматриваемом приближении усредненная функция
Грина, согласно (49.19), равна
В»*С„"
Таким образом, мы пришли к тому, что при #^>/е средняя
функция Грина имеет тот же вид, что и в однородной среде,
410 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VII]
но с заменой исходного волнового числа k на й>4ф. Величину
6,фф/& можно трактовать как эффективный показатель прелом-
преломления случайно-неоднородной среды. Согласно (49.34)
(49.36)
�з этих формул видно, что я, > 1 при любом виде спект-
спектральной плотности Фе(и) Гтак как In f2Jfe_^j >0j , a n, всегда
положительно. Объяснение этому уже было дано выше при
обсуждении результатов расчета с корреляционной функцией
\|>е~ехр(—аг).
Согласно (49.34) коэффициент ослабления среднего поля по
мощности равен
ik
Сѓ = 2 Im (fe8tt) = СЏ'Р›* $ Р¤,(С…) С‡dx. (49.37)
Легко убедиться в том, что эта величина совпадает с коэффи-
коэффициентом рассеяния о*„, вычисленным в борновском приближении
для статистически изотропных флуктуации е (см. (26.13)):
Принимая здесь 2ft sin (0/2) = х за новую переменную интегри-
интегрирования, мы получаем правую часть (49.37), т. е. Т=о«-
Если обратиться к случаю крупномасштабных неоднородно-
стей, т. е. считать, что *^>х„, то верхний предел интегрирова-
интегрирования в (49.37) можно заменить на бесконечность и эта формула
перейдет в полученную ранее в марковском приближении фор-
формулу (45.6). В выражении (49.36) для п1 можно при ?^
считать, что
1 ln fU+xy _ С…
ln f+y _
и, следовательно,
$ 401 СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 411
По порядку величины в этом случае имеем
т. е. изменение (по сравнению с волновым числом для однород-
однородной среды) действительной части волнового числа мало по срав-
сравнению с изменением его мнимой части.
Остановимся теперь на вопросе о границах применимости
приближения Бурре. В качестве первого приближения мы рас-
рассмотрели ядро массового оператора Q в приближении (49.10).
Возьмем теперь следующее приближение для Q, в которое вклю-
включим следующую бесконечную подпоследовательность диаграмм
из точного ряда для Q:
(49.38)
Таким образом, функция Q, отличается от <?, тем, что содержит
вместо G, среднюю функцию Грина GP найденную в приближе-
приближении Бурре:
� в этом случае полюсы функции Грина будут определяться
уравнением, аналогичным (49.30), но под знаком интеграла
вместо е'*г будет фигурировать е'*»*Ф':
00
у? = k* + -?- j фе (г) е1 W sin кг dr. (49.39)
Рѕ
Мы уже знаем, что в первом приближении корень этого уравне-
уравнения равен »<1 = А,фф- Поэтому в правую часть (49.39) вместо я
можно подставить найденное выше fe
45 В¦*fel+i? J *В¦(r) e*"**r sin (k**r) dr- (4940)
Нам следует теперь сравнить это выражение с
» J фв (г) е'*' sinkr dr. (49.41)
Рѕ
Положим krtt = k + &k, где согласно (49.29) |Afc|<^fe. Тогда
lfel/^—Дй/А1. Подставим это значение I/ft,»» в (49.40) и
412 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VII!
после этого вычтем (49.41) из (49.40). Заменяя синус по формуле
Эйлера на разность экспонент, получаем
Чтобы оценить эту разность, снова воспользуемся модельной
корреляционной функцией ¦Ц>в(г)=о*ехр(—ат). �нтегралы при
этом легко берутся и выражение х|—х\ приводится к виду
С…' Рё'
X, X, _
—в (а-2«) J "
Так как мы оцениваем разность и!— х| с точностью до величин
первого порядка по Д/г, можно положить в квадратных скобках
k^k и тогда
�Л�, ПОСКОЛЬКУ Х| —�? = (Х,—K1)(tc,+Kl)t*f2k(ilt —
Для того чтобы найденный в приближевии Бурре сдвиг Ak имел
смысл, необходимо потребовать малости по модулю по сравне-
сравнению с |ЛАс| поправки следующего приближения м,—х,, т. е.
\-sr
(49.43)
Но это условие совпадает со вторым условием (49.23) и заведомо
выполняется, если удовлетворено условие (49.25), при котором
были выведены основные формулы в приближении Бурре. Таким
образом, можно считать, что полученные выше в приближении
Бурре формулы для G справедливы при выполнении условия
где /,—радиус корреляции случайного поля е.
Следует отметить, что оценка (49.43) получена из сравнения
приближения Бурре не с точным решением, которое неизвестно,
а со следующим приближением (правда, включающим, как это
видно из (49.38), бесконечное число диаграмм для Q). Поэтому
это условие нельзя считать достаточным, но оно является необ-
необходимым.
S ВО] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 413
Помимо приближения Бурре известен еще целый ряд дру-
других приближенных решений, а также ряд более сложных урав-
уравнений (в том числе и нелинейных) для средней функции Грина.
Более подробно с ними можно ознакомиться по работам [2, 4—6J,
а дальнейшие литературные ссылки можно найти в обзоре [7J.
С работами, посвященными применению теории многократного
рассеяния к различным задачам распространения электромагнит-
электромагнитного излучения в случайно-неоднородных средах, можно ознако-
ознакомиться по обзору [8].
§ 50. Функция когерентности поля.
Оптическая теорема и уравнение переноса излучения
Выше было получено уравнение Бете—Солпитера (48.26а)
для функции когерентности
Р“ (Рі', Рі"; Рі;, r;) = <G(r',ri)G*(r', РіР”>
поля двух точечных источников; оно имеет вид
Г (г', г"; г'„ r;)-G(r',ri)G«(r', гЭ +
+ \ G (г', г,) G" (г", г.) К (г,, г,; г„ г4) Г (г„ г,; т'„ rj) x
X dВ»rl... d*rt. (50.1)
Разумеется, от него нетрудно перейти и к уравнению для функ-
функции когерентности поля и (г), создаваемого в неоднородной среде
произвольным распределением объемных источников /(г). Поле
и (г) выражается через /(г) формулой
n(r) = $G(r,r,)j(r,)Av
Отсюда следует, что среднее поле равно
S $G(r,ro)/(r0)dВ»/-o, (50.2)
а функция когерентности поля получается усреднением произ-
произведения и (г') и* (г*):
- $ <о (г', г;) о у. гэ> у (гэ г («Э л;*г;=
= 5 г (г', г"; г;, г;) /«) /• (г
Поэтому, если умножить уравнение (50.1) на / (ri) ;• (i-J) и про-
проинтегрировать по т'с и rj, то результатом будет уравнение
Г. (г1, г*) = п(г') «• (О + j О (г', г,) G* (г', г,) х
X К(г„ г,; г„ г4) Г„ (г„ г.) dV,... d*rt, (50.3)
414 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
определяющее функцию когерентности поля, возбуждаемого
произвольным детерминированным распределением источни-
источников /(г).
В отличие от уравнения Дайсона, уравнение Бете—Солпи-
тера (50.1) не удается разрешить относительно Г.
В этом параграфе мы займемся исследованием связи между
уравнением Бете—Солпитера и УП�—феноменологическим урав-
уравнением переноса излучения (45.25). Выше, в § 45, такая связь
была установлена в том частном случае, когда для описания
распространения волн использовалось приближение параболи-
параболического уравнения, а для УП� — малоугловое приближение.
Теперь задача ставится в общем случае, но для ее упрощения
мы ограничимся статистически однородной случайной средой,
а функцию когерентности Г (г', г") будем рассматривать только
в области, свободной от источников, т. е. там, где / (г) = 0.
Преобразуем сначала (50.3) в интегро-дифференциальное
уравнение. Для этого вспомним, что функция G удовлетворяет
уравнению (49.3), которое мы запишем в виде
D(r)G(r,r') = 8(r-r'), (50.4)
где б(т) — оператор Дайсона:
б (г) = ? + *•-&. (50.5)
a Qr — массовый оператор, т. е. интегральный оператор с ядром
Q (Рі, Рі'):
Если применить оператор D(r) к формуле (50.2), то в силу
(50.4) получим
D(r)u(r) = j(r),
а значит, в области, свободной от источников, справедливо
уравнение
D(r)u(r)=0. (50.6)
Применим теперь оператор б (г') к уравнению (50.3). С уче-
учетом (50.6) и (50.4) находим
Й(г')Г„(г', г") =
= $С*(г". г,)/С(г', г,; г., г4)Г„(г„ rJd'/ydV.dV.. (50.7)
Точно так же, если применить к (50.3) оператор D* (г"), то
с учетом уравнений, комплексно сопряженных с (50.4) и (50.6),
f ВО] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 415
получим
Рі'.Рћ =
J G (г', г,)ЛГ(г,, г"; г„ г.) Г„ (гэ, г«) d'r, d'r, d'rt. (50.8)
Вычтем уравнение (50.8) из (50.7). Если обозначить при этом
через г, переменные интегрирования г, в (50.7) и г, в (50.8),
то эта разность запишется в виде
r', г") = J [б* (г", го)К(г', г0; г„ г4)-
-G(r\ Рі,)Рљ(Рі0> r"; rs. r.)jr.(rt. rt)d'r.d'r,dВ»rt. (50.9)
Но согласно определению (50.5)
-J *r.[Q (г', го)Г„(г„, r')-Q'(r', г.) Г. (г', г,)]. (50.10)
Введем теперь, как уже неоднократно делалось, новые пере-
переменные R = V,(r'+r") и г=г'—г". Тогда A'—A" = 2vRV,. Функ-
Функцию Г., выраженную через переменные R, г, будем обозначать
через T(R, г):
r(R,r)-r.(R-|-V.r, R-7,r).
Перейдя к новым переменным и подставив (50.10) в (50.9) с уче-
учетом статистической однородности среды (G (г', г") = G (г'—г"),
Q (г', г*)= Q (г'—г")), находим
2vВ«V,r(R,r)-
=J [Рѕ*(Рє-С‚-РіВ»
xd>rtd'r,d'rt. (50.11)
Выполним в различных слагаемых (50.11) замены перемен-
переменных интегрирования, принимая каждый раз за независимую
переменную аргумент той из функций Q, Q*, G' или G, которая
входит в данное слагаемое, и, кроме того, обозначая R'^Va (Г3+Г4)
416 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
и г' = г,—г4. Уравнение (50.11) принимает после этого вид
V,r(R, r)-J [Q (Рі')Р“ (R~. Рі-Рі-)-
-|r,R—?-r"; R'+^. R'—{¦)-
+y-r\ R--\; R' + ?, R'—y)
xT(R', T')d'R'd'r'd*r: (50.12)
Отметим, что (50.12)—это точное следствие уравнения Бете —
Солпитера.
Рассмотрим связь уравнения (50.12) с законом сохранения
энергии, который во всякой области, свободной от источников,
записывается в виде (см. (39.2))
РіРґРµ
Усредняя эти выражения, получаем
0, (50.13)
Средняя плотность потока энергии <<5°> может быть выражена
через функцию r(R,r). Действительно, дифференцируя по г
равенство
r(R, r) = <В«(R + r/2)UВ»(R-r/2)>,
находим
V,r (R, r) = V, <«* (R -r/2) V«« (R + г/2) -
—и (R +г/2) V«u* (R—г/2)>.
Полагая здесь г=0, получаем
fVrr (R, r)Jr= Рѕ = '/,<В«' (R) VRu (R)-Рё (R) V*m* (R)>,
так что
<^(R)>=((?)-'[V,r(R, r)Jr=0. (50.14)
Вернемся к уравнению (50.12). Если положить в нем г=0, то
для величины 2V*V,T(R, r), используя (50.14) и (50.13), получим
$ 60] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 417
Поэтому уравнение (50.12) принимает при г = 0 вид
j[Q(Or(R—?.-r")-Q'(r")
= J[g*(OX"(r, R-Рі";
-G(r")A:(R-r", R; R' + T. R'—I")
(50.15)
Обратим теперь внимание на следующее. Функция Г в (50.15).
зависит от выбора поля источников /(г), тогда как функции
Q, в и /С от выбора /(г) не зависят. Поскольку соответствую-
соответствующим выбором источников можно произвольно изменить функ-
функцию Г, не меняя функций Q, G и К, уравнение (50.15) должно
выполняться тождественно относительно Г. Записав левую часть
(50.15) в виде трехкратного интеграла:
J[Q(r-)d(R—?-R')«(r"+r')-
-Q*(r") 6 (R--?— R') б (г*—г')] T(R', r')dV d»R'd*r",
подставив это выражение в (50.15) и приравняв коэффициенты
при F(R', г') в левой и правой частях, получаем
Q(-r')fi(R-R'+-)-Q'(r')s(R-R'-T) =
= J [G(r")/t(R-r\ R; R'+T, R'-T)-
—G'(r")K^R,R—r";R'+~, R'—T)] d'r". (50.16)
Это равенство, связывающее среднюю функцию Грина с ядрами
массового оператора и оператора интенсивности, носит назва-
название оптической теоремы [9].
Физический смысл оптической теоремы заключается в сле-
следующем. Ослабление среднего поля выражается через 1тй»фф,
т.е. через ImQ, но вызывается оно не поглощением (среда
прозрачна), а' рассеянием, которое описывается оператором /С.
Поэтому между этими величинами должна существовать опреде-
определенная связь. Эта связь и выражается оптической теоремой.
Заметим, что, когда для G, Q и К используются какие-либо
приближенные выражения, они должны удовлетворять соотно-
соотношению (50.16), так как в противном случае может возникнуть
противоречие с законом сохранения энергии.
Вернемся к уравнению (50.12). Нашей следующей задачей
будет преобразование этого уравнения в УП�.
14 С. М. Рытов н ар. ч. II
418 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Воспользуемся приближением (49.38) для Q:
Q (Рі) = **В¦.(В») 0(1), (50.17)
где G—средняя функция Грина в приближении Бурре. Для
оператора интенсивности используем первый член разложения
К (г„ г,; г„ Г4) = *«фв(г1_г,)в(г1-г,)в(г,-г4). (50.18)
Такая аппроксимация ядра оператора интенсивности носит
название «лестничного» приближения. Объясняется это название
тем, что если в разложении (48.25) использовать лишь первый
член ряда (48.22) для Я, то диаграммное представление функ-
функции Г будет иметь вид слестницы»:
Подставив (50.17) и (50.18) в уравнение (50.12), получаем
= fc. J {В (г') fo, (r')—if.(r-r')] Г (R -4-, r-r')_
- РЎ* (Рі') [tpB.(r'j -tfc (r +r')] Р“ ( R -4-, Рі + Рі') j. d'r'. (50.19)
Прежде всего, отсюда видно, что при г = 0 правая часть
обращается в нуль, т. е. в рассматриваемом приближении закон
сохранения энергии и оптическая теорема удовлетворяются
(иными словами, приближения (50.17) ж (50.18) согласованы
между собой и не вызывают нарушения закона сохранения
энергии). Кроме того, как видно из (50.19), в уравнение для
Г входят лишь разности if, (г')—i|>t(r±r'), которые можно выра-
выразить через структурные функции />»(г). Это означает, что крупно-
крупномасштабные неоднородности не влияют на функцию когерент-
когерентности поля (напомним, что в приближении марковского случайного
процесса дело обстояло точно так же, § 45).
Очевидно, необходимым условием применимости приближен-
приближенного уравнения (50.19) должно быть полученное в предыдущем
параграфе условие применимости приближения Бурре. Рассмот-
Рассмотрим в этой связи характерные масштабы функции F(R,r) по
обоим ее аргументам.
Как мы знаем из предыдущего параграфа, среднее поле экспо-
экспоненциально убывает по мере удаления от источника, причем
характерный масштаб убывания равен (lm k,^)~l ^ d. Так как
ослабление среднего поля обусловлено рассеянием на неодно-
родностях, то ясно, что тот же масштаб d будет характерным
продольным масштабом функции Г по переменной R. Характер-
f 50) ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 419
ним поперечным масштабом Г по R может являться диаметр
пучка излучения или же характерное расстояние, на котором
заметно меняются такие усредненные характеристики среды, как
crj или радиус корреляции <в.
Что касается характерного масштаба г„ функции F(R,r) no
разностной переменной г, то он может быть порядка либо радиуса
корреляции /, неоднородностей
среды, либо радиуса первой |лГгП-*(г-г')1
зоны Френеля (что имело место '« « '
в области применимости МПВ),
либо быть еще меньше (как при
рассмотренных в гл. VII силь-
сильных флуктуациях поля). Во вся-
всяком случае, всегда можно счи-
считать, что гк, намного меньше,
чем характерный масштаб d
функции Г по переменной R. _ _f
Такое соотношение между ~lt ° '» г"'е r r*h r'
масштабами функции Г можно Рнс бд
использовать для того, чтобы
еще несколько упростить урав-
уравнение (50.19). Действительно, разность |tyE{т')—ij>,(r ±г')| при
riark заметно отлична от нуля лишь при г < (tt+r) ~ (<«+/¦»)
(рис. 69). Но, как мы предположили, величина (/,+ f*) мала по
сравнению с характерным масштабом d функции T(R, r) по
переменной R. Это означает, что в (50.19) можно считать
HR—2-,т±гЛ »T(R, г±г'). Тогда уравнение (50.19) при-
принимает вид
, Рі) = ft* J РЎ (Рі') в„–.(Рі')-^^-Рі'РЈ Р“ (R, r-r') d'r'-
- A* J GВ« (Рі') f^ (Рі') - С„. (Рі + Рі')] Р“ (R. Рі + Рі') d'r'.
Сделаем во втором интеграле замену переменной интегрирования
г'-* —г'. Так"как G*(— r') = G'(O и ф,(— г')=ф,(г'), полу-
получим уравнение
x
-С„.(В»-r')J Р“(R. r-С‚') *Рі'. (50.20)
В случае, если п(г) = О (тогда T(R, г) совпадает с корреля-
корреляционной функцией поля), уравнение (50.20) эквивалентно урав-
уравнению переноса излучения. Убедимся в этом. Введем трансфор-
14В»
420 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. VIII
нанту Фурье функции T(R, r) по разностной переменной1):
Р“ (R. Рі) = I /(R, С…) exp (ixr)dВ»x, (50.21)
/ (R, х) = (8л»)-1 J Г (R, г) exp (—txr) d'r. (50.22)
Для облегчения перехода к трансформантам Фурье я урав-
уравнении (50.20) вычислим предварительно трехмерную спектраль-
спектральную плотность средней функции Грина G, которую мы возьмем
в приближении
^(Р—Р” (50.23)
где km^ = kl + lkl и kL^>k2. Как нетрудно убедиться, спектраль-
спектральная плотность разности G (г)—G* (г) равна
г (х) = г (х) = ±г Г [.5 (г') —G* (r')] exp (—ixr') d'r' =
= a 2l^' ,ч, ГТТ- (50.24)
Покажем, что в силу неравенства k,<^.ks функцию (50.24) можно
приближенно заменить на дельта-функцию. Максимум модуля
функции г (х) соответствует х = х0 = VfeJ—ftj, причем в этой точке
i {*<!> ~ 1/вяЧ*!*,. Вместе с тем при x' = fej—ft|=F2/s1ft,, т. е. при
х я: х0 т Л,, получаем z (х„ =F ft,) = Vsz (х0). Таким образом, г (х)
падает в два раза при сдвиге аргумента от х„ на малую вели-
величину k, — lmkatlQl—\/d. Легко проверить, далее, что
РѕСЌ
^ 1 *'+*Йв Л=1-
Поэтому, если (как мы уже предположили) масштаб d велик по
сравнению с масштабами функции ipe(r') и T(R, г—г') по г',
то функцию
J 2*1*,
сосредоточенную в узком интервале Дх ~ 2&„ можно заменить
на 6(ftJ—fej—х1); тогда получим
а) Если и / 0, то предварительно следует вычесть из Г произведение
средних полей с тек, чтобы брать трансформанту Фурье от корреляционной
функции (си. [10] и задачу 1).
§ БО] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПО.ЧЯ 421
�спользуя формулу 6 (х'—xg) = & (�~"°)2^(|6 {к + Хо) и учитывая,
что 6(х + хо) = 0 (поскольку х > О и х„ > 0), можно написать
Р°(С…
8
а если учесть малость fea, то
*w*ire1- <50-25>
Теперь легко выполнить преобразование Фурье уравнения
(50.20). Подставив в него выражение
5
(г')-О' (г') = J Й4^ехр (ix'r')d'x'
и разложение (50.21), после несложных вычислений с учетом
формулы
J \р„ (г') exp (ixr')d'r' = 8л»Фв (х)
получаем
2iVВ«_j"exp(ixr)x/(R, x)d'x =
= — —^ fd3xexp(ixr)/-(R, х) Г *х'б (х' — й,)Фе(х' — х) +
x'r)6(x'— ftj fd»x/(R. х)Ф,(х' —м).
Меняя в последнем интеграле обозначения переменных интегри-
интегрирования, *^«'i и приравнивая коэффициенты при exp (ixr), по-
получаем уравнение
пр члене в правой части этого уравнения введем по пе
ременной интегрирования-х' сферические координаты, положив
х' = х'п', где п' — единичный вектор. Тогда d'v.' — v/'dWdo(n')
и уравнение принимает вид
-f ^б(х-*,) jd'x'/(R, и')фе(х-х') (50.26)
422 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССВЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. VI11
Будем искать его решение в следующем виде:
/ (R, С…) = 6 (С…-Рђ) 3 (R. Рї)-^, (50.27)
РіРґРµ С… = С…Рї.
Подстановка (50.27) в (50.26) дает для 3 (R, п) следующее
уравнение:
хпб(х—*,)V*3(R, n)= — 2^-6 (х—kt)3(R, n)x
Ф.(М'—к») do (n') + щб (х—ft,) f х'*Же'^do (n') X
Хб(х'—ftJJfR, n')<V>m—х'п).
Так как имеет место равенство ф(х)6(х—k,) = <t(k1)6(*—*,),
можно везде заменить х и х' на fe,, после чего сравнение коэф-
коэффициентов при дельта-функциях приводит к уравнению
, n) +
. n')do(n'). (50.28)
где учтена четность функции Фв.
Это уравнение представляет собой не что иное, как УП� (45.25),
причем коэффициент ослабления равен
06
В§
а эффективное сечение рассеяния из единицы объема в единич-
единичный телесный угол имеет вид
Р°(Рї, Рї') =^Р¤.(*, (Рї-Рї')). (50.30)
Действительно, с использованием этих обозначений уравнение
(50.28) принимает стандартную форму УП� [14J:
) + /o(n, n') 3 (R, n')do(n'). (50.31)
�з сопоставления (50.29) и (50.30) видно, что
а = §а{п, n')do(n'), (50.32)
т. е. все ослабление поля обусловлено рассеянием. Сравнение
формулы (50.30) с полученной в борновском приближении фор-
формулой (26.13) показывает, что значение о, определяемое выра-
выражением (50.30), отличается от значения в борновском прибли-
приближении заменой k на kt. Мы видели, что отличие ^ от к обуслов-
f 50) ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 423
леко влиянием многократного рассеяния. Однако в рассмотренном
в § 49 приближении отличие ft, от ft мало, и, если Ф, (*) —
достаточно плавная функция, этим отличием можно пренебречь.
Принципиально важная сторона полученных результатов
заключается в следующем. В феноменологической теории пере-
переноса излучения, яркость, или лучевая интенсивность, Э никак
не связана с параметрами, описывающими волновое поле. Теперь
мы получили возможность установить эту связь. Комбинируя
формулы (50.21) и (50.27), находим, что
T(R, r)=-^|e""В»6(x-fe1) jr(R, n)xВ»dHdo(n).
или, после интегрирования по ч,
Р“(РЇ, Рі) = (СЂР—(РЄ. Рї)Рµ"-в„ўР–>(Рї). (50.33)
Таким образом, лучевая интенсивность представляет собой угло-
угловой спектр функции когерентности. Положив в (50.33) г=0, _мы
получаем формулу, связывающую среднюю интенсивность Г—
|'|">Г(Я, 0) с лучевой интенсивностью:
7(R) =? J(R, n)do(n). (50.34)
Далее, продифференцировав (50.33) по г, положим затем г=0:
, Рі)!_, = В», $
Подставляя это выражение в (50.14) и пренебрегая разницей
между ft и felt получаем среднюю плотность потока энергии:
<4Р“(РЇ)> = <Р Рџ3(РЄ, n)do(n), (50.35)
Таким образом, через J(R, n) можно выразить все основ-
основные характеристики волнового поля: плотность энергии (интен-
(интенсивность), плотность потока энергии и функцию когерентности1).
Разумеется, свести точное уравнение Бете—Солпитера к УП�
возможно отнюдь не всегда. В общем случае функция когерент-
когерентности r(R, r) разлагается в интеграл Фурье вида (50.21), в ко-
котором присутствуют плоские волны exp(ixr) с произвольными
значениями х. Лишь в том случае, когда в этом разложении
|х| =ft, справедлива формула (50.33).
Далее, при выводе УП� мы использовали приближение Бурре
для G и ограничились только первым членом разложения one-
') Отметин, что в § 9 были приведены аналогичные формулы для слу-
случайного волнового поля в однородной среде.
424 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
ратора интенсивности («лестничное» приближение). Правда, более
подробный анализ показывает, что второе из этих приближений
справедливо тогда же, когда и первое (т. е. когда справедливо
приближение Бурре), так что оба верны при необходимом условии
feV|a'В«^l. (50.36)
Наконец, при переходе от уравнения (50.19) к (50.20) было
сделано предположение о малости характерного масштаба функ-
функции F(R, г) по переменной г по сравнению с ее характерным
масштабом no R. Окалывается, однако, что для выполнения этого
предположения тоже необходимо условие (50.36).
Тем не менее возможны и такие ситуации, когда УП� заве-
заведомо неприменимо. Так обстоит дело, например, в том случае,
когда нас интересует обратное рассеяние. В УП� производится
некогерентное сложение рассеянных волн (сложение интенсив-
ностей), что особенно наглядно проявляется при феноменологи-
феноменологическом выводе этого уравнения (§ 45). Но при рассеянии назад
рассеянная волна проходит точно через те же неоднородности,
что и падающая, в силу чего существенны фазовые соотношения
между этими волнами. В результате УП� оказывается непри-
непригодным для описания рассеяния назад [12, 13]. Существенную
роль при таком рассеянии играют «циклические» диаграммы
(например, диаграммы 7 и 13 в формуле (48.20)).
Мы ограничились весьма упрощенной задачей о распростра-
распространении скалярного волнового поля в статистически однородной
случайной среде. Более общий случай статистически неоднород-
неоднородной среды рассмотрен в работе [10]. В работе [11] УП� выве-
выведено для электромагнитного поля, причем с учетом простран-
пространственной и частотной дисперсии.
Остановимся еще на одной стороне вопроса, поетансвка кото-
которого даже не возникала в феноменологической теории переноса
излучения [14]. Речь идет о дифракционном содержании УП�.
Как мы видели, УП� эквивалентно уравнению (50.20) для функ-
функции когерентности T(R, г), которое в свою очередь получено
из волнового уравнения. Поэтому, если известно аналитическое
выражение функции 3 (R, п), то при помощи формулы (50.33)
можно восстановить функцию Г, которая должна содержать ин-
информацию и о дифракционных эффектах (см. задачу 2). Здесь
возникает вопрос о том, как следует формулировать граничные
условия к УП�, чтобы при обратном переходе к F(R, г) полу-
получить описание дифракционных эффектов. Этот и ряд других
вопросов о взаимосвязи теории когерентности с теорией переноса
излучения анализируются в работах [15, 16].
Подведем некоторые итоги. Общая теория многократного рас-
рассеяния охватывает случаи не только крупных, но и мелких
неоднородности. В рамках этой теории получены приближенные
$ 50] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 425
замкнутые уравнения для моментов поля, вывод которых факти-
фактически основан на частичном суммировании рядов теории воз-
возмущений. При этом в рамках общей теории многократного рас-
рассеяния удается вывести все уравнения, полученные различными
приближенными методами, и, что еще важнее, указать границы
применимости таких методов. Существенным достижением теории
можно считать «статистико-волновое» обоснование УП� и уста-
установление дифракционного содержания этого уравнения. Здесь
получены и другие важные результаты. В частности, удается
вывести УП� с учетом трансформации когерентной составляю-
составляющей поля в некогерентную (см. задачу 1, где соответствующее
уравнение выводится для скалярных волн, и работу [II] для
электромагнитных волн). При вычислении когерентного поля
одновременно решается и задача об определении эффективного
показателя преломления случайной среды.
В рамках теории многократного рассеяния можно получить
приближенные замкнутые уравнения не только в случае сплош-
сплошной случайно-неоднородной среды, но н для моментов волнового
поля, рассеянного на совокупности большого числа дискретных
вкраплений (дифракция на телах, занимающих случайное поло-
положение и случайно ориентированных). Здесь также удается вы-
вывести УП� (см. например, [20, 21J) и установить микроскопи-
микроскопический смысл феноменологических параметров, входящих в это
уравнение. Оказывается, что сечение рассеяния единичного объема
в общем случае не совпадает с сечением рассеяния одной ча-
частицы, умноженным на концентрацию частиц: при больших кон-
концентрациях проявляются так называемые коллективные Еффскты
J22J, вызванные падением На данную частицу не только прямых
волн, но и волн, рассеянных другими частицами.
Что касается перспектив дальнейшего развития теории мно-
многократного рассеяния, то, во-первых, можно ожидать, что она
приведет к решению задачи о распространении волн в среде с
не малыми флуктуациями диэлектрической проницаемости (это
имеет место, например, в плазме, если частота электромагнитной
волны близка к плазменной частоте, или в жидкостях вблизи
критической точки).
Кроме того, имеется широкий круг практически интересных
задач, несомненно относящихся.к теории многократного рас-
рассеяния, но усложненных многочисленными дополнительными фак-
факторами. Здесь можно упомянуть дифракцию частично когерентных
полей в случайно-неоднородной среде, рассеяние волн на шерохо-
шероховатой поверхности, окруженной случайно-неоднородной средой,
дифракцию волн в случайно-неоднородной среде при наличии
дискретных вкраплений, тепловое излучение случайно-неодно-
случайно-неоднородных сред и т. д. (см. сбзор [23J и цитированную в нем ли-
литературу).
426 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Задача
I. �схода из уравнения (60.19), получить УП� для случая, когда сред»
яее поле п не равно нулю'
Р;ешен>е. Введем ^обозначение F(R, r) = u(R4_r/2)u*(R—г/2) и под-
¦cTaBHMB(60.19)r(R,r)=4i,(R,D4-F(R,r),we»«(R,r)=<;(R+r/2)S«(R-r/2)>.
�з уравнения (50.6) легко получить, что
(I)
С учетам этого уравнения находим после подстановки в (50.19)
следующее уравнение для 1}(:
-f ? j(OV)(y. )
-*(O4k(r+fT(В«-y. r+r-)|<JВ»r'. (2)
Пренебрегая, как и при переходе от (50.19) к (50.20), величиной т'/2 в ар-
аргументах <Ь, и F, получаем уравнение, обобщающее (50.20):
eR, r-r')<Pr'. (3)
Введен трансформанты Фурье
*. (R. г)= \ f (R. к)ехр (1�Г)<l»x.
'(R. O- J /.(R. *)e*P(<РєРі)Р›(.
Выполняя преобразование Фурье уравнения (3) н учитывая формулы (50.24),
(50.25), получим
, Рє')]. (5)
Если искать решение этого уравнения я виде
/(R. H)=8(x~.^l)g(R. Рё). *=С…Р»,
задачи 487
то это приводит к следующему уравнению для 3:
R. n) =—aJ(R.n) + $о(п, n')j(
R nl
(здесь использованы те же обозначения, что и в (50.29) н (50.30)).
Уравнение (6) отличается от стандартного УП� (50.31) наличием допол-
дополнительного (последнего) слагаемого, описывающего трансформацию когерент-
когерентной части поля в некогерентную. Формула (50.33) теперь справедлива не для
Г, а для функции корреляции:
iMR, С‚)=<{> 3 (R- В»)В«'*'"*>(Рї). (7)
2. Плоская волна «„ (г) падает аа объем V, внутри которого в (г) ф 0.
Размер объема V мал по сравнению с длиной экстинкции й, так что рассея-
рассеяние волны и, (г) на неодно род-
ностях можно описывать в бор-
новском приближении. Полу-
Получить решение задачи о рассея-
рассеянии, всходя из УП�, выведен-
выведенного в предыдущей задаче, и
пренебрегая различием между
t РЅ ki.
Решение. Поскольку рас-
рассеивающий объем мал по срав-
сравнению с d, энергия рассеянного
поля значительно меньше энер- р 7П
гни падающей волны. Поэтому
в УП� (формула (6) предыдущей
задачи) можно пренебречь членами, описывающими экстинкцию и рассеяние
некогерентного поля, т. е. в правой частя остается только последний член:
,(*п—к', K)h (Ri "О <***'• 0)
Здесь специально выделена зависимость Фе от R, так как флуктуации в
не являются статистически однородными. Так как размер рассеивающего
объема мал по сравнению с d, можно считать, что и (г) — и, (г) — Uo«f*"»r, где
п0—единичный вектор вдоль направления распространения первичной волны,
a U| — ее амплитуда. Тогда (обозначения те же, что н в предыдущей задаче)
(3)
Подставляя (2) в (I), получаем уравнение
I Рё I*
Функция Фв отлична от нуля только внутри рассеивающего объема V. Так
как ny«3(R, n) =gj-ir, где ^—производная по направлению единич-
единичного вектора п (рис. 70), то очевидно, что решение уравнения (3) имеет
428 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССГЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
следующий вид:
Р°>
Рћ
Найдем теперь i|0<R, г), воспользовавшись формулой (7) задачи I:
i|jo (R, г) = (? eiJ>"' do (и) ^л**1''«1> ф, (* (n—n«), R—пО Ш. (5)
Рё
Введем новую переменную интегрирования г1--—п/, 11редс1авляющую совой
радиус-вектор точки R — Ы, проведенный на точки R. Тогда <Pr'~ fidldotn),
т. е. (f.'do (n) = —j2-=—tj-• Формула (5) принимает вид
'MR. ')=-—I) \ fxpf ——т—) фе (*(" — "«)¦ R -г') —тг- (6)
В гл. IV эта формула била получена в приближении однократного рас-
сеини», и, как ясно из проведенного там вывода, она полностью учитывает
дифракционные аффекты. Таким образом, данная задача непосредственно под-
подтверждает, что УП� описывает дифракционное поведение поля.
Глава IX
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
§ 51. Рассеяние на малых неровностях.
Метод возмущений
Поверхности реальных тат всегда в той или иной степени
неровны, в силу чего отражение и преломление волн на этих
поверхностях сопровождаются явлениями, которые отсутствуют
в случае идеально гладких границ раздела. Разумеется, степень
«гладкости> определяется в первую очередь соотношением между
длиной волны и геометрическими параметрами неровностей.
Одна и та же поверхность, «идеально» гладкая для радиоволн
или звука, может быть шероховатой для света или ультразвука.
Неровности могут изменяться со временем (морское волне-
волнение, тепловые флуктуации формы поверхности), но могут быть
и практически неизменными \(рельеф суши или морского дна,
поверхность бумаги, матового стекла, вообще твердого тела).
Наконец, как и для объемных неоднородностей среды, сами
задачи об отражении и преломлении волн на неровных поверх-
поверхностях или о дифракции и рассеянии на них могут быть и
детерминированными, и статистическими. Последние возникают,
как обычно, в тех случаях, когда нас интересует не какой-то
конкретный, «индивидуальный» вид неровной поверхности, а
характеристики ансамбля таких поверхностей. Со статистическим
ансамблем приходится иметь дело при наличии большого числа
неровностей на облучаемом участке поверхности (шероховатые
поверхности), но возможны, конечно, и такие ситуации, когда
речь идет о малом количестве неровностей. Например, нас может
интересовать рассеяние от некоторого единичного выступа на
плоскости, ансамбль же состоит из реализаций с выступами
разного вида, причем геометрические и (или) физические харак-
характеристики выступа случайны (подчинены определенным вероят-
вероятностным распределениям).
Рассеяние волн на телах, имеющих случайную форму или
занимающих случайное положение, мы отнесли в § 8 к задачам
430 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
типа 3). Обычная постановка задач этого типа состоит в том,
чтобы найти статистические характеристики рассеявного поля
по заданной статистике неровностей, но часто возникает необхо-
необходимость и в решении обратной задачи—по статистике рассеян-
рассеянного поля определить свойства поверхности.
Характер рассеяния определяется многими факторами. Кроме
размеров неровностей и длины волны падающего излучения,
играют роль и размеры рассеивающей площади, и способ ее
облучения, а также поляризация первичной волны, отражающие
и преломляющие свойства вещества и т. д. В зависимости от
соотношения между различными параметрами применяют те или
иные приближенные методы расчета рассеянного поля. Мы рас-
рассмотрим только два наиболее простых и часто применяемых
метода—метод малых возмущений и метод Кирхгофа. Сведения
о более общих методах, учитывающих многократное рассеяние,
можно найти в монографии [1] и в обзорной статье [2].
Пусть шероховатая поверхность задана уравнением г =
~?(*> 1/) = ?(р)- Примем, что <?> = 0, т. е. ограничимся случаем
в среднем плоской поверхности, уклонения от которой описы-
описываются случайным полем ?(р). Если поверхность z = ?(p) пред-
представляет собой границу двух сред, то на ней должны выпол-
выполняться соответствующие «двусторонние» граничные условия.
Например, если а, и иг—потенциалы акустической скорости
в первой и второй средах, то для звуковых волн на границе
должно выполняться равенство нормальных компонент скорости
fgrr«=g^, N — нормаль к поверхности) и равенство давлений
(р1и1=р!а,, где рг и р,— плотности сред). В электромагнитной
задаче на границе должны быть непрерывны тангенциальные
компоненты напряженностей Et и //,. Рассеянные волны рас-
распространяются при этом в обеих средах.
Рассматривая для простоты скалярные волны, мы упростим
постановку задачи еще в одном отношении: будем считать, что
распространение волн возможно лишь в одной среде, т._е. по-
поверхность г = ?(р) либо «абсолютно мягкая» (на ней и = 0), либо
«абсолютно жесткая» (;ш- = о)- В обоих случаях происходит
полное отражение. В электромагнитной задаче этому соответ-
соответствует идеально проводящая поверхность (?, = 0) и поверхность
идеального магнетика (Я, = 0).
�так, для абсолютно мягкой поверхности граничное условие
имеет вид
u|j = В«(p, Рі)|1=РЎ(СЂ, = 0, (51.1)
а для абсолютно жесткой —
i 51] РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 431
причем единичный вектор внешней-нормали N имеет компо-
имеет компоненты
(Nj., tf2)=(ctVi& -a). o = [l + (VJL;)1]-l/t, (51.3)
V± = (^. щ\ — поперечный оператор дифференцирования.
Строгих методов решения волнового уравнения со случай-
случайными граничными условиями (51.1) или (51.2) не существует,
и задачу удается решить лишь приближенно, при определенных
ограничениях, налагаемых на размеры и форму неровностей.
Мы рассмотрим ниже два случая таких ограничений, при кото-
которых и приложнмы два упомянутых метода. А именно—мы рас-
рассмотрим поверхности, неровности которых в масштабе длины
волны Я либо малы и пологи, либо плавны. В первом слу-
случае применим метод малых возмущений, а во втором—метод
Кирхгофа.
Пологость неровностей означает, что наклоны поверхности
в среднем невелики, т. е.
<(Vi.В»'>~ <В»!//&? 1. (51.4)
где а| ==<?*>—средний квадрат уклонения от невозмущенной
поверхности г = 0, а /;—характерный размер неровностей. Ра-
Разумеется, это неравенство, справедливое для среднего квадрата,
при расчетах используется еще до усреднения.
Малость неровностей означает, что моменты <?"> малы по
сравнению с соответствующими степенями длины волны, <?™><^п,
в частности,
Рѕ(<4*-'- (51.5)
В результате для малых и пологих неровностей можно исполь-
использовать разложение как граничного условия, так и искомого
решения по степеням малых параметров ?Д <^ 1 и | Vj.J |~oj//{ <^ 1,
в чем и состоит метод малых возмущений.
В случае плавных неровностей величина уклонения ? не
ограничивается, а условие пологости заменяется требованием
малой кривизны (плавности) неровностей: радиусы кривизны
поверхности RKf должны быть велики по сравнению с К:
или й/?кр>1. (51.6)
Соответственна неоднородности должны обладать и ри ?г>Я боль-
большой протяженностью в направлениях х и у (крупномасштабные
неровности). При этих условиях применимо кирхгофово прибли-
приближение: поле в окрестности каждой точки поверхности прибли-
приближенно представляется суммой падающей волны и волны, отра-
отраженной от соприкасающейся плоскости в этой точке; при этом
используются локальные значения «плоских» коэффициентов отра-
432 РАССЕЯН�Е НА ЩЕРОХОНАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
жения (в электромагнитной задаче — френелевских коэффициен-
коэффициентов). Под падающей волной можно понимать не только первичную
волну, но и волны, попадающие на данный участок поверхности
в результате отражения от других ее участков. Простейшим
является случай, когда многократные отражения отсутствуют.
Для плавных неровностей отношение c^'U может и не быть
малым. В принципе метод Кирхгофа применим и в этом случае
крутых неровностей (а^'/;^1). Ясно, однако, что с ростом кру-
крутизны неровностей многократные отражения будут все более
существенными. Учесть их, пользуясь методом Кирхгофа, очень
трудно. Для того же, чтобы ими можно было пренебречь, опять-таки
требуется даже в случае крупномасштабных неровностей опре-
определенная их пологость. Она нужна еще и для того, чтобы можно
было пренебречь затенениями одних элементов поверхности
другими, хотя учет затенений осуществить легче, чем учет мно-
многократных отражений. Таким образом, в отличие от метода воз-
возмущении, наклон неровностей |Vj_?| не является в методе Кирх-
Кирхгофа малым параметром. Пологость требуется лишь для упрощения
задачи, т. е. в той мере, в какой это нужно для пренебрежения
многократными отражениями и затенениями. Метод Кирхгофа
мы рассмотрим в § 52, а сейчас обратимся к случаю малых
неровностей.
Как сказано, в основе метода возмущений лежит разложение
искомого поля и и граничных условий в ряды по степеням малых
параметров ? А ~ at/X <S! 1 и | Vj.S|/~ot/'t<^'- Такой подход был
впервые предложен еще Релеем для случая синусоидальных
неровностей и был применен затем Л. �. Мандельштамом к ста-
статистической задаче о рассеянии света на неровностях, обуслов-
обусловленных тепловыми флуктуациямн поверхности жидкости [3].
Пусть U (г) — первичное монохроматическое поле, падающее
на шероховатую поверхность (множитель е~'ы' для краткости
опускаем). Запишем решение уравнения Гельмгольца в виде ряда
Рё (Рі) = L/ (Рі) Рќ- 2В«("В»(Рі). (51.7)
0
где п-й член ряда имеет порядок (<Т;/л)" или (<т;/^)\ Этот ряд
представляет собой разложение по кратности рассеяния.
В случае абсолютно мягкой поверхности граничное условие
(51.1), разложенное по степеням ?, принимает вид
здесь и далее нижним индексом 0 отмечены значения поля и его
производных по г при г = 0. В данном случае Vj.? в граничное
условие не входит, так что требование пологости (51.4) для
§ 61] РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 433
абсолютно мягкой поверхности является излишним и в разло-
разложении (51.7) используется только один малый параметр а;Д<*1.
Подставив (51.7) в (51.8), получаем граничные условия (уже
на плоскости z = 0, которую иногда называют подстилающей)
для последовательных приближений поля:
Таким образом, нахождение n-кратно рассеянного поля а(в)(г)
сводится к рассмотренной в § 9 задаче о волновом поле, имею-
имеющем заданное значение vl")(p) = u(^^u{a) (р, 0) на плоскости
z — 0. Эго заданное значение известно, коль скоро известны по-
полученные одно за другим предшествующие приближения от и"" до
и'""11. Случайный характер граничных значений uin> обусловлен
присутствием в (51.9) случайной функции ?(р).
Для фактического нахождения поля в п-ы приближении можно
воспользоваться либо формулой Грина (9.12), либо методом Релея
(разложение по плоским волнам—формулы (9.14)—(9.16)); для
плоской границы z = 0 оба подхода эквивалентны. Проведем рас-
расчеты по формуле Грина (9.12), которая для полей нулевого и
первого приближения дает следующие выражения (здесь г — {р, г},
<51Р›0>
В рассматриваемом случае, когда на плоскости г = 0 заданы
сами поля, вычисление и"" (г) имеет смысл как .для ограничен-
ограниченного участка площади 2 этой 'плоскости, так и для всей беско-
бесконечной плоскости. Если берется конечная площадка, то в пред-
предположении, что ее размеры велики по сравнение с длиной
волны, мы можем воспользоваться гипотезой Кирхгофа о том,
что формулы (51.10), написанные для бесконечной плоскости,
остаются в силе и на рассматриваемой площадке конечных раз-
размеров, и надо только ограничить область интегрирования в (51.10)
пределами площадки. Пусть на шероховатую поверхность под
углом 0, к оси z падает плоская волна
U (г) - А ехр (<fcn,r) = A exp [ik (n^p + п'гг)] =
-= Л exp [/ft (nip — zcos90)l, (51.11)
'5 С, М. Рытов и др. ч. II
4.34
РАССЕЯН�В НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[ГЛ. IX
где n,-=(ni, /t,) —единичный вектор в направлении распростра-
распространения падающей волны, причем nj = — cos60 (рис. 71). В случае
бесконечной поверхности ясно и без расчета по первой из фор-
формул (51.10), что в нулевом приближении мы имеем зеркально
отраженную волну
Если площадка имеет конечные размеры, то по гипотезе Кирх-
Кирхгофа вблизи площадки поле
ию) тоже представляет собой
зеркально отраженную волну
(51.12), но на достаточны^
удалениях от площадки поле
и«» превращается в направ-
направленную сферическую волну
с максимумом интенсивности
о направлении зеркального
отражения.
Поле нулевого приближе-
—У / ния «(0) (г) представляет для
у нас интерес лишь в той ме-
Рнс. 71. ре, в какой оно определяет
величину однократно рас-
рассеянного поля иш. �з (51.11) и (51.12) следует, что
и, стало быть, в соответствии с (51.10),
. (51.13)
Второй вариант этой формулы относится к случаю кг^>\, когда
точка наблюдения удалена от плоскости z=- 0 по меньшей мере
на несколько длин волн.
Среднее значение поля и111 равно нулю, а расчет его средней
интенсивности 7[ = <|иш|4> во многом сходен с вычислением /,
в случае рассеяния на объемных неоднородностях. В предполо-
предположении о статистической однородности флуктуации ?(р) при
помощи (51.13) находим
(РЎ
Л = ^Г^|Л|а^1|);(р' —p")exp[ifeni(p' — p") i ik(R'~R")\x
(51.14)
РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ
435
В¦ Ml
где i|>t(p'—P") ~ <?(p') S(p")> —функция корреляции неровностей,
r' «=]/"г1-г-(р—р')*, Л" = Vz* — (p— p')*. Введем новые перемен-
переменные интегрирования | —р' —р", т) = (р'+ р")/2 и разложим /?' и
R" в ряды Тейлора по разностной переменной ?. Наличие под
интегралом функции корреляиии ih(l) = ipt(p'—р"), быстро спа-
спадающей до нуля при 6^>/;,
позволяет ограничиться в этих
разложениях первыми членами.
А именно при Ы\!г% <^ 1') можно
Г1�ближенно заменить R' и R'
знаменателе подынтегрально-
подынтегрального выражения на Ri = \ г—r\ | =
= V^Z' + (P—Л)*» а разность
R'—R" в показателе—на — пЦ.
Через п, = Ri/'Д, обозначен еди-
единичный вектор в направлении
от точки рассеяния tj на плос-
плоскости г = 0 к точке наблюдения
г = (р, г), а через п*х—поперечная составляющая этого вектора:
¦о ТГ—f-t *
в„– t)
Далее, распространив пределы интегрирования по ? до бес-
бесконечности (это возможно, даже если площадка 2 конечна, но
велика по сравнению с радиусом корреляции /;), находим
фс (|) exp lift (ni- ni) l\ <P6 = 4n»ft (4l),
РіРґРµ
— преобразование Фурье функции корреляции, т. е. двумерный
пространственный спектр неоднородностей; q_i_—fe(nj.—n'J — по-
поперечная компонента вектора рассеяния q = fe(n,-—п,) (рис. 72).
В результате в (51.14) остается только интеграл по т\:
•) Заметим,-что это неравенство слабее, яем условие Щ1г<^1, отвечаю-
отвечающее удалению точки наблюдения во фраунгоферову зону отдельной неодно-
неоднородности.
15*
436 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ (ГЛ. ]Х
который распространяется на всю плоскость г = 0 или только
на ее часть 2, если шероховатая поверхность имеет конечные
размеры.
Согласно (51.1 6) каждый элемент поверхности dlx\ = diZ с цент-
центром в точке ц дает в суммарную интенсивность 1L вклад
|i4|В»-g, (51.17)
где rt| = 2//?1 = cos9—косинус угла между вектором п^ —R,//?^
и осью z (рис. 71). Формула (51.16) отражает, таким образом,
избирательный характер рассеяния: в ладанном направлении п,
рассеивает только определенная «гармоника» неровностей, отве-
отвечающая вектору рассеяния qj_ = ?(nj_— njj, что полностью ана-
аналогично селективности рассеяния на объемных неоднородностях
(см. § 25). В частности, при нормальном падении первичной
волны, когда л'г — —1, п^ —0 и qi_ = knsL, длина волны «активной»
гармоники неровностей A^ — Sn/q^ равна Я//г^ = A/sin 0. При
рассеянии в направлении зеркального отражения, когда п^ —п^
и qj. = O, Л, обращается в бесконечность. Наконец, при обрат-
обратном рассеянии (n^ — — ni, qj_ = — 2feni_)
Р› -=_?5- = -
' 2Ani 2sin00В°
Величина
т. е. коэффициент при \A^dLlR\ в формуле (51.17), пред-
представляет собой сечение рассеяния единичной площадки абсолютно
мягкой поверхности в направлении ns. В отличие от объемного
рассеяния, сечение (51.18) безразмерно. Формула (51.16), запи-
записанная в виде
явно выражает некогерентность волн, рассеянных отдельными
элементами шероховатой поверхности, их сложение по интенсив-
интенсивности. В рассматриваемом случае абсолютно мягкой поверхно-
поверхности сечение (51.18), содержащее множитель (п'гп1)г = cosa 0, cosa в,
обращается в нуль при скользящих углах падения и отражения,
т. е. при 8, 90—<-л/2. �менно поэтому интеграл (51.19) сходится
даже при интегрировании по всей плоскости 2=0.
Если рассеивающая поверхность имеет конечную площадь 2
и в пределах этой площади величины aM(qx) и Ry практически
f «I) РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 437
постоянны, то
M|i(
(51.20)
Условие постоянства cM(qx) и У?! в пределах площадки 2 с мак-
максимальным размером L записывается, как нетрудно установить,
РІ РІРёРґРµ
если /t<j?i (мелкомасштабные неровности),
если /;^>Я (крупномасштабные неровности). '
Случай абсолютно жесткой поверхности отличается тем, что
рассеянное поле уже в первом приближении зависит не только
от ?,, но и от \±1. �з (51.2) и (51..4) следует, что на границе
должно быть
Подставляя сюда разложение (51.8), находим
Таким образом, для последовательных приближений поля, в от-
отличие от (51.9), получаются граничные условия, содержащие Vx?:
Для нахождения полей u{ni по заданным на плоскости г = 0
значениям нормальной производной 1-з—J можно воспользо-
воспользоваться формулой Грина (9.13):
(51.24)
Пусть на и/ероховатую поверхность падает ллоская волна
(51.11). Ясно, что в непосредственной близости к площадке
регулярно отраженнаи волна и(0>, удовлетворяющая первому из
граничных условий (51.22), подчиняется законам зеркального
отражения и записывается в виде
ц«» = А ехр [ik (n^_p — n\z)\.
438 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
Тогда выражение в фигурных скобках 8 (51.24) равно
Среднее значение этой величины равно нулю, а функция кор-
корреляции 1>/(1) = </(р')/*(Р")> выражается через ^с (|) следую-
следующим образом:
17(6)= 4|^|1exp((ftni|)[ife(n'LVi)-fcs("i)2]stc(l)- (51-25)
(дифференцирование Vj. здесь производится по | = р'— р").
Подсчитаем среднюю интенсивность рассеянного поля
'=ik J J В¦/ (СЂ'-
Как и ранее, целесообразно перейти к новым переменным инте-
интегрирования |=р' — р" и т) — (р'— р")/2 и заменить приближенно
elk<K'-K^;R'R" на ехр( — iftn'j_?)/#f. �спользуя (51.25), запишем
выражение для 7t в виде
Р› = -Hjr- f-^r f exp (-/q J) [i* (niyj.) -f A! (В«i)? В¦; (1) *E.
Внутренний интеграл выражается через двумерную спектраль-
спектральную плотность неровностей Ft (x):
Но qi^fe(ni—nji.), и поэтому
f- * ("iqi) -f fe2 (nj)2]2 = fc' [(n>)* + (n\ )Рі-(Рї'С…Рї1)] =
= ** [l-
В результате имеем
7.^4Рњ|^]"-<^В»1^Рњ^. (51.27)
Это выражение можно представить в форме (51.19), если
ввести сечение рассеяния единичной абсолютно жесткой пло-
площадки
аж (q 1) = 4Л* [ 1 — (nioi)J« Ft (qx), (51.28)
которое отличается от сечения рассеяния мягкой площадки (51.18)
другим множителем при /•'t(qi). Этот множитель [1 — (n'j.n'J]1
(а тем самым и сечение аж) не стремится к нулю при скользя-
скользящих углах, падения и отражения, так что интеграл (51.27),
взятый по всей плоскости г —0, расходится. Разумеется, интен-
интенсивность реального рассеянного поля не может обращаться
в бесконечность. Расходимость связана лишь с примененным
i 611 РАССЕЯН�Е НЛ МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 439
методом расчета, а именно с использованием первого приближе-
приближения. Расходимость интеграла в (51.27) в этом приближении
влечет за собой появление бесконечностей и в последующих
приближениях, но интенсивность суммарного поля u = 2u""
Рї
должна оставаться конечной.
Указанную расходимость можно устранить, применяя усовер-
усовершенствованные формы теории возмущений, учитывающие зате-
затенения и многократное рассеяние уже в нулевом приближении.
Не вдаваясь в подробности, отметим только, что при учете
затенений и многократного рассеяния (о которых кратко будет
сказано в § 53), в отличие от (51.28), сечение рассеяния ож
обращается в нуль при скользящих углах падения и рассеяния,
т. е. при 80- «л/2 или 0—>-л/2 (когда п'г—>-0 или п$—> ()), а
при умеренных значениях углов 80 и 8 сечение совпадает с (51.28).
Таким образом, расчет интенсивности рассеянного поля по фор-
формуле (51.27) правомерен лишь для площадок конечных размеров.
Переход же к бесконечным пределам требует использования
более точного выражения для <тж(ч).
Рассмотрим угловую зависимость сечения рассеяния а для
мягкой и жесткой границ на примере шероховатой поверхности
с изотропной гауссовой функцией корреляции неровностей
которой отвечает спектральная плотность
Если положить n, = (sineo, 0," —cos 0o), n^ — (sin 8 cos ф,
sinSsincp, cos8), то по формулам (51.18) и (51.28) находим
о„ ^ cos*-8, cos5 8 \
ож\ (1— sineosin9cos<p)a J
^ ^-(sin!804-sin28—2 sin 00 sin 8 cos ф)
При малых fe/j (мелкомасштабные неровности) угловая зави-
зависимость определяется предэкспоненциальными множителями; при
этом рассеяние происходит в широкий сектор углов с раствором
порядка 90°. Зависимость сечений я„ и о. от угла 8 (при фикси-
фиксированных значениях угла падения 8„ и азимутального угла <f)
показана на рис. 73, а и 73, б. Пунктиром на рис. 73, б по-
:азан истинный ход индикатрисы <тж (0) с учетом многократного
'ассеяния.
440
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[ГЛ IX
При ft/;^>l форма диаграммы рассеяния определяется в основ-
основном экспоненциальным множителем, одинаковым для а„ и аж.
Максимальное значение а приходится в этом случае на направ-
направление зеркального отражения 6 = 60, tp = O, а убывание интен-
Р РёСЃ. 73.
сивности в е раз происходит при угловом отклонении от
максимума примерно на A0~I/Wt (рис. 74).
Нетрудно подсчитать, что при Wj^>1 и для углов падения,
не слишком близких к скользящему (cos0o;j> \/Щ), отношение
полной интенсивности поля, рас-
рассеянного единичной площадкой,
2СЏ СЏ/Рі
<С‚(РІ)
MtВ»l
к полной интенсивности падающе-
падающего на эту площадку излучения
/0 = | ^4 |* cos90 приближенно равно
Отсюда видно, что с ростом высоты
неровностей 0г условие /п<^ /„, поз-
позволяющее ограничиться первым
приближением теории возмуще-
возмущений, рано или поздно нарушается.
На практике чаще приходится встречаться не с рассмотрен-
рассмотренной постановкой задачи о рассеянии на шероховатых поверх-
поверхностях (плоская первичная волна, в среднем плоская рассеи-
рассеивающая площадка), а со случаем, когда облучение большой
(практически бесконечной) шероховатой поверхности произво-
производится волновым пучком—коллимированным или расходящимся.
�менно так обстоит дело в радиолокации и гидролокации, а
также в лабораторных экспериментах по рассеянию света. Путем
незначительного видоизменения расчетов нетрудно обобщить вы-
5 ЯП РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 441
ражшие (51.19) и на этот случай, учитывая также и возможное
искривление подстилающей поверхности.
Пусть на шероховатую поверхность падает квазиплоская
волна U = Aeil"1, амплитуда которой А и локальный волновой
вектор k( = ftV(p практически постоянны в масштабе радиуса
корреляции неровностей /;. Пусть уравнение поверхности задано
в параметрической форме:
Рі (Р°. Р )~7(Р°. Р ) + Р•(Р°. P)N,(o, p), (51.30)
где г=7(а, Р)—уравнение невозмущенной (подстилающей) по-
поверхности 20, a ?.(°i p)N0(a, р")—случайные смещения по нор-
нормали к 2С (рис. 75). Если радиус кривизны подстилающей
поверхности велик по срав-
сравнению с длиной волны X и
с радиусом корреляции /;,
то малый элемент поверх-
поверхности dS, на который
падает квазкплоская волна
Ae""f, рассеивает так же,
как и элемент плоской
поверхности, касательной
к 20. Обозначим через п;
градиент эйконала падаю»-
щей волны в точке рассея- '
ния Р, лежащей на 20 Рис. 75.
(n, = k,/fe = Vq>), а через
пг—единичный вектор в направлении от Р на точку наблю-
наблюдения Q (рис. 75). Если под п^ и п[ понимать компоненты
векторов п,- и ns> касательные к 2„, а под 7?, — расстояние
между Р и Q, то средняя интенсивность рассеянного поля за-
запишется в виде
(51.31)
где сечение a(q±) определяется спектром неровностей F^ в ок-
окрестности точки рассеяния Р. Пределы интегрирования опре-
определяются размерами либо рассеивающей площадки, либо облу-
облучаемой области, т. е. области, где амплитуда первичной волны
заметно отличается от нуля. Формула (51.31), как и выражение
(51.19), применима при условии i?,§>KWf- При ft/;§>l это
условие слабее условия Rt^>kll, означающего удаление точки
наблюдения во фраунгоферову зону отдельной неровности. В слу-
случае же W:<^1 формулы (51.19) и" (51.31) справедливы уже при
удалении на расстояния R, ~ X от шероховатой поверхности.
442 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
§ 52. Рассеяние на крупномасштабных неровностях.
Метод Кирхгофа
В акустике, оптике и радиофизике часто интересен случай
не малых, а больших неровностей, когда зеркальное отражение
практически отсутствует. Примером может служить рассеяние
дециметровых и сантиметровых радиоволн на поверхности взвол-
взволнованного моря или отражение звуковых волн от морского дна.
Эта задача была впервые достаточно полно исследованаМ. А.�са-
А.�саковичем [4], который применил для ее решения метод Кирхгофа.
Мы будем следовать в основном оригинальной работе [4], а также
работе [5], где сняты некоторые ограничения, принятые в ряде
предшедствующих публикаций.
Для интересующего нас теперь случая больших неровностей
воспользуемся формулой Грина (9.13). Пусть на поверхность
падает локально плоская скалярная волна
1! = Рђ(Рі)Рµ"<С‡>Рј, (52.1)
которую мы описываем в приближении геометрической оптики.
Это может быть, в частности, плоская или сферическая волна
(направленная или ненаправленная). Мы будем предполагать,
что ни для падающей волны, ни для рассеянной нет затенений
каких-либо элементов поверхности. Очевидно, сколь бы плавной
поверхность ни была, это условие исключает слишком малые
углы скольжения как для падающей волны, так и для направ-
направления наблюдения.
Как известно, при падении плоской волны U (г) на плоскую
границу раздела отраженное поле и (г) и его нормальная про-
производная du/dN связаны на этой границе с U и dU/dN точными
соотношениями
u(r) = 5U/(r), |^ = _5i|^-, (52.2)
где Я—коэффициент отражения, зависящий от угла падения.
В соответствии с принципом Кирхгофа мы принимаем, что гра-
граничные условия (52.2) приближенно справедливы для локально
плоской волны (52.1), падающей на локально плоскую по-
поверхность 2, т. е. на поверхность с плавными неровностями.
Разумеется, под Я следует понимать в этом случае локальный
коэффициент отражения.
Подставляя (52.2) в формулу Грина (9.11), для вторичного
(рассеянного) поля цвтор = и (г) получаем
]Р»' <52-3)
где R — \г—г'|—расстояние от точки наблюдения г = (р, г)
до точки г' = (р', г'), лежащей на неровной поверхности г'=
§52 РАССЕЯН�Е НЛ КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 443
= ?(р')- Преобразуем это выражение к виду, удобному для ста-
статистического усреднения. Для простоты рассмотрим случай,
когда подстилающей поверхностью является плоскость г'—?, — 0.
Прежде всего, перейдем в (52.3) к интегрированию по под-
подстилающей плоскости г'=0: если a—\/V\ + (Vj.?)* ¦ то d2 —
= dZt/a = dip'/a. Вводя нормальный к поверхности 2 вектор
N, = N/a с компонентами (—V.?. 1), имеем
(52.4)
(оператор дифференцирования т' действует на координаты точки
Рі' = (СЂ', Рі')).
Далее, пусть точка наблюдения г удалена от 2 на расстоя-
расстояние, которое превышает и длину волны Я, и высоту неровностей:
fe*j>l, z^xjj. Тогда можно дифференцировать в (52.4) только
быстро осциллирующую экспоненциальную функцию e'*<*f»>, пре-
пренебрегая производными от медленных функций А (г) и l;R:
| ^ (52.5)
РіРґРµ
q=-*V'(В«-i?) = t1n,-n() (52.6)
— вектор рассеяния. Величина n, =V'<p представляет собой нор-
нормаль к фазовому фронту падающей волны, а единичный вектор
указывает направление из точки г' на точку наблюдения г.
Учитывая, что для пологих неровностей V±t,<^l и рассеяние
на таких неровностях происходит в направлениях, близких
к направлению зеркального отражения (в этом направлении
п^ = п^ и q._ — 0), заменим скалярное произведение (N,q) =
=—(4iYi?)-| Яг просто на qz. В результате имеем
(52.7)
Все величины под интегралом относятся к точке неровной
поверхности г' = {р', ц(р')}. Чтобы выделить в явном виде за-
зависимость от возмущения ?(р'), разложим подынтегральные
функции в ряды Тейлора по С, причем в медленных функциях Я,
444
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
ГГЛ. IX
qz, А и \/R ограничимся нулевым приближением, а в показа-
показателе экспоненты учтем еще и линейный по ?(р') член:
(52.8)
Локальный коэффициент отражения 5J|j=0 отвечает здесь на-
направлению зеркального отражения, в котором пх=пх, qj. = O,
и является уже детерминированной величиной. Для френелев-
ских коэффициентов отражения, меняющихся (если исключить
случай полного отраже-
отражения) в функции угла паде-
падения медленно, это при-
приближение вполне оправ-
оправдано, поскольку в дан-
данном направлении as рас-
рассеивают только такие
участки поверхности S
(дающие «блики»), которые
наклонены под одним и
тем же определенным уг-
углом (рис. 76).
Пренебрегая линейны-
линейными членами в медленных
амплитудных функциях и квадратичными—в показателе экспо-
экспоненты, мы совершаем относительную ошибку, не превышающую
ka\lD, где D—либо радиус кривизны фазового фронта падающей
волны, т. е., по существу, расстояние до источника, либо рас-
расстояние до точки наблюдения R. Требуя, чтобы выполнялось нера-
неравенство
^-<U (52.9)
означающее, что источник и точка наблюдения должны нахо-
находиться в зоне Фраунгофера по отношению к масштабу неров-
неровностей а;, после подстановки (52.8) в (52.7) находим
:В«+<f)-^:d2p'i (52.10)
где значения величин qz. A, R, ф, Ш взяты на плоскости г = 0.
Более аккуратный расчет, при котором член (qiVxJ) в фор-
формуле (52.5) не отбрасывается, а преобразуется путем интегри-
интегрирования по частям [4|, приводит к выражению
Р РёСЃ. 76.
5 52] РАССЕЯН�Е НА КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 445
которое отличается от (52.10) заменой qz на q*!qz. В выражениях
(52.10) и (52.11) все величины являются функциями точки г'=
— {р', Of подстилающей плоскости г = 0, а не точки г' —{р',
&р')\ неровной поверхности 2, как в (52.7).
Наличие возмущения ?(р') в показателе экспоненты придает
некоторое сходство рассматриваемой задаче с задачей о про-
прохождении волны через фазовый экрип [б], но следует помнить,
что при рассеянии на шероховатости случайный набег фазы —</г?
зависит (через qz) от 'направлений первичной и отраженной
волн.
Переходя к статистической части задачи, мы сразу обратимся
к случаю не малых qzt,. Нелинейная зависимость поля а от t,
означает, что для нахождения моментов и (г) необходимо знать
уже не моменты случайного поля ?(р') того же порядка, а его
функции, распределения.
Согласно (52.11) среднее значение и равно
Величина
где и»!; (?)—плотность вероятностей отклонений, представляет со-
собой характеристическую функцию поля ?(р). Если это поле одно-
однородно, то /it(<7z) зависит от р' лишь неявно—через локальное
значение z-компоненты вектора рассеяния"?,, (р'). Таким образом,
'e'- (5212)
Поскольку и определяется характеристической функцией ?,
формула (52.12) легко распространяется на случай, когда не-
неровность поверхности представляет суперпозицию независимых воз-
возмущений ? = 2?v- Функция fii(qz) равна тогда произведению
v
соответствующих характеристических функций.
Применив для вычисления (52.12) метод стационарной фазы
(5], можно показать, что
(52.13)
где нижний индекс «с» означает, что Slviq^ берутся в стационар-
стационарной точке рс, отвечающей зеркальному лучу, приходящему в точку
наблюдения г (рис. 77). Через и"»(г) обозначено значение ин-
интеграла (52.11) при ? — 0, т. е. поле волны, отраженной от под-
подстилающей плоскости г = 0 по законам геометрической оптики.
446
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[ГЛ. IX
Например, для плоской звуковой волны (52.11), падающей на
абсолютно мягкую поверхность (для нее Э1 =—1), и<0) дается
выражением (52.12), а для сферической первичной волны это поле
зеркального (относительно
плоскости г — 0) точечного
источника.
�з (52.13) видно, что не-
неровной поверхности Можно
приписать эффективный
коэффициент отражения для
: среднего поля
- (52.14)
Для идеально отражающей
поверхности, очевидно,
Рис. 77. В случае малых неровно-
неровностей (^о;<^1) приближенно
/ijsw I +iqzt, — 1, поскольку ?—0. Это означает, что в первом
приближении по ? неровности не влияют на среднее ноле. С ро-
ростом q^ среднее поле быстро убывает, так как /i;(<?z) умень-
уменьшается.
Найдем теперь среднюю интенсивность флуктуационного поля
/, = <|"|2> = <|В«|1>-|Рї|В«. (52.15)
Согласно (52.11)
(52.16)
X <ехр
где одним и двумя штрихами отмечены величины, относящиеся
к точкам (»' и р" подстилающей плоскости г = 0. Выражение
= />t(7В« q'u Р '. P") (52.17)
— это двумерная характеристическая функция поля 5, зависящая
от р' и р" как от параметров.
Пользуясь формулами (52.12) и (52.16), для интенсивности
рассеянной волны находим
ql; p'
- (52.18)
52 РАССР.ЯН�К НЛ КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 447
4ерез 5s здесь обозначена разность двумерной характеристической
функции (52.17) и произведения одномерных характеристических
функций:
S%*. U (•'. р")-/*(?. -<?/. Р'. P")-fh№Uto"z)- (52-19)
Эта разность обращается в нуль при большом (по сравнению с ра-
радиусом корреляции неровностей /j) разнесении точек р' и р", по-
поскольку при |р' — р"|^>'; значения ?(р') и ?(р") становятся
некоррелированными, а двумерная характеристическая функция
/2? распадается на произведение одномерных характеристических
функций. Ниже мы убедимся на одном из примеров, что область,
где 5s заметно отличается от нуля, в действительности даже меньше,
чем круг |р' — р" |sg/t.
Воспользуемся указанным свойством функции 5> для прибли-
приближенного вычисления интеграла (52.18). Перейдем отр' и р" к пере-
менным? = р' — р'и т| = (р' + р")/2. Разностьk(R' +<p') — k{R" + <p")
в показателе экспоненты разложим в ряд Тейлора по %, сохранив
в нем только линейный член:
*(В«^')-fc(tf' + T")t=.В«*(V.LВ« + Vj.<p)!=-q1S. (52.20)
В предэкспоненциальном же множителе положим % — 0 (т. е.
р' = р" = 1|) и, кроме того, заменим, q'z и q\ в аргументах 5s зна-
значением щг в «центре тяжести» т1=(рЧ-р")/2, т. е. положим q't»
В«^В«^(Р§). РўРѕРіРґР°
где R1 = V z' + (p—Я)11 5s (1> л) — ^ (<?* (i) ¦ 9Лл)! Pi р")-
Распространив, далее, пределы интегрирования по % в (52.18)
до бесконечности, получаем формулу некогерентного рассеяния
(сложения ннтепсивностей)
Р›= <\^r-В°d''y\< (52.21)
в которой величина
имеет смысл сечения рассеяния единичной площадки.
Область применимости выражения (52.21) определяется теми
приближениями, которые были сделаны при его выводе. Наиболее
жестким оказывается условие
(52.23)
448 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 1ГЛ. 1Г
при выполнении которого можно отбросить кубичный член в раз-
разложении (52.20) (квадратичный член и вообще слагаемые четных
степеней в этом разложении отсутствуют). Здесь R—расстояние
от точки ц на плоскости z=0 до точки наблюдения или до источ-
источника, alp—характерный масштаб изменения 5* по переменной ?.
В случае малых неровностей, когда
(52.24)
характерный масштаб 1р совпадает, очевидно, с радиусом корреля-
корреляции неровностей /;. В противоположном предельном случае qzo{^> 1
масштаб 1р по порядку величины равен /;/?гС;. В этом можно
убедиться, скажем, на примере двумерного нормального распре-
распределения
exp /-C"ty'-2$EtC4 • (52.25)
для которого
5В» (I, Р») = e-''oc[e*'В°t*i;(В» - РЇ (52.26)
Оценка 1р ~ 1%1йх°1 выводится отсюда так же, как и аналогичная
оценка la~ /j/crs в случае фазового экрана (см. § 10), причем роль
фазового набега as = V <Sa> в данном случае играет «фазовая
высота» неровностей q,oz [6J.
В обоих предельных случаях qza^<^.\ и qza^^>\ величина
VW?P значительно меньше, чем расстояние Ы\, начиная с которого
точка наблюдения находится в фраунгоферовой зоне отдельной
неровности. Таким образом, формула некогерентного рассеяния
(52.21) становится справедливой еще до удаления точки наблю-
наблюдения и источника во фраунгоферову зону отдельной неров-
неровности [5].
Сечение рассеяния о существенно при расчете энергетических
характеристик поля как при рассеянии на площадке конечных
размеров, так и в случае неограниченной неровной поверхности.
Вычислить интеграл (52.22) точно удается лишь в немногих слу-
случаях, обычно он оценивается приближенно. Рассмотрим некоторые
частные случаи.
1. В случае малых неровностей (<?zoj<^1), когда, в соот-
соответствии с (52.24), ff1 л> Й^с©. сечение а выражается через
трансформанту Фурье корреляционной функции ^t(l), т.е.
521 РАССЕЯН�Е НА КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 449
пропорционально спектральной плотности (51.15):
iВ»JL. (52.27)
Для абсолютно жесткой и абсолютно мягкой поверхностей (|о*| = 1)
это выражение эквивалентно результатам теории возмущений (см.
задачу 1), поскольку в направлениях, близких к направлению
зеркального отражения, q я; \qz\ = 2k\п'г\.
2. При вычислении интеграла (52.22) в противоположном слу-
случае неровностей, больших по сравнению с длиной звуковой волны
(ЧгаЪ^>'). можно использовать то обстоятельство, что основной
вклад в (52.22) вносит область малых g, а второе слагаемое в вы-
выражении (52.19) при <7,Oj^>1 пренебрежимо мало по сравнению
с первым, и, следовательно,
*№. Ч);»/*(7.. -?,. Р'. р") = <«-'•»«'-">. (52.28)
Вычислим в качестве примера сечение рассеяния а для не-
неровностей, распределенных по нормальному закону (52.25) и изо-
изотропных в плоскости г — 0. �зотропность поля ? означает, что
коэффициент корреляции зависит только от модуля вектора ?:
./(; = /(;(!). Разлагая К^ в формуле (52.26) в ряд Тейлора и пре-
пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в квадратных
скобках, получаем для 3s приближенное выражение
(52.29)
Подстановка (52.29) в (52.22) дает после интегрирования
еХР \ 5 б
°~ д* Snoll-КЦО)] еХР \ — ~2^|5| [— Л? (б)Г
Этой формулой можно пользоваться в случае неровностей, об-
обладающих единственным пространственным масштабом (радиусом
корреляции) /f~[—АГ;(О)]~ъ'а. Если же коэффициент корреляции
убывает не монотонно, а имеет осциллирующий характер (как,
например, в случае морского волнения), то, наряду с окрестностью
точки | = 0, надо учитывать вклад и других точек, в которых 9>
имеет локальные максимумьЦпример такого расчета приведен в[4]).
3. Для высоких неровностей {qzaz^> 1), обладающих единствен-
единственным радиусом корреляции, сечение рассеяния можно рассчитать
и без предположения о нормальном распределении [7, 8]. Полагая,
как и ранее, что основной вклад в интеграл (52.22) вносит окрест-
окрестность точки % = 0, разложим разность ?' — ?" в формуле (52.28)
в ряд Тейлора по | = р' — р":
450
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
где вектор v es v i? характеризует случайные наклоны неровной
поверхности. Но <ехр (iav)> = /v(a) -это характеристическая
функция v, связанная с функцией распределения наклонов ffi>«(v)
преобразованием Фурье:
/v(a)= ^ exp(iav)wv(v)d"v,
так что обратное преобразование дает
—tav)d»a.
(52.32)
Если ввести в (52.31) новую переменную интегрирования а—•
== <?Д, то, в соответствии с (52.32), сечение а можно выразить
через aiv(qi/<7z):
exp (- iq La
(52.33)
Таким образом, сечение а пропорционально вероятности такого
наклона, при котором происходит зеркальное отражение. Сечение
максимально при qx = 0> поскольку a\.(v) имеет максимум при
v = Vxe — 0 (наиболее вероятная
ориентация элементов неровной
поверхности—параллельная плос-
плоскости г = 0), а увеличение qx
приводит к уменьшению о, в со-
соответствии с тем, что большие
наклоны менее вероятны.
Если неровности распределе-
распределены по нормальному закону и изо-
изотропны в плоскости г = 0, то фор-
формула (52.33), как легко убе-
убедиться, переходит в (52.30). От-
Отметим еще, что формулы (52.30)
и (52.33) соответствуют вычислению сечения рассеяния (52.22)
в приближении геометрической оптики. Это ясно уже из того,
что обе формулы не содержат длины волны, поскольку отношения
4j./<7i и qjq, не зависят от к.
Рі Р·
Р РЅСЃ. 78.
J 53) ДОПОЛН�ТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАН�Я- ДРУГ�Е ПОДХОДЫ 451
4.. Для изотропного поля ?, распределенного по нормальному
закону с гауссовым коэффициентом корреляции /С{ (р)=е~р'/2'?,
в работе [9] было получено точное выражение для сечения а
в направлении зеркального отражения (qj,—0):
(52.34)
Здесь С = 0,577 — постоянная Эйлера, a Ei (z)— интегральная экс-
экспонента (о3 при ч±фО выражается в виде бесконечного ряда).
График нормированного сечения 8жт3/| Я. \'qUi B зависимости от
qzo^ показан на рис. 78. Сначала ет, растет, как ог{, в соответствии
с первым приближением метода малых возмущений. При qza^ « 1
сечение достигает максимума, а при больших qza^ убывает по за-
закону I/eg. Разумеется, полное (проинтегрированное повеем углам)
сечение рассеяния продолжает расти при qzo^—> <», но при этом
происходит пространственное перераспределение рассеянного из-
излучения, сопровождающееся уширением индикатрисы рассеяния
и Уменьшением <г3.
§ 53. Дополнительные замечания. Другие подходы
В большинстве работ по рассеянию на -шероховатых поверх-
поверхностях используются, как уже было сказано, метод возмущений
и метод Кирхгофа. Приведем некоторые результаты, полученные
этими методами, и укажем также па другие подходы к проблеме,
основываясь в первую очередь на монографин [1], в которой
подробно освещены затрагиваемые здесь вопросы, а также на
РѕР±Р·РѕСЂРµ [2].
1. Рассеяние электромагнитных волн отличается от
скалярного случая только учетом поляризации. Для первичной
волны, заданной в приближении геометрической оптики, вывод
динамических соотношении в принципе не отличается от ска-
скалярной задачи, но выкладки становятся более громоздкими, по-
поскольку вместо (9.13) следует пользоваться векторным вариантом
формулы Грина. Креме того, при расчетах по методу Кирхгофа
необходимо учитывать различие локальных френелевских коэф-
коэффициентов отражения для двух ортогональных поляризаций поля
падающей волны.
Наиболее простые формулы получаются при рассеянии на иде-
идеально проводящей поверхнести. В частности, выражение для элект-
электрического вектора рассеянней волны при применении метода Кирх-
Кирхгофа можно получить из формулы (52.11), положив в ней а = 1 и
заменив скаляр q' вектором е„<72 — 2q (eoq), где е„ — единичный
вектор поляризации первичной волны. С этой заменой можно
452 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 1ГЛ. IX
вывести затем формулы для средних значений напряженностей
и для билинейных характеристик рассеянного электромагнитного
поля (средней интенсивности, среднего вектора Пойнтинга, эле-
элементов поляризационной матрицы). На расстояниях R^>]fklpOT
неровной поверхности для билинейных характеристик оказыва-
оказываются справедливыми формулы некогерентного рассеяния типа
(52.21), разумеется, с заменой интенсивности /0 = |Л|г более слож-
сложным выражением, зависящим от е0. Существенно, однако, что в
подынтегральные выражения для билинейных величин будет
входить сечение (52.22), вычисленное при скалярной постановке
задачи, так что результаты скалярной теории можно непосредст-
непосредственно использовать и в теории рассеяния электромагнитных волн.
Например, дисперсия /,=»<]Е|2> поля электромагнитной волны,
рассеянной на неровной поверхности, определяется форму-
формулой (52.21), если понимать под ст величину о = уоск, где аск
дается выражением (52.22),
а у = 1—|qeo|V<7*—поляри-
1—|qeo|V<7*—поляризационный множитель.
2. Учет затенений в
методе Кирхгофа. Мы
уже указывали на то, что
Рис. 79. с увеличением высоты не-
неровностей и с уменьшением
угла скольжения рано или поздно начинается затенение от-
отдельных элементов поверхности: часть шероховатой поверх-
поверхности оказывается неосвещенной (рис. 79), а часть освещен-
освещенных участков не будет видна из точки наблюдения. Нетрудно
оценить диапазон углов скольжения if>, в котором еще можно не
учитывать эффект затенения: очевидно, если 1^—размер неров-
неровностей, a <tj—их среднеквадратичная высота, то затенениями мож-
можно пренебречь при условии t)j^>ct;//;.
Вследствие затенений отдельных элементов поверхности проис-
происходит уменьшение сечения рассеяния о по сравнению со значением,
даваемым выражением (52.22). Величина фактора ослабления
определяется отношением площади освещенной части поверхности
к полной поверхности, причем освещенные участки можно выде-
выделить, исходя из простых геометрических соображений: на осве-
освещенных участках падающий луч пересекает неровную поверх-
поверхность один раз, тогда как затененным участкам отвечает трех-,
пяти- и т. д. кратное пересечение. Таким образом, дело сводится
к нахождению вероятности того, что луч пересечет заданную
случайную поверхность только один раз. Несмотря на простоту
постановки задачи, ее решение оказывается довольно сложным.
Результаты исследований этого вопроса (и ряда других аспектов
проблемы) суммированы в книге [1].
$53] ДОПОЛН�ТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАН�Я. ДРУГ�Е ПОДХОДЫ 453
3. Рассеяние при наложении мелкомасштабных
и крупномасштабных неровностей (комбинирован-
(комбинированный подход). Реальные поверхности часто содержат как мелкие
(W;<^1), так и крупные (Wc^> 1) неровности. Такие поверхности
можно рассматрваать как крупномасштабные образования, на
которые наложена мелкая рябь («шероховатый рельеф»). В то
время как у крупных неровностей диаграмма рассеяния срав-
сравнительно узкая, мелкие неровности рассеивают практически во
вес стороны и их влияние в направлении зеркального луча
пренебрежимо мало. Но под малыми углами скольжения рас-
рассеяние обусловлено именно мелкомасштабной компонентой. Она
же определяет форму спектра рассеянного поля в направлениях,
не совпадающих с зеркально отраженным лучом. Эти и некоторые
другие соображения позволяют качественно объяснить ряд экспе-
экспериментальных данных, в частности, особенности рассеяния на
взволнованной морской поверхности..Однако теоретический ана-
анализ рассеяния волн на поверхности типа «шероховатый рельеф»
наталкивается на определенные трудности: исследование здесь
не может быть проведено ни методом возмущений (поскольку
высота крупных неровностей не мала), ни методом Кирхгофа
(поскольку имеется мелкомасштабная компонента).
Б. Ф. Курьянов [10] предложил комбинированный метод рас-
расчета, в котором в качестве пулевого приближения взято кирхго-
фово решение типа (52.11), отвечающее плавным крупномасштаб-
крупномасштабным неровностям, а влияние мелкой ряби учтено и первом порядке
теории возмущений, причем оба>--типа неровностей считаются
статистически независимыми. Этт метод был развит в дальнейшем
в работах 111, 12]. Несколько иной подход применен в [13, 14],
где использована формула сложения интенсивностей полей, рас-
рассеянных мелкомасштабными неровностями.
Возможности комбинированного подхода ограничены двумя
условиями: во-первых, результаты расчета не должны зависеть
от способа разбиения отклонения t,{x) на независимые части
ц (х) 'и т](х), и, во-вторых, должны выполняться условия при-
применимости метода возмущений для расчета рассеяния на мелко-
мелкомасштабной компоненте. Оказывается, что эти требования удов-
удовлетворяются не для всех видов волнения [1].
4. Учет многократного рассеяния. Как в методе
Кирхгофа, так и в методе малых возмущений (если ограничи-
ограничиваться первым приближением) рассматриваются только однократно
рассеянные (или однократно отраженные) поля. Это допустимо,
пока неровности достаточно пологи и сравнительно невысоки.
С ростом высоты неровностей aj и (или) с увеличением кх наклона
О; Д; необходимо учитывать многократное рассеяние волн.
Учет многократного рассеяния удобно осуществить на основе
интегрального уравнения для функции Грина [1]. Если линеа-
454 РАССЕЯН�Е НЛ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
ризовать интегральное уравнение по возмущению ?, то из него
можно вывести уравнение Дайсона для средней функции Грина
<G> и уравнение Бете—Солпитера для функции когерент-
когерентности <С(г„ г0) <?• (г2, г„)>. Оба уравнения можно далее решить
приближенно, первое—в приближении Бурре, а второе—в лест-
лестничном приближении. Как и в случае объемного рассеяния, эти
способы решения указанных уравнений эквивалентны приближен-
приближенному (частичному) суммированию бесконечного ряда теории воз-
возмущений.
Описанный подход оказался весьма эффективным при решении
ряда задач, в частности при рассмотрении волноводов с шерохо-
шероховатыми стенками. Здесь удается вычислить коэффициенты зату-
затухания нормальных волн, коэффициенты трансформации из одной
моды в другую и вывести уравнение переноса излучения в вол-
волноводе, учитывающее взаимную трансформацию волн [1J. Кроме
того, при учете многократного рассеяния можно обосновать
и уточнить так называехше «нелокальные» граничные условия
для среднего поля, которые были ранее выведены иным спо-
СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРј [1J.
5. Крутые неровности. Несмотря на значительные успехи
теории рассеяния волн на плавных шероховатых поверхностях,
трудной задачей остается случай рассеяния на плавных, но кру-
крутых неровностях, к которому нельзя подойти при помощи су-
существующих приближенных методов. Вполне естественны поэто-
поэтому попытки модельного описания подобных неровностей—либо
в виде хаотически разбросанных по плоскости полусфер, полуци-
полуцилиндров и т. д. (типичная модель такого рода описана, например,
в [15]), либо и виде плоских площадок со случайным распределе-
распределением наклонов. Вторая модель широко используется, в частности,
в оптических расчетах отражения света как при помощи метода гео-
геометрической оптики [16, 17], так и с поправками на дифракцию,
которая учитывается введением индикатрис рассеяния элементар-
элементарных площадок [18].
Модельному описанию присуши, по крайней мере, два недо-
недостатка. Во-первых, область применимости результатов, получен-
полученных при помощи конкретных моделей, сильно ограничена. Во-
вторых, погрешности результатов, возникающие из-за упрощающих
предположений при расчетах, с трудом поддаются оценке. Тем
не менее к модельному описанию крутых неровностей прибегают
довольно часто — просто в силу отсутствия более общих методов.
Более того, иногда прибегают к моделированию не формы по-
поверхности, а самого закона рассеяния, т. е. функции а (8, <р).
Наиболее известной моделью такого рода является закон Лам-
Ламберта, согласно которому о (6) —const- cosU. Этот простой закон,
однако, принадлежит к числу наименее обоснованных —как •
теоретической, так и с экспериментальной точек зрени;.
ЗАДАЧ� 455
Задачи
1. Показать, что в случае крупномасштабных неровностей (W.^>1) сечения
рассеяния, вычисленные по методу возмущений для абсолютно мягкой и абсо-
абсолютно жесткой поверхностей, практически одинаковы.
Решение. Пр|ГЫ?>1 спектр ^(Ч^) заметно отличается от нуля
только в узком интервале I q± | ^ 1//^, т. е. в окрестности направления зер-
зеркального отражения, для которого qj ^Л(п^.—ir,) = 0. В этом интервале
"i. я nJL' н поэтомУ множители (п1гп'г)% и (51.18) и (I—n^n^)1 в (51.28)
приближенно совладают и равны (n'z)4 — соэ400. В результате
РѕР¶ В« РѕРё Р° В«< (СЏ-)' F, (qx) = 4 (* cos РІ,)* F. (qВ±).
2. Оценить поперечный радиус корреляции поля, рассеянного на поверх-
поверхности с мелкомасштабными неровностями (kU<^l), в двух случаях: 1) точка
наблюдения удалена от неровной поверхности на расстояние fij, большее
диаметра освещенной площадки, и 2) диаметр освещенной площадки L опре-
определяется шириной диаграммы направленности облучателя у — X/d (d — попереч-
поперечник антенны).
Решение. В первом случае, в соответствии с теоремой Ван Циттерта —
Церникс, поперечный радиус корреляции Ix определяется величиной угла
АО — L/R,, под которым видна рассеивающая площадка с расстояния Ry:
l±~\/A0~XR,/L. В частности, если Д6— 1, то /j. ~ X.
Во втором случае L ~ yR0 — XR^Id, где Р„—расстояние мсж*у облучате-
облучателей и центром освещенного пятна па поверхности. Поперечный радиус корре-
корреляции на расстоянии fii от центра освещенного пятна равен поэтому /^ —
~XRl/I~dR1/^o- При рассеянии назад, когда Л, ~ /?„, радиус корреляции
совпадает с диаметром антенны, /х ~d, хак и в случае рассеяния на объем-
объемных нсоднородностях (см. задачу 3 к гл. IV},
3. Оценить поперечный (по отношению кэеркальному лучу) радиус кор-
корреляции рассеянного поля в случае крупномасштабных неровностей поверх-
поверхности.
Решение. Оценки радиуса корреляции проще Rcero получить, исполь-
используя результаты, найденные для фазового экрана |6|. Пели плоская волна
падает нормально на бесконечную поверхность с радиусом корреляции не-
неровностей 1^1 я среднеквадратичным отклонением о>, то отраженная волна
оказывается промодулированной по фазе с дисперсией o| = (2*Oj)2. В соот-
соответствии с п. 2 в § 10 имеем при этвм 1а я /j при 2*с?<^1 (малые неров-
ровностн) и /„ si /j/2*0j при 2?о> 5>> I (высокие неровности).
Если шероховатая поверхность облучается не плоской волной, то при-
приведенные оценки справедливы только на малых расстояниях от плоскости z-0.
На больших же расстояниях 1и будет увеличиваться (или уменьшаться) в соот-
соответствии с изменением сечения лучевых трубок, отвечающих зерхально отра-
отраженным (от плоскости г-=0) лучам. Например, если на шероховатую поверх-
поверхность падает сферическая волна, то
'"Р–' "Р 
где R\— расстояние от точки зеркального отражения до точки наблюдения,
а /?« — от точки зеркального отражения до источника.
Л�ТЕРАТУРА
К главе I
1. Татарский В. �. Распространение поли r турбулентной атмосфере.---М.:
Наука, 1967.
2. Монин А. С, Я&юм А. М. Статистическая гидромеханика. ч.1. — М.: Наука,
1965, С‡. II, 1967.
3. Колмогоров А. Н. Кривые н гильбертовом пространстве, инвариантные по
отношению к однопаранетрической группе движении.—ДАН СССР, 1940,
С‚. 26, СЃ. 6.
4. Колмогоров А. Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые
в гильбертовом пространстве.—ДЛ� СССР, 1940, т. 26, с. 115.
5. Кляцкин В. �. Статистическое описание динамических систем с флуктуи-
флуктуирующими параметрами.—М.: Наука, 1975.
6. Furulsu Рљ- On Statistical Theory of Electromagnetic Waves in a Fluctua-
Fluctuating Medium. —J. Res. NBS, 1963, v. 67, p. 303.
7. Новиков Е. А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбу-
турбулентности.— ЖЭТФ. 1964, т. 47, с. 1919.
8. Donsker M. D. On Function Space Integrals.— Proc. of a Conference on the
Theory and Applications of Analysis in Function Space—Cambridge. Л1. I. T.
Press, 1904, p. 17—30.
9. Виноградов А. Г., Коавцов Ю. А., Фейзулин 3. �. Флуктуации сигнала
от источника, движущегося в многомасштабной случайно-неоднородной
среде.—Радиотехника и электроника, 1974, т. 19, с. 1758.
К главе II
1. Ахманов С. А., Чиркан А. С. Статистические явления в нелинейной оп-
оптике.—М.: �зд. МГУ, 1971.
2. Ахманов С. А. Взаимодействие случайных волн в нелинейных средах.—
�зв. вузев: Радиофизика, 1974, т. 17, с. 541.
3. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы.—М.: Атоииздат, 1971.
4. Кадомцев В. Б., Канторович В. М. Теория турбулентности в гидродина-
гидродинамике и плазме. — �зв. вузов: Радиофизика, 1974, т. 17, с. 511.
5. Филлипс О. М. Динамика верхнего слоя океана. — М.: Мир, 1969.
6. Мандель //., Вольф Э. Когерентные свойства оптических полей. — УФН,
1965, С‚. 87, СЃ. 491, С‡. I; С‚. 88, СЃ. 347, С‡. II; С‚. 88, СЃ. 619, С‡. III.
7. Глаубер Р. Дж. Оптическая когерентность и статистика фотонов.—
В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика—М.: Мир, 1966, с. 91.
8. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики.—М.: Мир, 1970.
9. Перина Я- Когерентность света. —М.: Мир, 1974.
10. Лоудон Р. Квантовая теория света. — М.: Мир, 1976.
11. Рыжов Ю. А. Тепловое излучение в хаотически неоднородной прозрачной
среде. —ЖЭТФ, 1970, т. 5В, с. 218.
Л�ТЕРАТУРА 457
12. Kpaoqee Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �. Статистические проблемы
в теории дифракции.—УФН, 1975. т. 115, с. 239.
13. Нейл Э. О. Введение в статистическую оптику.—М.: Мир, 196G.
14. Строук Дж. Введение в когерентную оптику к голографию.— М.: Мир,
1РЈ67.
15. Шестов II. С. Выделение оптических сигналов на фене случайных по-
помех.—М.: Сов. радио, 1967.
16. Зверев В. А., Орлов Е. Ф. Оптические анализаторы. — М: Сов. радио, 1971.
17. Ван-дер-Люгт А. Когерентная оптическая обработка информации. —
Т��ЭР, 1974, т. 62, с. 5.
18. Клоеский Д. Д., Сойфер В. А. Обработка пространстненно-временных
сигналоп.—М.: Связь, 1970.
19. Передача информации по канала», содержащим статистически неодно-
неоднородные среды./Под ред. В. �. Сифорова, А. В. Просина.—М.: Наука, 1970.
20. Бакут П. А., Устинов �. Д., Троицкий �. Н., Свиридов К. Н. Методы
обработки световых полей при наблюдении объектов через турбулентную
среду: обзор.—Зарубежная радиоэлектроника, 1976, вып. 7, с. 15, ч. I,
вып. 0, с. 3, ч. II; 1977, вып. 1, с. 3, ч. III; вып. 3, с. 55, ч. IV.
21. Кори .VI., Вольф Э. Основы оптики,—М.: Наука, 1970.
22. Bcran M. J., Parrent С. В. Theory of Partial Coherence. —N. Y., 1964.
23. Денисок Н. Г. О дифракции волн на хаотическом экране.—�зв. вузов:
Радиофизика, 1961, т. 4, с. 630.
24. Booker II. G., Ratcliffe J. A , Schiun D. II. Diffraction from an Irregular
Screen with Application to Ionospheric Problems. — Phil. Trans. Roy. Soc,
1950, v. A 242, p. 579.
25. Hmish A. The Diffraction of Radio Waves in Passing through a Phase-
Changing Ionosphere. — Proc. Roy. Soc, 1951, v. A 209, p. 81.
26. Fejcr J. A. The Diffraction of Waves Passing through an Irregular Ref-
Refracting Medium.—Proc. Roy. Soc, 1953, v. A 220, p. 455.
27. Барабаненкоо 10. П., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �.
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде.—
УФН, 1970, т. 102, с. 3.
28. Ерухимм v7. /�., Максимеико О. �. �сследования нсоднородностей ионо-
ионосферы при помощи 11С.З.—В сб.: Дрейфы и неоднородности в ионосфере. -
М.: Наука, 197,4, с. 41.
29. Briggs li. Н., Ionospheric Irregularities and Radio Scinti! lations. — Contemp.
Phys., 1975, v. 16, p. 469.
30. Дьяков Ю. Е. Некоторые статистические характеристики огибающей и
фазы нестационарного гауссового процесса.—Радиотехника и злектро-
РЅРёРєР°, 1963, С‚. 8, СЃ. 1812. '
31. Всехсвятская �. С. Статистические характеристики сигналов, отражен-
отраженных от ионосферы.—М.: Наука, 1975.
32. Альбер Я. �., Ерухииов Л. /�., Рыжов В. А., Урядов В. П. О статисти-
статистических свойствах флуктуации интенсивности волны за хаотическим экра-
экраном.—�яв. вузов: Радиофизика, 1968, т. 11, с 1371.
33. Satpeler Р•. РЃ. Interplanetary Scintillations -Astrophys. J., Ifi(i7, v. 147,
p. 433.
34. Шишоа В. �. Дифракция воли на сильно преломляющем фазовом эк-
экране.—�зв. вузов: Радиофизика, 1971, т. 14, с. 85.
35. Якушкин �. Г. Флуктуации интенсивности поля плоской волны за хао-
хаотическим фазовым экраном. —�зв. вузов: Радиофизика, 1974, т. 17,
СЃ. 1350.
36. Франсон М., С.юнский С. Когерентность в оптике. — М.: Наука, 1967.
37. Зверев li. А. Раднооптика. М.: Сов. радио, 1975.
38. Шифрин Я- С. Вопроси статистической теории антенн.—М.: Сов. радио,
1970.
458 Л�ТЕРАТУРА
39. Курьянов Б. Ф. Пространственная корреляция полей, излученных слу-
случайными источниками на плоскости. — Лкустич. ж., 1964, т. 9, с. 441.
40. Долин Л. С. О лучевом описании слабо неоднородных волновых полей. —
�зв. вузов: Радиофизика, 1964, т. 7, с. 559.
41. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии.—М.: �Л, 1953.
42. Железняков В. В. Радиоизлучение Солнца и планет. — М.: Наука, 1964.
43. Горелик Г. С. Колебания и волны.—2-е изд.—М.: Физматгиз, 1959.
44. Кравцов К). А., Татарский В. �. Статистические явления при дифрак-
дифракции волн.: Лекции на IV Всес. школе по дифракции и распространению
волн. — Рязань: �зд. Рязанского радиотехнического института, 1976.
45. Руденко О. В., Содуян С. �. Теоретические основы нелинейной акус-
акустики.—М.: Наука, 1975.
К главе III
1. Рытое С. М. Теория электрических флуктуации и теплового излучения.—
М.: �зд. АН СССР, 1953.
2. Вайншпгсйн Л. А. Электромагнитные волны.—М.: Сов. радио, 1957.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.:
Гостехиэдат, 1957.
4. Рытое С. М. О тепловых флуктуациял в распределенных системах. —
ДАН СССР, 1956, т. ПО, с. 371.
5. Рытое С. М. Корреляционная теория тепловых флуктуации в изотроп-
изотропной среде, —ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 166.
6. Левин М. Л., Рытое С. М. Теория равновесных тепловых флуктуации
в электродинамике.—М.: Наука, 1967.
7. Лифшиц Е. М. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми
телами, —ЖЭТФ, 1955, т. 29, с. 94.
8. Силин В. Я., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмо-
подобных тел. — М.: Госатомиздат, 1961.
9. Гринберг Г. А. �збранные вопросы математической теории электрических
и магнитных явлений.—М.: �зд. АН СССР, 1948.
10. Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн над земной поверхностью. —
М.: �зд. АН СССР, 1961.
11. Дзялошинский �. Е., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Ван-дер-Вааль-
совы силы в жидких пленках.—ЖЭТФ, 1959, т. 37, с. 229; Общая тео-
теория Ван-дер-Ваальсовых сил, —УФН, 1961, т. 73, с. 381.
12. Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский �. Е. Методы квантовой
теории поля в статистической физике.—М.: Физматгиз, 1962.
13. Леонтович М. А. Обобщение формул Крамерса — Кронига на среды с про-
пространственной дисперсией. —ЖЭТФ, 1961, т. 40, с. 907.
14. Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме. — В сб.: Вопросы
теории плазмы.—М.: Госатомиздат, 1963, вып. 3.
15. Левин М. Л., Рытое С. М. «Кирхгофовская» форма флуктуационно-
диссипативной теоремы для распределенных систем.—ЖЭТФ, 1973, т. 65,
СЃ. 1382.
16. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. —
2-е изд.—М.: Наука, 1967.
К главе IV
1. Татарский В. �. Распространение ноли в турбулентной атмосфере.—
М.: Наука, 1967.
2. Барабаненков Ю. Я., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �.
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде. —
УФН, 1970, т. 102, с. 3.
Л�ТЕРАТУРА 459
3. ГореПк Г. С. К теории рассеяния радиоволн на блуждающих неодно-
родностях. — Радиотехника и электроника, 1956, т. 1, с 695.
4. Горелик Г. С. О влиянии корреляции рассеиьатслей на статистические
свойства рассеянного излучения. — Радиотехника и электроника, 1957,
С‚. 2, СЃ. 1227.
5. Родак М. �., Францсссон А. В. О применении теории турбулентности
к рассеянию радиоволн на блуждающих неоднородностях. — Радиотех-
Радиотехника и электроника, 1959, т. 4, с. 398.
6. Родак М. �. О рассеянии немонохроматического излучения па блуждаю-
блуждающих неоднородностях.—Радиотехника и электроника, 1960, т. 5, с. 1370.
7. Денисов Н. Г. Дифракция электромагнитных волн в гиротрошюм слое,
содержащем статистические неоднородности. —�зв. вузов: Радиофизика,
1960, С‚. 3, СЃ. 393.
8. Рытое С. М. Корреляционная теория рассеяния света.—ЖЭТФ, 1957,
С‚. 33, СЃ. 514, 679.
9i Вихренко В. С. Теория деполяризованного молекулярного рассеяния
света. — УФН. 1974, т. 113, с. 627.
10. Некогерентцое рассеяние радиоволн: Сб. переводных статей./Под ред.
В. А. Рудакова.—М.: Мир, 1965.
11. Ахисзер А. �., Axuejep �. А., Половин Р. В. и др. Коллективные коле-
колебании в плазме.—-М.: Атомиэдат, 1964.
12. Ван-дер-Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. —М.: �Л, 1961.
13. Ворн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.
14. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. —
2-е изд. —М.: Наука, 1967.
15. Денисов Н. Г. О рассеянии волн в условиях полного отражения. — �зв.
вузов: Радиофизика, 1961, т. 7, с. 378.
16. Горышник Л. Л., Кравцов Ю. А. Корреляционная теория рассеяния радио-
радиоволи в полярной ионосфере.--Геомагнетизм н аэрономия, 19Г>9, т. 9, с. 38.
17. Мигдал А. Б., Крайнев В. П. Приближенные методы квантовой меха-
механики.— М.: Наука, 1966.
К главе V
1. Красильникое В. А. О распространении звука в турбулентной атмосфере.—
ДАН СССР, 1945, т. 47, с. 486.
2. Bergman P. G. Propagation of Radiation in a Medium with Random Inho-
mogeneilies.— Phys. Rev., 1946, v. 70, p. 486.
3. Татарский В. �. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М.:
Наука, 1967.
4. Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными неоднородно-
стями,—М.: Наука, 1975.
5. Барабанчиков Ю. Я., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �.
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде.—
УФН, 1970, т. 102, с. 3.
6. Рытое С. М. О переходе к геометрическому приближению в электроди-
электродинамике сплошных сред. —ДАН СССР, 1938," т. 18, с. 283.
7. Кравцов Ю. А. Сильные флуктуации амплитуды световой волны и веро-
вероятность образования каустик,—ЖЭТФ, 1908, т. 55, с. 798.
8. Кравцов Ю. А. О двух новых асимптотических методах в теории распро-
распространения волн в неоднородных средах.— Лкустнч. ж., 1968, т. 14, с. 1.
9. Кляцкин В. �., Татарский В. �. О диффузии лучей в среде со случай-
случайными неоднородностями,— �зв. вузов: Радиофизика, 1971, т. 14, с. 706.
10. Кляцкин В �. Статистическое описание динамических систем с флукту-
флуктуирующими параметрами.— М.: Наука, 1975.
11. Денисов �. Г. Рассеяние волн в плоскослоистой среде.— �зв. вузов: Ра-
диофи!ика, 1958, т. 1, с. 34.
460 Л�ТЕРАТУРА
12. Голынский С. Л!., Гусев В. Д. Статистика лучей в неоднородной изотроп-
изотропной среде.— Радиотехника и электроника, 197(1, т. 21, с. СЗО.
13. Голынский С. М., Гусев В. Д. Траектории лучен в рефрагирующей рас-
рассеивающей среде,— Радиотехника и =лектрони*а, 11-76. т. 21, г. 1303.
14. Денисоа 11. Г., Ерухимов Л. /�. Статистические свойства флуктуации
фазы при полном отражении волн от ионосферного слоя.—Геомагнетизм
и аэрономия, I960, т. 6, с. 695.
15. Виноградов А. Г., Кравцов Ю. А., Татарский В. �. Эффект усиления
обратного рассеяния ка телах, помещенных в среду со случайными неод-
породностями. - �зв. вузов: Радиофизика, 1973, т. 16, с. 1064.
К главе VI
1. Фейнберг !•'¦ Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности.—
М.: �зд. Л� СССР, 1961.
2. Осташев В. Я., Татарский В. �. Ряд по кратности обратного рассеяния
в задачах о распространении волн в неоднородных средах.— �зв. вузов:
Радиофизика, 1978, т. 21, с. 714.
3. Рытое С. М- Дифракция света на ультразвуковых волнах.— �зв.
АН СССР: Сер. физ.. 1937, вып. 2, с. 223.
4. Обухов А. М. О влиянии слабых неоднородное гей атмосферы на распро-
распространение звуки и света. — �зв. АН СССР: Сер. геофиз., 1053, вып. 2,
СЃ. 155.
5. Горелик Г. С. Килебаинн и волны. 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1959.
6. Татарский �. �. Теория флуктуационкых явлений при распространении
волн в турбулентной атмосфере.— М.: �зд. ЛН СССР, 1959.
7. �брагимов �. Л., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные
величины.— М.: Наука, 1%5.
8. Гурвич.А. С, Кон А. П., Миронов В. Л., Хмелевиов С. С. Лазерное из-
излучение в турбулентной атмосфере.— М.: Наука, 1976.
9. Татарский В. �. Второе приближение в задаче о распространении волн
в среде со случайными неоднородностями.— �зв. вузов: Радиофизика,
1962, С‚. 5, СЃ. 490.
10. Писарева В. II. О границах применимости метода плавных возмущений в
задаче о распространении излучения через среду с пеоднородностями.—
Акустич. ж., 1960, т. 6, с. 87.
11. Татарский В. �. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М.:
Наука, 19(57.
К главе VII
1. Кляцнин В. �., Татарский В. �. К статистической теории распростра-
распространения волн в случайных слоистых средах.— �зв. вузов: Радиофизика,
1977, С‚. 20, СЃ. 1040.
2. Кляцкин В. �. О пределах применимости приближения марковского слу-
случайного процесса в задачах, связанных с распространением света в-среде
со случайными неоднородкостями показателя преломления.— ЖЭТФ, 1969,
С‚. 57; СЃ. 952.
3. Татарский В. �. Распространение коротких волн г, среде со случайными
неоднородпостями в приближении марковского случайного процесса: Пре-
Препринт ООФАГ, 1970.
4. Долин Л. С. О рассеянии световою пучка в слое мутной среды.— �зв.
вузов: Радиофизика, 19G4, т. 7, с. 380.
5. Вгеттсг //., Random Volume Scattering,- J. Res. NBS, 1964, v. fi8, p. C67.
6. Кляцкин В. �., Татарский В. �. К теории распространения световых
пучков в среде со случайными неоднородностями.— �зо. вузов: Радиофи-
Радиофизика, 1970, т. 13, с. 1061.
Л�ТЕРАТУРА 461
7. Долин Л. С. Уравнения для корреляционных функций волнового пучка в
хаотически неоднородной среде.— �зв. вузов: Радиофизика, 1968, т. 11,
СЃ. 840.
8. Дагкесманская �. М., Шишов В. �. Сильные флуктуации интенсивности
при распространении волн в статистически однородных и изогропных
средах.—�зв. вузов: Радиофизика, 1970, т. 13, с. 16.
РЈ. Rrgsm W. P., Fourth Moment of a Wave Propagating in a Random Me-
Medium.—J. Opt. Soc. Am., 1972, v. 62, p. 966.
10. Едепов Б, С, Михайлов Г. А. Методы Монте-Карло для оценки корре-
корреляционной функции сильных флуктуации света в турбулентной среде.—
Р–Р’Рњ Рё РњР¤, 1976, С‚. 16, СЃ. 1264.
11. Гуреич А. С, Елепов Б. С, Покосов В. В., Сабельфелд К- К., Татар-
Татарский В. �. Пространственная структура сильных флуктуации интенсив-
интенсивности света в турбулентной среде.— �зв. вузов: Радиофизика, 1979, т. 22,
вып. 2.
12. Гуреич А. С, Кон А. �., Миронов В. Л., Хмелюцрв С. С. Лазерное
излучение в турбулентной атмосфере.- М.: Наука, 1976.
13. Oochetashvily Рљ- S., Shishov V. I., Multiple Scattering of Light in a Tur-
Turbulent Medium,—Opt. Acta, 1971, v. 18, p. 767.
14. Гочелашвили К- С, Шишов В. �. Насыщенные флуктуации интенсивности
лазерного излучения о турбулентной среде.— ЖЭТФ, 1974, т. ОС, с. 1237.
15. Якушкин �. Г. Асимптотическое вычисление флуктуации интенсивности
поля в турбулентной среде при больших длинах трассы.—�зв. вузов:
Радиофизика, 1075, т. 18, с. 1660.
16. Заворотный В. У., Кляцкин В. �., Татарский В. �. Сильные флукту-
флуктуации интенсивности электромагнитных волн в случайно-неоднородных
средах.—ЖЭТФ, 15,77, т. 73, с. 481. :
17. кляцкин В. �., Татарский. В. �. О приближении^ параболического урав-
уравнения в задачах распространения волн в среде со случайными пеоднород-
ностями.—ЖЭТФ, HI70, т. 58, с. 024.
18. Фрадкин Е. С. Метод функции Грина в теории квантовых полей в кван-
квантовой статистике.—Труды Ф�АН, 1965, т. 29. с. 7.
19. Fradkin E. S. Application of Functional Methods in a Quantum Weld
Theory and Quantum Statistics. II.—Nucl. Phys., 1966, v. 76, p, 588.
20. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.—
Рњ.: РњРёСЂ, 1968.
21. Кляцкин В. �., Татарский В. �. Новый метод последовательных при-
приближений в задаче о распространении волн в случайных средах.— �зв.
вузов: Радиофизика, 1!)71, т. 14, с. 1400.
22. Татарский В. �. Распространение света в среде со случайными неодно-
родностями показателя преломления в приближении марковского случай-
случайного процесса.—ЖЭТФ, 1Г6У, т. 56, с. 2106.
23. Гуреич А. С, Каллистратжа М. А., Марте ль Ф. Э. �сследование
сильных флуктуации интенсивности света в турбулентной среде при малом
волновом параметре.— �зв. вузов: Радиофизика, 1977, т. 20, с. 1020.
К главе VIII
1. Барабаненков Ю. Н. Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и
теория переноса излучения.— УФН, 1У75, т. 117. с. 49.
2. Татарский В. �. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М.:
Наука, 1967, гл. 5.
3. Алексеев В. Н., Комиссаров В. М. Флуктуации звукового поля в случайно-
неоднородной среде,— Труды Акустического института, 1Г68, вып. 4, с. 27.
4. НалСамдян О. Г., Татарский В. �. Сопоставление диаграммных и ана-
аналитических методов приближенною решения линейных стохастических
уравнений.—�зв. вузов: Радиофизика, 1977, т. 20, с. 549.
462 Л�ТЕРАТУРА
5. Апресян Л. А. Методы статистической теории возмущений.— �зв. вузов:
Радиофизика, 1ЭТ4, т. 17, с. 165.
6. Татарский В. �. Некоторые методы решения стохастических AafetepeH-
циальных уравнений— �зв. вузов: Радиофизика, 1974, т. 17, с. 570.
7. Барабаненков Ю. Н., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �:
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде.—
УФН, IS70. т. 102, с. 3.
8. Рыжов Ю. А., Тамойкин В. В. �злучение н распространение электро-
электромагнитных волн в хаотически неоднородных средах.— �зв. вузов: Радяр:
физика, 1970,-т. 13, с. 356.
9. Барабаненков Ю. �., Финкельберг В. М, Оптическая геореыа в теории
многократного рассеяния волн.—�зв. вузов: Радиофизика, 1С6в, т. 11,
СЃ. 719.
10. Барабаненков Ю. Н., Виноградов А. Г., Кравцов Ю. А., Татарский В. �.
Применение теории многократного рассеяния волн к выводу уравнения
переноса излучения для статистически неоднородной среды.— �зв. вузов:
Радиофизика, 1972, т. 15, с. \'с52.
11. Апресян Л. А. Уравнение переноса излучения с учетом продольных волн.-—
�зв. вузов: Радиофизика, 1973, т. 10, с. 461.
12. Барабаненков 10. П., О волновых поправках к уравнению переноса для
направления рассеяния «назад».— �зв. вузов: Радиофизика, 1973, т. 16,
СЃ. 88.
13. Виноградов А. Г., Кравцов Ю. А., Татарский В. �. Эффект усиления
обратного рассеяния на телах, помещенных в среду со случайными неод-
нородностями—�зв вузов: Радиофизика, 1973, т. 16, с. 19К4.
14. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии.— М.: �Л, 1953.
15. Овчинников Г. �., Татарский В. �. К вопросу о соотношении теории
когерентности и уравнения переноса излучения.— �зв. вузов: Радиофи-
Радиофизика, 1972, т. 15, с. 1419.
16. Апресян Л. А. О применении уравнения переноса излучения для описания
свободного электромагнитного поля—�зв. вузов: Радиофизика, 1975,
С‚. 18, СЃ. 1870.
17. Басе Ф. Г., Фукс �. М. Рассеяние волн на статистически неровной
поверхности.— М.: Наука, 1972.
18. Кляцкин В. �., Татарский В. �. Приближение диффузионного случай-
случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах фи-
физики.-УФН, 1973, т. ПО, с. 499.
19. Кляцкин В. �. Статистическое описание динамических систем с флуктуи-
флуктуирующими параметрами.— М.: Наука, 1975.
20. Финкельберг В. М. Распространение волн в случайной вреде. Метод кор-
корреляционных групп.— ЖЭТФ, 1967, т. 53, с. 401.
21. Барабаненков Ю. Н., Финкельберг В. М. Уравнение переноса излучения
для коррелированных рассеивателей.— ЖЭТФ, 1967, т. 53, с. 978.
22. Ромнбсрг Г. В. Вектор-параметр Стокса (матричные методы учета поля-
поляризации излучения а приближении лучевой оптики).— УФН, 1955, т. 56,
СЃ. 77.
23. КравцовЮ. А., Рытое С. М-, Татарский В. �. Статистические проблемы
в теории дифракции.—УФН, 1975, т. 115, с 239.
К г л аве IX
1. Басе Ф. /'., Фукс �. М. Рассеяние волн на статистически неровной
поверхности— М.: Наука, 1972.
2. Шмелев А. Б. Рассеяние волн статистически неровными поверхностями.—
УФН, 1972, т. 106, с. 459.
3. Мандельштам Л. �. Полное собрание трудов.—�зд. АН СССР, 1948,
С‚. 1, СЃ. 246.
Л�ТЕРАТУРА 463
4. �сакович М. А. Рассеяние волн от статистически шероховатой поверх-
поверхности.— ЖЭТФ, 1952, т. 23, с. 305. Труды Акустического института,
1969, вып. 5, с. 152—251.
5.. Кравцов Ю. А., Фукс �. М., Шмелев А. Б. Последовательное применение
метода Кирхгофа к задаче о рассеянии звуковой волны на поверхности
со случайными неровностями.— �зв. вузов: Радиофизика, 1971, т. 14,
СЃ. 854.
6. Тамойкин В. В., Фрайман А. А. О статистических свойствах поля, рас-
рассеянного шероховатой поверхностью.— �зв. вузов: Радиофизика, 1968,
С‚. 11, СЃ. 56.
7. Чаевский Е. В. Энергетические характеристики поля, рассеянного шеро-
шероховатой площадкой.— �зв. вузов: Радиофизика, 1965, т. 8, с. 1128.
8. Barrick D. E. Relationship between Slope Probability Density Function
and the Physical Optic Integral in Rough Surface Scattering.—Proc. IEEE,
1968, v. 56, p. 1728.
9. Чаевский E. В. Рассеяние волн площадкой с нормальным распределением
. случайных отклонений.— �зв. вузов: Радиофизика, 1966, т. 9, с. 400.
10. Курьянов Б. Ф. Рассеяние звука на шероховатой поверхности с двумя
типами неровностей.— Акустич. ж., 1962, т. 8, с. 325.
11. Калмыков А. �., Островский �. Е., Розенберг Л. Д., Фукс �. М. О вли-
влиянии структуры морской поверхности на пространственные характеристики
рассеянного ею радиоизлучения.— �зв. вузов: Радиофизика, 1965, т. 8,
СЃ. 1117.
12. Фукс �. М. К теории рассеяния волн взволнованной поверхностью моря.—
�зв. вузов: Радиофизика, 1966, т. 9, с. 876.
13. Семенов Б. �. Приближенный расчет рассеяния электромагнитных волн
поверхностью типа шероховатого рельефа.— Радиотехника и электроника,
1966, С‚. 11, СЃ. 1351.
14. Семенов Б. �. Расчет рассеяния электромагнитных волн поверхностью
типа шероховатого рельефа для произвольных углов наблюдения.— Радио-
Радиотехника и электроника, 1970, т. 15, с. 595.
15. Burke J. E., Twersky V. Scattering and Reflection by Elliptically Striated
- Surfaces, —J. Acoust. Soc. Am., 1966, v. 40, p. 883.
16. Rense V. A. Polarisation Studies of Light Diffusely Reflected from Ground
and Etched Glass Surfaces.—J. Opt. Soc. Am., 1950, v. 40, p. 55.
17. Гершун А. А., Попов О. �. К вопросу о рассеянии света матовыми стек-
стеклами.— Светотехника, 1955, вып. 1, с. 3.
18. Полянский В. К-, Рвачев В. П. Рассеяние света при отражении от ста-
статистически распределенных микроплощадок. Дифракционное рассмотре-
рассмотрение.—Опт. и спектр., 1967, т. 22, с. 279.


Введение
в статистическую
радиофизику
ЧАСТЬ II
С. М. РЫТОВ, Ю. А. КРАВЦОВ, В. �. ТАТАРСК�Й
СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
�ЗДАН�Е ВТОРОЕ. ПЕРЕРАБОТАННОЕ
� ДОПОЛНЕННОЕ,
под общей редакцией С. М. РЫТОВА
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦ�Я
Ф�З�КО-МАТЕМАТ�ЧЕСКОЙ Л�ТЕРАТУРЫ
1978
32.841
Р  05
УДК 538.3
20407—179
100-79
Наука
Главная редакция
физико-математической
1978
ОГЛАВЛЕН�Е
От редактора б
Глава I
Общие сведения о случайных полях
S 1. Основные понятия 7
§ 2. Пространственные корреляционные функции комплексных слу-
случайных полей 10
§ 3. Пространственные спектральные разложения для однородных
случайных полей 16
§ 4. Локально однородные случайные поля 21
§ 5. Квазиоднородные поля 26
§ 6. Пространственно-временные спектральные разложения случайных
полей 27
§ 7. Функциональный метод описания случайных полей 33
Задачи 44
Глава II
�злучение и дифракция случайных волновых полей
§ 8. Основные типы статистических волновых задач 58
§ 9. Случайные волны в неограниченной однородной среде 62
§ 10. Дифракция плоской волны на безграничном хаотическом экране 71
S 11. Дифракция случайных полей в простейших оптических системах 87
§ 12. Возбуждение полей случайными источниками 102
Задачи 113
Глава 1П
Тепловое электромагнитное поле
§ 13. Предварительные замечания 123
§ 14. Стохастические уравнения Максвелла 127
$ 15. Равновесные тепловые флуктуации в непрерывных диссипативных
системах 130
§ 16. Корреляция сторонних тепловых источников в электродинамике 13S
§ 17. Обобщенный закон Кирхгофа 139
§ 18. Примеры применений обобщенного закона Кирхгофа 145
J 19. Полноводная форма закона Кирхгофа 153
| 20. Тепловое излучение и антенны 158
§ 21. Равновесное тепловое поле. Равновесная форма ФДТ 164
1*
4 ОГЛАВЛЕН�Е
§ 22. Тепловое поле в гиротрипных телах 16?
§ 23. Тепловое поле в среде с пространственной дисперсией 172
Задачи 18S
Глава IV
Теория однократного рассеяния волн
§ 24. Метод малых возмущений lOi.
§ 25. Средняя интенсивность рассеянного поля 197
§ 26. Эффективный поперечник рассеяния. Границы применимости при-
приближения однократного рассеяния 208
§ 27. Пространственная корреляция и вероятностные распределения
рассеянного поля 215
§ 28. Рассеяние на нестационарных неоднородностях 220
§ 29. Рассеяние импульсных и модулированных сигналов 229
§ 30. Рассеяние электромагнитных волн 233
§ 31. Рассеяние на дискретных вкраплениях 241
Задачи 251
Глава V
Распространение волн в средах с крупномасштабными
случайными неоднородностями.
Метод геометрической оптики
§ 32. Уравнения геометрической оптики 256
§ 33. Флуктуации эйконала 261
§ 34. Флуктуации углов прихода, боковых смещений луча и группового
запаздывания волны 271
§ 35. Флуктуации уровня 279
§ 36. Флуктуации параметров волн в турбулентной тропосфере .... 286
§ 37. Среднее поле и функция когерентности 290
Задачи 292
Глава VI
Метод плавных возмущений
§ 38. Обоснование параболического уравнения 297
§ 39. Закон сохранения энергии в приближении параболического урав-
уравнения 306
§ 40. Метод плавных возмущений 308
§ 41. Анализ результатов МПВ 316
§ 42. Распределение вероятностей флуктуации амплитуды и фазы. За-
Закон сохранения энергии и границы применимости МПВ 330
Задачи 336
Глава VII
Приближение марковского процесса
в задаче о распространении волн
в среде со случайными неоднородностями
§ 43. Обоснование марковского приближения 342
§ 44. Уравнения для статистических моментов волнового поля в при-
приближении марковского случайного процесс» 349
ОГЛАВЛЕН�Е 5
§ 45. Среднее поле и функция когерентности второго порядка .... 355
§ 46. Функция когерентности четвертого порядка и флуктуации интен-
интенсивности 364
§ 47. Учет конечности продольного радиуса корреляции флуктуации е
и границы применимости марковского приближения 372
Задачи 379
Глава VIII
Элементы общей теории многократного рассеяния волн
§ 48. Теория возмущений и диаграммная техника для среднего поля
и функции корреляции 385
§ 49. Среднее поле точечного источника н неограниченной случайно-не-
случайно-неоднородной среде 401
§ 50. Функция когерентности поля. Оптическая теорема и уравнение
переноса излучения 413
Задачи 426
Глава IX
Рассеяние на шероховатых поверхностях
§ 51. Рассеяние на малых неровностях. Метод возмущений ,-_._. . . . 429
§ 52. Рассеяние на крупномасштабных неровностях. Метод Кирхгофа 442
§ 53. Дополнительные замечания. Другие подходы 451
Задачи 455
Литература 456
ОТ РЕДАКТОРА
Вторая часть кннги, посвященная теории случайных полей,
построена в соответствии с тем же принципом, чго и первая
(случайные процессы): математическая теория излагается в тес-
тесной связи с приложениями к физическим задачам, выбор кото-
которых ограничен вопросами, имеющими самостоятельное значение
и интерес. Вместе с тем эти вопросы позволяют довольно широ-
широко осветить различные методы теории случайных нолей, главным
образом корреляционной теории.
Выбраны две физические проблемы — излучение и распростра-
распространение скалярных и векторных воли в случайно-неоднородных
средах и равновесные поля теплового происхождения.
Первой проблеме уделено наибольшее место. Рассмотрено рас-
рассеяние волн преимущественно на флуктуациях непрерывной не-
неоднородной среды, но затронуты также случаи и дискретных рас-
сеивателей (вкраплений), и случайно-неровных границ раздела
(шероховатых поверхностей).
В вопросах, касающихся тепловых полей, упор сделан на
обобщение и различные формы флуктуационно-диссипационной
теоремы применительно к распределенным системам, сплошным
средам и телам.
Каждая глава сопровождается задачами, предназначенными,
как и в ч. I, для упражнений и для дополнительных сведений по
теории.
Главы I (кроме § 7), II, IV, V и IX написаны Ю. А. Крав-
Кравцовым, глава III—СМ. Рытовым, §7главы I иглавы VI —VIII —
В. �. Татарским.
С. М. Рытое
Глава I
ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
§ 1. Основные понятия
В части I этой книги мы, почти без исключений, имели
дело с однопараметрическими случайными функциями g(a),
причем в"; большинстве приложений параметра являлся ^вре-
^временем I. Если же речь идет о случайной функции более чем
одного параметра, ? (а, р, ...), то ее называют обычно случай-
случайным полем (в пространстве параметров а, р, ...). Мы сразу же
ограничимся случаем, когда параметров всего четыре: время
t и точка пространства г = (х, у, г). Можно, конечно, назы-
называть ? (t, r) полем В четырехмерном пространстве, но в нереля-
нерелятивистских задачах привычнее и нагляднее говорить о перемен-
переменном (зависящем от t) поле в трехмерном пространстве (х,у, г).
В свою очередь случайное поле может описываться не одной,
а N функциями \U)(t, г), » = 1,2, .... N, и называется тогда
//-мерным случайным полем, подобно //-мерной случайной функ-
функции |1" (t), 1 = 1,2, .. ., N. С чисто математической точки ярения
компоненты I'1'1 (t, г) Смогут быть чем угодно и даже не обяза-
обязаны обладать одинаковой размерностью. Например, флуктуации
плотности жидкости р, давления р, температуры Т и скорости v
образуют в совокупности шестимерное случайное ноле. Но осо-
особый физический интерес представляют, конечно, те случаи, ког-
когда величины |ш (t, г) одноразмерны и обладают определенными
трансформационными свойствами при ортогональных преобразо-
преобразованиях координат в пространстве к, у, г, т. е. являются сово-
совокупностью компонент тензора какого-либо ранга. При таком под-
подходе целесообразнее говорить в приведенном примере о четырех
полях—трех скалярных (р, р и Т) и одном векторном (v).
Ряд определений и свойств, введенных и' установленных'ра-
нее в ч. I для случайных функций одного параметра, естествен-
естественным образом обобщается и на случайные поля, зависящие
8 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
от многих параметров, в частности, на пространственно-времен-
пространственно-временные случайные поля, зависящие от х, у, z, t. Эти (зачастую до-
довольно очевидные) обобщения касаются и вопроса о том, что
означает полное задание случайного поля.
Обозначим для краткости через Q = ((, г) точку в четырех-
четырехмерном мире. Полное задание одномерного случайного поля | (Q)
означает, что известны все его л-мерные, или, как иногда гово-
говорят, я-точечные (п^-1,2, ...), плотности вероятностей, т. е.
для любого числа я произвольно выбранных точек Qv известны
функции
юв{Ei, .... U«i ••¦ <Ч.=
= P{Sv<5C?v)<?v+4v (v = i,2, ..., Р»)}, (l.i)
где Р {?^ I (Q) < l + dfy — вероятность того, что случайная ве-
величина l(Q) приняла значение, лежащее в интервале (1,% + dg)1).
Аналогично, полное, статистическое задание (описание) JV-мерно-
го поля |ш (Q) дается совокупностью пМ-мерных плотностей веро-
вероятностей
w«n(1?\ БР, •¦¦. V«N>)dii»dU1' ... <№ =
= ^{gift<&")(<3v)<iii)+^). v-1,2, .... Рї, i=l, 2 N\.
(1.2)
Эти плотности вероятностей, разумеется, должны быть подчине-
подчинены условиям неотрицательности, симметрии, согласованности и
РЅРѕСЂРјРёСЂРѕРІРєРё (С‡. I, В§ 14).
Очевидным образом распространяется на случайные ноля и
понятие статистической однородности. Одномерное случайное по-
поле | называется однородным (в узком смысле), т.е. стационарным')
по / и однородным по х, у, z, если все л-мерные плотности ве-
вероятности wn инвариантны относительно преобразования транс-
трансляции Q-+Q ] 8Q:
I 4v, v=i,2,...,В«}-
i(Qv)<^v + dlv, v-l,2,...,n}. (1.3)
Если речь идет о Л'-мерном случайном поле |';' и указан-
указанной инвариантностью относительно сдвига 6Q обладают все
«iV-мерные плотности вероятностей wnN, то говорят об однород-
однородных и однородно связанных (в (Э-пространстве) полях ?(П (I— 1,2,...
..., .V).
Понятие пространственной однородности для случайных по-
полей (инвариантность плотностей wn no отношению к простран-
х) Полное описание случайного поля достигается также при помощи харак-
характеристических функционалов, о которых пойдет речь в §7.
2) Однородность по времени принято называть стационарностью.
§ 1J ОСНОВНЫЕ ПОНЯТ�Я
9
ственному сдвигу г—>г + 6г) является естественным обобщением
понятия стационарности для случайных функций времени
(ч. I, § 16). Но многомерность пространства параметров х, у, г, t
открывает новые возможности, а именно: поле может быть по
части параметров однородным, а по остальным — неоднородным.
Например, наряду с полями, однородными в Q-пространстве,
иногда приходится иметь дело со стационарными, но простран-
пространственно, неоднородными полями или же однородными, но нестацио-
нестационарными полями. В волновых задачах часто встречаются поля,
однородные только на определенных поверхностях, скажем на
плоскости или на сфере.
Зная многомерные плотности вероятностей, можно вычислить
моменты случайного поля | любого порядка. В общем случае
эти моменты будут функциями координат: Qv=(tv, rv). Во мно-
многих вопросах наибольший интерес представляют наинизшие мо-
моменты (первого и второго порядка), с которыми оперирует кор-
корреляционная теория случайных полей. Основные понятия этой тео-
теории те же, что и в корреляционной теории случайных функций.
Среднее значение случайного поля g (Q) (момент первого по-
порядка) вычисляется при помощи одномерной плотности вероят-
вероятностей 0>х (?)'):
<? (?)> = $ 5^(1)4- (1.4)
Флуктуационную часть случайного поля |, т. е. величину |—<|>,
мы по-прежнему будем обозначать волнистой чертой сверху:
i^g-<?> = S-I. (1.5)
Смешанный момент второго порядка В| вычисляется при по-
помощи двумерной плотности вероятностей ffia(|j, 5г):
. Bt(Qlt Q1)-<1(Q1)|(Q,)>=SSEiE,В»,(5i, E,)В«*6idE,. (1-6)
Через нее же выражается и функция корреляции (точнее, функция
автокорреляции):
- JJ (Е,-<Е*»<Е.-<Е.»».(Ei. У dEi«, =
ej-<E«?i)><S «?•)>. 0-7)
Для случайных полей с нулевым средним значением функции
Bt(Qi, Qa) = <i(Q,)E(Q2)> и t&(Qi, Q.) совпадают. Дисперсия
*) Операция статистического усреднения обозначена здесь посредством
угловых скобок, но иногда, если это будет удобнее, мы будем пользоваться,
как и в ч. I, прямой чертой сверху, так что <|> =з |.
10 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. I
случайного поля ?>[?], т. е. средний квадрат флуктуации, равна
/)[E] = oi(Q)-<i'(C)> = <[EВ«?)-<Eв„–)>]*> = *e(Q. Q)- d-8)
51, Многомерное поле ?(" (Q) в рамках корреляционной теории
характеризуется совокупностью средних значений <?"' (Q)> и
матрицей моментов второго порядка с элементами
Р’Рї (1,2) = <В§">(1 )6В«*>(2)> (1.9)
или, что равносильно, — корреляционной матрицей с элементами
Для краткости аргументы <2j и Qa здесь заменены просто своими
номерами 1 и 2. Диагональные элементы корреляционной мат-
матрицы представляют собой функции автокорреляции ^w(l,2), a
недиагональные—функции взаимной корреляции т|1,ь(1,2) полей
ЦП и g<ft>_
Наряду с вещественными случайными нолями 1(Q), о кото-
которых шла речь выше, часто приходится рассматривать также комп-
комплексные поля
C(Q) = 6W) + В»4(Q). (I.")
где ? = Ке?иг)=1т ?—вещественные функции в Q-пространстве.
Полное статистическое описание комплексного случайного поля
?(<?) осуществляется заданием 2я-мерных плотностей вероятно-
вероятностей �1„ (llt ,.., Ъ„; т)а ту (п = 1,2, ...), через которые
выражаются вероятности
(С†, v=l,2. ...,/t)}
аналогично (1.1). Через aisn можно выразить любые моменты
комплексного случайного поля ? и, в частности, его низшие мо-
моменты. Последние представляют для рассматриваемых далее за-
задач наибольший интерес, так что мы лишь изредка будем вы-
выходить за пределы корреляционной теории случайных полей.
§ 2. Пространственные корреляционные [функции
комплексных случайных полей
Рассмотрим сначала случайные поля, зависящие только от
пространственных координат, т. е. не зависящие от времени.
К полям, зависящим также от времени, мы обратимся в § 6.
�так, пусть одномерное комплексное случайное поле зависит
только от г:
«2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦ�ОННЫЕ ФУНКЦ�� Ц
По определению корреляционная (автокорреляционная) функция
комплексного поля % равна
= <? (г,) ?• (rs)>-<? (Г1)> <?• (га)>. (2.1)
Положив здесь г, = г2 = г, получим дисперсию в точке г:
С‘*СЃ(Рі1 Рі). (2.2)
Многие свойства пространственной корреляционной функции
¦*Mri> гй) имеют аналоги в теории случайных процессов (ч. I,
§§ 14, 17, 18 и 38). Перечислим кратко эти свойства.
Корреляционная функция ^(г^ г2) является эрмитовой:
%(<-!, РіРі) = Р§(РўВ» ri). (2-3)
как это непосредственно следует из определения (2.1). В част-
частном случае вещественного случайного поля (? = ?•) корреляци-
корреляционная функция симметрична:
%(i\, rs) = i|>t(ra, rx). (2.4)
Далее, квадрат модуля iji^r,, га) никогда не превышает про-
произведения дисперсий оК^) и а|(г2):
|Фс(Г1. •",) |2<<г|(rjerf (r2) = г^с(г,, r,)^(r2, r2). (2.5)
�з (2.5) вытекает, в частности, что коэффициент корреляции
(иначе—нормированная корреляционная функция), определяемый
как
К-(г г)= фЕ(г"Гз) — ^(п.гг)
' " " OE(ri)(rj;(r2) /ifttrx, Р“,)^(Р“2, Р“,) ' (/-Р¬)
не превышает по модулю единицы:
(2.7)
следует,
что корреляционная функция ij'jfo, га) является положительно
определенной, т. е.
J S % (ri, «•«)«(«Ч)"' (г,)*M»/-S > 0, (2.8)
v
где и(г)—произвольная комплексная функция, aV—произволь-
aV—произвольная область интегрирования, для которых интеграл (2.8) суще-
существует.
�з неотрицательности величины (| J |(г) и(г)<Р
|2 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
Взаимной корреляционной функцией двух комплексных полей
(л (г) и v(r) называется величина
Wrj)>. (2.9)
Квадрат модуля 4>v не превышает произведения дисперсий oj,
Рё Р«,:
KO-,), (2.Р®)
что аналогично (2.5). Как следствие этого, взаимный коэффициент
корреляции
по модулю не превышает единицы: | K^v I ^ 1 ¦ Существенно, что,
в отличие от автокорреляционных функций, взаимная функция
корреляции i|5,n, не обладает ни свойством эрмитовости (2.3), ни
положительной определенностью (2.8), но при этом i|?v'r,, r2) —
= ЧЧи(г„ г,).
Наряду с iff (rlt г,) иногда полезно ввести еще одну автокор-
автокорреляционную функцию комплексного поля:
*t(r1,r1) = <E(rOt(f,)>. (2-12)
которая ранее (ч. I, § 38) была названа второй корреляционной
функцией. В отличие от ^(i-j, r2), т. е. от первой функции кор-
корреляции, определенной выражением (2.1), значение случайного
поля ?(г2) входит в (2.12) без комплексного сопряжения. Вторая
корреляционная функция симметрична относительно своих ар-
аргументов, ijij (r2, )"1) = ifj(r1, г2), а для вещественного поля ? она
совпадает, очевидно, с ^(г^ г,).
Череа первую и вторую функции корреляции t))j (r^ rs) и
x[)j{rj, г2) можно выразить автокорреляционные функции веще-
вещественной и мнимой частей комплексного поля ? = |-i-ii\:
1|>„ (г„ г,) = <л (г,) л (г2)>,
а также их взаимную функцию корреляции:
%л (Г1. г,) - <1 (rj ч (г,)> = Фп5 (г„ г,).
Заметим, что симметрии относительно аргументов г, и г, у функ-
функции %,,, вообще говоря, нет. �спользуя очевидные соотношения
!, га), 1 • '
S 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦ�ОННЫЕ ФУНКЦ�� 13
получаем следующие выражения для компонент корреляционной
матрицы вещественных полей ? (г) и г\ (г):
(14, Рі,) - V, Re Р“*; fa, Рі,) + \ fa, Рі,)],
r2) —ijjgfa, г„)],
E fa, ra)-fyfa, r2)], (Jl 4)
, r2)].
От аналогичных формул (38.3) в ч. I формулы (2.14) отличаются
только тем, что вместо моментов времени t и f в них фигури-
фигурируют радиусы-векторы г, и г2.
В случае статистически однородного (в широком смысле)
случайного поля ? инвариантность относительно сдвига г—>-r-f6r
должна выполняться только для среднего значения и для мо-
моментов второго порядка. �ными словами, должно быть
<?(Рі)> = <? (Рі+ Р±Рі)>, (2.15)
¦Фе fa .«-.) = *s fa + бг, r2 + 8r). (2.16)
Условие (2.15) означает, что <J> = const, т. е. среднее зна-
значение является постоянной величиной. Положивв (2.16) 8г = — г2,
находим, что ^jfa, i"2) = %fa — тг, 0), т. е. корреляционная функ-
функция -ij-g статистически однородного поля зависит только от раз-
разности rt — г2, но не от г1 и га порознь. Для краткости вместо
т|^(г,—г2, 0) принято писать просто i)ij(r):
4;(r)=<efa)e-fa-r)>. С‡ (2.17)
Подобным же образом (только без комплексного сопряжения)
записывается и вторая корреляционная функция ij^(r).
Дисперсия статистически однородного поля постоянна:
Рѕ|=<|РЎ(Рі)|'> = +СЃ(0), (2.18)
а общие свойства (2.3), (2.5) и (2.8) корреляционной функции
для статистически однородных полей принимают следующую
форму, аналогичную соотношениям для стационарных случайных
процессов:
*: (г) = ^S (-«•). (2Л9)
1*6 (Рі) |< of, (2.20)
Согласно (2.19)
(—r) = Ret|>;(r), 1шф:(—г) = —
г) = V, F*h (г) + Re % (г)], г|>„ (г) = V, [Чч (г) - Re ^ (r)J,
W ^(r) VInnji(r)
14 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
т. е. вещественная часть \f>j четна по г, а мнимая—нечетна.
Четность функции tyj (r) автоматически влечет за собой ее ве-
вещественность.
Вторая корреляционная функция, симметричная по своим
аргументам, для однородных полей становится четной: tJjj (—г) =
= (^(г). Для частного случая, когда четна не только вторая,
но и первая корреляционная функция, выражения (2.14) при-
принимают вид
(г) + Re % (г)] г|> (г) = V [Чч (г) Re ^ (r)J
�з этих соотношений следует, что вещественная' и мнимая части
? и ^комплексного статистически однородного поля ? = ?+ir|
тоже статистически однородны и, кроме того, однородно связаны.
Статистически однородные поля, у которых %(г) и ipg (г)
зависят только от модуля (но we от направления) вектора г =
= г, — г2, соединяющего точки гг и г2,
*;(>•) = +;('•). *е (г) = *;(»¦). (2-23)
где г = | г | = Yх% + i/a + za, называются статистически изотроп-
изотропными. Полноправного аналога изотропных полей в теории слу-
случайных процессов указать нельзя. Ограниченную аналогию можно
провести лишь со стационарными вещественными процессами, для
которых функция корреляции четна: 1()(т) = гр(|т|).
Для изотропных случайных полей корреляционная функция
всегда четна и, следовательно, всегда вещественна. �з (2.22)
следует, что если поле ? изотропно, то поля g = ReJn T] = Im?
изотропны и изотропно связаны между собой.
Примерами корреляционной функции однородного и изотроп-
изотропного случайного поля ? могут служить корреляционная функция
в виде гауссовой кривой
\pt(r)=ale-r'"l> (2.24)
и экспоненциальная функция корреляции
1|>{(Рі) = РѕРі|Рµ-''/'. (2.25)
В обоих примерах /—радиус корреляции поля, т. е. расстояние
г == [Fj—г2|, на котором tyi(r) уменьшается примерно вдвое по
сравнению с дисперсией о|. Для полей с функцией корреляции
произвольного вида эффективный (или интегральный) радиус
корреляции обычно определяется как
'.*4=-rj"i>s (')* =
* Рћ
S2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦ�ОННЫЕ ФУНКЦ�� J5
У гауссовой функции корреляции (2.24) 1,^=вУ1/1п1, а у эк-
экспоненциальной функции (2.25) /Вфф = /.
�ногда встречаются корреляционные функции, имеющие оп-
определенный масштаб изменения, но для которых эффективного
радиуса корреляции не существует из-за расходимости интеграла
в (2.26). Так обстоит дело, например, для функции корреляции
РІРёРґР°
, ^ < 1/2.
Хотя понятие радиуса корреляции (как и времени корреля-
корреляции для случайных процессов) часто оказывается полезным,
универсальное его определение, пригодное для флуктуации про-
произвольного вида, дать нельзя. Корреляционные функции часто
обладают не одним, а несколькими характерными масштабами,
как, например, быстро осциллирующая корреляционная функция
с плавно меняющейся огибающей, или же корреляционные функ-
функции анизотропных полей, к которым мы и перейдем.
У статистически однородных, но анизотропных полей функции
корреляции зависят не только от модуля, но и от направления
вектора г = г1—г,, как, скажем, в следующих двух примерах:
(2.28)
Анизотропные поля, очевидно, не имеют аналога в теории
случайных процессов. Расстояния, на которых значения анизо-
анизотропного случайного поля становятся некоррелированными, раз-
различны по разным направлениям. Так, для анизотропной гауссовой
корреляционной функции
которая является частным случаем функций вида (2.28), вели-
величины а, Ь и с характеризуют масштабы пространственной кор-
корреляции в направлениях х, у и г. Масштаб / для функций вида
(2.27) характеризует радиус корреляции в направлении, перпен-
перпендикулярном плоскости ах+ р^+тг = О, тогда как в самой этой
плоскости (и в параллельных ей) корреляция простирается до
бесконечности.
�ногда вместо статистической анизотропии говорят об анизо-
мерии случайных полей. Термин «анизомерныё флуктуации»
удобен в некоторых задачах электродинамики и теории упругости,
в которых речь идет о статистически анизотропных флуктуациях
параметров в анизотропных же средах, но пользоваться им нам
почти не придется.
16 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. I
Наряду с моментами первого и второго порядков, можно
ввести и высшие моменты комплексного случайного поля ?. При-
Принято определять (т +поточечный момент Вт„ (момент (m-fn)-ro
порядка) следующим образом:
>. (2.30)
Поле ? входит под знак усреднения т раз, а комплексно со-
сопряженное поле ?*—п раз. Для краткости вместо координат г,
здесь снова написаны только номера точек /, например, ? (т)
вместо ? (гт) и т. д. Моменты второго порядка В и В запишутся
в этих обозначениях следующим образом:
Р’(1,2) = Р’Рё1(1,2), ?(1,2) = РЇ,,,(1,2).. (2.31)
Некоторые простые свойства моментов ВЯ]Я вытекают непо-
непосредственно из определения. Так, очевидно, что В„,п(1, ...,п;
п, ..., 1)^0. При перестановках внутри первой (1, ...,т) и
второй (т + 1, ...,т + п) групп аргументов момент Bm,n не ме-
меняется, а комплексное сопряжение приводит к следующим изме-
изменениям в порядке следования аргументов и индексов:
Рї> .... 1). (2.32)
Эрмиговость В и симметрия В представляют собой частные
случаи этого тождества.
§ 3, Пространственные спектральные разложения
для однородных случайных полей
Запишем формальное разложение флуктуационной компоненты
однородного случайного поля \ (г) в трехкратный интеграл Фурье:
?(«•)= I Ше^&к. (3.1)
-ао
Здесь ?(к)—пространственная спектральная амплитуда (или,
короче k-амплитуда) поля ?, которая выражается через" ? (г) при
помощи обратного преобразования Фурье:
«о
= (-2Sjr J Ur)e-'"d>& (3.2)
— CD
�ногда вместо ? (к) используется более краткое обозначение ?к.
Спектральное разложение (3.1) мы назвали формальным по-
потому, что для неубывающей на бесконечности функции, какой
является однородное случайное поле |(г), трансформанты Фурье
§3] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 17
? (к) не существует. Для того чтобы придать спектральным раз-
разложениям таких случайных полей обычный математический смысл,
следовало бы предположить, что поле однородно в большой, но
конечной области V, вне которой оно достаточно быстро убывает
до нуля, и переходить к бесконечным размерам области V лишь
на последнем этапе расчетов, уже после статистического усред-
усреднения. Мы не будем, однако, пользоваться здесь такого рода
приемами (как мы не делали этого в аналогичной ситуации и
для спектральных разложений стационарных случайных процес-
процессов), а будем считать, что интегралы (3.!) и (3.2) существуют
в смысле вероятностной сходимости, а именно — в среднем квад-
квадратичном (ч. I, § 40).
Согласно (3.1) функция корреляции однородного случайного
поля i|.'E (ri — ги) Равна
РЄ (i-i-Рі*) = [ S <? (Рє') ?' (Рє")> ei(k'r'-k"r'> d'k' d*k". (3.3)
- РЎРћ
Спектральные амплитуды ? (к') и ?*(к") оказываются дельта-
коррелированными по к. В самом деле, в силу (3.2)
? (Рі,) I* (Рі2)> Рµ-'(Рє'Рі-Рє"Рі''dVt dY2.
Введем здесь новые переменные интегрирования r = rt — г2,
R = (г, + га)/2, для которых darLdsr2 = d3rd3R. Учитывая, что
после интегрирования по R получаем
<? (к') Г (к")> = Фс (к') S (к'-к"), (3.4)
РіРґРµ
ФС(к) = ^)з J %(г)е-^*г. (3.5)
Подставляя же (3.4) в (3.3), находим
РґР°
\ Рє'*/Рі. (3.6)
Функция Ф^(к) называется пространственной спектральной
плотностью (к-плотностью) или, короче, пространственным
1 спектром случайного однородного поля ? (г) и аналогична спек-
спектральной плотности (ш-плотности) g (ю) в теории стационарных
случайных процессов. Соотношение (3.5) представляет собой обоб-
обобщение теоремы Хинчина (ч. I, § 41) на случайные поля. Заме-
Заметим, что наряду с трехмерными спектральными разложениями
18 ОЁЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
иногда удобно использовать также одномерные и двумерные
спектральные разложения (см. задачи 2—4 в конце главы). Не-
Нетрудно убедиться, что пространственный спектр Ф;(к) является
вещественной и неотрицательной величиной. Вещественность
Фс(к) вытекает из (2.19), а неотрицательность—из положитель-
положительной определенности корреляционной функции.
В отличие от Ф^(к) взаимный пространственный спектр
»Аг)е-'к1<1*г, (3.7)
отвечающий взаимной корреляционной функции. %iV (г) двух ком-
комплексных полей ц (г) и v (г), в общем случае является комплексной
величиной.
Для четных корреляционных функций t|)t (— г) = ijjj (r), в част-
частности для функции корреляции вещественного или изотропного
поля, спектральная плотность тоже четна, Фс (— к) = Фс (к). В этом
случае т|); (г) и Ф{(к) связаны косинус-преобразованием Фурье:
ГС
fcW= \ В«*<k)coskr*fc, (3.8)
— CD
СЃРѕ
= jk? I *(г) сач kr d'r- (3-9}
— 00
В частном случае изотропного однородного случайного поля,
для которого i|'j(r) = i)5j('')) пространственная спектральная плот-
плотность зависит только от модуля вектора к. Для того чтобы это
показать, перейдем в (3.5) к полярным координатам (г, 9, ф)
с полярной осью, направленной по вектору к. Тогда кг = &r cos9
и мы получаем
1 d(p Isin e de I ^(r) e~"" cВ°s e 'Рі dr =
0
^] (3.10)
2^k]
Рѕ
Зависимость Ф{ только от k позволяет записать (3.6) и (3.8)
в более простом виде, а именно через однократный интеграл
по k. Вводя сферические координаты в пространстве волновых
векторов к (с полярной осью по вектору г), после интегрирова-
интегрирования по угловым переменным получаем
(3.11)
$3] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 19
Приведем в качестве примера значение пространственного
спектра <Dj (к) однородного и изотропного случайного поля с гаус-
гауссовой функцией корреляции (2.24):
Фс(А) = (2я)-'/.а|/»е-'/.*1'1, (3.12)
и с экспоненциальной функцией корреляции (2.25):
(ЗЛЗ)
Эти выражения можно получить при помощи любой из формул
(3.5), (3.9) или, что проще всего, (3.10).
�з этих примеров видно, что «неопределенность» (ширина)
спектра Дй обратно пропорциональна радиусу корреляции слу-
случайного поля: Aft~l//. Но I характеризует «неопределенность»
(ширину) Аг корреляционной функции, которая существенно
отличается от нуля лишь при г^;Дг~/. В результате для изо-
изотропных случайных полей можно формулировать соотношение
неопределенностей (т. е. размытостей)
AfeAr>l, (3.14)
которое является аналогом соотношения ДоДО! для случай-
случайных процессов (ч. I, § 44). Согласно (3.14) коротко коррелиро-
коррелированным полям (Дг — I мало) отвечают широкие пространственные
спектры (ДА велико), тогда как при больших радиусах корре-
корреляции ширина спектра мала.
Для анизотропных полей неопределенности (радиусы корре-
корреляции) по разным направлениям неодинаковы, и для них вместо
одного неравенства (в.14) выполняются сразу три неравенства:
Afe^Ar^l, AkvHru7s\, Skzhr2^\. (3.15)
Для иллюстрации этих соотношений можно привести про-
пространственный спектр, отвечающий гауссовой корреляционной
функции (2.29):
Ф;(к)= -^^ехр{-1(а»# + Ь«й« + с»*э} • (3.16)
Ширина этого спектра по осям kx, ky, hz обратно пропорцио-
пропорциональна соответственно величинам а, & и с, которые характери-
характеризуют масштаб изменения корреляционной функции (2.29) по осям
С…, Сѓ Рё Рі.
Для существования 4'с(г)> т- е. для существования интеграла
в правой части (3.8) и (3.11), необходимо, с одной стороны,
чтобы с ростом k спектральная плотность Ф^(к) убывала быст-
быстрее ?'. С другой стороны, при k—>-0 у спектра Ф^(к) допустимо
наличие степенной особенности вида fe~a с а < 3.
20 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
В тесной связи с условиями существования корреляционной
функции находится вопрос о требованиях, которым должен под-
подчиняться спектр дифференцируемых случайных полей. Так же,
как и в теории случайных процессов (ч. I, § 19), можно убедить-
убедиться, что необходимое и достаточное условие существования (разу-
(разумеется, в среднем квадратичном) первых пространственных произ-
производных, например v?(r)> сводится к существованию величины
<XZ («Ч) V?* (r2)> = — Лт|>? (i\—rs). (3.17)
Если подставить сюда спектральное разложение (3.6) и поло-
положить r1 = r2 = r, то условие существования у? запишется в виде
<J VS (г> |а> = — Д1>? (0) = \ Й2ФЕ (k) <Pk<oo. (3.18)
Это условие допускает при ft—>0 степенные особенности вида
©j(k)-~ft~a более высокого порядка, чем это требуется для
существования i|Jj(r): интеграл (3.18) сходится, если а < 5, тогда
как для сходимости интеграла (3.6) допустимы лишь а < 3. В то
же время условие (3.18) предъявляет более жесткое требование
к скорости убывания Ф^(к) при k—уоо. Необходимо, чтобы
Ф^ (к) с ростом к убывало, как ft" с ц > 5 (для существования
\J)j (г) необходимо лишь ц, > 3). Последнему условию не удовлетво-
удовлетворяет, например, случайное поле с экспоненциальной функцией
корреляции (2.25), поскольку его спектральная плотность (3.13)
убывает на бесконечности недостаточно быстро (как fe~4). Сле-
Следовательно, такое поле недифференцируемо.
Еще более жесткие требования при k —>- оо предъявляет
к Ф{,(к) существование у случайного поля производных п-го
порядка. �з условия <| V"? (г) |2> < оо следует, что должно вы-
выполняться неравенство
[ &2"ФЕ (k) d*k < оо, (3.19)
так что с ростом k спектр Ф^(к) должен убывать быстрее, чем
fc-з-гп Очевидно, для бесконечно дифференцируемого поля Ф;(к)
должно уменьшаться при fe-^-oo быстрее любой отрицательной
степени к, например, экспоненциально. Таким является, напри-
например, случайное поле с гауссовой корреляционной функцией (2.24).
Примером спектра, спадающего более медленно (чем по эк-
экспоненте), но быстрее любого \jkm, может служить функция
Ф? (ft) = С ехр {— (In ft)2} = Ck~^ x,
для которой при любом конечном т
&М!ФС (ft) dk = Vn exp
$.(] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 21
§ 4. Локально однородные случайные поля
Случайное комплексное поле ? (г) можно характеризовать не
только корреляционной функцией (2.1), но и так называемой
структурной функцией, которая представляет собой средний
квадрат модуля приращения флуктуационной компоненты ? (г)
поля ?(г):
Dt (г„ г2) = <\\ (г,) -\ (г,) |> >. (4.1)
Очевидно, при rt = r2 структурная функция обращается в нуль,
D5(ri> Рі,) = 0.
Если структурная функция D^^ г2) и приращение среднего
поля fc(r1} r2) = <S(r1)> —<J(r2)> зависят только от разности
Dt(r,, rJ-Dth-r,), /t(rIt r.J^/tfr,—г.), (4.2)
то такие поля называют локально однородными. Понятие локально
однородных полей ввел А. Н. Колмогоров [3, 4], а термин «струк-
«структурная функция» был предложен позднее А. М. Обуховым. Усло-
Условия локальной однородности налагают определенные ограничения
на моменты приращений ? (г), т. е. разностей значений поля
в двух точках г, и г2, а не на моменты самих этих значений
?(гх) и ?(г2). В силу полной аналогии таких полей со случай-
случайными процессами со стационарными (первыми) приращениями
(ч. I, § 56) можно было бы назвать локально однородное поле
также случайным полем с однородными приращениями, но это
название не получило распространения.
Требованию однородности величины/vfo, Г2) = <?(г,)> — <?(г,)>
можно удовлетворить,„только если среднее поле линейно зави-
зависит от г: <?(r)> = <a>r + const, где а —произвольный вектор,
который может быть и не случайным. Действительно, при ли-
линейной зависимости <Цт)> от г имеем
Ы»Ч. 1"2) = <а>(г1-г2)-/Е(г1-га).
Если у поля существует корреляционная функция ipi(rlt r2) =
= <? (О ?• (г,)>, то, согласно (4.1),
Dz(г,, г2) = i|)E (г„ г,) + i|>t(г„ г,)-фс(14, ig-ift(г„ rj. (4.3)
В частности, для одтгородного поля ?(г) имеем из (4.3)
(4.4)
Важным преимуществом структурной функции является то, что
эна может сохранять смысл и в том более общем случае, когда
корреляционной функции не существует. Ситуация здесь такая
же, как для случайных процессов (стационарные процессы пред-
22 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
ставляют собой частный случай процессов со стационарными
приращениями). Аналогия становится еще более полной, если
речь идет о локально однородных и изотропных полях. Под этим
понимаются случайные поля, у которых Dj(r) и /;(г) зависят
только от модуля вектора г = гх—г2:
?>;(Рі) = ?>5(Рі), /t(r)-ft(r). (4.5)
Второе из этих условий удовлетворяться, если <а> = 0, т. е.
вектор а обладает изотропным распределением в пространстве.
В приложениях и, в частности, в теории атмосферной турбу-
турбулентности часто можно считать равным нулю сам вектор а. Так
или иначе, среднее значение локально однородного и изотроп-
изотропного поля постоянно: <?> = const. Для однородного и изотроп-
изотропного случайного поля равенство (4.4) принимает вид
(4.6)
причем ?>?(/¦) и i]Jj(r) вещественны. Если i|'t(r) при г—>«> исче-
исчезает, то ?>Е (оо) = 2фс (0), что позволяет выразить tfc (r) через Z>j (r):
4() '/[r>()l-D:(r)]. (4.7)
Важное свойство структурной функции состоит в том, что на
нее не влияют большие по пространственной протяженности
флуктуации ?, т. е. флуктуации с характерным размером l^> r=
= | га—г, |. Обусловленные такими флуктуациями возмущения
практически одинаковы в точках гх и г2, разность ?(г,)— ?(г2)
для них мала и, соответственно, мал их вклад в D^(r). Корре-
Корреляционная же функция в равной мере учитывает флуктуации
любого масштаба. �менно поэтому использование структурной,
а не корреляционной функции оказывается физически оправдан-
оправданным в тех случаях, когда крупномасштабные флуктуации поля
не сказываются на интересующих нас явлениях. Это вовсе не
означает, что такие флуктуации отсутствуют. Напротив, их доля
в результирующих флуктуационных возмущениях может быть
даже велика, но для наблюдаемых явлении они несущественны.
Примером может служить статистическая теория развитой
турбулентности [1, 2], т. е. такого вихревого движения газа или
жидкости, в котором присутствуют вихри с очень широким диа-
диапазоном размеров I. Наиболее интересными по своим внутренним
закономерностям здесь оказываются вихри, значительно усту-
уступающие по размерам тем наиболее крупным вихрям (размера Lo,
так называемого внешнего масштаба турбулентности), которые
порождены первичным потоком и еще сильно зависят от его
геометрических и кинематических особенностей. �менно для
субдиапазона 1<^LO A. H. Колмогоров ввел понятие локальной
однородности случайного поля и предложил для его статисти-
54 Локально однородные случайные поля 23
ческого описания функцию ?>g, которая просто исключает крупно-
крупномасштабные неоднородности из рассмотрения.
Тем самым, предположение об однородности, если оно де-
делается для ?)j, гораздо менее обременительно, т. е. оно позво-
позволяет охватить класс случайных полей (локально однородные
поля) более широкий, чем такое же предположение для фЕ (одно-
(однородные поля).
Обратимся к пространственным спектральным разложениям
локально однородных полей. По аналогии со спектральными раз-
разложениями для процессов со стационарными случайными при-
приращениями (ч. I, § 56) имеем
Dt (г) = 2 J Ф; (k) (I —cos кг) dsk. (4.8)
�нтеграл (4.8) сходится, если при k—>-0 спектр Ф{(/г) имеет
степенную особенность вида k~a с а < 5, тогда как существова-
существование i)i[(r) обеспечено лишь при а < 3.
Формула обращения разложения (4.8) в случае^локально од-
однородных полей получается несколько.[более сложным путем,
чем для однородных^ полей, Сначала^надо продифференциро-
продифференцировать (4.8) по г и только после этого применить обратное пре-
преобразование Фурье. Мы получаем тогда, что
(4.9)
Для изотропного поля, переходя в (4.8) и (4.9) к сферическим
координатам и учитывая, что kV-Dj (г) = kr D' (г)/г (штрих обозна-
обозначает производную по г), находим
()В©t(A)ft>dft, (4.10)
09
=-~ В§ (sm kr-kr cos kr)Di(r) dr. (4.11)
0
Рассмотрим в качестве примера локально однородного и изот-
изотропного поля пространственные флуктуации диэлектрической
проницаемости е турбулентной атмосферы. Структурная функ-
функция этих флуктуации
О. (г) — <| 5 (rj —i (г.) |«>
подчиняется при достаточно больших г «закону двух третей»
Колмогорова —Обухова [1]:
Oe(r)В«C|rV., r>/0> (4.12)
24
ОВЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
(ГЛ. 1
где Се—так называемая структурная постоянная, а ^—внутрен-
^—внутренний масштаб турбулентности1). При малых, же г, т. е. г<^/0,
структурная функция нарастает по квадратичному закону:
Л.(г)«СУ.-'ЛЛ r^t,. (4.13)
Внутренний масштаб 1„ входит в формулы (4.12) и (4.13) так,
что значения обоих асимптотических выражений одинаковы при
Рћ I
Р РёСЃ. 1.
r —Iq. Соответствующие графики показаны на рис. 1 пунктир-
пунктирными кривыми, а сплошной линией изображен реальный ход
структурной функции ?>8(г).
Подобрать слекгр, отвечающий реальному ходу структурной
функции De(r), можно из следующих соображений. Для степен-
степенной структурной функции
РЎ*РіВ», 0<|С…<2, (4.14)
(4.15)
(4.16)
пространственная спектральная плотность равна [1]
так что «закону двух третей» (|л = г/8) отвечает спектр
С„, (Рє) =
Р“ В¦('
C\k-"i> = 0,033C|fe-"/..
Для того чтобы получить квадратичный ход Ds (r) при малых
значениях г<^1а, следует подавить спектральную плотность (4.16)
1) В противоположность внешнему масштабу Ц внутренний масштаб /„ •
это наименьший размер вихрей. Возмущения с / < /0 уже ламинарны.
§ 41 ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 25
при больших значениях /г^>1//„. Физически эта операция ото-
отображает диссипацию турбулентных вихрей из-за вязкости, когда
их масштаб l/fc становится малым (l/fe<^f0). Подавление плотно-
плотности (4.16) при больших k можно осуществить, например, путем
введения множителя e~k'lv'm, т. е. полагая
/В»e-6V'u. (4.17)
Получаемая отсюда структурная функция De{r) будет обладать
требуемой асимптотикой (4.12), (4.13), если параметр обреза-
обрезания хт взять равным б,92//0. Она хорошо описывает турбулент-
турбулентное поле при не слишком больших значениях г—не превышаю-
превышающих внешнего масштаба турбулентности Lo. В действительности
же при r^>L0 структурная функция «насыщается» (см. рис. 1)
и стремится к конечному значению, которое удобно записать
РІ РІРёРґРµ
De(oc) = ClLl>\ (4.18)
Если значение Lo вводится таким путем, то кривая (4.12) пере-
пересекает уровень De — De(<x>) как раз при r=La. Согласно (4.6)
предельное значение (4.18) равно 2сг|—удвоенному среднему
квадрату флуктуации: C|Z/0/' = 2o|.
В результате мы приходим к тому, что структурную функ-
функцию Dc(r) можно аппроксимировать на отдельных интервалах г
следующими функциями:
=2el (r/L0)''В». /0<-g/-<gLg, (4.19)
Ограниченность структурной функции при г —>• оо можно от-
отразить и в (4.17), заменив множитель ft-"/» на (ft'+ »<$)-".'•, где
xo — 2nlLo—волновое число, отвечающее внешнему масштабу тур-
турбулентности. При такой замене, т. е. при спектральной плотно-
плотности
Фе (ft) = 0,033C| (ft2 + xj)- "/«<Г*!/К«, (4.20)
значения интегралов (4.8) и (4.10) будут конечны при любых г.
Конечно, поведение флуктуации е в реальной турбулентной
атмосфере подчинено более сложным закономерностям, чем при-
приведенные здесь аппроксимации. Тем не менее формула (4.20)
достаточно хорошо описывает пространственный спектр турбу-
турбулентных флуктуации е во многих задачах радиофизики.
Систематическое изложение вопросов, относящихся к стати-
статистической гидродинамике, можно найти в монографиях [1, 2].
26 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
§ 5. Квазиоднородные поля
�деализация реальных неоднородных случайных полей при
помощи рассмотренных выше локально однородных полей, описы-
описывающих довольно специальный вид уклонений от однородности,
далеко не всегда применима. Поэтому особое значение приобре-
приобретает рассмотрение и других специальных случаев нарушения
однородности. Сюда относится, в 'частности, класс полей, не-
неоднородность которых в определенном смысле пространственно
медленна, или, иначе говоря, плавна, а в остальном произвольна.
Это так называемые статистически квазиоднородные поля, т. е.
поля с плавно меняющимися статистическими характеристиками —
средними значениями, дисперсиями и т. д. Очевидно, они пред-
представляют собой пространственный аналог квазистационарных
случайных процессов, рассмотренных в ч. I, § 57,
Согласно (2.6) в общем случае корреляционная функция свя-
связана с коэффициентом корреляции К,% соотношением
rl, rt),
которое в координатах т = т1 — г2 и R = (r1 + r2)/2 принимает вид
2)cc(R-r/2)/CE(r, R). (5.1)
Если 1%— радиус корреляции поля ? (масштаб изменения Kj(r, R)
по разностному аргументу г = г1—г,), а L—характерный масштаб
изменения дисперсии <з\, среднего поля <?> и коэффициента кор-
корреляции /<? по аргументу R, то для квазиоднородных полей
выполняется неравенство
(5.2)
В силу (5.2) можно заменить в формуле (5.1) произведение
U;(R +г/2) <t^(R—г/2) на о|. Такая замена безусловно справед-
справедлива внутри сферы радиуса г^.1^, что же касается пространства
вне этой сферы, то там значение множителя при /Cj несущест-
несущественно, так как А^(г, R)—>-0 при г^>/г. Таким образом, мы при-
приходим к следующему выражению для функции корреляции квази-
квазиоднородного поля:
R). (5.3)
Поскольку квазиоднородность представляет собой нарушение
строгой однородности, дельта-корреляция спектральных ампли-
амплитуд Цк) теперь уже не имеет места, подобно тому как нет
дельта-корреляции для со-амплитуд в случае квазистационарных
случайных процессов (ч. I, § 57).
Рассматривая спектральные разложения'таких процессов (ч. I,
§ 57), мы выяснили, однако, что в случае квазистационарных
процессов определенный физический смысл приобретает мгновен-
S 61 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 2?
ный частотный спектр g(<a, t), получающийся при спектральном
разложении функции корреляции i]) (т, t) только по «быстрой»
переменной x = tt —12. To же справедливо и для квазиоднород-
квазиоднородных полей. Записав преобразование Фурье только по разностной
переменной г = Г! — гг:
¦ф;(г, R)= $ ФЕ(к, R)eikr*fe, (5.4)
можно рассматривать величину
С„; (Рє, R) - С‰$Рі J ^ (r- R) e"'"r dv <5-5)
как локальную пространственную спектральную плотность, ко-
которая медленно меняется от одной точки R к другой (с харак-
характерным масштабом L§>/^).
Естественно, напрашивается сочетание обоих видов нарушения
пространственной однородности, т. е. локальной однрродности
и квазиоднородности. Такого рода поля можно было бы назвать
локально квазиоднородными, определив их как поля, первые при-
приращения которых квазиоднородны. Примером локально квазиодно-
родното (и изотропного) поля может служить рассмотренное
в [1] поле флуктуации диэлектрической проницаемости в (г)
в плавно неоднородной по высоте г турбулентной атмосфере.
§ 6. Пространственно-временные спектральные разложения
случайных полей
До сих пор мы отвлекались от временной зависимости слу-
случайных полей с тем, чтобы оттенить особенности, обусловленные
зависимостью полей от нескольких пространственных координат
и отсутствующие у однопараметрических случайных функций.
Конечно, при учете зависимости случайных полей также от
времени возникает ряд новых возможностей в отношении раз-
различных комбинаций пространственных и временных статистиче-
статистических свойств поля J (t, r) (стационарности по t, однородности
по г и разных видов отклонений от стационарности и однород-
однородности), о чем мы уже упоминали в § 1. Однако использование
четырехмерных (пространственно-временных) гармонических раз-
разложений t, (t, г) с формальной стороны осуществляется довольно
очевидным образом и соответствующие обобщения вряд ли тре-
требуют подробного описания. Мы приведем лишь некоторые наи-
наиболее важные соотношения и формулы, которые понадобятся нам
в дальнейшем.
28 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
Запишем для флуктуации одномерного случайного поля ? (/, г)
четырехмерное спектральное разложение:
Рі) = Р�
где?(о>, к)—шк-амплитуда (точнее, амплитудная плотность) поля,
иногда обозначаемая ?^к. В отличие от ч. I, где в гармонических
разложениях процессов вводился временной фактор е'^', в дан-
данной части книги зависимость от времени мы будем описывать
множителем е~ш, так как при рассмотрении волновых явлений
удобнее оперировать с пространственным гармоническим мно-
множителем е1кг, а не e~ikr. В связи с этим при использовании тех
или иных комплексных выражений из ч. I надо заменять в них
«со на —ш.
У однородного и стационарного случайного поля спектраль-
спектральные амплитуды ? (<&', к') и ? (со", к") дельта-коррелированы как
по ш, так и по к:
<?(<в', к')?*(ю\ k°)> = Gt(w', к')б(ш'—w")fi(k' —к"). (6.2)
Здесь Ge(g>, к) — пространственно-временной спектр поля (или
wk-плотность), который всегда неотрицателен. �ногда представ-
представляют этот спектр в виде G[(w, к) = |?Шк|2, но следует помнить,
что это лишь иное обозначение множителя при дельта-функциях.
Пространственно-временная корреляционная функция Ч^ (т, г)
связана с юк-плотностью Gj(<o, к) преобразованием Фурье:
ЧЧ(т, г) =
= 55°г(ш. k)e((kl-'«)dcod3fe (6.3)
(обобщение теоремы Хинчина). Обратное преобразование Фурье:
G;(eo, k)=—L-fCY^T, г) е-1 »'-<«) dtd'r. (6.4)
В случае четной корреляционной функции, *F(— т, —г) = гР'(т, г),
экспоненту в этих разложениях можно заменить на cos (кг—<вт).
Через wk-плотность Gj(oa, к) можно выразить как простран-
пространственный Ф^(к), так и временной (частотный) gf(oJ) спектры
случайного поля:
Р¤{(Рє)= J G:(ft), k)Ae= J VE(0, r)e-(krdV, (6.5)
— oo — cc
CO В»
5 )d<>fc= J ^((С‚, O)e(UTdT. (6.6)
§61 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 29
В качестве примера рассмотрим поле с так называемыми
«замороженными» неоднородностями, т. е. поле, в котором все
временные изменения ?,(t,t) обусловлены только перемещением
пространственных возмущений х (г) с постоянной скоростью V.
Если покоящееся однородное случайное поле v (г) описывается
пространственной корреляционной функцией 1|\(г), то при не-
нерелятивистских значениях скорости1) ?(/, r) = v(r — \t), и тогда
У;(Т, Г) = ЫГ-УТ). (67)
Подставляя (6.7) в (6.4), находим простую связь между ик-
плотностью Gj(w, к) «замороженного» поля 1,(1,т) и простран-
пространственной спектральной плотностью <t>v (k) покоящегося поля v (г):
Gc(o), k)=(l\,(k)8(w — kv). (6.8)
При помощи (6.5) и (6.8) легко убедиться, что
Р¤;(Рє)=Рћ\,(Рє), (6.9)
т. е. пространственные спектры полей ?(/, г) и v (г) совпадают.
Что же касается временного спектра флуктуации t(^,r),. то из
(6.6) и (6.8) находим
= j dkn
где k\\ и k^—продольная и поперечная (по отношению к век-
вектору скорости v) составляющие волнового вектора к. Выражение
(6.10) упрощается в случае изотропного поля v(r), когда
<DV (Ац, kx) = ®v(VAft|| + fe'i). Переходя в (6.10) к полярным коор-
координатам и вводя вместо fej_ новую переменную интегрирования
x = ]/(co/t')2 + fe^, получаем
J В«Wxdn (6.11)
I Рћ I/O
Дифференцируя (6.11) по ш, нетрудно выразить пространственный
спектр замороженного изотропного поля ФЕ (к) = Ф7 (fe) через
частотный спектр ()
(6.12)
Об особенностях релятивистского случая см. в задаче 7.
30 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Й О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
Формулы типа (6.11) и (6.12) часто используются при анализе
полей, которые можно с достаточной точностью считать заморо-
замороженными.
Сказанное выше относительно спектральных разложений одно-
одномерных полей легко переносится на многомерное поле ?"'*(/, г)
(i=l,2, . . ., п). Наиболее простыми свойствами обладают поля
однородные и однородно связанные (в широком смысле) в прост-
пространстве Q = (t, г).
В случае векторного поля t,U) элементы корреляционной матри-
матрицы Ч"$ трансформируются при ортогональных преобразованиях
координат как компоненты л-мерного тензора второго ранга,
т. е. можно говорить о корреляционном тензоре векторного поля.
Для однородных и изотропных векторных полей доказан ряд
изящных теорем, часть которых сформулирована в задачах
8—10.
Разложение многомерного случайного поля t,U)(t,r) в инте-
интеграл Фурье имеет вид, аналогичный (6.1); при этом для одно-
однородного и стационарного поля выполняется равенство
<?,•(«', k')S/K> k")> = G(,5'(«>', k')6(w' — (o")8(k' — k"), (6.13)
которое естественно приводит к обобщению теоремы Хинчина
на многомерные пространственно-временные поля:
СЃРѕ
Р§"# (С‚, Рі) = f ? Gft (СЃРѕ, Рє) Рµ'<РєРі-С€" dm d'k (6.14)
с обратным преобразованием
(Рё, Рє) = JL-JJy#(t, r)e-В«*-">dx#r. (6.15)
Корреляционная матрица многомерного поля Tjp положи-
положительно определена. Отсюда вытекает, что диагональные компо-
компоненты матрицы (ok-плотности вещественны и неотрицательны:
G'Jj'fffl, к)!> 0. Недиагональные же элементы в общем случае
комплексны.
Отметим теперь следующее существенное обстоятельство. Об-
Область интегрирования по а и к в разложениях Фурье самих
полей, равно как и их корреляционных функций (6.3) и (6.14),
вообще говоря, четырехмерна. Но в том случае, когда рассмат-
рассматриваемые поля удовлетворяют некоторым динамическим уравне-
уравнениям (в частности, волновым уравнениям) в однородной и ста-
стационарной среде, свободной от источников (т. е. сами уравнения
однородны), то а и к уже не независимы, а подчинены так на-
называемому дисперсионному уравнению:
Рђ (РґР°, Рє) = 0. (6.16)
j6} ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ РАЗЛОЖЕН�Я 31
Это уравнение следует из требования, чтобы плоская монохро-
монохроматическая волна exp (tkr—Hot) была собственной волной, т. е.
была частным решением динамических уравнений.
Говоря на геометрическом языке, дисперсионное уравнение
описывает в пространстве (со, к) некую трехмерную гиперповерх-
гиперповерхность—дисперсионную поверхность, — которая может быть и
многолистной (например, в анизотропной среде). Вне точек этой
гиперповерхности cok-амплитуды полей равны нулю, а значит,
равны нулю и спектральные плотности в (6.3) и (6.14). Другими
словами, t(1)(u), k) и С$'(ю, к) содержат множителем дельта-функ-
цию 6[Д(со, к)] и, соответственно, снижается кратность инте-
интегралов Фурье: они распространяются фактически только, на дис-
дисперсионную поверхность (всю или ее участки), т. е. на со и к,
удовлетворяющие дисперсионному уравнению. Уже в следующей
главе мы непосредственно столкнемся с этим обстоятельством.
В тех случаях, когда стационарное поле ? (t, г) является,
как функция от t, эргодическим (ч. I, § 20), угловые скобки
в предыдущих выражениях можно трактовать (в смысле вероят-
вероятностной сходимости) как усреднение по времени, т. е. считать,
например, что для произвольной детерминированной функции
практически справедливо равенство
С‚
r)]>= Ш^ЩГ^^^^г J f[t,(t, г)] Л, (6.17)
причем для получения средних по ансамблю путем временного
усреднения можно с достаточной точностью ограничиваться ко-
конечными Т, существенно превышающими время корреляции
~РєРѕСЂ-
7>W (6-18)
Наряду с эргодичностью по времени, можно ввести понятие
пространственной и пространственно-временной эргодичности.
Так, для однородных пространственно эргодических полей сред-
средние по ансамблю «совпадают» в смысле сходимости по вероят-
вероятности со средними по пространству. Практически это означает,
что_ для произвольной детерминированной функции / можно счи-
считать справедливым равенство
где V—пространственная область, по которой ведется усредне-
усреднение. Предельный переход V—-*оо опять-таки может быть при-
приостановлен на областях V, поперечник [которых L велик
по сравнению с радиусом корреляции lz, т. е. выполняется
32 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
неравенство, аналогичное (6.18):
Р› ~ V'/С„./Р•. (6.20)
О пространственно-временной эргодичности стационарных и
однородных полей говорят тогда, когда имеет место сходимость
но вероятности как при Т—>-оо,таки при V—>», что практи-
практически означает одновременное выполнение равенств (6.17) и (6.19).
Возможны также случаи, когда поле ? (t, г) является эргодиче-
ским только по части пространственных аргументов, например
только в плоскости (х, у) или только на поверхности сферы.
Наконец, иногда удобно пользоваться понятием квазиэргоди-
ческих полей, которые находятся по отношению к эргодическим
полям в таком же положении, как квазиоднородные поля по
отношению к однородным. �ными словами, эти поля являются
эргодическими лишь в объемах, малых по сравнению с харак-
характерными масштабами L; изменения статистических характеристик
поля (среднего значения, дисперсии и т. д.). В отличие от (6.19),
область пространственного усреднения для квазиэргодических
полей должна быть ограничена сверху масштабом Lj, но при
этом должно по-прежнему выполняться неравенство (6.20). Сле-
Следовательно, о квазиэргодичности полей можно говорить лишь
при таких условиях, когда можно ввести объем усреднения V,
который удовлетворял бы двухстороннему неравенству
Ll>V'/-$>lt. (6.21)
В феноменологической физике V называют обычно «физически
бесконечно малым объемом». Этот объем должен быть, с одной
стороны, достаточно малым, чтобы в его пределах исследуемые
поля были статистически однородными (в механике и электро-
электродинамике сплошных сред обычно требуется лишь постоянство
в объеме V средних полей), а с другой — настолько большим,
чтобы в пределах V поле ? испытывало достаточно много про-
пространственных флуктуации.
В физике сплошных сред под /j следует понимать среднее
расстояние между источниками возмущений, которыми могут
быть отдельные молекулы, дислокации, вкрапления и т. д. Если
п — концентрация молекул (или других возмущающих объектов),
то /j ~ п.-'/•, и тогда неравенство У'»^-/; принимает видя�^>1,
что и отвечает большому числу молекул в физически бесконечно
малом объеме V. При выполнении этого неравенства усреднение
по ансамблю молекул можно заменять усреднением по малой
пространственной области V. Таким образом, в макроскопической
физике существенно используется предположение о пространст-
пространственной квазиэргодичности тех или иных полей, характеризующих
состояние сплошных сред.
$ 7] ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 33
§ 7. Функциональный метод описания случайных полей
Как мы знаем, полное описание вещественной случайной
величины ? дается ее характеристической функцией фе(и) =
= <ехр (iti%f>, при помощи которой можно найти как плотность
вероятностей |, так и моменты разного порядка, а также ку-
кумулянты.
Для W-мерной случайной величины ? = {|„ .--. 5дг} характе-
характеристическая функция имеет вид <p$(«) = <exp(fu$)>, где и? =
N
= 2 иЛ/ и тоже содержит всю информацию о совокупности
случайных величин 1, (ч. I, § 9).
При рассмотрении общих вопросов, обсуждаемых в данном
параграфе, целесообразно отказаться на время от ограничения"
числа параметров, от которых зависят интересующие нас функ-
функции, и'вернуться от четырех координат х, у, г, t к п-мерному
пространству параметров х= {х^ хп). Пусть \ (*„ ..., хп) =
= |(х)—вещественное случайное поле в этом пространстве
(в частном случае единственного параметра, п=1, мы будем,
как и ранее, обычно считать, что параметр х является временем t).
Рассмотрим теперь другой, по существу равносильный, но во
многих задачах более удобный и лаконичный способ задания
случайных функций—при помощи так называемых характери-
характеристических функционалов. Убедимся прежде всего, что полное
вероятностное описание поля |(х) дается характеристическим
функционалам
ФГ«]«(ехр {*$!(*) «(*)*<}). dx = dXl...dxn. (7.1)
Здеськ(х)—произвольная функция, для которой интеграл в (7.1)
сходится при всех возможных реализациях S (х). Функция а (х)
заменяет дискретную совокупность переменных и = {ц1? ..., и^},
от которых зависит характеристическая функция для jV-мерной
случайной величины !={ii, ..-, ?яЬ Подчеркнем, что/функцио-
нал Ф\и] должен быть известен для любой функции «(х).
Зная Ф\а\, можно получить характеристическую функцию
для любой совокупности случайных величин |( = 1 (хт), .... ?у=
«= |(хл.). Для этого достаточно взять в качестве аргумента «(х)
функционала Ф[м] функцию вида
f«y(*) = «i8*(x—х,) + ... + Uffi (x—xN).
РўРѕРіРґР°
2 С, М. Рытоя н др. 1. II
34 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. 1
и функционал Ф[и\ превращается в характеристическую функ-
функцию ^-мерной случайной величины {^ %N}, т. е. значений
поля ? (х) в N точках xt, ..., х^:
Но характеристическая функция ф(и,, ...,un) позволяет, как
мы знаем, найти ^-мерную плотность вероятностей a>yv(En • • • > 5лг)-
Тем самым, ясно, что характеристический функционал Ф[и] одно-
однозначно определяет плотности wN(?,,, ..., |^) при любом N и при
любом выборе точек xt, ...,хл-, т. е. полностью определяет слу-
случайное поле ? (х).
Зная функционал Ф[ы], мы можем найти также моменты
(в частности, корреляционные функции) и другие статистические
характеристики случайного поля |(х). Однако для этого необхо-
необходимо уметь дифференцировать функционал Ф[и] по функциональ-
функциональному аргументу ы(х). Поэтому часть этого параграфа будет по-
посвящена чисто математическим вопросам, касающимся функ-
функционалов.
Прежде всего дадим оби^ее определение функционала. Мы
говорим, что функционал задан, если установлено правило, по
которому каждой функции, принадлежащей области определения
функционала, сопоставлено число, называемое значением функцио-
функционала на этой функции. Приведем некоторые примеры функцио-
функциоFN\u] = \ АА,(х„ ..., хЛ,) и (х2) ... и (хд,) dx,... dxN,
Фо [и] = ехр {—\/2 \ I i|j (х,, х.) и (х,) и (х,) dx, dx.) .
Здесь FJu]—линейный функционал, FN[u] функционал ЛГ-й
степени, Фо[«]—гауссов функционал (ниже будет показано, что
Фо[«] — характеристический функционал для гауссовых случай-
случайных полей). Отметим, что функционал зависит от вида функции
и (х) в целом (т. е. от ее поведения во всем пространстве х),
в силу чего в обозначении F \и\ мы не пишем явно зависимости
и от ее аргумента х. В тех случаях, когда на эту зависимость не-
необходимо указывать, мы будем отмечать аргумент функции и
тильдой: F[u(%)]. Однако при такой записи следует иметь в виду,
что сам функционал F не зависит от х (подобно тому как в тен-
тензорной алгебре величина xkuk не зависит от «немого» индекса
k — индекса суммирования).
Рассмотрим значения одного и того же функционала F для
двух различных «значений» его аргумента, а именно для функций
„j ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 35
и(х) и а(х) + би(х). Будем при этом считать, что функция 6и (х)
отлична от нуля лишь в некоторой области Дх вокруг точки х„.
Функциональной (или вариационной) производной функционала
F [и] в точке х0 называется предел
+ WFM
конечно, при условиях, что этот предел существует и не зависит
ни от вида 6и (х), ни от способа стягивания к нулю объема
области j Ax|, ни от закона, по которому стремится к нулю
максимум модуля функции би(х). Приведем некоторые примеры.
Найдем функциональную производную линейного функцио-
функционала Ft [и] = J А (х') и (х') dx' в точке х„. �меем
FJu +6Рё\ = \ Рђ (С…') [Рё (С…')+6Рё (С…')] dx',
так что
РђС… РђС…
Применяя теорему о среднем к интегралу в числителе, находим
где точка xt принадлежит Д-окрестности точки х„. Переходя
к пределу при |Дх|—>-0, получаем
(x')U(x')dxl = A(xa). (7.3)
Такимjже образом производится дифференцирование и более
сложных функционалов (см. задачу 13).
Выберем в качестпе 6ц (х) функцию би(х) = Хб(х—х0) (как и
ранее, 6(х—х,) = 6(*,—*„).. .6(*„—О)- Тогда j 8« (х') dx'= Я
и, согласно (7.2),
(7Р›)
Зб ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. 1
Формула (7.4) сводит операцию вычисления функциональной
производной к обычному дифференцированию.
Приведем теперь формальные правила функционального диф-
дифференцирования, аналогичные обычным правилам.
Если At и А% не зависят от и, то
Далее,
Пусть /(г)—функция от г. Рассмотрим функционал вида ср[и]
= f{F[uj) (функция от функционала). Тогда
где f'=i-4"l —обычная производная функции f по ее аргу-
аргументу. Формулы (7.5)—(7.7) непосредственно следуют из (7.4).
Наконец, положив в (7.3) i4(x') = 6(x'—xj, получаем
С….). (7.8)
Формулы (7.5)—(7.8) позволяют, не прибегая к формальному
определению (7.2) операции функционального дифференцирова-
дифференцирования, дифференцировать большинство функционалов, с которыми
приходится встречаться в конкретных задачах. В частности, из
(7.5) следует, что можно производить дифференцирование
функционалов под знаком интеграла или производной.
В качестве еще одного примера найдем функциональную про-
производную от гауссова функционала:
В соответствии с (7.7) получаем
На основании (7.5) дифференцируем под знаком интеграла, ис-
используя при этом формулы (7.6) и (7.8):
+ u (xj 6 (х,—х)
j ФО М11» (х. х') + * (х', ж)]и (х') ix'.
ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 37
В данном примере можно считать, что ^(х,, х,) = ф(ха, х,),
так как несимметричная часть ty (х„ ха) не вносит вклада в функ-
функционал, поскольку .интеграл от произведения несимметричной
функции на симметричную и (xt) и (xs) равен нулю. Поэтому полу-
полученную производную можно записать короче:
Функционал F\u-\-v\ можно разложить в функциональный
ряд Тейлора по v(ic) (см., например, [1J, приложение I):
(7.9)
Подобно операторной записи формулы f (х+Ъ)=ехр i^-g^
для обычного ряда Тейлора, удобно записать и формулу (7.9)
в операторном виде:
В фигурных скобках мы имеем степенное разложение экспоненты,
так что
\В§^}[u]. (7.10)
Вернемся к характеристическому функционалу (7.1) и подей-
подействуем на него оператором тНиш ' ^ыполняя дифференцирова-
дифференцирование под знаком среднего, находим
Таким образом, оператор у 6ц, у , действуя на Ф [и], вводит под
знак усреднения множитель ?(х'). Повторяя эту операцию, при-
приходим к* формуле
1 6 1 6 ~,Рі 1
x'}). (7.12)
38 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
Если теперь положить здесь и = 0, то получим
(7.13)
Таким образом, моменты (7.13) случайного поля ?(х) мож-
можно находить как значения функциональных производных харак-
характеристического функционала при нулевом значении его аргу-
аргумента.
Если разложить экспоненту в (7.1) в ряд и записать k-ю
степень интеграла в виде ft-кратного интеграла, то получится
формула
(7.14)
представляющая собой разложение характеристического функ-
функционала Ф[«] в функциональный ряд Тейлора.
Рассмотрим теперь функционал В[и] = 1пФ[и], так что Ф[«] =
= ехр{0[«]}. Разложение в[и] в ряд Тейлора определяеткуму-
лянтные (или корреляционные) функции различных порядков:
СЃРѕ
РІ ["] = 5L "Р�" f Р§>* (xl xk)u{xl)...u{xk)dx1...dxk. (7.15)
Кумулянтная функция ?-го порядка (А=1, 2, .. .) определена
формулой
, 1 РІРњРїВ«^Рё]_ (7]6)
T*W1 ' " /* &и{^...Ьи(щ
аналогичной формуле для к}'мулянтов случайной величины. �з
(7.13) и (7.16) вытекает связь между моментными и кумулянт-
ными функциями (см. задачу 16). В частности,
Выше мы рассмотрели несколько примеров функционалов
общего вида. Обратимся теперь к примерам характеристических
функционалов.
1) Пусть %{х)—нормальное случайное поле. Обозначим через 3
интеграл
Тогда характеристический функционал Ф0{и] запишется в виде
7] ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 39
{нтеграл от гауссовой случайной функции является гауссовой
лучайной величиной, что позволяет сразу же написать штотноаь
(ероятностей для 3'-
4з выражения для З очевидно, что параметры 1 г о' =
=<{3—J?)'> = <(.?)"> этого распределения выражаются следую-
цим образом:
РѕР° = 5 5 % (С…Рі, С…2) Рё (xj Рё (С…Рі) cfxjdxa.
Вычисляя теперь <ехр (t'J?)>, получаем известный результат:
а подстановка выражений для 3? и с2 дает
Фо [и] = ехр | i j f(x) и (х) dx—
-jjj%(*,. з^аЮи^^Лц}.. (7.18)
Отсюда следует, что
= I 5 РўР© Рё (С…) dx-V, 5 5 Р§>8 (В«1. С…2) Рё (С…,) Рё (С….) dx,ixa. (7.19)
Сопоставление (7.19) с (7.15) показывает, что для гауссовых
случайных полей все кумулянтные функции выше второго по-
порядка равны нулю.
Центральные моменты нормального случайного поля обладают
следующими свойствами (ч. I, задача 6 к гл. II):
<!,--• !,*+,> = О, h^i(Xi),
<!х- • •!,*>= S <L,U>- ¦ ¦ dh.-ti»,^. (72?)
где р. п. под символом 2 означает, что суммирование произво-
производится по всем возможным разбиениям индексов 1, 2, ...,2k на
пары. Нетрудно подсчитать, что число слагаемых в сумме, вхо-
входящей в (7.20), равно (2k— 1)11 = 1 -3-5.. ,(2fe—1). Например,
РїСЂРё fe=2
40 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ (ГЛ. 1
Аналогичная формула для шестого момента содержит ^слагае-
^слагаемых. Определения гауссова поля (7.18) и (7.20) равносильны
(см. задачу 17).
2) Пуассоновское случайное поле строится следующим образом.
Рассмотрим сначала конечную область V пространства парамет-
параметров x={xlt ..., хп\. Пусть т.—случайная величина, распреде-
распределенная по закону Пуассона Р(т) = (т)яе-т\т\, где т— среднее
значение т. Выберем в V случайным образом т точек xlt ..., хт,
считая, что плотность вероятностей для координат каждой из
этих точек равна V'1 при xftgV и нулю вне V и что коорди-
координаты всех т точек статистически независимы. Возьмем, далее,
т случайных величин Аг, ..., Ат, взаимно независимых и имею-
имеющих одинаковую плотность вероятностей w(A), а значит, и
характеристическую функцию %(Х). Пусть g(x)—фиксированная
детерминированная функция. Пуассоновское случайное поле мы
определим теперь формулой
С…*). (7.21)
Согласно построению в (7.21) содержатся следующие случайные
параметры: «амплитуды» Ак, положения «центров» хк и число
слагаемых т. Мы распространяем здесь на случай поля в п-мер-
ном пространстве параметров х то, что в ч. I было сделано для
однопараметрических случайных функций, т. е. для случайных
процессов'(см., в частности, ч. I, гл. II).
Характеристический функционал случайного поля (7.21) имеет
вид (см. задачу 18)
Р¤[Рё] = exp {v J [РҐ ( Jg(С…-С…') Рё (С…) dx)-l] dx'}, (7.22)
где v — m/V—средняя плотность случайных точек. Область V
в (7.22) можно считать и неограниченной (V—>-оо, m—>-<» при
v = m/V = const).
�з (7.22) нетрудно вывести кумулянтные функции пуассо-
новского случайного поля (см. задачу 19). Они имеют вид
x)...g(x(k-x)dx. (7.23)
Гауссово случайное поле можно получить из пуассоновского,
если определенным образом устремить в бесконечность v, умень-
уменьшая в то же время «амплитуды» А (см. задачу 20).
При решении многих физических задач возникает необходи-
необходимость вычисления величин вида <|(x)i?[|]>, где R [?] — некото-
некоторый функционал от случайного поля I (х). Выведем, следуя ра-
работе [5], полезную формулу, позволяющую находить эту величину.
$ 7] ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД
Рассмотрим среднее значение выражения
где т) = ^'(х)—некоторая детерминированная функция. Восполь
зовавшись формулой (7.10) для ряда Тейлора, представим функ
ционал R[1-j-i\]b виде
РўРѕРіРґР°
Разделив и умножив это равенство на оператор
(он коммутирует с входящим в (7.24) оператором), получаем
Введем функционал Q, зависящий от функции и (х) и кроме того,
являющийся обычной функцией параметра х:
01*. и] «Ц rV TV1- <7-26)
С его помощью можно записать (7.25) в виде
где в последнем сомножителе неслучайная величина R [у\] вве-
введена под знак усреднения. Снова воспользовавшись формулой
(7.10), получаем
или, внося неслучайный оператор под знак среднего,
42 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. ]
Поскольку функционал R зависит лишь от суммы ц + Е, можно
заменить оператор дифференцирования по г) оператором диффе-
дифференцирования по §. Таким образом,
причем здесь уже можно приравнять вспомогательную функцию
t\ нулю. Это приводит к окончательной формуле, полученной
В. �. Кляцкиным [5]:
Р¦[|?][|]). (7.27)
Функционал Й[х, и] можно, согласно (7.26), (7.11) и (7.1),
выразить через логарифм характеристического функционала поля
? (х) следующим образом:
1 61пФ[«1 1 беМ у28,
ы{х) - ; 6и(х) — i fiH(x) • V-Z°>
Воспользуемся теперь разложением (7.15) функционала 0
по кумулянтным функциям. Дифференцируя (7.15), получаем
с учетом результата задачи 13
S (k-[)] f'M*' XX. • • ¦ . X*-l
Заменив здесь «(х,) на -г.. . и подставив результат в (7.27),
находим
<! (С…) R [|]> = X -jjrijr J Р¤* (*
Рассмотрим частный случай гауссова поля ?(х), у которого
Ф» = Ф4— • • • =0 и, следовательно, в (7.29) остаются только два
первых слагаемых с i|\(x) = ?(x) и i))2(x, х') = г|3|(х, х'):
<iwСЏ 1Р•]>-
Формула (7.30) была получена К- Фуруцу [6J, Е. А. Новиковым
[7] и М. Д. Донскером [8].
j7j ФУНКЦ�ОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 43
Укажем, как изменятся некоторые из предыдущих формул,
если рассматривать совокупность N случайных полей (Af-мерное
поле) ?i(x)> •••,5дг(х). Характеристический функционал опреде-
определяется тогда формулой
ФК ...,«w]-(exp|<|jJ«»(x)6»W«ix|). (7.31)
Формулы (7.5)—(7.7) сохраняют прежний вид, но с заменой
в них б/б«(х) на 6/6tty(x). Вместо (7.8) теперь справедлива
формула
^gL (7.32)
Формула Фуруцу—Новикова (7.30) принимает вид
В заключение сформулируем свойства однородности и изо-
изотропности случайных полей на языке характеристического
функционала. Статистическая однородность поля g (x) (в узком
смысле) означает, что Ц (х, +х0) ... g (хк + х,)> = <| (х:)... | (хл)>.
�спользуя это равенство, можно записать разложение (7.14)
РІ РІРёРґРµ
1 J
или, после замены переменных х/ + х„ = Х;) в виде
<SW)... i(xi)>x
X «(xj—х„) ... u (xi—х„) dxl... dxj5.
Но, как легко видеть, в правой части получился функционал
Ф[«(х—х0)]. Таким образом, для статистически однородных полей
Р¤[Рё(?)] = Р¤[РІ?-С…,)], (7.34)
т. е. характеристический функционал не меняется, если его
аргумент и рассматривается в смещенной точке.
Аналогичным образом, если /?х = х' означает преобразова-
преобразование поворота в пространстве параметров, то статистическая
44 ОБЩ�Б СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫЙ ПОЛЯХ 1ГЛ. I
изотропность поля ?(х) выражается равенством
Ф[и(х)] = Ф[и(?-»х)]. (7.35)
Возможны случаи, когда поле статистически однородно или
изотропно не по всем координатам jc,, ..., х„, а лишь в отно-
отношении некоторой их части, т. е. в некотором подпространстве
параметров х. Тогда инвариантность Ф[и] должна иметь место
при преобразованиях трансляции (вектор х„ в (7.34)) или пово-
поворота (оператор R в (7.35)), осуществляемых только в этом под-
подпространстве.
Приведем в качестве примера характеристический функционал
статистически однородного гауссова поля, у которого 1 = 0.
Для него
Ф[и]=ехр{— »/, Jjfsfa—x,)«(x1)«(x,)(ix1dxi,} . (7.36)
Ясно, что (7.34) здесь выполнено. Если рассматриваемое поле
статистически изотропно, то вместо (7.36) будет
Ф[и] = ехр {- V, J $ 1* (| х—х, |) и (х.) и (xs) rfx, dxa} . (7.37)
Как уже было сказано, этот параграф посвящен в основном
правилам оперирования с функционалами и выводу ряда важ-
важных соотношений и формул. Примеры использования функцио-
функционального метода при решении конкретных задач рассматриваются
в некоторых из последующих глав. В задаче 22 функциональ-
функциональный метод применен для вывода приведенного в ч. I уравнения
Эйнштейна—Фоккера (36.15) для вероятностей перехода слу-
случайного отклика дискретной динамической системы на гауссовы
дельта-коррелированные по времени воздействия.
Задачи
1. Найти пространственную спектральную плотность для анизотропного
однородного случайного поля с гауссовой корреляционной функцией общего
РІРёРґР°
% (г)*=о| ехр | — »/• 2[aijxix/ \ •
где Xi=x, xt—y, Xs — г и Det||a;/|! Ф 0.
Ответ.
где || Ay!! = flay Ц-1—матрица, обратная матрице ]| ct,-y- {). В частном случае,
Когда корреляционная функция имеет вид (2.29), пространственный спектр
дается выражением (3.16).
ЗАДАЧ� 4S
2. Доказать следующее неравенство для статистических моментов порядка
[в + 1) комплексного поля ? (г):
Вп,„(1,.--.2«)|а<
<?„,„(! п; п 1)Я„,и(л+1 2л;2л, .... л + 1). (1)
Решение. Неравенство следует из того, что при любом комплексном к
Если положить
РЇ. = Р°[Р’СЏ,СЏ(1 2Р»)]В»,
где а вещественно, то неравенство (I) представляет собой условие неотрица-
неотрицательности квадратичного по а трехчлена. Частный случай (1) при л=1—это
неравенство
|?<l,2)|a<B(l, !)S(2,2),
аналогичное (2.20).
3. Если провести в пространстве какую-либо прямую линию и рассмат-
рассматривать значения однородного'и изотропного поля ?(г) только на этой пря-
прямой, то получится случайная функция одной пространственной переменной —
координаты, отсчитываемой вдоль этой прямой. Обозначим ее через г. Можно
записать разложение корреляционной функции if»(г) в одномерный интеграл
Фурье:
РґР°
\{z)^ J T;(k) cos kzdk,
где f*{k)—одномерная спектральная плотность, выражающаяся через i|^(z)
посредством обратного преобразования Фурье:
(1)
Показать, что трехмерный пространственный спектр Ф. (k) однородного изо-
изотропного поля Z, (г) связан с одномерным спектром у. (k) соотношением
Указание. Надо продифференцировать (IJ'no к и сравнить результат
с формулой (3.10).
Формула (2) удобна для расчета трехмерного спектра в тех довольно
ияогочисленных случаях, когда интеграл (1) для у»(*) вычисляется проще,
«ей ватеграл (3.10) для Ф»(?). Примерами могут служить'даже простые
корреляционные функции (2.24) и (2.25).
Формула (2) используется также для нахождения трехмерного спектра
случайного изотропного поля по одномерному спектру V; (*)• полученному по
»кспериментально измеренной одномерной корреляционной функции ^(г).
4. Пусть, как и в предыдущей задаче, г — координата, отсчитываемая
вдоль какого-либо выбранного направления в пространстве, а случайное поле
Ь(г) однородно в плоскости г = const. Вводя в плоскости г = const двумер-
двумерный вектор р = (х, у), так что г = (р, г), можно записать корреляционную
46 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. I
Функцию поля С (г) в виде
Эту функцию можно разложить в двумерный интеграл Фурье:
(•)
где kL = (kx, ky). Функция f. (k^, Zx—za) называется двумерной спектральной
плотностью поля или просто двумерным (пространственным) спектром.
Показать, что для однородного и изотропного случайного поля дву-
двумерный спектр />(*j_, z,—Ч) и трехмерный спектр Ф*(?) связаны между собой
соотношениями
(2)
(3)
Решение. Формула (2) следует из сопоставления (1) с трехмерным
разложением (3.5), если учесть вещественность корреляционной функции тк (г)
для изотропного поля. Обращая (2), находим
Формула 13) получается отсюда при hz^0. Отметим, что Ф{(У А|+А^) как
функция от kz имеет характерный масштаб k^_. В силу этого из (2) следует,
что Fr(k,, Si — z2) сосредоточена в области
(4)
5. Выразить спектральное разложение корреляционной функции поля,
изотропного в плоскости z —const, в виде однократного интеграла.
Решение. В общем случае корреляционная функция 4>(*' У)~$г(Р)
и ее двумерный спектр F,(-xx, ку) — F* (и) связаны прямым и обратным
преобразованиями Фурье:
(1)
В случае изотропного поля имеем ^(p) = itj(p) и fj(x) = f^(x). Переход
в формулах (1) к полярным координатам (соответственно в р-и «-пространст-
«-пространствах) с последующим интегрированием по угловым переменным приводит
к прямому и обратному преобразованиям Ганкеля:
(2)
РіРґРµ
-нулевая бесселева функция.
ЗАДАЧ�
47
6. Найти частотный спектр §.(ш) замороженного поля ?(Г,г), если
соответствующее покоящееся случайное поле v (г) обладает гауссовой прост-
пространственной корреляционной функцией i|>v(r) = ffj exp {—г*/2(а}.
Ответ.
7. Найти корреляционную функцию, пространственно-временной, прост-
пространственный и частотный спектры замороженного поля ?(/, т) при реляти-
релятивистских значениях скорости и, если известна функция корреляции i|>v(r)
(или пространственный спектр 3>v(k)) соответствующего покоящегося поля v(r).
Ответ. Если скорость v направлена по оси х, то в соответствии с пре-
преобразованием Лоренца
О;(и, к)= ^1 —
Огиетии, что если покоящееся поле v (г) изотропно, то замороженное поле
?(f, г) статистически анизотропно. *
8. Пусть а (г) и Ь(г)—изотропные и изотропно связанные случайные
векторные поля. Найти общий вид корреляционного тензора <оа (r^*g (га)>
в этом случае.
Решение. Для построения корреляционного тензора однородных и
изотропных векторных полей мы располагаем только скалярными функциями
от р = | Г1 — п|, единичным вектором р/р и
единичным тензором 6ар. Поэтому общий
вид корреляционного тензора будет
_
(Рі,) /
(1)
Выбор 'скалярных коэффициентов в (1) в
форме F и G—Р обусловлен тем, чтой(р)
и F(р)'_опнсывах>т при атом продольную и
поперечную корреляции. Действительно,
рассмотрим корреляцию между а-компонен-
тами па и Ь<х. Если точки ri и г9 лежат на
прямой, параллельной оси ха,т. е. р—р«,
to (СЂРёСЃ. 2, Р°)
(г,)*—^
(продольная корреляция). Если же :
то ра«О (рис. 2,6) и
(поперечная корреляция).
Р РёСЃ. 2.
ектор р = Г].— гг перпендикулярен оси ха
18 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
Вместо F (р) и 0 (р) можно ввести две другие скалярные функции, положив
<в»(Г1)»Ь(г,» = {/(р)ва(| + д^-. (2)
Сопоставление (1) и (2) показывает, что
где штрих означает производную по р.
9. Показать, что для однородного и изотропного потенциального поля
а (г) (rota = 0) продольная и поперечная функции корреляции F(p) и 0(р),
введенные в предыдущей задаче, связаны соотношением (А. М. Обухов)
РЎ)
а для соленоидального поля (diva = 0)—соотношением (Т. Карман)
^ (2)
Решение. Пусть а = —>р<р—потенциальное поле, a ifф(р)—корреля-
ifф(р)—корреляционная функция потенциала ф(г). Тогда
т. е. в формуле (2) предыдущей задача У=0, V= — -фф. Следовательно, по
формулам (3) той же задачи F (р)=з—V и G=V", откуда и вытекает (1).
Рассматривая соленоидальное поле, умножим div a (rj = 0 на а (га) и про-
проведем статистическое усреднение, используя соотношение (2) задачи 8. Это.
приводит к условию \?(У + ДС) = 0, откуда с точностью до постоянной, ко-
которую всегда можно включить в U, имеем U + ДУ=0. Отсюда следует, что,
Согласно формулам (3) задачи 8
/¦ = -V— V\ G = — — V,
Р  Р 
что эквивалентно (2).
10. Показать, что при условии однородности и изотропности векторное
соленондальное поле а (г) не коррелировано со скалярным полем <р (г)
(A.M. Обухов) и с векторным потенциальным полем b(r)=—V9(r)-
Решение. Для однородных и изотропных полей корреляционная функ-
функция <9 (г,) а* (г,)> должна быть вектором, параллельным р:
<V (ri) »* <Xt)>—Н (р) — ~ в (р) >
где � (ft)—скалярная функция. Поскольху для солепоидального поля diva = 0,
должно быть
V» «Р (ri) о* (г,)> = — di vp В (р) = О,
т. е. вектор В должен быть соленоидальным (уз означает дифференцирование
по га). В отсутствие источников единственное допустимое решение есть В = 0,
Задачи 49
что и означает некоррелированность скалярного и соленоидального вектор-
яого полей. Отсюда вытекаег также некоррелированность солекоидального в
потенциального векторных полей:
<»Ц (ri) «а (г,)> = -~ «р (г,) <& (г,)> = - ^^-О.
U. О флуктуациях с корреляционными функциями типа (2.24) и (2.25)
говорят как об одномасштабных флуктуационных полях, имея в виду, что
поведение if (г) характеризуется только одним масштабом I (пространствен-
(пространственный спектр таких флуктуации содержит, разумеется, множество масштабов,
сосредоточенных в области k^.l/1). Реальные функции корреляции часто
имеют много характерных масштабов (при этом говорят о многомасштабных
флуктуациях). �ногда удобно аппроксимировать такие функции суперпози-
суперпозицией гауссовых функций корреляции, т. е- записывать коэффициент корре-
корреляции в виде [9]
5
Рѕ
подчиняя, конечно, весовую функцию / (а) условию нормировки
Обычный гауссов коэффициент корреляции К(р) = е~1''^11* получается отсюда
ири /(а)=6(a— /2i).
Найти весовую функцию /(о), отвечающую:
а) экспоненциальному коэффициенту корреляции er'll;
б) локально однородной и изотропной модели турбулентных флуктуации
диэлектрической проницаемости воздуха; коэффициент корреляции для таких
флуктуации в соответствии с (4.19) имеет асимптотические выражения
Ответ.
РїСЂРё Р° < (0 Рё Р° > Р¦,
В¦ Р°~ 1-Рѕ~ РїСЂРё /0<;Р°<?0.
12. В ч. I, § 47 было выведено выражение для функции корреляции ин-
тенсквкостеи двух нормальных комплексных колебании d (/) и ?г (t) в пред-
предположении, что ti = ?2 = 0- Получить аналогичное выражение для случая,
когда среднее значение случайного поля ?((, г) отлично от нуля.
Ответ. В обозначениях !m = \im\2, где lm = l.(tm, гт), т~\, 2, функ-
функция корреляции интенсионоетей есть
if, (1, 2) = </,/j>—7,7j = <717S>,
РіРґРµ
50 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ [ГЛ, I
�спользуя результаты задачи 2 к гл. VI ч. I, получим
¦Ч>У<1,2)НЧ>6(1.2)1а + ЙЕ (1.2)1» + 1Ч=;0. 2ШГ2 + *Е U.2)� SJ + K.c].
При ?i=?j=0 отсюда следует формула
которая в случае $? = 0 принимает вид ф/(1, 2) = | i|>j(l,2)|a.
13. Пусть Fn\u\—функционал N-& степени:
Показать, что
а) значение fjv[u] вависит только от симметричной по всем аргументам
части функции А;
... + A(\i,Xi,...,С…РґРі,!,С…)1 Рє(xj...u(xjv-Jdxi...dxjv-i:
в) в случае симметричной функции А
( аналог формулы —r—=NxN
Указание. Задачу полезно решить тремя способами: исходи из опре»
деления (7.2), при помощи формулы (ТА) и при помощи правил (7.5)—(7.8).
14. Найти вариационную производную функционала действия классичес-
классической механики
Решение. Дифференцируя под знаком интеграла, получаем
_&5 hm _±_ /<�тП» 8У(х
РІС…(0~Р�"2РІ*(В»)1 Р› ) Sx(t)
На основании (7.7)
6 /<fa(T)\' .2dJc(T) 6 ()
6Р» (Рћ V dx J dx 6x (0 rfx "
Так как производная dx(%)ldx есть предел отношения ' ~ . можно
на основании (7.5) внести операцию функционального дифференцирования
под знак djdx, после чего использовачь (7.8):
Для второго слагаемого в S [х], используя (7.7) и (7.8), получаем
ЗАДАЧ�
В результате
откуда
Принцип наименьшего действия '=0 дает уравнение движения тд:=—V'(x).
6Sf]
15. Найти , для функционала
Ответ.
т. е. вариационная производная представляет собой левую часть уравнения
Эйлера—Лагранжа.
Для получения этого результата следует использовать формулы (7.5)—
(7.8), подобно тому как это сделано в предыдущей задаче.
16. Вывести формулу для i|>i(xi, ха, хэ), аналогичную формуле (7.17) для
фа(х,,х2).
Ответ. _
, Х„ X,) = <1 (X,) 1 (X,) | (Х,)>-| (Xj) <| (X») 1 (Х,)> —| (X,) <|(Xl) |_(Х„)>-
х,) | (х2) f (х„).
17. �сходя из выражений (7.20) для центральных моментов гауссова слу-
случайного поля \ (х), получить характеристический функционал для флуктуа-
флуктуации 1(х).
Решение. Согласно (7.14) имеем
? J\ J СО- • •!
причем, в силу (7.20), в этой сумме присутствуют только члены с &=2
ФЛа] = 1+ ? fei
�спользуя теперь вторую формулу (7.20), получаем
m=l
SS ОВЩ�В СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. 1
�кмграл краткости (2м) распадается на произведение т двукратных интег-
интегралов, отличающихся друг от друга лишь обозначением переменных интегри-
интегрирования. Каждый из двукратных интегралов имеет вид
Следовательно, каждый из членов внутренней суммы равен 1т, а так как
сумма содержит всего (2т—1)11 членов, функционал Фг [и] равен
те= 1
или, поскольку (2т)1 = (2т)!!(2т —1)!! = 2«/п!(2т—I)!!,
Таким образом,
Ф| [в] = ехр [-1/2 J J тр? («!, ха) я (хх) и(х.) dxjdx,} .
Очевидно, эта формула является частным случаем (7.18), отвечающим ну-
нулевому среднему значению, как это и должно было получиться для ^ — ?—|,
поскольку <|>=0. Тем самым доказана эквивалентность определений гауссова
случайного поля при помощи равенств (7.20) и при помощи характеристи-
характеристического функционала (7.18).
18. Найти характеристический функционал пуассоновского случайного
поля (7.21).
Решение. По определению пуассоновского поля
Р¤ Р“
\ dx
где каждая из уг ловых скобок с индексом внизу означает усреднение по
соответствующим случайным величинам. Очевидно,
Ф [и] = ((( Д exp [lAk \g (x-x,) и(х) Л})лл)х;}и.
Выполним усреднение по Ак. Так как <ехр{(.Да>.}>^=х(Х), где х(М—ха-
х(М—характеристическая функция для Ль, находим
((Рџ(^
Далее произведем усреднение по х&. Оно сводится к интегрированию каждого
сомножителя по xs с весом V~l по области V:
J
Р¤ [В«] =(v-i J С… Q g (С…-С…Рћ u(x) dx) <&l ..
I7-1 U ( f г(х-х„) и (x) dx) dxm)m
ЗАДАЧ� 53
_.__. * вдесь выражение в квадратных скобках через а. Последнее усред-
вение (по распределению Пуассона для т) дает
РЎРћ 05
"^ -^^ /Р»!
С‚=0 С‚-0
Таким образом, получаем
Ф[«] = ехр(йГи-1и(и(х-х'
что, в силу тождества
¦южно записать в виде
l=/->f 1-dx',
Вводя v=m/V—среднее число случайных точек в единице объема, приходим
К формуле (7.22).
19. �сходя из формулы (7.22), получить кумулянтные функции пуассо-
невского случайного поля.
Решение. �меем
Подстановка разложения характеристической функции
дает
Запишем k-ю степень интеграла в виде А-кратного интеграла и изменим ао
рядок интегрирования по х и хг (1 = 1,2 к):
"k'S ("i-x') • ¦ • 8 (x*-x')|
2
Сравнивая это выражение с (7.15), получаем, что
J g(xj—x').. .g (x*—x') dx'.
54 ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ 1ГЛ. I
_ 20. Показать, что если А имеет гауссово распределение вероятностей и
Л = С, то при v—>», А*—<¦<) и vA% — const пуассоновское случайное поле
стремится к гауссову. Показать, что аналогичный результат можно полу-
получить, если считать, что А имеет платность вероятностей а>(А)~{2А%)~1Х
Хехр {— | А \/А„], т. е. нормальность распределения вероятностей для ампли-
амплитуд несущественна.
Указание. Воспользоваться формулой (7.23) для кумулянтов пуассо-
новского случайного поля.
21. �сходя из (7.27), получить формулу для вычисления среднего значе-
значения от произведения пуассоновского случайного поля |(дг) на функционал
Rill
Решение. Согласно (7.22)
Действуя на это равенство оператором —, . . , найдем
О [х, и] = у Vdx'x' ( Vg(x*—x')u(x")dx"Jg(x—x').
РќРѕ
X (РЇ,) = РЎ Рµ'Рј С€ (Р›) dA, 4- X' (>.) = Р“ Рµ""4В»! (Р›) Р› dA.
Полагая \ — — \ dx*g(x*—X')^F7^ » получаем
В результате формула (7.27), с учетом операторной записи функционального
ряда Тейлора (7.10), принимает вид
22. Пусть Л;(х, 0—Детерминированные функции, /;(х, г)—случайные
гауссовы функции (n+l) переменных (х, г), причем
x, x', 06 (:-!')• (1)
Пусть функции Е|(0 подчинены системе динамических уравнений
^Р = XiH(i), t) + f;(l (0,0 (2)
с начальным условием ^,(0) = J;.
Вывести дифференциальное уравнение для плотности вероятностей ш(х, t)sm
^<Л(|(О—х)> решения уравнений (2).
Решение. Продифференцируем ш(х, О ПО t:
и подставим сюда dltV)fdf из уравнений (2):
).Рћ1)
ЗАДАЧ� 55
Последнее выражение — результат вынесения ^— [за скобку н за знак сред*
него, поскольку единственный сомножитель, зависящий от х,— это дельта-
функция. �спользуя равенство
6 (% (0-С…) F (I (/))=6 (5 (0-С…) F (С…),
получаем
*^Д—д^<« (1(0-*)№(*. О I¦/«(«. 01> =
где мы вынесли за знак среднего неслучайный множитель Xj(x, t). Так как
<6 (|(0—х)> = ю(х, 0. получаем уравнение
РіРґРµ
Q/(x. 0=-</РќС…. 0*(РЁ-*)>. (4)
Уравнение (3) не является замкнутым, так как кроме искомой функции to
в него входят еще неизвестные функции Q,-. Дальнейшая задача состоит в том,
чтобы выразить Qj через ш. �спользуем для этого .формулу Фуруцу—Нови-
Фуруцу—Новикова (7.33), которая в нашем случае и с учетом (1) имеет вид
OR 1/]>=
Для того чтобы получить Qi (x, 0. надо, согласно (4), положить R [/] =
= S(|(0—х). Это вполне законное равенство, поскольку \(,1), будучи реше-
решением системы уравнений (2), является функционалом от //.
Чтобы найти <6Я/б/л:>, обратимся снова к уравнениям (2). Проинтегри-
Проинтегрировав их по t, находим
(
it to=Р°+\ ^ СЏ Рј, С‚)+/,-
Рѕ
, что ?;(
интервале OaSteS/. Поэтому
Зк=0, если г' < 0 или /' > U (7)
Формула (7) показывает, что решения системы уравнений (2) удовлетворяют
принципу динамической причинности. Запишем (6) в виде
lt(t) = lВ°i+ J Р› ^ ^ Р± (I (С‚)-С…) [Xi(С…, С…) + /, (С…, С‚)]
56
ОБЩ�Е СВЕДЕН�Я О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. I
н применим к »тим выражениям оператор й/б/у (ж', г')> гд* 0 </'<<:
Первое слагаемое в фигурной скобке проинтегрируем по частям. Во втором
же слагаемом учтем, что, согласно (7.32),
и используем при интегрировании наличие этих дельта-функций. В результате
, т».
Но, в силу условия причинности (7), 67 Л t') = 0 ПР� т < ''• чт0 позволяет
СЋ Рі РЅР° <':
заменять нижний предел интеграла по •
Тогда переход к пределу при /'—>t обращает интеграл в нуль и мы полу-
получаем точную формулу
являющуюся следствием динамических уравнений (2).
В ф (б) Qi- Так
(С‚
щу д д ур ()
Вернемся к формуле (б) для Qi- Так как при С>/ в силу (7) имеем
(тт-WO, интегрирование по V в (5) происходит в пределах (0, /). При выпол-
выполнении интегрирования по /' следует учесть, что \ в(t-t')it' —1/«. поскольку
фигурирующая здесь дельта-функция предполагается пределом четной корре-
корреляционной функции. Поэтому
(^)^ (9)
Так как R [/] = 6 (1 (*)— х), имеем
J!?I/L—JL_
С…'. Рћ"
ЗАДАЧ�
57
или, в силу (8),
ыг\п ,
Усредняя sto равенство, получаем формулу
с учетом которой выражение (9) принимает вид
Записывая иптегранд в виде
С…' <)Рґ~
-*>* (С…, С…',
, 0 РІ (С…-С…')
06d-i
получаем
Ql (x, () = - J^ J FВ«(x, x', 0 w (x, 0 8 (x-x') dx'
-L I —J I w (x, i
Таким образом, функция Q,(x, t) выражена через искомую плотность
вероятностей ш (х, t), после чего (3) становится замкнутым уравнением:
dw(x, t) , РґРђ((С…, t)w _d*F;k(,x, x, t)w
dt + дх, ШГГ
где введено обозначение
tluJ
Глава II
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я
СЛУЧАЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ
§ 8. Основные типы статистических волновых задач
Среди разнообразных случайных полей, с которыми имеет
дело статистическая радиофизика, волновые поля занимают цент-
центральное место. Мы тоже сосредоточим внимание на волновых
(в первую очередь электромагнитных) полях и ограничимся при
этом только линейными и неквантовыми задачами'). Весьма
широкий класс таких задач можно сформулировать следующим
образом.
Пусть распространение волн той или иной физической при-
природы (электромагнитных, упругих, поверхностных и т. д.) опи-
описывается линейным пространственно-временным оператором L
(обычно дифференциальным, реже—интегро-дифференциальным),
так что волновое поле «^удовлетворяет уравнению
?В« = 9, (8.1)
где функция q(t, r) описывает источники волн. Поля и и q могут
быть и многокомпонентными (в частности, векторными), и тогда
L—операторная матрица (в частности, тензор). Во многих зада-
задачах пространственная область, в которой рассматривается поле
и, выделенная некоторой поверхностью 50, не содержит источ-
') Укажем некоторые обзоры и монографии по нелинейным волновым
задачам и по квантовой статистике излучения. Статистическим явлениям
в нелинейной оптике посвяшены книга [1] и обзор [2]. Обширные исследо-
исследования ведутся по теории слабой турбулентности—явлению, которое проис-
происходит во многих ситуациях, в том числе в случае волн в плазме [3, 4J, на
поверхности жидкости [4, 5], в активных распределенных системах и т. д.
Статистические вопросы нелинейной акустики рассмотрены в книге [45].
Вопросы квантовых флуктуации электромагнитного поля, ставшие особенно
актуальными в связи с развитием лазерной техники, освещены в работах
[6-10].
S8J ОСНОВНЫЕ Т�ПЫ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х ЗАДАЧ 59
ников (9=-0), а задано р.ервичное волновое поле и„, приходящее
в эту область извне. Тогда уравнение (8.1) однородно:
Р¬ = 0, (8.2)
но на So заданы значения первичного поля (или его производ-
производных), например:
)\rtS.. (8.3)
(Обычно в этом случае говорят, что на Sa заданы «виртуаль-
«виртуальные» источники поля.) �скомым является здесь рассеянное или
дифракционное поле, т. е. это задачи теории дифракции.
При наличии внутри поверхности So границ раздела между
разными средами или телами (поверхности раздела S) поле и
должно удовлетворять еще определенным граничным условиям.
Если поверхность So не замкнута или же охватывает все про-
пространство, так что волны от реальных источников, расположен-
расположенных в конечной области, могут уходить в бесконечность, то
должны также выполняться известные условия излучения (на
достаточно больших расстояниях от источников должны суще-
существовать только убегающие волны).
В задачах прикладного характера часто представляет инте-
интерес измерение излученного или дифракционного поля—для полу-
получения информации об источниках поля, о рассеивающих телах
или о среде, в которой распространяются волны. Тогда в опи-
описанную схему может быть включен еще приемник излучения х),
а также разного рода помехи как внешнего (по отношению
к приемнику), так и внутреннего происхождения. Отклик прием-
приемника w будет зависеть и от измеряемого поля и, и от помех Jj:
w=w(u, %), (8.4)
где а)— в общем случае нелинейный оператор.
Все, что было сказано в ч. I, § 33 об обыкновенных стохас-
стохастических дифференциальных уравнениях, теперь, когда мы рас-
рассматриваем случайные поля, переносится на уравнения в част-
частных производных. Статистические волновые задачи ставятся
теми же уравнениями и условиями, что и динамические, но
теперь это будут стохастические уравнения и условия, т. е.
уравнения и условия для о/Лдельных реализаций случайного
поля и. Другими словами, фигурирующие в задаче параметры,
функции и операторы теперь случайны (все или их часть) и,
соответственно, заданы своими распределениями вероятностей.
1) Под приемником подразумевается все измерительное устройство в це-
целом, например 'радиоантенна вместе с усилительным трактом и регистрирую-
регистрирующим устройством или фотодетектор с измерительными приборами и т. п.
60 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. II
Поэтому гораздо большее разнообразие возможностей для про-
пространственно-временных полей (по сравнению с процессами во
времени) в равной мере затрагивает как динамические, так и
статистические задачи.
В соответствии с описанной постановкой динамической вол-
волновой задачи случайными могут быть
1) источники поля (реальные или виртуальные, так что можно
различать заданную «статистику источников» q и «статистику
первичного поля» v);
2) свойства среды (задана «статистика среды», ачзначит, опе-
оператора L);
3) форма и положение границ раздела S (задана «ста!истика
границ»);
4) условия приема и регистрации волн (заданы «статистика
приемника»—оператора w и «статистика помех» |).
К этим четырем основным статистическим схемам, которые
мы назовем первичными, фактически сводится постановка подав-
подавляющего большинства задач статистической волновой теории.
Конечно, возможны задачи и смешанного типа, например о теп-
тепловом излучении в случайно-неоднородной среде [11], но пока
таких задач рассмотрено немного (краткий их обзор приве-
приведен в [12]).
Если бы мы располагали точным решением динамической
задачи, например некоторым интегральным представлением иско-
искомого поля и в виде
u = Gq, (8.5)
где Gq= L~1q—решение неоднородного уравнения (8.1), записан-
записанное, скажем, через функцию Грина, учитывающую все гранич-
граничные и другие условия, то вычисление моментов поля свелось
бы к [усреднению произведений вида м(1)м(2) ...и(л) по сов-
совместному распределению всех фигурирующих в задаче случай-
случайных параметров и функций, характеризующих статистику источ-
источников, среды, границ раздела и т. д. Но в реальных ситуациях
этот идеал осуществляется не часто, например, в задачах о воз-
возбуждении полей случайными источниками, которые рассматри-
рассматриваются в данной главе. Чаще же всего мы не умеем находить
точное решение при любых детерминированных функциях и, тем
самым, при произвольных реализациях всех случайных величин
и функций, в силу чего приходится уже на этапе решения дина-
динамической задачи обращаться к разного рода приближенным мето-
методам. Зги разнообразные методы и приемы приурочены к конк-
конкретным особенностям задачи.
Флуктуации случайных параметров и функций могут быть
(в каких-то характерных масштабах) большими и малыми, плав-
§8] ОСНОВНЫЕ Т�ПЫ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х ЗАДАЧ g|
ными, медленными и, наоборот, резкими, быстрыми; корреляция
может быть сильной, «далекой», или же слабой, «короткой», и
т. п. Эти различия требуют использования разных приближен-
приближенных подходов и приводят к многочисленным вторичным статис-
статистическим схемам, связанным уже с теми или иными приближен-
приближенными методами решения.
Следует заметить, что во многих случаях, в особенности когда
нас интересуют только моменты поля, этап отыскания динами-
динамического решения (для последующего вычисления моментов) опу-
опускается и речь идет о выводе уравнений и условий для самих
моментов (исходя из уравнений и условий для поля и). Однако
и в такой постановке практически нельзя обойтись без макси-
максимально возможного упрощения исходных уравнений для и, зара-
заранее учитывающего особенности флуктуации и характер детерми-
детерминированных функций.
Выделенные выше четыре первичные статистические схемы
отражают лишь фактически часто встречающееся разделение пара-
параметров и функций, входящих в условия задачи, на детермини-
детерминированные и случайные. Остановимся коротко на этих схемах и
укажем некоторые примеры относящихся к ним задач.
В схеме 1), если присутствуют реальные источники, мы имеем
дело с неоднородным уравнением (8.1), в котором статистически
задана правая часть q. Однородные граничные условия детермини-
детерминированы. Задач такого типа много и в радиофизике, и в оптике,
и в акустике. Они охватывают, в частности, статистическую
теорию антенн и теорию тепловых флуктуации в распределенных
системах.
С виртуальными случайными источниками мы сталкиваемся,
очевидно, во всех задачах о дифракции случайных (иначе—час-
(иначе—частично когерентных) полей1), когда однородное уравнение (8.2)
и все необходимые условия детерминированы, за исключением
случайного первичного поля и„. Такие задачи типичны прежде
всего для оптики (формирование оптического и голографического
изображений, действие интерферометров и др.), но с ними при-
приходится иметь дело и а радиодиапазоке (в частности, в радиоастро-
радиоастрономии), и при дифракции рентгеновских волн.
Задачи типа I) мы рассмотрим в данной главе, но тепловые
флуктуации в распределенных системах, ввиду важности и спе-
специфичности этого круга вопросов, мы выделяем в самостоятель-
самостоятельную (следующую) главу.
Схема 2) охватывает проблему распространения и дифракции
волн в случайно-неоднородных средах (случайный оператор L). Эти
') Применительно к волновым пилям термины «случайный» я «частично
когерентный» равнозначны.
62 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. '
вопросы представляют большой интерес для радиосвязи, лазер
ной связи, гидроакустики, радиоастрономии, диагностики плазм!
и т. п., и им уделена поэтому половина данной части книги.
К схеме 3) относятся волновые задачи при наличии тел
имеющих случайную форму или занимающих случайное положе
ние. Речь может идти, в частности, о граничных поверхностя:
со множеством случайных неровностей (так' называемые шеро
ховатые или статистически неровные поверхности). Различны'
методы расчета^ рассеяния волн на таких поверхностях рассмот
рены в гл. IX.
В задачах о телах, занимающих случайное положение в про
странстве, речь может идти о рассеянии как на одном ил1
немногих телах, так и на очень большой совокупности дискрет
ных вкраплений (осадки, туман, аэрозоли и т. п.). Последня]
весьма общая задача требует, вообще говоря, учета многократ
ного рассеяния. Мы ограничимся ее рассмотрением лишь в при
ближении однократного рассеяния (§ 31).
Наконец, схема 4) охватывает многочисленные задачи прием;
и обработки информации о волновых полях при наличии помех
Если статистические свойства поля и, помех % и оператора w, опи
сывающего приемник, известны, то, в соответствии с (8.4), в прин
ципе можно рассчитать статистические характеристики отклик;
приемника да.
Однако более ^важным и вместе с тем более сложным явля
ется другой вопрос—о выборе оптимального (в каком-то опре
деленном смысле) способа приема при наличии помех, т. е. воп
рос о нахождении оптимального оператора w. Примером задач:
такого типа может служить проблема восстановления форм!
объекта по его изображению, представляющая первостепенны!
интерес для оптики, радиоастрономии, радиолокации, гидроакус
тики и т. д. Эта проблема оптимального приема случайных поле]
требует привлечения идей и методов теории информации — воз
можно, даже в большей степени, чем вопросы обработки слу
чайных процессов. Но, как и в ч. I, мы не будем углублятьс:
в эти проблемы, поскольку они ближе по своему характер;
к «радиоматематике», а не к радиофизике. Ряд вопросов опти
мального приема и пространственной фильтрации рассматри
вается в работах [13—20].
§ 9. Случайные волны в неограниченной однородной среде
Задачи возбуждения полей случайными источниками (реаль
ньми илк виртуальными), откесекные нами к статисхкческо
схеме 1), принадлежат к тем весьма немногочисленным пробле
мам статистической волновой теории, которые допускают, п
jgj СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ дЗ
существу, универсальный подход. Это обусловлено тем, что
поле и связано с источниками линейным детерминированным
оператором, который, в принципе, может быть обращен.
При возбуждении поля реальными источниками в силу (8.5)
любые моменты поля могут быть получены усреднением произ-
произведений вида u(l)u(2) ... и (л.) лишь по ансамблю случайных
источников q. В частности, для двух низших моментов имеем
<ц> = Й <<?>, <UjUa*> = 6Д* <9t(7*> • (9.1)
В случае виртуальных источников, когда в соответствии
с (8.3) заданы значения v первичного поля (или его производ-
производных) на некоторой поверхности So, а искомое поле выражается
через v при помощи линейного детерминированного оператора S*'-
u = &v, (9.2)
искомые моменты и связаны с известными моментами v линей-
линейными соотношениями, подобными (9.1):
<Рё> = 54В»>, <u1uZ> = P1S>l<v1v'2>, ... (9.3)
Соотношения вида (9.1) или (9.3), в принципе, дают полное
решение статистических задач схемы 1), поскольку совокуп-
совокупность всех статистических моментов однозначно определяет всю
совокупность я-мерных плотностей вероятностей случайного
поля. Однако эта формально простая процедура фактически
реализуема крайне редко. Удобные для физического анализа
выражения для моментов поля и в большинстве случаев удается
получать только для низших моментов и лишь при использо-
использовании тех или иных приближений для обратных операторов
G или 5>. Получение же плотности вероятностей поля осущест-
осуществимо обычно лишь при условиях, когда применима центральная
предельная теорема.
С необходимостью прибегать к различным приближениям мы
сталкиваемся даже в простейшем 'случае скалярного волнового
поля в однородной безграничной среде, когда мы располагаем
сравнительно простыми точными выражениями для операторов
Си?. Приведем относящиеся к этому случаю и необходимые
для дальнейшего динамические соотношения и выясним на при-
примере скалярного поля ряд свойств случайных волновых полей.
В последующих параграфах мы обратимся к конкретным радио,
физическим задачам, относящимся к схеме 1).
В однородной и стационарной среде без дисперсии и погло-
поглощения скалярное поле и удовлетворяет волновому уравнению
?и=(Д—jirgTrW.r)-.^. г), (9.4)
64 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1!
где с—скорость распространения волн, a q—поле случайных
источников. Решение уравнения (9.4), удовлетворяющее усло-
условиям излучения на бесконечности, имеет, как известно, вид
««.O — ^f"'-^^', (9.5)
где /J = |r—r'|. Это частный случай линейной, связи (8.5) поля
с источниками.
Во многих задачах удобнее рассматривать не само случай-
случайное поле и (t, г), а его спектральную амплитуду
(9.6)
которая, в силу (9.4), удовлетворяет уравнению
4Рё(В«,Рі)+Р№(Рѕ),Рі) = 9РљРі), k = a>/c, (9.7)
где g (а, г)—спектральная амплитуда q(t, г). Для спектральных
амплитуд решение (9.5) принимает вид
> (9'8)
Здесь введена функция Грина для неограниченной однородной
среды
удовлетворяющая уравнению
При помощи (9.8) легко записать выражения для всех моментов
поля.
Если источники сосредоточены в ограниченной области, ска-
скажем в пределах сферы радиуса а, а нас интересует поле и
в дальней (фраунгоферовой) зоне распределения источников, то
формулы (9.6) и (9.8) упрощаются, так как можно воспользо-
воспользоваться приближенным выражением функции Грина. Пусть начало
координат помещено в центр области, занятой источниками.
Тогда при r^ka1 расстояние R = |r—г'| в формуле (9.9) можно
приближенно заменить на г—(пг') в показателе экспоненты я
на г в знаменателе, что и приводит к фраунгоферову прибли-
приближению. В этом приближении (9.8) принимает вид
«(<о,г)«—^-J<?(», r')e-ik"r'd>r', r^>ka\ (9.10)
где n = r/r единичный вектор в направлении на точку наблю-
наблюдения.
I 9] СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ Е ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 65
Приведем теперь динамические соотношения для того случая,
когда заданы виртуальные источники. Будем исходить из фор-
формулы Грина, которая связывает спектральную амплитуду поля
й(ш, г) внутри области, ограниченной поверхностью So, со спект-
спектральной амплитудой граничного поля v(<a, r'):
Здесь /? = |г—г'|—расстояние от точки наблюдения до точки
г', лежащей на поверхности So, по которой ведется интегриро-
интегрирование, а д/dN означает дифференцирование в направлении внеш-
внешней нормали N к So. Граничные значения к (а, г') и dv(a>, r')jdN,
как известно, должны быть заданы математически непротиворе-
непротиворечивым образом. Поэтому двучленная формула Грина (9.11) может
быть использована лишь в тех случаях, когда из каких-либо
дополнительных соображений вытекает связь (точная или при-
приближенная) между граничным полем v и его нормальной произ-
РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРЅРѕР№ dv/dN.
Особым является случай, когда поверхностью So служит
плоскость, замкнутая полусферой бесконечно большого радиуса.
В этом случае, которым мы и ограничимся, двучленная фор-
формула (9.11) сводится к одночленной.
Если на плоскости. г=0 задано само поле v (ш, р)га(й>,г)|1>_||,
где р — {х, у)—двумерный вектор, то интеграл по бесконечно
удаленной сфере обращается в нуль, и тогда в полупростран-
полупространстве г > О
) = —^ J t»((D,p')|-(^
Если же на плоскости г = 0 задана нормальная производная
dv(a>, р)/дг = ди (ш, г)/3г |г=0, то
(9.13,
Таким образом, в случае плоской границы г = 0 достаточно
задания на Sa либо самого поля и, либо его нормальной произ-
РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРЅРѕР№ РґРё/РґРі.
Другой метод расчета полей в полупространстве г > 0 вос-
восходит к Релею и основан на разложении полей по плос-
плоским волнам. Представим граничное поле v(e>, p) двумерным
3 С. �. Рытов в др. ч. �
66 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. 11
интегралом Фурье:
СЃРѕ
Рё (СЃРѕ, СЂ)= 5 v(w, jc) exp (ixp) <Px, (9.14)
— 00
где х=(х„и„)—двумерный волновой вектор, а »(<о, к)—омс-
амплитуда граничного поля, связанная с v(a>, р) обратным пре-
преобразованием Фурье:
i J >, р) ехр {—i«p)dap.
В полупространстве г > 0 каждая пространственная гармо-
гармоника граничного поля v (со, и) ехр (шр) порождает плоскую соб-
собственную волну о(ш, к) ехр (txp -f-ifz) (напомним, что множитель
e~mt опущен), которая удовлетворяет волновому уравнению при
условии, что
РёР° + /?Р° = СЃРѕР°/СЃР° = /РіР°.
Таким образом, в случае волнового уравнения для однородной
и изотропной среды дисперсионная поверхность (см. § 6) пред-
представляет собой в четырехмерном пространстве (со, к) трехмерный
конус с осью по <в и вершиной в начале координат. В соответ-
соответствии с этим дисперсионным уравнением в свободной от источ-
источников области г > О возможны при заданном и собственные
волны двух типов—в зависимости от того, вещественна или
мнима z-компонента р волнового вектора к:
Р™=РЎ0/РЎ,
(9.15)
При ч < k компонента р вещественна и мы имеем бегущие
волны. При "&>k, когда период осцилляции на границе 2я/%
меньше длины волны \ = 2n/k, соответствующей частоте со, ком-
компонента р мнима и получаются неоднородные волны. Они экспо-
экспоненциально ослабевают с удалением от границы г = 0. Практи-
Практически уже при гё>Я остаются только бегущие волны.
Результирующее волновое поле и (со, г) = и (<*, р, г), удовлет-
удовлетворяющее граничному условию «(«, г)|г=|1 = о(й), р), выражается
суперпозицией плоских волн обоих типов:
и(а>, р,г)= J v (ю, х) ехр (txp lripz)d*K. (9.16)
— 33
Аналогичное представление поля нетрудно записать и\в том
случае, когда на плоскости г —0 задана производная по нор-
нормали ди[дг.
jj] СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 67
Формула Грина (9.12) и разложение по плоским волнам (9.16),
разумеется, эквивалентны друг другу. В дальнейшем мы будем
пользоваться той из них, которая быстрее ведет к окончатель-
окончательному результату. Любая из них позволяет выразить моменты
и(в>, г) через моменты и(<о, р).
При вычислении моментов поля при помощи приведенных
выше формул часто приходится рассматривать те или иные част-
частные случаи. Перечислим наиболее существенные из них. При
т.е. в волновой зоне, для ядра в формуле (9.12) имеем
При выполнении неравенств |р—р'[<^г н fc|p—р'[4<^г3
справедливо так называемое френелевское приближение, в кото-
котором R = V z2 + (p— р')2 заменяется на г + (р — р')г/2г в показа-
показателе экспоненты и на г в знаменателе предыдущей формулы;
при этом формула Грина (9.12) принимает вид
РћРў
«(», Р.г)=^? J о(ю. р')ехр («ft ?=?>!) <Рр'. (9.17)
— со
Наконец, в зоне Фраунгофера, z^>kaa, где а—радиус области,
в которой граничное поле о (со, р) отлично от нуля, имеем
-ik<?f]dy. (9.18)
Обратимся теперь к некоторым свойствам моментов и спект-
спектров волновых полей Статистические моменты волновых случай-
случайных полей ч'асто называют функциями когерентности, так как
соответствующие коэффициенты корреляции служат количест-
количественной мерой когерентности этих полей (ч. I, §§ 47 и 48). Тер-
Термины «время когерентности», «длина когерентности», «степень
когерентности» являются в отношении волновых полей синони-
синонимами «времени корреляции», «радиуса корреляции», «коэффи-
«коэффициента корреляции». В связи с этим мы предпочитаем и в этой
части книги говорить о теории случайных волн, а не о «теории
когерентности», рассматривая последнюю просто как одно из
приложений общей теории случайных полей. Однако мы не будем
избегать и терминов «функция когерентности» или «степень
когерентности», которые уже прочно вошли в физический обиход.
Смешанный момент волнового поля и (t, г) порядка т-\-п
(функция когерентности порядка /п + гс) определяется соотноше-
соотношением вида (2.30) и вместо бта_ „ обычно обозначается Г„,? „. Корре-
Корреляционная теория случайных волн ограничивается рассмотрением
68 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 11
моментов лишь первого и второго порядков: среднего поля <и>
(функции когерентности первого порядка Г.,==1<и>) и_двух сме-
смешанных моментов второго порядка, называемых первой и второй
функциями когерентности второго порядка:
Последние связаны с первой и второй функциями корреляции
поля формулами
•ф (1, 2) = <и (1) ы (2)> = Г (1, 2»—<о (1 )> <ы (2)>
(как обычно, здесь и —и—<«>)¦
Для зависимости волновых полей от времени мы примем
комплексное представление в виде аналитического сигналаг)
u(t,T) = iu{fa,T)e-""d<a, (9.21)
Рѕ
где спектральная амплитуда и (<о, г) тождественно равна нулю
для отрицательных частот, а для w^O равна удвоенной спект-
спектральной плотности исходного вещественного поля ur(t>r)=
Если поле и (t, г) является как функция t аналитическим
сигналом и стационарно, то среднее значение поля <ы> и его
второй смешанный момент Г равны нулю (ч. I, § 38).
Без предположения об аналитическом сигнале среднее зна-
значение стационарного поля может быть отличным от нуля и
представляет собой некоторую функцию чщько от г, удовлет-
удовлетворяющую уравнению Лапласа Ан(г) = 0. Так как такие стати-
статические детерминированные поля нас не интересуют, можно и
в этом случае рассматривать только флуктуации « = «,— и, т. е.
считать, что и — О. Что касается нестационарных и, в частности,
монохроматических полей (—е~'ю'), то для них среднее поле и
Г, вообще говоря, отличны от нуля.
Энергетические величины (интенсивность, плотность энергии,
плотность ее потока) квадратичны по полю, в силу чего их
средние значения можно выразить через статистические моменты
первого и второго порядков (ч. 1, § 47 и задача 1).
J) Еще раз напомним, что при разложении в интеграл Фурье по t мы
берем здесь и далее функцию е~1(0*, а не eiat, как в ч. I. Поэтому поле ы
как функция I аналитично теперь не в верхней, а в нижней полуплоскости
комплексного прелеии t.
0) СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕД� 69
�з высших моментов наибольший интерес представляет момент
аетвертого порядка
Г,,, (1, 2, 3, 4) = <«(]) и (2) «• (3) и* (4)>, (9.22)
герез который выражается, в частности, корреляционная функ-
функция флуктуации интенсивности комплексного поля /=|и|2:
С‚(>/(1,2) = <7(1)7(2)> = Р“1,,(1!2; 2, 1)-7(1)Р“(2), (9.23)
причем / (1) = <| ы (1) | а> = Г (1, 1). Если поле и нормально, то
все высшие моменты выражаются через первый (и) и вторые
(Г и Г) моменты. Функция корреляции интенсивности для этого
случая приведена (в несколько иных обозначениях) в задаче 12
Рє РіР». I.
Выражения для моментов поля мы получали выше, исполь-
используя динамические решения для и. Как уже было отмечено,
существует и другой способ нахождения моментов—из уравне-
уравнений, которым подчиняются сами статистические моменты. В рас-
рассматриваемой задаче о возбуждении полей реальными источни-
источниками, которая в общем случае описывается уравнением (8.1)
С детерминированным оператором L и с детерминированными
граничными условиями, уравнения для вторых моментов легко
получить простым перемножением левых и правых частей (8.1),
взятых в разных пространственно-временных точках. Так, вто-
второй момент Г(1,2) = <«(1) и* (2)> удовлетворяет уравнению
Ul\2)>, (9.24)
которое становится однородным в области, свободной от источ-
источников.
В рамках схемы 1), когда динамическое решение задачи для поля
и известно, находить моменты из уравнений типа (9.24) обычно
гораздо менее удобно, чем по формулам типа (9.1) или (9.3).
Волновые уравнения для моментов представляют здесь интерес,
пожалуй, лишь в том отношении, что из них очевидны волно-
волновые свойства самих моментов и, соответственно, можно говорить
о распространении и дифракции этих моментов почти в том же
смысле, что и для поля и1). Одно из важных волновых свойств
статистических моментов поля и состоит в том, что их значения
на некоторой поверхности So определяют поведение моментов
во всем объеме, ограниченном поверхностью So, подобно тому
как это имеет место для самого поля.
1) Однако в тех случаях, когда мы не располагаем решением динамиче-
динамической задачи, уравнения для моментов, получаемые из уравнений для и,
приобретают самостоятельную ценность (гл. VI—VIII).
70 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
Как уже было отмечено в § 6, в рассматриваемом случае волно-
волнового уравнения для однородной и стационарной среды дисперсион-
дисперсионная гиперповерхность представляет собой конус и* = тг/сг = ft2 или
|и| = ?. Поэтому спектральная плотность G((o, к) в разложении
Фурье корреляционной .функции однородного и стационарного
поля (6.3) содержит множитель 6(|*1—ft):
G(В«, В«) = /(В«., n)6(|M|-fc). (9.25)
где /(со, n) — функция частоты со и направления п=х/и.
В коэффициенте при дельта-функции можно выделить мно-
множитель и"*:
G (со, х) =¦ У (и, п) й"?8 (а—к). (9.26)
Величина Э1 (со, п) носит название лучевой интенсивности или
яркости и играет большую роль в теории переноса излучения
(гл. VIII). Связь этой величины с функцией корреляции можно
установить, подставив (9.26) в (6.3) и положив d?u = хг dv, do (n)
(do(n)—элемент телесного угла). Выполнив интегрирование по х,
получаем искомое соотношение (т = т1 — г4> t = tx—12):
V(t,r) = [[3 (со, n) fc-a6 (x—k) exp [i (xr — шО] *2dxdo (n)da =
= I da(f 3 (at, n)exp[/(/snr — att)\do(n). (9.27)
Рѕ
При г —0 и /^0 эта формула дает дисперсию поля
OD
Рѕ\ = <| Рё. |2>=W (0, 0) = \ da <f Р­ (Рѕ>, n) do (n). (9.28)
Рѕ
�з последнего выражения видно, что лучевая интенсивность
Э (со, п) описывает распределение энергии по (положительным)
частотам и по углам, т. е. представляет собой частотно-угловой
спектр поля. В частности, изотропному полю отвечает лучевая
интенсивность, не зависящая от углов (общее выражение для
функции корреляции в этом случае дано в задаче 2). Заметим,
что угловым спектром часто называют также двумерное разло-
разложение функции корреляции в интеграл Фурье:
F (со; хх, г) =щг J Ч> (»; Р. г) exp (— /x±p) d?p, xx = (кх, ку).
(9.29)
Как показано в задаче 4, при малой ширине углового спектра
величина F (ю; х±, г) пропорциональна лучевой интенсивности
(при г = 0 эти величины отличаются лишь множителем k~2).
j 10] Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 71
При помощи (9.27) можно оценить минимальный радиус кор-
корреляции /„ свободного волнового поля. Пусть ю,^—максималь-
ю,^—максимальная частота волн, еще заметно представленных в спектре Э (<*, п).
В силу (9.27) радиус корреляции поля 1и можно оценить из
условия kmax (п, г) 251, что приводит к оценке
U *2 С… W
лтах
�ными словами, радиус корреляции случайного волнового поля
не может быть меньше минимальной длины волны, имеющейся
в спектре колебаний. Строго говоря, эта оценка относится
к случаю изотропного поля, когда лучевая интенсивность не
зависит от п. Оценки продольного и поперечного радиусов кор-
корреляции поля для случая, когда его лучевая интенсивность
сосредоточена в узком конусе, даны в задаче 3.
Описанные выше свойства статистических моментов и спект-
спектральных плотностей характерны не только для скалярных, но
и для векторных случайных полей. Мы не будем приводить
здесь векторные аналоги рассмотренных выражений для полей
и их моментов, поскольку в принципе они не выходят за рамки
общих соотношений (9.1) и (9.3). Отметим только, что статисти-
статистические характеристики поляризации плоских квазимонохромати-
квазимонохроматических волн мы уже рассмотрели в ч. I, § 49. Введенная там
матрица поляризации характеризует статистическую связь раз-
разных компонент поля в одной и той же точке в один и тот же
момент времени (см. также [13, 14, 211 и [22]). Общий вид
корреляционной матрицы стационарного, однородного и изотроп-
изотропного поля приведен в задаче 6, а в задаче 5 указана связь
энергетических характеристик поля с корреляционной матрицей
поля и с матрицей лучевых интенсивностей.
§ 10. Дифракция плоской волны
на безграничном хаотическом экране
Первичное поле на границе рассматриваемой области может
флуктуировать как из-за флуктуации в его источниках (нахо-
(находящихся вне данной области), так и в результате случайных возму-
возмущений, внесенных в первоначально детерминированную первичную
волну при ее распространении. Примером может служитытрохож-
дение этой волны через случайно-неоднородную среду или слой
такой среды. Если толщина этого слоя достаточно мала, то его
можно рассматривать как бесконечно тонкий экран. Примени-
Применимость общих методов расчета поля в области, на границе кото-
которой S, задано случайное поле (§ 9), конечно, не связана с тем,
по каким причинам флуктуирует поле на границе. Существенно
лишь то, что статистика этих флуктуации известна.
72 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1Г
Начнем с простейшей задачи о прохождении плоской мо-
монохроматической волны через плоский безграничный хаотический
экран, следуя в основном работе [23]1).
1. Основные соотношения. Пусть монохроматическая
волна ип(р, г)е~ш падает на безграничный экран, расположен-
расположенный в плоскости z — 0. Экран пространственно модулирует па-
падающую волну в соответствии со своей функцией пропускания
f (p)—комплексной функцией, модуль которой описывает ампли-
амплитудную модуляцию, а аргумент—фазовую. Граничное поле«(р),
т. е. поле непосредственно за экраном 2 = 0, есть
а(р) = /(р)«»(р-О). (10.1)
Для краткости мы опускаем множитель е~ш, а также аргумент со
в спектральных амплитудах.
Если падающая волна плоская и распространяется по нор-
нормали к экрану, то ц„(р, z) = elfc!, так что
(Р®.2)
— поле на граничной плоскости 2 = 0 просто равно функции
пропускания, и, соответственно, статистика v(p) в случае хао-
хаотического экрана та же, что у f(p). Формулы (9.12) и (9.16)
позволяют связать статистические моменты* поля и (г) = и (р, г)
за экраном (т. е. в области г > 0) с моментами граничного поля
о(р). Найдем первый и второй моменты поля и (г) в простей-
простейшем случае статистически однородного хаотического экрана,
для которого
</ (СЂ)> . ft = const, Рѕ? = < | f |2> = < | /-/, |В«> = const,
а корреляционная функция зависит только от разностей коор-
координат:
Р§>, (СЂ'.РЈ) = </(СЂ') Р“ (СЂ")> = Р§>, (СЂ'-СЂ*).
В силу (10.2) имеем
<.v> = vo=fe, oj = oj, Ф0(р'—р") =¦*/(?'—р").
Для среднего поля за экраном по формуле (9.12) находим
2) В этой работе суммированы результаты и предшествующих исследова-
исследований [24—26], относящихся преимущественно к прохождению радиоволн через
случайно-неоднородную ионосферу. Более полный список литературы по по-
последнему вопросу содержится в обзоре 127].
|.ll] Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 73
�нтеграл легко вычисляется и равен —2лехр(!Йг). Таким об-
образом, среднее поле за экраном—это плоская волна
u=vee'k*, (10.3)
амплитуда которой v0 равна средней прозрачности /0.
Для нахождения функции корреляции воспользуемся выра-
выражением (9.16), из которого следует, что
1>« (Pi. гп Ра- га) = <«* <ri) "* (Гг)> =
5J pl—ix"pl + ip'z1 — ip"z^), (10.4)
где р' и р" даются выражением (9.15) соответственно при х = и'
и и = к". Но для однородного граничного поля
<5(*')о*(*О> = ->Ч,(»О6-(к'—к"), (10.5)
где ./%,(*)—двумерная спектральная плотность, через которую
выражается корреляционная функция граничного поля:
. (Р®.6)
— оо
Подставляя (10.5) в (10.4), находим
СЃРѕ
4>. = N'«(Pi—P.. Zj, г,)= J ^(x)exp[j»(p1—p,) + »(pZi—p*zz)\d?K,
(10.7)
Таким образом, полг и (р, г) статистически однородно в плос-
плоскостях г = const, что является следствием однородности v (p) в
плоскости г = 0. �з сравнения (10.7) с двумерным спектраль-
спектральным представлением
Фв(р1—Р«. *!, zs)= ^^(я, Zl г?)ехр[?х(р1 —p,)]d'x (10.8)
следует, что пространственная спектральная плотность есть
F. (и; гх, г,) = Fv (x>exp [i (рг,—р*г2)] =
Спектральные составляющие c«>J (неоднородности граничного
поля а(р) меньше длины волны) порождают в полупространстве
z > 0 неоднородные волны, ослабевающие при удалении от эк-
экрана по экспоненциальному закону. Для точек наблюдении г;
74 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
и z2, удаленных от экрана уже на несколько длин волн (г
приближенно
22)], *'<**В¦
Подставляя (10.9) в (10.8), получаем для корреляционной
функции выражение
(Р®10)
где р = р,-—р2, ^=г1 — г2. �з (10.10) видно, что при zli2|>A.
случайное поле и (р, г) становится статистически однородным не
только в поперечных плоскостях г = const, но и в продольном
направлении г.
�спользуя формулу (10.10), рассмотрим частные случаи мел-
мелкомасштабных и крупномасштабных флуктуации граничного
поля v (р).
В случае мелкомасштабных флуктуации, когда радиус кор-
корреляции граничного поля lv мал по сравнению с длиной вол-
волны X, т. е. при &/„<§; 1, можно принять, что спектральная плот-
плотность Fv(x,) практически постоянна в круге к^^и приближен-
приближенно равна FB(0) = Fc. Тогда из (10.10) получаем
*.(Р. ?) = '7. \ ехр(/хр+ ipS)d»*, klv<^\. (10.11)
Поперечная функция корреляции, т. е. функция корреляции в
плоскости г = const, перпендикулярной к направлению распрост-
распространения, получается из (10.11) при ? = гх—гг = 0:
где it—функция Бесселя первого порядка. При увеличении р
отношение /х (?р)/р проходит в первый раз через нуль Лри
fep = 3,83, т. е. при р«0,61А. Таким образом, уже на расстоя-
расстояниях в несколько X от экрана поперечный радиус корреляции
поля /j_ — величина порядка длины волны, т. е. значительно
больше радиуса корреляции lv в плоскости г = 0: lx ~ А, ^> /„.
�з выражения для продольной функции корреляции
следует, что продольный радиус корреляции /„ тоже порядка
длины волны: /,i~Ji^>/j,. Таким образом, в случае мелкомас-
мелкомасштабных флуктуации на экране как поперечный, так и продоль-
J101 Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 75
ный радиусы корреляции поля при удалении от экрана увели-
увеличиваются и при г^>Х достигают значений порядка длины волны.
Вместе с тем происходит уменьшение дисперсии флуктуации,
т.е. их сглаживание. Действительно, при помощи (10.11) находим
РќРѕ
так что
В пределе при Ы„-*-0 (очень мелкие неоднородности экрана)
флуктуационное поле и вообще исчезает, так как столь мелкие
неоднородности порождают за экраном только неоднородные
(экспоненциально спадающие) волны.
Обратимся теперь к крупномасштабным неоднородностям
граничного поля (klv^>l). Такие флуктуации порождают бегу-
бегущие волны, в силу чего они особенно важны в приложениях'.
Мы уделим им поэтому основное внимание.
В случае крупномасштабных флуктуации граничного поля
двумерный спектр Fv(x) сосредоточен в узком интервале зна-
значений х*ги„~ 1//„<^/г. Это позволяет разложить продольное
волновое число p = J/fea—у? в формуле (10.10) в ряд Тейлора
по степеням ка и ограничиться двумя первыми членами:
Кроме того, не совершая заметной ошибки, можно раздвинуть
пределы интегрирования в (10.10) до ±оо, и тогда
t»(P-?)«e'*c $ Fp(x)exp(/xp—ix»5/2fe)d'x (ft/B>I). (10.12)
— OB
Нетрудно убедиться, что сделанные допущения эквивалентны
использованию для поля н (р, г) френелевского приближения
(9.17).
Положив в (10.12) ? = 0, получаем поперечную функцию кор-
корреляции:
*i (Р ) ^ ^ (Р . 0) = \FV (Сѓ.) exp (ixp) dsx = ifc, (p) (10.13)
(см. (10.6)). Таким образом, поперечная функция корреляции
волнового поля и равна функции корреляции граничного поля
76 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1!
и не меняется при удалении от экрана. Тем самым и попереч-
поперечный радиус корреляции такой же, как в плоскости экрана:
Сохранение поперечной функции корреляции, отмеченное
впервые в работе [24], означает сохранение и дисперсии (df,=a$),
и поперечной функции когерентности. В самом деле, учитывая
закон изменения среднего поля (10.3), имеем для волны, не ог-
ограниченной в поперечной плоскости,
1а = Гв(Р)- (10.14)
При p = pt—р, = 0 отсюда вытекает постоянство средней интен-
интенсивности при удалении от экрана:
7« (г) = <| и 1!> = Г„ (0) = <| v |»> = const.
Следует подчеркнуть, что сохранение \|>х, T± и / при удалении
от плоскости г = 0 не имеет места для статистически неоднород-
неоднородного экрана и для неплоской падающей волны, а более высокие
моменты поля не сохраняются даже для плоской волны и ста-
статистически однородного экрана.
Продольная функция корреляции 1^(4) получается из (10.12)
РїСЂРё СЂ = 0:
Заметное уменьшение модуля функции т|>ц(?) по сравнению с
максимальным значением фц(0) = о? наступает при g — 2A/»c|,
когда подынтегральная экспонента начинает осциллировать в
пределах интервала к^х,,~ \/lv, в котором сосредоточен спектр
Fv(n). Отсюда можно оценить продольный радиус корреляции/„:
т. е. /ц в klv^>l раз больше поперечного масштаба l±~lv.
Можно сказать, что продольная корреляция флуктуации поля
исчезает тогда, когда радиус первой зоны Френеля КХ|г,—гг| =
= V4?| Для отрезка | g | = | гг—za | становится больше попереч-
поперечного радиуса корреляции: V Ы, ~1Г
Проиллюстрируем сказанное о соотношении между продоль-
продольным и поперечным масштабами корреляции примером, в котором
функция корреляции поля вычисляется точно. Пусть у поля на
экране корреляционная функция гауссова: %(р) = о\ехр\{— р*/2Щ.
10] Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 77
Для нее
и простой расчет по формуле (10.12) дает
*« (Р. О = °2?е'*:ехр [- р»7/2/у = y^v (р) ехр {(1 - у) р«/2?},
Где -у=[1 +'?/&'У~'- Характерный масштаб изменения |i|)n| имеет
порядок /±~4> B поперечном направлении и Л|~ОД>§>^ в про-
продольном. Поверхности равных значений | г]э„ | имеют при этом
форму овалоидов, сильно вытянутых вдоль оси г.
2. Прохождение плоской волны через фазовый
хаотический экран. Так называют прозрачный экран с
функцией пропускания /(p) = exp[t'S(p)J, где S —вещественная
Случайная функция, т. е. экран модулирует только фазу, но
оставляет неизменной амплитуду (и, следовательно, интенсив-
интенсивность) волны. В полупространстве г>0 фазовый экран вызы-
вызывает в прошедшей волне-как фазовую, так и амплитудную моду-
модуляцию. Последнюю можно наблюдать, например, на листе бумаги
при прохождении света через оптически неоднородное или не-
неровное (скажем, обычное оконное) стекло, если отодвинуть
бумагу на некоторое расстояние от стекла.
Фазовый экран часто используется в качестве модели для
описания ряда явлений как в оптике, так и в радиофизике.
Например, линза с оптическими неоднородностями модулирует
главным образом фазу проходящей световой волны. Такое же
действие оказывает ионосфера Земли на проходящие через нее
радиоволны УКВ-диапазона. Модель фазового экрана применяют
также (хотя и с меньшими основаниями) при анализе мерцаний
радиоволн, посылаемых внеземными радиоисточниками и прохо-
проходящих через статистически неоднородную межпланетную или
¦межзвездную среду.
Если на неограниченный плоский фазовый экран падает
плоская волна и„ = е'кг, то граничное значение поля в плоскости
экрана z = 0 равно
v (р) = ехр [IS (р)] «„ |г=0 == ехр [iS (р)].
Выясним, как связаны статистические моменты поля прошедшей
волны с функцией корреляции фазы
i>5 (Р ) = <S(P.) S(ps)> = o2sKs (Р ),
где о|—дисперсия, a Ks(p)—коэффициент корреляции фазы.
Предположим, что флуктуации S статистически однородны в
плоскости г —0, имеют нулевое среднее значение (5 = 0) и под-
подчиняются нормальному закону распределения вероятностей.
78 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. II
_ Учитывая, что для нормально распределенной величины а с
се = О справедлива формула <eta> = exp (—аа/2), находим
[S(p1)-S(p2)]}> =
= exp|--i<[S(Pl)-S(p2)]2>}.
Но при 5 = 0 средний квадрат разности фаз—это структурная
функция фазы Ds(p), связанная с корреляционной функцией
t|>s(p) соотношением (4.6). Поэтому
Г„(р) = ехр [-Va0s(p)] = exp [ij>s (p)-ij>s (0)] =ехр \a%
Среднее значение и поперечную функцию когерентности поля
за экраном можно найти по формулам (10.3) и (10.14):
п=аое*г = ехр {—
Г± (Р) = Г„ (р) = exp [-7,0s (p)],
причем поперечная функция корреляции равна
l]}-e-^. (10,15)
Если флуктуации фазы на экране слабы (о%<^. 1), то из (10.15)
имеем
т. е. при малых флуктуациях фазы поперечная функция корре-
корреляции поля во всем полупространстве г>0 совпадает с i|>s(p).
В случае же больших дисперсий фазы (ст|§> 1) среднее значе-
значение поля va = e~"sl* пренебрежимо мало по сравнению с едини-
единицей, а величина exp {a% \KS (р) — 1]} заметно отличается от нуля
только при малых р. Учитывая это, пренебрежем в (10.15) чле-
членом e'"s и разложим коэффициент корреляции Ks(p) в ряд Tejuiopa.
Считая для простоты флуктуации фазы на экране изотроп-
изотропными, имеем
?+..., (10.17)
где штрихом обозначено дифференцирование по р (линейный по
р член в разложении (10.17) отсутствует, так как случайное поле
фазы 5(р) предполагается дифференцируемым, АГ^(О)=О). В ре-
результате получаем
*> S (10.18)
101 дифракция плоской еолны на хаотическом экране ¦}§
це учтено, что значения в нуле вторых производных Z(J(O) и
>s (0) = osKs (u) отрицательны.
�з (10.18) видно, что корреляция исчезает при p^\osf(s(0) \~'flf&
ils/as, где /s ¦— | /Cs (0) |~l/P*—радиус корреляции фазы. Поэтому
ля поперечного радиуса корреляции получаем оценку
аким образом, при as§s>l радиус корреляции примерно в as
аз меньше корреляционного масштаба фазы ts. Нетрудно по-
ять, с чем связано это различие масштабов 1± и ls.
При смещении вдоль экрана на расстояние порядка радиуса
орреляции ls фаза S изменяется на величину AS ~ as, совер-
иив при этом не более одной осцилляции. В то же время гра-
[ичное поле v (р) = e's испытывает на том же расстоянии р ~ ls
грнмерно п <— os/n осцилляции, откуда и следует, что l± ~ /j/n~
РЈ<1
РЈР·<*
Приведенные выше соотношения используются, например, при
штерпретации данных о прохождении ультракоротких радио-
эолн от внеземных источников через ионосферу Земли [23—26],
} которой имеются неоднородности электронной концентрации.
При определенных условиях можно считать, что поле о(р) на
выходе из ионосферы испытывает только фазовые флуктуации.
Если дисперсия фазы <з% мала. по сравнению с единицей, то
пространственная функция корреляции поля на поверхности
Земли совпадает, согласно (ГО. 16), с функцией корреляции фазы
^(Р)' которая определенным образом связана с функцией кор-
корреляции ионосферных неоднородностей. Следовательно, прио|<^1
можно непосредственно измерить корреляционную функцию фазы
волны, прошедшей через ионосферу, и судить о неоднородностях
ионосферы.
Значительно сложнее интерпретировать данные наблюдений
при ojSg>l. В этом случае функция корреляции изотропного
поля il>j_(p) связана с г|)5 (р) соотношением (10.18), при помощи
которого можно оценить лишь величину | гр^ (0) | ~ а|//|. Допол-
Дополнительные сведения о as и ls можно извлечь из данных об от-
относительных флуктуациях интенсивности волны (см. ниже), но и
с привлечением этих данных добиться однозначной интерпрета-
интерпретации трудно.
Дело в том, что ионосферные неоднородности расположены
не на фиксированной высоте, а распределены (причем неравно-
неравномерно) на высотах от 100 до 400 и более километров над уров-
уровнем Земли. Кроме того, эти неоднородности имеют широкий
Диапазон горизонтальных масштабов (or 1^.1 до X ^ 500 км), их
действие часто маскируется сильно" фокусирующими~образВва -
ниями («ионосферными линзами») и т. д. Поэтому наблюдения
флуктуации поля на Земле позволяют оценивать только грубые
§0 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 11
характеристики ионосферных неоднородностей: их горизонталь-
горизонтальные масштабы, степень анизотропии (неоднородности, как пра-
правило, вытянуты вдоль линий магнитного поля Земли), вероят-
вероятную высоту их расположения, а также среднюю скорость пере-
перемещения (дрейфа) неоднородностей [28, 29].
3. Флуктуации амплитуды и фазы за безгра-
безграничным фазовым экраном. Во многих приложениях, в
частности в задачах радиосвязи и радионавигации, представляют
самостоятельный интерес статистические характеристики ампли-
амплитуды и фазы волны. Для их вычисления кроме первой функции
корреляции комплексного поля ф_|_ (р) = <и (р1т г) и* (р„ г)>, кото-
которая в случае плоской волны и статистической однородности экра-
экрана не меняется при удалении от последнего, необходима и вторая
корреляционная функция ip_[_ (р) = <u (pt, г) и (р3, г)>.
Закон преобразования второй функции корреляции при/уда-
при/удалении от экрана можно получить при помощи френеле^ского
приближения (9.17), которое применимо к полям именно-'с круп-
крупномасштабными неоднородностями на границе. �спользуя (9.17)
и опуская для краткости аргумент га, находим
Ф± (Р. *) =
- ШУ � *> (р'-р")ехр {Ф(р1-р')'+(р2-р'?]} *р'*р\
(10.19)
где \\fv (р) = <о (pj v (pj—р)>—вторая корреляционная функция
поля на экране. Введем новые переменные интегрирования ? =
= р'~р" и г| = (р' + р")/2. �нтеграл по ц легко вычисляется,
при этом зависимость от рх + ра из (10.19) выпадает и остается
лишь зависимость от pt—р2. Переобозначив в оставшемся инте-
интеграле | через р' и Pi—ра через р, получаем
(10.20)
Таким образом, вторая корреляционная функция преобразуется
почти так же, как и само поле: отличие от (9.17) заключается
лишьвтом, чтов(10.20) входит удвоенное расстояние от экрана 2г.
Последующие выкладки упростятся, если вместо флуктуацион-
ной; части поля и ввести вспомогательную случайную величину
a=;ue~ikz, e = 0, которая представляет собой комплексную ам-
амплитуду флуктуации поля. Первая и вторая корреляционные
функции этой величины преобразуются по формулам, аналогичным
Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ
{10.13) Рё (10.20):
81
*.(Р .*) = Рљ5 5
(10.21)
(10.22)
В отличие от (10.20), в (10.22) не входит множитель eiik*.
Кроме того, удобно нормировать средний квадрат пчля на
экране о(р) к единице:
<|y|*>=.a? + li'0|*=l. (10.23)
Такая нормировка отвечает непоглощающим и неотражающим
экранам, поскольку падающая волна единичной интенсивности
1е~\е11иу—\ порождает за экраном волну с той же средней
интенсивностью: т ,.
Это условие, очевидно, выполнено
для чисто фазового экрана.
Свяжем теперь величину а с ам-
амплитудой А и фазой S волны
и — Ае?+1кг, распространяющейся за
экраном. �меем
В«(Р . Рі) = Рђ (СЂ, Рі) exp [ikz + iS (СЂ,Рі)1=
Р РёСЃ. 3.
где va без ограничения общности можно считать вещественной
величиной. Разделяя а на вещественную (а') и мнимую (а") части,
находим, что
Aets = i\ + a = (у„ + о') -f ia",
откуда
A =l/'K-fa')2+a"'> S = arctg^-~i- (10.24)
На рис. 3 показаны соответствующие векторы на комплексной
плоскости амплитуды U = Aels.
Задача о нахождении из (10.24) статистических характеристик
амплитуды Л и фазы S решается до конца в двух частично пе-
перекрывающихся случаях: при слабых флуктуациях поля на
экране, когда \а'\ и \а"\ малы по сравнению с единицей, и во
фраунеоферовой зоне, когда величины а' и а" распределены по
нормальному закону. Эти случаи и будут рассмотрены ниже.
�сследуем сначала флуктуации амплитуды и фазы при слабых
флуктуациях. Пренебрегая малыми членами порядка je'|3 и |а"|»,
82 излучение и Дифракция случайных полей (гл. п
и учитывая, что в силу (10.23) v\ + (a')2+ (а")2= 1, при помощи
(10.24) получаем средние значения А и S:
Л"=1 — Va<a">, S = — <a'a">, (10.25)
а также выражения для корреляционных функций (p = Pj—ра):
<Ыр, z)=<A(Pliz) А(ра, г)>=^(р, г),
Фг (Р, z) = <S(Pl) z)S(p2, г)> = 1|& (р, г), (10.26)
ЧЬЯ(Р. г)=<Л (pj, z)S(p2, z)>=i|&(p, ?),
где ijjfj (p, г), i, / = 1, 2—корреляционные функции вещественной
и мнимой частей комплексного случайного поля а. В общем слу-
случае они выражаются через первую и вторую функции корреляции
ф„(р,г) и ф„(Р. г) при помощи формул (2.14). Однако, если
^а(Р. 2)—четная функция р, то справедливы более простые
формулы (2.22):
1/(Ф + Кеф) i& = VM>Re4>) (1027)
Таким образом, посредством формул (10.25) и (10.26) первые
два момента амплитуды и фазы выражены через первую и вторую
корреляционные функции комплексного поля а. Последние же
преобразуются при удалении от экрана в соответствии с выра-
выражениями (10.21) и (10.22), чем и решается поставленная задача [23].
В частном случае фазового экрана с начальной фазой 5, рас-
распределенной по нормальному закону, имеем
^-Vp'j, (10.28)
Ъз(Р. г) =§S5 J ШР)«мkj?irXdV- (10.29)
где ф!(р)—корреляционная функция фазы в плоскости г = О.
Для гауссовой корреляционной'функции фазы
iH(p)=a|oe-P'/В«'i (10.30)
эти интегралы легко вычисляются и, в частности, при р = С
дают
где О = ?>(г) = 2z/kl%. Величину D называют вслед за Г, С. Го
реликом [43] волновым параметром. Этот параметр показывает
101 Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ S3
во сколько раз площадь первой зоны Френеля л /
превышает по порядку величины «площадь» одной неоднородности
^/ я/§, т. е. сколько неоднородностей умещается в этой зоне.
В зависимости от значения волнового параметра можно выделить
три области дистанции z (которые тоже называют зонами): ближ-
ближнюю (D<-gl), френелевскую (D~l) и фраунгоферову (D^>1)
зоны (по отношению к отдельной неоднородности). Для каждой
из них характерны определенные особенности флуктуации.
В ближней зоне (D<|;1) преобладают, естественно, фазовые
флуктуации: <з\ <^ст| я: а|0. При удалении от экрана амплитудные
флуктуации нарастают, а фазовые уменьшаются, причем в пре-
пределе D—уса (фраунгоферова зона) дисперсии амплитуды и фазы
выравниваются:
O4.sb-В»=Vsa|,. (10.32)
Корреляция между А и S пренебрежима в ближней и дальней
зонах и максимальна при D ~1.
Обратимся теперь к флуктуациям в зоне Фраунгофера (D^>\)
при произвольных (не обязательно слабых) флуктуациях поля
на экране. При D^>1 в пределах первой зоны Френеля с ради-
радиусом V%z, которая только и существенна для интегрирования
в (9.17), умещается много неоднородностей поля на экране.
В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей
закон рчспределения величин а' и а" приближается поэтому
к нормальному.
Нормализация этих величин обусловлена «фильтрующим» дей-
действием свободного пространства и имеет такую же природу, как
и нормализация временных сигналов на выходе узкополосных
фильтров (ч. I, § 50). Действительно, преобразование случайного
поля по формуле (9.17) вполне аналогично преобразованию слу-
случайных процессов, причем аналогом импульсной функции в на-
нашем случае является разностное ядро преобразования (9.17),
которое и осуществляет фильтрацию с эффективной шириной
полосы пространственных частот Ди~ |/&/г~ (Яг)-*/¦. С ростом
дистанции г эта полоса сужается и при г^>Щ (т. е. в дальней
зоне, D^> 1) становится значительно уже первоначальной ширины
пространственного спектра v.v~ \/lo. При этих условиях и про-
происходит нормализация поля м(р, г).
То обстоятельство, что а' и а" в дальней зоне распределены
по нормальному закону, дает возможность найти плотности ве-
вероятностей амплитуды и фазы и вычислить моменты этих величин.
По существу, речь идет о хорошо изученной задаче о статистике
огибающей А и фазы S сигнала и(р, г) = Ле'я+'*г= (и„+ а)е"",
представляющего собой сумму гармонического колебания i\eikz и
гауссова шума u = ae'kz.
84 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ.
Для гауссовых величин закон распределения вероятностей
полностью характеризуется только низшими моментами—средними
значениями и функциями корреляции. В нашем случае a'=cf = О,
а функции корреляции ф?!, ijft и ^ выражаются через первую
и вторую функции корреляции комплексного поля а посредством
формул (10.27). В зоне Фраунгофера эти формулы существенно
упрощаются, поскольку при D^> 1 вторая корреляционная функ-
функция •фд (р, г) пренебрежимо мала по сравнению с первой. В ре-
результате при D ^> 1 имеем
Р§4(Р , Рі) = Р§)?Рі(Р , z) = 'MUp). 4>?В»(P,z) = 0, (10.33)
т. е. в зоне Фраунгофера поля а' и а" некоррелированы, а их
автокорреляционные функции одинаковы и отличаются коэффи-
коэффициентом V« от первой функции корреляции поля на экране. Как
следствие этого, функции ijifi и тЦ» и связанные с ними стати-
статистические характеристики амплитуды и фазы не зависят от рас-
расстояния до экрана: с ростом дистанции z они остаются такими
же, как на «входе» в дальнюю зону г^ВД.
Определение статистических моментов амплитуды и фазы при
известной (гауссовой) статистике о' и а" проводится таким же
образом, как и в ч. I, §§ 25 и 44 (см. также [30, 31]).
4. Флуктуации интенсивности за безгранич-
безграничным фазовым экраном. При рассмотрении флуктуации
интенсивности обычно интересуются их функцией корреляции
(P = Pi—Ра)
/" Рі) /(СЂ2,Рі)> = </(СЂ1,Рі)/(СЂ!1Рі)>-7Р° (10.34)
и так называемым индексом мерцаний (5:
y(t) = <J'(yC) = ^| (10.Р—Р‘)
который характеризует относительные флуктуации интенсивности.
Если принять, как и выше, что /=1,то
Ь (Р, *) = </ (Pl, г) / (р„ г)>-1, (10.34')
Р * (Рі) = </В» (Рі)>-1 = Рѕ? (Рі). (10.35')
Как и при анализе амплитудных и фазовых флуктуации, рас-
расчеты у, и р удается довести до конца лишь в двух частично
пересекающихся предельных случаях—4цля слабых флуктуации
и дляЩ>раунгоферовой зоны. >
�спользуя результаты п. 3, легко показать, что в случае
слабых флуктуации
Ыр, г)=41|)д(р, г),
Д�ФРАКЦ�Я ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ХАОТ�ЧЕСКОМ ЭКРАНЕ 85
Таким образом, флуктуации интенсивности меняются при удале-
удалении от экрана по тому же закону, что и флуктуации амплитуды.
При D^l (зона Фраунгофера) (Sa(z) стремится к предельному
значению
pl = 2cjo> 0|Рѕ<1, (10.36)
независимо от вида функции корреляции фазы на экране.
При расчете чр, в дальней зоне (D^>\) воспользуемся фор-
формулой из задачи 12 к гл. I, которая справедлива для полей,
распределенных по нормальному закону. При D^z>\ имеем
^ /^0 так что Г(1,2) = й(1)п(2) и
)ЧГя(р)|а-|й|*=|Го(р)|2-Ы4- (10.37)
Так как мы приняли, что Гв(0) = / = 1, для индекса мерцаний
в дальней зоне (г—>•<») получаем
К~-р!. = 1>/(0)=1-|«».1*- (10.38)
Согласно этим формулам функция корреляции интенсивности ф/
й индекс мерцаний J32 при D^>1 уже.не зависят от г.
В частном случае фазового экрана с гауссовыми флуктуациями
фазы, когда vo — e""^2, а 1|>Лр) дается выражением (10.15), по-
получаем
1V(f>) = e~2<l|<4exp[2i|>В°s(p)l-l}, P*=-1 -Рµ'^\ (10.39)
При о|о<С 1 последнее выражение переходит, как и следовало
ожидать, в формулу (10.36). В другом частном случае—экран
с нулевым средним полем (va — 0) — выражения (10.37) и (10.38)
принимают особенно простой вид:
Анализ флуктуации в общем случае наталкивается на значи-
значительные математические трудности. Если флуктуации поля на
экране не малы и точка наблюдения не удалена во фраунгофе-
рову зону по отношению к отдельной неоднородности, то расчет
индекса мерцаний сводится, в рамках френелевского приближе-
приближения (9.17), к вычислению интеграла
4-1. (10.40)
86
РіРґРµ
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
Г;2'2) (1,2, 3, 4) = <v (pj о (р.) »• (рз) V (Pl)>
— смешанный момент четвертого порядка. Для произвольных
функций Г„>2) (1, 2, 3,4) значения интегралов вида (10.40) можно
находить лишь численными методами. Рассмотрим полученные
таким путем в [32] результаты для фазового экрана.
Если фазовые флуктуации распределены по нормальному за-
закону, то
Г* 3> (1, 2, 3,4) = <ехр {/ [S (Pl) +5 (pJ-5 (p,)-S (Pl)]}> =
где TJ3/ft = л|з5 (р,-— р4) — значения функции корреляции фазы 5 при
р = р(—рк, а а|0—дисперсия фазы. На рис. 4 показаны полу-
полученные в [32] графики зависимости индекса мерцаний Рг от вол-
волнового параметра D = 2z/kl% для
гауссовой функции корреляции
фазы (10.30) и для значений дис-
дисперсии о1о от 0,1 до 5.
Поведение этих кривых нам
уже частично известно: в зоне
Фраунгофера (?>> 1) ра = К =
= 1 —e"2°s», а при слабых флук-
туациях фазы (сг|0<^1) рз =
^2al0D3/(l +D*)- Новым является
наличие при' о|0 > 1 максимумов
(З при промежуточных значениях
^ЬДля величины максимумов
Р2 при сильных флуктуациях фа-
фазы (а|0^>1) в [32], а также в
[33], где было проведено качест-
качественное рассмотрение вопроса, дана оценка pLax^ 1по|0. Более
аккуратные расчеты, проделанные в [34, 35] для функции кор-
корреляции фазы il's(p) произвольного вида, привели к следующему
асимптотическому значению р^ах при а§0^>1:
Р РёСЃ. 4.
Здесь у—численный коэффициент, равный -?¦—й5а ;, а ^ =
=--1 K's (0) |"1/» — величина порядка радиуса корреляции фазы. Для
гауссовой функции корреляции (10.30) у = 72, l\-=h- Эти оценки
указывают на логарифмическое «намодение» индекса мерцаний
Ртах с РОСТОМ О|„.
^[l] Д�ФРАКЦ�Я Ё ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 87
Максимум индекса мерцаний приходится, согласно [32—35],
на расстояние гт, равное
*-=§¦ (ю'41)
Формула (10.41), как и самый факт появления максимумов,
допускает простую геометрическую интерпретацию: флуктуации
интенсивности максимальны там, где волны за фазовым экраном
фокусируются. Действительно, в приближении геометрической
оптики фокусировка происходит на расстоянии zm~ 1/v от фазо-
фазового экрана, где v—кривизна фазового фронта. По порядку ве-
величины \'~' ~? \~fov) (х—одна из координат в плоскости г = 0) и
d2S cSa
-ал 71" • Следовательно, zm ~ 1/v ~ Ws/O"50, что совпадает
с (10.41). Очевидно, чем больше дисперсия фазы а|„, тем ближе
к экрану расположена зона фокусировок.
Эффект фокусировки волн и обусловленные им максимумы
индекса мерцаний характерны, очевидно, только при условии,
что на экране хорошо выражены именно фазовые флуктуации.
Если же на экране флуктуирует только амплитуда, то дифрак-
дифракция приводит не к увеличению, а, наоборот, к сглаживанию
флуктуации интенсивности, т. е. к уменьшению индекса мерца-
мерцаний. Примеры такого сглаживания рассмотрены в задачах 7 и 8.
Сглаживание флуктуации интенсивности происходит также в том
случае, когда на фазовый экран падает не плоская волна, а волна
от источника конечных угловых размеров [32].
§11. Дифракция случайных полей
в простейших оптических системах
В предыдущем параграфе мы рассмотрели одну из простейших
статистических дифракционных задач—дифракцию детерминиро-
детерминированной плоской и монохроматической волны на бесконечном и
статистически однородном хаотическом экране. Здесь мы обра-
обратимся к дифракции случайных полей на детерминированных объ-
объектах. В основном мы будем иметь в виду слабо расходящиеся
волновые пучки, чаще всего встречающиеся в оптических и ква-
квазиоптических системах.
1. Прохожден ие случайной волны через отвер-
отверстие в экране. Теорема Ван-Циттерта — Цернике.
Пусть v (со, р) = ып(со, г)|г=0 — спектральная амплитуда поля, соз-
создаваемого каким либо источником в плоскости г = 0. Если
поместить в этой плоскости непрозрачный экран с отверстием S,
вырезающим пучок волн конечного диаметра, то непосредственно
за экраном образуется поле «на выходе» кв(и>, р), которое в
88 �злучение и Дифракция случайных Полей [гл. и
приближении Кирхгофа равно1)
( v (СЃРѕ, СЂ) РЅР° S,
«°(ш'р>=\ 0 вне S.
Это поле можно записать через функцию пропускания отверстия:
считая, что
РЅР° S,
1 РІРЅРµ 5.
В случае плавных (в масштабе длины волны) флуктуации
граничного поля v(u>, p) для вычисления поля за отверстием
можно воспользоваться френелевским приближением (9.17), кото-
которое с учетом (11.1) дает
М (р'> v <¦«>• Р') ехР fl7 (Р- Р')2] *Р'- (•' -3)
Среднее по ансамблю источников значение v(a>, p) равно нулю,
вследствие чего и
<В«(В«, Рі)> = 0. (11.4)
Вычислим поперечную функцию когерентности дифракционного
поля, т. е. функцию когерентности в плоскости г — const. В со-
соответствии с (П.З) имеем
Г± (Ч ри р2, г) = <ц (ш, ри г) и' (ш, р2, г)> =
= (si)' $ Рњ W Рњ (Р ")Р“" ((0- Р ' ~ Р 
^'^Р ", (Р�.5)
где Г„(со, р'—р") — пространственная функция когерентности гра-
граничного поля v (к>, р), которое предполагается статистически одно-
однородным. Пространственно-временные функции когерентности полей
u(t, т) и v{t, р) связаны с Гх(ео, р13 р2, г) и Г„(к>, р'—р") преоб-
преобразованиями Фурье, например:
OD
РіС…(С‚> Pi. Р Рі. Рі) = ^ r-L(В°>. Pi. Р Рі. Рі)Рµ-*"dm. (11.6)
Рѕ
') Приближение Кирхгофа применимо, как известно, при условии, что
размеры отверстия а велики по сравнению с длиной волны, ар>Л.
|('j] Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 89
Щ силу (11-4) все эти функции когерентности совпадают с соот-
соответствующими функциями корреляции.
Не конкретизируя вида функции когерентности (корреляции)
граничного поля, интеграл (11.5) можно вычислить в двух
предельных случаях — при больших и малых размерах отверс-
отверстия а по сравнению с радиусом корреляции /„ (но всегда при
)
При a<^lv (малое отверстие) функция когерентности гранич-
граничного поля Г„ практически постоянна в пределах отверстия и ее
можно вынести за знак интеграла со значением Fv (го, 0) =7„(ю).
В результате1)
^(Pj.Ps, Рі)=7Рі,РёР›1(СЂ1, Рі)Рё"Рј(СЂ81 Рі), (11.7)
где поле «м(Р. г) дается выражением
и представляет собой дифракционное поле за отверстием при
нормальном падении на него плоской волны единичной амплитуды.
Коэффициент корреляции при дифракции на малом отверстии
равен
rВ±(Pi, Ps, z) ayii(pi.z)uj,(pa, z)
„ ра, г) = уг^ (pi] pi_ г) ^ (pj pj г) = y~Um (Pi_ г) |, Um (p>i г) | >
так что | /Cx<J = 1 ¦ Это означает, что случайная волна, прошед-
прошедшая через малое отверстие), порождает пространственно коге-
когерентное поле. До создания лазеров пропускание света через
малое отверстие (наряду с использованием малых источников
света) было практически единственным способом получения про-
пространственно когерентного света. Этим способом пользуются и
в настоящее время, если не требуется высокой интенсивности
поля.
Обратимся к другому предельному случаю a^>lv (широкое
отверстие). Прежде всего отметим, что вблизи отверстия имеется
область, в которой функция корреляции будет такой же, как
и в отсутствие непрозрачного экрана. Форму и размеры этой
области можно оценить, используя спектральное представление.
Ширина двумерного спектра Fv(n) случайного поля v имеет по-
порядок v.v~\lls или, в пересчете на углы, 8~к.в/к~Х/1Ч1. Сле-
Следовательно, если точки наблюдения rt и г2 находятся внутри
1) Начиная с формулы (11.7), мы опускаем аргумент (О всюду, где это
Может привести к недоразумениям.
90
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
1ГЛ. 11
конуса с основанием а и углом при вершине б (рис. 5), то поле
«не почувствует» влияния краев диафрагмы. Для всех точек
внутри этого конуса поперечная функция корреляции будет та-
такой же, как у граничного поля:
Гц. (Pi. Ра. г) = Г„(р! —р,).
Предельная дистанция глр, на
которой еще справедливо это соот-
соотношение, оценивается как1)
РіСЏСЂ~-| ~-f2-~fe<. (Рџ.9)
При a^>lv эта дистанция отвечает
дальней зоне по отношению к раз-
размеру неоднородностей lv, так как
2„р а
Р РёСЃ. 5.
и ближней зоне по отношению к размеру отверстия а:
РіРїСЂ
a ^*
Отсюда, в частности, следует практически важный вывод, что
распределение флуктуации поля за отверстием нормализуется
еще в ближней зоне апертуры а.
Вычислим интеграл (11.5) при 2^>гпр. Для этого перейдем
к новым переменным | = р' — р" и т] = (р' + р")/2 и обозначим
полусумму (р, + р,)/2 через р+, а разность pj—pa—через р.
Тогда (11.5) принимает вид
Г±(Р, Р+, г) =
_/Js_V
Область интегрирования по \ ограничена здесь неравенством g<
<!/„<^а, так как при |<э/е функция корреляции Tv (|) близка к
нулю. В то же время ц^,а, поскольку при \\>а обращается в нуль
произведение М (t)+|/2) М (ц—1/2)я#Л1в (ц) =М (г\). Поэтому пер-
первое слагаемое в показателе экспоненты ограничено сверху не-
неравенством fe|r|/2 =S/2uZj,/z ~ 2np/z. При г^>гпр этим слагаемым
') Если lv^a, то в качестве гпр следует брать величину гпр~о, так
как в этом случае ширина углдвого спектра 6 сравнима с я/2.
I til Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 91
можно пренебречь, и тогда интегралы по ? и г] разделяются
j *|Г„<5)ехр(--!*l?±-). (НЛО)
Р¶
РґР»
- ' L >
Точно такое же выражение можно получить и непосредст-
непосредственно из формулы (9.18) для поля во фраунгоферовои зоне:
L \ (
(11.11)
Однако приближение (11.11) справедливо только в дальней зоне
2§s>fta\ a формула (11.10) применима и на гораздо меньших
дистанциях г^>гпр~ kalv. �ными словами, функция когерент-
когерентности (11.10) формируется еще в ближней зоне по отношению
к отверстию.
Зависимость функции когерентности (11.10) от поперечных
координат p = Pi — р2 и p+ = (pt + p2)/2 определяется произведе-
произведением трех сомножителей. Множитель перед интегралом
exp {ifepp+/z} = exp {ik (р? —pi)/2z} к, exp {ik (^—г2)}
возникает просто из-за того, что сферические волны, покидаю-
покидающие отверстие, не согласованы с плоской формой поверхности
z = const, на которой рассматривается корреляция поля. Если
взять корреляцию на сфере г = const, этот множитель обратится
в единицу.
�нтеграл по г\ в (11.10), зависящий только от разности р =
= pt—р2> характеризует поле когерентного источника с распре-
распределением амплитуды А1(т|). При размере отверстия а угловая
ширина диаграммы направленности такого излучателя имеет по-
порядок h/a, а линейная ширина центрального дифракционного
лепестка в плоскости г = const равна Др ~ Xz/a. Отсюда для
поперечного радиуса корреляции сразу же следует, что
где ^-—а/г — угловой размер отверстия из точки наблюдения.
Как и ширина дифракционных лепестков, поперечный радиус
корреляции возрастает по мере удаления от плоскости ? = 0.
Увеличение радиуса когерентности геометрически объясняется
� Д�ФРАКЦ�Й СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
1РіР›. it
тем, что при удалении от отверстия фазовые фронты всех эле-
элементарных сферических волн можно считать (с точностью до X)
совпадающими на все большей площади.
Второй интеграл в (11.10) определяет пространственное рас-
распределение средней интенсивности дифракционного поля. Поло-
Положив в (11.10) р = 0 и учитывая, что интеграл по х\ при р = 0
равен площади отверстия S, имеем
J Г,(8)ехр(_2^1.
(11.13)
По предположению масштаб lv изменения функции Г„ мал по
сравнению с поперечником отверстия а. Поэтому ширина рас-
распределения интенсивности 7а в плоскости 2 = const, составляю-
составляющая р+ -~ Яг//„ (угловая ширина имеет порядок p+/z~X/lv~l/ktv),
Р РёСЃ. 6.
велика по сравнению с поперечным радиусом корреляции lL:
Таким образом, мы имеем здесь дело с примером квазиоднород-
квазиоднородного (в плоскости г = const) поля. В данном случае все реали-
реализации дифракционного поля за отверстием представляют собой
быстрые пространственные осцилляции с масштабом /j_ и с раз-
размахом порядка у 1и(р) (рис. 6.).
Если разделить функцию когерентности (11.10) на среднюю
интенсивность дифракционного поля, то мы получим коэффи-
Д�ФРАКЦ�Я Й ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 93
циент поперечной пространственной корреляции поля
где величина
представляет собой нормированное к единице (JF (0) = 1) преоб-
преобразование Фурье от М (ц) и одновременно—диаграмму направ-
направленности отверстия при нормальном падении на него плоской
монохроматической волны. В частном случае круглого отверстия,
когда Л1(р) = 1 при р<а и обращается в нуль вне этого круга,
где У,(ха)—функция Бесселя первого порядка.
В пределе, когда радиус корреляции граничного поля lv мал
по сравнению с длиной волны, интеграл по \ перестает зави-
зависеть от р+:
РѕСЃ
J Г„(1)ехр (-
Через Sv здесь обозначена эффективная площадь когерентности
граничного поля:
[ [ v(l)d4, (Рџ.15)
которая по порядку величины равна 1%. В результате при
^„<^А из (11.10) вытекает так называемая теорема Ван-Цит-
терта — Цернике:
Г.(Р, Р+. Z) = ^-exp (i*MLL) J ^(р')ехр (-Ш.)^'. (11.16)
Входящую сюда величину
¦Г(Р')=^-/АЛ1(Р') (11.17)
называют приведенной интенсивностью.
Согласно теореме Ван-Циттерта—Цернике модуль поперечной
Функции когерентности Гх зависит от разности р = р, — р2 так
94 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ �ГЛ. II
же, как и поле в зоне Фраунгофера, создаваемое полностью
когерентным источником с распределением амплитуды, пропор-
пропорциональным J (р'). От обычных дифракционных формул выра-
выражение (11.16) отличается в двух отношениях. Во-первых, квад-
квадратичная по полю величина Tj_ обратно пропорциональна квад-
квадрату (а не первой степени) расстояния. Во-вторых, это выражение
вместе с исходной формулой (11.10) применимо, как уже отме-
отмечалось, на дистанциях г^>г|ф, причем в рассматриваемом пре-
пределе lv^a величина гпр сравнима с а, тогда как диаграмма
когерентного источника с поперечником а формируется на зна-
значительно больших дистанциях z^>ka?^5=>znv~a.
Обычно теорему Ван-Циттерта—Цернике (11.16) получают
путем формального введения дельта-коррелированных флуктуа-
флуктуации граничного поля, полагая в (11.5) или в (11.10)
при этом в выражении (11.16) для приведенной интенсивности
вместо произведения IVM (р') возникает переменная интенсив-
интенсивность /„ (р'). �сточник с независимыми значениями поля в сколь
угодно близких точках называют пространственно некогерентным.
Представление о пространственно некогерентном источнике
является идеализацией, имеющей ограниченную область приме-
применимости. Дело в том, что поле бегущих волн по самой своей
природе не может быть дельта-коррелированным в пространстве,
поскольку (§ 9) масштаб изменения поля lv не может быть
меньше длины волны X1). Поэтому в рассматриваемой поста-
постановке задачи (дифракция случайного поля на отверстии) переход
к пределу lv—»0 является, строго говоря, незаконным, что ста-
ставит справедливость вывода теоремы Ван-Циттерта—Цернике на
основе (11.18) под сомнение. С теоремой (11.16) мы встретимся
еще в одном важном случае, а именно в задаче об излучении
поля системой точечных независимых источников, к которой мы
обратимся в § 12. Смысл приведенной интенсивности в этой за-
задаче будет, разумеется, иным, чем в (11.17).
Результаты, полученные выше для пространственной корре-
корреляции спектральных амплитуд, в случае квазимонохроматиче-
квазимонохроматического поля сохраняют силу и для самих полей. В самом деле,
1) Заметим попутно, что отождествление приведенной интенсивности (11.17)
со средней интенсивностью поля в отверстии Iv (p) ведет к тому же выводу.
Такое отождествление возможно при *!6'в/4яа= 1, а это означает, что 5„ = X2,
что противоречит принятой в (11.18) гипотезе о дельта-корреляции, по ко-
которой sv — il<g)f.
jll) Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 95
согласно (11-6) пространственная корреляционная функция равна
РўВ±(С… = Рћ, Pl, СЂРі, Рі)=
:? #т]/�(ц)ехр(— -^-) . (11.19)
Для квазнмонохроматического поля функция Г„(м, 1) сосредо-
сосредоточена в узкой полосе частот Дсо вблизи частоты «„. Поэтому
приближенно (k0 = ajc)
Гх(т = 0, plt p2, г) —
(^^(^), (11.20)
РіРґРµ
— пространственная функция корреляции граничного поля, а
A«W—эффективная ширина полосы частот.
Переход от (11.19) к (11.20) возможен при выполнении не-
неравенства
|^-(pp+-lP+-ilp)| = 4f|(p1-p')3-(pJ-P")3Kl, (11-21)
физический смысл которого заключается в том, что разность
хода волн от разных частей отверстия должна быть мала по
сравнению с длиной когерентности tk = стА ~ с/Аш. Простые
оценки показывают, что для выполнения неравенства (11.21) до-
достаточно условия квазимонохроматичности (AoxSjCcoJ и условия
Р+=€а, которое требует, чтобы «центр тяжести» точек наблюде-
наблюдения р+= V2(Pi"l"Pj He выходил за пределы размеров отвер-
отверстия а.
2. Фокусировка случайных волн. Дифракционную
картину в фокусе линзы можно получить из предыдущих ре-
результатов при помощи простых преобразований, поскольку поле
96 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
в фокальной плоскости линзы подобно полю отверстия на бес-
бесконечности.
Пусть в отверстии непрозрачного экрана находится тонкая
линза с главным фокусным расстоянием F. Действие линзы можно
описать, введя под знак интеграла в (11.3) фазовый множитель
ехр{— ikp'2/2F):
Рј СЃРѕВ»( %) (^)
(11.22)
В главной фокальной плоскости z — F показатель экспоненты
упрощается и поле и (р, F) выражается просто преобразованием
Фурье от M(p')v(p'):
-g.)] f , В»
M(p)u(p')exp
(11.23)
От фраунгоферова приближения (11.11) для поля отверстия
(без линзы) выражение (11.23) отличается только заменой г на F,
так что формулы для функций корреляции повторяют соответ-
соответствующие выражения из п. 1. Так, при a<S; Jj, (малое отверстие)
распределение интенсивности в фокальной плоскости оказывается
таким же, как и для пространственно когерентной плоской
волны. В противоположном случае a^>tv (большое отверстие)
распределение интенсивности может быть получено из (11.13):
ГЛ!)ехР(—
Размер фокального пятна в этом случае дается выражением
рф — XF/lv, т. е. оно в a/lv раз больше, чем для детерминиро-
детерминированного поля плоской волны (p4 ~ XF/a). Однако интенсивность
в центре дифракционной картины теперь равна
;-(СЂ+=0,
что примерно в S/Sv ~ (a/lvY раз меньше, чем при когерентном
освещении (малое отверстие). Разумеется, полная интенсивность,
полученная интегрированием /„ по всей плоскости г = F, в обоих
случаях одинакова и равна полной «входной» интенсивности
7vs.
*tll
Д�ФРЛКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ
97
Как и при дифракции на отверстии, распределение интен-
интенсивности для квазимонохроматического поля оказывается прак-
практически таким же, как и для строго монохроматической волны.
Более того, в, оптике даже в случае белого света, у которого
Де> — шл, распределение интенсивности в плоскости z = F лишь
незначительно отличается от соответствующей картины для моно-
монохроматического поля. �менно поэтому при рассмотрении задач
oj формировании оптического изображения допустимо пренебре-
пренебрежение эффектами, обусловленными временной некогерентностью
поля [21, 36].
3. О роли пространственной когерентности
освещения в|форм ир овании оптического изобра-
изображения. Рассмотрим простейшую оптическую систему, содер-
содержащую только одну тонкую линзу (рис. 7). Полупрозрачный
Z—Z,
объект, например диапозитив, характеризуемый комплексным
коэффициентом пропускания f{9i), расположен в предметной
плоскости г= —гГ При освещении этого объекта слева плоской
монохроматической волной «lw = "in(P. г) непосредственно за
объектом создается поле
"i(Pi) = /(PiWPi). »(Pi) = «m(P, г)|2=-г„ (11.24)
где pt — радиус-вектор точки в предметной плоскости.
В плоскости z = 0, где расположена линза, образуется иоле
um(Pi) (Ра—вектор в плоскости 2 = 0), которое вофренелевском
приближении (9.17) равно
J
«На выходе» линзы возникает поле
«a (Pi) = ",„ Ы М (р,) ехр (- 4
* С. «. рыто, „ от. ч, н
(11.25)
J '26)
98 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ГГЛ. II
где множитель М(ра), равный нулю вне линзы и единице на
линзе, описывает действие ограничивающей линзу диафрагмы,
а множитель ехр {— ikpl/2F}— действие линзы с фокусным рас-
расстоянием F.
Наконец, пересчет поля (11.26) от линзы к плоскости изобра-
изображения z = z, также может быть произведен во френелевском
приближении:
(Р�.27)
Выражения (11.24)—(11.27) связывают поле и(р) в плоскости
изображения с коэффициентом пропускания f(Pj), характери-
характеризующим объект, и с первичным полем v (p,), свойства которого
определяются источником света. Не рассматривая собственно
оптический аспект задачи, уделим основное внимание особен-
особенностям формирования изображения в зависимости от степени
пространственной когерентности освещения полупрозрачного
объекта.
С этой целью примем с самого начала, что плоскости пред-
предмета и изображения сопряжены в смысле геометрической оп-
оптики, т. е. 1/г, + 1/г2= 1/F. Подставив последовательно (11.26),
(11.25) и (11.24) в (11.27), получаем
�нтегрирование по ра дает
где S—площадь отверстия, а через ?м(к) обозначена норми-
нормированная к единице (dFM(O) = l) трацсформанта Фурье от М(р)
(см. (11.14)). В результате
Рё(Р ) =
fl ] *
. (11.28)
Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 99
Выражение (11.28) представляет собой частный случай более
бщей формулы
5
51)<Рр„ (11.29)
которая принадлежит к соотношениям типа (9.2) и в рассматри-
рассматриваемой задаче связывает поле в предметной плоскости произ-
произвольной оптической системы с облучающим полем v (pj и функ-
функцией пропускания объекта f(p,}. Функцию ??(р, р,) называют
аппаратной функцией системы. Характерный масштаб изменения
аппаратной функции в плоскости изображения (т. е. по р) — это
радиус дифракционного пятна, отвечающего точечному объекту,
а .масштаб изменения <? по аргументу р4 определяет размер
области в плоскости предмета, дающей заметный вклад в поле
в' данной точке плоскости изображения. �ными словами, это
предел разрешения оптической системы.
В рассматриваемом случае однолинзовой системы с круглой
диафрагмой аппаратная функция равна
f? (р р )=. те ехр I'7' (''+ ** + р2/2га ~ Р'/2г')1 2Ji («Д) (�ЗО)
где M = ft|p/za + Pl/Zi|. Согласно (11.30) точечному объекту, по-
помещенному в точку р10, отвечает дифракционное пятно с центром
в точке р„ — —р1Ог8/г1. Отношение гг/гх характеризует увеличе-
увеличение данной системы, а знак минус отвечает перевернутому
изображению. Так как функция Бесселя J^xa) первый раз
обращается в нуль при иа = 3,83, характерным масштабом аппа-
аппаратной функции по р может служить радиус первого темного
кольца Эйри в дифракционном изображении точечного объекта,
равный—^—г2 т 0,61 Я—, тогда как масштаб изменения по р,
(с точностью до множителя порядка единицы — это релеевский
предел разрешения) равен 6 = 0,61 Я — .
При анализе свойств изображения мы будем исходить из об-
общей формулы (11.29), а частный вид этой формулы (11.28)
используем только для иллюстрации общих выводов. Согласно
(11.29) при освещении объектов частично когерентным светом
средняя интенсивность поля в плоскости изображения равна
= $Гв(р', р")ПР')1* (Р")^(Р, Р')^*(Р, p")d*p'd?p\ (11.31)
РіРґРµ
—пространственная функция когерентности первичного поля.
Для заданного объекта (функция / фиксирована) характер
распределения интенсивности в предметной плоскости зависит
4В»
IUO �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
от соотношения между радиусом когерентности первичного поля /„
(это характерный масштаб изменения функции когерентности Г„),
размером области разрешения б (характерный масштаб изменения
аппаратной функции по pt) и размером наиболее мелких дета-
деталей объекта рш|п. Соотношение между pmin и 6 определяется
характеристиками соответственно объекта и оптического прибора.
Если считать эти величины заданными, то воздействовать на
изображение можно, только менян /.„ т. е. меняя характер об-
облучения.
Рассмотрим предельные случаи 4^>Pmiu. б и /„^Рши- &<
которые принято называть соответственно когерентным и неко-
некогерентным освещением предмета. При когерентном освещении
(/„^>ргаЫ, б) можно считать, что в области, существенной для
интегрирования в (11.31) (в этой области обефункции &({>,р'}
и S?* (р, р") отличны от нуля, так что |р'—р"|^6), функция
когерентности Г„(р'—р") практически постоянна (поскольку
|р' — р"| =^= б<*S/„). Вынося ее за знак интеграла со значением
/„, где /„ = Г„(0)— интенсивность облучающего поля, получаем
(11.32)
Такую же формулу можно получить, разумеется, и непосредст-
непосредственно из (11.31), если считать первичное поле v (р,) когерентным
на всей плоскости предмета. �з приведенного вывода видно, что
требование когерентности на всем предмете является излишним:
для справедливости (11.32) достаточно, чтобы первичное поле и(р)
было когерентным лишь в пределах области разрешения 6.
В другом предельном случае некогерентного освещения (/„<?5
<^S, pmin) существенная для интегрирования область в (11.32)
ограничена площадью когерентности с линейными размерами
| р' — р" | *S lv. В пределах этой площади функции f* (p") и ?р* (р, р")
можно приближенно заменить соответственно на /* (р') и ??* (р, р'),
и в результате получим
Внутренний интеграл равен JVSV, где, подобно (11.15), введена
площадь когерентности Sv, равная интегралу от коэффициента
корреляции первичного поля Kv = Tvllv.
Таким образом, распределение средней интенсивности в пло-
плоскости изображения при некогерентном освещении дается выра-
выражением
!В¦ (11.33)
Д�ФРАКЦ�Я В ОПТ�ЧЕСК�Х С�СТЕМАХ 101
Формально это выражение можно получить из (11.31), считая,
j«k и в (11.18), первичное поле дельта-коррелированным.
формулы (11.32) и (11.33) существенно отличаются друг от
друга. Можно сказать, что при когерентном (в указанном выше
смысле, т.е. при /„^-6, Pmin) освещении происходит преобразо-
преобразование самого комплексного коэффициента пропускания /(Pi) (с пе-
передаточной функцией у 7^i?(p, p,)), а при некогерентном осве-
освещении (/B<^6, pmin) преобразуется квадрат модуля ] /"(рх> |2 (с пе-
передаточной функцией !vSv\f?{(>, Pi)|2). Отсюда следует, в част-
частности, что при некогерентном освещении изображение не зависит
от фазы комплексной функции пропускания /, тогда как коге-
когерентное освещение может выявить резкие вариации фазы / даже
при |/[ = const. Например, если на некоторой линии в плоскости
предмета фаза скачком меняется на я, a |/| = const, то, как
еледует из (11.32), в плоскости изображения на соответствующей
(сопряженной) линии интенсивность /(р)„пг обратится в нуль и
ныувидим там темную полосу. Правда, при плавном (в масштабе 8)
изменении модуля и аргумента коэффициента прозрачности, т. е.
при рш1я^>б, оба вида освещения дают практически одинаковое
изображение, так как в обоих случаях распределение интенсив-
интенсивности в плоскости изображения /(р) пропорционально |f(p,)|2.
Укажем еще на два различия между когерентным и некоге-
некогерентным освещением. Во-первых, при одинаковой интенсивности
освещения /„ интенсивность и плоскости изображения при коге-
когерентном свете будет больше, чем при некогерентном, поскольку
Ширина углового спектра у некогерентного облучения больше,
'Чем у когерентного. Во-вторых, в предельных случаях освещения
возникают различия и в величине разрешающей способности:
при .некогерентном освещении размер наименьших различимых
по Релею деталей несколько меньше (примерно на 30%), чем
при когерентном. Это различие связано просто с тем, что вхо-
Дящий в формулу (11.33) квадрат модуля |,??(р, pjl" меняется
В1 функции от координаты р, круче, чем сама аппаратная
функция ,??(р, Р[) в формуле (11.32). В результате при разре-
разрешении двух точечных объектов с центрами в точках pi и
Pi провал между горбами в распределении интенсивности в пло-
плоскости изображения получается более глубоким, если световые
колебания в точках р[ и р", некогерентны. Провал можно сде-
сделать еще глубже, если добиться отрицательной корреляции
освещающего поля в точках р[ и pi (отрицательные значения
может принимать, например, функция когерентности вида 2i, (x)/x,
отвечающая равномерно светящемуся диску или же пучку света,
пропущенному через малое круглое отверстие). Этот красивый
по своей идее способ увеличения разрешающей способности дает,
однако, весьма незначительный выигрыш (всего лишь на несколько
102 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ГГЛ. II
процентов) по сравнению с некогерентным облучением. Более
подробно этот вопрос рассмотрен в книге [21].
Возникающие в оптике статистические задачи, конечно, не
исчерпываются приведенными примерами. Среди других проб-
проблем упомянем пространственную фильтрацию, статистические
вопросы, связанные с несовершенством оптических систем и с
зернистостью фотоматериалов, исгюльзование оптических систем
для корреляционного анализа н т. д. С этими и некоторыми
другими приложениями можно познакомиться по работам [13—22].
Л1ногие идеи, развитые первоначально в оптике, нашли приме-
применение и в радиотехнике [37].
§ 12. Возбуждение полей случайными источниками
Флуктуации поля, возбуждаемого случайными источниками,
представляют интерес для многих разделов физики. Здесь мы
остановимся на излучении радиоантенн со случайными вариа-
вариациями токов d раскрыве и рассмотрим особенности излучения
большого числа независимых источников.
1. Статистика поля, излученного большой ан-
антенной. Причиной флуктуации поля, излученного антенной, мо-
могут быть случайные отклонения амплитуд и фаз токов в апертуре
от заданных значений, обусловленные различными факторами.
Главными из них являются неровности антенного зеркала, раз-
разброс параметров излучающих вибраторов, случайные отклонения
в системах возбуждения и т. Д. Определенную роль играют также
деформации антенн при изменении температуры или из-за ветро-
ветровых нагрузок. Рассмотрим одну из моделей антенны с флуктуа-
циями токов.
Если размеры плоской антенны велики по сравнению с дли-
длиной волны, а токи в раскрыве монохроматические (~ е~ш) и
имеют только одну компоненту, скажем /,, то в направлениях,
не сильно отклоняющихся от нормали к плоскости раскрыва
z = 0, можно считать, что электрическое поле имеет только ком-
компоненту ?х, удовлетворяющую уравнению
&ЕХ + РЕХ*= —\х.
Таким образом, с учетом иных обозначений (и—Ех, q— —— \Л
задача сводится к уже рассмотренной скалярной задаче (9.7),
имеющей решение (9.8).
В случае антенн с плоским раскрывом токи сосредоточены
в плоскости z = 0, т. е. объемный интеграл (9.8) превращается
в поверхностный. Сохраняя для плотности поверхностных токов
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� ЮЗ
обозначение q, получаем
(p')-V-dy, R = !r-r'|, (12.1)
где для краткости опущен аргумент ы, а интегрирование рас-
распространяется на площадь раскрыва S.
Обычно представляет интерес поле в дальней (фраунгоферо-
вой) зоне г^>каг, где а—поперечник раскрыва. Можно поэтому
воспользоваться приближением фраунгоферовой дифракции, т. е.
формулой (9.10), которая в данном случае (поверхностные источ-
источники, излучение сосредоточено в узком конусе около оси г)
принимает вид
В«(СЂ. *)=^В« J
Здесь р = (х, у)—координаты точки наблюдения на удаленной
плоскости г = const. Ограничимся нахождением среднего значе-
значения к пространственной функции корреляции поля, излученного
большой антенной, имея в виду лишь основные эффекты, к ко-
которым приводят флуктуации токов в антеннах. Систематическому
изложению вопросов статистической теории антенн посвящена
РєРЅРёРіР° [38].
Как и в § �, удобно ввести функцию М (р), которая равна
единице на раскрыве S и обращается в нуль вне S (см. (11.2)):
что позволяет раздвинуть пределы интегрирования в (12.2) до
бесконечности:
(12.3)
Среднее но ансамблю реализаций токов значение ноля дается
интегралом
"{p>z>=TErexP['fc(z + -e-)]J ?(р')Л1(р')ехр(—^l)dV,
— 00
который можно представить в виде
)]ЛГЛ(^). (12.4,
104 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ !ГЛ. II
гДе <7»> — максимальное значение среднего тока в раскрыве, а
?А(х) — нормированная к единице (FA(0) = \) диаграмма на-
направленности антенны:
I Р® (12.5)
причем направление на точку наблюдения (х, у) в плоскости
2 = cortst задается вектором H = kp/z — (kx/z, ky/z). Наконец,
=J-[M((>')q(p')dy
Чт J
— нормировочный множитель, значение которого близко к пло-
площади раскрыва (SA = S при q = const).
Функция корреляции поля в плоскости г = const (попереч-
(поперечная функция корреляции) выражается двукратным интегралом
i, Р 2> Рі) = <Рё {СЂ1 Рі) Рї* (СЂ2, Рі)> =
Рњ(СЂ')Рњ(СЂ")%(СЂ',СЂ")С…
y d?p", (12.6)
где ^„(р', P") = <q(p')q* (p")>—функция корреляции тока. Во-
Вообще говоря, флуктуации тока в раскрыве статистически неодно-
неоднородны, что связано с краевыми эффектами: вследствие взаимного
влияния элементов излучающей системы статистика токов на
краях раскрыва может отличаться от статистики в середине
антенны. Однако в случае больших антенн, размеры которых а
велики по сравнению с радиусом корреляции токов lq, краевым
эффектом можно пренебречь и считать, что на всем раскрыве
Принимая модель мелкомасштабных (/,<?Са.) флуктуации тока
в раскрыве, мы можем воспользоваться изложенными в § 11
приемами вычисления интегралов типа (11.5). Если обозначить
P = Pi —Р2. P+ = (Pi + P4)/2, то (12.6) примет вид
РЎРћ
(12.7)
где a]j =--<| </12> — дисперсия, а К,,—коэффициент корреляции
флуктуации тока,
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� |Q5
Первый интеграл в (12.7) равен SHrM(-~j, где S—площадь
раскрыва, а ?м дается выражением (11.14). Эта величина не-
несколько отличается от диаграммы антенны (12.5), но при
a"=const 3~M = WA- Второй интеграл (по g) тоже можно записать
в виде произведения двух множителей:
J (^) (*) (12.8)
— ос
РіРґРµ
—'Эффективная площадь когерентности токов, a <F9(»«)—нор-
<F9(»«)—нормированная к единице (?q(Q) — \) диаграмма направленности
флуктуационных токов.
С введением этих обозначений корреляционная функция tJjj_
принимает вид
, р.. г) = ехр
Эту формулу можно рассматривать как обобщение теоремы Ван-
Ё[«ттерта—Цернике на случай конечного радиуса корреляции
источников. При дельта-коррелированных флуктуациях &rq=l,
и тогда (12.9) отличается от (11.16) только обозначениями.
Отсюда следует, что пространственное распределение дисперсии
поля определяется сравнительно широкой (с угловым раствором
*>' Vfl) диаграммой Wq.
тогда как пространственный коэффициент корреляции поля за-
зависит от диаграммы §~ix:
Цоследняя имеет угловую ширину ~ Х/а, меньшую, чем ширина
A/J» флуктуационной диаграммы Wv поскольку a^>lq. Попереч-
Поперечный радиус корреляции 1± оказывается таким же, как в (11.12),
it e. lx ~ РҐРі/Р°.
Пространственное распределение средней интенсивности /„
1«ожно получить при помощи (12.4) и (12.10):
/,(СЂ+) Рі) = |Рї(Р +, Рі)|>-|-РѕВ» (СЂ+, Рі) =
106
�ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
[ГЛ. Н
Здесь первое слагаемое описывает вклад среднего поля, а вто-
второе—вклад флуктуационного поля. На рис. 8 показана зависи-
зависимость 1а от р+ для различных соотношений между этими сла-
слагаемыми в предположении, что полная мощность, подводимая
к антенне, постоянна, т. е.
I q „I
= const Р·=<
(12.12)
В отсутствие флуктуации, когда oQ = 0 и \qm\ = Q, мы имеем
невозмущенную интенсивность
пропорциональную квадрату модуля диаграммы направлен-
направленности $ГА. Ширина этой диаграммы, скажем расстояние между
се нулями, составляет Хг/а (кривая 1 на рис. 8). При малых
&w
Р РёСЃ.
возмущениях появляется флуктуационная компонента, пропор-
пропорциональная угловому спектру флуктуации Wa(kp+lz) и имеющая
ширину Ар+ ~ Xg/lq^Xz/a. Эта составляющая приводит к «замы-
«замыванию» нулей (или минимумов) регулярной диаграммы (кри-
(кривая 2 на рис. 8) и к росту бокового излучения, т. е. излучения
вне центрального максимума. Вместе с тем несколько умень-
уменьшается вклад регулярной составляющей поля, так как при
неизменной мощности, подводимой к антенне, величина \qm\*
уменьшается по сравнению с Qa: |<?m|a = <22—а\-
Распределение интенсивности в плоскости г =const в случае
примерного равенства регулярной и флуктуационной компонент
в центре диаграммы изображает кривая 3 на рис. 8. Согласно
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� 107
(12.11) равенство |u|" = oj достигается при aJ = Qa( 1 —
при этом квадрат среднего значения тока \qm\1 = Qi—о^ мал
по сравнению с Q2, т.е. |9„|2яг—r-Q^^Q*- При столь боль-
ших возмущениях говорят о разрушении диаграммы направлен-
направленности антенны.
С дальнейшим ростом флуктуации регулярное слагаемое в
(12.11) становится пренебрежимо малым и распределение сред-
средней интенсивности уже совсем не похоже на невозмущенное
распределение (12.13):
Ширина диаграммы излучения здесь порядка Xz/lq, а максимум
интенсивности в Sq/S раз меньше, чем в отсутствие флуктуации.
Уменьшение интенсивности в направлении максимума излу-
излучения удобно характеризовать величиной коэффициента направ-
направленного действия (к. н. д.), который показывает, во сколько раз
интенсивность поля в центре главного лепестка диаграммы
больше, чем у ненаправленной антенны, излучающей ту же мощ-
мощность. Вычислим средний к. н. д. антенны <С> при сделанных
выше допущениях. Очевидно, если Go—к. н.д. невозмущенной
антенны, то
<G> = G,-/=**-.
Так как
для величины <Gy/Gt с учетом (12.12) получаем
При малых возмущениях токов в раскрыве (oe<^Q) средний
к. н.д. антенны мало отличается от Cf0: <C)«C,(1—oJ/Qa) (на-
(напомним, что 5,<^S). Уменьшение среднего к. н. д. вдвое на-
наступает уже при заметных флуктуациях, когда о% ~ VjQ3- При
сильных же флуктуациях, когда aq—>Q, а регулярная состав-
ЯйЮщая тока \Qa,\ = VQl—°% стремится к нулю, получаем
<G> S9S Sa
108 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЯ [ГЛ. II
Таким образом, при сильных флуктуациях к.н.д. антенны тем
меньше, чем больше неоднородностей N — S/S^ содержит раскрыв:
<.G> = G0/JV. Учитывая, что G0~S/X*, соотношение (12.15) можно
записать иначе;
<G>~-jr.
Отсюда видно, что если радиус корреляции lq сравним с длиной
волны Л, то 5,«/,2~-?.а и <G>~1. �ными словами, при силь-
сильных (oq^>\qm\) и мелких (/,~М флуктуациях излучение ан-
антенны полностью теряет направленность.
В статистической теории антенн возможны и многие другие
задачи. Например, может представлять интерес направление
центрального лепестка диаграммы направленности, уровень бо-
бокового излучения, статистика амплитуды и фазы и т. д. Эти
вопросы достаточно полно освещены в монографии [38]. Отметим,
что при исследовании статистики излучения антенны основная
трудность заключается, по-видимому, не в вычислении тех или
иных интегралов, входящих в выражения для моментов поля,
а в физически обоснованном задании статистики флуктуирующих
по раскрыву антенны токов. Ясно, что предсказать эту стати-
статистику только из теоретических соображений невозможно. В то
же время прямые измерения статистических характеристик со-
сопряжены со значительными трудностями, в частности, из-за
того, что при внесении в антенну измерительных зондов распре-
распределение токов в ней меняется. Косвенное же нахождение флук-
флуктуации путем измерения полей, излученных антенной, тоже не
дает исчерпывающего решения проблемы: такие измерения под-
подвержены влиянию дополнительных посторонних факторов (рас-
(расположенные рядом предметы и постройки, неровности местности
и т. д.), не говоря уже о том, что измерения поля сложны сами
по себе как в ближней, так и в дальней зонах.
2. Статистика поля, излученного системой не-
независимых источников. Для простоты будем считать вол-
волновое поле скалярным, а источники-—точечными. Если ;-й точеч-
точечный источник движется по траектории г = г7- (V), а его интенсив-
интенсивность меняется по закону (вообще говоря, случайному) Qt (t), то
для системы N точечных источников правая часть волнового
уравнения (9.4) запишется в виде
В результате поле излучения (9.5) будет выражаться суммой
РЄ- СЃ ) (12.16)
|Рі-Рі/(Рћ|
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ�
109
Ц которой |г —Гу(О| — расстояние от точки наблюдения да /-го
�сточника.
Не интересуясь средним значением поля, которое в подав-
подавляющем большинстве задач равно нулю, вычислим простран-
пространственно-временную функцию когерентности, сначала—для си-
системы неподвижных источников (iy = const). В силу (12.16)
Г(Л г'; Г. г») = <«(/', г') «•(<". г")> =
(12.17)
fflfe угловые скобки означают усреднение по ансамблю положе-
положений источников, а черта сверху—усреднение по ансамблю реа-
здязаций случайных процес-
Выражение (12.17) при-
ВЯмает особенно простой вид
|йля системы независимых и
•Одинаковых источников. Для
такой системы при \ф1
(бгесли одинаковую для всех Рис- 9-
1|?оцессов Qj (t) корреляцион-
корреляционную функцию обозначить через г])р(т.) (предполагается стационар-
стационарность этих процессов), то двойная сумма (12.17) превратится в
JSfjjfMMy N одинаковых слагаемых:
n-R||r, —R|/'
R||
Ще т=^—tit а 8=1^ — R |—|гг —R|—разности хода отисгоч-
Йика, находящегося в точке R до точек наблюдения г, и т3
#СЋСЃ. 9).
Усреднение по положениям источников можно представить
%; виде интеграла по объему с весовой функцией u>(R), которая
#1Йедставляет собой плотность вероятностей для радиуса-век-
*РІСЂ R:
Рі,.
¦или, если ввести среднюю концентрацию источников я (R)=Miy(R),
ПО �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. �
В частном случае, когда источники распределены по объему V
равномерно, n = N/V = const.
Временная функция когерентности может быть получена из
(12.18), если положить г1 = г2 = г. Тогда s = 0 и
Отсюда видно, что коэффициенты временной корреляции поля
и источников совпадают: Ku(t)=Kq(i), т. е. временная коге-
когерентность излученного поля оказывается такой же, как у источ-
источников. Это естественно, так как при неподвижных источниках
изменения поля обусловлены только изменениями функций Qy- (t).
Обращаясь к пространственной корреляции излученного поля,
рассмотрим некоторые частные случаи.
Если размеры «облака» источников малы по сравнению со
средней длиной волны излучения Я„, L ~ Vl/a<^.^0, то можно
считать задержку s/c в формуле (12.18) постоянной величиной,
равной sjc=(\r, — Ro| —|r2—R0|)/c = (r1—гг)/с, где R 0
Р± Р” Р±
Сѓ
V.
СЂ j(, o| |20|) (1Рі), o
центр объема V. Для точек наблюдения г, и rs, лежащих вне
объема V, тогда находим
(),3
где учтено, что J n (R) d?R = N. При т = 0 отсюда получается
пространственная функция когерентности излучателя малых
размеров:
^^ (12Р›9)
Согласно (12.19) поле пространственно когерентно внутри
шарового слоя толщины ст„, где хх—время корреляции источ-
источников. Таким образом, пространственный радиус корреляции 1К
совпадает в данном случае с длиной когерентного цуга етк.
�наче обстоит дело для больших (по сравнению с Я„) объе-
объемов V. Соответствующие закономерности проще всего установить
при помощи величины Г„ (ш; г^ г2), являющейся преобразова-
преобразованием Фурье по времени от Г„(т; г,, rj1). Для функции] коге-
когерентности (12.18) имеем [44J
•) В оптике эту величину называют взаимной спектральной интенсив-
интенсивностью, так как она относится к взаимной функции когерентности Г„ (т; Г;, г3),
характеризующей статистическую евяэь подя в двух точках.
ВОЗБУЖДЕН�Е ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМ� �СТОЧН�КАМ� Ц1
Здесь /г = ш/с, а
— спектральная плотность процесса Q()
Непосредственно из вида формулы (12.20) можно заключить,
что если размеры «облака» источников L велики по сравнению
с длиной волны X, а точки г1 и г2 находятся внутри облака,
то смещение любой из точек i\ или г2 на к приведет к суще-
существенному изменению величины Г„, так как под интегралом
имеется быстро осциллирующая функция e'*s. Отсюда следует,
Что внутри большого (L^>X) облака излучателей пространствен-
йый радиус корреляции сравним с длиной волны1):
la ~ %.
По мере удаления точек наблюдения от облака должно, оче-
андно, происходить некоторое упорядочение интерференционной
Картины—хотя бы из-за того, что волны будут приходить теперь
только из ограниченного телесного угла. Это упорядочение
проявляется в увеличении пространственного радиуса корреля-
корреляции вдали от системы излучателей, подобно вытекающему из
теоремы Ван-Циттерта—Цернике ув»личению 1и для дифракцион-
дифракционного поля отверстия (§ 11). Теорема Ван-Циттерта—Цернике
может быть сформулирована и для системы независимых излуча-
излучателей, но вывод оказывается несколько сложнее, чем в задаче
о,дифракции случайного поля.
Приведем только окончательный результат. Пусть точки тг
и г2 лежат в плоскости г = const, при этом rll8 = (p1,2, г). У век-
вектора R тоже выделим продольную (г') и поперечную (р') коор-
координаты: R —(р', г'), d?R = dzp'dz'. Если расстояние от облака
?елико по сравнению с его поперечником (г^>1), а точки наблю-
наблюдения расположены не слишком далеко от оси г (рь а<^г), то
формула (12.20) принимает вид
Р“.РћВ»; СЂ, СЂ+. Рі) =
Z ! («�1)'Л'. (.2.21)
г) Простая иллюстрация: от брошенного в воду камня расходятся волны
правильной круговой формы. Если же бросить пригоршню камней, го интер-
интерференция круговых волн создает в месте падения камней беспорядочную кар-
Тину гребней и впадин, сменяющих друг друга при смещении примерно на
Длину волны в любом направлении.
Н2 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 1ГЛ. П
где р —р,—р2, р+ ={Pi + Pi)l^- Это соотношение эквивалентно
(11.16), если под приведенной (к плоскости г' — 0) интенсивностью
понимать величину
РіРґРµ
— число излучателей, приходящихся на единицу площади в пло-
плоскости г = 0.
Теорема Ван-Циттерта—Цернике сохраняет силу и в случае
движущихся источников, но спектральная плотность goM. вхо-
входящая в определение приведенной интенсивности (12.22), а также
в формулы (12.20) и (12.21), должна быть усреднена по всем
возможным значениям доплеровского смещения частоты, возни-
возникающего из-за движения источников. �ными словами, в форму-
формулах (12.20)—(12.22) нужно произвести замену
-РџРґВ», (12.23)
где угловые скобки обозначают усреднение по распределению
доплеровского сдвига �Л — итЛ1с, пропорционального лучевой
скорости Уц =(m, v), т — (г— R)/|r—R |.
Замена (12.23) справедлива при условии, что «длина свобод-
свободного пробега» источника 1сва6 (т. е. длина, на которой заметно
меняется скорость излучателя, или же расстояние, проходимое
источником за время корреляции излучаемого сигнала) мала по
сравнению с расстоянием |г— R| до точки наблюдения: /св(,й^
<^|г—R |. В подавляющем большинстве практически интересных
случаев это условие выполнено.
В качестве конкретного выражения для спектральной плот-
плотности gQ(a>) укажем на результаты расчетов, проведенных в ч. I
(задача 11 к гл. VI) для пуассоновского импульсного процесса,
состоящего из следующих друг за другом отрезков экспонен-
экспоненциально затухающих синусоидальных цугов. Этот процесс может
служить моделью излучения атомов, возбуждаемых ударами
соседей. Окончательная формула для спектральной плотности
(формула (1) в указанной задаче) имеет вид
где пг—средняя частота соударений, у — радиационная ширина
линий излучения и одновременно показатель затухания импуль-
импульсов вида Q (t) = А ехр {— (v+''w0) t + ф}, А—случайная амплитуда
со средним квадратом А1, (5—случайная фаза, распределенная
ЗАДАЧ� 513
равномерно в интервале (0, 2я), а <о0—частота излучения в си-
системе отсчета, в которой осциллятор покоится. В случае мак-
свелловского распределения скоростей частиц формула (12.24),
в зависимости от соотношения между шириной линии излучения
я, + Т и среднеквадратичным доплеровским уширениемащ="(/й^,
дает либо гауссову (при а^^п^+у), либо лоренцеву (при
Oe^^i + V) Ф°РМУ линии излучения.
Теорема Ван-Циттерта — Цернике допускает обобщение еще
в одном направлении. Спектральная плотность (12.24) соответ-
соответствует модели, в которой излучают атомы только одного сорта
и только на одной частоте. Между тем в реальных нагретых
Тазах могут содержаться атомы многих сортов, излучающие на
многих частотах; в плотном облаке многие световые импульсы
поглощаются другими атомами, не достигнув наблюдателя, и
т. д. Все эти эффекты можно учесть в теореме Ван-Цигтерта —
Цернике, если под J (р) понимать сумму приведенных интенсив-
интенсивности, отвечающих различным линиям излучения:
J (Р ) = ? 1РЇ (Р ) = 47Р“* ? в„– Р� В«""' (Р >-
Спектр каждой из этих линий излучения характеризуется
собственной частотой излучателя &f\ силой осциллятора Ахт,
радиационной шириной ут и средним числом столкновений п'"".
Величина п\т (р) определяет тогда эффективную поверхностную
концентрацию излучателей, импульсы от которых в состоянии
выйти из объема V. Разумеется, если излучатели распределены
не в объеме, а на поверхности, то при расчете следует с самого
йачала ввести вместо объемной концентрации п (R) поверхност-
поверхностную концентрацию ns(p) (см., например, [39]).
Задачи
1. Выразить среднюю плотность звуковой энергии в жидкости W — '/гР»8 +
ЬЬ ViPP2 и средний вектор Уыова (плотность потока энергии) рУ ~ pv через
функцию когерентности потенциала скорости и через лучевую интенсивность.
Решение. Выразив давление р и скорость v через потенциал скорости
Й* с^(Вр)"1'2 — скорость звука, р—средняя плотность, fl—сжимаемость
К*Цкости. Если u(t, г) — комплексный потенциал скорости (аналитический
<?ЙГКал), отвечающий вещественному потенциалу y(t, г): <р^1?е#, то W и $*
114 �ЗЛУЧЕН�Е к Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ НОЛЕЙ [ГЛ. ti
записываются через и следующим образом:
Для изотропного случайного звукового поля, очевидно, <()У> —0. Для квази-
монохроматического звукового поля (спектр сосредоточен вблизи частоты (Оо)
множигель В в написанных выражениях можно вынести за знак интеграла
со значением &о—wii/c2.
2. Найти общий вид функции корреляции изотропного, однородного и
стационарного скалярного волнового поля.
Решение. Лучевая интенсивность J (о>, п) для изотропного поля не
зависит от направления: 3 (со, ti) — ^5 (со), так что корреляционная функция
(9.27) выражается однократным интегралом:
поскольку
Если поле и к тому же и однородно, то его корреляционная функция Va (I, 2)
имеет вид (9.27), что позволяет выразить <й?> и <&> через лучевую интен-
интенсивность:
Усреднение этих выражений дает
Символом 2—i-1 здесь обозначен предельный переход 1г—> i"j, r2—>-ri, ко-
который следует делать после вычисления временных и пространственных про-
производных. Заметим, что закон сохранения div?f + dW/dt~O, который должен
выполняться и для средних значений <IF> и <о5р>, при подстановке в него
выражений (1) можно рассматривать как своеобразное уравнение сохранения
для функций Г„ и Г„.
Если поле и стационарно, то и —О, Г = 0, и тогда
(1)
злдлчи U5
3. Оценить продольный и поперечный радиусы корреляции волнового
поля, лучевая интенсивность которого 3 (а>, п) сосредоточена в узком конусе
направлений с раствором 9<^1.
Решение. Пусть ось г отвечает направлению, но которому лучевая
интенсивность максимальна. Записав единичный вектор п в виде
при л1^Р<€1 имеем пг=У \~nj_ =» 1— пЦЧ, так что (nr) ss z — Vs«Iz +
+ ("j.1 &)• ' (ю> n) ~ 3 (га> ПХ' '' и коРРеля™0Нная функция (9.27) прини-
принимает вид
где p^(jc, у). Поперечный (!^) и продольный ^п) радиусы корреляции оце-
оцениваются из условий [?n.p|^CJ, |i$rc_LZ[^Cf, если подставить в них л, кб,
В результате находим
(1)
(2)
4. Установить связь между лучевой интенсивностью и двумерным спект-
спектром (9.29) в случае узкого углового спектра [40].
Решение. В узком конусе 1 л , |s^6<g;l выполняется приближенное
соотношение do (n) и йпх Апу, которое можно представить d эквивалентной
форме do(n) — k~' dxxdxy = k~zdsx^, если ввести двумерный волновой вектор
к^ — кп^ — (кпх, кпу). Формула (1) предыдущей задачи принимает тогда вид
двумерного спектрального разложения:
Сравнение этого разложения с разложением
обратным (9.29), показывает, что
5. Выразить среднюю плотность электромагнитной энергии и средний век
тор Пойнтннга в вакууме через матрицу лучевых интенсивностей Заа, кото
рая вводится аналогично (9.26):
при этом, подобно (9.27),
(1
116 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. II
Здесь G^'—матрица спектральных плотностей, представляющая собой преоб-
преобразование Фурье корреляционной матрицы свободного статистически однород-
однородного электромагнитного поля
V$(<. г) = <?„(<!, г,)??(/.. г,)>.
Решение. Рассматривая случай стационарного и однородного электро-
электромагнитного поля с нулевым средним значением и учитывая, что в вакууме
/Н|аНЕ|*. имеем
Но при Ё = 0 в силу (1)
<| Е |«> = 2 Tkf (0, 0)=\ika&3 («о, n) do (n),
Р° = 1 6
где введена лучевая интенсивность
Р­((РІ,Рї)=2СЌРѕС‚(В«>, Рї). (2)
В результате имеем
ее
<r>
I / * (<РІ> n) do(n)-
Рѕ
Среднее значение вектора Пойнтинга
можно получить, используя спектральные разложения для Е и Н и соотно-
соотношение Ншх=[пЕи1е]:
GB РћРЎ
<^> = ~ Re (Рў (Р С…' ifte* Jf *В»' do>"x
X^E-^^E^J^eipli^'-K'ir-<(В«'-В«')]. (3)
где п'=к"/х". Раскрывая двойное векторное произведение, получаем выра-
выражение
<...>-п'<Еи,к.Е^.>-<Е^(п'Еи,к,)>.
Вследствие дельта-корреляции спектральных амплитуд вектор п* можно заме-
заменить на п'=х'/х', но в силу поперечности электромагнитного поля (п'Еш.х.)=0.
В результате, с учетом (2), имеем
Р·
<...>= 2 п'Саа(и'- *')8((о'-4>')8(*'--х*) =
— п'З (в, п)*-»6(ш' — ш")6(и'—*')8(н' — А).
Подставляя это выражение в (3), получаем
*В¦> ^РїР­(С€, n)do(n). (4)
ЗАДАЧ� 117
Легко видеть, что электромагнитные формулы для <�?> и <.df> отличаются
от акустических выражений (см- задачу I) только множителем 1/8л вместо
СЂ*'/2.
�з (4) следует, что величина jr-пЭ (<о, п) имеет смысл потока энергии
через единичную площадку в единичный телесный угол в расчете на единич-
вый.частотный интервал. �менно так вводится лучевая интенсивность (яркость)
в феноменологической теории переноса излучения [41, 42].
в. Построить корреляционную матрицу тЩ1 для изотропного, однород-
однородного и стационарного электромагнитного поля.
Решение. Входящая в формулу (1) предыдущей задачи матрица 3af
в случае изотропного поля должна иметь вид
Кроме того, в силу поперечное™ электромагнитных волн в свободном прост-
пространстве матрица Sa^ должна удовлетворять условиям
', Это возможно только при <? = — ?Р, и тогда
?g(f, Рі)-
где s = 4л sin krjkr, а штрихом обозначено дифференцирование по г. Лучевая
интенсивность 3=2'aa в данном случае равна 2ff5(<i>) и, следовательно,
не зависит от направления; при этом, в соответствии с результатами задачи 5,
Рѕ
7. Вычислить индекс мерцаний в дальней зоне для амплитудно-фажшого
экрана с логарифмически нормальным законом распределения вероятностей
Поля.
Решение. Пусть и — ex+lS!, где фаза S и уровень % распределены но
нормальному закону, так что v—логарифмически нормальное поле. Предпо-
Предположим, что S —0 и <5х> = 0. В силу нормировки (10.23) "x= — oj. В ре-
•Ультате
Следовательно, в дальней зоне
118 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ [ГЛ. 1\
В случае чисто амплитудных флуктуации (os = 0) квадрат индекса мерцаний
в дальней зоне равен (1^ — 1—е х, тогда как на самом экране p2~j}0=^
= е х — J. Очевидно, {$ > 1 > Р«, т. е. амплитудные флуктуации за экраном
сглаживаются.
8. Пусть поле в плоскости экрана вещественно и распределено по нор-
мальнсму закону. Показать, что квадрат индекса мерцаний в дальней зоне
вдвое меньше, чем на экране.
Решение. В дальней зоне, согласно (10.38), $L~ 1 — |t»014. На
экране же
Но для вещественного нормального случайного поля <['*> — 3 <с2> = За2и.
Поэтому, с учетом нормировки сг^ + t-'о-^ 1, имеем
т. с. pt>= 1/аРо- В этой и предыдущей задачах р» < fV потому что поле v
порождает за экраном помимо амплитудных еще и фазовые флуктуации, кото-
которые, очевидно, не влияют на величину флуктуации интенсивности.
9. Вывести из френелевского приближении (9.17) сиитношение (10.13),
согласно которому при падении плоской волны корреляционная функция за
бесконечным экраном i|3j_ (p) совпадает с функцией корреляции граничного
поля тМр).
Решение. Во фреиелевском приближении
Вводя обозначения p = pL—р2, Рч-^(р1 + Рг)/2. ? = (р' —Р*). Л^(Р' —Р")/2,
получаем выражение
�нтеграл по tj здесь вычисляется точно и равен \—г—) 8(1 — Р)> чт° и при-
водит к соотношению 1|э^ (р, г) ^\, (р).
10. Найти закон изменения среднего значении и функции корреляции
сферической волны, прошедшей через неограниченный статистически однород-
однородный хаотический экран.
Решения. Пусть слева от плоскости z —0, в которой расположен
экран, находится источник, излучающий сферическую волну
exp {ik\r — ro|}/|r—r»|,
где г0 — (0, —г0) (рис. 10). Если /(р) — комплексная функция пропускания
экрана, то граничное поле в плоскости z = 0 равно
Задачи
119
Подставим это выражение для поля в формулу Грина (9.12) и, зафиксировав
точку наблюдения г = (р, г), разложим показатель экспоненты в ряд по сте-
степеням отклонения 8 = р'—рст переменной р' от стационарной точки рсТ =
= рг/(г + г0), лежащей на луче, соединяющем точку наблюдения с источни-
источником. Все предэкспоненциальные множители, кроме ! (р), заменим стационар-
стационарными значениями, т. е. значениями при р' = рст.
Получившуюся приближенную формулу
Рё(СЂ, Рі) ~
ke"
(I)
можно назвать френелевским приближением для сферической волны. Здесь
�з (1) находим среднее поле
представляющее собой сферическую волну с амплитудой /, н функцию кор-
корреляции поля в плоскости г —const:
ехр
, (Pi.
где p = pi—p2, P+=(Pi + p>)/2. Аналогичное выражение получается и для
функции когерентности.
В отличие от рассмотренного в § 10 случая плоской волны, функция
корреляции сферической волны, прошедшей через экран, не сохраняется.
В частности, радиус корреляции
7
Сѓ СЂСЂ
поля в плоскости z = const растет
при удалении от экрана пропор-
пропорционально расстоянию от источ-
источника lu = lf^Y^, где //—радиус
корреляции функции пропускания
/. Роль волнового параметра в дан-
данной задаче играет величина DCj,—
= 2L/ktj, которая при г —>¦ °о
стремится к конечному пределу
&mtx =2zo/?(f. Легко попять, что
при?>тах^1, когда радиус первой зоны Френеля YXzz0/(z-{-z0) при любых
z меньше размера неоднородностей на экране If, поле сферической волны
за экраном не нормализуется даже на бесконечности.
П. Найти распределение интенсивности поля в дальней зоне ограничен-
ограниченного хаотического экрана.
Решение. Поле в зоне Фраунгофера определяется выражением (11.11),
» котором под о нужно понимать граничное поле v (р) = /(р)"п. возникаю-
возникающее при падении плоской волны и„=е'*г на хаотический экран с функцией
пропускания /(р). Распределение интенсивности в дальней зоне можно вычис-
вычислить кз (11.11) так же, как это было сделано в § 12 для поля (12.3), воз-
возбужденного антенной с флуктуирующими токами. Учитывая, что выражение
(12.3) переходит в (11.11) при замене q—>-—2ito, по аналогии с распределе-
Р РёСЃ. 10.
120 излучение й Дифракция случайных полей
«нем интенсивности (12.11) можно написать
1РіР». Рё
Р РёСЃ. Рџ.
при этом для малых неровностей
а для больших неровностей
где I?—радиус корреляции неровностей, а величина 4ft!aj играет туже роль,
что и дисперсия фазы о| в теории фазового экрана.
�спользуя для расчета к. и. д. формулу (12.14), в которой, с учетом пре-
предыдущей задачи, можно заменить Sq, ffj, {q\2 и <22 = <rf-f | q I2 соответственно
на Sv, ol, |"o|2 и Ос-т-|й|г = 1, получаем
(1)
где величины Sv и ffv вводятся по аналогии с (12.8).
Заметим, что подобное же распределение интенсивности (с заменой z—>F)
получится в фокальной плоскости линзы, поставленной непосредственно после
ограниченного хаотического экра-
экрана. В обоих случаях при переходе
от слабых флуктуации (Oj, <g v)
к сильным (Oj,^>u) распределе-
распределение интенсивности трансформи-
трансформируется так же, как на рис. 8.
12. Найти средний коэффи-
коэффициент направленного действия па-
параболической зеркальной антенны
с пологими неровностями.
Решение. Пусть z = p!/2f—
уравнение невозмущенного пара-
параболоида, а г — рг/2.Р+?(Р) — урав-
уравнение зеркала при наличии неров-
неровностей 5(р). Облучатель, помещен-
помещенный в фокусе параболоида (рис.
11), посылает на зеркало сфери-
сферическую волну, которая после отра-
отражения превращается в искаженную
плоскую волну. При плавных (в масштабе I) неровностях зеркала искажение
поля в апертуре можно учесть введением фазового множителя exp (i'S(p)]-^
—exp [2i*?(p)] {2kt,—дополнительный набег фазы, обусловленный неровностя-
неровностями). Тем самым задача сведена к расчету дифракции поля с граничным значе-
значением на апертуре ч(р) = ехр [2|°??(р)].
Если высота неровностей ? (р) распределена по нормальному закону, то
ЗАДАЧ� 121
(здесь, кроме того, учтено, что 5^ — 5 при и —const). В предельных случаях
имеем
(1)
(2)
или, если принять во внимание оценку
. Качественный ход зависимости нормированною среднего к. н. д. О/Но
ОТ среднеквадратичного набега фазы ?о> показан на рис. 12. Начальный учас-
участок кривой отвечает первой формуле - ,
(I). а конечный—формуле (2). �з ри- ^/"а
унка видно, что заметное уменьшение
к. н. д. начинается со значений to, — 1,
Т. е. при о*—3/& —Л/2л, что согла-
согласуется с инженерным критерием глад-
гладкости зеркал о"^ < Х/8. Для больших
зеркальных антенн современных ра-
даотелескопов величина <jj. может быть
Доведена примерно до сантиметра. В
!<ййответствии с критерием о^ < ^/8
;]^езкое снижение эффективности таких
ёягенн происходит при переходе от
сантиметрового к миллиметровому
диапазону волн.
: !3. Оценить продольный радиус корреляции поля, созданного облаком
Статистически независимых источников.
Решение. Расположим точки наблюдения ri и Г2 на оси г: 14 — (О, О, z-}-?),
|f«.=(0, 0, г). Для входящей в формулу (12.20) разности хода s имеем
(1)
где переменные интегрирования р' и г' меняются в пределах объема V, заня-
занятого источниками: |p'|sg?, |г |^?. При анализе продольной корреляции
рассмотрим три характерные зоны.
,; В ближней зоне (z^L) можно ожидать малости /ц по сравнению с L, что
ЙЧЗволяет разложить (1) в степенной ряд по t и ограничиться только линей-
жыи членом:
(2)
При всех значениях р' и г' множитель при ? не превышает единицы. Поэтому
Врисутствие множителя exp(ifts) под знаком интеграла в (12.20) проявится
&НШь при А?^>1. Следовательно, продольный радиус корреляции может быть
оценен из условия fe? — 1, т.е.
(3)
В промежуточной зоне {L-^z^kL?) отношения z'jz и р'/z малы по
сравнению g единицей, в результате чего выражение (2) упрощается н
122 �ЗЛУЧЕН�Е � Д�ФРАКЦ�Я СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЯ (ГЛ. II
принимает вид
"(•-?)¦ <4>
нсит от перемс:
зие при рассмо
|е'*^| = 1. Второе слагаемое по модулю не превышает величины ??'/2г2. �з
условия k^Lfjz — 1 получаем оценку
Первое слагаемое в (4) не зависит от переменных интегрирования н его
можно не принимать во внимание при рассмотрении корреляции, так как
(5)
Эта оценка аналогична формуле (2) из задачи 3 для продольного радиуса кор-
корреляции однородного случайного поля с шириной углового спектра В ~ а/2.
Можно сказать, что в данном случае ширина углового спектра в опреде-
определяется видимым угловым размером облака источников у — Ljz-
В дальней зоне (z^-kL*) величина ks для всех о' и г' отличается от &?
не более чем на я. Поэтому в дальней зоне е'** х: «"«С, а продольный радиус
корреляции увеличивается до бесконечности:
/,=В«, (z^>kL*), (6)
что отвечает полностью сформировавшейся диаграмме излучения в зонеФраун-
гофера.
Глава III
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
§ 13. Предварительные замечания
Тепловое электромагнитное поле создается в результате хао-
хаотического теплового движения заряженных микрочастиц (элек-
(электронов, ионов и т. п.), из которых построены тела. Уже отсюда
ясно, что интенсивность теплового поля должна возрастать с по-
повышением температуры, подобно тому как с ростом температуры
убыстряется брауновское движение или усиливаются тепловые
шумы в электрических цепях. Но в макроскопической электро-
электродинамике электромагнитное поле рассматривается не как сумма
полей отдельных микрочастиц, а как поле макроскопических же
источников, описываемых, например, объемными плотностями
заряда и тока. Применительно к тепловому электромагнитному
полю это означает, что его источниками являются пространст-
пространственно-временные флуктуации заряда и тока в физически беско-
бесконечно малых элементах объема тел. Чаще всего масштабом ма-
малости таких объемов служит при спектральном описании поля
интересующая нас длина волны, но аналогичную роль могут
играть и размеры тел или их неоднородностей, расстояния между
телами и т. и. Если физические и геометрические условия задачи
допускают выделение таких физически бесконечно малых эле-
элементов объема, то можно пользоваться уравнениями макроско-
макроскопической электродинамики, т. е. уравнениями Максвелла.
Мы уже рассматривали тепловые флуктуации электрических
величин, но в квазистационарной области, т. с. для электриче-
электрических систем, размеры которых / много меньше длины волны
Я: /<^А1). Состояние таких систем можно описать конечным
числом интегральных функций времени — сил токов через сечения
проводов, зарядов на сосредоточенных емкостях и т. п. При по-
помощи теоремы Найквиста и обобщающей ее флуктуаниоино-дис-
синационной теоремы (ФДТ) мы получили в ч. I, § 54 выраже-
выражения для вторых моментов термодинамически равновесных флуктуа-
флуктуации таких интегральных величин. Мы уже знакомы, таким
') Не следует смешивать квазистацнонарноетъ в этом элехтродинамшг-
™*>m смысле со статистической квазистационарностью случайных процессов.
124 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [гЛ. III
образом, с корреляционной теорией электрических тепловых
флуктуации в квазистационарных цепях, т. е. в случае/-^Х.
Но существует и совсем иная область явлений, для которых
теория тепловых электромагнитных полей была развита уже
давно, причем при прямо противоположных условиях, когда все
характерные размеры тел I велики по сравнению с длиной волны:
/^>^. Это классическая теория теплового излучения, созданная
Г. Кирхгофом, Л. Больцманом и рядом других выдающихся фи-
физиков конца прошлого века. Ее завершило в 1900 г. открытие
М. Планком закона, дающего спектральное распределение энер-
энергии равновесного теплового излучения, заключенного в полости
достаточно больших размеров: 1^>Х. Другие законы этой теории
(например, законы Кирхгофа) тоже опираются на асимптотиче-
асимптотическое описание электромагнитного поля в приближении геометри-
геометрической оптики, пригодном только для достаточно коротких воли.
�сторически это произошло потому, что классическая теория
теплового излучения развивалась прежде всего для оптического
диапазона.
Общая флуктуационная электродинамика полей теплового про-
происхождения, основанная на уравнениях Максвелла (понимаемых,
конечно, как стохастические уравнения), должна быть, очевидно,
свободна от ограничений, касающихся соотношения между раз-
размерами тел / и длиной волны Я. Она должна охватывать, наряду
с найквистовской теорией тепловых шумов в квазистационарных
цепях (/ <^ X) и классической теорией теплового излучения
(1^>Х), также промежуточную область 1~Х, в которой оба пре-
предельных подхода неприменимы. Такая общая теория тепловых
электромагнитных полей была построена сравнительно недавно [1],
и в данной главе излагаются ее основы. Для краткости мы
будем далее называть случайное электромагнитное ноле тепло-
теплового происхождения просто флуктуационным полем.
Прежде чем перейти к систематическому изложению, остано-
остановимся на двух вопросах, которые легко могут возникнуть после
сказанного выше. Один из них можно поставить следующим
образом: почему в классической теории теплового излучения
речь идет не вообще о тепловом флуктуационном поле, а именно
об излучении, т. е. только о волновом поле?
Это вполне резонный вопрос, потому что флуктуации заряда
и тока в каждом элементе объема тела порождают не только
разбегающуюся электромагнитную волну, но и так называемое
ближнее квазистационарное поле. �звестно, однако, что оно
убывает с расстоянием R от своего «точечного» источника гораздо
быстрее, чем волновое поле,— не как 1/R, а как I//?2 и \IRS,
простираясь лишь на расстояния порядка X. Кроме того, это
ближнее поле в среднем за период не создает потока энергии.
�менно поэтому классическая теория теплового излучения, инте-
||Л] ПРЕДВАР�ТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАН�Я 125
ресующаяся только переносом «лучистой» энергии и только до-
достаточно короткими волнами (Я.<§/), просто игнорирует ближнее
флуктуационное поле. Она не может поэтому правильно описать
флуктуационное поле, например, в полости, размеры которол
невелики или тем более малы по сравнению с длиной волны.
Равным образом она оставляет без внимания особенности тепло-
теплового поля на малых расстояниях (/<=Х) от поверхности нагре-
нагретого тела. Между тем нетрудно понять, в чем заключаются эти
особенности и каково их происхождение.
Внутри нагретого тела, в каждом элементе его объема про-
происходят непрерывные тепловые флуктуации плотностей заряда
и тока, непрерывное электрическое «кишение», если воспользо-
воспользоваться образным выражением М. А. Леонтовича. Сумма волновых
полей этих источников дает вне тела его тепловое электромаг-
электромагнитное излучение, описываемое законом Кирхгофа. Сумма же
ближних полей (от приповерхностных элементов объема) создает
квазистационарное тепловое поле, которое как бы выстилает
поверхность любого тела. Это поле сосредоточено около поверх-
поверхности, в слое толщины порядка X, так что на расстояниях /^>Х
им можно пренебречь, но при I—>-0 его напряженность неогра-
неограниченно возрастает. В этом, конечно, нет никакого парадокса,
так как на удалениях от поверхности порядка межатомных рас-
расстояний макроскопическое описание поля уже становится непри-
непригодным.
Хотя квазистационарное флуктуационное поле не участвует
в создании потока энергии, его наличие проявляется вполне
наблюдаемым образом, например, в молекулярных силах сцеп-
сцепления между телами (см. § 21).
�спользование приближения геометрической оптики ограни-
ограничивает классическую теорию теплового излучения не только тем,
что она не учитывает квазистационарного флуктуационного поля,
но и тем, что от нее ускользают дифракционные явления в самом
излучении.
Другой законный вопрос касается того, представляет ли ин-
герес область / ~ Я, т. е. тот случай, когда размеры тел срав-
сравнимы с длиной волны.
При своем зарождении радиотехника использовала метровые
и даже сантиметровые волны, возникающие при колебательном
искровом разряде. Весьма быстро, однако, она была вынуждена
перейти к очень длинным (километровым) волнам, после чего —
уже с электронными лампами в генераторах и усилителях—на-
усилителях—начался длительный процесс настоящего технического освоения
все более коротких волн. Постепенно этот путь привел к деци-
дециметровому диапазону, а затем — к сантиметровым и миллиметро-
миллиметровым волнам и, соответственно, к радиотехническим устройствам,
У которых все (или некоторые) размеры сравнимы с длиной
126 тепловое электромагнитное поле 1гл. ш
волны, т. е. к не квазистационарным распределенным волновым
системам. Такого рода устройства (волноводы, объемные резона-
резонаторы, рупорные и зеркальные антенны и т. п.) составили предмет
так называемой электродинамики сверхвысоких частот (СВЧ).
По мере повышения чувствительности и точности применяемых
радиотехнических методов естественно приобрели остроту вопросы,
касающиеся тепловых шумов и в распределенных системах. Таким
образом, если говорить о нуждах радиотехники, то развитие
общей флуктуационной электродинамики было стимулировано
проблемой тепловых шумов в диапазоне СВЧ. Однако физиче-
физические результаты флуктуационной электродинамики, конечно, не
исчерпываются ее радиотехническими приложениями. Например,
одним из основных ее следствий является обобщение такого
фундаментального закона, как кирхгофовский закон излучения,
на общий случай произвольного соотношения между размерами
тел и длиной волны (§ 17).
Заметим кстати, что закон Кирхгофа, строго говоря, отно-
относится уже к неравновесным условиям. Ведь речь идет об излу-
излучении нагретого тела в окружающую более холодную среду,
т. е. температура не одинакова во всем пространстве. Если
теряемая телом энергия не компенсируется, то процесс даже
нестационарен: тело «высвечивается» и остывает. Разумеется, не-
нетрудно создать и стационарные условия, поддерживая темпера-
температуру тела постоянной путем подвода энергии от какого-либо
стороннего источника, как это происходит, скажем, в лампочке
накаливания. Ясно, однако, что и такое стационарное состояние
все равно термодинамически неравновесно: в теле происходит
одностороннее преобразование энергии и протекают явления
переноса (например, связанные с теплопроводностью). В этих ус-
условиях применение равновесных законов (в том числе ФДТ)
уже не вполне строго, но оно оправдано, если, как часто бывает,
роль явлений переноса еще невелика.
Последнее замечание, которое уместно здесь сделать, касается
функций распределения вероятностей флуктуационного поля.
Казалось бы, нахождение этих функций — более сложная задача,
чем вычисление моментов, но во многих случаях дело обстоит
как раз наоборот. Флуктуационное поле слагается из множества
микрополей, порожденных флуктуациями заряда и тока в разных
элементах объема. Если эти вклады можно считать статистиче-
статистически независимыми и «равноправными» по величине (например, по
их доле в суммарной дисперсии), то в силу центральной пре-
предельной теоремы теории вероятностей суммарное поле будет
гауссовым. Тем самым, для его полного статистического описания
достаточно знать только функции корреляции его напряжекно-
стей (поскольку средние значения этих напряженностей равны
нулю).
j,4] СТОХАСТ�ЧЕСК�Е УРАВНЕН�Я МАКСВЕЛЛА 127
§ 14. Стохастические уравнения Максвелла
�сходные уравнения Максвелла
+ J rotE =
необходимо, как известно, дополнить так называемыми материаль-
материальными уравнениями, связывающими индукции D и В с напряжен-
ностями Е и Н. Эти уравнения описывают электродинамические
свойства среды и могут быть в общем случае нелинейны. Однако
если задача о тепловых флуктуациях ставится макроскопическими
уравнениями (а именно так она ставится во флуктуационной
электродинамике) и если мы интересуемся только термодина-
термодинамически равновесными флуктуациями, то макроскопическая не-
нелинейность системы не играет роли, т. е. достаточно пользо-
пользоваться линеаризованными уравнениями. Это обстоятельство было
разъяснено ранее для дискретных систем (ч. I, § 54), но оно
остается в силе и для распределенных систем. Другими сло-
словами, сохраняя полную общность, мы можем исходить из линеари-
линеаризованных материальных уравнений. Последние можно было бы
взять наиболее общими, учитывающими наличие неоднородности
и анизотропии среды, временную и пространственную диспер-
дисперсию, а также движение среды. Однако для упрощения выкладок
и для более четкого выделения принципиальных моментов мы
ограничимся случаем неподвижной и поначалу изотропной среды,
обладающей только временной нелокальностью (частотной дис-
дисперсией). В этом частном случае среду можно описать мате-
материальными уравнениями вида (см. сноску на стр. 173)
+В»
D(t, Рі)- $ РІ (/-Р“, Рі)Р•(Р“, Рі)Р›',
~Р› (14.2)
B(f, Рі)= J Рё (<-<'. Рі)Рќ(Р“, Рі) Р›',
где е и ц—диэлектрическая и магнитная проницаемости.
Переходя к стохастическим максвелловским уравнениям, вве-
введем теперь в правые части уравнений (14.1) случайные сторонние
источники, которые «вызывают» тепловые флуктуации напряжен-
ностей поля и всех связанных с ними электродинамических вели-
величин. Эти распределенные источники играют здесь такую же
Вспомогательную роль эквивалентных ланжевеновских «сил», как
интегральные э. д. с. Найквиста в электрических цепях с сосре-
сосредоточенными параметрами (ч. I, § 54).
Флуктуационные источники можно выбирать различным обра-
образом, в частности в виде объемных плотностей электрических (jf)
128 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
и магнитных (jM) токов1). Стохастические уравнения Максвелла
примут тогда вид
!# ?? ~l.?-?L. (14.3,
Можно было бы воспользоваться вместо токов сторонними индук-
индукциями Ю и ЯЗ, положив
что, как мы увидим далее, оказывается в некоторых случаях
целесообразным. Поля флуктуационных источников \е и ]т (равно"
как и Ю, ЯЗ) мы будем считать стационарными во времени.
Обратим внимание на вытекающее из (14.3) уравнение ба-
баланса энергии (теорему Пойнтинга), которое мы запишем для пол-
полного поля г). Умножив первое уравнение (14.1) на Е, второе—на
— Н; сложив результаты и взяв интеграл по объему V, ограничен-
ограниченному поверхностью 2, получаем
РіРґРµ
dUi'dt — скорость изменения заключенной в объеме V электромаг-
электромагнитной энергии, a Q —диссипируемая в этом объеме мощность.
�нтеграл в левой части равенства пропорционален потоку
энергии (потоку вектора Пойнтинга) через поверхность 2, так
что для полного поля он обращается в нуль. Поэтому dUldt^Q
представляет собой не что иное, как диссипируемую в объеме У
мощность. После усреднения по ансамблю случайных «сил» j,
и )„, если учесть, что для полного и стационарного поля
diUyidt—Q, мы получим для средней диссипируемой мощности
выражение
f dВ«r. (14.5)
') �спользование магнитных токов является, конечно, лишь формальный
приемом, но для многих задач оно удобно (см., например, |2]).
') Напомним, что полным называется в электродинамике поле, равное
нулю за пределами некоторой замкнутой поверхности ?. Возможность по-
построения такой поверхности обусловлена либо наличием идеально отражаю-
отражающих оболочек, либо достаточно быстрым убываиием поля на бесконечности
(поверхность 5 mojkct быть частично или целиком бесконечно удаленной).
j,(4] СТОХАСТ�ЧЕСК�Е УРАВНЕН�Я МАКСВЕЛЛА 129
Нас будут интересовать спектральные амплитуды стационар-
стационарных во времени электродинамических величин, т. е. простран-
пространственные поля трансформант Фурье
Р•(С€, r) = -L J E(/, r).e"В°'dt,
— ся
и аналогично для Н, D, В, j, )r и jm. Для спектральных ампли-
амплитуд уравнения (14.3) принимают вид
rotH = - -ikD + ^- j,, rot E = ifeB —-^-jm, (14.6)
где k = a>lc, а материальные уравнения (14.2) —вид
D(c, В«J-.C, r)EK D
Р’ (id, r) = |i (СЃРѕ, Рі) Рќ (СЃРѕ, Рі),
РіРґРµ
u.(co, Рі)
e (СЃРѕ, Рі) 1 Р» Рµ (С‚, Рі) 1
k Рњ=Р“ ;' U'В«dt. (14.8)
Заметим, что член АпЦс мы объединили в (14.6) с членом ikO.
это означает включение электрической проводимости в в или,
точнее, в ее мнимую часть e"(e=e' + ie"). Вводя [л.(ц = ц'+/ц")
можно учесть и магнитные потерн.
Система неоднородных линейных уравнений (14.G), (14.7) од-
однозначно определяет спектральные амплитуды напряженностей и
индукций флуктуационного поля при заданных граничных усло-
условиях и (если это нужно) условиях на бесконечности, а также,
-Мзумеется, при заданных случайных источниках j, (ш, г) и \т (ш, г).
Таким образом, это задача со случайными источниками (схема 1
;Щ) классификации, введенной в § 8), вероятностные свойства
которых должны быть известны. Так как уравнения линейны,
ДЛЯ нахождения вторых (п-х) моментов флуктуационного поля
надо знать только вторые же (n-е) моменты источников. Эти вто-
вторые моменты, если речь идет о флуктуациях около состояния
термодинамического равновесия, полностью определены (как
.;¦ в случае сосредоточенных систем) флуктуационно-диссипацион-
�Ой теоремой (ФДТ), которую нетрудно распространить и на
¦ распределенные системы (поля). Поэтому мы теперь оставим на
время уравнения Максвелла и обратимся к указанному обобще-
обобщению ФДТ.
130 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЙ ПОЛЕ 1ГЛ. II]
§ IS. Равновесные тепловые флуктуации
в непрерывных диссипативных системах
В ч. I, § 54 была приведена формулировка ФДТ для диск-
дискретных систем, состояние которых описывается совокупностью
какого-то конечного числа п обобщенных координат qf {t). При
помощи этой дискретной формы ФДТ можно получать резуль-
результаты, относящиеся и к распределенным системам,— либо косвен-
косвенным путем, как сделано в задаче 1, либо используя искусствен-
искусственную дискретизацию непрерывной системы, например разбиение
пространства, занимаемого полем, на малые ячейки и замену
дифференциальных операторов разностными. �менно с помощью
последнего способа дискретная ФДТ применена к стохастическим
уравнениям Максвелла в книге [3], гл. 13. Однако представляет
больший интерес получить общую форму ФДТ для непрерывных
систем, состояние которых описывается случайными полями —
функциями времени и точки пространства. Такое обобщение,
удобное для приложений теоремы к полям равновесных тепловых
флуктуации любой физической природы —как электромагнитным,
так и механическим (в аэро- и гидродинамике, теории упруго-
упругости), температурным и энтропийным и т. п.,— можно осуществить
следующим образом [4].
Пусть флуктуации в распределенной системе, занимающей
объем V, описываются стационарным и однородным полем | (/, г).
Для простоты мы берем случай одномерного поля •). Обобщение
на многомерное поле |(" (t, г) (i = 1, 2, ...) легко может быть
получено, и соответствующий результат будет далее приведен.
Пусть f(t, r)—объемная плотность поля обобщенной силы, со-
сопряженной в лагранжеиом смысле с обобщенной координатой
I (/, г), причем спектральные амплитуды ? (со, г) и / (со, г) свя-
связаны между собой посредством линейных пространственных опе-
операторов А и А~1:
6(В«, Рі)-Р›/(В«, Рі), /РљРі) = Р›-В»6(В«,Рі). (15.1)
А и Л~1—взаимно обратные операторы, т. е. их произведение
равно единичному оператору ? (A A ~l — A-1A =?), который остав-
оставляет функцию неизменной (?/(г) = /(г)). В приложениях обычно
задан оператор Л'1, являющийся большей частью дифференци-
дифференциальным.
Если, например, мы имеем дело с волновым уравнением
^? . Рі).
1) Одномерного в «шсле числа описывающих «го функций |.
Jjj] ТЕПЛОВЫЕ ФЛУКТУАЦ�� В НЕПРЕРЫВНЫХ С�СТЕМАХ 131
частное решение которого равно, как известно,
то для спектральных амплитуд получаем (ft — ш/е)
(Р›+ *В«)?(В«>, Рі) = -4Р»/((0, Рі),
/(В», r')-^-dV.
Таким образом,
Допустим теперь, что мы располагаем полной ортонормиро-
ванной системой вещественных функций ipy(r), определенной для
области V:
\b(r)4k(r)d>r = 8/k. (15.2)
v
Разложим %(t,r) и l(t,r) по функциям ffy(r):
), (15.3Р°, Р±)
или в спектральной форме:
i(В».r)-*2S/(В»)4>/M. /(В».Рі) = 2//(В»)Р¤/(Рі). (15.4Р°,Р±)
РіРґРµ
и аналогично для /у (to). Заметим, что согласно (15.2) и (15.3)
средняя мощность, диссипируемая в объеме V под действием
силы f(t, r), записывается в виде
Принимая 5/ (0 за те дискретные переменные, которые опи-
описывают флуктуации в рассматриваемой системе, естественно
распространить дискретную ФДТ на спектральные амплитуды
I/ (<¦>) и \j (w). Единственное допущение, которое необходимо при
этом сделать, заключается в том, что ФДТ остается в силе для
бесконечного множества дискретных переменных \/{t). Опираясь
на это допущение, мы и найдем теперь пространственные функ-
Дии корреляции для спектральных амплитуд ?(о>, г) и f(a>,T).
5В»
(32 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. Ill
Как связаны между собой спектральные амплитуды |у(<о) и
fj (ш)? Подставив (15.3а, б) в первое уравнение (15.1), получаем
Умножим это равенство слева на фу(г) и проинтегрируем по
объему V. Учитывая (15.2), находим'
I/ � - 2 h � \ Ф/ W ^Ф* W *' - 2«/* (•) /* (•)¦ (15-6а)
где величины
(15.7Р°)
представляют собой, очевидно, не что иное, как коэффициенты
разложения функции А<рк(г) по базисным функциям Фу (г), т.е.
Точно такие же операции.над вторым уравнением (15.1) при-
приводят к обратной (15.6а) системе уравнений:
/Сѓ(СЋ) = 2<Р§*'Р�?*Р�. (15 66)
РіРґРµ
ад1 (ш) = j Фу (г) ^"'ф* (г) d*r, (15.76)
т. е. а^1—коэффициенты разложения по фу (г) функции Д~>фА(г):
Л~*ф^ (г) —.^сс^фу (г). (15.86)
Величины (15.7а, б), являющиеся коэффициентами в уравнениях
(15.6а, б), связывающих ?,(<в) и /у(ш), образуют, таким образом,
элементы бесконечномерной матрицы обобщенной восприимчи-
восприимчивости {ад1} и обратной ей матрицы {ву*}.
Дискретная ФДТ дает следующие выражения для спектраль-
спектральных плотностей переменных |у({) и ланжевеновских сил ft(t)
(ч. I, (54.18) и (54.22); отметим, что перед правыми частями
теперь стоит знак минус, поскольку мы пользовались ранее
спектральным разложением с е1"1', а в данной книге перешли
к разложению по е~*"'):
(») � («)> Щ±Р («,.-«W, (15.9а)
<// («) Я (»» = - 2^2 (зд/*- a7i), (15.96)
JJ»1 ТЕПЛОВЫЕ ФЛУКТУАЦ�� В НЕПРЕРЫВНЫХ С�СТЕМАХ 133
где в(ш, У)—средняя энергия квантового осциллятора:
формулами (15.9а, б) мы теперь и воспользуемся.
Согласно (15.4а) и (15.9а)
<¦>, г) ?• (а>, г')> =^ <6/ («) 8 («)> Ф/ (г) <Р* (г')=
При помощи (15.8а) можно записать это выражение в виде
~<i(В«, Рі) I- (СЃРѕ, Рі')> =- -
причем оператор А действует на функции точки г, а А*—на
функции точки г'. Поэтому оба они могут быть вынесены за
знак суммы, которая оказывается тогда разложением дельта-
функции от г—г' по базисным функциям:
В результате
<l(В«),r)?Kr')>=-^-)(/i-i')6(r-r'). (15.11Р°)
Совершенно аналогичным путем при помощи (15.46), (15.96)
в (15.86) получается пространственная функция корреляции для
ьяектральной амплитуды силы / (ш, г):
Поскольку дельта-функция зависит лишь от разности р=г—г',
Оба оператора А к А* можно выразить через компоненты р.
Равным образом можно и дифференциальные операторы Л"1 и
Я"1* (первый содержит ?, а второй \') записать через опера-
«Ч» VP=V = —V.
Формулы (15.11а, б), в которых уже никак не проявляются
форма и размеры области V, и представляют ФДТ для одно-
одномерного однородного ноля i(t,r) и соответствующего ему поля
«нжевеновской силы j(t, г).
Обобщение полученного результата на многомерное поле, т. е.
ва случай системы однородных и однородно связанных между
*обой полей l{/>(t,T), почти очевидно. Вместо уравнений (15.1)
134 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. III
теперь будут системы линейных уравнений
|^(<в,г) = ЗЛ/*/*(«»,г),
* (15.12)
/v> (Рѕ>. Рі) = 2 ^S1*'(<В¦>.').
где А1к и Л/»—элементы прямой и обратной операторных мат-
матриц, а вместо выражения (15.5) для мощности, развиваемой
силами /<¦" (t, г), будет сумма
(15.13)
Наконец, окончательные формулы (15.11а, б) заменяются на кор-
корреляционные матрицы спектральных амплитуд ^'(ш.г) и
Р›/>(СЃРѕ,Рі):
<?V)(о), г) ij1*1*(со, г')> =— g —-(ЛуА—А1/)6(р), (15.14а)
</vl(<°. г)/'*••(«», г')>-= — '82(^Г)(Л*/*—Aji)6(р), (15.146)
где по-прежнему р = г—г'.
�так, в распределенных системах, как и в дискретных, ФДТ
выражает корреляционные функции (матрицы) «-амплитуд1)
совершенно регулярным образом. Эти функции однозначно опре-
определены видом операторов AJk и Aj?, т. е. самими линеаризован-
линеаризованными макроскопическими уравнениями рассматриваемой системы.
Если это уравнения Максвелла, то формулы (15.14) позволяют
найти пространственную корреляцию напряженностей флуктуа-
ционного поля и тех сторонних полей (индукций или токов),
которые «создают» флуктуационное электромагнитное поле. Если
же мы имеем дело, например, с уравнениями теории упругости,
то при помощи тех же формул (15.14) определяется корреляция
тепловых флуктуации деформаций и температуры, равно как и
соответствующих сторонних напряжений и источников тепла [5J
и т. д. Более точно: корреляционные матрицы флуктуационных
и сторонних тепловых полей определяются антиэрмитовыми
частями соответствующих линейных операторов, или иначе
говоря, обусловлены диссипативными свойствами системы.
В отсутствие поглощения энергии, т. е. в отсутствие диссипа-
') А тем самым и шх-амплитуд, если ш-амплитуды разложить в прост-
ранстоенные интегралы Фурье (см. задачу 6).
€16] КОРРЕЛЯЦ�Я СТОРОНН�Х ТЕПЛОВЫХ �СТОЧН�КОВ ]35
ции, операторы или операторные матрицы будут эрмитовыми и
разности, стоящие в правых частях любой из формул, выража-
выражающих ФДТ, обращаются в нуль. Это означает, что в среде (или
участке среды), не обладающей потерями, сторонних источников
флуктуации нет и, следовательно, нет и вклада от такого участка
среды по флуктуациошюе поле. В формулах (15.11а) и (15.14а)
учтен только этот вклад, и он в данном случае тоже обращается
в нуль. Но флуктуационное поле может создаваться источниками,
локализованными вне- данного непоглощающего объема среды,
т.. е. может приходить в этот объем извне. Поэтому корреляци-
корреляционные функции флуктуационного поля, вообще говоря, отличны
от нуля и в тех областях пространства, где среда не обладает
поглощением.
§ 16. Корреляция сторонних тепловых источников
в электродинамике
Вернемся к спектральным уравнениям Максвелла (14.6),
исключив из них при помощи материальных уравнений (14.7)
индукции D и В:
rotH = -(fceE+-^-je, rotE = i/sjiH—^-j,,. (16.1)
Состояние рассматриваемой системы—флуктуационного электро-
электромагнитного поля—описывается 6-вектором напряженностей
|</>г={Е, Н}. Каков при этом 6-вектор сопряженных с gv по
Лагранжу сторонних сил f'^7
Согласно общему выражению (15.13) средняя диссипируемая
мощность <Q> равна (со знаком минус) сумме произведений
координат на скорости изменения сил. Сопоставляя с (15.13)
формулу (14.5), нетрудно усмотреть, что [сторонние токи j, и
|и не являются сопряженными «силами» для «координат» ?у>==
={Е, Н}. Если же воспользоваться сторонними индукциями ©
и- SB и подставить в (14.5) выражения (14.4), то мы получим
Д <Q> формулу как раз вида (15.13):
Таким образом, для напряженностей |V) = {E, H} «силами» явля-
являются величины /У' = {Ю/4я, 89/4я} и общие формулы (15.14а, б),
выражающие ФДТ, следует применять именно к таким |'/> и /v>.
Разумеется, получив корреляционную матрицу для спект-
спектральных амплитуд сторонних индукций О и SB, мы тотчас же
сможем написать такую матрицу и для спектральных амплитуд
136
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
сторонних токов, поскольку, в силу (14.4),
(16.2)
Подставив (16.2) в (16.1), запишем уравнения (16.1) в ком-
компонентах:
где fe = o)/c, а знак О обозначает круговую перестановку индек-
индексов 1, 2, 3. Сопоставление этих шести уравнений со второй
группой уравнений (15.12), где, как мы помним, надо положить
$</> = {Р•, Рќ}, /"> = {Рћ/4СЏ, В®/4Рї} (/ = 1, ..., 6),
дает нам матрицу операторов ^^(V):
! Р·^Рі -V, 0 Vi
4Р»'*\ v, -v. Рѕ
—V.
1
(Р°, Р’= 1,2,3).
Транспонированная комплексно сопряженная матрица, завися-
зависящая от v', будет
(Р°, 6 = 1,2, 3).
Учитывая, что у' — — \ (поскольку операторы действуют на
функцию от г—г'), получаем
8 — »'
4Р»
(Р°, 6=1, 2,3).
Ц.191 КОРРЕЛЯЦ�Я СТОРОНН�Х ТЕПЛОВЫХ �СТОЧН�КОВ 137
Наконец, подстановка этого результата в формулу (15.146),
выражающую ФДТ для ланжепсновских сил, даст нам корреля-
корреляционные функции сторонних индукций D и SB:
<De(co, г)0|(<о, г')> = -?^^-)(Е-е«)баЭ«(г-г'),
i^0i-|i')ee,e(r-r'), (16.3)
В более общем случае анизотропной или гиротропной среды,
описываемой тензорами проницаемостей ea(J и цар. мы получили
бы те же формулы (16.3), но с заменой диагональных тензоров
Sfiaj � |i6aS НЭ вар � Цар, Э 8*5аЭ � [Д.тбар НЭ 8ра � ^^.
Пользуясь (16.2) и (16.3), нетрудно написать корреляцион-
корреляционные функции сторонних токов. Мы приведем эти функции сразу
для случая анизотропной среды'):
(16.4)
Менее формальный вывод этих формул дан в задаче 2.
�так, электрические и магнитные источники флуктуацион-
яого поля пространственно не корродированы между собой,
а радиус пространственной корреляции тех и других порознь
равен нулю (дельта-функция б (г—г')). Для сред без простран-
пространственной дисперсии, которыми мы здесь и ограничиваемся, этот
1Ц>следний результат представляется очевидным. Действительно,
фактический радиус корреляции источников теплового поля
ill.таких средах может быть только микровеличиной (порядка,
Например, межатомных расстояний), и поэтому в макроскопи-
яеекой теории, рассматривающей среду как сплошную, он и
должен быть равен нулю. Напротив, в средах с пространствен-
пространственной дисперсией материальные уравнения нелокальны не только
ло t, но и по г, т. е. вместо (14.2) будут уравнения, содер-
содержащие операторы как по t, так и по г'). Это приводит к
1) Формулы (16.4) были получены Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем |3|
пр« помощи ФДТ в ее дискретной форме. На основе непрерывной формы ФДТ
формулы вида (16.4) были выведены в [4]. В дальнейшем, независимо от
"Мученной в [4] обшей непрерывной формы ФДТ, формулы вида (16.4) выво-
выводили многие авторы (см., например, ссылки [23, 55—62) в книге [6]).
') Соответственно уравнения (14.7) тоже не будут алгебраическими, а
будут содержать пространственные операторы. Алгебраическими будут лишь
уравнения для шх-амплитуд.
138 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
отличному от нуля радиусу корреляции источников флуктуаци-
онного поля, имеющему тот же порядок величины, что н размер
области нелокальности в материальных уравнениях (см. [6J,
В§4).
Для кусочно-однородных сред, т. е. при наличии резких гра-
границ раздела между средами, формулы (16.3) и (16.4) справед-
справедливы (из-за дельта-корреляции) вплоть до самых границ раздела.
При наличии же пространственной нелокальности положение
меняется: вблизи от границ раздела, а именно в слое, толщина
которого порядка радиуса корреляции, поля сторонних источ-
источников неоднородны (их корреляционные функции зависят от г
и г' в отдельности, а не от разности г—г') и анизотропны даже
в том случае, когда сама среда изотропна.
Мы смогли, используя теорему (15.146), сразу написать кор-
корреляционные функции источников флуктуационного поля только
потому, что входящие в (15.146) операторы А?$ нам известны из
самих уравнений Максвелла. �наче обстоит дело с корреляцией
«координат», т. е. напряженное/пей флуктуационного электро-
электромагнитного поля Е и Н. Для того чтобы написать корреляцион-
корреляционные функции Е и Н, надо, согласно (15.14а), знать обратные
операторы ?<#, т. е. надо «обернуть» уравнения Максвелла,
выразив Е и Н через j, и jn (или С и SB). Другими словами,
надо решить неоднородные уравнения Максвелла, считая рас-
распределение источников jj и jn произвольным, но заданным и
налагая граничные условия, отвечающие данной конкретной за-
задаче.
Если краевая задача решена, то тем самым мы получаем
операторы Лар (обычно в виде интегралов, распространенных
на области пространства, в которых сторонние токи \, и )т
отличны от нуля) и можем воспользоваться тогда «готовой» тео-
теоремой (15.14а). Можно поступить и иначе: составить из полу-
полученных решений для Е и Н интересующие нас билинейные ком-
комбинации и усреднить их. Под кратные интегралы, выражающие
вторые моменты напряженностей, войдут при этом корреляци-
корреляционные функции сторонних токов ]„ и ]я, вместо которых
надо будет подставить уже полученные выражения (16.4). Оба
способа вполне правомерны, и ряд флуктуационных элект-
электродинамических задач был решен именно таким путем [I,
7,8].
Однако в обоих указанных вариантах это трудоемкий и не-
неэкономный путь, так как для каждой конкретной задачи его
надо проделывать заново. Попытаемся поэтому выяснить, к чему
приводит ФДТ, если применить ее к решению уравнений Макс-
Максвелла, записанному в обшрй интегральной форме—через функ-
функции Грина.
I 17) ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН К�РХГОФА ]39
§ 17. Обобщенный закон Кирхгофа
Функции Грина представляют собой решения краевой задачи
с элементарными точечными источниками поля. Введем их в нашем
электродинамическом случае следующим образом.
Пусть j0,—детерминированный электрический ток, сосредо-
сосредоточенный в некоторой точке А (г = гд) и направленный по
постоянному единичному вектору 1:
Ue = )b(T-rA). (17.1)
Можно считать ток jot поляризационным, т. е. рассматривать
источник как точечный электрический диполь с моментом
р=—1/гю1). Решение уравнений Максвелла, т.е. напряженности
электромагнитного поля, создаваемого в данной системе тел и
сред источником (17.1), мы обозначим через Ео, (г, г^, 1),
Нв» (г, гд, I) я для краткости будем называть это детерминиро-
детерминированное поле дифракционным. Напряженности Е0(, и Нае и явля-
являются функциями Грина.
Наша цель состоит в том, чтобы выразить напряженности Е
и Н флуктуационного поля, порождаемого случайными распре-
распределенными токами )е и }т, через эти токи и через функции
Грина Е0(, и Ное. Проще всего сделать это при помощи электро-
электродинамической теоремы взаимности, которая связывает «накрест»
напряженности и источники двух различных полей 1 и 2 в одной
и той же системе тел и сред.
Пусть имеются два распределения сторонних электрических
и магнитных токов j,,, jle и jae, |M, которые создают при про-
прочих одинаковых условиях поля Elt H, и Е2, Н2 соответственно.
Теорема взаимности выводится весьма просто (при очень широ-
широких допущениях) из двух систем уравнений Максвелла — одной
для поля и источников 1 и другой для поля и источников 2
(см., например, [6]). Она гласит, что
S (E.JВ«-HJВ«)*r = J (E.Jn-H.UdV, (17.2)
где V—объем полного поля. Фактически интегралы в (17.2)
распространяются только на те области пространства, в кото-
которых сторонние токи отличны от нуля.
*) Плотность поляризационного тока равна dP/dt, где Р—объемная плот-
плотность поляризации. Для точечного диполя с моментом р имеем Р —рв(г—г^),
так что Ье = д?6(г—г/), а для спектральных амплитуд ]Яе = — top 6 (г—г^).
При р = —1/;<о мы получаем (17.1).
140 ТЕПЛОНОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
Отождествим теперь в теореме (17.2) интересующее нас флук-
туационное поле с полем 1:
iВ« = J.. 1., = ].. Ei = E. H1 = H. (17.3)
а вспомогательное дифракционное поле — с полем 2:
)„ = Щт-тА), J.. = 0. Е.-Е.., Н, = Н„;
формула (17.2) дает тогда
S Р• (Рі) 1 Р± (Рі-РіРґ) Рђ-=?,(!-,,) =
v
= S {Е.. (г, г„, 1) J. (г)-Н„, (г, тл, 1) J. (г)} d?r, (17.4)
т.е. именно то, что нам нужно: компонента по направлению 1
электрической напряженности флуктуационного поля в точке А
выражена через распределение случайных токов и через функ-
функции Грина — напряженности детерминированного поля, создавае-
создаваемого электрическим диполем, направленным по 1 и находящимся
в точке А.
Для того чтобы получить аналогичное выражение для ком-
компоненты магнитного флуктуационного поля, надо, сохраняя (17.3),
воспользоваться в теореме взаимности (17.2) другим полем 2,
а именно дифракционным полем Е,я1 Н0(., которое создается
магнитным точечным током
или, что то же, магнитным диполем с моментом т=—1/«ш,
помещенным в точку А:
Мы получаем тогда из (17.2)
..(r. ril,l)-J.(r)-H0-(r1 rAll)]K(r)\d'r. (17.5)
Линейные относительно j, и ]я выражения (17.4) и (17.5)
позволяют получать теперь любые моменты напряженностейфлук-
напряженностейфлуктуационного поля, если нам известны моменты того же порядка
для токов \е и jn. В частности, мы заведомо можем вычислить
вторые моменты компонент флуктуационного поля, поскольку
вторые моменты сторонних токов дает нам (16.4).
Найдем, например, среднее значение произведения ?;,(rJHi,(г,).
Полагая в (17.4) 1-=1„ тл = г1 и записывая скалярные произве-
произведения векторов в компонентах (sb = Oabai где по дважды вхо-
|j?f] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН К�РХГОФА ]41
дящим индексам производится суммирование от 1 до 3), имеем
= $<?o«z(r, г„ \1)jla(r)—Hllm(r, г„ \l)jma{T)}d'r. (17.G)
Полагая в (17.5) 1^12, гА = тг, получаем
РЇ/,(Рі.) =
= -J{?om»(r', г„ 1,)й)(г')-Я„тЭ(г', г3, ls)/mB(r')}dV. (17.7)
Для краткости мы далее опустим аргументы г„ lt в EOf, Hoe
ц аргументы г2, 12 в Ео„, Н0|Я. Умножив (17.6) на выражение,
комплексно сопряженное (17.7), и взяв среднее по равновес-
равновесному ансамблю случайных источников j, и ]я, находим
>.)> =
= — J 5 {?ога (Г) Ешь (Г') </«„ (Г) /*О(Г')> +
+Яога (г) Я^тр (г') </V.ra (г) /яр (г')> —
— Е„т (Г) //Jn:p (Г') </ю (Г) /тр (Г')> —
— Я,га (Г) ?*отр (Г') </та (Г) U (Г'
Согласно (16.4) последние два члена интегранда равны нулю
ш силу некоррелированности электрических и магнитных сто-
сторонних токов; корреляционные же функции токов в первых двух
членах содержат б (г—г'), что позволяет сразу выполнить ин-
интегрирование по г'. В результате
<?,, (Рі,) Рќ'1Рі (Рі,)> =
Но величина
1т.(т)= -^ {ЕмЕшеЫ-г^ + Н^иЫ-Ма)} (17.9)
Лредставляет собой не что иное, как спектральную объемную
Йютность смешанных тепловых потерь (электрических+ магнит-
Вых) в точке г1). �нтеграл от qem* (г) по г—это спектральная
х) Поясним понятие смешанных» потерь на примере изотропной среды,
обладающей только электрическими потерями, когда Еар — [е'-|-? ] бар
• �«в = (*'6аВ' гДе е' и V-—вещественные проницаемости, а—электрическая
проводимость. Формула (17.9) принимает для такой среды вид
Чет* (r)
Си. продолжение примечания на следующей странице.)
142 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
плотность потерь во всем объеме среды (фактически во всех
областях, где есть диссипация энергии, т. е. еоР—г$аф0 и (или)
'ФО)
Q,,n. (гХ1 К; г„ I.) = $ q,m. (г) д?г. (17.10)
Конечно, q,m» и Qem' зависят от координат и направлений то-
точечных источников вспомогательных дифракционных полей, в дан-
данном случае—электрического диполя с моментом p——ll/im
в точке rt и магнитного диполя с моментом m = —12/md в точке г2.
�з (17.8)—(17.10) следует, что
<61(rI)«;.W> = —|в(«, 7) «„.(г,. I,; г„ 1а). (17.11)
Аналогичный расчет при помощи формул (17.4), (17.5) и
(16.4) функций корреляции компонент Е или компонент Н при-
приводит к следующим результатам:
<?,, (г,) ?,', (г,)> -|-в К Т) Qet. (г,. 1,; г„ 1а), (17.12)
; | -('i. >»; г„ 1,). (17.13)
В формулу (17.12) входят смешанные потери дифракционных
полей от двух электрических диполей (рх = — \jirn в точке г,
и р,= —la/i(o в г,), а в (17.13)—от двух магнитных диполей
(m,= — lji<o в г, и т, = — 1,//о> в г,). Не смешанные, а собст-
собственные потери дифракционного поля одного источника опреде-
определяют среднеквадратичное значение какой-либо одной компоненты
флуктуационного поля в одной и той оке точке. Например, по-
полагая в (17.12) rt~ra = r и 1,-1, = !, получаем
< I ?, (Рі) 1*> = # РІ (С€. Рў) Qec. (Рі, 1; Рі, 1), (17.14)
Мы назвали эти потери «смешанными», так как они обусловлены полями от
двух разных источников. Посмотри» на тон же примере, как такие потери
возникают.
Как известно, мгновенная объемная плотность джоулева тепла есть
q(l, г) — а(г)Е'(1, г). Для гзршятческого поля Е(/, г) = >/,[Е(а>, r)W>'-(-
+ Е*(<в, г)е'<>>'] в среднем по периоду Г —2л/о имеем
Если поле Е представляет собой суперпозицию двух полей
очевидно,
где <?п«(ш, г) = */,а|Ех|". ?22.(о, г) = V»01 Е»|*—потери каждого из полей Е]
и Ej в отдельности, a ?ia.(w, г) = VjfEiEj, qmifit, r) = a/»«'ElEj—смешанные
ютери полек Е( и Е,.
JI7J ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН К�РХГОФА |43
т. е. сюда входят собственные потери дифракционного поля, со-
создаваемого электрическим диполем с моментом р=—l/ieo, нахо-
находящимся в точке г.
Формулы (17.11)—(17.13) можно назвать кирхгофовской фор-
формой ФДТ, потому что они представляют собой прямое обобще-
обобщение закона Кирхгофа классической теории теплового излучения.
Этот закон связывает, как известно, интенсивность теплового
излучения тела в каком-либо направлении с поглощением в этом
теле при падении на него плоской волны с обратным направ-
направлением распространения (можно сказать, что это волна от бес-
бесконечно удаленного точечного источника). Обобщение касается
сразу трех сторон дела.
Во-первых, мы можем теперь находить средние значения про-
произведений любых компонент Е и Н, а не только тех, которые
определяют плотность энергии и ее поток (поток вектора Пойн-
тинга)— две величины, которыми только и интересуется клас-
классическая теория излучения.
Во-вторых, мы можем вычислять не только средние произ-
произведения компонент, взятых в одной и той же точке (rt = г,),
что требуется для расчета плотности энергии и ее потока, но
и пространственные функции корреляции флуктуационного поля
[Р¤)
� D-третьих, что наиболее существенно, в формулах (17.11)—
(17.13) нет никаких ограничений для соотношения между дли-
длиной волны X и характерными масштабами задачи / (размерами
тел, радиусами кривизны их поверхностей, расстояниями от
тела до точки наблюдения и т. п.). �наче говоря, в отличие
от классической теории теплового излучения, связанной усло-
условиями применимости геометрической оптики, мы можем вычис-
вычислять теперь вторые моменты флуктуационного поля—как вол:
новой его яасти (с учетом всех дифракционных явлений), так
и неволновой (квазистационарной)—при любом соотношении А, и/.
Необходимо остановиться на преимуществах, которые дает
обобщенный закон Кирхгофа и в отношении вычислительной
стороны дела. Конечно, для нахождения вспомогательных ди-
дифракционных полей (функций Грина) по-прежнему необходимо
решать обычными методами соответствующие краевые электро-
электродинамические задачи. Однако эти задачи проще тех, о которых
Говорилось в конце предыдущего параграфа. Для формул (17.11)—
CJ7.13) надо находить решения однородных уравнений Максвелла,
обладающие дипольными особенностями в заданных точках г,
и г„ а не решения неоднородных уравнений с заданным, но
произвольным распределением сторонних токов j, и \„. Более
того, во многих случаях можно использовать уже известные
функции Грина, т. е. готовые решения задач с точечными источ-
источниками (например, классической задачи А. Зоммерфельда о поле
144 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
диполя, расположенного над плоской границей поглощающей
среды).
Наконец, далеко не всегда необходимо вычислять напря-
напряженности дифракционных полей. Ведь в формулы (17.11)—(17.13)
входят, в конечном счете, не эти напряженности, а тепловые
потери дифракционных полей. Во многих практически интерес-
интересных случаях эти потери можно с достаточной точностью по-
получить приближенными методами. Сюда относится, например,
случай хорошо проводящих тел (сильный скин-эффект), случай
тел, больших по сравнению с Л или, наоборот, малых по срав-
сравнению с X (хотя бы по некоторым своим размерам, как это
имеет место для тонких проводов). Далее мы приведем несколько
примеров применения обобщенного закона Кирхгофа и заодно
проиллюстрируем предельный переход к результатам классиче-
классической теории теплового излучения. В заключение же этого па-
параграфа сделаем еще два общих замечания.
Первое касается распространения обобщенного закона Кирх-
Кирхгофа (17.11)—(17.13) на случай неравномерно нагретых тел. Если
градиенты температуры достаточно малы, так что 9 = 0 (г) —
настолько плавная функция, что роль неравновесных процессов
еще пренебрежимо мала, то, очевидно, учет неравномерного
нагрева сведется к тому, что в (г) надо оставлять под интегра-
интегралом по объему. Вместо произведения QQt в формулах (17.11)—
(17.13) надо при таких квазиоднородных условиях писать
j6dQ,, где dQt = qtd*r—тепловые потери дифракционного поля
в элементе объема d»r рассматриваемого тела.
Второе замечание касается нулевых колебаний. Во все формулы
корреляционной теории равновесных и квазнравновесных флук-
туационных полей входит множителем средняя энергия осцил-
осциллятора 6(о>, 7"), содержащая слагаемое А<о/2 — энергию так
называемых нулевых колебаний (см. (15.10)). Слагаемое в (15.10),
зависящее от температуры Т и обращающееся в нуль при Т— 0,
соответствует так называемому черному излучению. Только эта
часть обычно н рассматривается, когда речь идет об излучении,
т. е. о потоке энергии, поскольку лишь она является в таких
случаях наблюдаемой величиной. Между тем в формулах типа
(17.11) содержится поток энергии и нулевых колебаний. Когда
и почему его не следует учитывать?
Дело в том, что при выводе формул типа (17.11)—(17.13)
сделано неявное допущение, что рассматриваемое тело является
единственным источником флуктуационного лоля. В действитель-
действительности же нулевые колебания существуют и в отсутствие дан-
данного тела, так как они создаются всеми телами без исключения,
в том числе и абсолютно холодными (7* = 0). Можно сказать, что
по отношению к нулевым колебаниям всегда имеет место равно-
ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�Я ЗАКОНА К�РХГОФА
146
веское состояние, т. е. нулевые колебания -это всегда стоячие
волны и, соответственно, любой поток энергии этих колебаний
всюду гасится встречным потоком той же интенсивностиJ).
Поэтому в любых формулах, относящихся к потоку энергии
(но не к ее плотности]), следует удерживать лишь ту часть
9(0), Т), которая относится к черному излучению, вычитая поток
энергии нулевых колебаний, который ьсегда компенсирован при
любом окружении данного тела.
Р РёСЃ. 13.
§ 18. Примеры применений обобщенного закона Кирхгофа
Рассмотрим в качестве первого примера случай полупро-
полупространства г < 0, заполненного поглощающей однородной и изо-
изотропной средой с проницаемостями е„ ц,, над коюрым (г > 0)
среда тоже однородна и изотропна, но проз-
прозрачна (проницаемости виц вещественны)
(рис. 13). Как мы знаем, для нахождения
вторых моментов флуктуацнонного поля
в какой-либо точке прозрачной среды надо
вяать дифракционные поля Еое, Ho, и ЕОя>,
Но- элементарных электрического и магнит-
цЬто диполей с моментами р——1,/io и
ад=—1,/ш, помещенных в эту точку (lt и
>,—единичные векторы). Решение этой клас-
классической задачи можно найти в любом
учебнике по распространению радиоволн
^подробное изложение см., например, в монографиях [9, 10]).
.Потери дифракционного поля Е„ = Е„ 4- Ео„, Н„ = H,f -f- Н,я в
Поглощающем полупространстве г < 0 проще всего вычислить
Как поток энергии через границу г —0 в это полупространство:
В» 2Р»
'1
На плоскости г —0 мы ввели в (18.1) полярные координаты
f и <р, причем диполи находятся на высоте h над началом
Отсчета г —0. Ясно, что Q, будет зависеть только от h и, ко-
йечно, от ориентации диполей I, и !,.
Разные выражения для Q01 отвечающие различным ориеита-
цням I, и I,, определят по формулам (17.11)—(17.14) средние
значения произведении соответствующих компонент флуктуацион-
ного поля. Если, скажем, направить \х по оси дг и положить
') Разумеется, гасится в среднем, т. е. гасятся средние значения встреч-
Вых потокок. Пели интересоваться флуктуациями потока энергии, то к них
¦косят вклад и нулевые колебания.
14В ТЕПЛОВОС ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ |ГЛ. Ill
m —О, то мы получим <|?л.|2>; если направить lL по оси х,
а |3 по оси у, то соответствующее <?„ даст <ЕхНу> и т. д.
Отличными от нуля оказываются только следующие моменты1):
< | Ег f > = < | Нг |а >, <ЕХН;> - - <ЕиН'х>,
зависящие уже только от высоты h точки наблюдения над гра-
границей раздела.
Зная моменты (18.2), нетрудно составить выражения для
спектральных плотностей (по ш > 0) электрической и магнитной
энергий флуктуационного поля в прозрачной среде (с е и ц, не
зависящими от ш, т. е. в отсутствие дисперсии) и для г-компо-
ненты вектора Пойнтинга:
=-^т <,ЕХЩ—ЕуН'х + ЕхНи—Е'УНХ)>.
Как и моменты (18.2), величины (18.3) выражаются одно-
однократными интегралами от 0 до оо по некоторой переменной р,
причем расстояние h точки наблюдения от границы 2 = 0 вхо-
входит в подынтегральные выражения только через экспоненту
ехр[—(<7 + <7*)'1]> где q=V р*—№ , a k—волновое число в про-
прозрачной среде (k = k,,VtyL, ko = w]c). Тем самым, интегралы пор,
выражающие величины (18.3), распадаются на два существенно
различных слагаемых. 1) �нтегралы по интервалу р от 0 до k.
Здесь q чисто мнимое, <?Н-<7* = 0, и эта доля в величинах (18.3)
не зависит от h. Это волновая часть флуктуационного поля.
2) �нтегралы по интервалу р от k до со, где q вещественно и
положительно; соответствующие вклады в u«a(/i) и Umo(/i) убы-
убывают с удалением от границы z = 0, а в потоке энергии ?fa2 эта
часть вообще отсутствует, так как в подынтегральное выраже-
выражение для <5"шг входит еще и множитель q—q*, который при ве-
вещественном q обращается в нуль. Это квазистационарное флук-
туационное поле, не дающее вклада в поток энергии.
Для волнового поля, если в качестве переменной интегриро-
интегрирования ввести вместо р угол 9 между волновым вектором к и
плоскостью z — 0, так что p = Jfesin9, величины (18.3) приводятся
1) Подробно вес вычисления приведены в [6], § G.
ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�Й ЗАКОНА К�РХГОФА
147
Рє РІРёРґСѓ
СЏ/Рі
[l-3t(9)]sin9d9, (18.4)
= 2СЏР­
n/2
В«n\\ [1-
.'A (6)] cos 9 sin 9 dQ.
(18.5)
Здесь п=У~Щ— показатель преломления прозрачной среды,
«о» и Зш~-т-Чаы—соответственно плотность энергии и интен-
интенсивность равновесного излучения в вакууме, а Я (9)—полусумма
френелевских коэффициентов отражения (по энергии) при угле
падения плоской волны 9 и при двух ее поляризациях—с элек-
электрическим вектором, параллельным плоскости падения и пер-
перпендикулярным к ней:
РЇ Р¤) = Vi [5?В»(9) -f Рњ j. (9)J, (18.6)
(РІ) =
II
Рµ
Р�
cose
РЎРћ5РІ
COS 1
— V~N!
i V~N
)— /л
1 Рў^Р»
— sin« в
— sin» в
*—sin2 e
fW = ]/в1ц,/к[1 — относительный показатель преломления). В (18.6)
вошла полусумма 54ц и 5?х. так как в рассматриваемой за-
задаче обе поляризации совершенно равноправны.
Сопоставление (18.5) с общим выражением нормальной к по-
поверхности компоненты вектора Пойнтинга <SF№z через интенсив-
интенсивность а/«(9, ф):
5
РІ<Р»/2
0, <p)cos9do-= J d<f
Р’, <p)cosGsin8dO,
показывает, что в нашем случае, т. е. в случае излучения полу-
полупространства, заполненного однородной и изотропной погло-
поглощающей средой, интенсивность (Уш не зависит от угла tp и
равна (закон Кирхгофа)
(18.7)
Отсюда можно перейти к случаю бесконечного пространства,
аполненного прозрачной средой с показателем преломления п,
росто положив 5i = 0. Тогда получается закон Клаузиуса,
148
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
!ГЛ. Ш
связывающий равновесные интенсивности в прозрачной среде и
в вакууме:
Тот же переход к 54=0 дает, согласно (18.4),
т. е. половину плотности энергии u^n3 равновесного излучения
в прозрачной среде, как и должно быть, поскольку мы выде-
выделили из этого излучения односторонний поток энергии (в сто-
сторону z > 0).
Для квазистационарного поля квадратуры, выражающие плот-
плотности энергии и?? и и?,щ, сложнее, и можно дать лишь прибли-
приближенные их оценки.
Если kh гораздо больше величин
— VN*— 1 и — \/ N1— 1
то
т. е. убывание плотностей энергии с удалением от границы
(с ростом ft) происходит по закону l/h*. На расстояниях h, при
которых
^^) (18.8)
плотность энергии квазистационарной части теплового поля уже
пренебрежимо мала по сравнению с постоянной в полупрост-
полупространстве г > 0 плотностью энергии волновой части поля (18.4).
Напротив, на малых расстояниях h преобладает квазистацио-
квазистационарное поле, так что малые зазоры и полости, для которых
условие (18.8) не выполнено, практически заполнены именно
квазистационарным флуктуационным полем.
При малых kh с точностью до членов порядка I/(ftft)« полу-
получаются оценки
„к. - "�)"'»
, p. ( El РЈР–=Рў \ I
(189)
)} •
Отсюда видно, что при наличии только электрических потерь
(iH — 1тц! = 0) плотность электрической энергии ий растет с
уменьшением h, как 1/А\ а магнитной и%ш—лишь как 1/Л»
(а в случае, когда Ej=Ime1 = 0,—наоборот). �нтеграл от иу =
= uja + umu п0 любому конечному объему, прилегающему к гра-
границе раздела, тоже расходится. Как уже было сказано в § 16,
|)«J ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�� ЗАКОНА К�РХГОФА |49
jro результат принятой нами дельта-корреляции сторонних источ-
источников в поглощающей среде. Если бы мы взяли нелокальную
среду, и которой, тем самым, сторонние флуктуационные токи
,рбладали. бы некоторым отличным от нуля радиусом корреля-
корреляции а, то плотность и" оставалась бы при h—>¦() конечной, до-
достигая значения порядка um/(ka)3.
Современная усилительная техника в диапазоне СВЧ вполне
позволяет поставить прямой опыт, выявляющий сильное на-
.растание квазистационарного флуктуациошюго поля вблизи по-
поверхности нагретого проводящего тела, но, к сожалению, такой
Опыт пока не осуществлен.
В рассмотренном примере мы получили для нолновой части
доля классический закон Кирхгофа (18.7), так как в случае бес-
бесконечного полупространства этот закон справедлив для любой
¦длины волны. Правда, для достаточно малых расстояний h от
поверхности среды были прослежены эффекты, выходящие за
рамки классической теории теплового излучения (наличие квази-
Сгационарного флуктуационного поли). Но особый интерес пред-
представляют приложения общей теории к таким задачам, где клас-
классическая теория вообще неприложима, так как размеры тел не
Слишком велики по сравнению с длиной волны. Тогда и в вол-
Вовой части теплового поля должна проявиться новая законо-
закономерность— зависимость характеристик волнового поля от отно-
Цйашя 1/Х, где I — характерный размер (выше это было расстояние
Ь от границы). Приведем пример, иллюстрирующий сказанное,—
|Епловое излучение равномерно нагретого шара.
Общий метод остается прежним: надо найти вспомогательное
цифракционное) поле диполей с моментами р = —lL/i<o и m—
у— I2/('w, находящихся в какой-либо точке прозрачной среды
(Юществепные проницаемости к и ц), окружающей тар, который
^полнен средой с комплексными проннцаемостями е: и |лг Реше-
яе этой краевой задачи (с обычными условиями непрерывности
тенциальных компонент Ео и Н„ на поверхности шара и
овием излучения на бесконечности) нетрудно получить в виде
¦Ядов по фундаментальным векторным функциям шара. Потери Qo
Рефракционного поля в шаре можно вычислить затем как поток
(Ьергии внутрь шара через его поверхность1). Напомним, что
л» всех таких, по сути дела, неравновесных задачах («высвечи-
Цбние» нагретого тела) предполагается, что внутри тела каким-то
В|разом поддерживается квазиравновесное состояние и, в част-
JfDCTH, постоянная температура.
Мы приведем только один результат—зависимость среднего
Ректора 1 Митинга флуктуационного поля нагретого шара от
*) Подробное изложение расчета см. в [6j, § 7, где таким же путем ре-
а задача и для бесконечного круглого цилиндра.
В¦>5
1,0
0,5
150 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
радиуса шара а. На рис. 14 для случая шара, обладающего
хорошей электрической проводимостью, но лишенного магнитных
потерь, показана зависимость удельной мощности рф (т. е. мощ-
мощности, излучаемой с единицы поверхности шара) от параметра
a=ftoa = <»a/c = 2na/X. При Я/а—0 (а—> «>) мощность стремится
к постоянному значению рт, которое отвечает классическому
закону Кирхгофа. По оси ординат
на р ис. 14 отложено отношение рш/р„.
Мы видим, что с ростом а удельная
мощность излучения сначала растет,
а затем спадает со слабо выражен-
выраженными максимумами, которые несколь-
ко сДвинУты вправо от значений а,
соответствующих собственным часто-
частотам ю электрических колебаний ша-
шара ')• У малого (а~ 1) хорошо про-
t водящего шара излучение с единицы
-, 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 а. поверхности оказывается в полтора—
Рис. Н. два раза интенсивнее, чем у боль-
большого (<х^>1). Зависимость ра от от-
отношения к/а—это и есть то новое, что дает флуктуационная
электродинамика.
Полный поток энергии, излучаемой шаром на частоте го,
равен Ра = 4па2рш и, конечно, одинаков через любую окружаю-
окружающую шар замкнутую поверхность. Но средняя плотность энер-
энергии иа флуктуационного поля ведет себя иначе. Вдали от шара иа
убывает, как 1/R'. Это плотность энергии излучения (волнового
поля). При приближении же к поверхности шара иа быстро
нарастает и при R=a обращается в бесконечность. Разумеется,
и здесь это нарастание нщ обусловлено квазистационарной частью
флуктуационного поля.
Заметим, что решение вспомогательной дифракционной задачи
о полях диполей р и m существенно облегчается в случае хорошо
проводящих тел (сильно выраженный скин-эффект). Для таких
тел можно воспользоваться решением дифракционной задачи
с так называемыми импедансными граничными условиями, т. е. во-
вообще не рассматривать поле внутри тела. В первом приближе-
приближении дифракционное поле рассчитывается для идеально прово-
проводящих тел той же формы и расположения, что и рассматривае-
рассматриваемые (кстати сказать, случай идеально проводящих тел пользуется
из-за простоты граничных условий наибольшим вниманием спе-
специалистов по теории дифракции). Тепловые потери вычисляются
!) Если бы у шара были только магнитные потери, то максимумы при-
приходились бы на собственные частоты колебаний магнитного типа. При нали-
наличии обоих видов потерь картина была бы более сложной.
|18J ПР�МЕРЫ ПР�МЕНЕН�Я ЗАКОНА К�РХГОФА 151
затем интегрированием по поверхности тела поверхностной плот-
плотности джоулева тепла. На элементе dS поверхности тела по-
поглощается тепло
! /^. (18-10)
где ?'—вещественная часть импеданса, а Я„, (тангенциальная
компонента Н„) берется из решения дифракционной задачи для
идеально проводящего тела.
Другой приближенный способ вычисления потерь Q, дифрак-
дифракционного поля применим в тех случаях, когда, во-первых, все
характерные размеры тела (включая радиусы кривизны его по-
поверхности) велики по сравнению с длиной волны Я и с глубиной
проникновения поля внутрь тела и, во-вторых, моменты флук-
туациошюго поля ищутся лишь вдали от тела—на расстояниях,
значительно превышающих л. Соответственно точечные источники
дифракционного поля тоже помещаются на таких расстояниях.
Кроме того, предполагается, что форма тела такова, что в при-
приближении геометрической оптики лучи, выходящие из точечного
источника, испытывают на границе тела лишь однократные отра-
отражения.'
*. Перечисленные условия позволяют считать, что в ближай-
ближайшей окрестности каждого элемента поверхности тела поле уда-
лелного точечного источника имеет структуру плоской волны,
а значит, полное дифракционное поле у поверхности можно
вайти, пользуясь френелевскими коэффициентами отражения (для
каждой из поляризаций и с локальным значением угла падения
первичной волны). Так как, по предположению, многократных
отражений нет, а преломленная волна поглощается, не доходя
до других участков поверхности тела, потери Qo дифракционного
поля равны просто суммарной мощности преломленных в тело
Фолн, причем интеграл берется по «освещенной» части поверх-
поверхности тела.
Ряд примеров использования обоих приближенных методов
[расчета потерь Qo (т. е. применение формул сильного скин-
уффекта и применение френелевских отражательных формул) при-
приведен в монографии [6J.
Остановимся теперь на случае, когда излучение тела, нахо-
находящегося в свободном пространстве (для простоты—в вакууме),
^нтересует нас только в волновой зоне этого тела, т. е. на рас-
расстояниях R^l'/h, где /—размеры тела. Помещая диполи р и m
taa столь большом расстоянии, мы можем считать, что в области,
Занятой телом, приходящая волна —плоская. Если моменты р
Щ п (т. е. орты I, и 1а) взять взаимно ортогональными и образую-
IWarn с R ортогональную правовинтовую связку (рис. 15), то
Напряженности в падающей на тело волне будут различаться
152 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
только знаком:
Еи--Е„,-Е,. Н„=-НОЯ^НО, (18.11)
т. е. падающая волна линейно поляризована (по IJ, а ее ампли-
амплитуда (при p = l/i(o) равна \Et\ = 2n/ci.R.
В силу (18.11) формулы
(17.4) и (17.5) дают для наиря-
женностей теплового поля в
точке R выражения
?i"ff.= S(E.J.-H,JJ<Pr,
V
(18.12)
где К—объем тела, а индексы 1 и 2 обозначают компоненты
по ортам lt и 1,. По формулам (17.11)—(17.13) мы получаем
поэтому, что
<|?\|»>=<|я,г> = <?,//;> = |вк г)<?„.
mi
Соответственно поток энергии (вектор Пойнтинга) излучения
тела (с поляризацией \ и в направлении R) будет
a>, T)Q,, (18.13)
а поток в телесный угол do, т. е. через площадку R*do, нахо-
находящуюся на расстоянии R от тела, составит
dPm = SrKR%do=~e{(o, T)Q,R'do. (18.14)
�ндекс ш указывает, как обычно, что речь идет о спектре по
частотам а>^0.
Выразим теперь потери Qo дифракционного поля в теле через
так называемый эффективный поперечник поглощения:
Таким образом, а,фф—это та площадь фронта падающей на тело
плоской волны, поток энергии через которую равен поглощае-
поглощаемой телом мощности Qo (на поляризации 1,). Подставив в
значение |?0|, находим
ВОЛНОВОДНАЯ ФОРМА ЗАКОНА К�РХГОФА 153
Наконец, внося это выражение для <?0 в (18.14) и удвоив ре-
результат (для учета обеих независимых поляризаций), получаем
(18.15)
Таков поток энергии теплового излучения тела в дальней зоне
В телесный угол do в направлении Л и на частоте со.
Если тело представляет собой перпендикулярную к R плас-
пластину, размеры которой гораздо больше X, то а.фф = Л2, где
2—площадь пластины, а А—ее коэффициент поглощения. Тогда
(18.16)
соответствии с классической теорией теплового излучения.
§ 19. Волноводвая форма закона Кирхгофа
При рассмотрении передачи электромагнитных сигналов по
волноводам представляет интерес спектральная интенсивность
епловых «шумов», т. е. мощность теплового излучения, пере-
перерешая по волноводу в спектральном интервале (о>, <о + шв).
Шлрвое поле может создаваться стенками самого волновода,
[кнми-либо антенными устройствами, к которым он присоединен
№ль, рупор), рефлекторами, диафрагмами, аттенюаторами и т. п.
азовем для краткости любую систему таких элементов излуча-
елем. Разумеется, флуктуационное волновое поле в волноводе
яке может быть представлено как суперпозиция бегущих (докри-
ческих) собственных волн волновода, или так называемых
бственных мод.
.'На основании формулы (17.11)—(17.13) нетрудно заранее
«двидеть, что мощность теплового излучения, посылаемая в
ышовод любым излучателем на какой-либо п-Ъ моде и на
Стоте и, будет связана с коэффициентом поглощения этого
(иуяателя, когда на него падает л-я собственная волна часто-
I to. Соответствующую формулу, названную волноводной формой
Нона Кирхгофа ([1], §17), легко получить как при помощи
времы взаимности, так и на основе принципа детального рав-
*есня ([6], §9). Мы приведем только второй способ вывода,
тати сказать, не предполагающий заранее выполнения теоремы
«имности.
В ч. I, §54 было показано, что произвольный излучатель,
рласованный с линией (волноводом, коаксиалом) на часто-
>' (0^0, посылает в линию в интервале частот (ш, ш+dai)
154 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ш
МОЩНОСТЬ J)
Если согласованный излучатель возбуждает только одну (я-ю)
собственную волну, то это равенство должно выполняться и для
данной волны, т. е. для каждой моды и частоты, на которых
излучатель согласован, имеем
Р С€*=РЄРЎ- (19.1)
Рџ +
^ rtm
я~.-*—
СЃ
11
Рассмотрим следующую равновесную
~д* д= ^ ^ГГ систему. Между двумя сечениями ре-
т " "т гулярного волновода, показанными
Рис. 16. пунктиром на рис. 16, расположен не-
некоторый несогласованный излучатель
М (причем рассогласование, вообще говоря, различно по обе сто-
стороны от М).
Введем для М коэффициенты поглощения n-й волны А* и коэф-
коэффициенты ее трансформации (п—*т) при отражении от М (RtJ и
при прохождении через занятую М область (D^), где индексы
плюс и минус означают падение первичной гс-й волны на М со-
соответственно слева и справа. �з закона сохранения энергии имеем
(19.2)
Штрих около знака суммы должен напоминать, что суммирование
распространяется только на те т-е волны, которые на частоте о
являются бегущими (докритическими).
Пусть но обе стороны от излучателя М находятся черные
излучатели, т. е. тела, которые имеют ту же температуру, что и
М, и согласованы с волноводом (при данной частоте а) на каж-
каждой из рассматриваемых бегущих волн. Обозначим через Pffl±
мощности, излучаемые М на n-й волне вправо и влево (рис.16).
Принцип детального равновесия требует, чтобы встречные потоки
энергии на этой волне были одинаковы (как справа, так и слева
') Разумеется, под в (со, 7") надо понимать здесь только энергию черного
излучения (§17). Если же речь идет о неквантовой области йох^кГ, то
в (ш, Т) = кТ без каких-либо оговорок.
jig] ВОЛНОВОДНЛЯ ФОРМА ЗАКОНА К�РХГОФА 1В5
РћРў Рњ):
~2^ = Pan ~t" ^ 2.4 (°й« "b^m/i/i
РЇ РІ " , <19-3>
Умножая (19.2) на 9/2п и вычитая из соответствующих ра-
равенств (19.3), получаем
^lAi+^'i^-^DU-D-J. В°9-4)
что и является искомым результатом.
При выполнении принципа взаимности матрицы R и D обла-
обладают симметрией:
и мы получаем тогда из (19.4)
т. е. мощность, излучаемая М направо (налево), определяется
коэффициентом поглощении М при падении n-й волны справа
¦{слева).
В отсутствие трансформации типов волн, когда матрицы R и
D диагональны, получаем из (19.4)
СЂ-=В«_ (19-6)
'an 2Р» \ Рї ]^Рї L/n}'
Выполнение принципа взаимности (D*=D~) или же полная не-
непрозрачность излучателя М (DJ = 0) снова приводят к (19.5).
Заметим, что поскольку/3^ — неотрицательные величины, из
4J9.6) следует, что для любого тела или системы М
$. е. доля энергии, поглощенная и пропущенная при облучении
ijM в одном направлении, всегда не меньше, чем доля энергии,
прошедшая через М при облучении во встречном направлении.
156
ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ
1ГЛ. 11!
Если материальные уравнения для тел, составляющих излу-
излучатель М, локальны, то можно перейти к квазиравновесному
случаю, считая температуру Т функцией точки, и пользоваться
средним значением Э(ш, Т), взвешенным по локальной величине
джоулевых потерь внутри тел:
В© = :
T)dQtn
тогда (19.5) запишется в более общем виде:
СЂВ± .JL Р»* (РЁ). (19.7)
Значения величин Л± (ш) определяются, конечно, всей структу-
структурой поля, создаваемого в излучателе М падающей на него п-й
р волной, а не только его поглощаю-
поглощающими элементами (см. задачу 4).
Согласно (19.5) какое-либо
удовлетворяющее принципу вза-
взаимности тело излучает, находясь
в волноводе, следующие полные
мощности в интервале частот До:
—
/
s
i
1
/
С‰
С€
С€
i
i
Рі
Р РёСЃ. 17.
(19.8)
Сумма берется по всем докрити-
ческим волнам, число которых
при разных значениях ш различно. Рис. 17 иллюстрирует фор-
формулу (19.8) на примере одностороннего излучения хорошо про-
проводящей поперечной перегородки в прямоугольном волноводе.
Мощность Яш (в некотором произвольном масштабе) показана в
функции параметра ?=2аД, где о—меньшая сторона прямо-
прямоугольного сечения. С ростом g (повышением ш) все большее
число собственных Е- и //-волн переходит в разряд бегущих-
�з-за того, что перегородка обладает только электрическими по-
потерями и лишена магнитных, коэффициенты поглощения Е- и Н-
воли ведут себя при переходе через критические частоты раз-
различно: для Я-волп они плавно нарастают (от нуля при крити-
критической частоте), а для ?-волн они начинаются с острых пиков,
расположенных вплотную к критической частоте. Эти пики и
дают сильные выбросы Рш, которые в принятом масштабе дале-
далеко выходят за пределы чертежа. Пунктиром на рисунке показан
тот ход Рш(5), который получился бы при экстраполяции на
область малых | классического закона Кирхгофа. Непримени-
Неприменимость этого асимптотического закона вполне очевидна.
I J9] ВОЛНОВОДНАЯ ФОРМА ЗАКОНА К�РХГОФА 157
Следует отметить, что для любой совокупности волн, распро-
распространяющихся в одном измерении (например, по радиальному
направлению в случае излучения шара), можно представить из-
излучаемую мощность п виде (19.8), т. е. в виде суммы по взаим-
взаимно ортогональным модам. Таким образом, называя формулы типа
(19-8) валноводной формой закона Кирхгофа, мы несколько су-
сужаем область их применимости. Однако это оправдано, так как
именно волноводы дают реальную возможность выделять волны
отдельных типов (? и Н) и номе-
номеров, тогда как при излучении
тел в свободное пространство пред-
представляет интерес лишь вся вхо-
входящая в (19.8) сумма, причем
сумма бесконечная (ввиду отсут-
отсутствия критических частот).
Полноводная форма закона
Кирхгофа справедлива не только
в бесконечном регулярном волно- Рис. 18.
воде, но и в том" случае, когда
рзлучатель (система тел) М находится на конце полубесконечного
-волновода. Пусть, например, к концу волновода присоединен
рупор, перед которым и (или) внутри него расположены любые
*ела Л*а(сс=1, 2, ...) с температурами Та (рис.18). Под излу-
излучателем М надо понимать всю систему тел Мя, заключенную
внутри замкнутой поверхности, охватывающей левое полупрост-
полупространство и достаточно удаленной от конца волновода, т. е. пере-
пересекающей его там, где уже существует одномерная совокупность
взаимно ортогональных собственных волн регулярного волново-
волновода (сечение Z на рис. 18). Мощность теплового излучения, по-
Сылаемого системой тел М в волновод на л-й собственной вол-
Вё, запишется в том же виде (19.7):
P&.=-^Se.^В«(В«). (19.9)
где суммирование распространяется на все тела Ма (включая,
?онечно, и рупор, если в нем есть джоулевы потери).
Напомним, что А^я(ш)—это поглощенная телом Ма доля мощ-
п-й волны, падающей справа через! сечение 2, т. е. при
те всего устройства в передающем режиме. При этом часть
иости излучается в окружающее пространство. Простое рас-
дение показывает, однако, что можно и эту часть включить
|';(19.9). Действительно, допустим, что среда, заполняющая про-
" ранство, охваченное замкнутой поверхностью, и окружающая
па Ма, обладает сколь угодно малым поглощением. Если при
вся мощность, излучаемая в передающем режиме, в конеч-
счете поглощается средой, то последнюю можно рассматри-
158 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
вать как одно из тел Ма. Таким образом, один из членов сум-
суммы (19.9) будет относиться к среде, а роль соответствующего Aj,
будет играть так называемый энергетический коэффициент излу-
излучения, т. е. доля мощности падающей справа гс-й волны, излу-
излученная рассматриваемой системой в непоглощающую среду.
§ 20. Тепловое излучение и антенны
Как известно, существуют разные виды антенн, например:
тонкие (проволочные) антенны, широко применяемые в радиове-
радиовещании и связи на коротких и более длинных волнах, зеркальные
антенны, используемые о радиоастрономии и для связи на ультра-
ультракоротких и еще более коротких волнах, и др. В любой антенне
происходят тепловые флуктуации в материале антенны и возни-
возникает обусловленное этими флуктуациями собственное тепловое
излучение антенны. Но во многих случаях представляют интерес
не только эти собственные шумы и излучение, но и воздействие
на антенну (а значит, и на последующие каналы) флуктуацион-
ных полей внешних нагретых тел и сред. Мы остановимся на
этих наведенных тепловых шумах и только на тонких антеннах ')•
Внешнее флуктуационное поле наводит в проводах антенны
токи, которые и представляют основной интерес, так как обыч-
обычно именно они являются здесь непосредственно измеряемыми
величинами. В принципе, если корреляционная функция падаю-
падающего на антенну теплового излучения известна, моменты наве-
наведенного тока можно найти, используя формулы теории возбуж-
возбуждения антенн. Однако такого рода расчеты связаны с трудностями,
которые обусловлены в первую очередь тем, что флуктуационное
поле не обладает дельта-корреляцией вдоль проводов антенны.
Эти трудности можно в значительной мере обойти, если вновь
воспользоваться функцией Грина и теоремой взаимности.
В теории тонких антенн удобно и принято оперировать не со
сторонними токами, а со сторонними полями и э. д. с. Целесооб-
Целесообразно поэтому соответствующим образом видоизменить и теоре-
теорему взаимности. Запишем «электрическую часть» этой теоремы
(17.2):
$Е]„*г=$Е.].*г, (20.1)
и заменим сторонние токи j, и j0, —источники флуктуациопного (Е)
и вспомогательного дифракционного (Ео) полей на—напряжен-
') Теория, позволяющая рассчитывать собственное тепловое излучение ан-
антенн, развита в книге (6). в <>§ 10 и 11 —для зеркальных антенн, а в § 12 —
специально для тонких антенн. § 13 указанной книги посвящен наведенным
тепловым шумам в антеннах и содержит более обширный материал, чем при-
приводимый ниже в данном параграфе.
§20] ТЕПЛОВОЕ �ЗЛУЧЕН�Е � АНТЕННЫ ]59
поста сторонних полей соответственно К и Ко- Так как в спек-
спектральном представлении j, = — ш©/4л, а С = еК, где е = е' +
^ (е'—вещественная проницаемость, а—проводимость),
имеем
(20.2)
где вторая формула—для дифракционного тока ]„,,—разумеется,
аналогична первой. Если обозначить плотности токов, наведен-
наведенных в антенне полями ? н Е„ соответственно через j и j0, то и
для них будет
�з (20.2) и (20.3) следует, что Е]ое = КЛ и Eoj,-Kjo, так что
теорема (20.1) принимает вид1)
X К„ (г') j (г') d'r' = J К (г) J. (r) d?r. (20.4)
�менно такая форма теоремы взаимности—с напряженностями
сторонних полей и плотностями наведенных токов—чаще всего
используется в случае тонких проводов (в том числе в теории
проволочных антенн), а также в квазистационарной области (в том
числе в теории цепей с сосредоточенными параметрами).
При применениях (20.4) надо знать корреляционную функцию
компонент стороннего флуктуационного поля К (г). Ее нетрудно
получить из первого равенства (20.2) и первой формулы ФДТ
(16.4), причем мы ограничимся случаем изотропного материала
РїСЂРѕРІРѕРґРѕРІ, РєРѕРіРґР° S
(Рі) Р¦ (Рі')> = -?С‰
| (J|) (20.5)
Более того, если речь идет, как в нашем случае, о металли-
металлических проволоках, то обычно можно пренебречь токами смеще-
»ия внутри этих проволок и считать, что е да с -^. Тогда
<РљР° (Рі) Рљ1 (Рі')> = -^^Рњ (Рі-Рі'). (20.6)
Пусть нас интересует наведенный флуктуационный ток /
в некотором сечении какого-либо из проводов, входящих в со-
*) Для последующего нам удобнее обозначить переменную интегрирования
* левой части иначе, чем в правой; поэтому мы и ввели г'.
160 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ 1ГЛ. Ill
став антенны. Сечение 2 этого тонкого (квазилинейного, как го-
говорят в электродинамике) проводника, вообще говоря, может
меняться по длине провода s, но, по условию, всюду имеет ли-
линейные размеры, малые по сравнению с длиной волны % в окру-
окружающей непроводящей среде. Кроме координаты s, отсчитываемой
по оси провода, введем еще радиус-вектор р, лежащий в плоскости
поперечного сечения провода. Таким образом, dlr' —d'p'ds'.
Для того чтобы выразить ток /(«) через К, допустим, что
вспомогательное стороннее поле К„(г') действует только в по-
поперечном сечении провода с координатой s'—s, на всем сечении
постоянно и направлено по оси провода (орт s):
Рљ,(СЂ', s') = <?os6 (s'-s). (20.7)
Очевидно, #„—это интегральная сторонняя э. д. с, приложен-
приложенная в сечении с координатой s:
$K.s ds'=gt.
Коль скоро Ко имеет вид (20.7), интеграл в левой части (20.4)
равен
$'. OJ(P'.
t: теорема взаимности (20.4) дает
*,/(В»)= U(r)J,(r)*r. (20.8)
При помощи этой формулы нетрудно получить теперь сред-
средний квадрат модуля флуктуационного тока /(s). Умножая (20.8)
на комплексно сопряженное равенство и усредняя, получаем
I *. • < | / («) Г> - $ S <*а (Г) Ц (Г')> /.а (О Jk (Г') *Г *Г>.
Подставив сюда функцию корреляции (20.6) стороннего теплово-
теплового поля К, находим
1*.1'<1/(В«)/*>= IJ РІ (В», T)dQ,, (20.9)
РіРґРµ
|'Рі=-^-^ (20.10)
— джоулевы потери тока, вызываемые сосредоточенной в сече-
сечении s вспомогательной э. д. с. ?0. Очевидно, равенство (20.9)
J20] ТЕПЛОВОЕ �ЗЛУЧЕН�Е � ЛНТЕННЫ ]61
представляет собой модифицированную форму обобщенного зако-
закона Кирхгофа (17.14). Оно позволяет не решать неоднородную
краевую задачу о флуктуационном поле Е в материале антенны,
а сводит нахождение < | / (s) |*> к вычислению квадратуры, если
известно решение задачи о вспомогательном поле Е„ дельта-за-
питываемой антенны, т. е. о поле, возбуждаемом э. д. с. #,,
приложенной в интересующем нас сечении s.
Если ZM (s)—входной импеданс антенны по отношению к э. д. с,
включенной в сечение s, то gt = ZM(s) /0(s), где
/.(В«)-$/В«(P. sW'P
— полная сила «дифракционного» тока в этом сечении. Можно
ввести аналогичным образом эквивалентную тепловую э. д. с. €(s)
в сечении s, определив ее через импеданс ZBX (s) и полный флук-
туационный ток:
(20.11)
Таким образом, #(s)=Sal (s)/It(s), т. е., согласно (20.8),
(r)it(T)dT. (20.12)
Таково выражение эквивалентной тепловой э. д. с. в сечении s
в общем случае, когда обусловливающее ее стороннее поле К (г)
произвольно распределено в объеме проводов антенны. В силу
(20.9) средний квадрат модуля &(s) равен
T)dQ'- <2ОЛЗ)
Следует подчеркнуть, что &(s) не представляет собой флук-
туационной э. д. с, распределенной вдоль провода. Формула
(20.11) вводит (по сути дела, формально) для каждого сечения s
свою сосредоточенную в этом сечении э. д. с. <$(s), смысл ко-
которой состоит только в том, что она обеспечивает правильное
значение флуктуационного тока в том же сечении.
Однако в случае квазистационарной цепи, когда в каждой ее
ветви полная сила тока / и входной импеданс цепи Z» не зави-
зависят от s, з. д. с. € тоже не зависит от s, т. е. может быть
включена в любое сечение данной ветви. Если к тому же цепь
имеет всюду одинаковую температуру (6=const), то ? можно ото-
отождествить с локальной найквистовской э. д. с. е того двухполюс-
двухполюсника, который получается при размыкании рассматриваемой вет-
ветви цепи. При этих условиях (квазистационарности и равновес-
4 см. Рыто»:» id. ч. и
162 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
ности) (20.13) переходит в формулу Найквиста:
< IВ« (В«)!В¦> = 4 РІ -fc = 1 РІ*. , (20.14)
где R3—энергетическое (активное) сопротивление двухполюсника:
QR\ir
Вернемся х антенной формуле (20.13) и рассмотрим два ил-
иллюстрирующих ее примера.
1. Антенна в поле равновесного излучения.
Пусть антенна находится в свободном пространстве, заполнен-
заполненном прозрачной средой со всюду одинаковой температурой
(0=const).
Включенная в каком-то сечении s антенны вспомогательная
э. д. с. <?0 создает дифракционное поле антенны, которое отнюдь
не локализовано только в проводах антенны или в их ближай-
ближайшей окрестности. Напротив, это поле содержит и излучаемые
антенной волны, так что джоулевы потери Q, имеют место как
в материале самой антенны, так и в любых проводящих телах,
оказавшихся на пути излучаемых волн. Пока мы предположим,
что таких тел нет (свободное пространство) и, следовательно,
мощность, отдаваемая э. д. с. ?л, расходуется только на нагре-
нагревание самой антенны и на излучение, причем во всякой антенне,
отвечающей своему назначению, подавляющая доля приходится
именно на излучение.
Предполагая, что среда обладает исчезающе малой проводи-
проводимостью, и пренебрегая тепловыми потерями в самой антенне, мы
можем считать, что полные потери <20 дифракционного поля просто
равны мощности излучения Р„. Последняя записывается обычно
в виде Р„ = /?? (s) | /, (s) р/2, где Rz—так называемое сопротив-
сопротивление излучения антенны, зависящее, конечно, от того, в каком
сечении s включена э. д. с. ?0. Таким образом,
W- (20.15)
При в = const формула (20.13) имеет вид
= 2е<20/л |/, (s) I1. Подставив сюда (20.15), получаем
а спектральная плотность флуктуационной э. д. с. по положи-
положите л оным частотам вдвое больше:
& (s) = 2 < | ? (s) |«> = - еЯг (s). (20.16)
$20] ТЕПЛОВОЕ �ЗЛУЧЕН�Е � АНТЕННЫ 163
�з вывода ясно, что этот результат справедлив для любой
сколь угодно сложной антенны в свободном пространстве, если
только относить Rz и А'ш к одному и тому же сечению антенны.
2. Тепловые шумы, наводимые удаленными те-
телами. Если тело находится на достаточно большем расстоянии R
от антенны, точнее—в ее фраунгоферовой зоне, и размеры тела
тоже малы по сравнению с зоной Френеля, то в области про-
пространства, занятой телом, можно считать антенное поле супер-
суперпозиций плоской волны и дифрагированного телом вторичного
поля. Обозначая, как и в § 18, эффективный поперечник погло-
поглощения тела для падающей на него плоской волны соответствую-
соответствующей поляризации через оЭфф, можно записать поглощаемую те-
телом мощность в виде Qa — оЭфф<#°0. где <У„— модуль вектора Пойн-
тинга первичной волны. Связь &а с полной мощностью
Р0 = /?2 |/0|'/2i излучаемой антенной, дается известным соотно-
соотношением
где G—функция направления, называемая приведенным коэффи-
коэффициентом направленности антенны и описывающая угловое рас-
распределение излучаемой мощности Яо (среднее значение G по еди-
единичной сфере равно единице: -^?Gdo=\). Таким образом,
Согласно (20.13) средний квадрат эквивалентной тепловой э. д. с,
создаваемой рассматриваемым телом в сечении s антенны, равен
(РЅР° С€ > 0)
ад'^?*. 120.17)
Здесь предполагается, что тело обладает всюду одинаковой тем-
температурой (в = const). Если в поле излучения антенны находится
несколько тел с различными температурами и на разных уда-
удалениях от антенны, то
4??!^p2fe- (20.18)
Для абсолютно черных тел эффективное сечение совпадает
с геометрическим (сг,фф = а, предполагается, что линейные раз-
размеры а гораздо больше длины волны X) и, следовательно, a^tJR* =
= о//?* = о, где о—телесный угол, под которым тело видно из
места расположения антенны. Формула (20.18) запишется тогда
164 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ СГЛ. Ш
РІ РІРёРґРµ
или даже
(при условии, что Ж)^>Ь!/Я*)- Если температура всех тел оди-
одинакова, то мы получаем
При сплошном заполнении периферии черными телами со всюду
одинаковой температурой (черная оболочка) мы возвращаемся
к формуле (20.16).
§ 21. Равновесное тепловое поле. Равновесная форма ФДТ
До сих пор мы рассматривали главным образом неравновес-
неравновесные задачи—о поле, создаваемом нагретыми телами в окружа-
окружающей среде1), которая считалась либо прозрачной (и поэтому
не вносящей никакого вклада в тепловые потери вспомогатель-
вспомогательного дифракционного поля), либо настолько холодной, что ее
собственным флуктуационным полем можно было пренебречь.
В этом параграфе мы обратимся к случаю, когда во всем объеме
полного поля температура одинакова, т. е. будем рассматривать
равновесное флуктуациониое поле. Если, в частности, речь идет
о телах, окруженных прозрачной средой, не заключенной в иде-
идеальную зеркальную оболочку, то мы будем предполагать, что
на достаточно больших расстояниях поле ограничено полно-
полностью поглощающей оболочкой, имеющей ту же температуру, что
и нагретые тела.
Общие формулы (17.11) — (17.13) для пространственных кор-
корреляционных функций спектральных амплитуд флуктуационного
поля, создаваемого равномерно нагретыми телами, можно объе-
объединить в одну формулу, если обозначить через А и В какие-ли-
какие-либо две из шести компонент Е и Н. Тогда вместо (17.11)—(17.13)
можно написать
Рћfi'(r2)>= В±f РІ(Р°>, WQubВ» (21-1)
х) Напомним, что состояние самих нагретых тел необходимо предполагать
при этом квазиравновесным.
,,,] РАВНОВЕСНОЕ ПОЛЕ. РАВНОВЕСНАЯ ФОРМА ФДТ 165
Верхний знак отвечает случаю обеих электрических или обеих
магнитных компонент, нижний—одной электрической и другой
магнитной; Qoab*—смешанные потери дифракционного поля, соз-
создаваемого единичными точечными источниками соответствую-
соответствующего типа, помещенными в точках г, и г,.
Кирхгофовская форма ФДТ (21.1) справедлива, конечно, и
для равновесного поля, но под Qoab. надо понимать теперь сме-
смешанные потери дифракционного поля во всем занимаемом им про-
пространстве. Это обстоятельство позволяет существенно упростить
выражение для Qoab>, воспользовавшись так называемой комп-
комплексной леммой Лоренца. Эта лемма, в известном смысле анало-
аналогичная теореме взаимности, отличается от последней тем, что она
связывает «накрест» поле одной системы источников с комп-
комплексно сопряженным полем другой системы источников.
Написав, как и при выводе теоремы взаимности (17.2), две
системы уравнений Максвелла (16.1)--одну для поля и источ-
источников 1, другую для поля и источников 2,—умножим уравне-
уравнения первой системы соответственно на —HJ и EJ, а комплексно
сопряженные уравнения второй системы на — Н, и Et и сложим
результаты. Это приводит к равенству
-?(d1e;-e1dj+b,hj-h1b;).
При интегрировании этого равенства по всему объему V полно-
полного поля интеграл от div обращается в нуль и мы получаем лем-
лемму Лоренца:
= - Рў J
(LA* + UHJ + j^El + j^H,) d'r. (21.2)
Выражение, стоящее в левой части (21.2), если учесть, что
CiCt = eap?1p, Dif—tlaEla (и аналогично для В, и В,), представ-
представляет собой не что иное, как смешанные тепловые потери Q,,.
полей 1 и 2 во всем пространстве (см. (17.9), (17.10)), и, значит,
fir. (21.3)
Этим результатом леммы Лоренца мы теперь и воспользуемся
применительно к дифракционным полям, создаваемым единич-
единичными точечными источниками.
]6б ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
Возьмем случай, когда А и В в (21.1)—компоненты электри-
электрической напряженности теплового поля Е. Тогда
j. = j« = l.8(r-rl), !, = ]„ = 1,6 (г-г,), jmi = L« = O
и (21.3) дает
Q«.(rt, I,; г„ 1,) = -»/.{1,Е1(г1) + 11ЕО1(г,)Ь (21.4)
Но из обычной теоремы взаимности (17.2) следует, что в этом
же случае
1.Е„(г1)-»,Е.1(г,).
�сключая из (21.4) при помощи последнего равенства либо Ео1,
либо Ещ, можно записать потери QKt в следующих двух формах:
C-fa, I,; г„ l,) = -V,Re{l1E,1(r1)} = -V.Re{lsE,l(r1)}.
Подстановка этих выражений в (17.12) дает
<?,,(!¦,) ?•,, (г,)> = - 1в (со, Г) Re {^„(r,)} =
= -В±РІ(В», ^Re^E^r,)}. (21.5)
Применение (21.3) к случаю двух компонент магнитной на-
напряженности теплового поля Н приводит к аналогичному выра-
выражению для Qmm. и, в соответствии с (17.13), к результату:
<Я/. (О Я?. (г,)> = -18 (ш, Г) Re {1,Н„ (г,)} -
= _В±РІ(СЋ. T)Re{laH,i(rs)}- (21.6)
Наконец, в случае, когда Л—компонента Е, а В—компонента
Н, мы получаем Qm, и из (17.11) следует, что
<?,,(Р“1)Р�',,(Рі,)> -= - ie(В», Рў) Im {l.E,,(rj> =
= ^РІ(С€, rjImil.H.^rjf. (21.7)
т. е. корреляционные функции между электрической и магнит-
магнитной напряженностями чисто мнимые.
Формулы (21.5) —(21.7) показывают, что с точностью до мно-
множителя—в/л корреляционные функции равновесного поля совпа-
совпадают с вещественными или мнимыми частями соответствующих
функций Грина. Эти формулы можно назвать равновесной формой
ФДТ. Она избавляет от необходимости вычислять после нахож-
нахождения вспомогательного дифракционного поля его тепловые
потери. Достаточно взять вещественную или мнимую часть самих
напряженностей этого поля. Вместе с тем линейная связь между
вторыми моментами теплового поля и напряженностями дифрак-
fglj РАВНОВЕСНОЕ ПОЛЕ. РАВНОВЕСНАЯ ФОРМА ФДТ 167
двойного поля сразу же позволяет использовать аппарат теории
аналитических функций комплексного переменного при нахож-
нахождении тех или иных интегральных (по спектру) эффектов в рав-
равновесном поле, т. е. при интегрировании корреляционных функ-
функций теплового поля по частоте со.
Располагая функциями корреляции спектральных компонент
флуктуационного поля и зная, в частности, средние значения
произведений этих компонент в одной точке, мы имеем возмож-
возможность находить не только средние плотности энергии и ее потока,
но и другне средние билинейные величины. Мы можем, напри-
например, вычислить средние значения компонент максвелловского
тензора натяжений, т. е. найти механические (пондеромоторные)
силы, с которыми равновесное поле действует на тела. Сказан-
Сказанное относится как к квазиравновесным полям, когда в нашем
распоряжении обобщенный закон Кирхгофа (21.1), так и к равно-
равновесным, когда можно пользоваться равновесной формой ФДТ
(21.5) и (21.6). Однако эти интересные физические применения
указанных теорем [6] не имеют прямого отношения к радиофи-
радиофизике, и поэтому мы ограничимся лишь немногими замечаниями.
На первый взгляд может показаться странным, что даже
в равновесном случае флуктуационное электромагнитное поле
обусловливает действие сил на тела (в том числе и на идеальные
проводники). Но ничего удивительного здесь нет просто потому,
что, говоря о равновесии, мы постоянно имели в виду только
тепловое равновесие, т. е. одинаковую во всей рассматриваемой
системе температуру 7" (в частности, 7 = 0). Это вовсе не исклю-
исключает действия электродинамических сил, которые либо уравно-
уравновешены внешними связями, либо вызывают перемещение тел
К механически равновесной конфигурации. Поэтому нет ничего
удивительного и в том, например, что равновесное поле в полу-
полупространстве над идеальным плоским зеркалом оказывает на это
зеркало давление, спектральная плотность которого в случае
недиспергирующей среды равна
Как всегда, член %а/2 в в (со, Т) (т. е. нулевые колебания) дает
при интегрировании по со расходящееся выражение. Однако эта
Часть давления компенсируется «нулевым» давлением поля по
Другую сторону от зеркала, где равновесное излучение может,
Вообще говоря, иметь другую температуру. Результирующая
сила, действующая на зеркало, определяется разностью давле-
давлений по обе стороны и не содержит в данном примере вклада
Нулевых колебаний.
Это не означает, что нулевые колебания вообще не создают
Оондеромоторных сил. В случае плоского зеркала геомстричес-
168 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 111
кие условия симметричны, одинаковы по обе стороны от зеркала.
Если же взять, скажем, образованный двумя идеальными зерка-
зеркалами двугранный угол (рис. 19), то структура «нулевых» стоячих
волн внутри угла и вне его будет различна. В результате полу-
получается, что даже при Т = 0 на зеркала действует «схлопываю-
щий» интегральный (по со) момент. �нтегрирование по со надо
при этом распространять не до ш=оо, а лишь до некоторой
частоты ю„<^а (а—проводимость; нера-
неравенство является условием того, что при
нормальном скин-эффекте металл еще
можно считать идеально проводящим).
Разумеется, флуктуационное электро-
Рис- '9i магнитное поле порождает силы, дейст-
действующие и на поглощающие тела. Более
того, поскольку поверхности таких тел «выстланы» слоем ближнего
(квазистационарного) теплового поля, сильно нарастающего при
приближении к поверхности, эффект механического взаимодей-
взаимодействия (сил сцепления) становится особенно большим в случае
малых зазоров между поверхностями тел. На такого рода явле-
явления обратил внимание Е. М. Лифшиц, исследовавший их в ра-
работе 17] (см. также [11], [12] и § 18 в [6]).
Теория макроскопических сил сцепления строилась ранее на
основе элементарного закона ван-дер-ваальсовых сил попарного
взаимодействия между атомами или молекулами, что заранее
ограничивало результат случаем разреженных сред. Чисто фено-
феноменологическая теория, основанная на флуктуационной электро-
электродинамике, снимает это ограничение. Напротив, исходя из выра-
выражения для макроскопической силы сцепления, можно в случае
разреженных сред сделать обратное заключение—о законе
попарного взаимодействия отдельных нейтральных атомов и
молекул. Такой путь, как это ни парадоксально на первый
взгляд, оказывается проще, чем прямой квантовомеханический
расчет для двух нейтральных частиц, при котором закон взаимо-
взаимодействия получается лишь в высоких порядках при вычисле-
вычислениях методом возмущений.
§ 22. Тепловое поле в гиротропных телах
Многие среды (ферриты, плазма), находясь в достаточно силь-
сильном постоянном (во времени) внешнем магнитном поле Во, ста-
становятся гирошропными1)- Это означает, в частности, что в одно-
!) Под «достаточно сильным» понимается ноле, модуль напряженности ко-
которого Во существенио больше стандартов иалряжснностей флуктуациошюго по-
поля. Поэтому при линеаризации уравнений Максвелла относительно этих флук-
туаиионных полей сохраняет смысл учет зависимости параметров среды от Во.
jj2j ТЕПЛОВОЕ ПОЛЕ В Г�РОТРОПНЫХ ТЕЛАХ ]$)
родной среде и однородном поле Во собственными волнами явля-
являются монохроматические волны с круговой (правой и левой)
поляризацией, т. е. только эти волны распространяются без
изменения вида поляризации. Если же в среду впущена, ска-
скажем, линейно поляризованная волна, то по мере распростра-
распространения ее плоскость поляризации будет, вообще говоря, повора-
поворачиваться вокруг направления распространения—за счет раз-
разницы фазовых скоростей волн с правой и левой круговой поля-
поляризацией, на которые можно разложить линейно поляризованную
волну.
В то время как в анизотропных средах тензоры проницае-
мостей симметричны:
г) = ер«(ь), г),
V-a» («>. Г) = Цра К Г),
в гиротропной среде, будучи функциями Во, они обладают сим-
симметрией с переменой знака Во:
г, В,) = еВа(ш,г, —В.),
Цар ((О, Г, Во) = цра(«>. Г, —Во).
Тем самым, для гиротропных сред обычная теорема взаимности
(17.2) несправедлива. Ее заменяет равенство, связывающее
«накрест» источники и напряженности поля 1 в среде, находя-
находящейся в магнитном поле B0(jn, ]„,, Е„ HJ, и источники и
напряженности поля 2 в той же среде, но с обращенным внеш-
внешним магнитным полем—В„. Будем отмечать электромагнитные
величины, относящиеся к полю 2 в такой «обращенной среде»,
значком «тильда» (jea, ]„,, Ё,, На). Вместо (17.2) для гиротроп-
гиротропной среды выполняется теорема
J1L-HjJ*r. (22.1)
Формулы (16.4) для корреляционных функций сторонних
токов справедливы, конечно, и в гиротропной среде, но обоб-
обобщенный закон Кирхгофа (21.1), дающий корреляцию напряжен-
ностей флуктуационного поля, уже теряет силу, так как при
выводе этого закона была использована теорема взаимности
(17.2).
Если повторить весь вывод, но опираясь на равенство
(22.1), то мы придем к следующему результату, обобщающему
формулы (21.1) на случай гиротропных сред:
<Рђ (Рі,) Р’* (Рі,)> = В± | РІ (Рѕ), Рў) Q.AB., (22.2)
170 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
а при достаточно плавном пространственном изменении темпе-
температуры—
<А (г,) В* (г,)> = ± | j в (о, Г, г) а$«л„.. (22.3)
Таким образом, корреляция спектральных амплитуд флуктуа-
ционного поля в гиротропной среде, находящейся во внешнем
магнитном поле В, (г), определяется тепловыми потерями вспо-
вспомогательного дифракционного поля в обращенной среде, т. е.
потери надо вычислять при изменении знака внешнего магнит-
магнитного поля (В0(г)—>—В,,^))1)- Формулы (22.2), (22.3) универсаль-
универсальны в том смысле, что они не налагают никаких ограничений ни
на размеры и форму тел, ни на их электрические и магнитные
свойства, включая и гиротропию, зависящую также от интен-
интенсивности и конфигурации постоянного (во времени) подмагни-
чивающего поля В„.
Формулы (22.2), (22.3) облегчают решение флуктуациояных
задач для гиротропных тел в не меньшей степени, чем формулы
(21.1) в отсутствие гиротропии. Разумеется, необходимое для
вычисления тепловых потерь решение вспомогательной дифрак-
дифракционной задачи связано, вообще говоря, с большими труднос-
трудностями, чем для негиротропных тел и сред. Достаточно указать,
что даже нахождение френелевских коэффициентов отражения
плоской волны от однородного гиротропного полупространства
представляет собой при произвольной ориентации однородного
же поля В, чрезвычайно громоздкую задачу. Обычно здесь огра-
ограничиваются поэтому лишь частными случаями (поле В, перпен-
перпендикулярно или параллельно границе, первичная волна падает
нормально). Круг точно решаемых дифракционных задач, т. е.
допускающих нахождение точных функций Грина, ограничен для
гиротропных тел еще более жестко, чем для тел изотропных, но
это лежит в природе вещей, а не в методе решения флуктуа-
ционных задач. Нахождение статистических характеристик теп-
теплового поля в принципе столь же просто.
Естественно, что все формулы, выводимые на основе обобщен-
обобщенного закона Кирхгофа, претерпевают при рассмотрении гиро-
гиротропных тел такое же изменение, какое содержится в (22.2). Так,
например, для потока энергии теплового излучения в телесный
угол do в волновой зоне гиротропного тела вместо формулы
(18.15) будет теперь
') Не только обобщенный, но и классический закон Кирхгофа для гирот-
ропных сред долгое время оставался неизвестным. Закон (22.3) был получен
М. Л. Левиным лишь в конце 50-х годов, а опубликован еще позднее, в кни-
РєРЅРёРіРµ [РІ].
|j2] ТЕПЛОВОЕ ПОЛЕ В Г�РОТРОПНЫХ ТЕЛАХ J71
где о**,—эффективный поперечник поглощения данного тела при
обращенном Лоле —В,. Волноводная форма закона Кирхгофа
(19.5) тоже заменится на
РЇВ±. = ?Р№Рі. (22.5)
Ряд примеров применения формул (22.2)—(22.5) см. в книге [61,
§§ 21-23.
Что касается равновесной формы ФДТ (§ 21), то для нее при
наличии гиротропии дело обстоит следующим образом. Формулы
(21.5)—(21.7) были получены при помощи обобщенного закона
Кирхгофа (21.1) и комплексной леммы Лоренца, т. е. результата
(21.4). Лемма Лоренца справедлива для любых сред с линейными
материальными уравнениями, но (21.1) заменяется в случае
гиротропных сред на (22.2). Поэтому, например, вместо формулы
(СЃРј. (21.5))
<?/.(г,) Е\. (г,)> = -± в (<в, Т) {1.EJ, (г,) + \жЕп (г,)}
мы получим теперь
<Е,МЕ;,(Ф- -5Гв(«. Т) {1,6;, W + U^W}, (22.6)
где справа входят функции Грина в обращенной среде.
Но из теоремы (22.1), т. е. из обобщенной на гиротропные
среды теоремы взаимности, следует, что при рассматриваемых
почечных источниках
•.Ё0,(г1) = 1,Е01(г,). (22.7)
При помощи этого равенства можно исключить из (22.6), скажем
К, (г,), что дает
<?,,(г1)?;,(г,)>= -^в(ш, ЛМЕ;, (г,) +Ё01(г,)}. (22.8)
Это смешанная форма корреляционной функции, содержащая
функции Грина как в исходной среде, так и в среде с обращен-
обращенным подмагничивающим полем. При В, = 0 формулы смешанного
типа (в частности, (22.8)) непосредственно переходят в получен-
полученные ранее формулы для негиротропных тел (в частности, (21.5)).
Можно также, пользуясь (22.7), заменить в (22.6) обе напря-
напряженности с тильдами на напряженности в исходной среде (без
обращения В,), и тогда
<Bj,(rJ Р•',. (Рі,)> = - ^Рµ (<Рѕ. Р“) {1,Рµ;, (Рі,) + IJ-., (Рі,)}. (22.9)
Аналогично формулам (22.8) и (22.9) записываются и функции
Для компонент Н, и взаимные функции корреляции между ком-
компонентами Е и Н.
172 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
Таким образом, в случае равновесного поля гиротропность
не вносит никаких принципиальных усложнений. Как и для
негиротропных тел, надо знать только функции Грина, хотя их
фактическое вычисление, конечно, значительно сложнее, чем для
изотропных тел.
Ясно, что наличие гиротропности не должно нарушать уни-
универсальную связь между интегральным излучением и поглоще-
поглощением одного и того же тела, вытекающую из второго начала
термодинамики. Если, например, тело окружено достаточно уда-
удаленной абсолютно черной оболочкой с той же температурой,
что и у тела, то тепловое равновесие между телом и оболочкой
должно иметь место независимо от того, обладает тело гиротро-
пией или нет. Это значит, что интегральная (по телесному углу)
суммарная (по обеим поляризациям) интенсивность излучения
тела должна быть в обоих случаях одинакова (Р» = Р<и)- Но
в отсутствие гиротропии, согласно (18.15),
а при ее наличии, согласно (22.4),
�з равенства Ра=Ра следует, что
fo,IM)d*>=В§<i,to)do- (22.10)
Точно так же суммарное излучение тела, находящегося в вол-
волноводе между двумя черными пробками, вправо и влево
не должно зависеть от наличия гиротропии, т. е. должно быть
Ра = Ра- Суммируя выражения (19.4) по всем номерам п бегу-
бегущих волн, получаем
С‚.Рї
Конечно, в двойных суммах~по тип эти индексы можно пере-
переставлять. Поэтому
�з равенства Ра^Ра вытекает соотношение, аналогичное (22.10):
2' . (22.11)
JJ3] ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 173
§ 23. Тепловое поле в среде
с пространственной дисперсией
До сих пор мы ограничивались материальными уравнениями
(14.2), описывающими среду (вообще говоря, неоднородную)
в отсутствие пространственной ,'дисперсии: индукции D и В
в точке г зависели от свойств и предыстории как среды (от е
и ц), так и поля (напряженностей Е и Н) только в той же
точке г. Если же состояние среды в точке г зависит от пре-
предыстории (в чем заключается временн&я нелокалькость) не только
в этой же точке, но и в некоторой ее окрестности (простран-
(пространственная нелокальность), то материальные уравнения надо брать
более общего вида:
+ В» + 80
D(i!,r)= \dt' \n(t — V, г, r')E(<\ t')d'r',
-" (23 1)
+ o» +„ \<"s.i/
В (/,г)= $ it' $n(f—V, г, г')Н(Г, r')d?r'.
— 00 — «D
Зависимость ядер e и ц. от разности t—t' отражает стационар-
стационарность интересующих нас процессов, т. е. предполагает неиз-
неизменность свойств среды во времени (если бы среда менялась
во времени, то е и ц. зависели бы от t и V порознь). Зависи-
Зависимость е и ц от г и г' отвечает пространственно неоднородной
среде. В однородной среде ядра е и ц зависят только от раз-
разности р = г—г'. Если область пространственной нелокальности
стягивается в точку, то
Рµ(*-/', Рі,Рі')-*РІ(<-<', Рі)РІ(Рі-Рі'),
и аналогично для ц. Материальные уравнения (23.1) тотчас же
переходят при этом в локальные уравнения (14.2)х).
В (23.1), как и в (14.2), имеются в виду изотропная и че-
гиротропная среды. Для анизотропной или гиротропной среды
соотношение между D и Е устанавливается тензором диэлектри-
') Состояние среды в момент t в точке г может зависеть только от собы-
событий, которые находятся внутри обращенного в прошлое светового конуса
с вершиной в «точке» (I, г). �наче говоря, это события, которые предшест-
предшествуют моменту / по времени и создают поля, распространяющиеся не быстрее
света в вакууме (принцип причинности). Таким образом, интегрирование по
Г и г7 в (23.1) и в последующей формуле (23.2а) в бесконечных пределах
предполагает, что функции е, ц и еар обращаются вне указанного конуса
в нуль. Это налагает определенные ограничения и на их ож-аиплитуды,
« именно устанавливает определенную связь между вещественными и мни-
мнимыми частями этих фупкций. В отсутствие пространственной дисперсии такая
связь выражается формулами Крамерса—Кронига ([3], § 62), а при ее нали-
наличии—более общими формулами [13].
174 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
ческой проницаемости еаВ (а, р"=1, 2, 3), так что первое урав-
уравнение (23.1) заменяется на
+В» +В«
Da(t, г) - \ df \ Kafi(t-t', г, г')?„(/', T')dT'. (23.2а)
Что касается второго уравнения (23.1), то из общих соображе-
соображений следует, что введение еще одного тензора fiaS было бы из-
излишним. Дело в том, что при введении D = Е+4пР и В=Н +4яМ
мы описываем состояние среды поляризацией Р и намагниче-
намагничением М, разбивая для этого индуцированные в среде токи и
заряды на «сорта» (связанные и свободные заряды с соответст-
соответствующими поляризационным током и током проводимости, а кроме
того, молекулярные амперовы токи). Но в нелокальной среде
проще и естественнее включить в D все виды наведенного тока,
так что
Р’ = Рќ, (23.26)
а для D справедливо материальное уравнение (23.2а). Конечно,
определения D и В (т. е. их связь с микрополями и микрото-
микротоками) при этом иные, чем в (23.1), так «то при отсутствии про-
пространственной дисперсии уравнения (23.2а, б) не переходят
РІ (23.1).
Возможность полного описания среды материальными урав-
уравнениями (23.2а, б) показывает, что достаточно одного тензора еаВ
при |1ар = ба0 (подробней см. [8, 14J). Заметим, что в толще
нелокальной среды, даже если она однородна и изотропна, тен-
тензор eap (t—f, г, г') в (23.2а) не вырождается в диагональный,
а имеет общий для данного случая вид:
^, (С‚, СЂ), (23.3)
где x = t—/', р^г—г', т. е. содержит две независимые ска-
скалярные функции в, и е, —поперечную и продольную (по отно-
отношению к р) диэлектрические проницаемости. Отсюда ясно, что
для однородной и изотропной нелокальной среды допустимы
материальные уравнения и вида (23.1), поскольку в них тоже
фигурируют только две независимые скалярные функции е (т, р)
н Р-(т> р)- О связи между е,, в, и е, (i мы скажем несколько
дальше.
Выше мы не случайно подчеркнули, что выражение (23.3)
для Cap относится к толще среды, т. е. к областям, достаточно
удаленным от ее границ. При приближении к границе среды
ea(J не может оставаться функцией только разности р = г—г',
так как направление по нормали к границе становится выде-
выделенным. �наче говоря, прилегающий к границе слой с толщи-
fill ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 175
ной порядка радиуса нелокальности неоднороден и анизотропен
по своим электродинамическим свойствам. Это в особой степени
усложняет электродинамическую часть задачи, т. е. нахождение
вспомогательных дифракционных полей (функций Грина) или
же плотности их джоу левых потерь, если необходимо учитывать
и указанный приграничный слой. Что же касается собственно
флуктуационной части задачи, то в неб все обстоит так же, как
и в случае локальных сред, поскольку и обобщенный закон
Кирхгофа (17.11)—(17.13), и равновесная форма ФДТ (21.5) —
(21.7) справедливы при любой форме материальных уравнений.
Мы ограничимся далее простейшим случаем однородной и
изотропной нелокальной среды, причем среды неограниченной,
когда во всем пространстве можно пользоваться как од (т, р)
в форме (23.3), так и скалярами е(т, р), ц(т, р). Целесообразно
при этом перейти к трансформантам Фурье как по т, так и по р:
(23.4)
и аналогично для ц(т, р). Такое же преобразование Фурье для
тензора еа9(т, р) содержит под интегралом трансформанту
,С…), (23.5)
где е, (», х) и е,(ш, .х) —поперечная и продольная (по отноше-
отношению к х) проницаемости, конечно, не являющиеся преобразова-
преобразованиями Фурье от е, (т, р) и е,(тг, р) в (23.3). Связь скалярных
функций е(ш, х) и р(ш, х) с функциями е4 (со, х) и е,(о>, х) очень
проста [8]:
РІ(<Рѕ, x) = e,(co, С…), (23.6)
Вторая из этих формул показывает, что ц (со, х) не может обра-
обращаться в нуль.
Целесообразность использования при указанных условиях
пространственно-временных трансформант Фурье (шх-амплитуд)
или пространственных трансформант Фурье от спектральных
амплитуд, вытекает из того, что при этом все линейные уравне-
уравнения для полей превращаются в алгебраические линейные урав-
уравнения для их сох-амплитуд. В частности, уравнения Максвелла
(14.6), если мы полагаем
Е(<, г) = J J Е (ш, х) ехр[—I (Ы~xr)]d(od'x (23.7)
176 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ |ГЛ. III
и аналогично для Н, индукций D, В и сторонних токов jOr jn, при-
принимают для юх-амплитуд следующий вид (аргументы ш и х мы
для краткости опускаем):
i[xH] = -ik.D+*^-},,
te (23.8)
i[xEj = ifeBB-^jВ»,
а материальные уравнения-для сох-амплитуд, полученные из (23.1)
с учетом (23.4) и (23.7) (среда однородна!), сводятся к соотно-
соотношениям
D(co, С…)=Рµ(СЃРѕ, С…) Р• (С€, С…), Р’ (СЃРѕ, С…) = С†(РѕРѕ, С…) Рќ (to, x). (23.9)
Наличие пространственной дисперсии отражено в том, что е и
ц зависят от к (для изотропной среды они зависят только от
С… = 1С…|).
Алгебраическую форму принимает и ФДТ. В общем случае
многомерного флуктуационного поля |^'(/, г) и сопряженного
по Лагранжу силового поля /V) (t, г) операторные уравнения
(15.12) переходят для спектральных амплитуд в результате про-
пространственного преобразования Фурье в алгебраические урав-
уравнения
Ev> (В«, Рє) = 2 Рђ1Рє (- io), ix) /'*> (РЁ, С…),
* (23.10)
Р  (to, С…) = 2 -4/* (- ia- в„ў) V" (m. *).
а вытекающие из ФДТ выражения для корреляционных матриц
сох-амплитуд g1'1 и f^> имеют вид (см. задачу 6)
(to, С…) I"В» (СЃРѕ, С…')> ^ Gj| (to, С…) 6 (С…-С…') =
— 7Е$\АМ-Ъ Ы)-А'к1{-ш, ?х)}6(х-х'), (23.11)
со, х) Z*1* (со, х')> = Gft (со, х) 6 (х—х') =
= -Р–1Рђ*"(-'РЄ' ix)-A]?l-ta. В«x)}S(x-x'). (23.12)
где GyS(co, х)—cox-плотности. Преобразование Фурье этих плот-
плотностей по х дает, конечно, спектральные плотности. Например,
g# (со, р) = <?</> (со, г) ?«• (со, г')> =
-t-CD
= J J <g'/> (со, х) ?'*>• (со, х')> ехр [«(хг—xV)] d>x d'x' =
х) fi («—*') ехР [»(кг—хг')]^х<**'в
В«
G$ (ta, х) ехр (top) d'x (p = г-г'). (23.13)
JJ3]
ПОЛЕ В ВРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВВННОЙ1Д�СПЕРС�ЕЙ
17?
Применим равенство (23.11) к уравнениям Максвелла (23.8).
�сключив при помощи материальных уравнений (23.9) индукции
D и В, получаем
iVE + f[*H] = i^j., Й.11Н-ФЛ1—?j... (23.14)
Для того чтобы воспользоваться формулой (23.11), надо разре-
разрешить эти уравнения относительно Е и Н. Детерминант уравне-
уравнений (23.14) равен ?> = #ецД«, где
(23.15)
Пусть среда однородна. Так как ц, (<в, к) не может обращаться
в нуль, дисперсионное уравнение <Э = 0 распадается на два:
либо е(й), х) = 0 (продольные волны), либо Д (со, х) = 0 (попереч-
(поперечные волны). Решение уравнений (23.14) есть
Р• = С€ {-
Рњ
или в компонентах
РіРґРµ
г ! —— ау* -Т_ С9Ч 171
"»"ауР V 1*0'
I
Здесь ЕоуР—полностью антисимметричный единичный тензор
третьего ранга (еи, = 1), а по дважды входящему в (23.16) ин-
индексу р, конечно, производится суммирование. Заметим, что
в силу (23.15)
Де x's^Ax'' Дц
Поэтому элементы диагональных квадратов матрицы (23.17) можно
записать и в другом виде:
178 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
Согласно § 16 величины О/4л — — j,/ia и »/4я =— \Ji<a яв-
являются для полей Б и Н обобщенными силами, так что введен-
введенные в (23.16) коэффициенты А—это именно те коэффициенты AJk,
которые входят в формулу (23.11). Применяя эту формулу,
получаем для «мс-плотностей G'Jrj (ft), х) е> <?в (<о, х) ?| (со, х)>
и т. д. следующие выражения:
^)*& } (23.18Р°)
�з (23.18в) мы видим, что, в отличие от сторонних токов \,
и ]„, компоненты Е и Н взаимно коррелированы, но только их
ортогональные компоненты, так как ?а-^ = 0 при а=р\ Первые
члены в формулах (23.18а, б), содержащие в знаменателях Д,
определяют корреляцию поперечного (по отношению к х) поля,
т. е. напряженностей ЕХ = Е—Е„ и Hj. —H—Н,, а вторые
члены—корреляцию продольного поля Е„ = х(хЕ)/х*, и анало-
аналогично для Нц. Между собой поперечные и продольные напря-
напряженности не коррелированы (в силу чего G = GL+Gl{).
Остановимся в заключение настоящего параграфа на флук-
туациях полного тока в среде, под которым понимается ток, со-
состоящий из всех «видов» электрического тока, за исключением
вакуумного тока смещения. В рамках микроскопической теории
полный ток—это сумма конвекционных токов, обусловленных
движением любых (не подразделяемых на «виды») микрозарядов,
усредненная по физически бесконечно малым объемам среды. При
таком усреднении лоренцевых уравнений для микрополей е и h
мы получаем для Е = е и B=h (волнистая черта—усреднение
по физически бесконечно малому объему) макроскопические урав-
уравнения следующего вида:
rotB'-i-g+^i,, rotE = —L«l. (23.19)
Здесь через j,, обозначена объемная плотность полного тока, а
штрих над В поставлен для того, чтобы не смешивать эту
магнитную индукцию, включающую и стороннюю магнитную ин-
индукцию, с индукцией В в уравнениях (14.3), в которых сторон-
сторонний магнитный ток выделен. Объемные плотности полного за-
заряда и полного тока связаны, конечно, уравнением непрерыв-
непрерывности
^ O. (23.20)
J33I ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 179
�менно эти полные плотности представляют интерес в ряде задач,
в частности, в задачах о флуктуациях в плазме.
Установим прежде всего связь величин В' и )„ с величинами,
фигурирующими в стандартной симметричной форме уравнении
Максвелла. Запишем уравнения (23.19) и (23.20) для ом-амплитуд:
В«ft,B\ (23.21)
(23.22)
Сопоставление вторых уравнений (23.21) и (23.8) показывает,
что В'= В—т*~"^я' в С�ЛУ чего пеРвое уравнение (23.21) прини-
принимает вид
Вычитая отсюда первое уравнение (23.8), получаем
'^^ ^-H)j. (23.23)
Отсюда непосредственно видно, что полный ток слагается из
стороннего электрического тока (первый член), наведенного по-
поляризационного тока (второй член, включающий, конечно, и ток
проводимости) и электрических токов, обусловленных сторонним
магнитным током (третий член) и наведенным намагничением
(последний член, включающий и магнитную проводимость).
Нетрудно записать полный ток в функции только электриче-
электрической напряженности Е. Для этого достаточно подставить в (23.23)
вытекающие из (23.8) выражения для сторонних токов J, и ]я.
Это дает
или в компонентах
Следовательно, шх-плотности полного тока j, и электрической
напряженности Е связаны соотношением
Подставив сюда выражение (23.18а) для СД1 и выполнив сумми-
суммирование по дважды входящим в правую часть индексам у и 6,
180 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
находим
_??)_?,_Рє СЃ|. (2324)
Для шх-плотности флуктуации полного заряда р. единицы объема
среды, в соответствии с уравнением непрерывности (23.22) и
результатом (23.24), получаем
«о, к) = ф а%> (со, х) = ???-! (-L-J,) . (23.25)
В флуктуации полного тока (23.24) вносят вклад как попе-
поперечные, так и продольные волны, но флуктуации объемной плот-
плотности полного заряда (23.25) связаны только с продольными
волнами: в знаменателе выражения для 0<рп> содержится только
в(ш, х), а Д(о>, х) не входит. Множитель х1 в (23.25) подчеркивает
большую роль мелкомасштабных флуктуации. �з-за того, что
в однородной среде е—функция только к = |х|, преобразование
Фурье (23.13), дающее спектральную плотность флуктуации, при-
принимает для заряда р„ вид
в** (•• р)=т&? Т ехр(ixp) (4—?¦)х***=
(P = |r—r'|)- (23.26)
В задаче 7 формулы (23.24) и (23.25) применены к простой
модели среды, обладающей пространственной дисперсией и пред-
представляющей интерес для описания флуктуации в ионосферной
плазме.
Сделаем несколько дополнительных замечаний в заключение
этой главы.
В § 20 мы отметили, что теория случайных полей, обуслов-
обусловленных равновесными тепловыми флуктуациями, относится к ста-
статистической схеме 1), т. е. имеет дело с задачами, в которых
известна статистика случайных источников поля. Тем не менее
мы выделили тепловые поля в отдельную главу, указав не только
на их важность, но и на специфичность. Последняя заключается
именно в том, что в данном круге задач статистика источников
не задается извне, а определяется самими динамическими урав-
уравнениями, задали. Говоря точнее, функции корреляции сторонних
(ланжевеновских) сил определены антиэрмитовыми .частями тех
детерминированных линейных операторов, через которые записы-
записываются динамические уравнения. В этом и состоитфлуктуационно-
диссипационная теорема (§ 15).
}33J ПОЛЕ В СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ Д�СПЕРС�ЕЙ 181
Если же речь идет о существенно неравновесных тепловых
флуктуациях или вообще о полях нетеплового происхождения,
то статистика источников обычно не определена видом са-
самих уравнений, а должна быть задана—либо формально, либо
на основе статистического исследования микроскопических мо-
моделей.
Другое замечание касается универсальности различных форм
ФДТ. Мы рассматривали в этой главе электромагнитные тепловые
поля, хотя опирались на ФДТ, которая применима к равновесным
тепловым флуктуациям любой физической природы (§ 15). Для
электромагнитных полей были получены другие формы ФДТ —
кирхгофовская (§§ 17, 18), волноводпая (§ 19), равновесная
(§ 21),—более прозрачные физически, более «экономные» по про-
процедуре решения конкретных задач и обладающие более широкими
возможностями в отношении охвата задач, поддающихся решению.
Естественно возникает вопрос о том, являются ли эти формы ФДТ
столь же физически универсальными, как и исходная «канони-
«каноническая» ее форма (15.14).
Все, что нам понадобилось учесть в электродинамике для
получения указанных форм ФДТ, сводится к электродинамиче-
электродинамической теореме взаимности (17.2) или (22.1) и комплексной лемме
Лоренца (21.2). Можно поэтому ожидать, что для любых равно-
равновесных (и квазиравновесных) флуктуационных полей, для кото-
которых справедливы теорема взаимности и аналог леммы Лоренца,
будут верны и перечисленные формы ФДТ. Анализ этого вопроса
показывает, что дело обстоит именно так [15], и отсюда выте-
вытекает ряд интересных следствий.
Например, кирхгофовская форма ФДТ и, в частности, фор-
формула (18.15) полностью справедливы для акустических волн.
Тепловые потери обусловлены здесь вязкостью и теплопровод-
теплопроводностью среды. Представим себе, что тело, обладающее такими
потерями, погружено в «прозрачную» жидкость, т. е. жидкость
с малым поглощением продольных волн. Послав на тело плоскую
волну частоты со (скажем, в звуковом или ультразвуковом диа-
диапазоне), мы можем найти эффективный поперечник поглощения
тела а,фф (при данной ориентации тела). Формула (18.15), в ко-
которой можно, конечно, положить в = кТ, определяет тогда поток
энергии продольных волн частоты ю, излучаемых телом в телес-
телесный угол do, в направлении, противоположном направлению
прихода вспомогательной плоской волны. Хотя физический ме-
механизм тепловых флуктуации в теле (флуктуации плотности,
температуры, скоростей макрочастиц) совершенно иной, чем
в электродинамике, гвызвучивание» нагретого тела в окружающую
«прозрачную» среду происходит по такому же закону, как и
«высвечивание» на электромагнитных волнах, а именно по закону
Кирхгофа.
182 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ш
Задач ¦
1. С учетом реакции излучения уравнение движения упруго связанного
электрона имеет при малых его скоростях I r | <^ с вид
тг-^Н-яю!г=1(0=«Е(0, (1)
где е и т—заряд и масса электрона, с—скорость света в вакууме, а0—соб-
а0—собственная частота осциллятора. Пусть Е(0—напряженность электрического
поля равновесного излучения. Применив ФДТ к уравнению (1), найти спек-
спектральную плотность энергии этого излучения (по положительным частотам и),
т. е. величину (электрон находится в вакууме)
Решение. Уравнение движения (I) в спектральной форме есть
r(Q) = a(ci))f (С€),
РіРґРµ
Спектральная плотность компоненты Ex(t) — fx(t)le флуктуациоиного поля
по со > 0 равна
В«4(m)='?"g?(B)'"ir<|M<1>>l'>' (3)
где < |/* (о>) |*>—спектральная плотность силы fx(t) по ш от —«в до +».
Согласно дискретной ФДТ < | fx (ш) |»> выражается через обобщенную воспри-
восприимчивость а(ш) следующим образом:
(это формула (15.96) в частном случае единственной переменной). �з (2) — (4)
следует, что
Заметим, что Re(l/a(o>)} не играет роли, и поэтому электрон йог бы быть
и свободным (шв=0).
Для того чтобы получить спектральную плотность энергии электромагнит-
электромагнитного поля, достаточно учесть, что равновесное излучение в неограниченном
пространстве изотропно, в силу чего
и что его магнитная энергия равна электрической:
Поэтому
т. е. мы получили формулу Планка.
ЗАДАЧ� 183
2. Формулы (16.4) для корреляционных функций сторонних токов можно
получать и более физическим путей, чем использованный в $ 16, опираясь на
классический закон Кирхгофа и принцип детального равновесия. Последний
требует, чтобы для двух одинаково нагретых тел 1 и 2 мощность <2ц. погло-
каемая телом I из излучения тела 2, была на каждой частоте <а равна мощ-
мощности <3ц, поглощаемой телом 2 из излучения тела 1. Пользуясь этим, вы-
вывести формулы (16.4) из рассмотрения обмена энергией между телом н пластиной
(ряс. 20). разнесенными аа столь большое расстояние Я, что их размеры го-
гораздо меньше радиуса Y\R первой зоны Френели (т. е. они находятся во
фраунгоферовой зоне друг дру-
друга). Вместе с тем размеры »'
пластины настолько больше дли- .^SSSb
вы волны X, что излучение -<<<щ|3 R.
пластины можно вычислять по
классическому закону Кирх-
Кирхгофа.
Решение. Подсчитаем
оря указанных условиях мощ- Рис- *"•
кости <3Т к Qn, поглощаемые
телом н пластиной на частоте ш.
Пусть А —коэффициент поглощения пластины и 2—
Поглощаемая пластиной мощность есть
где &"t—^-компонента вектора ПоЛнтквга теплового излучения тела. Для fft
на одной поляризации мы имеем выражение (18.13), так что при учете обеих
независимых поляризаций 4Гг——<|ЯЖ|*>- Подставив сюда Ег из (18.12) ¦
записывая скалярные произведения векторов в компонентах, получаем в соот-
соответствии с (1), что
^ JJ
(г) tfj, (О </„„ (г)4„ (f)> - ЕЮ(г) Н'ф (г') </«, (г) /* в (г-)>-
. (Рі) /7e (f)>} d>r<Pr\ (2)
Теперь подсчитаем Q,—мощность, поглощаемую телом из излучения пла-
пластины. Так как ее размеры велики по сравнению с X, для интенсивности из-
излучения пластины в телесный угол do, ось которого направлена на тело,
справедлива формула (18.16).
Сопоставим выражение (18.16) с мощностью, излучаемой в тот же телесный
угол do единичным точечным источником (электрическим диполем в точке М
с моментом p = !/iu), лежащим в плоскости пластины):
Мы видим, что пластина излучает в
<1Р С„ _ 2СЃ9 . _
раз больше точечного источника. Следовательно, во.столько же раз больше
¦ мощность QT по сравнению с мощностью Qo> поглощаемой телом из
184 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ СГЛ. III
излучения точечного источника:
Потери же Qa дифракционного поля, создаваемого электрическим диполем,
равны
Со ^" J {^оа(г) ?1в (г)(еор- ejj + Ню (г) Я* (г) ((1«р-1*
так что
п 1<асАЪв (
Рё, 7") Р“" I _.._.
J roa(r) ?*
-nSВ») I *'В¦- (3)
Выражения (2) и (З) должны быть равны друг другу. Почленное сравне-
сравнение подынтегральных выражений дает формулы (16.4). Однозначность резуль-
результата следует из того, что равенство интегралов должно иметь место при
любой форме, величине и расположении тела и пластины (конечно, не нару-
нарушающих условий Я.7?^2>Х2).
Следует заметить, что при данном выоодс формул (16.4) надо понимать
под 6(111, Г) только ту часть средней энергии осциллятора, которая зависит
от температуры. Энергия нулевых колебаний па/'2 не должна учитываться,
поскольку рассматривается обмен энергией посредством излучения (§ 17).
3. В волноводе между двумя черными излучателями с температурой 7°0
находится тело с температурой Т Ф То. Найти поток энергии флуктуационного
поля на п-й собственной волне волновода и показать, что при любых Г и Т„
нулевые колебания из этого потока выпадают.
Решение. Поток энергии, скажем, справа от тела равен собственному
излучению тела (Pjn) плюс отраженное телом излучение правого излучателя
[ -g-i- V" Rmn \ плюс прошедшее излучение левого излучателя / -—- у Р^п\
\ m I \ m }
и минус встречный поток излучения справа (вц/211):
Согласно (19.3)
Pjn = -
РІ-
Но нулевая энергия ta/2 из разности в—в0 выпадает, т. е. встречные по-
потоки энергии нулевых колебаний взаимно уничтожаются при любых Т и 7V
�менно потому, что эти колебания никогда не участвуют в переносе энергии,
член ?ш/2 в в (ш, Т) можно отбрасывать во всех случаях, когда речь идет
о (среднем) потоке энергии.
ЗАДАЧ�
185
4. Найти мощность, излучаемую в идеальный волновод на волне с по-
постоянной распространения к излучателем, состоящим из поперечной идеально
отражающей перегородки и поперечной же полупрозрачной пластинки, отстоя-
отстоящей от перегородки на расстояние / (рис. 21). Пластинка предполагается
тонкой, т. е. ее толщина мала по сравнению с длиной
волны в ее материале, так что интерференции внутри
пластинки можно не учитывать и характеризовать плас-
пластинку вещественными амплитудными коэффициентами от-
отражения (г) и пропускания (d). При этом i*+<P+a—l,
где а—энергетический коэффициент поглощения плас-
пластинки.
0
0
Решение. �злучаемая мощность Р = -^— А, где
Р РёСЃ. 21.
А — 1— Si (излучатель в целом непрозрачен), ^—энергетический коэффи-
коэффициент отражения излучателя. Если справа падает волна е-<*«, то в результа-
результате первого отражения от пластинки н последующих многократных повторных
отражений прошедшей через нес волны между пластинкой и идеально отра-
отражающей перегородкой, амплитуда отраженной излучателем волны будет
Следовательно,
• _ г d» п
="[ !+/••—2rcos2Af j
Or / поглощение зависит осцилляторно с периодом, равным половине
длины волны Л=2я/А, и с максимумами на резонансных длинах резонатора,
образуемого перегородкой и пластинкой. При уменьшении прозрачности
пластинки (d—*0) получаем А—а. Если же коэффициент отражения от пла-
пластинки г*—> ] (при этом с необходимостью d—*0, а—>О), то А —><).
Б. Формула Найквиста для спектральной плотности тепловой э. д. с. е (I)
в двуполюевике с импедансом Z (а) имеет вид
<\С‘(Р°)Р“> = В±Р’(Р°>, r)ReZ(o>).
Для хороших проводников часто заменяют ReZ на омическое сопротивление R.
При каких условиях эта замена законна? Ведь при переходе от проводника
к идеальному диэлектрику (проводимость а—>-0 н соответственно R—,. да)
получается неограниченное нарастание э. д. с. Как уже было отмечено в ч. 1,
§ 64, этот кажущийся парадокс возникает при забвении того, что замена ReZ
на R законна лишь для столь хороших проводников, внутри которых можно
пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости. Ясно, что
при о —* 0 это условие рано или поздно нарушается. Вывести формулу для
<|«(о>)|*> в тонком проводе с учетом тока смещения.
Решение. Если при выводе формулы (20.9) для <|/(s)|*>, а значит,
и при выводе выражения (20.13) для <l#(s)|'> не пренебрегать током сме-
смещения в проводе, т. е. пользоваться общим выражением (20.6) для корреляции
компонент теплового поля, то результатом снова будут формулы (20.9) и
(20.13), но, в отличие от (20.10), теперь
40 2я 1 +(ея>/4ло)»
Следовательно, для квазистационарной (/, не зависит от s) равновесной
(в=const) цепи энергетическое сопротивление, определенное равенством,
186 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ (ГЛ. III
аналогичным (20.15), равно
Поскольку v«*r'-fp/pr, действие линейного оператора Д~1(Т) на е''1' дает
(I)
Смысл этого выражения лучше всего пояснить переходом к предельному
случаю слабого скин-эффекта в проводе из однородного материала («'но
постоянны). Тогда /,=/0/2 и для участка провода длины 1
формула (1) принимает вид
где R = l/aX—омическое сопротивление, а С = е'2/4я/—внут-
е'2/4я/—внутренняя емкость данного участка провода. Таким образом, #„
представляет собой в этом случае активное сопротивление
ЯС-ячейки (рис. 22) и при R —> оо получаем R, — 0. Замена
R, на R справедлива лишь при условии (ЯСю)1 «g 1.
в. Пользуясь формулами (15.11а, б), получить корреляционные функции
шх-аиплятуд полей |(г, г) и /(<, г) в неограниченной однородной среде, т. е.
амплитуд в пространственных разложениях Фурье
Решение. Проведем сначала расчет функции корреляции для «х-ам-
плитуды f(t, r):
С учетом (15.116) имеем
Представим дельта-функцию в виде интеграла Фурье:
(1)
ЗАДАЧ� 187
где A~l{ip)—функция р, получающаяся при замене V—м'р в операторе
Д-1(у). Аналогично1),
Д-»(?')6(г-г')—-щг J A-"(iV)e* <¦<-'"><Рр,
— ВО
так что (1) приникает вид
X
JJ ехр{> [(р—х)г—(р—x')r']}dVdV.
�нтегралы по г и г' дают (2л)16 (р—и)8(р—х'), после чего интегриро-
интегрирование по р приводит к искомому результату:
(2)
Можно получить функцию корреляции для ? (<¦>. х) таким же путем (поль-
(пользуясь формулой (15.11а)), а можно сделать это и иначе—исходя из того,
что ?((!>, х) = Л(—/со, i'x)/(co, x). Полагая х'=х в множителе при
6 (х—х'), имеем
— /л w л (IX) л (IX) ^л (IX) л
' {Р› [i*)-A> (В¦*)} 6 (С…-С…-). (3)
Уравнения (15.1) (если явным образом записать зависимость операторов
А и Д-1 от —|ш) принимают для шх-амплитуд вид
5(ш, я) = А{—/ш, (х)/(и, х), /(ш, к) = А-1( — to, (х)Е(ш, х).
Первьш из них мы только что воспользовались при выводе (3), а из второго
видно, что уравнение
А-\ — ш, /х)-0 (4)
]) В связи с этой и последующими формулами необходимо сделать одно
разъяснение. Знак комплексного сопряжения • понимается здесь и далее в
обычном смысле, т. е. как замена I на —(во всех аргументах вещественной
функции от — let, I'x, ip и т. д. В книге [6] использовано другое (и менее
удачное) обозначение: знак * означает там комплексное сопряжение только
в спектральной амплитуде, т. е. в вещественной функции от Inn, > сво-
сводится, таким образом, к замене —/со—>¦ +(ш. Поэтому в [6] выражение для
Д-1'(у')6(г—г') содержит под интегралом функцию А~х'{—ip). Звездочка
означает изменение знака в ко, а в аргументе —/ранах минус записан явно.
Обычное обозначение, принятое в данной книге, конечно, проще.
где m—иасса электрона, е—абсолютная величина его заряда, ff—средняя
концентрация электронов, р — переменная часть давления:
(2)
(у — отношение Пуассона, в — кТ — энергетическая температура электронного
газа, N—переменная часть концентрации). В уравнение (1) введено также
«трение»—через эффективное число соударений в единицу времени (v). Плот-
Плотность электронного тока (в данной модели это и полный ток) в линейном при-
приближении равна i——Nev, а переменная часть плотности заряда есть Рф—
= —Ne (средние плотности электронного и ионного зарядов скомпенсированы,
т. е. плазыа квазииейтральна). Поэтому линеаризованное уравнение непре-
непрерывности будет
-^-fJVdivv=O. (3)
Найти для описанной модели плазмы спектральную плотность флуктуа-
флуктуации электронной концентрации.
Решение. Согласно (23.25) для нахождения шх-плотности флуктуа-
флуктуации рф достаточно знать продольную диэлектрическую проницаемость е (ш, х).
Для юх-амплитуд (N, p, v, ?~exp[ — i(at — хг)]), исключая из (1) — (3)
все величины, кроме v= —j/Л/е, получаем следующее уравнение для полного
тока j (в компонентах):
') О более общих случаях и, в частности, о деужидкостной модели (эле-
(электроны и один сорт ионов), причем модели неравновесной (температуры эле-
электронов и ионов различны), см. в [14, 16].
188 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ш
представляет собой дисперсионное уравнение задачи. �з (3) ясно, что любой
интеграл по к и х", содержащий <5 (ш, н)?*(ш, х')>, сразу же сводится к
интегралу только по х (из-за наличия 8(х — к')), а последний часто может
быть взят вычетами в полюсах функции А (—it», ix), т. е. в нулях функции
Л-1 (ко, ix), или, иначе говоря, при значениях X, являющихся корнями дис-
дисперсионного уравнения (4).
Нетрудно воспроизвести расчеты, проделанные при выводе формул (2)
и (3), для случая многомерных однородных полей ?'¦" (t, г) и /1Л (t, г), исполь-
используя при этом формулы (15.14а, б). Это приводит к корреляционным матрицам
(23.11) и (23.12) для <вх-амплигуд.
7. Для продольных волн, длинных по сравнению с радиусом нелокаль-
нелокальности a(ka<^\), не слишком разреженная плазма, состоящая из электронов,
ионов разного сорта и нейтральных атомов и молекул, может быть хорошо
описана в так называемом квазигидродинамическом приближении. Уравнения
гидродинамики надо писать при этом для всех видов частиц, но мы ограни-
ограничимся простейшей моделью одножидкостной (электронной) плазмы, т. е. бу-
будем считать ионы неподвижный1).
Тогда линеаризованное уравнение движении электронной жидкости (газа)
запишется в виде
(Рћ
где ш,—плазменная (электронная) частота:
ЗАДАЧ� 189
Удобно явесги обозначения
РіРґРµ
— тах называемый дебаевский радиус (или радиус экранирования электричес-
электрического поля, см. [16]). В этих обозначениях уравнение для J принимает вид
(1 + iZ YY) ja -<?Хка Xjl /в = -^- ХЕа ,
откуда
. 1юХ Гр^
'" 4Р» (1 + iz РЈС…) \ Р°
4Р» (1 -f iZ YX) \ 1+iZ VX-xWX J '
Электрическая индукция Da—Ba^E^ связана с полным током ] соотно-
соотношением D = E — 4nj/ici)1), так что
D = ? -— / =
1Р›
[\+lZVX-x*a>X] I P
1 + iZVxJ aP
Выражение в фигурных скобках—это диэлектрическая проницаемость
еар (ш, и). Она легко преобразуется к виду
V
1 + LZ >ОС-х«а1Х ) у-1 '
откуда следуют выражения для поперечной и продольной проницаемостей:
Y
Р•,(РЁ, РҐ) = 1
x ...
X
ег(оо, и)еэ8(о), х) = 1 == •
1+iZ /Л-х»оаЛ:
Таким образом, в рассматриваемой модели е( не обладает пространствен-
пространственной дисперсией (не зависит от х). Пространственная же дисперсия е,—е воз-
возникает из-за члена с ур в (1), т. е. обусловлена упругостью электронного
газа.
Согласно выражению (4) для в имеем

(1 — X — x
*) Это ясно из первого уравнения (23.21), если записать его в виде
i[xB] = — i*0D.
190 ТЕПЛОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГН�ТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
Подставив это в формулы (23.25) и (23.26), получаем, что ых-плотность флук-
флуктуации электронной концентрации N= —Рф/е есть
а ее спектральная плотность равна
С…3 sin С…СЂ
Р“ С…3
J (l-X-x
Рѕ
�нтеграл в (6) легко вычисляется. �з-за четности интегранда по х можно
взять половину значения интеграла в пределах ± оз. Записав далее sin xp
в виде [elKp — e~iKp)l2i, изменим знак х в интеграле с е~'хр. Это просто
удваивает первый интеграл (с eiKp) и дает
Замыкание пути интегрирования в верх-ней полуплоскости комплексного у.
сводит интеграл к вычетам в полюсах ¦я—к и х = — к*, где 4 —корень дис-
дисперсионного уравнения в(ш, и)- 0, лежащий в первой квадранте плоскости х:
* = *' | (ft*^-
(7)
Окончательный результат:
Как это видно уже из (6), g(JV| (<n, 0)~оо. Эта особенность при р = 0,
вполне очевидная в (8), обусловлена недостаточно быстрым убыванием 1/&— 1/е*
к нулю при возрастании х. Однако само гидродинамическое описание спра-
справедливо лишь для ха<^ 1, т. е. для пространственных гармоник флуктуации .V
с длинами волн 2д/х = Л:>а. Поэтому брать значения р^а нет смысла.
В этой области х фазовая скорость продольных волн становится одного по-
порядка с тепловой скоростью электронов и, как показывает кинетическое рас-
рассмотрение, происходит сильное затухание продольных волн. Гидродинами-
Гидродинамическая модель не учитывает этого затухания, обусловленного тепловым
движением зарядов ([14], § 2). Отметим в связи со сказанным, что, напри-
например, в слое F ионосферы, если принять Л^ = 5-10* си~3, Г — 300 К и у = 31),
то
(.>,, = 4 10' Гц, a a 0,3 см.
В диапазоне частот ш > ш,,(Х < 1) и при Z<^ 1-Х из (7) имеем при-
приближенно
) Основанием для такого выбора у является кинетическое рассмотрение
([14], В§ 2).
ЗАДАЧ� |91
т. е. *'^>*\ и основную роль в (8) играет член с sinifp. Спектральная
плотность (8) представляет собой в функции от р медленно затухающее коле-
колебание. Напротив, при <й < <л,(Х > I) и Z<^X—l значения К щ Г меняются
пестами:
так что экспонента затухает гораздо быстрее, чем аа период колебания 2л/*'.
В окрестности ше, т. е. при X « 1 и | I— X\-^Z, инеем
Заметим в заключение, что, ограничившись в ранках гидродинамической
модели описанием состояния электронного газа переменными v. p Я R, мы
исключили тем самым из рассмотрения флуктуации его температуры Т = Т—Т.
Глава IV
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
§ 24. Метод малых возмущений
В этой и последующих главах мы займемся флуктуациями
волн, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, т.е.
по классификации § 8 задачами типа 2).
Случайные неоднородности реальных сред влияют на характе-
характеристики волн, распространяющихся в этих средах, и возникающие
при этом явления чрезвычайно разнообразны. Мерцание звезд и
флуктуации радиоизлучения от внеземных источников, замирания
(фединги) радиоволн и релеевское рассеяние света, уширение
лазерных пучков в тропосфере и рассеяние звука в море—это
лишь немногие примеры наблюдаемых эффектов. �сследованием
такого рода эффектов занимается статистическая теория распро-
распространения и рассеяния волн.
Задачи о распространении волн в средах с флуктуирующими
параметрами решаются, как правило, приближенными методами.
Дело в том, что соответствующие дифференциальные уравнения
содержат в коэффициентах случайные функции точки (а возможно,
и времени), описывающие неоднородную среду. Точное решение
такой параметрической задачи означало бы, что мы в состоянии
написать, например, функцию Грина для любых реализаций
входящих в уравнения случайных функций, что практически
никогда не осуществимо1). Это и вынуждает обращаться к при-
приближенным методам. Характер приближения зависит, разумеется,
от постановки задачи—слабо или сильно флуктуируют параметры
среды, каково соотношение между длиной волны и размерами
неоднородностей, какова геометрия задачи (длина трассы, ширина
волнового пучка) и т. д. При всем разнообразии конкретных
') Если не говорить о тех весьма частных случаях, когда среда описыва-
описывается специального вида детерминированными функциями, зависящими от ко-
конечного числа случайных параметров.
5 24] МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕН�� [93
условий значительная часть задач типа 2) может быть решена
при помощи небольшого числа разработанных к настоящему
времени приближенных методов.
Если относительные флуктуации параметров среды достаточно
слабы, а рассеянное поле мало по сравнению с полем первичной
волны, то применяется метод малых возмущений. Анализ полей,
рассчитанных в первом порядке теории возмущений, составляет
содержание теории однократного рассеяния, которой и посвя-
посвящена данная глава.
При нарушении условий применимости теории однократного
рассеяния (флуктуации в среде недостаточно слабы, рассеянное
поле не мало) необходимо принимать во внимание двух-, трех-
и т. д. кратное рассеяние поля, т. е. нужно строить теорию с
учетом многократного рассеяния волн. В случае слабых, но
крупных (по сравнению с длиной волны) неодчородностей мно-
многократно рассеянные волны лишь незначительно уклоняются от
направления распространения первичной волны. В таких условиях
многократное рассеяние эффективно описывается методом геомет-
геометрической оптики (МГО) и примыкающими к нему более общими ко-
коротко-волновыми асимптотическими методами теории дифракции—
методом плавных возмущений (МПВ) и методом параболического
уравнения (МПУ). Последние три метода мы рассмотрим в
гл. V—VII.
Другая возможность учета многократного рассеяния волн
основана на приближенном суммировании рядов теории возму-
возмущений (в основном при помощи методов, развитых первоначально
в квантовой электродинамике). При таком подходе удается, в
частности, рассмотреть не только слабые, но и сильные флуктуации
среды. Однако при этом необходимо, чтобы неоднородности были
мелкомасштабными. Элементы теории многократного рассеяния
изложены в гл. VIII.
Начнем с простейшей постановки задачи: волновое поле
и (t, г) будем считать скалярным и монохроматическим {и (t, г) =
— и (г)е-'ш), а неоднородности среды—не меняющимися во вре-
времени и покоящимися1). Хотя при скалярной постановке задачи
не охвачена поляризация, она достаточна для ряда общеволно-
общеволновых явлений, таких, как интерференция и дифракция. К поля-
поляризационным эффектам в рассеянии электромагнитных волн мы
обратимся в § 30.
При указанных выше условиях распространение волны в
неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца
Ди(г)+А-ге(г)и(г) = О, (24.1)
1) В этой главе мы будем в основном придерживаться монографии [1].
Библиография по вопросам теории однократного рассеяния содержится также
РІ РѕР±Р·РѕСЂРµ [2|.
7 С. М. Рытое и др. «. II
194 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
где ko — u>lc—волновое число в невозмущенной среде или в слу-
случае электрического поля — в вакууме. Функцию в (г), описываю-
описывающую неоднородность среды, мы будем называть (диэлектрической)
проницаемостью, имея в виду в основном электромагнитное поле.
Для случайно-неоднородной среды проницаемость в (г) можно
представить в виде
РІ(Рі)=РІ(СЂ)+5(Рі), (24.2)
где е—среднее (по ансамблю реализаций среды) значение е,
а е—флуктуации проницаемости. Уравнение Гельмгольца при-
принимает при этом вид1)
РђРё (Рі) .|-ftj[e(r) + 8(r)] Рё (Рі) -0. (24.3)
Общих методов решения даже такого простого волнового
уравнения не существует. Наиболее распространенным из при-
приближенных методов является метод возмущений: флуктуации е
считаются достаточно слабыми, а волновое поле и (г) ищется в
виде ряда по степеням е(г), или, что то же—по степеням <те<^е.
Чтобы построить такой ряд, удобно перейти от дифференциаль-
дифференциального уравнения (24.3) к эквивалентному интегральному
уравнению.
Пусть и, (г)— ноле первичной волны, удовлетворяющее не-
невозмущенному уравнению Гельмгольца, т. е. уравнению (24.3)
при е —0:
Atto(r)+ft;i(r)uo(r)-O. (24.4)
Обозначим через О (г, г') невозмущенную функцию Грина, ко-
которая удовлетворяет уравнению для точечного источника
AG(r, r')-r-*!e(r)G(r, Рі') = 6(Рі, Рі'). (24.5)
Разумеется, первичное поле и„ и функция Грина G удовлетво-
удовлетворяют необходимым граничным условиям. Решение неоднородно-
неоднородного уравнения
e
выражается через функцию Грина следующим образом:
\ (24.6)
•) Рассеяние звукопых волн в турбулентной среде описывается более
сложным скалярным уравнением, чем (24.3), поскольку распространение со-
сопровождается нелинейным взаимодействием звуковых волн н гидродинамических
турбулентных движений. Упрощенное описание достигается путем линеариза-
линеаризации исходных нелинейных уравнений гидродинамики но отношению к слабым
звуковым возмущениям. Связанные с этим особенности рассеяния звука рас-
рассмотрены в [1J.
§ 20 МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕН��
Записав исходное уравнение (24.3) в форме
^ — kfeu = F(r) (24.7)
и используя (24.6), получаем следующее интегральное уравнение
для волнового поля:
Рё (Рі) = Рё, (r)-kl $ G (Рі, Рі> (Рі') u (r')i(V', (24.8)
где интегрирование распространяется, очевидно, на область V,
занятую неоднородностями е (г). Уравнение (24.8) эквивалентно
исходному дифференциальному уравнению (24.3), но учитывает
(через функцию G) и все граничные условия задачи.
Ряд теории возмущений строится путем итерирования интег-
интегрального уравнения (24.8). Чтобы получить первую итерацию,
запишем значение поля в точке г —г':
Рё (Рі'). - В«, (Рі')-kl I G (Рі', Рі") С‘ (Рі") Р° (Рі")d*r",
и подставим это выражение в правую часть (24.8). Это дает
Рё (Рі) _ РЅ0 (Рі) -kl\G (Рі, Рі>- (Рі') Рё, (Рі') dV +
+*J$G(r, r')e(r')dV jG(r', r")i(r")w(r")dV". (24.9)
Записав значение поля м(г) в точке г=г" и подставив его в
правую часть (24.9), получим вторую итерацию. Повторяя такую
операцию, мы и получим бесконечный ряд теории возмущений:
и (г) =и„ (г) -kl ] О (г, г>. (г') «0 (г') dV +
+ ki J J РЎ (Рі, Рі') G (Рі', Рі")Рµ (Рі') РІ (Рі") Рё0
>/-"dВ»r'"-f... (24.10)
В математике этот ряд называется рядом Неймана для интеграль-
интегрального уравнения (24.8), а в физике—борцовским разложением1).
Первый член борновского ряда (24.10) — первичное поле ы„(г).
Второе слагаемое,
«х (г) = -*J IG (г, г') в (г')«, (r')dV', (24.11)
') М. Борн впервые применил теорию возмущений в задаче о рас-
рассеянии в квантовой механике. Правда, задолго до М. Борна метод возму-
возмущений в сходной форме был применен Релссм при рассмотрении рассеяния
света на прозрачных телах. В оптике н теперь говорят о релеевском, а не о
борновском рассеянии света.
196 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН Ггл. IV
описывает однократно рассеянное поле. Оно порождено непосред-
непосредственно первичным полем ыо(г) и линейно относительно возму-
возмущений е(г). Третье слагаемое в (24.10) можно представить в
форме, аналогичной (24.11):
tt,(r) = -*sJG(r, r')i(r'K(r')dV. (24.12)
Это—двукратно рассеянное поле, порожденное уже не первичным,
а однократно рассеянным полем. Двукратно рассеянное поле в
свою очередь возбуждает трехкратно рассеянные волны us и т. д.
Таким образом, ряд теории возмущений (24.10) представляет со-
собой разложение рассеянного поля us — u—и„ по кратности рас-
рассеяния:
uss=u—ull = u1 + u2 + u,+ ... (24.I3)
�з самого способа построения этого ряда видно, что я-й его
член, описывающий л-кратное рассеяние, содержит под знаком
я-кратного интеграла произведение е(г1)...е(г„). Отсюда следует,
что для вычисления даже среднего значения поля «надо знать
для 8 моменты <s(rj).. .е(гп)> любого порядка. При произволь-
произвольной статистике е нахождение таких моментов само по себе пред-
представляет сложную задачу, но если даже она и разрешима (как,
например, в случае нормального распределения), то остается
еще огкрытым вопрос о методах суммирования усредненных рядов
теории возмущений. В общей постановке этот вопрос будет ос-
освещен в гл. VIII. Здесь же, как сказано, мы ограничимся более
простой задачей нахождения статистических характеристик поля
в приближении однократного рассеяния (так называемое первое
борцовское или, чаще, просто борновское приближение).
В этом приближении флуктуации е предполагаются настоль-
настолько малыми, что в разложении (24.13) можно ограничиться первым
членом их. С выражениями такого типа мы уже встречались в§ 12
при рассмотрении возбуждения полей случайными источниками.
В данном случае в качестве заданных источников q(t) выступает
правая часть уравнения (24.7) с «0 вместо и: <7(г)— —ftje (г) и0 (г).
Таким образом, в приближении однократного рассеяния задача
о распространении волн в случайно-неоднородных средах (задача
типа 2)) сводится к задаче типа 1)—возбуждению полей задан-
заданными случайными источниками..
Согласно (24.11) рассеянное поле ы^яаи, является линейным
функционалом от флуктуации е. Поэтому и все моменты поля и,
линейно же выражаются через моменты в того же порядка.
В частности, у однократно рассеянного поля а, среднее значение
равно нулю, поскольку <е(г)> = 0, а корреляционная функция
^я(г1» га) = <"i (ri) "i (га)> линейно выражается через функцию
J 25] СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ ]97
корреляции неоднородностей ^г(г', '")'¦
РіС…, Рі,) = Р›*. Р� G (fi- Рі')РЎ* <Рі*-
Xi|'e(r', r*)dV'dV. (24.14)
Выражение (24.14) и аналогичные квадратуры для высших
моментов рассеянного поля и1 в принципе дают полное статисти-
статистическое решение задачи в рассматриваемом борновском прибли-
приближении. Однако этот математический результат еще нуждается
d физическом истолковании.
§ 25. Средняя интенсивность рассеянного поля
Для того чтобы лучше уяснить основные закономерности рас-
рассеяния, сделаем ряд допущений, которые упрощают анализ, но
вместе с тем сохраняют общность, достаточную для многих при-
приложений теории. Допущения сводятся к следующему.
а) Среда в среднем однородна, т. е. « — const.
б) Первичное поле и» (г) представлиет собой ненаправленную
сферическую волну с центром в точке г0:
где ft—волновое- число в однородной среде: k — koy e = — |/ в .
в) Функция Грина G(r, г') описывает ноле точечного источника
в неограниченной однородной среде:
О— -^
г) Поле флуктуации е статистически квазиодно род но, т. с.
корреляционная функция е имеет вид (§ 5)
if, (p, R), (25.3)
где p— r'—г", R —(r'+r")/2 и зависимость фе (p, R) от R «мед-
«медленна», т. е. масштаб Lt изменения if,, по аргументу R сущест-
существенно больше, чем характерный масштаб 1Е (радиус корреля-
корреляции е) по разностному аргументу р. Спектральная плотность
таких флуктуации, определяемая выражением
р, R)exp(— ixp)d3p, (25.4)
— медленная функция R, т. е. она мало меняется на рассто-
расстояниях порядка I, .
д) Наконец, будем считать, что случайные неоднородности
заполняют ограниченный объем К и в этом объеме содержится
|9Я ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я НОЛ� [ГЛ. IV
много неоднородностей. Последнее условие можно записать в виде
неравенства
V~/,»>/!, или L~W'^>U, (25.5)
где L — поперечный размер области, занятой неоднородностями.
Предположение о конечности рассеивающего объема необходимо
для обеспечения малости однократно рассеянного поля, тогда
как неравенство (25.5) принято лишь дли упрощения расчете».
Конечность рассеивающего объема удобно учитывать при по-
помощи обрезающей функции
( 1 внутри V,
Рњ(Рі)^{ . ,, (25.6)
(Рћ РІРЅРµ V.
Введя ее под знак интеграла в (24.11), можно распространить
интегрирование на все пространство. Для первичной сферической
волны (25.1) и функции Грина свободного пространства (25.2)
однократно рассеянное поле (24.11) запишется в виде
Б дальнейшем мы обратимся к некоторым более общим по-
постановкам задачи (учет временных изменений е, расчет поляри-
поляризационных характеристик электромагнитного поля и др.). Вместе
с тем мы будем иногда вводить частные допущения (плоская
первичная волна, статистически однородные флуктуации и т. д.).
Здесь же, исходя из (25.7), мы получим выражения для функции
корреляции и, в частности, для средней интенсивности рассеян-
рассеянного [ШЛЯ.
Согласно (25.7) пространственная функция корреляции поля
равна
у е*Р('»(|Г|-г'| -|г2-г"|-|г'-го|-|г*-го!)} ,.,,,,„ ,„,- о.
От выражения (24.14) эта формула отличается только тем, что
в ней конкретизированы вид первичного поля и вид функции
Грина.
Перейдем в (25.8) к переменным интегрирования р —г' —г",
R = (r' + r")/2, откуда г'--R + p/2, r" = R — р/2, причем d3r'd3r" =
=tf>p d'R.
26] СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ
Формула (25.8) принимает вид
|99
(25.9)
РіРґРµ
(25.10)
Все последующие упрощения формулы (25.9) основаны на том,
что функция корреляции неоднородной среды if>e (p, R) стано-
становится при р^> U очень малой. Мы можем поэтому воспользоваться
разложением модуля вектора (г—р| в ряд Тейлора по степеням
малого отношения р/г:
^ ^), (25.11)
где п = г/г, а рх — перпендикулярная к п составляющая век-
вектора р: р^ = р—п(пр).
Применим разложение (25.11) к каждому из слагаемых, вхо-
входящих в Т, и V,. Для Tj получаем
Здесь
(25.12)
s = |r,-R|-|r.-R| (25.13)
— разность хода от «точки рассеяния» R1) до точек наблюде-
наблюдения Tj и г3; пм и п„—единичные векторы, направленные на
точки rt и г2 (рис. 23):
а рХ1 и р1а—перпендикулярные к nsl и nJ2 составляющие век-
вектора р.
') Точнее, от «центра тяжести», т. е. от точки, лежащей посередине между
точками рассеяния г' и г", раздвинутыми на чалое расстояние fi^lB .
200
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
[Гл. IV
Выясним условия, при которых в (25.12) можно пренебречь
квадратичными и кубичными по р членами. Фактическая область
Р РёСЃ. 23.
интегрирования по р выделена неравенством р^/е- Требуя ма-
малости квадратичных членов в (25.12) по сравнению с я при
р ~ 1е, получаем неравенство
, <СЏ, (25.15)
которое заведомо будет выполнено, если оно справедливо для
каждого из слагаемых:
Смысл же последних неравенств заключается в том, что точки
наблюдения г, и г2 должны находиться во фраунгоферовой зоне
по отношению к неоднородностям размера U '¦
|r,,2—R|>-^~-y-. (25.16)
Ясно, однако, что неравенство (25.16) следует рассматривать как
достаточное условие пренебрежения высшими степенями р, по-
поскольку в (25.15) входит разность двух примерно одинаковых
по величине, слагаемых. Если точки наблюдения совмещены
(г1 = гг), то левая часть (25.15) обращается в нуль и квадратич-
квадратичные члены в разложении (25.12) просто отсутствуют. Вместо
(25.15) следует потребовать в этом случае малости (по сравнению
с я) уже не квадратичных, а кубичных членов:
Это неравенство налагает на расстояния |r,i2 — R | ограничение
(25.17)
$ 25! СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ 201
В случае крупных иеоднородностей (lt^>X) условие (25.17) зна-
значительно слабее условия (25.16), согласно которому точки наб-
наблюдения должны находиться во фраунгоферовой зоне отдельной
неоднородности (размер ~ 1г). Напротив, при /е < А неравен-
неравенство (25.17) сильнее условия (25.16). Для неодиородностей, раз-
размеры которых сравнимы с длиной волны, оба условия (25.16)
и (25.17) равносильны.
Что касается слагаемого Ч^, то разложение этой величины
содержит только нечетные степени р. Поэтому при выполнении
аналогичного (25.17) условия
IR—го|ЖЛ7?:, (25.18)
позволяющего отбросить кубичные члены разложения, имеем
РіРґРµ
— единичный вектор в направлении распространения первичной
волны в точке R (рис. 23). В результате
,В»* [s-V2(ntl + nj СЂ j n,p] . (2520)
В знаменателе подынтегрального выражения (259) и в про-
произведении /� (R | р/2)М (R —р/2) мы просто пренебрежем р. Для
такого упрощения знаменателя достаточно, чтобы обе точки наблю-
наблюдения г, и Г| и точка излучения г0 отстояли от точки рассея-
рассеяния R не меньше, чем на /„ . Замена же произведенияМ(Я-\гр/2)х
XM(R — р/2) на M^R) или, что то же, на М (R) пригодна во
всем объеме V, за исключением приграничного слоя толщины
порядка /в . Совершаемая при этой замене относительная ошибка —
порядка отношения объема пограничного слоя L4S к полному
объему V~L*, т. е. порядка U;L<^.\ (см. (25.5)).
При сделанных допущениях формула (25.9) принимает вид
— да
где введено обозначение
Q (R) = * { V, [¦„ (Ю+п„ (R)] -n,. (R) J . (25.22)
Согласно (25.4) интеграл по р можно выразить через спект-
спектральную плотность квазиоднородных флуктуации:
ее
I 1|>, (p, R) exp (-»Qp) d°p = 8л>Фе (Q, R), (25.23)
202 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ПОЛ� [ГЛ. IV
так что окончательно получаем
Анализ этой функции корреляции мы отложим до § 27, а здесь
рассмотрим только пространственное распределение средней ин-
интенсивности
РњРі) = <|Рє1(Рі)|Рі>-Р§>.0-, Рі). (25.25)
При совмещении точек наблюдения (^ -г? — г, так 4tos = 0)
вектор Q (25.22) переходит в так называемый вектор рассеяния
(25.26)
В результате средняя интенсивность будет
Как видно отсюда, волны, рассеянные отдельными элементами
объема d*R, складываются некогерентно, т. е. складываются их
интенсивности: выражение под интегралом (конечно, вместе с ко-
коэффициентом, вынесенным в (25.27) из-под интеграла) представ-
представляет собой среднюю интенсивность dl1 поля, рассеянного элемен-
элементом объема d'R.
Формулу (25.27), выведенную для сферической' первичной
волны (25.1), нетрудно распространить на волны другой формы.
Величина /0 (R) = | А |'/| R—г01!—это интенсивность сферической
волны в точке R. Записав (25.27) в виде
****, (25.28)
мы получаем выражение, справедливое для любого первичного
ноля, если его структура в пределах одной неоднородности раз-
размера /с практически не отличается от структуры сферической
волны. Последнее означает, что в пределах отдельной неоднород-
неоднородности амплитуду поля и радиус кривизны RKf волнового фронта
можно считать постоянными, причем радиус RKt должен удов-
летворять еще неравенствам вида (25.18), т. е. R^^VWT.
Таким образом, мы можем применить выражение (25.28) и к
плоской первичной волне
и[--А<1е""ЧТ. (25.29)
В§25]
СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ
203
для которой /„ — l/lol2^ coast (в отличие от (25.19), единичный
вектор п;, указывающий направление распространения первкч-
ной волны, здесь постоянен во всем пространстве), и к направ-
направленной сферической волне
В»/-^/.(n.)g|r_r<| (25.30)
(/o(nf)—диаграмма направленности излучателя), для которой
Наиболее существенная особенность формул (25.27) и (25.28)
заключается в том, что они отражают селективный характер
рассеяния. Пусть 6 — угол между волновыми векторами падаю-
падающей (к,-) и рассеянной (V.s) волн, называемый углом рассеяния.
Очевидно,
q-^k\ns—n;| = 2/jsinVj9. (25.32)
Этому значению q отвечает пространственная гарйоника возму-
возмущений е1чг с длиной волны
(25.33)
а направление нормали к фронту параллельно лектору q, т. е.
параллельно (п, —п,-) (рис. 24). Следовательно, равенство (25.33) —
это условие Вульфа—Брегга, опреде-
определяющее пространственный период той
гармоники, на которой волна дифра-
дифрагирует под углом 0.
Разумеется, пространственный
спектр флуктуации я (г) содержит
бесконечный набор таких гармоник
(объемных «дифракционных реше-
решеток») со всевозможными периодами
и ориентациями. Селективность рас-
рассеяния заключается в том, что в
заданном направлении п, дают вклад
волны, рассеянные лишь на выде-
выделенной решетке—с пространствен-
пространственным периодом (25.33) и с ориентацией
ражения (в точке R) первичной волны из точки
�нтенсивность этой гармоники пропорциональна спектральной
плотности Фе (q), которая и фигурирует в (25.27) и (25.28).
Р РёСЃ. 24.
отвечающей закону от-
г„ а точку г.
204 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛ� [ГЛ. IV
При обратном рассеянии, когда ks — — к,, так что вектор
рассеяния равеЕ! q - —2k,, a 9 —я, рассеяние обусловлено гар-
мон нкой с периодом А, = \;2, т. с. г. периодом, равным половине дли-
длины волны падающего излучения. Обратное рассеяние наблюдают
в очень многих случаях, например в радио- и гидролокации, когда
источник и приемник излучения расположены в одной точке.
Рассеяние под произвольным
углом часто используется в
оптике при изучении неодно-
родностей в прозрачных ма-
материалах.
При уменьшении угла
рассеяния 9 период Л? уве-
увеличивается. Значения Aq и
X равны друг другу при
9^= л/3. При дальнейшем
уменьшении 9 пространст-
пространственный период рассеивающей
решетки Л, превышает ). и
Рис. 25. для рассеяния вперед (9—»0)
величина q обращается в
нуль, а Лч—в бесконечность. Это означает, что рассеяние впе-
вперед обусловлено наиболее крупными объемными возмущениями
с пространственными масштабами Л?^>Я.
Формула (25.28) упрощается для столь малого рассеивающего
объема, что в его пределах величины 0e(q, R), /0(R) и I/|r—R|a
практически постоянны. Вынося их из-под знака интеграла со
значениями, соответствующими, скажем, центру О рассеивающего
объема (R — 0), получаем
* '^РЈ^РЈ Сѓ. (25.34)
Здесь q0 — q (()) —ft (п,„ —п/0)—вектор рассеяния, отвечающий
центру рассеивающего объема, a nst=r/r и п,^-—го/г0—единич-
п,^-—го/г0—единичные векторы, направленные из О (рис. 25).
Замена множителя 1/|г—R |* на 1 /г' возможна при очевидном
условии, что точка наблюдения удалена на расстояние, значи-
значительно превышающее поперечный размер L рассеивающего объема:
(25.35)
Если падающая волна сферическая, то переход от точного выра-
выражения для интенсивности /0 (R) = \ А |*/| R—г01" к приближенному
значению /„ (0) = | A |VS требует выполнения такого же неравен-
неравенства и для расстояния до источника: г,^>1.
Что касается замены Фс (q, R) постоянным значениемФ8 (q0,0),
то для этого необходима, во-первых, статистическая однородность
f 25] СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ 205
флуктуации в пределах V (масштаб /.е должен быть больше попе-
поперечника L) и, во-вторых, малость изменения (в пределах объема V)
вектора q по сравнению с характерным масштабом изменения
спектра Фе (q, 0), равным 1/1е:
(25.36)
По порядку величины Aq ~ kAn, или k Дя, (Ans и Дп,— вариации
направлений падающей и рассеянных волн в пределах V). Оче-
Очевидно, Дя4 ~ JL/r, так что неравенство (25.36) сводится к условию
LU/l. (25.37)
Поскольку ограничения для расстояния г0 до источника сфери-
сферической волны формулируются аналогичным образом, мы будем
далее говорить только о неравенствах, относящихся к расстоя-
расстоянию г до точки наблюдения.
В случае мелкомасштабных неоднородностей (/е <^ А.) из двух
неравенств (25.35) и (25.37) более жестким, очевидно, является
первое, тогда как для крупномасштабных неоднородностей(1е^>Х)
минимальное расстояние до точки наблюдения ограничено уело-,,
вием (25.37). Обозначив через rmin меньшщо^из величин L и LIJX, /
можно записать оба неравенства/(23^5Т и (25.37) в виде
г>rrain -=ЗД L, ЫЛ). (25.38)
Обычно упрощенное выражение (25.34) выводят в предполо-
предположении, что точка наблюдения находится во фраунгоферовой зоне
всего объема V. Для этого в выражении (25.7) (или в аналогич-
аналогичном ему выражении для плоской первичной волны) разлагают
модуль разности |г—г'| в ряд по степеням г' и пренебрегают
квадратичным слагаемым kr\/2r непосредственно в функции
Грина (25.2). Это и приводит к фраунгоферову приближению
f e-^M(t')l(r')dHl. (25.39)
Выражение для средней интенсивности, вычисляемое при помощи
(25.39), значительно проще, чем в общем случае, а именно сов-
совпадает с (25.34). Однако условие
или
которое необходимо для фраунгоферова приближения (25.39), го-
гораздо жестче, чем условие (25.38), достаточное для применимо-
применимости (25.34).
Во многих прикладных задачах измеряется не само рассеян-
рассеянное иоле «Лг), а сигнал на выходе приемной антенны. Если
206 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
центр приемной апертуры расположен в точке г, то выходной
сигнал а представляет собой поле и, (г + р), проинтегрированное
по апертуре 2 с весовой функцией Ь(р), которая описывает
распределение тока в антенне в передающем режиме:
v^ui(T)^\ В«I(r+p)6(p)*p. (25.41)
Рє
�нтегрирование по апертуре (волнистая черта), разумеется, не
равносильно статистическому усреднению.
Подставим в (25.41) рассеянное поле (25.7), не конкретизируя
пока вида первичной волны uo(r):
Величину [г(-р—г'| разложим в ряд Тейлора но р:
r'| = |r-r'| + ni» i 91гХ_„№-ШЧЛ-'.., (25.43)
где n,s /_^|-—единичный вектор, направленный из точки рас-
рассеяния г' в центр приемной апертуры г (рис. 26).
Пусть d—наибольший размер приемной антенны, так что
в пределах ее апертуры i>*id, и пусть выполнено условие
ftd!<§|r—г'| (точка г' лежит во фраун-
гоферопой ^оне антенны, где уже сфор-
сформировалась диаграмма направленности).
Тогда в показателе экспоненты в (25.42)
можно ограничиться двумя первыми чле-
членами разложения (25.43), а в знаменателе
^П. подынтегрального выражения — первым
членом этого разложения. Выполнив ин-
интегрирование по р, находим
в„ў-Р° M(r'KCTe(r'HV',
(25.44)
РіРґРµ
Р РёСЃ 20. Mn,-)-$&(p)exp(iftn;p)<IВ«p (25.45)
— диаграмма направленности приемной антенны. Максимальное
значение |/, (п,)| удобно нормировать к единице. Если весовая
функция Ь(р) симметрична относительно центра р = 0, то макси-
максимум |/, (nj)| достигается при njp = O, т. с. при ориентации век-
вектора п| по нормали к плоскости антенны.
i 25] 1
СРЕДНЯЯ �НТЕНС�ВНОСТЬ
207
От исходной формулы (25.7) выражение (25.44) отличается
тем, что под интегралом появился диаграммный множитель /t (n,).
При малых по сравнению с длиной волны размерах приемной
антенны (ftd<^l) этот множитель не зависит от направления п'„
и мы возвращаемся тогда к формуле (25.7).
Взяв в качестве первичной направленную сферическую волну
(25.30), получаем для v выражение
•W (О
I* (|Рі-Рі |
r-rMlr'-r I
которое, если ввести обозначение
4Р»
-РіРѕ I
можно записать в виде
и = \ 5> (г') е1'*«'-»'1^-1 •'-'• 1)Ё (г') d»r'.
''• (2546>
(25.47)
(25.48)
Заметим, что в рассматриваемом случае, когда излучение и
прием осуществляются направленными антеннами, область инте-
интегрирования в (25.46) или
(25.48) остается конечной и
тогда, когда неоднородности
8 (г) заполняют все простран-
пространство, т. е. М (г') всюду равно
единице. Специальное огра-
ограничение величины занятого
неоднородностями объема
теперь излишне, так как про-
произведение диаграммных мно-
множителей спадает практичес-
практически до нуля вне области пе-
пересечения центральных
(главных) лепестков обеих
диаграмм (рис. 27).
Располагая выражением (25.46), нетрудно^ычислнть среднюю
интенсивность сигнала на выходе антенны /„«з<|о'|>. В отли-
отличие от (25.27), под знак интеграла теперь войдет множитель
1/(/Р«
Р РёСЃ. 27.
(25.49)
208 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
При использовании остронаправленных передающих и прием-
приемных антенн интенсивность рассеянного поля удобно характери-
характеризовать величиной эффективного рассеивающего объема. Обозначим
через q0 вектор рассеяния fe(nI0—п,,),- отвечающий точке пере-
пересечения максимумов диаграмм направленности, которую естест-
естественно принять за начало координат, и запишем (25.49) в форме,
аналогичной выражению (25.34) (/, = | А \Чг1):
» iP '•**•¦ (га.м)
Множитель
[;t]'eM<<'J?' (25-51)
определенный из сравнения (25.49) с (25.34), и представляет
собой эффективный рассеивающий объем.
Величина К,^, как следует из (25.51), зависит от многих
факторов: от расстояний до источника и приемника, от формы
диаграмм направленности антенн и от вида спектра Фе(ч, R)-
При использовании остронаправленных антенн, если область
пересечения диаграмм целиком лежит в рассеивающем объеме,
величины M(R) и rrj\R—г,||г—R| можно с хорошим прибли-
приближением принять равными единице, и тогда
У** = j I /. ("/) /. ("Л I1 §Й^*«. (25.52)
— 00
Эта формула часто используется при расчетах интенсивности
радиоволн, рассеянных в тропосфере и нижней ионосфере [1J.
§ 26. Эффективный поперечник рассеяния.
Границы применимости приближения
однократного рассеяния
Для скалярного монохроматического поля и (г), удовлетво-
удовлетворяющего уравнению Гельмгольца (24.1), в случае прозрачной
среды, т.е. вещественной проницаемости е (г), выполняется соот-
соотношение
и'Аи—и&и' — О, или div(u*v«—uV«*) —0, (26.1)
которое вытекает непосредственно из (24.1). �з (26.1) следует,
что величину
")• (26-2)
I 26] ЭФФЕКТ�ВНЫЙ ПОПЕРЕЧН�К РАССЕЯН�Я 209
удовлетворяющую в прозрачной среде закону сохранения
0, (26.3)
можно при подходящем выборе нормировочного множителя а
интерпретировать как плотность потока энергии*).
Найдем среднюю плотность потока энергии однократно рас-
рассеянного поля
Дифференцируя выражение (25.7), получаем
;SCV'l d'r'-
(26.5)
Единичный вектор nis=(r—г')/|г—г'|, направленный из точки
рассеяния г' в точку наблюдения г, можно при помощи разло-
разложения (25.11) преобразовать к виду
^ ^^i'(') (26.6)
где по-прежнему ni0 = r/r. Принимая, что точка наблюдения г
достаточно далека от рассеивающей области (г ^> L), имеем
|гх|«^г и п^явп,,,. Кроме того, при r^>L заведомо выполнено
неравенство к^>\т—г'|"». В результате выражение (26.5) сильно
упрощается:
РўВ«! (Рі) В« ifensou, (r),
а формула (26.4) дает
^IВ«anJO<|В«1|4> = anj0/I. (26.7)
Зная #v нетрудно найти эффективный поперечник (сечение)
рассеяния о единичного объема в единичный телесный угол в на-
направлении nsz).
По определению
J) Для звуковых волн, если а—потенциал скорости, множитель « равен
(ка'/2с (р—плотность жидкости, с—скорость звука), а для электромагнитных
полей а—с/Яя, где е — скорость электромагнитной волны, если под и пони-
понимать напряженность электрического поля.
*) Для эффективного поперечинка рассеяния часто используется сокраще-
сокращение ЭПР.
210
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССНЯН�Я ВОЛН
[ГЛ. IV
где dPl—средняя мощность, рассеиваемая в телесный угол do
в направлении пг, V—рассеивающий объем, а \^„\—модуль плот-
плотности потока энергии в первичной волне. Через в и <р обозна-
обозначены полярный и азимутальный углы, отвечающие направлению
Рї, (СЂРёСЃ. 28).
Мощность йРг равна
dPl = \&1\rtdo=aIlr*do, (26.9)
или, поскольку при выполнении условия (25.38) средняя интен-
интенсивность /j дается выражением (25.34),
(26.10)
Плотность же потока энергии в первичной волне, будь то пло-
плоская, сферическая или направленная сферическая волна, сог-
согласно (26.2), равна (по модулю)
'"), так что (26.8) дает
Рѕ(6, <СЂ)-='
). (26.11)
J3§ В соответствии со свойствами
преобразования Фурье пространст-
пространственный спектр (25.23) практически
не зависит от q, если корреляцион-
корреляционная функция i|>e(p) отличается от
нуля только в малой области (>»S lt<^X.
В этом случае мелкомасштабных не-
однородностей рассеяние изотропно:
Рѕ (РІ, <p)ttconsi^ll,nk'oG>t(Q)- (26.12)
Р РёСЃ/ 28.
Напротив, в случае крупномасштабных неоднородностей (е^)
спектральная плотность Фе(д) быстро уменьшается с ростом q,
т. е. с ростом угла рассеяния 8, что отвечает преимущественному
рассеянию вперед. Сектор углов 9, в котором сосредоточено излу-
излучение, можно оценить из условия gU^\ или6^1/Мв. Ниже мы
проиллюстрируем эти особенности рассеяния несколькими при-
примерами.
Величину (26.8) называют также дифференциальным сечением
рассеяния—в отличие от полного поперечника рассеяния
о„^^а(9, <p)do^VajiA;/0)s(q)*'. (26.13)
который представляет собой отношение средней полной рассеян-
рассеянной мощности Pl = rJ <j> ^i do к плотности потока энергии в
5 26] ЭФФККТ�ВНЫЯ ПОПЕРЕЧН�К РАССЕЯН�Я 211
первичной волне в расчете на единицу объема:
pt 9 |. 1 ^ (26.14)
Как а, так и а, имеют размерность обратной длины, сечение же
рассеяния всего объема V, равное aV, измеряется в единицах
площади.
Согласно (26.8) и (26.9) для средней плотности потока рас-
рассеянной энергии (?! и для средней интенсивности Ii имеем
<*\-7?Ko|Va(e, ,(>), Р›=-^/,РЈРѕ(РІ, Р¤). (26.15)
В оптике а (0, ф) обычно называют индикатрисой, рассеяния,
причем чаще всего имеется в виду величина /(9, ф) — значение
о(в, ф), отнесенное либо к максимальному значению поперечника
вт,х, либо к полному сечению сг0:
/(РІ, Р¤)В«^. (26.16)
Полный поперечник рассеяния о0 непосредственно связан
с ослаблением перничной волны за счет рассеяния (так называе-
называемой зкетинкции). Представим себе малый цилиндр с осью вдоль
волнового вектора первичной волны k,=fen/. Объем цилиндра
равен dV — dza"S., где dS—площадь поперечного сечения цилин-
цилиндра, a dz—его длина. Мощность, приносимая первичной волной
на передний торец цилиндра, равна Р = С<$"01 dS, а на заднем торце
она изменена до значения P-\-dP, где dP = — dPlt a dPv -мощ-
-мощность, рассеянная объемом dV, равная, согласно (26.14),
Potdz. (26.17)
Следовательно,
т.е. мощность первичной волны уменьшается по экспоненциаль-
экспоненциальному закону Р -~- е'"'г. По такому же закону уменьшается и
плотность потока энергии:
|^0|~е-»«г. (26.18)
Ослабление в с раз происходит на пути dB= 1/а0, который назы-
называется длиной экстинкции (а0 называют также коэффициентом
зкетинкции). Произведение x — aaz, где г—путь, пройденный
волной в рассеивающей среде, называют оптической толщиной
(¦*= 1 на пути z = da).
212 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН ГГЛ. IV
Теория однократного рассеяния строится в предположении,
что амплитуда первичной волны иа, а. стало быть, и плотность
потока энергии <У0 практически постоянны в пределах рассеи-
рассеивающего объема. Согласно (26.18) это справедливо, если оптиче-
оптическая толщина, отвечающая размерам рассеивающего объема
L~V113, мала по сравнению с единицей:
(26.19)
Условие (26.19) можно записать и в форме
(26.20)
т. е. полное сечение рассеяния всего объема 20^o0V должно
быть мало по сравнению с площадью порядка V, вырезаемой
объемом V из фронта первичной волны.
Приведем несколько примеров вычисления поперечника рас-
рассеяния а (9, ф).
1. Неоднородности с изотропной гауссовой
корреляционной функцией:
Ыг) = °1е-"'2'1- (26.21)
Пространственная спектральная плотность флуктуации в рассмат-
рассматриваемом случае равна (см. (3.12))
ф«(<?)=Sirехр (~
так что для эффективного поперечника рассеяния единичного
объема по формуле (26.11) находим
Р° (РІ) - -^^В¦exp[-2ftВ»/isln1(V,e)]. (26.23)
Полный поперечник рассеяния а0 вычисляется интегрированием
(i(6) по единичной сфере (do — smOdQdip) и равен
Р›_Рµ-=Рљ). (26.24)
Условие (26.19) применимости приближения однократного
рассеяния принимает в случае (26.21) вид (для простоты пола-
полагаем 7=1, так что k = ka)
(25.25)
Vell—exp(—2*0J,)J
Это условие ограничивает величину произведения дисперсии
I 26]
ЭФФЕКТ�ВНЫЙ ПОПЕРЕЧН�К РАССЕЯН�Я
213
флуктуации о\ на kaL. С ростом дисперсии а\ или с увеличением
L неравенство (26.25) рано или поздно нарушается. Функция
г^.—
при /го/с —>0 растет, как |/ — (kje)-', а при
В§r (
убывает, как 2 |/ 2/л?0/е. Следовательно, чем больше радиус кор-
корреляции /„, тем жестче ограничена величина oik0L. Поэтому рас-
рассеяние на крупных неоднородностях описывается борновским
приближением лишь на сравнительно малых дистанциях. Увели-
чение же L требует учета многократного
рассеяния. Соответствующие методы будут
рассмотрены в гл. V—VII.
Р РёСЃ. 29.
2. Обратное рассеяние на анизотропных (анизо-
мерных) флуктуациях с гауссовой корреляцион-
корреляционной функцией:
фе (г) =
РЈ. 2)-
^) . (26.26)
Спектральная плотность таких флуктуации дается выражением
(3.1$). Будем считать, что Ь > а, т. е. что большая ось эллипсо-
эллипсоидальных неодноролностеи направлена по оси г.
Пусть волновой вектор первичной волны к,- лежит в плоско-
плоскости \х, г) и составляет угол ty с осью х (рис. 29), так что
k( = (fecosi|), 0, fesinif). При обратном рассеянии q — —2k, и,
следовательно,
=4*4.Фе(-2к,.) =
ехр [— 2k' (a* cos»if +b* sin* if)]. (26.27)
214 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
Рассмотрим записимость сечения обратного рассеяния aa6v от
угла i|:, который иногда называют ракурсным углом. При т|> = 0
(так называемое «ракурсное условие») волновой вектор первич-
первичной волны к/ перпендикулярен к большой оси неоднородностей.
�ндикатриса рассеяния выражается формулой
/ <В¦) - gjg = exp <-2*В» (ft'-a*) sinВ»*}. (26.28)
Она имеет максимум при $ =0 (рис. 30) и минимум при if = ± я/2
(к,- параллелен большой оси неоднородностей).
Этот scjKJieKT (так называемой ракурсной чувствительности)
особенно отчетливо выражен при сильно вытянутых неоднород-
ноотях, когда kVb2—aa^> 1. В этом случае индикатрису (26.28)
можно аппроксимировать выражением
2ft2(6»—аа)т|за}, (26.29)
т. е. узкой гауссовой кривой с шириной
Ai|i~l/fc/16i^a5<^l. (26.30)
3. Рассеяние на турбулентных флуктуациях
в атмосфере. В инерционном интервале волновых чисел
2n/L0<^сq<^2л//0, соответствующем колмогоровскому закону 2/3
{§ 4), спектральная плотность турбулентных флуктуации описы-
описывается степенным законом
Фв (?) = ЛС| </-"/•, „7-0,033. (26.31)
Для такого спектра поперечник рассеяния единицы объема в еди-
единичный телесный угол равен (полагаем е=1)
а (в) = 2-Ч'пЛС\К'и (sin V2e)-"/. = 0,016с"*'/' (sin4fi)~"''- (26.32)
Полный поперечник рассеяния оказывается в этом случае
бесконечным, так как интеграл
расходится при малых углах рассеяния 8. Объясняется »то тем,
что выражение для спектральной плотности (26.31), отвечающей
инерционному интервалу 2n/La<^q<^.2n/lt, непригодно при малых
значениях q — 2ft sin J/36. Расчет полного сечения рассеяния для
другой модели спектра (4.20), принимающего при q~*0 конеч-
конечные значения, приведен в задаче 2.
% 27] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦ�Я 215
§ 27. Пространственная корреляция
и вероятностные распределения рассеянного поля
Возвращаясь к выражению (25.24) для функции простран-
пространственной корреляции рассеянного поля, обратим внимание на
сходство этой формулы с формулой (12.20), которая описывает
пространственную корреляцию поля системы независимых излу-
излучателей. В обеих формулах зависимость от координат точек на-
наблюдения rt и г, входит через один и тот же подынтегральный
множитель схр (iks)/\ гх—R | |г,— R |, где
s = |r1-R|-|ra-R|. (27.1)
Это не случайное совпадении. Как уже было отмечено (§ 24),
нахождение однократно рассеянного поля — задача, относящаяся
к схеме 2), т. е. к распространению волн в случайно-неоднород-
случайно-неоднородной среде, фактически сводится к задаче типа 1), к возбужде-
возбуждению полей заданными случайными источниками. Согласно (24.11)
эти источники непрерывно распределены по объему V. Однако,
в силу конечности радиуса корреляции 1е неоднородностей е, не-
непрерывное распределение источников равносильно конечному
числу (порядка vfl\) дискретных некоррелированных источников.
�менно в этом и лежит причина сходства формул (25.24) и (12.20).
Опираясь на это сходство, можно сделать ряд качественных
и количественных заключений о характере пространственной
корреляции рассеянного поля. Так, можно утверждать, что вну-
внутри рассеивающего объема, а также вблизи него (т. е. пркг^Ц
радиус корреляции поля 1и порядка длины волны X, если неод-
неоднородности мелкие {1е<^Х), и порядка 1е, если l^X. Оба утверж-
утверждения вытекают из оценки
1Р›~Рљ'РЈ. (27.2)
где у—видимый угловой размер области, занятой источниками.
В самом деле, в случае мелкомасштабных неодиородностей,
которые рассеивают изотропно, угол у сравним с я, так что
1п ~ Х/п '¦"А,. Крупномасштабные же неоднородности имеют_хзкую
индикатрису (у~Х/1е), ширина которой определяет эффективный
угловой размер области, занятой источниками. В результате
здесь *,~ A,/v~J«.
По мере удаления от рассеивающего объема происходит неко-
некоторое упорядочение поля, что выражается в увеличении масшта-
масштабов пространственной корреляции. При r^>L угловой размер
рассеивающего объема у становится величиной порядка L/r<^. 1,
и в результате поперечный (по отношению к направлению рас-
рассеяния п,) радиус корреляции превышает длину волны в r/L раз:
/Р». - Xr/L. (27.3)
216 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН |ГЛ. IV
При приближении к началу фраунгоферовой зоны, r~W.', по-
поперечный радиус корреляции увеличивается до диаметра рас-
рассеивающего объема, /х~?, а при r^>kL* превышает L.
Что касается продольного радиуса корреляции 1„, то его
можно оценить по формулам задачи 13 к гл. II: в пределах ближней
зоны рассеивающего объема (r<^.kL')
'В¦-?-? {r <kU), (27.4)
но, начиная с расстояний r~kL}, корреляция простирается до
бесконечности:
. (27.5)
Сказанное можно частично проиллюстрировать на примере
пространственной функции корреляции (25.24) при условиях,
что точки наблюдения находятся в зоне Фраунгофера, r^>kL2,
а рассеивающий объем заполнен статистически однородными
флуктуациями. При этих предположениях можно заменить ks
приближенным значением
kszzkr,— kr.z f fcAn^R, (27.6)
гдеДп, —л„—п„ — r-Jr1—rtirl, и вынести за знак интеграла
в (25.9) вес множители, кроме Af(R) и eihlui>*:
*.(«-!. г,) = кк°\А'* ®*Щ±е1к c»-f.) f M(R)etk*«>*d>>JR. (27.7)
- В»
Мы заменили здес!> произведение |г, — R j [ra — R | на г' ¦= (Tx+tJW,
сделав дополнительное предположение о малости расстояния
между точками наблюдения |г,—гг| по сравнению с расстоя
нием г от центра рассеивающего объема до «центра тяжести»
точек наблюдения.
�нтеграл п (27.7) представляет собой дельтообразную функ-
функцию. Если ввести обозначение
(27.8)
00
то формула (27.7) примет вид
fkir'-r^*ns). (27.9)
Функция 6V (>t) равна V,'8n' при х —0 и, в соответствии со свой-
свойствами преобразования Фурье, спадает до малых значений при
X2;2n/L, где L — поперечник объема V. При V—> оо она перехо-
переходит в б (и).
$ 27] ПРОСТРЛ�СТВЕН.НАЯ КОРРЕЛЯЦ�Я 217
Разделив корреляционную функцию (27.9) на среднюю интен-
интенсивность (25.34), получаем коэффициент корреляции
*.(г„ г.)- «-^ =^y^!ar(fcAB,)- (27.Ю)
l'(r)/(f)
Поскольку 6v(kAnt) заметно отличается от нуля только при
fe| Aiij|sg2jt/L, значения рассеянного поля в точках г, и г, ста-
становятся некоррелированными при An,^;2n/kL — kfL.
Величина |Дп,| приблизительно равна углу Д9 между единич-
единичными векторами nsl и ns. (рис. 23), так что полученная оценка
определяет «угол корреляции»
Р”9Рљ~^-. (27.11)
Но вместе с тем А0к ~ li_/r, так что для поперечного радиуса
корреляции из (27.11) следует прежняя оценка (27.3).
Что касается продольной корреляции, то при расположении
точек наблюдения на одной прямой, когда Дп,=0, коэффициент
корреляции дается выражением
т. е. равен по модулю единице при любых г, и г2, лежащих
в дальней зоне. Это означает, в согласии с (27.5), что для
амплитуды рассеянного поля i41^|uI| продольный радиус кор-
корреляции бесконечен, („— оо, а разность фаз полей в точках г,
и га, лежащих на одной прямой, равна разности оптических
путей k{rl — r2).
Обратим внимание на то, что в формулу (27.10) входят только
геометрические параметры задачи г и /., а также длина волны
первичного поля К, но не входят статистические характеристики
флуктуации ё. Это говорит о том, что корреляционные харак-
характеристики рассеянного моля вытекают из чисто динамических
соображений и лишь косвенно связаны со статистическим опи-
описанием.
Действительно, синусоидальная дифракционная решетка ко-
конечной длины /. и с периодом А, дает и направлении 9 (см.
(25.33)) волновой пучок конечной угловой ширины Д0~ЛД..
Поскольку в спектре флуктуации представлены различные про-
пространственные гармоники, рассеяние на данный угол обусловлено
не только той объемной решеткой, которая точно удовлетворяет
условию Вульфа — Брегга (25.33), но и близкими по размерам
и ориентацням решетками, для которых рассматриваемое направ-
направление лежит в пределах главных дифракционных максимумов
ширины Д9 ~ а//.. Таким образом, пока угловое расстояние между
точками наблюдения меньше AB~X/L, рассеяние обусловлено
218 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
вполне определенной группой дифракционных решеток. Напротив,
при AQ-^XlL поля, рассеянные в направлениях n,i = r1/rl и
ns, = ra/r2, обусловлены уже различными группами решеток (с не-
неперекрывающимися главными максимумами), что и приводит к
исчезновению пространственной корреляции.
Обратимся теперь к вероятностным распределениям рассеян-
рассеянного поля. В приближении однократного рассеяния поле uL(r)
выражается интегралом (24.11) от произведения некоторой де-
детерминированной функции па случайную функцию е(г'). По-
Поскольку линейные размеры L рассеивающего объема по предпо-
предположению велики по сравнении) с радиусом корреляции /е флуктуа-
флуктуации е, можно утверждать, что в силу центральной предельной
теоремы теории вероятностей закон распределения для рассеян-
рассеянного поля близок к нормальному.
Найдем параметры, характеризующие совместные функции
распределения вещественной и мнимой частей комплексного поля:
Ul(r)-U(r) + iV(r). (27.12)
Так как величины ?/, = (/ (г,) и Vk = V(Tk) распределены но
нормальному закону, достаточно получить матрицу вторых мо-
моментов этих величин, которая совпадает с корреляционной
матрицей, поскольку среднее значение рассеянного поля, а значит,
и средние значения <?/у> и <Ук> равны нулю. Билинейные сред-
средние <JJjVty можно выразить тогда через корреляционные функ-
функции комплексного поля
».(«у. r») = <M«»«<f(r»)>.
Первая из этих функций была вычислена в § 25 и рассмотрена
выше. Покажем, что вторая корреляционная функция tya почти
всюду мала по сравнению с $„. С этой целью оценим величину
<и\(т)> — ^и(г, г) в зоне Фраунгофера. Согласно (25.39),
1'4R- (27-14)
Заменяя М (R Ч-p/2)Af(R—р/2) на Af(R), получаем
<"?«> =-^~(2л)-Фг(0)бу(2Ч), (27.15)
где функция 8v-(x) определена выражением (27.8).
I j7] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦ�Я 219
При рассеянии вперед (q = 0) средний кпадрат поля <i;J>
с точностью до фазы совпадает со средней интенсивностью
/1 = <|ы1|2>, поскольку 6y(0) = V/8nJ. Однако при |2ц|^2лД,
значения функции 6v(2q) резко уменьшаются по сравнению
СЃ Р±Сѓ(0), С‚. Рµ.
|<В«?(r)>K7,-<|В«!(r)|>, q^mL. (27.16)
Так как q — 2fcsin \.fi, неравенство q^njL выполняется вне
узкого конуса с раствором 9~X/2L, откуда и следует, что при
рассеянии на не слишком малые углы (6^)./2/,)
|*.Рљ1*.1- (27-17)
Практически это означает, что вне указанного конуса вторую
корреляционную функцию гр„ можно положить равной нулю:
*„ (г,. rt) « 0. (27.18)
Этот результат получен для дальней зоны рассеивающего
объема (г^>Ш), но в ближней зоне (r<^kl.2) он справедлив и
подавно. Действительно, если разбить рассеивающий объем на
отдельные элементы с линейными размерами, малыми но срав-
сравнению с /., но большими по сравнению с радиусом корреляции
неодкородностей, и поместить точку наблюдения в зону Фраун-
гофера каждого из таких элементов, то результирующий средний
квадрат поля <«5> можно получить, суммируя выражения типа
(27.15), поскольку флуктуации е в различных элементах стати-
статистически независимы. Ясно, что суммирование величин, содер-
содержащих осциллирующий множитель е'"кг, может привести только
к уменьшению <u'i> по сравнению с /] = <|ы,|2> даже внутри
конуса с углом раствора 9 ~ X/2L.
Воспользовавшись этим, применим для вычисления моментов
<.UjVky формулы (2.14), которые при равенстве нулю второй
корреляционной функции дают
<и,иа> - <ууг> - >/2 Re ф„ (г„ га),
<K1l/,> = -<I/IV,>=V,Im*.('!. Рі.)- (
Положив в (27.19) г,-=г2 — г, находим, в частности, что
/ V(r)>-0. (27.20)
Последующие вычисления статистических моментов амплитуды
и фазы производятся так же, как в ч. I, §§ 25 и 44.
220 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛ� [ГЛ. IV
§ 28. Рассеяние на нестационарных неоднородностях
1. Временная функция корреляции. Поле, рассеян-
рассеянное на неоднородностях е, (t, г), зависящих от времени, создает
на пыходе антенны отклик, аналогичный (25.48):
Лг'. (28.1)
В отличие от (25.48), мы восстановили здесь множитель е~""',
который для краткости ранее опускали. Волновое возмущение,
возникающие при рассеянии в точке г', достигает точки наблю-
наблюдения г за конечное время Д< — |г — г'|/с (для простоты считаем,
что е=1). Поэтому иод интеграл входят значения е не в мо-
момент /, а в предшествующий момент /'- t — At. Функция 5* (г')
по-прежнему дается выражением (25.47).
Вычислим временную корреляционную функцию рассеянного
поля п предположении, что флуктуации е статистически одно-
однородны и стационарны, так что пространственно-временная кор-
корреляционная функция неоднородностей зависит лишь от разно-
разностных (пространственных и временных) переменных:
%(Р“, Рі'; Р“, Рі") = <?(*', Рі')СЊ"(Р“, Рі")>-Рі|,Рµ(Р“-Р“, Рі'-Рі"). (28.2)
�з (28.1) сразу же видно, что временная корреляционная функ-
функция отклика на выходе антенны
тоже зависит только от разности i — t' — t":
so
yv (Т) = e-fI"J J 9 (г') Э" (r") eiV <¦"• гЦе (т—Дт, г'— г") d'r'&r",
(28.3)
РіРґРµ
Таким образом, в случае стационарных флуктуации е отклик
v(t), как и само рассеянное поле ul{t), является стационарным
случайным процессом.
Входящая в (28.3) величина
Дт=(|г'-г|-|г"-г!)/с
представляет собой разность временных задержек возмущений,
пришедших из точек г' и г". В силу того, что пространственная
корреляция неоднородностей простирается на расстояния
|г'—г"|^с/е> разность задержек Дт фактически не превышает
времени h/с, за которое волна проходит одну неоднородность
$28] РАССЕЯН�Е НА НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ 221
). �нтервал Дтобычно значительно меньше те—времени
корреляции флуктуации е:
Д*~/«/с<те. (28.4)
Поэтому без большой ошибки можно при этом условии поло-
положить в (28.3) Дт = 0, и тогда
¦С
yv(Т) ^e-'<<"l $ 93 (г') .?• (г")е™"'¦ г">х|)е(т, г' — г") d'r'd'r'. (28.5)
Выражение (28.5) отвечает так называемому квазистационар-
квазистационарному приближению, при котором считается, что рассеяние на
отдельных неоднородностях происходит так, как если бы не-
неоднородности покоились, а зависимость i|>e от времени восста-
восстанавливается уже в окончательной формуле (28.5).
Дальнейший анализ временных флуктуации целесообразно
провести отдельно для следующих двух случаев: а) в среднем
покоящаяся случайно-неоднородная среда и б) случайно-неодно-
случайно-неоднородная среда, перемещающаяся в среднем равномерно со ско-
скоростью v, которую принято называть скоростью дрейфа.
2. Рассеяние в отсутствие регулярного дрей-
дрейфа. Для среды, в среднем неподвижной, можно почти без
изменений повторить выкладки § 25, т. е. перейти к переменным
интегрирования R — (г,-| га)/2, р = г, — г8 и разложить показа-
показатель экспоненты ^(г', г") в ряд по степеням р:
ilv(T, p)exp(tqp) =
R I ^ (R) I' фе (т. Ч), (28.6)
РіРґРµ
Фе (т, х) - g^ j *e (t, P) exp (- I xp) d»p (28.7)
— пространственное преобразование Фурье корреляционной функ-
функции $в(т, р), a q = q(R) — вектор рассеяния, отвечающий точке R.
�з выражения (28.6) следует, что время корреляции отклика
на выходе антенны того же порядка, что и у флуктуации е.
Тот же результат можно выразить и в спектральной форме,
222 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ПОЛ� [ГЛ. IV
написав спектральную плотность стационарного процесса v(t):
Учитиная, чти пространстисшш-иремешкж спектр флуктуации к
выражается формулой
Спектр флуктуации Ge(Q, и) обычно сосредоючен в окрестности
нулевой частоты Q я; 0, спектр же рассеянного сигнала gP(fi)
расположен вблизи частоты первичной волны <>>. Как следует
из (28.9), частотный спектр рассеянного поля получается сум-
суммированием пространственно-временного спектра неоднородностей
GefQ — to, q(R)] по рассеивающей области с Бесовой функцией
Если условия задачи позволяют пренебречь изменением вектора
рассеяния q в пределах области интегрирования (согласно (25.38)
это возможно при r^>rmin — m\n(L, Lljl)), то G«fQ—га, q(R)]
можно вынести за знак интеграла со значением при q -q0, где
q0 — ft(ni0—п/0) —вектор рассеяния, отвечающий центру рассеи-
рассеивающей области. В результате частотный спектр поля оказы-
оказывается пропорциональным Ge(Q — to, q0):
g,{Q) = 8j*G.(Q-u, q.) ] d>R\S>(R)\>-
"G.(Q-e, q.)^Р©^-РЈ**. (28.10)
где Vett—эффективный рассеивающий объем. Таким образом,
при r^>rmin можно находить форму спектра флуктуации е не-
непосредственно по измеренным значениям #., (О.). В случае же
протяженных рассеивающих областей, когда спектры. gv(\i) и
Ge связаны между собой интегральным соотношением (28.9), рпре-
деление формы Ge(Q) по измерениям gv{Q) затруднительно.
(28.8)
можно представить частотный спектр сигнала v (t) в виде
(28.9)
i 28]
РАССЕЯН�Е НА НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ
223
Спектр комплексной огибающей 31 (/) сигнала »(/) = Щ(/)е-'и'
сосредоточен в окрестности нулевой частоты, поскольку g*(Q) =
= g,,(fi4-io). В частности, при г^>гш1п, когда gv(Q) дается
выражением (28.10), имеем
'эфф-
3. Рассеяние при наличии регуляриогодрейфа.
Нахождение функции корреляции поля, рассеянного на дрей-
дрейфующих неоднородностях, несколько сложнее, чем при v = 0.
При рассмотрении этого вопроса мы следуем результатам Г. С. Го-
Горелика и его сотрудников [3—6], а также анализу, приведен-
приведенному в [1].
Пусть i|)np(T, р)—функция корреляции неоднородностей
в сопровождающей системе координат, т. е. в системе, равно-
равномерно перемещающейся вместе со средой со скоростью v.
В неподвижной системе координат, связанной с наблюдателем,
функция корреляции, очевидно, равна
t. P) = Р§'Рґ
—VT),
(28.11)
Подставим это выражение в формулу (28.5) и введем новые
переменные интегрирования R и р', равные
R = V,(r' + r"). р' = р—"vt-г'—г"—vx. (28.12)
В этих переменных функция корреляции сигнала v{t) будет
x, p')X
РіРґРµ
Xexp|W
СЂ' 1 vu
P'-I'VT
2
Рі I
R
СЂ'
(¦»
2
—
2
, Р 
l)]*P
)
P' + VT _
2 Г»
VT
(28.13)
Поскольку корреляционная функция tylp(i, p') спадает прак-
практически до нуля при р'^/е. разложим У в степенной ряд по р'
и ограничимся первыми двумя членами разложения:
Т'(т, р', Р)-=Ф(т, R) —q'(T, R)p'+ . .. (28.14)
224 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. I
Здесь
Ф (т, R) - V (т, О, R) - k (| г- R — vt/2 | -| _
-IR + VT/2—re|-|r— R-bvT/2|-|R— vt/2-rJ),
п'/т пч_ » / г—R—vt/2 R | ут/2—Гр
41 ' ; 2 \ | г—R—»т/2| |R-fvt/2-ro|
г—R-l vt/2 . R—ут/2—г» \
|г—R-l-vr/21 |R-vr/2-r,,| ) '
Если подставить в (28.13) приближение (28.14), справедливое
при выполнении довольно слабых условий типа (25.18), то интег-
интегрирование по р' дает
1|!„(*)=8я»е"'<« \ *^^+5з:е'ф(т'к>Флг(т, q'), (28.15)
где 5>.| =^(R±vt/2), а функция
РѕСЃ
Фд, (т, >с) - 8^5 j �>Др (т, Р) exp (tup) J»p (28.16)
— ос
представляет собой пространственное преобразование Фурье кор-
корреляционной функции неоднородностей в сопровождающей си-
системе координат.
Выражение (28.15) сложнее, чем (28.5). Во-первых, под знаком
интеграла теперь содержится дополнительный экспоненциальный
множитель е'®('•*>. Во-вторых, вектор рассеяния q' и произве-
произведение 5*+5**, заменяющее теперь |^(R)|a, зависят от т. Однако
если допустить, что источник первичного поля и приемный пункт-
удалены от рассеивающей области на расстояния, превышающие
ее поперечник (r1p>L и ra^>L), то формула (28.15) упрощается.
В последующих оценках мы будем писать неравенства, относя-
относящиеся только к г. Аналогичные неравенства должны выполняться
и для /•„.
При R ¦$; L произведение &+&*_ стремится к нулю. Следователь-
Следовательно, в области R^J., существенной для интегрирования в (28.15),
отношение Rir<g. 1 в силу принятого допущения r^>L. По той же
причине в (28.15) существенны только значения \t^.L. �мея
это в виду, разложим показатель экспоненты Ф(т, R) в степен-
степенной ряд по малым параметрам R/r^.L/r-^.\ и in/r^.L/r<^1:
Ф(т, R)- -q0VT+*vRT + fto[(4)S^] �0 [^] • (28.17)
J гв] РАССЕЯН�Е НА НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ 225
Здесь v—вектор, имеющий размерность частоты и пропорцио-
пропорциональный скорости дрейфа v:
v = т Гп„ [та,.]] + ? К [vn,o]I- (28-18)
Вектор q' мы тоже разложим в ряд, но лишь по перемен-
переменной т:
q'(T, R) = q(R) |-feO[(^-)*], q(R) = ft(n,-n,) (28.19)
(член, линейный по т, здесь отсутствует).
Ниже мы убедимся, что условие r^>L достаточно для того,
чтобы сохранить в (28.17) два первых члена, а в (28.19)—только
первый член разложения. Если это сделать, то (28.15) прини-
принимает вид
^(т) = 8я»е-"ш+ч»;'>т J &+?'_ ехр(1'ЬЯт)ФД1,(т, q)d?R. (28.20)
Разумеется, при v—> () это выражение переходит в формулу
(28.5), полученную в отсутствие дрейфа.
С ростом х значение интеграла в (28.20) уменьшается по
трем причинам. Во-первых, уменьшается произведение 5*+$*",
которое стремится к нулю при vx-^L. Во-вторых, экспонен-
экспоненциальная' функция exp (ifevRr) начинает заметно осциллировать
в пределах существенной для интегрирования области. В-третьих,
уменьшается функция Фдр(1, q), которая описывает временную
корреляцию флуктуации в сопровождающей системе координат
и стремится к нулю при т—+<х>.
�з условий vx~L и kvRx^koLx/r ~ 1 находим два харак-
характерных интервала времени, отвечающих первым двум факторам
*,-В¦?..
. „\_„ Ь_ (28-21)
' * ~ kvL ~ vL '
Характерное же время изменения функции Ф,р(т. q), т. е. вре-
временной интервал корреляции неоднородностей н сопровождаю-
сопровождающей системе координат, мы обозначим через тп. По существу,
это «время жизни» неоднородностей. Меньшее из трех перечис-
перечисленных значений г определяет, очевидно, время корреляции тж
сигнала:
т, = min {т„ хг,\). (28.22)
При V—>0 (отсутствие дрейфа) т, и т., бесконечно возрастают,
а т„ = т,.
226 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
Применим формулу (28.20) к анализу частного случая рас-
рассеяния на замороженных неоднородностях, которые в сопрово-
сопровождающей системе координат не зависят от времени (тя = оо).
4. Рассеяние на замороженных неоднородно-
неоднородностях. Очевидно, в лабораторной системе координат, относительно
которой не меняющиеся со временем неоднородности дрейфуют
со скоростью v, флуктуации проницаемости e(t, г) обладают
свойством
ё(/,г) = ё(* — т, г — vt), (28.23)
т. е. в точку г в момент времени t приходит возмущение е(С, г'),
которое в предшествующий момент /' = / — т находилось в точке
г' = г—vx и переместилось за время т со скоростью v в точку г.
Как сказано, «время жизни» неоднородностей т, в сопрово-
сопровождающей системе координат формально бесконечно: та = оо.
Практически же замороженными можно считать неоднородности,
для которых
•Ь>т„ V (28.24)
При выполнении этого условия функцию Фдр(т, q) в (28.20)
можно положить равной Фдр(0, q) —Ф, (q), поскольку значение
интеграла в (28.20) сделается малым раньше, чем начнется
уменьшение Фдр(т, q). Таким образом, для замороженных не-
неоднородностей
^„(т) = 8л»<г"ш<-ч.7^ [ .f>^:exp(ikvRr)Ot(q)d'R. (28.25)
— ОС
Поведение этой функции корреляции существенно зависит от
соотношения между т, и т2. Согласно (28.21) они сравнимы
друг с другом при г ~kl}. В ближней зоне, где r^kL1 и одно-
одновременно, по условию, г5>>/., выполняется неравенство тг<*т,.
Следовательно, время корреляции в ближней зоне совпадает с тг:
4 (Lf^kL). (28.26)
Напротив, в дальней (фраунгоферовой) зоне, где r^>W.', время
корреляции совпадает с тч, которое значительно меньше тг:
тк - т., ~ L/o (/•>?/.'). (28.27)
Нетрудно убедиться, что в обеих зонах отбрасывание «лиш-
«лишних» слагаемых в разложениях (28.17) и (28.19) вполне оправ-
оправдано. Например, в ближней зоне, где г-^.kL1 и 1„ = т.,, четвер-
четвертый член разложения (28.17) по порядку величины равен
f 38) РАССЕЯН�Е НЛ НЕСТАЦ�ОНАРНЫХ НЕоДНОРОДНОСТЯХ 227
т. с. меньше произведения двух малых параметров. Но о» мал
и в дальней зоне, где r^>kL? и тж — tlt так что
Отметим, что при нарушении условия заморожен ноет и (28.24),
т. е. при т,; т,^т,, отбрасывание «лишних» членов является
тем более оправданным, чем меньше т3 по сравнению с т, и та.
�ными словами, единственное условие применимости формулы
(28.20) выражается неравенством r^>L.
Рассмотрим теперь более детально поведение корреляционной
функции (28.25) в ближней и дальней зонах.
Для ближней зоны выражение (28.25) можно упростить, если
учесть, что ~vxt^.vxa ~ rjkL<^.L, а при vx<^.L произведение Р+ЗЧ.
приближенно равно |^(R)|2. Таким образом, здесь
1|)(г(т) = е-|(°нЧ.т ij | ^ (R) |a exp (i/svRt) Ф, (q) d3/?. (28.28)
Для вычисления интеграла, конечно, ну до конкретизировать
вид спектра Фе (q) и весовой функции 13> (R) |*. Однако спек-
спектральный анализ выражения (28.28) можно провести и без кон-
конкретизации этих функций.
Выполнив временное преобразование Фурье (28.28), находим
спектральную плотность сигнала v(t):
ее
g,(?2)=8n» J |^(R)|»O?(q)6(Q—a>-qov-fevR)<W?. (28.29)
- в„–
Согласно (28.29) каждому элементарному объему d'R отвечает
спектральная линия на частоте ?2 —co + qov+ftvR и с «интен-
«интенсивностью» 8яа |^5(R)|3ff'e(q)- Суперпозиция этих линий и обра-
образует частотный спектр gv{±i). Смещение частоты линии il ^
= w-j-q,v-t-ftvR относительно частоты первичного поля ь> обу-
обусловлено эффектом Доплера.
Доплеровский сдвиг частоты
содержит два слагаемых, из которых первое одинаково для
всех точек рассеивающей области, тогда как второе меняется
от точки к точке в силу изменения вектора q (R) внутри рассеи-
рассеивающего объема1).
*) Более тачное выражение доплеровского сдвига: йд = vq(R). Выраже-
Выражение, приведенное выше, содержит только первые члены тейлоровского раз-
разложения но R.
8В»
228 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. IV
Ширина частотного спектра AQ определяется, очевидно, раз-
разностью доплеровских смещений частоты на краях рассеивающего
объема R~L:
AQ ж ДЦ, ~ k\L ~ kvLjr, (28.30)
что, как и следовало ожидать, согласуется с оценкой ширины
спектра ДЙ ~ 1/т„ ~ 1/тг. Оценке' (28.26) можно дать и другую
интерпретацию. Как было показано в § 27, величина r/kL пред-
представляет собой в случае неподвижных неоднородностей попереч-
поперечный радиус корреляции поля /х> т- е- пространственный масштаб
интерференционной картины, образующейся в результате нало-
наложения рассеянных волн. При дрейфе замороженных неоднород-
неоднородностей интерференционная картина будет пробегать мимо точки
наблюдения со скоростью в, так что характерное время флук-
флуктуации поля lJv~r/kvL как раз совпадает с т» = т,.
Оценка (28.26) пригодна, строго говоря, только при r^>L\
Если, несмотря на это, применить ее к случаю г ~ L, когда
точка наблюдения находится вблизи рассеивающей области, то
мы получим, что т,~ 1 /ftu — A./t>. Это не противоречит и оценке
т. ~ Ijv, поскольку вблизи рассеивающего объема l± ~ X
(СЃРј. В§ 27).
�ные закономерности наблюдаются в дальней зоне, для ко-
которой, _согласцо (28.27), время корреляции т. равно времени
т, ~ L/v пребывания отдельной неоднородности в рассеивающем
объеме. В дальней зоне показатель экспоненты в формуле (28.25)
мал по сравнению с единицей, a tDs(q) »Фе(Ч|). так что кор-
корреляционная функция поля дается выражением
РѕСЃ
— 00
Для вычисления интеграла необходима, как и в (28.28), кон-
конкретизация вида функции S* (R). В предельно идеализированном
случае, когда функция 3s (R) =.?', = const внутри куба с ребром L
и равна нулю вне этого куба, а скорость дрейфа v перпенди-
перпендикулярна к одной из граней куба, имеем
—^) при |t|<L/|^|,
РїСЂРё |С‚| > Lj\ v|.
Более сложным закономерностям подчинено рассеяние на
блуждающих неоднородностях, когда поле скоростей состоит из
общей скорости дрейфа v и случайной компоненты v, т. е.
j 29] �МПУЛЬСНЫЕ � МОДУЛ�РОВАННЫЕ С�ГНАЛЫ 229
v = v+v. Некоторые аспекты этого случая рассмотрены в [1]
Рё [3-6].
5. Флуктуации интенсивности. В § 27 уже было
отмечено, что однократно рассеянное поле распределено по гаус-
гауссову закону с нулевым средним значением. Для такого поля
функция корреляции интенсивности
выражается через квадрат модуля корреляционной функции поля
(см. задачу 12 к гл. I):
В¦iв„– = l*.WI'. (28-32)
Отсюда следует, что характерное время пульсаций интенсивно-
интенсивности несколько меньше (в 1,5—2 раза, в зависимости от вида
1|>в(т)), чем время корреляции самого сигнала v{l). Соответ-
Соответственно частотный спектр флуктуации интенсивности
*'(Q) = inr J 1*.Рњ !'В«""* = J &(fli)В«.(fli-a)<В«i (28.Р·Р·)
несколько шире, чем gv(Q).
§ 29. Рассеяние импульсных и модулированных сигналов
Рассеяние иемонохроматических волн обладает рядом инте-
интересных особенностей. Мы ограничимся частным, но важным
случаем квазимонохроматических сигналов, которые часто ис-
используются и в оптике, и в акустике, и в радиофизике. Пред-
Представив такой сигнал в виде произведения медленно меняющейся
¦(вообще говоря, комплексной) амплитуды Э1(<) на е-""'(несущая
частота ш), мы должны, очевидно записать сигнал на выходе
антенны аналогично формуле (25.46), выведенной для монохро-
монохроматической волны, но с заменой постоянной амплитуды А на
переменную амплитуду Ш (I — b'jc) с запаздывающим аргументом
(6' = |г'—гв| + |г—г'|). Если восстановить еще временной фак-
фактор е~ш, опущенный в (25.46), то для квазимонохроматического
сигнала получим
(29.1)
Для упрощения последующих выкладок введем безразмерную
амплитуду а(0 = Я(0/Яя, где Щп = п>ах|«(0|. а через Э> (г')
обозначим произведение неосциллирующих множителей, отли-
230 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛ� (ГЛ. IV
чающееся от (25.47) заменой А на %т. В этих обозначениях
(29.1) запишется в виде
S>(t')a(t —~^e"^'i(r')d^', (29.2)
откуда для временной функции корреляции следует выражение
ФД<1, U) =
51 (г') 5>* (г")а Г/, —?- jа* (<• —у-) е"« <*'-*">X
- РґР°
X*e(t, г'—T")d»r'cPr", (29.3)
где т=<!—f,. Для общности здесь учтена возможная зависи-
зависимость флуктуации е от времени, а именно введен временной
аргумент т в функцию корреляции tyt. Процесс v(t), конечно,
нестационарен, ife зависит порознь от tl и /,. Оценим интервал
корреляции о (0 в случае одиночного импульса (периодическая
последовательность импульсов рассмотрена в задаче 5).
Пусть а (0—прямоугольный импульс длительности Т (а (0—1
при |< |^7\'2 и равно нулю при |/|>71/2). Ясно, что при Т,
превышающем время корреляции неоднородностей те, время кор-
корреляции v (0 совпадает с те. В противоположном же предельном
случае 7"<^те время корреляции будет порядка Т, поскольку
произведение а(г^—6'/с)а*(/,—Ь"/с) обращается в нуль при
l'i~'il>^ Для любых значений г' и г".
Более детальный анализ выражения (29.3) возможен в пред-
предположении, что пространственная длина импульса сТ велика
по сравнению с радиусом корреляции неоднородностей 1е. В этом
случае можно выполнить интегрирование по разностному аргу-
аргументу р = г'— г", как это неоднократно делалось в предыдущих
параграфах. В результате
¦Д'.. <.) =
(^—|-) а* (/„-|-)фе(т, q)d»R, (29.4)
где fl = |r—R|+|R-ro|.
В отличие от случая^ монохроматической первичной волны,
средняя интенсивность /в = <|о|2> зависит теперь от времени:
МО = ¦.('. /)i=8"' J IJ»(/?)!•[«(< —f-) [*Ф« (0. q)#*. (29.5)
I J9l �МПУЛЬСНЫЕ � МОДУЛ�РОВАННЫЕ С�ГНАЛЫ 231
Величина /„ меньше, чем в случае монохроматического сигнала
той же амплитуды, поскольку под знаком интеграла появился
множитель |а|'^1. Этот множитель отличен от нуля внутри
эллипсоидального слоя, для внутренних точек которого имеем
|/—5/с|<Г/2, или в развернутой форме
(29.6)
фокусы ограничивающих слой эллипсоидов (рис. 31) совпадают
с точками наблюдения (г) и излучения (г„), а размеры эллипсо-
эллипсоидов с течением времени увеличиваются. Эллипсоидальный слой
(29.6) можно назвать им-
импульсным объемом. Область, /
принадлежащая в данный
момент одновременно им-
импульсному объему (29.6) и
эффективно рассеивающей
области V^, как раз и оп-
определяет величину интенсив-
интенсивности 7„.
Толщина импульсного
объема 6 наиболее просто Рис. 31.
выражается при обратном
рассеянии, когда г —г0 и эллипсоидальный слой (29.6) вырож-
вырождается в сферический. Как ясно из (29.6), б — сТ/2, т. е. толщи-
толщина импульсного объема равна половине пространственной длины
импульса. В общем случае выражения для б довольно сложны,
но для не очень длинных импульсов (гТ<<?|г—го|) толщина 6
определяется простой формулой [1J:
6 = cr/2sin(e/2), (29.7)
где 9—угол рассеяния (рис. 31). При рассеянии назад (9 —п)
из (29.7) получается прежний результат 6 = сГ/2. Отметим, что
эллипсоид 11 — В/с | = const расширяется со скоростью по нормали
»„ = с/2 sin (9/2).
Временной ход Iv{t) существенно зависит от соотношения
между толщиной импульсного объема б и поперечником рассеи-
рассеивающей области L. В случае длинного импульса (6^L или
Т ^ (2L/c) sin (9/2) происходит монотонное увеличение Iv(t), пока
весь рассеивающий объем не окажется внутри импульсного
объема (29.6). Время нарастания Iv(t) до максимального значе-
значения /шах по порядку величины равно Ljvn = (Ljc) 2sin (9/2). В те-
течение такого же времени происходит уменьшение Jv (l) до нуля
при выходе из рассеивающей области заднего фронта импуль-
импульсного объема. Между стадиями нарастания и убывания интен-
232 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
сивность Iv(t) постоянна и равна средней интенсивности моно-
монохроматического сигнала бесконечной длительности. Если
^5 (29.8)
т. е. времена нарастания и спадания малы по сравнению с дли-
длительностью сигнала Г, то рассеянный импульс практически без
искажений повторяет форму излученного импульса.
Неравенство (29.8) можно представить и в другом виде, если
ввести ширину полосы частот сигнала
Это условие ограничивает ширину полосы пропускания каналов
связи, использующих рассеяние. При передаче и приеме микро-
микроволновых сигналов при помощи остронаправленных антенн,
когда размеры рассеивающего объема атмосферы L порядка не-
нескольких десятков километров, полоса пропускания Дсо оказы-
оказывается достаточной для передачи телевизионных сигналов
(Д/ = Дш/2я~ 10е Гц).
В противоположном предельном случае 6<^L или
T<^(2L/c)sin(6/2) (короткий импульс) «время входа» импульса
в рассеивающую область, а также «время выхода» из нее имеют
порядок длительности импульса: 6lvn ~ Т. Время'же, в течение
которого импульсный объем находится внутри ^рассеивающей
области, приближенно равно Ljvn?a (2L/c)sin(0/2). Для короткого
импульса это время значительно превышает длительность сиг-
сигнала Т, т. е. короткий первичный импульс при рассеянии
существенно растягивается—в общем случае примерно
в (iLlcT) sin (8/2) раз, а при обратном рассеянии — в 2L/cT раз.
Следует отметить, что, несмотря на существенное растягивание
рассеянного сигнала по сравнению с первичным импульсом,
время корреляции по-прежнему остается величиной порядка Т.
Это вытекает как из изложенных выше общих соображений, так
и из выражения
(Р¦^)Рµ-*В« (С‚ = *1-*,), (29.10)
которое, как можно показать при помощи (29.4), связывает
в случае коротких импульсов функцию корреляции поля со
средней интенсивностью /„ и «коэффициентом корреляции»
I 36] РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�Т ПЫХ ПОЛ� 233
огибающей первичного импульса
(29.11)
�з (29.10) ясно, что в случае коротких импульсов рассеянное
поле представляет собой квазистационарный случайный процесс
с переменной дисперсией /„(<) и с коэффициентом корреляции
Як(т)е~1ШТ. Коэффициент корреляции огибающей /Си(т) обра-
обращается при г > Т в нуль, откуда и следует, что время корре-
корреляции рассеянного поля порядка Т.
§ 30. Рассеяние электромагнитных волн
При рассеянии электромагнитных волн (как и при рассеянии
поперечных упругих волн) возникают два новых эффекта, кото-
которые отсутствуют в скалярной задаче. Во-первых, рассеяние
сопровождается изменением поляризации волны, а во-вторых,
если речь идет об анизотропной среде, может происходить транс-
трансформация одних типов поляризации в другие. Мы рассмотрим
однократное рассеяние электромагнитных волн лишь в изотроп-
изотропной недиспергирующей среде, в которой могут распространяться
волны только одного типа, а именно поперечные электромаг-
электромагнитные волны.
1. Рассеяние монохроматических электромаг-
электромагнитных волн на покоящихся неодпороди остях
в изотропной среде. В этом случае уравнения .Максвелла
rotH--~, rotE = --!--^L (30.1)
Нужно решать совместно с материальным уравнением для изо-
изотропной недислергирующей среды
D = eE. (30.2)
Материальное уравнение (30.2) исключает из рассмотрения
не только рассеяние в анизотропных средах (об особенностях
такого рассеяния см., например, в [7]), но и рассеяние на
анизотропных флуктусщиях в изотропной среде (так называемые
флуктуации анизотропии). Такие флуктуации возникают, напри-
например, в вязких жидкостях из-за случайных поворотов молекул,
если последние оптически анизотропны (см. [8] и обзор [9]).
234 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я 6ОЛН 1ГЛ. IV
Пусть монохроматическая волна распространяется в среде
с постоянной средней диэлектрической проницаемостью вис по-
покоящимися неоднородностями:
Рµ =?-"-? (Рі), Рµ"= const, <С‘> = 0. (30.3)
Уравнения Максвелла принимают вид (/;, = <о;с)
rot Н • Ь ik,EE - — ifeoeE, rot E — ift.H = 0, (30.4)
а их решение может быть представлено при слабых флуктуациях
<(е)Ъ<^(е)а рядами теории возмущений
При этом первичное иоле Ео, Но удовлетворяет однородным
уравнениям
rotH0 ' ife0eE0 = 0, rotE0 — ifc0Ho = 0, (30.6)
а однократно рассеянное поле—неоднородным уравнениям
rot Hi-t-i&oeEi = — iftoeEo, rot E, — i'fe0Hl = 0. (30.7)
Уравнения для последующих приближений получаются из (30.7)
при последовательных заменах Е„—>EMtl, Н„- >Н„+1.
Рассеянные ноля Е, и Н, можно найти, используя известные
функции Грина, т. е. решение задачи о возбуждении электромаг-
электромагнитных волн точечным электрическим источником j, —1,6 (г—г').
В волновой зоне.т- е. при R ^\г—т' \^>^, элементарный источник
создает поля
н,Дг,г')4к1Л^* <30-8)
где п^= (г— r')/|r—r'|^=R,'#—единичный вектор, направленный
РёР· Рі' РІ Рі.
�спользуя (30.8), решение неоднородных уравнений (30.7)
можно представить в виде
СЃРѕ
I-JL f Ml 'В»"'"** '< 'Рќ TF
- Р§ (30.9)
Так как существенно новое по сравнению со скалярной задачей
касается только поляризации рассеянного поля, рассмотрим
; 301 РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�ТНЫХ ПОЛ� 235
простейший случай, когда точка наблюдения расположена в зоне
фраунгофера рассеивающего объема (r^W.1), а первичное поле
представляет собой плоскую волну:
E0(r)--AfXlk'T, k^fav-Jfe.yTn,. (30.10)
Здесь е—вектор поляризации первичной волны, вообще говоря —
комплексный. Будем считать его нормированным к единице
условием ее*—1. В силу поперечности волн, распространяю-
распространяющихся в изотропной среде, вектор поляризации е перпендикулярен
к направлению распространения п,-. Простой расчет с использо-
использованием разложений вида (25.11) дает для однократно рассеянных
полей Е, и Н, выражения
Р•, (Рі) = -^ Рљ, [en,J] j Рњ (Рі') Рµ (Рі') Рµ-В«
(30.11)
Н, (D =Щ?^ [п,ое] j М(т') Цт')е-Щ*г:
- ее
где п,„^= г/г —единичный вектор, направленный п точку г из
центра рассеивающей области, a qo = ?(n,o—п/0) — вектор рассе-
рассеяния, отвечающий центру этой области. Для упрощения записи
мы опустим ниже индекс 0 у векторов п10, п/0 и q0.
Легко видеть, что поля Ех и Нх отличаются от скалярного
поля
СЃРѕ
Рё, (Рі) = -^- J* Рњ (Рі') РІ (r')e-*# *Рі', (30.12)
— 30
вычисленного при тех же допущениях, только множителями:
EiM-forenJKtr), H1(r)=/F[nfe]ul(r). (30.13)
Следовательно, в приближении однократного рассеяния при де-
детерминированной поляризации е первичной волны любые средние
билинейные величины, составленные из компонент полей Е,
и Н„ могут быть выражены через функцию корреляции скаляр-
скалярного поля 1|>,(г„ ra) = <u,(r1)uj(r2)>. Если же поляризация пер-
первичного поля случайна, то усреднения по направлениям е и по
ансамблю неоднородностей е производятся раздельно в силу ста-
статистической независимости этих величин. �ными словами, и при
случайной поляризации первичной волны средние от билинейных
комбинаций компонент Ej и Н, можно выразить через яр„ или /,.
Рассмотрим примеры.
236 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
2. Средний вектор Пойнтинга и эффективный
поперечник рассеяния. Среди билинейных комбинаций,
составленных из компонент Е, и Н,, важную роль играет вектор
Пойнтинга
Учитывая, что Hj = y е [n,Ej], и используя выражение (25.34)
для /t — <|ttj|s>, находим
(30.15)
Заметим, что в отличие от исходных формул (30.11), это выра-
выражение применимо не только в зоне Фраунгофера r*^>kL%, но и
на гораздо меньших расстояниях r%>rmi. = min{L, LlJ\\
(СЃРј. (25.38)).
Введем, как и в § 26, эффективный поперечник рассеяния
единицы объема в единичный телесный угол а -= \F1 \ г*11 &„1V, где
||У0| = су g | А |*/8я—модуль плотности потока энергии первич-
первичной волны. При помощи (30.15) находим
'^? к = V у А!Ф»(Ч), (30.16)
где аск — «скалярный» поперечник рассеяния (26.12). Множитель
V = |[n,[en,]]|' = |e-n,(ens)r-l-(n,e)* (30.17)
связан с особенностями рассеяния электромагнитных волн по
сравнению со скалярной задачей и может быть назван поляриза-
поляризационным. Вычислим у для некоторых частных случаев.
Для линейно поляризованной первичной волны е—вещественный
единичный вектор. Если % — угол между е и ns (рис. 32), то
Y=sin3x- Таким образом, для линейно поляризованной первичной
волны
Рѕ = 0^ sin'С…- (30.18)
Множитель sin'x обращается в нуль в направлениях, коллинеар-
ных с е, что связано с дипольным характером рассеяния электро-
электромагнитных волн в каждом элементе рассеивающего объема.
Произвольную эллиптически поляризованную волну можно пред-
представить, как известно, в виде суммы двух линейно поляризованных
колебаний, сдвинутых по фазе на л/2. Пусть большая ось эл-
В»301
РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�ТНЫХ ВОЛН
237
лнпса поляризации направлена вдоль орта et, а малая—вдоль
орта е,. Векторы е, и е, ортогональны к направлению распро-
распространения л,., так что е,, е, и п,- образуют ортогональную связку.
При эллиптической поляризации
(30.19)
где р, и р,—вещественные коэффициенты, удовлетворяющие, в
силу принятой нами нормировки ее*=1, условию р*4р»=1.
Р РёСЃ. 33.
Поляризационный множитель 7 для волн эллиптической поля-
поляризации равен
7=1—Р? (ПА)1-/* ("А)' = 1 -Р! cos'xi—P3 «*«*.. (30.20)
где Xi и Xt — углы между Еектором л^ и ортами е, ие2 (рис. 33).
Подставляя (30.20) в (30.16) и учитывая, что р!+р|=1, по-
получаем
о = (р» sin» xi + Pi sin'x,) «»„¦ (30.21)
В отличие от линейно поляризованной первичной волны,
сечение (30.21) никогда не сбргщается в нуль, потому что
sin'xi и sinsx, не мсгут обратиться в нуль одновременно.
�з (30.13) следует, что в направлениях n, = ±ei и п^ = ±еа
рассеянное поле поляризованно линейно—в силу уже отмечен-
отмеченного дипольного характера рассеяния. В других направлениях
рассеянное поле поляризовано по эллипсу. Параметры эллипса
поляризации могут быть найдены из выражений (30.13), если в
них подставить (30.19).
В частном случае_ круговой поляризации полны, когда
р,= 1/V2, р,= ±1/1^2 (плюс отвечает правой, а минус—левой
поляризации), находим из (30.20)
1 - V, [
,Рµ,)'] =1-V, (cosВ« Xj + cosВ»Xl).
238 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
В силу взаимной ортогональности векторов е^, е, и п, имеем
cos1x14-cos'xj+cos*9= 1, так что для волн„ поляризованных по
РєСЂСѓРіСѓ,
у = 1— 4,(1— cos«e) = »/2(l+cos»e). (30.22)
Таким образом, у зависит здесь только от угла рассеяния в,
т. с. имеет азимутальную симметрию.
Если в точке наблюдения г измеряется интенсивность рассе-
рассеянных волн какой-либо одной поляризации, то плотность потока
энергии будет, очевидно, меньше плотности полного по-
потока (30.15) и, соответственно, уменьшится величина эффектив-
эффективного сечения рассеяния ст.
Пусть измеряется поток энергии, переносимой компонентой
EN=(№,), где N —единичный и, вообще говоря, комплексный
вектор, перпендикулярный к направлению рассеяния п,: (Nn,) — 0.
Вектор N описывает поляризационные характеристики приемной
антенны в случае радиоволн или анализатора в случае световых
волн. �з (30.13) следует, что
?д, = (NEI) = (N [и, [«,]]) в„
так что роль поляризационного множителя у играет теперь
величина
Г*= / (N [п, [en,]]) |*=|(Ne)-(NnJ (en,) [«= | (Ne) [••
Нетрудно убедиться в том, что yv — y, если поляризационные
характеристики приемной антенны «согласованы» с поляризацией
рассеянного излучения, т. е. антенна принимает волну (30.13).
В остальных случаях ул. < у.
3. Рассеяние неполяризованного (естествен-
(естественного) света. С небольшими изменениями полученные резуль-
результаты переносятся и на частично поляризованные поля (ч. I, § 49),
когда компоненты первичного поля Е„ случайны. Усреднение по
этим величинам можно проводить, как уже было отмечено, не-
независимо от усреднения по реализациям флуктуации е. Рассмот-
Рассмотрим простой, но важный случай неполяризоеанной волны.
Разложим напряженность электрического поля первичной вол-
волны на ортогональные компоненты по ортам е, и е,:
В случае нсполяризованной волны амплитуды Л, и А, статисти-
статистически независимы, имеют нулевые средние значения и одинако-
одинаковые дисперсии:
>, (30.23)
где I-EdI'^-^jIM-I Л,'|2—полная интенсивность.
I 30) РАССЕЯН�Е ЭЛЕКТРОМАГН�ТНЫХ ВОЛН 239
Сечение рассеяния неполяризованной волны можно найти из
следующих простых соображений. Если бы первичная волна била
линейно поляризована вдоль орта ех, то, согласно (30.21), сечение
рассеяния равнялось бы a—a1^oBtsiti'y[il даже при флуктуирую-
флуктуирующей амплитуде А1. При линейной же поляризации вдоль е, мы
имели бы <j = aj=scrci(sin2x2. Поскольку в неполяризованной волне
поток энергии делится поровну между двумя ортогональными
компонентами, полное сечение рассеяния должно быть равно
полусумме ох и а2:
a«i = 7, (а, +о,) = 7, (sin2 х, + sin» Xf) <*«•
Но коэффициент при аск здесь такой же, как и в случае рас-
рассеяния волны с круговой поляризацией, и, следовательно, он
равен (l+cos26)/2 (см. (30.22)). Таким образом,
В«rВ«T-iВ±^-В°ae. (30.24)
Множитель g (9) — (1 - Ь cos2 9)/2 называют релеевской индикатрисой
рассеяния. Уменьшение g(0) до значения V, при в=± я/2 объя-
объясняется тем, что в этом направлении вклад в рассеянное поле
дает только одна компонента первичной волны, т. е. рассеянное
поле оказывается линейно поляризованным.
Выражение для степени поляризации Р(9) рассеянного поля
можно получить по формуле (49.18) из ч. I:
СЂ=/'-S- <30-25>
где Jo» = <ЕаЕ1> — элементы поляризационной матрицы в пло-
плоскости, перпендикулярной к направлению распространения. Про-
Простые вычисления дают принадлежащее Релею выражение
�з (30.26) видно, что Р — 0 при 0 — 0 или я, т. е. поле Е,
сохраняет естественную поляризацию при' рассеянии вперед и
назад. При рассеянии под прямым углом (0— ± я/2) степень по-
поляризации равна единице, а в других направлениях рассеянное
поле поляризовано частично (0 < Р < 1).
4. Частотны й спектр рассеянного поля. Некоге-
рентнос рассеяние электромагнитных волн в
изотропной плазме. При неоднородностях к, зависящих от
времени, отличия рассеяния электромагнитных волн от анало-
аналогичной скалярной задачи тоже могут быть учтены введением в
результаты скалярной теории поляризационного множителя у —
— I— (nse)a. Так, например, в отсутствие регулярного дрейфа
240 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
неоднородностей и при г ^> гга]п частотный спектр рассеянного
поля
^ 1 (30.27)
в случае сферической первичной волны может быть получен ум-
умножением спектра (28.10) на у:
^G.fo-a, q), (30.28)
где Ge((o, x)—сох-плотность флуктуации диэлектрической про-
проницаемости.
Применим формулу (30.28) к так называемому некогерентно'
му рассеянию электромагнитных волн в плазме. Первоначально
предполагалось, что рассеяние волн в плазме происходит на сво-
свободных электронах, находящихся в тепловом движении, благо-
благодаря чему интенсивности полей, рассеянных отдельными элек-
электронами, складываются некогерентно (отсюда и возник термин
«некогерентное рассеяние»). В дальнейшем выяснилось, однако,
что существенную роль в этом явлении играют коллективные
процессы '). Мы ограничимся вычислением интенсивности высоко-
высокочастотного ноля, рассеянного в изотропной плазме, опираясь
на макроскопическую теорию тепловых флуктуации (гл. III).
В § 31 мы вернемся к рассмотрению некогерентного рассеяния
в рамках теории рассеяния на отдельных частицах.
В макроскопической электродинамике свойства изотропной
холодной плазмы описываются на высоких частотах (<о^>ш,)
диэлектрической проницаемостью
где е, т и N—соответственно заряд, масса и концентрация элек-
электронов. Таким образом,
- _4СЏ^ ; = Рµ_РІ= _В«*!?, (Р·Рѕ.29)
откуда следует связь между (ox-плотностями ё и N:
•) Возможность наблюдать некогерентное рассеяние радиоволн в ионо-
ионосферной плазме была указана У. Е. Гордоном в 1958 г., а первые наблюде-
наблюдения этого явления осуществил в том же году К- Л. Боулс (см. [10]). Анали-
Анализу коллективных процессов в плазме посвящены многие работы (см., напри-
например, [11]).
§81] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 241
Подставляя это выражение для G8 в формулу (30.28), получаем
-a), q), (30.31)
где ге — е*/тсг—классический радиус электрона. Спектр флук-
флуктуации электронной концентрации GN, как было показано в за-
задаче 7 гл. III, пропорционален температуре Т и средней кон-
концентрации электронов N. Таким образом, спектр рассеянного
поля gE пропорционален полному числу электронов /VE =NV, на-
находящихся в объеме V.
�з (30.31) следует, что спектр рассеянного поля gE сосредо-
сосредоточен в окрестности частоты первичной волны ш, а его форма
полностью определяется видом спектра флуктуации GN{s>, х).
Поэтому частотный спектр рассеянного сигнала gF(Q) позволяет
судить о свойствах и состоянии плазмы. Основанный на этом
метод диагностики широко применяется для анализа не только
ионосферной, но и лабораторной плазмы («метод некогерентного
рассеяния»).
§ 31. Рассеяние на дискретных вкраплениях
1. Поле, рассеянное отдельной частицей. Наря-
Наряду с рассеянием на объемных неоднородностях, большой инте-
интерес представляет и рассеяние на совокупности большого числа
тел (частиц, вкраплений и т. д.), случайно расположенных и
(или) случайно ориентированных в пространстве. Это очень об-
общая задача, имеющая широкие приложения во многих областях
физики.
Строго говоря, проблема рассеяния на системе многих тел
относится к статистической схеме 3) (§ 8). Но если дискрет-
дискретные рассеиватели имеют сравнительно небольшие размеры и рас-
йоложены достаточно редко, то дифракционная задача может быть
решена в приближении однократного рассеяния, которое основа-
основано на допущении, что каждое вкрапление рассеивает падающую
волну так, как если бы других вкраплений не было.
Приближение однократного рассеяния сводит задачу для ди-
дискретных рассеивателей, как и в случае непрерывных неодно-
родностей, к схеме 1), т. е. к излучению полей случайными источ-
источниками. В данном случае речь идет о совокупности дискретных
�сточников, статистика которых задана статистикой положений
(и ориентации) рассеивателей. Как мы увидим, «внешние» зако-
закономерности однократного рассеяния на- дискретных вкраплениях
;й на непрерывных неоднородностях среды (пространственная кор-
корреляция, частотный спектр и т. д.) во многом сходны.
1 Рассмотрим и здесь упрощенную постановку задачи, а имен-
ito рассеяние монохроматической волны на совокупности непод-
242 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССКЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
вижных частиц, размеры которых малы по сравнению с длиной
волны, причем точка наблюдения находится в зоне Фраунгофера
объема V, занятого частицами.
Для малых частиц рассеянное поле можно рассчитывать в
диполыюм приближении. Пусть р — электрический дипдльный
момент частицы, возникающий под действием электрического
поля Е:
p = iE, (31.1)
где а—тензор поляризуемости частицы. Для частиц, малых по
сравнению с длиной волны, а можно вычислить, считая иоле Е
статистически однородным. Сводка формул для некоторых сим-
симметричных тел приведена, например, в монографии [12], посвя-
посвященной рассеянию волн на малых частицах.
Для сферических частиц из изотропного материала, а также
для частиц произвольной формы, но с диэлектрической проница-
проницаемостью, близкой к единице, поляризуемостью является скаляром:
р^аЕ. (31.2)
В качестве электрического поля в формуле (31.2) следует
брать так называемое действующее поле Ед, которое отличается
от ноля первичной волны Е„ тем, что включает также совокуп-
совокупное поле соседних рассеивателей. В приближении однократного
рассеяния (борновское приближение) Ед практически не отли-
отличается от поля первичной волны Ео, которое для простоты мы
будем считать полем плоской волны Е„— Аее'к'Т'ш. Тогда
р-аЕд« яЕ0 = аЛее""г'-'ш', (31.3)
где г' —радиус-вектор частицы, а е —вектор поляризации пер-
первичной полны.
Волновое поле, излучаемое в вакууме отдельным диполем с
моментом (31.3), может быть рассчитано по формуле (30.8), если
подставить туда —/сор вместо \± (множитель е~ш, как обычно,
опускаем):
l'kRtk'} (31.4)
Здесь R = \r — г'|, n's — (г — г')/|г — г'| — единичный вектор, нап-
направленный из точки г' в точку наблюдения г. Магнитное поле
рассеянной волны в волновой зоне дается выражением
H^KE.bKeJfe^""^'1'^. (31.5)
2. Среднее значение однократно рассеянного
поля. Пусть в объеме V находятся /V одинаковых частиц с цент-
центрами в точках г' — rm (m=l, 2 N). В приближении одно-
f 31] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 243
кратного рассеяния поле в точке наблюдения г представляет со-
собой сумму полей, рассеянных отдельными частицами:
*^, (31.6)
где Rm^\r— гт\, a nm=-(r — г„)/|г—г„| — единичный вектор, на-
направленный от т-й частицы в точку наблюдения г. При учете
двукратного рассеяния в качестве Ед надо взять сумму первич-
первичного поля Е„ и однократно рассеянного ноля (31.6) и т. д.
Заметим, что при учете двукратного рассеяния пренебреже-
пренебрежение в действующем поле Ед квазистационарным полем индуци-
индуцированных диполей, ближайших к точке г, т. е. пренебрежение
полем Екв~<хЕ0/|г—г'\" по сравнению с Е„, налагает опреде-
определенное ограничение на среднее расстояние между частицами р. �з
условия ЕКВ<^ЕО следует неравенство в/р»<^1, или поскольку
лр'»1, где га—средняя концентрация частиц, неравенство
ла<1. (31.7)
При выполнении этого условия возможно как р > Я, так и р~< )..
Облако частиц, удовлетворяющее нераиенстну (31.7), можно наз-
назвать разреженным (конечно, в электродинамическом смысле),
в отличие от конденсированной среды, в которой na.'S'X.
Поместим начало координат в центр рассеивающего объема
V ~ L', заполненного частицами. Для точек наблюдения г, вы-
вынесенных в зону Фраунгсфера сбъема V (r^>kL2), межно исполь-
использовать разложение (25.11):
подставив которое в (31.6), получим
N
Ег=8, X, е-""-"1, (31.8)
С‚= 1
где q = fciij — kl — k(ns — n;) — вектор рассеяния, а
Ъ^кЦп^еп^аА— (31.8а)
— поле, рассеянное одной частицей, помещенной в начале коор-
координат, т. с. в центр области V.
Для нахождения статистических моментов однократно рас-
рассеянного поля нужно задаться законом распределения случай-
случайных координат гда = (хя, ут, гт), а если частицы движутся, то и
244 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
законом распределения скоростей ут = (v,,x, vmy, vKZ). Для рас-
расчета среднего значения и функции корреляции рассеянного по-
поля необходимы только одночастичная (а>,) и бинарная (ш,) плот-
плотности вероятностей. Примем, что все частицы и все их пары
равноправны, т. е. функции 01,(0 и а>г(гт, г,) не зависят от
индексов переменных г„ и г,.
Усредняя (31.8) по положению частиц гя, получаем среднее
поле, рассеянное N частицами:
n
Ё,О0 -=&i( L e'iVm) = 8^ Ce-'"?»l(r)d»r= 8^/Лч), (31.9)
m = l Сѓ
РіРґРµ
^'4ra'i (Рі)*В»1 (31-10)
— характеристическая функция одночастичного распределе-
распределения tt.'j(r). _
�нтенсивность среднего поля |Е,|а, т. е. когерентная состав-
составляющая интенсивности, равна
/.„r = |EJ» = |81|«W|/,(q)l>- (31.11)
Когерентная составляющая отличается от интенсивности |ei|J по-
поля, рассеянного одной частицей, множителем N*\fl(q)\l, т. е.
/ког пропорциональна квадрату числа частиц. Величину N \ fL (q) |
можно назвать эффективным числом когерентно рассеивающих
частиц:
При рассеянии вперед (6 = 0, 9 = 0), когда f1 (q) = /t (0) = 1, коге-
когерентно излучают все частицы (NXOI = N) и при этом
(!,)„„ = (ЛГ8Х. = Nklta^-e'1". (31.13)
При рассеянии под углом ЛГК()Г резко падает, поскольку харак-
характеристическая функция /\ (q) сравнима с единицей только при
q^.2n/L или, что то же, при углах рассеяния, лежащих внутри
конуса в^Х//.<^1 (оценки скорости убывания Л^ог с ростом в
даны в задаче 7).
3. Средняя интенсивность. Согласно (31.8) средняя
интенсивность однократно рассеянного поля 7t = <|Ei|1> равна
^-=16, Рљ 2 В«-"Р§'В»-">). (31.14)
I Si] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 245
Выделим из двойной суммы, содержащей Л" членов, Af слагае-
слагаемых cm — /, каждое из которых равно единице, а остальные
N'—N слагаемых с тФ1 усредним при помощи бинарной плот-
плотности вероятностей ад,. В результате получим
]. (31-15)
РіРґРµ
Mfli- qs) —бинарная характеристическая функция. Фактически
f,(q) — это характеристическая функция распределения относи-
относительных координат. В самом деле, если заменить в (31.16)
да, (г', г") d»r' d'r'на W% (p, R) d'pd'R, где р = г' — г", R = (г' + г")/2,
и выделить интегрирование по R, то
Вычитая из (31.15) интенсивность когерентной составляющей
поля (31.11), получаем среднюю интенсивность некогерентного
рассеяния
3« = Л-/„г = < \Е.f>-\Es |« =
?)-|/1(q)|i]J. (31.17)
Если положения частиц статистически независимы, т. е.
tti,(r', r") = K)j(r')Wi(r"), то /3(Ч)—lfi(4)l' = 0 и второе слага-
слагаемое в (31.17), пропорциональное Л'"—Л^, обращается в
нуль. Следовательно, слагаемое, пропорциональное N*—N,
описывает рассеяние на частицах, положения которых кор-
реяированы между собой, и его можно рассматривать как
характеристику коллективных эффектов при рассеянии:
ТШЧЛй)!»]. (31-18)
Первое же слагаемое в (31.17) описывает рассеяние на незави-
независимых частицах:
В¦ (31-19)
Так как ^ (0) = f, (0) = 1, при рассеянии вперед (9 = 0) оба сла-
слагаемых в (31.17) обращаются в нуль, Гтжат(0)=*0. Но это имеет
место только в приближении однократного рассеяния. Можно пока-
показать, что уже при учете двукратного рассеяния 7atKIH(0) Ф 0.
�сключив из рассмотрения рассеяние вперед, т. е. в узкий
конус с раствором 9^:ХД-> можно пренебречь в формуле (31.19)
246 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. IV
слагаемым | Л (ч) |а <^~ 1 (см- задачу 7), что дает
/„„«IS.PJV, (31.20)
т. е. сумму интенсивностей волн, рассеиваемых независимыми
частицами. Если, как чаще всего бывает в приложениях теории,
N^>\, то в (31.18) можно пренебречь N по сравнению с Л?а, и
тогда
Асол « I Sx Is Л^ [?2 (q) —| Л (q) |31 ^ | gj3 Л^ v (q). (31.21)
Представив бинарную функцию распределения w3 в виде.
r', r")], (31.22)
можно связать разность v = /a — |/j|a с величиной ц, которая об-
обращается в нуль для частиц с независимыми координатами
Рі' Рё Рі":
v (q) .= Г f [w, (г', г") —ш, (г') wl (r")J е-'" <''->"№/•' d*r" =
= I J ш, (г') а»! (г") |г (г', г") е-'ч <''-¦"№/•' d3/-'. (31.23)
Если радиус корреляции Zw, т. е. характерный масштаб из-
изменения [I по разностной переменной р = г' — г", мал по сравнению
с поперечником облака L (одновременно L является масштабом
изменения wr{j) и [г по аргументу R = (г' -)- г")/2), то в пределах
сферы р = |г'—г"|^/ц произведение w1(t')w1(t") можно прибли-
приближенно заменить на k{(R), после чего в (31.23) можно выпол-
выполнить интегрирование по р. Это дает
(31.24)
РіРґРµ
— преобразование Фурье ц(р, R) по аргументу р. Таким образом,
(31.26)
4. Средний вектор Пойнтинга. Эффективный
поперечник рассеяния. Поскольку в зоне Фраунгофера
'« = ж Ке[Е.нЯ = -йгп'1Е«11 = ¦?•"''•• <ЗК27)
для среднего значения вектора Пойнтинга <S%eKOI., отвечающего
флуктуационной (некогерентной) компоненте поля, имеем
«^вевог = J^ nf Л,еког = ^ ns ( Л.ез + Л.о») • (31.28)
i 31] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 247
Обозначим через а, поперечник рассеяния отдельной частицы
в единичный телесный угол. Согласно (31.8а)
—вектор Пойнтинга первичного поля, «
поток энергии поля (31.4), рассеянного одной частицей, а 7 —
поляризационный множитель (30.17). Подставляя в (31.28) вы-
выражения (31.20) и (31.26) и учитывая (31.29), получаем для
суммарного поперечника рассеяния cN системы N частиц в еди-
единичный телесный угол выражение
] (31.30)
Вводя среднюю концентрацию частиц
n(r) = A%,(r) (31.31)
и учитывая, что Л/= J га (г) dV, можно представить выражение
(31.30) РІ РІРёРґРµ
<JN = lo1 [п+8л»(п)аФ„ (q, R)] d*R; (31.32)
при этом подынтегральное выражение интерпретируется как се-
сечение рассеяния единичного объема:
<* = РЎРЅВ« + 0РєРѕРґ. (31.33)
где первое слагаемое
аиез =<tyl (31 .34)
отвечает рассеянию в пренебрежении корреляцией между поло-
положениями частиц, а второе слагаемое
^„„^•в�^ЧЛЯ. R) (31.35)
— рассеянию с учетом попарной корреляции положений частиц.
В зависимости от конкретных условий соотношение между
этими слагаемыми может меняться в широких пределах. Ясно,
например, что при малой средней концентрации п преобладает
слагаемое <т„„, а с ростом я—слагаемое <гкол; при этом оказы-
оказывается, что рассеяние на системе частиц с коррелированными
положениями может быть описано как рассеяние на макроско-
макроскопических (объемных) неоднородностях (см. ниже, раздел 5). При
рассеянии электромагнитных волн в квазинейтральной плазме
248 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
коллективное рассеяние и рассеяние на независимых частицах
могут быть сравнимы по величине.
5. Переход к сплошной среде. При макроскопическом
рассмотрении диэлектрическая проницаемость разреженного
(в смысле неравенства (31.7)) облака частиц равна
(31.36)
где а — поляризуемость частицы, а п — макроскопическая концен-
концентрация частиц, являющаяся, вообще говоря, случайной величи-
величиной. Тем самым,
е--е-|-в, е—1+4лпа, i — inna. (31.37)
Постараемся установить, каковы те статистические характе-
характеристики е (или п), при которых макроскопическое описание рас-
рассеяния, т. е. описание на языке флуктуации е, дает те же ре-
результаты, что и микроскопическое рассмотрение. Говоря о ста-
статистических характеристиках е, мы будем иметь в виду только
моменты е и <fe.
В силу (31.31) в качестве среднего значения е(г) следует,
очевидно, взять
С‘ ) = 1-; 4СЏСЃС€(Рі). (31.38)
Среднее поле, рассчитанное при помощи (31.38) в борновском
приближении для зоны Фраунгофера, совпадает с (31.9).-
Для нахождения i|>e отождествим сечение (31.33), вычислен-
вычисленное для системы частиц, с сечением (30.16), описывающим рас-
рассеяние на непрерывных объемных неоднородностях. Приравнивая
эти два выражения, учитывая (31.29) и сокращая на ynkl/2,
получаем
| ^ll(q, R). (31.39)
Корреляционная функция i})e (p, R) получается отсюда преобра-
преобразованием Фурье по q:
iMp, R)-$<P.(q, R)exp(iqp)dВ»? =
=-|- па* С ехр (iqp) d'q + (4пап)г Г Фйехр (tqp) d'q.
�нтеграл в первом слагаемом правой части равен 8л'6 (р), а ин-
интеграл во втором члене, согласно (31.25), равен ц(р, R):
p, R)J. (31.40)
Учитывая, что e = 4nna, получаем из (31.40) корреляционную
функцию концентрации частиц:
) (31.41)
S 31] РАССЕЯН�Е НА Д�СКРЕТНЫХ ВКРАПЛЕН�ЯХ 249
Первые слагаемые в (31.40) и в (31.41) связаны с дискрет-
дискретностью рассеивателей. Дельта-функция S (р) появляется в ре-
результате замены реальных частиц точечными диполями. При
конечных размерах частиц вместо б (р) появилась бы дельтооб-
дельтообразная функция, спадающая практически до нуля на расстояниях
порядка размера частиц. Второе слагаемое, обусловленное кор-
корреляцией положений, напротив, описывает особенности рассеяния
на коллективе частиц. При достаточно большой концентрации
частиц п3) это слагаемое становится основным, и тогда можно
рассматривать рассеяние на системе частиц с коррелированными
положениями как рассеяние на объемных макроскопических
неоднородностях сплошной среды с корреляционной функцией
^е = (Апап)% ц (р, R).
Условие, при котором можно при любых умах рассеяния
пренебречь «дискретным» слагаемым а�еъ по сравнению с членом
Ъх0„ имеет вид
8л»л (OUni^l, (31.42)
где (Фц)т|„ — минимальное (по q) значение спектра. При выпол-
выполнении же неравенства 8п'п (Фц)ша% <^ I можно пренебречь кол-
коллективными эффектами. Если ни одно из этих неравенств не
выполняется во всем диапазоне изменения угла рассеяния
0 < 9 < п, то надо пользоваться либо полным сечением (31.33),
либо, определив из условия 8л3пФц~1 граничный угол 8гр, поль-
пользоваться различными предельными формулами при в > 9гр и
РІ < РІРіСЂ.
6. О некогереитпом рассеянии в плазме. Этот
вопрос мы уже затрагивали в § 30. Здесь мы рассмотрим рас-
рассеяние на свободных электронах в плазме под другим углом
зрения, а именно как пример явления, в котором, в силу осо-
особенностей парной корреляции, коллективное рассеяние оказы-
оказывается пропорциональным не второй, а первой степени концен-
концентрации электронов Nt.
Двумерная нлагность вероятностей w2(Tlt г,) в случае плазмы,
находящейся в равновесии при температуре 7", выражается рас-
распределением Больцмана:
r,) = const-exp j~_"В»frj-r.)j _
где & = кТ—температура, выраженная в энергетических едини-
единицах, a Ult(t1, T,) — Ult(rl—г,)—эффективная потенциальная
1) Совместимой, однако, с условней 4лла<^ 1, при котором можно не учи-
учитывать вклада кваэистяционарного поля. Учет Л*кп припел бы к формуле
Лорентца — Лиренца |13].
ю,(Гг
250 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
энергия электрона, находящегося в точке г2, в поле другого
электрона, расположенного в точке г,.
Предположим, что частицы равномерно заполняют большой
объем V, так что ви, (г) = const = 1/К, и рассмотрим случай, когда
энергия взаимодействия двух электронов Uia мала по сравнению
с энергией теплового движения & = кТ. Тогда приближенно
двумерная плотность будет равна
К (г.. r,)«jji(l—^). (31.43)
Сравнивая (31.43) с формулой (31.23), в которой нужно поло-
положить wl=\/V, получаем для функции ц, характеризующей кор-
корреляцию положений электронов, приближенное выражение
В случае изотропной плазмы ?/и = еф1г, где tp12—дебаевский
потенциал, отличающийся от кулоновского потенциала е/\т1—гг|
экспоненциальным множителем ехр {— |г, — г, \/d\, где d =
= (в/8лег^г)'/1—дебаевский радиус (радиус экранирования)
[14], a Ne—средняя концентрация электронов. Таким образом,
Преобразование Фурье эгой функции, равное
O(q)
обратно пропорционально концентрации N,., так что для попе-
поперечника коллективного рассеяния по формуле (31.35) находим
(31.44)
В результате суммарный поперечник рассеяния (31.33) оказы-
оказывается равным _
или, учитывая, что поперечник рассеяния отдельной частицы
01=7ftjaa в случае электрона равен уг1 = уе'/т*с*,
(31-45)
В предельном случае коротких волн (qd^>\) из (31.45) сле-
следует, что _
(31.46)
ЗАДАЧ� 251
Таким образом, суммарный эффект при рассеянии коротких волн
на тепловых флуктуациях электронной концентрации оказывается
таким же, как при рассеянии на N свободных электронах. Это
связано с независимым характером движения электронов в пре-
пределах области h.r~\lq<-^d, целиком лежащей внутри сферы де-
баевского радиуса d.
В противоположном случае, когда длина волны \q=2njq
много больше дебаевского радиуса, движение электронов уже
нельзя считать независимым от движения ионов. В этом случае
сечение рассеяния будет
, (31.47)
т. е. вдвое меньше, чем в (31.46).
Задачи
1. Показать, что полный поперечник рассеяния единичного объема а в
случае мелкомасштабных флуктуации (*'е<й1) равен
j (I)
а в случае крупномасштабных флуктуации (А/е^>1) —
ао = 2/«л*; J Фе(К1, х,, 0)<ue,rfxa = V4*5 J Фе(°- 0, р3) ф,. (2)
Решение. Формула (1) сразу же следует из определения (26.13), так
как при kl <§ 1
В случае же А/е^> 1 надо учесть, что существенный вклад в (26.13) дают
только малые углы рассеяния в^1/*(,-^1. Вводя переменные интегрирова-
интегрирования Xi = ?6cos(p, и2 = *в5тф и учитывая, что при малых углах рассеяния
®e(q) я Ф?(х11 х2, 0) и do — sin6dBdip ~-p- dxidx^, получаем формулу (2).
2. Оценить полный поперечник рассеяния о0 световых волн в случае тур-
турбулентных флуктуации со спектральной плотностью Фв(х)=»#С| (ч2+»<2)-"/«1
не имеющей особенности при х—>-0 (х0 = 2я/10 — волновое число, отвечающее
внешнему масштабу турбулентности ?0).
Решение. В оптическом диапазоне длина волны X мала по сравнению
с внутренним масштабом турбулентности (0. Поэтому для расчета о, можно
воспользоваться формулой (2) предыдущей задачи, что дает (при Л = 0,033)
Р°0 = s/5 Р»*РєРљ4РЎРЄСѓ-''-
252
ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
1ГЛ. IV
где R — |г — г'|, Я* = |г — г'*|, а г'* —радиус-вектор зеркально отраженного
источника г', так что г'* —{*', ?/', —г'}.
Подставляя «о и G в формулу (24.П) и используя разложения типа
(25.12), находим, что в зоне Фраунгофера
(Рћ
Отдельные слагаемые в (1) отвечают четырем возможным видам рассеяния,
схематически показанным на рис. 35. Соответствующие векторы рассеяния
равны
q, = fc(n—m), q2 — к(п — m*), qs — A (n*—m), q4 — k{n* — m*),
где через n* обозначен вектор, «зеркальный» по отношению к единичному
вектору л —г/г, направленному из центра рассеивающего объема в точку
наблюдения (nz =—лг)-
Выражение для средней интенсивности 1\ — <| и.\ |г>, вычисляемое при по-
помощи (1), содержит 16 слагаемых, но существенную роль играют только
четыре из них [15]:
(2)
рис 34 гДе m —единичная нормаль к фазовому фронту отра-
отраженной волны ("tj——mzy Функция же Грина для
абсолютно жесткой поверхности равна
шириной диаграммы излучающей антенны у (рис. 34).
Решение. Главный лепесток диаграммы выреза-
вырезает участок слоя с поперечными размерами L — гу. По
формуле (27.3) имеем /х ~ ?,/у. Но у ~ )./d, где d —
размер антенны. Поэтому I^ ~ й, т. е. при ' обратном
рассеянии полеречный радикс корреляции поля порядка
диаметра антенны d.
4. На рассеивающий объем V, расположенный вбли-
вблизи идеально отражающей плоскости г = 0, падает плос-
плоская волна Ле''*шг. Найти среднюю интенсивность рас-
рассеянного поля в зоне Фраунгофера, предполагая, что
поверхность z = 0 абсолютно жесткая, так что гранич-
РґРё
ное условие имеет вид -^ггг = 0.
ON 7=0
Решен и е. Полное первичное поле, удовлетворяю-
удовлетворяющее граничному условию, имеет вид и0 — Л(е1'|<™'_|_ с''"п*г),
В приземном слое атмосферы при Я = 510-' см, L$~ 1 м и С\— 10-" см"*¦''¦
для длины экстннкции d,— l/o0 получаем оценку ds~20 м. Это означает, что
в задачах распространения света в приземном слое атмосферы применимость
борновского приближения ограничена дистанциями такого порядка.
3. Оценить, пользуясь (27.3), поперечный радиус корреляции поля при
обратном рассеянии, считая, что размеры рассеивающего объема L ограничены
Задачи
253
Остальными 'менами можно пренебречь (их нужно учитывать только при
mz • > О или пг —»0, т. е. при малых углах скольжения лерзнчной или рас-
рассеянной волн). В случае крупномасштабных неоднородностей существенный
вклад п (2) дают только слагаемые с q = q, и Q — q3, которые отвечают, как
это видно из рис. 35, рассеянию на малые углы.
Р РёСЃ. 35.
5. Найти функцию корреляции рассеянного поля, если первичное излуче-
излучение представляет собой периодическую последовательность коротких иинуль-
сов, повторяющихся с периодом 7"„.
Решение. В случае покоящихся неодиородностей рассеянный сигнал
в момент 1+Тп был бы в точности таких же, как и в момент (, и мы имели
бы периодическую no t — i^—tt корреляционную функцию, составленную из
слагаемых вида (29.10):
где К а (0— коэффициент корреляции огибающей отдельного импульса (29.11).
При рассеянии же на неодиородностях ё = ё(/, г), меняющихся во вре-
времени, корреляция сигналов в моменты времени ; и 1~-Т„ будет неполной,
потому что за время Г„ рассеивающая среда изменяется. В этом случае из
Очевидно, /о (О совпадает со средней интенсивностью /„(/), которая дается
выражением (29.5).
Зависимость функции корреляции tyv(t, t — т) от т при фиксированном t
схематически показана на рис. 36 в предположении, что Т„^>Т. Ширина
отдельных максимумов tfr определяется длительностью импульсов Т, а рас-
расстояние между максимумами равно Т„. Высота отдельных максимумов lm
уменьшается с ростом m в соответствии с временным ходом Фе(тГп, q).
Следовательно, по убыванию максимумов с ростом m можно судить о времени
корреляции неоднородностей [16].
6. Пусть рассеивающий объем облучается двумя первичными волнами с
разными частотами с»! и ю2. Найти интервал частотной корреляции рассеян-
рассеянного поля в зоне Фраупгофера.
Решение. Обозначив через о^Вц г) и u1(a>i, г) соответствующие этим
волнам рассеянные поля, которые в зоне Фраунгофера даются выражением
(25.39), для коэффициента частотной корреляции находим
При qa^> 1, т. е. при Q^Xfa, Na0T убывает пропорционально (aq)~*.
254 ТЕОР�Я ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. IV
(29.1) и (29.4) можно получить, что
РіРґРµ
где Дш^Ш! — ms, by (к)— дельтообразная функция, определенная соотноше-
соотношением (27.8), a q ——(ns — n,-) — вектор рассеяния на средней частоте ш^а»!-]-
+tt»i)/2. �нтервал частотной корреляции Дм можно оценить из неравенства
Дю. . ^ 2п . . /Дю \
— Ifll^—т-• ПР� выполнении которого функция О/ —q еще заметно от-
(Р° L. Сѓ (Рѕ J
личается от нуля. Учитывая (25.32), получаем, что
т. е. интервал корреляции совпадает с шириной полосы частот (29.9), в кото-
которой каналы связи, использующие рассеяние, могут работать без искажений |1].
7. Выяснить, как меняется число когерентно рассеивающих частиц при
изменении длины волны в случае облака частиц, равномерно распределенных
в объеме шара, и в случае непрерывного плавного (в масштабе длины волны)
распределения.
Решение. Для частиц, равномерно распределенных в объеме шара
радиуса а.
так что по формулам (31.10) и (31.12) получаем
ЗАДАЧ� 255
Еще более быарое (экспоненциальное) убывание NKOr с ростом qa про-
происходит при учете размытых границ облака рассенвателей. Пусть плотность
вероятностей ^(г) плавно спадяет от центра облака к периферии с характер-
характерным масштабом изменения а, равным по порядку величины радиусу облака
(о^>Х). Учитывая, что тахш,~1/а3, и используя известные свойства интег-
интегралов Фурье [17], для модуля характеристической функции f, (q) получаем
оценку
., 1 I I 4nasin(8/2)\
Отсюда следует, что при рассеянии назад (6--Д, q— 2k) величина Л/ког с0"
ставдяст ничтожно малую долю от Л' уже при ka^ 10, т. е. при о> 1,6?..
Легко объяснить, почему число когерентно рассеивающих частиц умень-
уменьшается с ростом ka. Рассмотрим слой толщины d<^k, в котором qrh = const
с точностью до величин порядка d/X <^ 1 (слой ориентирован перпендикулярно
к вектору рассеяния q). Частицы, находящиеся в этом слое, рассеивают
падающее излучение синфазно (когерентно). Для каждого такого слоя можно
подобрать другой тонкий слой, излучающий в противофазе (для этого он
должен быть удален иа нечетное число полуволн Л?) н частично гасящий
излучение первого слоя. Гашение было бы полным, если бы оба слоя содер-
содержали одинаковые числа частиц. Однако, в силу случайного положения частиц
в пространстве, каждая пара слоев дает малый нескомпенсированнын остаток.
Сумма таких остатков и оценивается формулой (!)•
Глава V
РАСПРОСТРАНЕН�Е ВОЛН
В СРЕДАХ С КРУПНОМАСШТАБНЫМ�
СЛУЧАЙНЫМ� НЕОДНОРОДНОСТЯМ�
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
§ 32. Уравнения геометрической оптики
В этой и двух последующих главах мы рассмотрим прибли-
приближенные методы решения задач о прохождении волн через среды
с крупными случайными неоднородностями, характерные размеры
которых /в велики по сравнению с длиной волны Я. Как мы
уже знаем, при этом рассеяние на большие углы (и, в частно-
частности, рассеяние назад) пренебрежимо мало. В результате флук-
флуктуации волнового поля определяются преимущественно теми
неоднородностями, которые лежат на пути волны, т. е. в окрест-
окрестности луча, соединяющего источник и точку наблюдения. Обычно
говорят поэтому не о рассеянии, а о распространении волн в
случайно-неоднородных средах с крупными неоднородностями.
Задачи такого типа, как и задачи о рассеянии волн, рассмот-
рассмотренные в предыдущей главе, относятся, по классификации § 8,
к статистическим проблемам типа 2).
Существуют три основных приближенных метода, используе-
используемых для решения задач о флуктуациях коротковолновых (h<S.lt)
полей в случайно-неоднородной среде: метод геометрической
оптики (МГО), метод плавных возмущений (МПВ) и метод пара-
параболического уравнения (МПУ).
Сначала мы рассмотрим наиболее простой и наглядный из
них—метод геометрической оптики. Первые расчеты по флук-
туациям волн в средах с крупными неоднородностями были
проведены именно при помощи МГО ([1, 2] и др.; библиографию
см. в [3—5]). Простота метода связана с тем, что, в отличие
от метода плавных возмущений и метода параболического урав-
уравнения, приближение геометрической оптики не учитывает ди-
дифракционных эффектов, в силу чего область его применимости,
конечно, уже, чем у МПВ и МПУ. Однако в своей области
метод геометрической оптики обладает определенными достоин-
достоинствами. Во-первых, при помощи МГО удается исследовать ряд
эффектов (таких, как влияние регулярной рефракции и усиление
флуктуации поля в окрестности каустик), которые" труднее опи-
описать при помощи двух других методов. Во-вторых, некоторые
результаты МГО сохраняют силу и за пределами области его
применимости. Это относится к расчетам флуктуации фазы и
5 32) УРАВНЕН�Я ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� 257
направления распространения волн (но не к флуктуациям ампли-
амплитуды). Указанные достоинства немало способствовали тому, что
метод геометрической оптики широко применялся, несмотря на
успехи, достигнутые при помощи МПВ и МПУ. Можно добавить
еще, что приближение геометрической оптики послужило эври-
эвристической основой при разработке обоих указанных асимптоти-
асимптотических методов, учитывающих дифракционные эффекты.
Напомним коротко вывод уравнений геометрической оптики
для простейшего случая скалярной монохроматической волны,
распространяющейся в среде с неподвижными непрерывными
неоднородностями. Пусть проницаемость е(г) в уравнении
Гельмгольца
Aufft'e(r)В« = 0 (32.1)
мало меняется на длине волны % (X\Vz\<^b — плавно неодно-
неоднородная среда). В этих условиях естественно предположить, что
поле и в каждой точке приближенно имеет структуру плоской
волны:
Рё<=РђРµ* = РђРµ"В«>, (32.2)
где амплитуда А и градиент фазы VS—медленные (в масштабе X)
функции координат.
Воспользовавшись медленностью изменения А и VS, нетрудно
получить уравнения для Л я S или для величины <p = S/k, ко-
которая представляет собой фазовый путь волны и называется
эйконалом 1).
Предложенный Дебаем способ вывода уравнений для ампли-
амплитуды А и эйконала <р состоит в следующем. Разложим ампли-
амплитуду А в ряд по обратным степеням волнового числа'):
С„- (32-3)
Коэффициенты Лт в этом разложении в общем случае комп-
комплексны и поэтому дают вклад и в фазу результирующего поля.
Подставив ряд (32.3) в уравнение Гельмгольца и приравняв
нулю коэффициенты при одинаковых степенях k, получаем
*) �ногда эйконал ф тоже называют фазой, но ми будем употреблять
термин «фаза» только для безразмерной величины S —Аф.
а) Строго гопоря, разложение следует проводить по безразмерному малому
параметру ц~1/*/Е. где U~ f./| Ve|"j>X — характерный масштаб неоднород-
ностей (см., например, (6|). Однако разложение по степеням I/* фактически
означает именно разложение по степеням |i=l/A/g.
9 с. м. Рытов и лр. ч. и
268 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
систему уравнений для ф, Ло> At, А„ -..:
(ft') (Vq>)В»-В«, (32.4)
(ft) 2(?ф?Л0) + Л0Дф = 0, (32.5)
(ft0) 2(Уф\М1)-М1Дф = —ДЛ„, (32.5а)
(ft1-») 2(УфГЛ„) + Л„Лф = -ДЛ„_1, (32.56)
Уравнение (32.4) носит название уравнения эйконала, а после-
последующие уравнения для А„ (п = 0, 1, 2, ...) называют уравне-
уравнениями переноса для амплитуд соответственно нулевого, первого
и га-го приближений. Обычно ограничиваются нулевым прибли-
приближением МГО, оставляя в разложении (32.3) только член Ло.
Последующие члены в (32.3) отбрасывают не только из-за слож-
сложности их вычисления, но главным образом потому, что ряд
(32.3) является асимптотическим1), а для асимптотических раз-
разложений, как известно, увеличение числа учитываемых членов
не всегда ведет к улучшению аппроксимации.
Уравнению эйконала (32.4) отвечают характеристики (лучи),
на которых функционал ] VUds экстремален (принцип Ферма).
Уравнения лучей можно записать в различных формах. Для
наших целей их удобно представить в виде [3, 4]
-? = *' ^T = ^rve —t(tV8)], (32.6)
где ds—элемент длины луча, a t — касательный к лучу единич-
единичный вектор, который одновременно является и нормалью к фа-
фазовому фронту S = ft9 = const. Так как |V<p| = J/~e, имеем
t vS СѓС„ СѓС„
Ivsi I V4>I - VI. '
Если тем или иным способом решение лучевых уравнений (32.6)
найдено, то уравнение эйконала (32.4) и уравнения переноса
(32.5) могут быть проинтегрированы вдоль лучевых траекторий.
Эйконал ф находится по формуле
(32.7)
') Он сходится к точному решению уравнения Гельмгольца, если одно-
одновременно с увеличением числа членов устремить волновое число k к беско-
бесконечности или, точнее, если безразмерный малый параметр (i~ 1/We устремить
к нулю.
$ 321 УРАВНЕН�Я ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� 259
а амплитуда А„ — из условия сохранения интенсивности / — УгА\
в бесконечно тонкой лучевой трубке сеченин dS (рис. 37):
/ Рґ.2 = VI AldS. - const. (32.8)
Последнее соотношение вытекает непосредственно из уравнения
переноса (32.5), если записать последнее в виде
div (Рђ\ V<p) = div (J/1 Рђ\\) = div (It) =- Рћ
и проинтегрировать по объему между двумя сечениями беско-
бесконечно тонкой лучевой трубки.
Одно из условий применимости МГО состоит в требовании
плавности изменения параметров среды:
(32.9)
В гл. VI, § 38 мы убедимся, что переход к геометрическому
приближению (т. е. пренебрежение всеми членами в (32.3), кроме
нулевого) допустим при условии
малости радиуса первой зоны
Френеля J/XL (L — дистанция,
пройденная волной) по сравнению
с характерным масштабом неод-
иородностей /в:
(32.10) Р РёСЃ- 37<
При выполнении этого условия можно пренебречь дифракцион-
дифракционными эффектами, которые в рамках МГО проявляются именно
в первом порядке по ц^=1//г/е.
Обратимся теперь к случайно-неодаородной среде. Получить
аналитическое решение уравнения эйконала (32.4) или уравне-
уравнений лучей (32.6) при произвольной зависимости проницаемости е,
от координат невозможно. Это вынуждает к здесь при решении
статистических задач прибегать к приближенным методам и в
первую очередь—к методу возмущений'. Пусть г (г) = е(г) + е(г),
причем флуктуационная компонента е мала по сравнению с
регулярной: а„<^:е. Представим эйконал в виде ряда
Ф-9.тф, + ф.+ .-. , (32.11)
предположив, что % удовлетворяет «невозмущенному» уравнению
эйконала
(ТФо)'=-~г (32.12)
и К<р1|~ае^|Тф0|, I V<p,|~oKI,Vq>,| и т.д. Подставляя ряд
(23.11) в уравнение эйконала (32.4) и учитывая (32.12), получаем
9*'
260 МКТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
для поправок ф,, фа, ... следующие линейные уравнения:
Решения этих уравнений можно выразить в квадратурах,
если известны невозмущенный эйконал <|:„ и невозмущенные
лучи ro = ro(s) и t0 =-; t0 (s), удовлетворяющие лучевым уравне-
уравнениям (32.6) при е = е. Заметим, что в нулевом приближении
РЈ
Po У в t0, где t0 — drjds—единичный вектор, касательный
к невозмущенному лучу г — ro(s). Тогда уравнение (32.13) для
поправки первого порядка ср,, которой обычно и ограничиваются
чри расчетах, принимает вид
) = 2/MtovВ«p1) = 2/r^ = e. (32.14)
откуда следует, что
s
L^^rds'. (32.I5)
Рѕ
�нтегрирование здесь ведется вдоль невозмущенного луча
r = ro(s), т.е. под знак интеграла входят функции е— е [г0 (s')j
и ?-"ё[>„($')]•
В простейшем случае плоской волны, распространяющейся
вдоль оси г в однородной (в среднем) среде с е = const, невоз-
невозмущенное значение эйконала ф равно (fo — Ve г; при этом лучи
представляют собой прямые, параллельные оси г:
xe(s)- const, //„ (s) = const, zo(s) = s.
В этом случае
2Рљ
(32.16)
Для приземной атмосферы, а также для ионосферы в случае
ультракоротких радиоволн можно считать ,что~ё х 1, и тогда
z
(p^V.^.^z')^'- (32.17)
Рѕ
Аналогичным образом, как мы увидим далее, можно развить
теорию возмущений для амплитуды, направления распростране-
распространения волн, отклонений луча от невозмущенной траектории и т. д.
§ 33] ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА 261
Применяя метод возмущений для расчета флуктуации ампли-
амплитуды и фазы волн, мы используем малость флуктуации про-
проницаемости:
(Ts-фг, (32.18)
и отбрасываем члены второго порядка малости относительно ас.
Условия, при которых можно пренебречь членами второго
порядка малости, сводятся к требованию малости дисперсии
уровня амплитуОы х = 1п(Л/.4°):
o-x = В«X--/)*> = <X!XI, (32.19)
что эквивалентно (при малых ох) условию ал<^.А. Заметные
флуктуации уровня у_ наступают, очевидно, там, где лучи начи-
начинают пересекаться и образуют случайные фокусы и каустики [7].
Поэтому условие (32.19) фактически ограничивает интенсивность
флуктуации а% и дистанцию L такими значениями, при которых
образование каустик еще маловероятно.
Приведенные условия применимости имеют характер доста-
достаточных условий. Что же касается необходимых условий, то
здесь можно высказать только качественное соображение, состо-
состоящее в том, что дифракционные эффекты слабее влияют на
поведение фазы, чем амплитуды, вследствие чего пределы при-
применимости расчетов фазы могут оказаться более широкими.
� действительно, сравнение с методом плавных возмущений
показывает (§41), что некоторые результаты геометро-оптического
приближения, относящиеся к статистическим характеристикам
фазы и углов прихода, справедливы (с точностью до коэффи-
коэффициента порядка единицы) за пределами, устанавливаемыми нера-
неравенствами (32.10) и (32.19). Неравенства же. (32.9) и (32.18)
должны выполняться в любом случае.
Ниже мы проведем расчеты различных характеристик слу-
случайной волны (флуктуации фазы и уровня волны, статистика
углов прихода и боковых смещений лучей, определение среднего
поля и его функции когерентности), которые нужны для решения
как прямых, так и обратных задач статистической теории рас-
распространения волн. Результаты данной главы (как и двух после-
последующих глав) применимы к анализу широкого круга физических
явлений (см., например, [3—5]).
§ 33. Флуктуации эйконала
В первом приближении теории возмущений для эйконала <р
имеем <р «фц + ф^ Среднее значение поправки первого поряд-
порядка ф, равно нулю, <Р! = 0, так что в принятом приближении
флуктуационная компонента эйконала <р = ф— ф совпадает с фх,
262
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
а корреляционная функция равна
4»»0i, г,) = <ф (rj ф (r,)> = «f, (г,) ф, (г,)>. (33.1)
Корреляционная же функция фазы S = feq> равна, очевидно,
MteO"..',)=*•¦,.(••„¦•,). (33.2)
Начнем с наиболее простого случая. Пусть плоская волна
ff1 распространяется в статистически однородной среде со сред-
средним значением диэлектрической проницаемости в — 1. �спользуя
(32.17), получаем для функции корреляции эйконала выражение
» '•) = V. \ & \ dz''^^-р,, г'-г"),
(33.3)
где г, = (р,, zj и г, = (р„ za)—радиусы-векторы точек наблюдения,
а тр.,—корреляционная функция флуктуации I. Перейдем в (33.3)
к новым переменным интег-
интегрирования ? — г'—г" ит) =
=(г' + г")/2. В этих пере-
переменных
(33.4)
где 2—область интсгрирова-
Рнс' З8' ния в плоскости (?, ti). Если
z, > zlt то эта область имеет
вид параллелограмма, показанного на рис. 38.
Существенный вклад в интеграл (33.4) дает только узкая
полоса —/e^S^'a (на Рис- 38 она заштрихована), в пределах
которой корреляционная функция я|>е заметно отличается от нуля.
Поэтому пределы интегрирования по ? можно сделать бесконеч-
бесконечными, а интеграл по г\ брать от 0 до гд:
Здесь учтено, что функция ф, четна по 5- При г, < г, мы по-
получили бы аналогичное выражение с г, вместо г,. Таким образом,
(33.5)
i 33] ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА 263
где z< = min {г,, г,}— меньшая из величин г, и г,, а р = р,—р,.
В частности, для изотропных флуктуации
�нтеграл от фе в этих выражениях равен произведению диспер-
дисперсии флуктуации о! на эффективный интегральный радиус кор-
00
реляции ;8фф = J Ке (0, ?) &,¦ Поэтому (33.9) можно представить
Рѕ
также в виде
(33.6)
Корреляционную функцию эйконала можно выразить и через
пространственный спектр флуктуации е. Подставив в (33.5)
спектральное разложение
(33.11)
и выполнив интегрирование по ?, находим
(33.7)
Если флуктуации е изотропны, то Фе(хх, O) = <t>e(j/>tj_+Oa) =
— Фе(х±) и переход к полярным координатам и = |Xj_ | = \^х.\ + xj,
a = arctg(xv/xx) с последующим интегрированием по угловой
переменной а. дает
(33.8)
где J0(x)—функция Бесселя нулевого порядка.
Дисперсия эйконала о^, получающаяся из (33.5) или (33.7)
при р — 0 и z, — г2 — г, линейно растет с увеличением дистанции г:
(33.9)
В случае изотропных флуктуации
(33.10)
264
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
1ГЛ V
Если, например, функция корреляции i|:, имеет гауссову форму
*,(Р )=<^~Р >Рљ. _ (33.12)
то эффективный радиус корреляции /8фф равен р^л/2/, и
a'(Z)^^l, (33.13)
Рассмотрим продольную корреляцию эйконала, считая, что
точки наблюдения т1 и г, расположены иа одном и том же луче
(P=-Pi—Pi ^0):
¦ »(*i. О—Г" f *<(°. SK—iH-W (33.14)
Рѕ
�з этого выражения видно, что продольная функция корреляции
не меняется с ростом большей из величии z, и г3. Отсюда не
следует, однако, что при продольном разнесении точек наблю-
наблюдения сохраняется также и коэффициент корреляции КЛ. В самом
деле, из (33.14) находим
График
РїСЂРё Рі,>Рі,.
зависимости /С г, от г, при фиксированном значении г1
показан иа рис. 39, из которо-
которого ясно, что продольная корре-
корреляция ф (а следовательно, и фазы
S) простирается на расстояния по-
порядка пройденного пути, т. е.
1Р»~Рі.
�ными линейными масштаба-
масштабами характеризуется поперечная
корреляция эикондла. Считая, что
точки наблюдения разнесены толь-
только в поперечном направлении
СЂ СЂ
= za = L), для поперечной функции корреляции имеем
(Р .
а при изотропных флуктуациях е
(33.15)
(33.16)
S 3:fl ФЛУКТУАЦ�� ЭГЖОНАЛА 265
�з выражений (33.15) и (33.16) следует, что поперечная корре-
корреляция простирается на расстояния порядка /„—радиуса корре-
корреляции диэлектрической проницаемости, т. е. /j_ ~ 1е. Это не-
непосредственно видно и на примере гауссовой корреляционной
функции (33.12), для которой
чЫр, L)~-^U>.e-pl/s('«-a^-pt/f'!. (33.17)
В дальнейшем нам понадобится также поперечная структур-
структурная функция эйконала
которая выражается через поперечную корреляционную функ-
функцию ijij_ (если она существует) следующим образом:
Dx (р, L) -= 2 [^ (0, /.)-ф± (р, /.)]-!$ Г*. (0. О-*. (Р. О] *•
Рѕ
Но согласно (4.7)
и поэтому
РћРЎ
j (33.18)
В отличие от (33.15), эта формула пригодна не только для одно-
однородных, но и для локально однородных случайных полей е, когда
корреляционной функции i|re не существует. Для «локально
однородных и изотропных полей вместо (33.18) имеем
Y^ (33.19)
Рѕ
Приведем также аналогичное (33.8) выражение для Dj_ через
пространственный спектр флуктуации:
DL(p,L) -2n2i,5В©(,.(x)[l-/0(xp)]xdx. (33.20)
Рѕ
Эти формулы понадобятся в § 36 при анализе флуктуации эйко-
эйконала в турбулентной атмосфере.
Мы рассмотрели флуктуации плоской волны в статистически
однородной среде. Но, оставаясь в рамках метода геометрической
266 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� ГГЛ. V
оптики, нетрудно получить характеристики флуктуации непло-
неплоских (в первую очередь сферических) волн, учесть регулярную
рефракцию_волны, обусловленную изменением средней прони-
проницаемости е(г), и отказаться от статистической однородности
флуктуации е, ограничившись квазиоднородностью. Эти возмож-
возможности, собственно rqeopfl, и составляют преимущество МГО по
сравнению с другими асимптотическими методами—МП В и МПУ,
в которых указанные обобщения либо приводят к слишком
сложным выражениям, либо вообще неосуществимы.
Проведем качественное рассмотрение некоторых обобщений,
используя результаты, полученные выше для плоской волны
(разумеется, количественные
выводы должны опираться на
* исходное выражение (32.15)).
Рассмотрим два невозмущен-
невозмущенных луча, отвечающие цеплос-
кой волне (рис. 40). Обозначим
р 4f) через /., и L2 длины этих лучей,
ис' ' приходящих в точки наблюде-
наблюдения г, и г,, через t01 и t0,—
единичные векторы вдоль этих лучей, а через 6—вектор, соеди-
соединяющий точку на одном луче с ближайшей к ней точкой на
другом луче. Для краткости мы будем называть 6 «расстоя-
«расстоянием» между лучами. В рассмотренном выше случае плоской
волны величины Ц и Lt были расстояниями от начальной плос-
плоскости г = 0 до точек наблюдения г, и г,, векторы t01 и t,, были
равны друг другу и направлены по оси г, а расстояние между
лучами в совпадало с поперечным разнесением точек наблюде-
наблюдения 6 — р = р,—р9. Поэтому выражение (33.5) в новых обо-
обозначениях запишется следующим образом:
Р§>, (Рі,, Рі,) - -%В¦ ] % (6 + U) <РЄ (33.21)
Рѕ
РіРґРµ /-< = min{Z.i, L,\.
Главная особенность неплоской волны заключается в том,
что расстояние между лучами 8 является переменной величи-
величиной, зависящей от пройденного волной пути s. Если попереч-
поперечное разнесение точек наблюдения мало по сравнению с длинами
лучей Lx и L,, то дистанцию s удобно отсчитывать вдоль неко-
некоторого среднего луча, приходящего, скажем, в точку (г,-(-г,)/2.
При этом единичные векторы t01 и t0, приближенно можно счи-
считать равными единичному вектору t, вдоль среднего луча (на
рис. 40 средний луч показан пунктиром). Чтобы получить пра-
правильный результат при переменном расстоянии между лучами,
f 33) ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА 267
нужно заменить в формуле (33.21) /.< на J ds и рассматривать
Рѕ
t, как единичный вектор вдоль среднего луча. Для функции
корреляции нсплоской волны в статистически однородной среде
с е — 1 мы получим тогда
•¦< «
*• (ri. rj = i f Л Г *.[6 (s) + CU «¦ (33.22)
Совместив точки наблюдения г, и г„ т. е. положив Z., =
—L2=L и 8(s) —О, находим из (33.22) выражение для диспер-
дисперсии эйконала:
Отсюда видно, что дисперсия эйконала cj, не зависит от вида
первичной волны и, в частности, одинакова для плоской, сфе-
сферической и цилиндрической волн.
�спользуя (33.22), рассмотрим поперечную функцию корре-
корреляции эйконала расходящейся сферической волны, полагая, что
источник и точки наблюдения находятся внутри случайно-не-
случайно-неоднородной [среды (флуктуации в слое конечной толщины рас-
рассмотрены в задаче 1, а особенности флуктуации фазы сходя-
сходящейся сферической волны—в задаче 2). Пусть точки наблюдения
rt и г, расположены на одинаковом расстоянии L от источника.
Если р = Г!—г,—поперечное расстояние между точками наблю-
наблюдения, то текущее расстояние между лучами 8 (s) линейно
меняется от нуля при s = 0 до р при s=L:
Следовательно, для сферической волны
+ 1.СЃ)В«. (33.24)
формулу можно записать иначе, если учесть, что
(33-25)
268 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
где г|>™(р, Ц — поперечная функция корреляции плоской волны
(33.15). Отсюда следует полезная формула
L I
4? (СЂ, L) ~1 { ds *? (СЂ Рі, L) = Р“ <fy *В« (vp, L). (33.26)
b b
которая связывает функции корреляции эйконала сферической
и плоской волн.
В случае изотропных флуктуации параметров среды, когда
Ф5" зависит от р — | р |, функция корреляции эйконала сфериче-
сферической волны тоже будет зависеть только от р и выражение
(33.26) можно записать в форме
*РЈ(СЂ', L)dp'. (33.27)
�з этой формулы, как и из (33.24), следует, что радиус кор-
корреляции эйконала у сферической волны больше, чем у плоской,
поскольку при одинаковом конечном расстоянии р текущее
расстояние 6(s) между расходящимися лучами меньше, чем
между параллельными. Очевидно, для сходящейся сферической
волны будет справедливо обратное соотношение (см. задачу 2).
Рассмотрим конкретный пример вычисления t^*. В случае
гауссовой корреляционной функции флуктуации ё, когда th™
дается выражением (33.17), для if*!^ получаем
РіРґРµ
f
Рѕ
— интеграл ошибок.
На рис. 41 коэффициенты корреляции эйконала показаны
кривой / для плоской волны: К™(р) — ехр (—рг/2/|) —и кри-
кривой 2 для сферической волны: К^(р) — Кп/2(/,/р)Ф(р//е). �з
рисунка видно, что уровень /(„ = 7, достигается при р=1,18/,,
в случае плоской волны и при р = 2,40/,в случае сферической,
т. е. поперечный радиус корреляции эйконала сферической
волны примерно в два раза больше, чем у плоской.
Обобщение (33.22) на случай среды с постоянной средней
диэлектрической проницаемостью е, отличной от единицы, осу
ществляется просто изменением масштабов в у Е Раз> т- е-
S 331
ФЛУКТУАЦ�� ЭЙКОНАЛА
269
заменой dsdt, на dsdZJz.:
.28)
% (ri. r2) = | j IJ В¦. [6 (*) + РЁ dt- (33
Эта формула, однако, остается справедливой и тогда, когда s
медленно (в масштабе радиуса корреляции /„) меняется вдоль
среднего луча: e = e[ro(s)]. Сам средний луч под действием ре-
регулярной рефракции становится при этом криволинейным, так
Hflp)
Р РёСЃ. 42.
что направление касательного к нему единичного вектора t0
зависит теперь от s: to = ta(s).
Наконец, можно отказаться и от предположения о статистиче-
статистической однородности флуктуации среды и рассмотреть более общую
модель статистически квазиоднородных флуктуации. Функция
корреляции квазиоднородного поля г имеет вид (§ 5)
te(r', г") —ite(r' —г", R) = о\(R)К,(г' — f, R), (33.29)
причем здесь дисперсия a'i(R) и коэффициент корреляции
/Се (г' — г", R) медленно (в масштабе /е) зависят от координаты
центра тяжести R = (r' —г")/2. При подстановке (33.29) в (33.28)
значения R следует брать на невозмущенном среднем луче
R = ro(s), а разность г —г" целесообразно представить в виде
суммы 6 (s) +10 (s) ?, где 8(s) — поперечное, а to(s) ? — предельное
расстояние между точками г' и г", лежащими на соседних лучах
(рис. 42). В итоге для функции корреляции эйконала имеем
Рі3)
i<
РЎ % Р• |Р“0(5)| J
[6 (s) +1, (s) РЎ; Рі0 (s)] d%. (33.30)
Под L< здесь подразумевается меньшая из длин криволинейных
лучей Z.J и L%. Дисперсия получается из (33.30) при Li = L1 — L
270 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� |ГЛ. V
Рё 6 = 0:
(3331)
Внутренний интеграл в (33.31) представляет собой эффектив-
эффективный радиус корреляции:
В общем случае анизотропных флуктуации /афф зависит не
только от положения точки г0 (s) на луче, но и от направления
луча to(s) в этой точке. Записав дисперсию эйконала в виде
заключаем, что наиболыиий_ вклад в oj, дают те участки луча,
на которых величина а\1^е, максимальна. Отсюда, в частности,
следует, что флуктуации эйконала усиливаются по мере умень-
уменьшения средней диэлектрической проницаемости е. Такое усиле-
усиление флуктуации происходит, например, в ионосфере в области
отражения радиоволн, излученных с Земли (см. задачу 4).
Рассмотрим некоторые особенности поведения поперечной
(относительно невозмущепного луча) функции корреляции эйко-
эйконала, считая, что точки наблюдения г, и г, лежат на одном и
том же невозмущенном фазовом фронте <ро = const:
(33.33)
Очевидно, основной вклад в интеграл (33.33) дают те участки
траектории, на которых расстояние между лучами минимально,
т. е. участки наибольшего сближения лучей (с этим мы уже
сталкивались при сопоставлении флуктуации в сферической и
плоской волнах в среде с е = const). Влияние расстояния между
лучами на функцию корреляции эйконала можно проиллюстри-
проиллюстрировать на примере наклонного падения плоской волны на отра-
отражающий [слой С ё = ?(г). На рис. 43, а и 43,6 показаны две
34]
ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ. СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫВАН�Я
271
amst В¦
пары лучей при разнесении точек наблюдения г, и г. на оди-
одинаковое расстояние р, по один раз — перпендикулярно к пло-
плоскости чертежа (рис. 43, а), а другой раз — в плоскости чертежа
(рис. 43, б). В_первом случае оба луча параллельны друг другу и
расстояние б .между ними всюду равно расстоянию р между
точками наблюдения. Во втором жел случае, когда лучи лежат
в одной плоскости, расстояние б всюду меньше р и даже обра-
обращается в нуль в точке пересечения лу-
лучей. Ясно, что величина радиуса кор-
корреляции эйконала больше именно во
втором случае, когда лучи сближают-
сближаются. Различие радиусов корреляции в
случаях а и б означает, что регуляр-
регулярная рефракция приводит к анизотро- у
пии (анизомерии) флуктуации эйконала,
в плоскости, поперечной к лучу.
В рассмотренном примере лучи,
отраженные от плоского слоя, обра-
образуют каустику, которая касается лу-
лучей в точках их поворота. Строго го-
говоря, применение метода геометрической
оптики в этом случае незаконно, пос-
поскольку на каустике, как известно, ам-
амплитуда волны, вычисленная в прибли-
приближении геометрической оптики, равна бесконечности в силу обраще-
обращения в нуль сечения лучевой трубки dS, в формуле (32.8). Этот
недостаток метода геометрической оптики можно, однако, испра-
исправить, используя для описания поля вблизи каустики более
совершенные асимптотические методы, которые обеспечивают ко-
конечность поля на самой каустике, а вдали от нее дают сумму
падающей и отраженной волн вида �е'*» [8J. В результате вдали
от каустики корреляционная функция эйконала отраженной
волны определяется тем же выражением (33.33), что и для па-
падающей волны. В непосредственной же близости к каустике при-
приближение геометрической оптики, разумеется, непригодно.
Р РёСЃ. 43.
§ 34. Флуктуации углов прихода, боковых смешений луча
и группового запаздывания волны
1. Флуктуации углов прихода. Углы прихода
волны определяются направлением нормали к фазовому фронту,
которое в изотропной^среде совпадает с направлением единич-
единичного вектора t-=V<p/Ke, касательного к лучу. Найдем отклоне-
отклонение этого вектора от невозмущенного положения to = V<Po/' е.
272
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
[ГЛ. V
С точностью до первого приближения включительно имеем
. _ У<р _ V (фо+ф!-1- ¦¦¦) _ Vу0 , I
Р“
Но согласно (32.14) е - 2 |/ е (t0Vq>i). так что
и поправка первого порядка к направлению невозмущенного
луча t0 оказывается равной
РЈ
^) (34.1)
РЈ
где Vi—оператор поперечного (по отношению к невозмущенному
лучу) дифференцирования.
Согласно (34.1) вектор t, перпендикулярен к t0 и лежит в
плоскости, касательной к невозмущенному фазовому фронту
q>o= const. Пусть а и р—
два единичных ортогональ-
ортогональных вектора в этой плоскос-
. . ^,- ¦ ти, составляющие вместе с
'" i -—й2*т^ I вектором t0, касательным к
невозмущенному лучу, ор-
ортогональный репер (a, р, t0).
Вектор t, можно разложить
на две составляющие — по
направлениям а и 0:
С точностью до членов вто-
второго порядка малости углы
прихода луча 0а и Йр, от-
Рис. 44. считываемые от направле-
направления невозмущенного луча t,
(рис. 44), равны соответственно t\a и г^:
Отсюда следует, что средние значения углов прихода в обеих
взаимно ортогональных плоскостях (t0, а) и (t0, p) равны нулю,
Ва-=Вр=О, поскольку Ф! = 0, а элементы корреляционной мат-
матрицы этих углов даются выражением
Л (Pi. Р.) = <в« (Pi) Op (P,)> = i dj; I' ' • (34.2)
i 34] ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ, СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫПАН�Я 273
Эту формулу можно немного упростить, если учесть, что
флуктуации эйконала в плоскости, касательной к невозмущен-
невозмущенному фазовому фронту, квазиоднородны: поперечная функция
корреляции эйконала -ф, (р,, Р2) = 1|'х(р, Р-) «быстро» (с мас-
масштабом ~/Е) зависит от разностного аргумента р —Pi—р„ и
«медленно» (с масштабом /.е^>/Е)—от координаты «центра тя-
тяжести» р+—(р,-f p2)/2. Поэтому при переходе н формуле (34.2)
от переменных р, и р2 к переменным р и р, мы можем диффе-
дифференцировать только по разностной переменной р -р,— р,. Опу-
Опуская для краткости второй аргумент р+ у ^fp и \p_t получаем
Второй вариант этого соотношения сохраняет силу не только
для квазиоднородных, но и для локально однородных флуктуа-
флуктуации е, когда корреляционной функции i)?p не существует.
Выберем орты а и f> так, чтобы при малых р структур-
структурная функция DL имела вид D_ ж сара — c^P's- Тогда флук-
флуктуации углов прихода 0а и 0р, взятые в одной и той же точке
наблюдения, т. с. при р — 0, оказываются некоррелированными:
42^ (34.4)
Дисперсии же этих углов даются выражениями
и в общем случае анизотропных флуктуации ^йконала различны.
В частности, эти дисперсии неодинаковы в случае отражения
плоской волны от плоского слоя, в котором к--в(г) (рис. 43):
даже при изотропных флуктуациях г флуктуации угла прихода-
в плоскости чертежа меньше, чем в перпендикулярной плоскости.
При распространении плоской и сферических волн в статис-
статистически однородной и изотропной среде флуктуации эйконала
в плоскости, перпендикулярной к лучу, изотропны: ?>х (р) = D±(p).
В этом случае, в соответствии с общими свойствами изотроп-
изотропных векторных случайных полей (см. задачу 4 к гл. I), корре-
корреляционный тензор •фао выражается через единичный тензор fia$
и симметричный тензор рарр/рг (считаем, что г — 1):
¦а,-*1(бвв-^)+^. (34.6)
Здесь г))'! —поперечная, a i|>^ —продольная функции корреляции
изотропного двумерного векторного поля 6^{9а, 8ef = {tla, t^}
274 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
(термины «поперечная» и «продольная» функции корреляции
относятся здесь к компонентам корреляционного тензора, а не
к корреляции вдоль и поперек луча). �з сравнения (34.6)
с (34.3) находим
Эти функции связаны соотношением
*В°,(P)"[P*1(P)J'.
которое является очевидным следствием потенциальности век-
вектора e«!t, — Y<Pi- Дисперсии углов 6а и Вр для изотропных
флуктуации е одинаковы:
Для плоской волны, когда D± дается выражением (33.19),
для продольной и поперечной функций корреляции имеем
(34.9)
В частности, если функция корреляции имеет гауссову форму
(33.12), то
i, 0 ~9
где tj.(p) = aj,exp(—p4/2/|), а о^, дается выражением (33.13).
Аналогичным путем можно вывести формулы и для сфериче-
сферической волны. Укажем на полезное соотношение между диспер-
дисперсиями углов прихода плоской и сферической волн1):
(34.10)
') Считается, как и при высоде (33.26), что источник сферической волны
расположен внутри случайно-неоднородной среды и обе волны (плоская и
сферическая) проходят в среде одинаковый путь L.
S 30 ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ. СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫВАН�Я 275
которое легко вывести, используя (33.26):
1 1
[В¦1 (0)]* = В§Jdyiff (w)|pВ»o = [В¦!((0)Р“ J V'^Y = J[Р¤1 (0)]"".
Рѕ Рѕ
Таким образом, дисперсии углов прихода сферической волны
в три раза меньше, чем у плоской волны, прошедшей тот же
путь в среде. Качественно это можно объяснить различием в
величине поперечного радиуса корреляции (напомним, что у
сферической волны lL 'больше, так как лучи идут в среднем
ближе друг к другу, чем а плоской волне).
На опыте обычно фиксируются не сами углы 0а или 0g, a
некоторые другие величины, при помощи которых затем и оп-
определяются 8а и Эр (и большинстве случаев —приближенно). Так,
на интерферометре, ориентированном вдоль оси а и имеющем
базу ра, измеряется разность фаз AS (ра) = k Дф (ра). Если отнести
эту разность фаз к электрической длине базы kpa, получится
величина
Р№ _ Рђ<Р  (Р В«)
T~
которая при малых ра, а именно при
В соответствии с этим дисперсия
= <[Дф (ра
при малых р может служить мерой <9J>, поскольку при ра<^'«
<ei>В»V,O'L(0),
что совпадает с (34.8)
2. Статистика боковых смещений луча. Луч
в среде, содержащей случайные неоднородности, представляет
собой извилистую пространственную кривую. Вычислим средне-
среднеквадратичное смещение луча от его невозмущенного положения,
ограничившись для простоты случаем плоской волны, распро-
распространяющейся в статистически однородной среде.
Запишем для траектории луча r(s) ряд теории возмущений
по е: r(s) = ro(s)-| r,(s) + rs(s)+... Для поправки первого по-
порядка 4 = 1"! из уравнений лучей (32.6) имеем (прие=1)
L L I
q=\tlds=\iVL<fld2', (34.11)
Рѕ Рѕ
откуда видно, что в первом порядке теории возмущений луч
смещается только в поперечном по отношению к невозмущен-
невозмущенному лучу направлении: если волна распространяется вдоль
оси г, то вектор q содержит только х- и ^-компоненты.
276 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
Подставив в (34.11) значение <ра из (32.17) и интегрируя по
частям, находим
q (p, L) = 1J &« J <fc" Vxe (р. О —f J №- «') Vie (P. г') <fa'.
0 0 0
(34.12)
Составим корреляционную матрицу боковых смещений луча
(P = Pi—Р.):
"' (3413>
где ?а и ijB—компоненты вектора q по двум взаимно перпен-
перпендикулярным направлениям а и р в плоскости г = const. Выра-
Выражение (34.13) можно упростить, перейдя в нем к переменным
интегрирования ? — г'—г" и ц^(гЧ-г*)/2. Повторив рассужде-
рассуждения, использованные при выводе (33.5), получаем
Если флуктуации е изотропны, то изотропным будет и дву-
двумерное векторное поле q. Элементы корреляционной матрицы
(34.14) в этом случае принимают вид, аналогичный (34.6):
где продольная и поперечная функции корреляции боковых
смещений луча даются выражениями
(34.15)
Можно убедиться, что при изотропных флуктуациях е взаимно
ортогональные компоненты боковых смещении ?а(р,) и q$(p2) при
pt — р, не коррелировать между собой
f 31) ФЛУКТУАЦ�� УГЛОВ, СМЕЩЕН�Й � ЗАПАЗДЫВАН�Я 277
а средние квадраты qa и qf равны друг другу:
В«. (34.16)
В частности, в случае изотропной гауссовой корреляционной
функции флуктуации проницаемссти (33.12) имеем
Если волна неплоская, но среда по-прежнему статистически
однородна и к= 1, корреляционная матрица боковых смещений
(34.13) приводится к виду
(34,8)
где, как и ранее, 6(s) — текущее расстояние между лучами, за-
зависящее от поперечного разнесения точек наблюдения р. В част-
частном случае сферической волны Ь — pslL, так что ¦;— = 7"лГ и
можно написать
- (34.20)
(34.2.)
Для среднего квадрата смещения qa получаем отсюда
1 Р“ s2 РЎ
2 J 'I2 J
J J
0 Рѕ
Но интегрирование по s дает /.'/30, и поэтому
— средний квалрат бокового смещения луча в сферической вол-
волне в 10 раз меньше, чем в плоской.
Расчеты флуктуации углов прихода и боковых смещений
лучей можно было бы провести, опираясь на иной подход, раз-
развитый в [4] и заключающийся в том, что случайные отклонения
и повороты луча можно при определенных условиях описать
как марковский процесс, возникающий под действием случайных
«толчков», обусловленных градиентами диэлектрической прони-
278 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
цаемости (ч. I, §§ 30 и 36). При таком подходе задача сводится
к решению уравнения Эйнштейна — Фоккера для совместной
плотности вероятностей поперечных смещений и направлений
луча. В случае плоской волны, распространяющейся в статисти-
статистически однородной и изотропной среде, решением уравнения
Эйнштейна—Фоккера является нормальный закон распределе-
распределения, причем вторые моменты, полностью характеризующие нор*
малыюе распределение, совпадают с вычисленными выше. Поэтому
рассмотрения статистики лучей при помощи уравнения Эйн-
Эйнштейна— Фоккера мы здесь не проводим. Отметим только, что
границы применимости такого подхода были установлены в [9,10],
а распространение метода на среды с регулярной рефракцией
было дано в работах [11 —13].
3. Флуктуации группового п ути. Групповой путь 2
в однородной и изотропной среде определяется выражением
РіРґРµ
--СЃ-
РґР°
— групповая скорость волны. Очевидно, отношение Sic пред-
представляет собой время распространения сигнала. В случайно-пре-
случайно-преломляющей среде групповой путь 2, а следовательно, и время
распространения сигнала испытывают флуктуации. Дисперсию
флуктуации группового пути можно вычислить методом возму-
возмущений. Ограничимся случаем, когда e = const, т.е. регулярная
рефракция отсутствует. Разлагая" 2 в ряд по малым флуктуа-
циям е, получаем для поправки первого порядка J?, к невоз-
в„ў Рґ (a VD ,
мущенному значению группового пути ^„=—i-^—-L выражение
�нтегрирование ведется, конечно, вдоль невозмущенного луча.
В недиспергирующей среде как е, так и ё не зависят от
частоты. В этом случае
f, (34.24)
Рѕ
-^
РЈРµ
т. е. возмущение группового пути 2Х совпадает с возмущением
эйконала срг Это является следствием равенства групповой и
t №1 ФЛУКТУАЦ�� УРОВНЯ 279
фазовой скоростей в недиспергирующей среде, так что все ска-
сказанное в § 33 относительно флуктуации эйконала без каких-либо
изменений переносится и на флуктуации группового пути. В част-
частности, для дисперсии группового пути, в соответствии с (33.12),
имеем
L В«
J (34.25)
Важным частным случаем диспергирующей среды является
изотропная холодная плазма, для которой е и е даются выра-
выражениями (30.29). Подстановка (30.29) в (34.23) приводит к выра-
выражению (при е = const)
l| (34.26)
в котором под знак интеграла входит 1/е" вместо 1/е 'в выра-
выражении (32.15) для эйконала <р,. Учитывая это, можно записать
выражение для дисперсии группового пути в плазме, аналогич-
аналогичное (33.31), но с заменой 1/е на 1/(с.)8:
(3427)
Ясно, что дисперсии о# и о, могут совпасть лишь при 8«1,
т. е. в случае достаточно высокочастотных волн, для которых
со1 j> u>\ — An&N ejm.
§ 35. Флуктуации уровня
Как мы уже указывали, уровнем амплитуды или просто
уровнем называют величину
где А'—некоторая постоянная величина той же размерности,
что и А, например амплитуда невозмущенной волны. Найдем
функцию корреляции уровня х-
Уровень х удовлетворяет уравнению
2тхУФ + Д<р = 0, (35.1)
которое непосредственно пытекает из уравнения переноса (32.5).
Представим х в виде ряда по е:
X = Xt + X.-f-X.+ ..., (35.2)
2Я0 МЕТОД ГЕОМЕТР � ЧКСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
гДе Хо — невозмущенное значение уровня, т. е. решение уравнения
0. (35.3)
Подставляя ряд (35.2) и аналогичное разложение (32.11) для
эйконала ф в урапнение (35.1) и учитывая (35.3), для поправки ул
получаем
2V<p0Vy.1 -f ЛФ, + 2VX.V<P, - 0. (35.4)
В этом уравнении можно приближенно заменить \(fx и Дфх на
\±<fL и Ai<f,, где Vx = V —10 (t0T) и Дх--VL —операторы попе-
поперечного дифференцирования. Действительно, по порядку величины
в то прсмя как |V':iVil = ТьЧ = у Ie I ~ °«- Поскольку нас инте-
интересуют дистанции /., большие по сравнению с радиусом корре-
корреляции неоднородностей 1е, можно считать, что I V и <р, I <^ I V j_<Pi |-
Нодобным же образом можно показать, что | А „фд | <^| Д Lrpx j.
В результате уравнение (35.4) принимает вид
Рѕ^^С„1 = 0. (35.5)
У плоской и ненаправленной сферической волн V.:Xo~0. ПО"
скольку на фазовом фронте ф„ —const амплитуда таких волн
постоянна и последнее слагаемое в (35.5) исчезает. Этим слагае-
слагаемым можно пренебречь и во многих других случаях, например
в случае волнового пучка или направленной сферической волны
с шириной луча а, превышающей радиус корреляции неодно-
неоднородностей /е. В самом деле, по порядку величины
откуда следует, что третье слагаемое в (35.5) примерно в Ija
раз меньше, чем второе. Пренебрегая членом с VxXo и учитывая,
что
запишем уравнение для %г в следующей форме:
Решение уравнения (35.6) имеет вид
$ 35] ФЛУКТУАЦ�� УРОЗНЯ 281
так что поперечная корреляционная функция уровня ifx(P> Ц —
--<Xi(Pii L) Xi (Pj, Ц/ выражается через корреляционную функ-
функцию эйконала 4\р(г'> г ) таким образом:
(35.8)
Здесь г'—r'(s') и г" -r"(s") -лежат на иевозмущенных лучах,
приходящих н точки наблюдения г{ и г2 (рис. 45), а А^ и Ах ---
поперечные операторы Лапласа по переменным г' и г". Ограни-
Ограничимся анализом флуктуации уровня для плоской и сферической
волн, распространяющихся в статистически однородной среде
СЃ i-1.
Согласно (.43.5) корреляционная функция эйконала плоской
волны 1рф(г',.г") равна
OS
ЧчрО"'. О-4rU«(P, ?)<*?. (35.9)
Рѕ
где s<—меньшее из двух расстояний s' и s", a p = const — рас-
расстояние между двумя параллельными лучами, приходящими п
точки г, и г2. Подставляя (35.9) в (35.8), получаем
JJ f (35.10)
Рѕ- Рѕ
Двукратный интеграл в (35.10) легко вычисляется:
Р™
Рѕ
так что для плоской волны
p, 0В«- (38.11)
Таким образом, флуктуации уровни нарастают пропорциональ-
пропорционально кубу пройденной волной дистанции L, тогда как поперечная
282 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� (ГЛ. V
корреляционная функция эйконала плоской волны (33.15) растет
пропорционально L:
j (35-12)
Заметим, что если интеграл в (35.11) выразить через ifx, то
корреляционная функция уровня плоской волны запишется в виде
Ai*(P Р¦ (35-13)
Эта формула упрощает вычисление фх, если известна корреля-
корреляционная функция эйконала if>j_-
Корреляционную функцию уровня можно выразить также
через спектральную плотность флуктуации диэлектрической про-
проницаемости:
J *l<b(* O^Vd'X (35.14)
Полагая в (35.11) или (35.14) р = 0, получаем два варианта
формулы для дисперсии уровня амплитуды:
= -^Рі J xiO.(Kj., 0)<ftcx. (35.15)
В случае изотропных флуктуации е функция корреляции
уровня зависит только от модуля расстояния р между точками
наблюдения:
**<<>В¦ '-^РЁ^СЂР©^СЂ^^ (35-16)
или в иной форме
00
Ыр.^) = т^х6Фе(*)Л,(кр)Л<. (35.17)
5
В частности, для гауссовой корреляционной функции (33.12)
расчет по любой из формул (33.16) или (33.17) дает
4>x(P) = В°;(l-f+jJJ)<-pV"i, (35.18)
РіРґРµ
t 35] ФЛУКТУАЦ�� УРОВНЯ 283
Полезно отметить, что отношение дисперсии уровня о\ к дис-
дисперсии фазы о% = №а\ по порядку величины равно
L%&\% JL (VTl
т. е. определяется квадратом волнового параметра D ~ L/kll ~
—- (VХ?//Е)3. Но в области применимости геометрической оптики
выполняется условие Y^L<^.lt (32.10), при котором волновой
параметр мал (размер первой зоны Френеля мал по сравнению
с размером неоднородностей). Поэтому в пределах применимости
метода геометрической оптики флуктуации уровня должны быть
малы по сравнению с флуктуациямн фазы:
Р¬?Рѕ\. (35.21)
Это позволяет в ряде случаев, например при вычислении в рам-
рамках геометрической оптики среднего поля и функции когерент-
когерентности, пренебречь амплитудными флуктуациями по сравнению
с фазовыми (§ 37).
Обратимся еще раз к выражению (35.14), которое можно рас-
рассматривать как двумерное разложение функции корреляции в
интеграл Фурье. Следовательно, величина
Рх ("1, Ц = тг х!Фь (*х. 0) (35.22)
представляет собой двумерную спектральную плотность флук-
флуктуации уровня амплитуды. В случае изотропных флуктуации
Ря(*х, i) = F»(xx, L)—^х1Ф.(хх). (35.23)
Входящий в (35.23) множитель хх приводит к ослаблению вклада
крупномасштабных (хх —• 0) составляющих спектра флуктуации е.
Это означает, что в приближении геометрической оптики флук-
флуктуации амплитуды обусловлены в основном мелкомасштабной
частью спектра флуктуации проницаемости е. Наличие в (35.23)
множителя Xj_ позволяет пользоваться этой формулой и в слу-
случае локально однородных и изотропных нолей, когда простран-
пространственный спектр Ф„ (х) может иметь при х -* 0 степенную осо-
особенность вида у.~а с а. < 5.
Следует специально отметить, что обращение двумерной спект-
спектральной плотности F%{v.i_, L) в нуль при хх—*0 эквивалентно
равенству
В«
(2я)«Рх(0)= J ¦х(р)*р = О, (35.24)
284 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
которое и случае изотропных флуктуации принимает вид
$0. (35.25)
Соотношения (35.24) и (35.25) тесно связаны с законом сохране-
сохранения энергии. Подробно этот вопрос рассмотрен в § 46, где по-
показано, что в случае плоской волны интеграл от флуктуацион-
ной компоненты /—-/-- /.взятый по всей плоскости, равен нулю:
\ 7(СЂ, z)d2p-=O (35.26)
- СЃРѕ
(заметим, что встречающийся иногда вывод соотношения (35.26)
с использованием свойства пространственной эргодичности
\ / (р, L)d'fi— /2 некорректен). Но, поскольку 1 = \А\"-~
— | Ао\ V* « |Л,|'(1 +2%), при малых флуктуациях уровня
(когда только и можно пользоваться приближением геометриче-
геометрической оптики) имеем
так что из (35.26) вытекает закон сохранения для %:
] ?(СЂ,Рі)#СЂ-Рћ. (35.27)
— ОС
Умножая (35.27) на х(р'. г) и усредняя, получаем (35.24).
�з (35.24) следует, что функция корреляции уровня обяиа-
тельно должна наряду с положительными значениями принимать
и отрицательные. Это можно видеть и на частном примере среды,
у которой флуктуация р имеет гауссову корреляционную функ-
функцию: выражение (35.18) в этом случае отрицательно в интервале
p( ,
Несколько сложнее вычисляется функция корреляции уровня
амплитуды сферической волны. Пусть источник и точка наблю-
наблюдения находятся в статистически однородной среде. Согласно
(33.22)
Рі") = | \" ds JiM6 + Eto)d?, (35.28)
причем текущее расстояние между лучами, приходящими в точки
§ .151 ФЛУКТУАЦ�� УРОВНЯ 288
г' и г", равно (рис. 45)
Текущее расстояние между лучами 6 здесь можно выразить
через расстояние p = ri — г2 между точками наблюдения г, и iy
6-ps/i..
Упростим выражение (35.30), воспользовавшись соотношением
которое легко доказывается повторным интегрированием по
частям. В нашем случае
Полученный результат можно представить в иной форме, если
учесть, что внутренний интеграл равен корреляционной функции
плоской волны (35.11), умноженной на 24/L":
(35.32)
Дифференцирование (35.28) дает
(35.29)
(35.30)
и в результате по формуле (35.8) находим
(35.31)
и поэтому
(35.33)
или если ввести безразмерную переменную интегрирования
286 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� (ГЛ. V
При р=0 отсюда следует универсальная связь между диспер-
дисперсиями уровня в плоской и сферической волнах. Поскольку
1
Рћ I * ' * . \* Р›.. *
дисперсия уровня сферической волны в 10 раз меньше, чем у
плоской:
1
[а'х (L)Y* s=3 \)?Ф (0, L) — 3 { уг (1 — v)" Фх"(О) dy = ~ [о?(?)]пл.
(35.34)
Эго соотношение, как и выведенные ранее соотношения (34.10)
и (34.21) для дисперсий углов прихода и боковых смещений
луча, универсально, разумеется, только в области применимости
приближения геометрической оптики.
Множитель v2('— y)' — s'(L—sV/L* в формулах (35.33) и
(35.34) определяет относительный вклад различных участков
луча в суммарный эффект флуктуации уровня амплитуды сфе-
сферической волны. Появление этого множителя, который обра-
обращается в нуль в начале (s = 0) и в конце (S — L) трассы, связано
с фокусировкой и дефокусировкой на неоднородностях среды,
т. е. с их линзовым действием. �звестно, что линза, помещен-
помещенная вблизи точечного источника света или вблизи точки наблю-
наблюдения, не влияет на интенсивность сферической волны. Линзо-
Линзовым же эффектом объясняется и относительная малость флуктуа-
флуктуации сферической волны по сравнению с плоской: неоднород-
неоднородности, расположенные в начале трассы, практически не влияют
на величину флуктуации амплитуды сферической волны, тогда
как именно эти неоднородности сильнее всего сказываются на
флуктуациях плоской волны.
§ 36. Флуктуации параметров волн
в турбулентной тропосфере
Применим общие формулы геометрической оптики к расчету
флуктуации параметров волн в турбулентной тропосфере. Для
тропосферы с хорошей степенью точности можно принять е—1,
а флуктуации е считать локально однородным и изотропным
полем (§ 4). При этих условиях структурная функция эйконала
плоской волны дается выражением (33.19) или (33.20).
Подставим в (33.20) спектральную плотность (4.17):
Фе (к) = 0,033С|х-"'. ехр (- x'/xj,), (36.1)
S 36] ФЛУКТУАЦ�� В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ 287
где С% — структурная постоянная, *„, —5,92//0, а 1Ь — внутренний
масштаб турбулентности. �нтеграл (33.20) от такого простран-
пространственного спектра выражается через вырожденную гипергеомет-
гипергеометрическую функцию Л (см. [3], § 42):
Р¦ = 2. 2 C|W' [^ (-4,1, -4^)-
Если заменить эту функцию ее асимптотическими значениями
при малых и больших значениях ее третьего аргумента, то для
D^(p,L) получаются следующие предельные выражения:
Аналогичные предельные выражения для D±(p,L) можно найти
и непосредственно из (33.19), если распространить грубую аппро-
аппроксимацию для De(r), полученную интерполяцией предельных
значений (4.12) и (4.13), справедливых соответственно приг^>^
и г<^1„, на область r~i0:
Проделав указанные выкладки, мы увидим, что найденный ре-
результат отличается только заменой коэффициента 0,82 на единицу.
Формула (36.3) дает при малом разнесении точек наблюде-
наблюдения квадратичную зависимость структурной функции от р. При
больших же р поведение D± описывается степенным законом
«пять третей». Неограниченное нарастание Dj_ с ростом р соответ-
соответствует бесконечному значению дисперсии эйконала Оф(?) =
=ij!i (0, Ц—л1гОх (оо, L). Конечно, в действительности диспер-
дисперсия <7ф ограничена, поскольку при р—>¦ оо структурная функция
^х (р.'-) «насыщается». Для грубой оценки^Оф примем для
De(p) аппроксимацию (4.19):
^'-СЃРѕРї* Р“>РЎ (36-5)
где ?0—внешний масштаб турбулентности (по сравнению с (4.19)
мы пренебрегаем здесь участком г <! /0, который вносит несу-
несущественный вклад в alp).
Поскольку i|je(r)=[De(oo)—De(r)]J2, из (36.5) находим
288 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
где <т|^1|>е(0) = l/,C|Lo''—дисперсия диэлектрической проницае-
проницаемости. Оказывается, что функция корреляции (36.6), получен-
лая интерполяцией предельных значений при г«^/.о и r^>L0 на
промежуточную область г~10, не является положительно опре-
определенной (спектральная плотность Фе для (36.6) принимает отри-
отрицательные значения). Тем не менее, используя (36.6) для вычис-
вычисления корреляционной функции фазы, мы можем рассчитывать
на получение качественно правильных результатов при г<^1„
и r'^>L0. Оправданием этому служит то, что приводимые ниже
формулы (36.7) и (36.8) могут быть получены и более строгим
путем. I
Подставляя (36.6) в (33.if), получаем корреляционную функ-
функцию фазы:
• - • (36.7)
I
В частности,
Таким образом, средний квадрат флуктуации эйконала опреде-
определяется длиной трассы, внешним масштабом турбулентности и
дисперсией флуктуации o'i—'/jOlL'J', а функция корреляции эй-
эйконала обращается в пуль при р > ?„.
Положив в (36.8) С?—10-" см-*''\ Z- = l км, Lo — 1 м, полу-
получаем для дисперсии эйконала а;, типичное значениесГф —-2-10 8 см2.
Типичное же значение дисперсии фазы a2s — k'cfip составляет 3-102
на длине волны X — 5-10"5см (оптический диапазон) и 3-10~«
при >. — 0,05 см (субмиллиметровые волны).
Статистические характеристики углов прихода луча могут
быть рассчитаны при помощи формул § 34. В частности, при
помощи (36.3) для дисперсии угла прихода <й^> по формуле
(34.5) находим
'?!W^-. (36.9)
Подобно структурной функции фазы, функция корреляции
уровня тоже может быть выражена (при помощи (35.14)) через
гипергеометрические функции [3]. В частности, согласно [3],
для спектра (36.1) дисперсия уровня равна
(^^0,8-C|/.В»Z,"Vl, (36.10)
36] ФЛУКТУАЦ�� В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ 289
а коэффициент корреляции уровня Kx(l>) — ^х(Р. L)lo\(L) ведет
себя так, как показано на рис. 46, взятом из [3J, причем хя^
-=5,92//0. Как видно из рисунка, коэффициент корреляции Kx(v)
принимает отрицательные значения, как это и должно быть для
плоской волны.
Структурную функцию эйконала сферической волны можно
рассчитать при помощи формул (33.26) или (33.27). В предель-
предельных случаях p<4h и р^>/0 для нее получаются выражения [3]
'(36.11)
Что же касается дисперсий углов прихода и уровня амплитуды
сферической волны, то для них справедливы соотношения (34.10)
и (35.34), показывающие, Что
дисперсия угла прихода в три
раза, а дисперсия уровня амп-
амплитуды сферической волны в
десять раз меньше, чем у плос-
плоской волны. Дисперсия бокового
смещения в сферической волне
тоже в десять раз меньше, чем
в плоской (см. (34.21)). о 1 г 3
Общее, ограничение МГО— Рис. 46.
неравенство (32.10) —в случае
турбулентной атмосферы сводится к условию малости радиуса
первой зоны Френеля по сравнению с внутренним масштабом
турбулентности:
/РЇРҐ</Рћ. (36.12)
В приземном слое атмосферы, где /0 ~ 1 см, и в оптическом диа-
диапазоне (Я = 5-10~6см) неравенство (36.12) ограничивает дистан-
дистанцию L значениями порядка 200 м. Однако из дифракционных
расчетов (см. § 41) следует, что некоторые результаты прибли-
жепия геометрической оптики оказываются справедливыми на
гораздо больших дистанциях.
Отчасти это объясняется тем, что в спектре турбулентности
(36.1) мелкомасштабные неоднородности с х^х„ представлены
слабее, чем крупные неоднородности с х^х„. Поэтому, когда
с ростом дистанции размер первой зоны Френеля станет срав-
сравним с внутренним масштабом /„ и неравенство (36.12) нару-
нарушится, для большей_насти неоднородностей еще будет выпол-
выполнено неравенство VkL^l, позволяющее применять геометриче-
геометрическую оптику для более крупных неоднорэдностей, с масштабом
1>1,. Эги крупные неоднородности влияют главным образом на
фазу волны, а не на ее амплитуду. В результате флуктуации
'Э СМ. Рытов'н др. 4.111
290 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� (ГЛ. V
фазы в турбулентной среде выражены (по отношению к флуктуа-
циям уровня) сильнее, чем в среде с одномасштабными неодно-
родностями. Действительно, согласно (36.8) и (36.10) отношение
дисперсий уровня и фазы по порядку величины равно
-%=
По сравнению с (35.20) здесь появился малый множитель
(10[Ьоу/ч^1, который и отражает возросший вклад крупных
масштабов в флуктуации фазы (о роли крупных и мелких неодно-
родностей при учете дифракции см. также § 41).
§ 37. Среднее поле и функция когерентности
В первом приближении геометрической оптики флуктуации
фазы и уровня волны распределены по нормальному закону,
поскольку обе величины выражаются в этом приближении инте-
интегралами от е (или от производных г), причем на пути интегри-
интегрирования L луч встречает много неоднородностей. Нормализация
фазы и уровня при этих условиях является следствием цент-
центральной предельной теоремы.
Если флуктуации фазы S « S, = fop, и уровня x^Xi подчи-
подчиняются нормальному закону, то поле
Рё = ets< Рі СЏ- eВ«.+:t.efs1+jc1 = В«^s.+x, (37.1)
(uo — eiS'+x'—невозмущенное поле) распределено по логарифми-
логарифмически нормальному закону. Учитывая, что в зоне применимости
геометрической оптики дисперсия уровня о|_значителыго меньше
дисперсии фазы а% (см. (35.20) и (36.13))/можно при вычисле-
вычислении моментов поля и пренебречь флуктуациями уровня, т. е.
положить
uxuoeis*. (37.2)
Воспользовавшись формулой
<в«> = «-'/.«¦>, (37.3)
которая справедлива для любой нормальной величины % с 5 = 0.
находим из (37.2)
или, учитывая выражение (33.31) для дисперсии (Тф,
(37.4)
j 3/J СРЕДНЕЕ ПОЛЕ � ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 291
Величина
РѕСЃ
| (37.5)
выступает здесь как коэффициент ослабления среднего поля
вдоль луча, т. е. как коэффициент экстинкции. Согласно (37.4)
среднее ноле убывает тем быстрее, чем больше дисперсия флук-
флуктуации а\.
В статистически однородной среде коэффициент экстинкции
постоянен и среднее поле затухает по экспоненциальному закону
a^u^-'''aL. (37.6)
При « = 1 и для статистически однородных флуктуации коэффи-
коэффициент экстинкции (37.5) записывается в ниде
(37-7)
что совпадает с. полным поперечником рассеяния единичного
объема о,, который определяет затухание поля в приближении
однократного рассеяния (см. задачу f к гл. IV).
Функцию когерентности поля Г,,^, r,) = <u(rx)u* (r,)> можно
вычислить при помощи (37.2) и (37.3). Приведем выражение для
поперечной функции когерентности, когда точки г, и г, распо-
расположены на фазовом фронте (р = г,—г,):
(Р . Р¦ РґР° | Рё0
p, Р©, (37.8)
где /, s= | tio|a—интенсивность невозмущенного поля, a Ds(p, L)—
=/гФх(р, ^ — поперечная структурная функция фазы. В случае
статистически однородной среды (е=1) Dx определяется выра-
выражениями (33.19) или (33.20), а выражения дли Dx в турбулент-
турбулентной атмосфере приведены в предыдущем параграфе. В частном
случае плоской волны, распространяющейся в турбулентной
среде (структурная функция дается (36.3)), функция когерент-
когерентности равна ,
0JV), Р <1,- [ '
Функция корреляции поля равна
Р®*
292 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�] [ГЛ. V
При слабых флуктуаииях фазы, когда о$<^1, корреляционные
функции (а следовательно, и радиусы корреляции) фазы и самого
поля совпадают: \|>а (р) я* ф5 (р). Если же Os^>l, то вторым сла-
слагаемым в формуле (37.10) можно пренебречь, и тогда
Р¤. (P. L) В» Р“.(СЂ, L) ^ /^-1/'РІ5">-В«. (37.
Радиус корреляции поля можно оценить (при о|^>1) из усло-
условия ф„ (р, L) г» V»/, или из эквивалентного уравнения ?>s (p, I) «
«2In2—1,4. Поскольку структурная функция фазы Os=^fe*?)v
пропорциональна пройденному волной расстоянию, радиус кор-
корреляции (когерентности) поля с ростом 1. уменьшается. Напри-
Например, если плоская волна распространяется в турбулентной тро-
тропосфере, а расстояние между точками наблюдения р лежит в инер-
инерционном интервале /,д^>р^>/0. то при помощи первой из формул
(37.9) для радиуса корреляции поля /„ находим
В данном случае он уменьшаете!! с ростом дистанции, как /,-*'».
В дальнейшем мы убедимся, что выражения (37.6) для сред-
среднего ноля и (37.8) для функции когерентности сохраняют силу за
пределами применимости приближения геометрической оптики,
когда флуктуации уровни-не малы и когда нельзя пренебречь
дифракционными эффектами. Как уже было сказано, это связано
с тем, что в случае крупномасштабных неоднородностей наруше-
нарушение пространственной когерен iиости поля происходит а первую
очередь за счет фазовых флуктуации, тогда как флуктуации
амплитуды (уровня) играют меньшую роль.
Задачи
I. В общем сяучас поперечная функция корреляции эйконала дастся вы-
выражением (33.33). В простейшем случае, когда флуктуации статистически
однородны, а средняя диэлектрическая проницаемость постоянна, невозмущен-
невозмущенные лучи можно считать прямыми линиями, расходящимися от источника.
Найти поперечную функцию корреляции эйконала сферической полны,
прошедшей через случайно-преломляющий слой конечной толщины (рис. 47).
Решение. Если /.,—толщина слоя, a Kt, — расстояние от источника до
слоя, то расстояние между лучами меняется по закону 6(s)--ns/(#a—Li),
а интегрирование по s в (3J.33) нужно проводить в пределах от J?, — Rt/сояб
До Ri-rLi — (R<i l-?o)/cosO, где 0—угол падения среднего луча на слой. Тогда
или, если учесть (33.25),
задачи 293
Эти формулы допускают предельный переход к случаю плоской волны (Ro—> о»,
т. е- бесконечно удаленк'-ш источник^ и к случаю источника сферической волны,
находящегося на "границе слоя (/?0—>О).
Выражения такого типа позволяют рассчитывать, например, флуктуации
фазы ультракоротких радиоволн, прошедших через статистически неоднород-
неоднородную ионосферу. Во многих случаях флуктуациями амплитуды (уровня) можно
пренебречь, заменяя ионосферу эдвивалентным фазовым экраном, н тогда легко
вычислить функцию корреляции поля на выходе из ионосферы. Дальнейшая
эволюция поля на пути от ионосферы до поверхности Земли подчиняется за-
закономерностям дифракции волн в свободном пространнее (§ 10).
Гиг. 47: Рис. 48.
2. Пусть иа (.мучайно-поолпородиое полупространство г > 0 падает сходя-
сходящаяся сферическая волна с фокусом в точке г — Г (рис. 48). Найти функцию
корреляции эйконала в плоскости г —const.
РћС‚ Рѕ СЃ С‚.
(Рћ
�з этих выражений следует, что в сходящейся сферической волне радиус кор-
корреляции меньше, чем в плоской, к стремится к кулю при г—> F (разумеется,
непосредственно в области фокуса приведенная форыула непригодна). После
прохождения фокуса радиус корреляции начинает увеличиваться и в пределе
2§>F формула (1) описывает флуктуации эйконала расходящейся сферической
волны.
3. Найти поперечную функцию корреляции эйконала плоской волны в среде
с анизотропными флухтуациями ё, описываемыми гауссовой корреляционной
функций вида (2.29)"с иасштаСгмн а и * — с (о'> Ь).
Ответ. Если большая ось Неоднородностей а лежит в плоскости (у, г)
и наклонена под углом у к направлению распространения волны (ось г), то
по формуле (33.15) имеем
294
РіРґРµ
МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К�
Vn.Lolab
1ГЛ. V
При изменении угла у от 0 до я/2 масштаб корреляции эйконала по оси у,
равный /,= У a1 sin8 у ¦ bs cos2 у. меняется от&(прн у^О) доа(при у —п/2),
тогда как масштаб корреляции по оси х остается постоянный, 1Х — Ь.
4. Вычислить дисперсию эйконала волны, отраженной от плоско-слоистой
?реды с линейным законом изменения средней диэлектрической проницаемости
e=8i—еаг (рис. 49, а) и со статистически однородными флуктуацнями е«
Решение. Пусть случайные неоднородности расположены выше уровня
г=Л. Для статистически однородных флуктуации по формуле (АЧ.32) имеем
11 ' ds
г аУшЫ> Г ds _ °11гЪЪ ['
где L—длина дуги луча от входа до выхода из слоя (рис. 49, б). Для вычис-
вычисления интеграла (1) надо знать зависимость г от текущей длины луча s. Если
в—угол падения луча на слой, а п^шву е(Л) = J^e, -е^Л -коэффициент пре-
преломления в начале слон, то уравнение луча удобно записать через параметр
дг(т) = дто-| T/70sin6, г(т) /i-f n0tcos6 — esTV4,
причем е |г (т)] — п\—е2тп0соз0-!-е|-4/4. Точкам поворота лучей отвечает уро-
уровень гпо1~ Л - «о cos2 G/f,, отстоящий от начала слоя г—Л на расстояние
S
Переходя в (1) к интегрированию по т(йт — ds/к г) в пределах от нуля
до t=4n0cos 9/e2, что отвечает возвращению луча на начальный уровень z = Л,
получаем
г Ое'эфф 1 + cos в
ЗАДАЧ�
295
При помощи этой формулы можно оценить толщину слоя
рый дает пятидесятипроценткый вклад в о,:
A' = *noa—*\ кото-
кото, A sin 0(1— sin6)
2 cos'РІ
= 'поа —Л—-
Прв начальной наклоне луча 6 — 45° находим отсюда А' —0.214, т. е. поло-
половину дисперсии эйконала л, дает примерно пятая часть слоя, а при 0 — 30° —
шестая часть (А' — Д/6). Таким образом, меньшая часть слоя, прилегающая
к точке поворота г — гпов (средняя проницаемость на луче в (г) здесь мини-
минимальна), даст примерно такой же вклад в дисперсию эйконала, как и осталь-
остальной слой.
S. Вывести обшую формулу для поперечной функции корреляции уровня
с учетом регулярной рефракции.
Ответ. Пусть 6*,(Si) и njci(sa) —приращения координат г,-(s,) и Xft(sj)
двух точек на одном и том же невозмущенном луче при переходе на близкий
соседний луч с сохранением длин Si и s2. Если ввести обозначения
6x,-(s,)
s< = mln{s', s"\.
:. S').
где (,—компоненты единичного вектора, касательного к нсвозмущенному лучу,
то при помощи (35.7) и (33.22) получаем для поперечной корреляционной функ-
функции уровня формулу
в которой но повторяющимся индексам производится суммирование.
6. Если волна дважды проходи г через одни и те же'неоднородности (на-
(например, в результате отражения or препятствия), то возникают своеобразные
эффекты двукратного прохождения [14]. Напри-
Например, для плоской волны, прошедшей в случайно-
неоднородной срелг путь L в прямом и обратном
направлениях, дисперсия фазы вдвое больше, чем
для волны, прошедшей дистанцию 2Л в той же сре-
среде, но в одном направлении. Найти дисперсию
°фдв фазы сферической волны, отраженной от
плоскости, удаленной от источника на расстояние
L (СЂРёСЃ. 50).
Решение. Пусть источник расположен в
начале координат. При ? — I флуктуации фазы в точке г -
жащей в плоскости г — 0, выражаются суммой
Р РёСЃ. 60.
'(Р . Рі),
Рѕ i.
первое слагаемое которой соответствует прямомуг а второе—обратному пути
296 МЕТОД ГЕОМЕТР�ЧЕСКОЙ ОПТ�К� [ГЛ. V
оолпы. Статистическое усреднение (1) дает (при L^-tF)
Рѕ Рѕ
При р —0, когда точка наблюдения совмещена с источником.
ОфДВ (0, i)_2ij Фе (0, S)dC~4o?,a)-2o5,(2Z.), (3)
Рѕ
где о*ф (г) представляет собой, в соответствии с (^3.9), дисперсию фазы при
однократном прохождении дистанции г. Двукратное увеличение о%д0 (О, I.) по
сравнению с оФ(2?.) обусловлено корреляцией флуктуации фазы на прямом
и обратном пути. Пели же прямой и обратный лучи проходят большую часть
пути через разные неоднородности (т. е. р^>/?), то второе слагаемое о (2) ста-
становится пренебрежимо малым по сравнению с первым, и тогда
<4РґВ« (P. L) =s 2o% (L) ~Рѕ% (2L),
Корреляция флуктуации интенсивности на прямом и обратном пути приводит
н к другому интересному эффекту — усилению обратного рассеяния [15].
Глава VI
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
§^38. Обоснованне^параболическогсЛуравнения
Мы уже говорили о том, что в случае длин воли Я, малых
по сравнению с размерами 1е неодно рода остей диэлектрической
проницаемости, рассеянные волны концентрируются в узком те-
телесном угле с раствором 6 порядка Ме<^1, т. е. распростра-
распространяются практически в том же направлении, что и первичная
волна. В силу этого становится существенным многократное рас-
рассеяние.
Одним из приближенных методов, учитывающих многократное
рассеяние, является метод геометрической оптики (гл. V), но он
полностью игнорирует дифракционные эффекты и ограничен усло-
условием J^XL<<5/e. Если это условие нарушается, т. е. расстояние L,
проходимое волной в неоднородной среде, достаточно велико:
? ^> (Ч/Ц = LR, то дифракционные эффекты становятся сущест-
существенными. Это можно пояснить следующим качественным рассу-
рассуждением. Если неоднородность размера /е освещается плоской
волной, то и размер ее геометрической «тени» на любом расстоя-
расстоянии L равен 1Е. Однако дифракция приводит к «расплыванию»
резких границ тени на величину порядка Y%.L (это размер пере-
переходной области свет—тень при дифракции на краю непрозрач-
непрозрачного экрана). Ясно, что дифракцией можно пренебречь лишь
при условии УП<^/В (см. (32.10)). Это условие зачастую до-
довольно жестко ограничивает длину трассы L.
Как мы видели в § 36, для света в турбулентной атмосфере
уже при L л> 200 м имеет место равенства ]^Xl = lz, т. е. гео-
геометрическая оптика становится неприменимой на расстояниях
порядка нескольких сотен метров.
В гл. V уже были упомянуты более общие приближенные
методы решения дифракционных задач, связанные с примене-
применением параболического уравнения, которые, с одной стороны,
используют, как и МГО, малость параметра ^//г, но вместе с тем
учитывают и дифракционные эффекты. Это — метод плавных
298 мнтод плавных возмущении 1гл. VI
возмущений (МПВ) и метод параболического уравнения (МПУ).
В этом параграфе мы выведем параболическое уравнение, причем
двумя способами, проясняющими разные стороны МПУ. Урав-
Уравнения МПВ будут затем получены из параболического уравне-
уравнения (§ 40).
Будем исходить из скалярного уравнения Гельмгольца
РђРё-| k'[\ РіС‘(Рі)]С†---0, (38.1)
(Рѕ2 -
где fes — -^-в—квадрат среднего волнового числа (предпола-
(предполагается, что f.--const), а е = [е(г)— е]/б- относительная величина
флуктуации диэлектрической проницаемости, так что <в> = 0.
Приведем сначала простейший вывод параболического уравне-
уравнения, основанный на наглядных соображениях.
Пусть неоднородная среда занимает полупространство z>0
и на него падает плоская волна и — /1,,exp(ifez). Так как мы
предположили, что /В^>Я, то рассеянные волны распростра-
распространяются в основном вперед, и волна, отраженная от неоднородной
среды, слаба по сравнению с падающей волной. Будем искать
поле и в среде в виде
Рё(СЂ, z) = i>(p, z)exp(ifor), СЂ = (РґСЃ, Сѓ). (38.2)
Здесь и(р, х)— амплитуда волны (воойце говоря, комплексная).
Если бы среда была однородной (е = 0), то амплитуда v не за-
зависела би от координат. В неоднородной среде можно ожидать,
что функция v (р, г) и ее производная по г будут мало меняться
на протяжении длины волны, так как изменения v связаны
только с наличием неоднородностей, а их размеры велики по
сравнению с ).. Поэтому должны выполняться условия
dv] -
РҐ 35 <l:
Рґ
Рґ
РґРі
dv
РЁ
(38.3)
(быстрое изменение и в зависимости от г уже описывается мно-
множителем схр (ikz)). Условия (38.3) могут выполняться лишь в том
случае, когда поле, рассеянное назад, мало. Действительно,
если поле и содержит и обратную волну Лехр(—ikz), то это
означает, что в амплитуде и присутствует слагаемое вида
Аехр(—2ifez), быстро меняющееся на расстояниях порядка X.
Таким образом, условия (38.3) уже предполагают, что ампли-
амплитуда А обратной волны достаточно мала по сравнению с ампли-
амплитудой прямой волны.
f 38] ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРАВНЕН�Я 299
Подставив (38.2) в (38.1), получаем уравнение
Но в силу второго неравенства (38.3) можно пренебречь членом
d*v/dz' по сравнению с членом 2ikdv/dz, что и приводит к па-
параболическому уравнению для амплитуды v:
Vkpz + d?i + d?, + k4(p,z)v=0. (38.4)
Уравнение параболического типа впервые было использовано
М. А. Леонтовичем при решении детерминированной задачи о диф-
дифракции радиоволн вокруг Земли [1J. Приведенное обоснование
уравнения (38.4), конечно, весьма нестрого. Рассмотрим поэтому
другой его вывод, где более отчетливо выявятся те величины,
которыми нужно пренебречь, чтобы получить (38.4) из (38.1) [2].
Уравнение (38.1) вместе с необходимыми для него граничными
условиями эквивалентно следующему интегральному уравнению:
и (г) = и0 (г) -k" $ G (г—г') ё (г') и (г') d?r'. (38.5)
Здесь и0 (г) — первичная волна (волна в отсутствие неоднородностей
среды), удовлетворяющая уравнению Ди0 + &2и0 = 0, a G (г—г') —
функция Грина:
G(r_r') = ___L__exp^|r-r'|}, (38.6)
удовлетворяющая уравнению AG+&2G = 6'(r— г') и условиям
излучения на бесконечности.
Пусть падающая волна имеет вид и„ (р, г) — Лехр (ikz). Разо-
Разобьем область интегрирования по г' в (38.5) на два участка —
Рћ < Рі' < z Рё Рі' > Рі:
Рі
Рё (Рі) = В«, (С‚)-& РЎdz' U*P'G (Рі-Рі') I (Рі') Рё (Рі') -
i J
—№ \ dz' \ d'p'G (г —г') I (г') и (г'). (38.7)
Рі
Рассмотрим первый из интегралов. Он является суммой слагае-
слагаемых вида
du+ (Рі) = - РєР® (Рі-Рі')С‘ (Рі') Рё (Рі') dz' dy,
причем для каждого из этих слагаемых г > г'. Величина'4и+
представляет сферическую волну (множитель G (г — г')) с центром
в точке г' и амплитудой —k*e (г') и (г') dz'dtp', определяемой рас-
рассеянием волны и(г') на неоднородности е (г'). При этом продоль-
300
МЕТОД ПЛЛПНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
[ГЛ. VI
Рѕ
ная координата точки рассеяния г' всегда меньше г — продольной
координаты точки наблюдения. Это означает, что все источники
сферических волн в первом интеграле (38.7) расположены в слое
п ^ '' < г, т. е. рассеянные волны, учитываемые этим слагаемым,
п приходят в точку наблю-
наблюдения с той же стороны,
что и падающая волна.
Точно так же легко
убедиться в том, что вто-
второй интеграл в'(38.7) сум-
суммирует все волны, прихо-
приходящие в точку г из области
г' > г. Ясно, что для того,
чтобы попасть в точку г
из области г' > г, волна
хотя'бы один раз должна
испытать рассеяние назад
(СЂРёСЃ. 51, Р°).
Если, однако, выпол-
выполняется условие Я<^/е, то,
как мы знаем, при каждом
акте рассеяния основная
часть рассеянной энергии
сосредоточивается в узком
телесном угле вблизи пер-
первоначального направления
распространения волны.
1} этом случае можно ожи-
ожидать, что интенсивность
волны, испытавшей хотя
бы одно обратное рассея-
Р РёСЃ. 51.
ние, будет малой по сравне-
сравнению с интенсивностью волны, которая испытала то же общее число
рассеяний вперед. Па этом основании мы можем пренебречь вто-
вторым слагаемым в уравнения (38.7) и записать его в виде л)
Рі
«"" (г) - «„ (г) —к' $ dz' \ d'p'G (г - т'й (г') и"» (г'). (38.8)
Рѕ
В приближении, описываемом уравнением (38.8), которое должно
удовлетворяться при любом г = г, в каждую точку приходят
волны только из области г' < г. Это означает, что при переходе
от уравнения (38.7) к уравнению (38.8) мы отбрасываем не только
') Смысл верх него индекса (0) в (38.8) разъяснен ниже.
j 381 ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРЛВНЬН�Я 301
волны, изображенные на рис. 51, я, но и волны того типа, кото-
который изображен на рис. 51, б, где волна приходит справа в одну
из промежуточных точек г,. Единственный тип волн, который
учитывается в уравнении (38.8), соответствует рис. fil, в. Здесь
не только в точку г, но и в каждую из промежуточных точек
волна приходит слева. В этом легко убедиться, если па писать
формальное решение уравнения (38.8) в виде итерационного ряда.
Таким образом, уравнению (38.8) удовлетворяют лишь те волны,
которые на пути распространения в слое (0, г) не испытали ни
одного акта обратного рассеяния. Это отмечено верхним индек-
индексом 0 п обозначении и1"'. Можно показать [2], что полное волно-
волновое поле и разбивается на сумму полей ит, и111', иш где
«<"—волна, испытавшая / актов обратного рассеяния.
Уравнение (38.8) можно упростить и дальше, если более после-
последовательно учесть условие >.<^.1е. Как мы знаем, характерный
угол рассеяния па неоднородности масштаба /е имеет порядок
0~V'e- Если первоначально падающая волна распространялась
вдоль оси г, то после перяого же акта рассеяния она будет рас-
распространяться под углом порядка 8 к оси г. Это'означает, что
в (38.8) отношение поперечной составляющей вектора г—г' к его,
продольной составляющей имеет порядок величины в, т. е.
<38-9)
�спользуя малость этого отношения, можно применить раз-
разложение |г — г'| в ряд Тейлора:
Функция Грина 0 содержит в показателе экспоненты фазовый
набег fe|r—г'|. Подставить вместо |г—г'| приведенное разложе-
разложение и ограничиться в нем лишь первыми двумя членами можно,
если выполняется условие
"Если, согласно (38.9), подставить сюда |р—р'|~ ). (г—г')//«, то
мы приходим к ограничениям1)
(38.11)
т) Отиетнм, ЧТО в силу условия ^^е /е д С
не 1го сравнению с единицей, как в МГО, а по сравнению с большим пара-
параметром (/еД)'. Таким образом, первое из неравенств (38. II) может выполняться
� » том случае, когда условия применимости МГО нарушаются,
302 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
при выполнении которых функцию Грина (38.6) можно заменить
на ее френелевское приближение
0,(1-0= -4-^^
(В знаменателе функции Грина с относительной ошибкой порядка
X//,, сказывающейся лишь на амплитуде, можно взять только пер-
первый член разложения (38.10).)
Подставляя в (38.8) приближенную формулу (38.12) для функ-
функции Грипа, приходим к уравнению
)-и„(р, г) +
С‰
p', «г
которое уже эквивалентно параболическому уравнению (38.4).
Чтобы убедиться в этом, используем аналогичную (38.2) подста-
подстановку к'0)(Р. г) —v(p, ?)exp(ifezl. В такой же форме пред-
стапим и падающую волну: «„ (р, г) -- А„ (р) exp (ikz). Отметим, что
в силу уравнения Ди„ 4-ft'«n = 0 амплитуда А„ (о) падающей волны
удовлетворяет условию Л Lj\a (р)=0, где Л , — дг/дхг + д*/ду*. Тогда,
после сокращения на общий множитель exp(/fcz), получим
(38.13)
Чтобы перейти к дифференциальному уравнению для v, следует
продифференцировать (38.13) по г. При дифференцировании ин-
интеграла по верхнему пределу возникает, однако, неопределен-
неопределенность—значение заключенного в квадратные скобки выражения
при г' = г. Чтобы установить, к чему стремится это выражение,
введем временно обозначение а* = 1(г—г')!к. Тогда оно при-
примет вид
и мы узнаем в нем двумерную гауссову плотность вероятностей,
соответствующую дисперсиям а по обеим осям. Но при а—-О
гауссова плотность вероятностей стремится к дельта-функции,
так что
§ 38J ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРАППГННЯ 303
Дифференцируя (38.13) по г и используя последнюю формулу,
получаем
Теперь учтем, что выполняется легко проверяемое непосред-
непосредственным дифференцированием соотношение
¦Ж |.2ж(гг')СХР(2(гг', )\ "Я* ^ [2(
rxJ^ Рђ Р“ cvni
2ж(г-г')СХР(,2(г-г', )\ "Я* ^ [2д«(г-г')еХР [ 2 (*-*'
�спользуя его и вынося оператор Д^. за знак интеграла, полу-
получим, с учетом (38.13), уравнение
! = -?в(г)1>(г)+24Дл>-/10). (38.14)
Но, как отмечалось, Д±Л0 = 0, в силу чего последнее уравнение
совпадает с параболическим уравнением (38.4).
В процессе вывода уравнения (38.14) мы установили, что
переходить в (38.8) ко френелевскому приближению для функции
Грина можно лишь при выполнении условий (38.11). Однако мы
не выяснили еще, когда можно пренебрегать волнами, рассеян-
рассеянными назад. Легче всего это сделать, воспользовавшись форму-
формулой (26.11) для эффективного поперечника рассеяния из единицы
объема (мы рассматриваем простейший случаи статистически
изотропных флуктуации):
^(4) (38.15)
Если проинтегрировать (38.15) по задней полусфере (л/2 <
<6<я, 0 < ф < 2л), то мы получим эффективный поперечник
рассеяния назад из единицы объема:
СЏ/2
�нтегрируя по <р и вводя вместо в нопую переменную интегри-
интегрирования х = 2k sin VjO, находим
2*
1 ^ Ф«М*Л<- (3816>
Эффективный поперечник ао6р равен той доле энергии падающей
волны, которая за счет рассеяния преобразуется в обратную
волну, когда прямая волна проходит единичное расстояние. Если
304 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 1ГЛ. VI
пренебречь уменьшением энергии падающей волны за счет этого
рассеяния, то на мути z в энергию обратной волны перейдет доля
энергии, равная cr^z (заметим, что, пренебрегая потерями энер-
энергии прямой полны, мы завышаем энергию обратной волны).
Поэтому условие, необходимое для того, чтобы пренебречь обрат-
обратным рассеянием и тем самым отбросить второй интеграл в (38.7),
можно записать в виде сг0брг<5$1, или
n'k'z J Фе(х)хЖс<|1. (38.17)
Рє VT
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если бы мы
интегрировали формулу (38.15) по всем углам (Ог^б^С л), то
получили бы полный эффективный поперечник рассеяния а0 (по
всем направлениям) и вместо (38.17) пришли бы к неравенству
24
Рѕ
т. е. к условию применимости борновского приближения. Мы ви-
видим, что условие (38.17) всегда является менее жестким, чем
(38.18). Если в области x>?]^2 функция Фе(") мала по срав-
сравнению с ее значением в области x<fej^2, то условие (38.18)
может нарушаться, даже если (38.17) выполняется.
Пусть, например, ij>B (г) = а|ехр (— ra/2aa). Тогда (§ 3) Фе (v.) =
=(2n)-'('aa|a3exp(—иаа2/2) и, выполняя интегрирование в (38.17),
получаем
У"па\кггае-'"а' (1 —е~к'а') <^ 1. (38.17а)
Условие же применимости борновского приближения (38.18) в этом
случае имеет вид (см. (26.19))
(38.18Р°)
Если ka^>l (крупномасштабные неоднородности), то условие
(38.18а) будет а\кгга^.\, тогда как из (38.17а) получаем
o^fe2za<^exp (fe2a"/2), т. е. параметр а\кага ограничен сверху не
единицей, а большим числом exp (k2a'/2)1).
С другой стороны, если выполняется условие применимости
борновского приближения (38.18), то заведомо выполняется и
') Если помимо условия ка^>1 выполняется также условие каг^>г, при
котором результаты дифракционного расчета совпадают с расчетами по МГО,
то многократное рассеяние вперед оказывается тем не менее учтенным. Отсюда
видно, что и МГО учитывает многократное рассеяние вперед.
f 381 ОБОСНОВАН�Е ПАРАБОЛ�ЧЕСКОГО УРАВНЕН�Я 305
условие (38.17). В этом случае пренебрежимо мала роль много-
многократного рассеяния вообще, в том числе и роль обратного рас-
рассеяния.
В качестве второго примера рассмотрим спектральную плот-
плотность Фг(и) = ЛС|к-">ехр (—х'/хУ, соответствующую флуктуа-
циям диэлектрической проницаемости, обусловленным турбулент-
турбулентностью (см. 4.17)).
Трехмерная спектральная плотность такого вида применима
в области х > 2яД,0, где La — внешний масштаб турбулентности.
Пользуясь этой спектральной плотностью, нельзя оценивать гра-
границы применимости борновского приближения, так как в области
у. < 2л/Л„ она неверна. Если, однако, k^>'2n/L0, то рассеяние
назад обусловлено лишь той частью пространственного спектра
неоднородностей, которую приведенная формула описывает. В этом
случае, оценивая интеграл (38.17), можно получить следующее
условие применимости параболического уравнения:
В атмосфере Земли, например, С|~ 10~16 см-*/>, хя ~ 10'см"1.
Если k~ 10* см"1 (видимый свет), то последнее условие приводит
к ограничению г<§108 км, которое заведомо выполняется, так
как путь светового луча в атмосфере Земли по порядку вели-
величины не может превышать 103 км.
Суммируем результаты этого параграфа. Если выполняются
условия
2ft
$
то распространение волны в случайно-неоднородной среде можно
описывать при помощи параболического уравнения
для медленно меняющейся комплексной амплитуды, связанной
с волновым полем и формулой и(р, г) =ехр (i/гг) v(p, г). Прибли-
Приближение параболического уравнения учитывает многократное рас-
рассеяние волн вперед и не учитывает обратного рассеяния. Дифрак-
Дифракция при использовании МПУ учитывается в приближении Фре-
Френеля. Важной особенностью параболического уравнения является
то, что оно первого порядка по г. Поэтому на плоскости г--const
достаточно ставить только одно граничное условие.
Я0(! МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Я Ц"Л. VI
§ 39. Закон сохранения энергии
в приближении параболического уравнения
�сходное волновое уравнение
AM-t-fe'[l-fe(r)]a = O, (39.1)
из которого было получено, уравнение (38.4) для а(р, г), имеет
интеграл энергии (26.2), (26.3):
(39.2)
= lm(u'Vu) (39.3)
(для упрощения дальнейших формул ми приняли входящий
в (26.2) коэффициент а равным k). Вектор <У представляет собой
плотность потока энергии волны.
Пусть u = Aexp(iS), где А — амплитуда и S—фаза полны.
Тогда для if легко получить формулу
¦У = A*\S. (39.4)
Выразим теперь <?" через v. Если комплексную амплитуду v
представить в форме v — А ехр (iSr), то из выражения и = иехр (ikz)
получаем соотношение
S = kz+S' (39.5)
между полной фазой S и фазой S' медленной функции v. Согласно
(39.5)
и закон сохранения энергии (39.2) принимает вид
4[-4'(a+-^)]+ViHВ»VxS'] = 0. (39.6)
В приближении параболического уравнения имеем
Умножив это уравнение на о*:
liktf |j+xf Р” jo + k4vtf = Рћ,
и вычитая из него комплексно сопряженное уравнение
{ 38] ЗАКОН СОХРАНЕН�Я ЭНЕРГ�� 307
получаем
+V(v*V"vVv*)=;0, (39.7)
где мы использовали формулу v*A±v — v&±v* = Vi(w*V±»—v V±p').
Соотношение (39.7), полученное в приближении параболического
уравнения, заменяет закон сохранения (39.2). Подставим в (39.7)
v = A exp QS'), что дает
В¦% (*<4В«) + Vi (^ VВ±S') = 0. (39.8)
Сравнение (39.8) с (39.6) показывает, что из компоненты &г
плотности потока энергии при переходе к параболическому урав-
уравнению выпадает величина A'dS'/dz. Следовательно, должно вы-
выполняться неравенство
dS'
или
(39.9)
Неравенство (39.9) означает, что фаза S' должна мало меняться
на длине волны в направлении оси г. Это неравенство не является
дополнительным ограничением, а вытекает из уже использован-
использованного при выводе (38.4) условия \<^1г. Действительно, чисто
геометрический набег фазы волны уже учтен слагаемым кг
в (39.5). Поэтому слагаемое S' связано только с наличием неод-
нородностей. Но характерные размеры последних велики по срав-
сравнению с длиной волны, в силу чего неравенство (39.9) удовлет-
удовлетворяется.
Уравнение (39.8) можно интерпретировать еще и иначе. Вели-
Величина A'=vv*=uu*zal пропорциональна плотности энергии
волны. Разделив (39.8) на k, имеем
Уравнение (39.10) аналогично закону сохранения энергии в не-
нестационарном поле. В (39.10) координата г выступает в роли
времени, а энергия распространяется в плоскости (х, у). Если
проинтегрировать (39.10) по некоторой площадке 2, лежащей
в плоскости г = const и ограниченной замкнутым контуром $?,
то получим
^ j" / dx dy+ ^ d\v&'L dx dy = 0.
, i i
Применяя ко второму слагаемому теорему Гаусса для двумерного
случая, находим
308 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Таким образом, изменение энергии, сосредоточенной на площадке
2, связано с потоком энергии через контур &, ограничиваю-
ограничивающий X.
Рассмотрим частный случай, когда неоднородности диэлектри-
диэлектрической проницаемости статистически однородны и плоскостях
z = coiist, а падающая волна — плоская. �з соображений симмет-
симметрии очевидно, что все усредненные величины могут зависеть
в этом случае только от г и не зависят от поперечного радиуса-
вектора р. Усредним уравнение (39.8):
Так как <<4г?х^> не зависит от р, имеем Vi <-4'Vj_S'> = 0
и, значит,
Мы видим, что для плоской волны, распространяющейся
в среде, статистически однородной в плоскостях г —const, выпол-
выполняется равенство
1U? — TO* = ^» = ^J = const. (39.11)
Этот результат строго вытекает из (39.8), но он оказывается
приближенным, если исходить из точного уравнения (39.6). Дей-
Действительно, усредняя (39.6), мы получили бы
откуда видно, что равенство (39.11) справедливо с относительной
погрешностью порядка Х/[г.
§ 40. Метод плавных возмущений
Параболическое уравнение (38.4)
{p, Рі) Рѕ = 0,
СЏРі Р»' (40Р›)
определяющее комплексную амплитуду v, связанную с волновым
полем и формулой и(р, г) = ехр (:'?г) v (p, г), в общем случае, как
и исходное уравнение Гельмгольца (38.1), не. может быть решено
точно. Поэтому и для уравнения (40.1) приходится использовать
приближенные методы решения. В этом параграфе мы рассмотрим
так называемый метод плавных возмущений (МПВ), предложен-
предложенный С. М. Рытовым в детерминированной задаче о дифракции
j <0] МЕТОЛ ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� 309
света на ультразвуковой волне [3] и примененный для решения
статистических задач А. М. Обуховым [4]. МПВ приспособлен в
первую очередь для исследования таких параметров волны, как
ее фаза и уровень.
Представим комплексную амплитуду t' (p, г) в виде
)), (40.2)
откуда Ф —1п(о//4„). Здесь S' — S — fes (см. (39.5)) —отклонение
фазы от регулярного ее набега fez в отсутствие неоднородностей,
а 1п(/1/�|,) = х — уровень. Таким образом,
S' —1тФ.
Подставив (40.2) в (40.1), получим уравнение
^ f A!i (СЂ, 2) =- 0 (40.3)
для комплексной фазы Ф. Уравнение (40.3), в отличие от (40.1),
нелинейно, но случайная функция е входит в него не в качестве
Коэффициента, а аддитивно.
Будем искать решение уравнения (40.3) в виде ряда
Ф--Ф1 + Фа+..., (40.4)
.-предполагая, что Ф; имеет порядок малости ot = y^ <ea>, Фа — по-
порядок ol и т. д. Подставив (40.4) в (40.3) и приравнивая нулю
Группы членов одинакового порядка малости, получаем следую-
следующую систему уравнений последовательных приближений:
2ik^ 1 ЛдФ, --кЧ(р, г), (40.5а)
2<ft^l-AiO, = -(VJ.В©l)'. (40.56)
2ik ^3 -i- дхф3 = -2УХФ, • V±Ф2, (4О.5в)
Рассмотрим при помощи этих уравнений задачу о флуктуа-
Ях уровня и фазы волны в статистически однородной случай-
случайной среде, заполняющей полупространство г > 0, если из области
г<0на нее падает плоская волна и (р, г) — Л0ехр(17гг). Поскольку
*1Ы пренебрегли обратным рассеянием, на границе 2 = 0 должно
быть непрерывным только поле и, но не ди/дг:
а(р, 0) = А„ v(p, 0) = Л„ ^1
310 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й (ГЛ. V!
Таким образом, граничные условия ко всем уравнениям (40.5)
имеют один и тот же вид:
С„,(СЂ, Рѕ)=Рѕ, Рі = 1, 2, ...,
а сами уравнения различаются только правыми частями. Поэтому
решение любого из этих уравнений можно представить в виде
Р¶
Ф( (P. z) = \ dz' \ d*p'K (р — р', 2 — г')/,(р', г'), (40.6)
где К—функция Грина оператора 2ifeg- + Aj_, a f,—правая часть
соответствующего уравнения для Ф(.
Фактически удается вычислить лишь несколько первых чле-
членов ряда (40.4) (обычно используется только первое приближение,
а следующий член Ф2 служит лишь для оценки погрешности).
Для того чтобы Ф мало отличалось от Ф,, необходимо, чтобы
правые части уравнений (40.5) достаточно быстро убывали
с ростом номера /, т. е. необходимо потребовать выполнения
неравенства
\\iO1\'<k*0t, или |bVj/t\|s<<V (40.7)
Условие (40.7) означает, что изменения Ф, на поперечных
расстояниях порядка длины волны X должны быть малыми по
сравнению с сте (сама величина Ф, имеет тот же порядок малости,
что и е). Таким образом, условие (40.7) требует достаточной
плавности изменения Ф,. В связи с этим и сам метод, основан-
основанный н"а использовании теории возмущений для комплексной фазы
Ф, получил название метода плавных возмущений (ЛШВ).
Входящая в (40.6) функция Грина имеет вид (см. задачу 2)
*(СЂ-СЂ\ z-/) = -^exP(<M). (40.8)
Она отличается от функции Грина уравнения Гельмгольца, взя-
взятой в приближении Френеля (см. (38.12)), лишь отсутствием
множителя exp(i'fe (г—г')).
В дальнейшем вместо формулы (40.6) мы будем пользоваться
соответствующей формулой, связывающей трансформанты Фурье
по поперечным координатам:
Ф<(Р> г)=$фг(х, z) exp (ixp) d'x,
ft (P. z) = J C< (x, Рі) exp (ixp) dВ«x.
s 401 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 311
Эквивалентная (40.6) формула имеет вид (см. задачу 2)
Z
«Pi (*. г) - ж I ехР (- '""'а
D
Рассмотрим первое приближение Ф,. Согласно (40.5а) /, (р, г) =
—feJe(p, г) и из (40.9) получаем (опустим индекс 1 в ср,)
С„(С…, 2)=4JВ«p(-^JP^)e(x,2')&'. (40.10)
Рѕ
где е(х, г)—случайная двумерная амплитуда Фурье диэлектри-
диэлектрической проницаемости в(р, г). Перейдем теперь к уровню- % =
= Re Ф и фазе S' — I m Ф.
Так как
Ф* (р, г) — \ ф* (у,, г) ехр (— ixp) d*x = V ф' (—и, z) exp (ixp) d'x,
можно написать
X(Р . Рі) =
= { X (х, г)ехр (ixp) Лс=®^- J Ф(«-»)+»*(-»¦») ехр (/кр) л>
(40.11)
S'()
= j 5' (С…, Рі)СЃС…СЂ (txp) *x-^-J '"В¦"f-"1'1 exp (ixp) #Рё,
(40.12)
причем спектральные амплитуды уровня и фазы выражаются
через ф(х, г) следующим образом:
РҐ(С…,Рі)=С„(РҐРі)+2РЈ>(-"'Рі), S'(x,2) = ^^bVbiiii). (40.13)
Найдем ф* (—х, г). Так как поле е(р, г) вещественно, имеем
е*(—х, г') ~--е(х, г'), и поэтому из (40.10) получаем
(>'.O^'. (40.14)
Подставляя (40.10) и (40.14) в (40.13), находим
(x, z')dz\ (40.15)
[^^i](x,e')<fc'. 440.16)
312 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Усредняя эти формулы, получим Xi = S; = 0 (здесь мы вос-
восстановили индекс 1, так как средние значения уровня и фазы
равны нулю только в первом приближении). Во втором прибли-
приближении в формулах, аналогичных (40.15) и (40.16), вместо е(х, г)
фигурировала бы спектральная плотность величины (Vx^i)*
(см. (40.56)), среднее значение которой не равно нулю. Тем
самым и величины %а и Sj оказались бы отличными от нуля.
На вычислении этих средних мы остановимся позднее. Если же
нас интересуют средние квадратичные величины, например
Хг, S'\ то формулы (40.15) и (40.16) достаточны для их расчета
(учет членов второго порядка в % (х, г) привел бы к членам
третьего порядка малости в <xs>, малым по сравнению с основ-
основным членом).
Рассмотрим корреляционную функцию уровня '/ в плоскости
г — const. �з (40.11) имеем
Фх (Pi> Р>: *) = <Х (Pi. *) х (Р*. г)> =
= \ d% \ dВ«x,exp[f (С….СЂ. + С…^,)] <С… Рљ, Рі) Рі (*,. Рі)>. (40.17)
Таким образом, для расчета i^ необходимо знать функцию кор-
корреляции спектральных компонент, входящую в (40.17). �споль-
�спользуя (40.15), получаем
<X(*i.*)x (*„*)> =
||
(40.18)
Но для статистически однородной случайной среды справедлива
формула
<?(*„ zJeK, 21» = 6(x1 + xt)Fe(x1, Zj-г,), (40.19)
где двумерная спектральная плотность Fe сосредоточена в области
|С…||Рі)-РіРі|<2СЏ (40.20)
(см. задачу 4 к гл. I).
�з (40.19) и (40.18) следует, что
<Х («1, г) х (*„ г)> = б (^+х2) Fx (х„ г), (40.21)
РіРґРµ
**<>"• г)=
жж
^i!>] Р“.(Рє, Рі,-РіРі). (40.22)
* 40]
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
313
Еслк подставить (40.21) в выражение (40.17) для г|)х, то получим
(pl-P2)]Fx(x. Рі). (40.23)
Мы видим, что функция Fx(x, г) предстапляет собой двумерный
(в плоскости г — const) пространственный спектр флуктуации
СѓСЂРѕРІРЅСЏ.
Формулу (40.22), связывающую двумерные плотности флук-
флуктуации уровня и флуктуации г, можно существенно упростить,
если использовать свойство функции Ft, выражаемое неравен-
неравенством (40.20). Для этого сначала введем в (40.22) новые
переменные интегрирования г' -»(z, + гг)/2, 1 = гг—г,. Для этих
переменных уравнения границ области интегрирования будут
' ?2 г' = г±(?/2), и (40.22) примет вид
X sin
Область интегрирования 2 изображена на рис. 52.
В силу (40.20) в области, существенной для интегрирования
по ?, справедливо неравенство ч? < In. Поэтому члены x*J/4fe
в аргументах синусов можно оценить в чтой области следующим
образом:
4*
СЊ ik
Р»
2 '
поскольку максимальное волновое число хя, ограничивающее
-область, где сосредоточена функция Fe(n, ?), по предположению
мало по сравнению с волновым числом к. Следовательно, с точ-
точностью до поправок порядка малости x.Jk можно вообще отбро-
отбросить члены ±х*?/4Л в аргументах синусов, и (40.24) переходит
314 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
тогда в формулу
Fx(С…, Рі) = ? Jdz' dj sin' [**%; *">] Ft(x, I). (40.25)
Рассмотрим спектральную плотность Fx(x, г) при таких х,
которые удовлетворяют условию
С…Рі>1. (40.26)
Это неравенство означает, что характерные поперечные масштабы
неоднородностей уровня, которые мы хотим рассмотреть, малы
по сравнению с длиной трассы г (2я/х<^г). Для таких значе-
значений х область, существенная для интегрирования по ?, ограни-
ограничена в силу (40.20) неравенством |?| < 2л/х<<;г. Следовательно,
из всей области интегрирования, изображенной на рис. 52,
существенной является лишь узкая полоса ширины 2я/х<^г
вблизи оси ь=0 (на рис. 52 она указана горизонтальной штри-
штриховкой). Вне этой полосы функция Ft(x, ?) пренебрежимо мала,
что позволяет добавить к области интегрирования 2 дополни-
дополнительные участки, изображенные на рис. 52 вертикальной
штриховкой, т. е. расширить область интегрирования 2 до бес-
бесконечной (по ?) полосы 0 < г' < г (аналогичные соображения
использовались в § 33, рис. 38). Так как в добавляемой области
интегрирования функция Ft пренебрежимо мала (например, она
убывает там с ростом J экспоненциально, как в случае степен-
степенных спектров Фе), то допускаемая при этом погрешность несу-
несущественна. В результате описанного преобразования мы получаем
из (40.25) выражение
Z В»
Fx (С…, Рі) -= ? J sin* [*'(^Рі>)] dz' j Fe (x, 0 dj. (40.27)
Q -Рё
Но функция F,(x, I) удовлетворяет равенству (см. формулу (3)
в задаче 4 к гл. I)
СЃРѕ
5 /•„ (х, ?) dl = 2лФе (х, 0), (40.28)
— 30
где Ф, (х, 0)—трехмерная спектральная плотность флуктуации е,
аргументом которой является двумерный вектор (х, 0). �споль-
�спользуя это равенство и вычисляя первый из входящих в (40.27)
интегралов, получаем окончательную формулу для Fx;
Fx (Рє.
-~ [l -^sin^] Фе (*. <))• (40.29)
I 401 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 315
Эта формула получена для области хг§>1, т.е.
Однако в области у.<^.У1ф функция 1 j^sin-^ стремится
к нулю, как х4. Поэтому, если Vk/z'^z'1 (т.е. Vkz'^>\), то
практически во всей области, где сосредоточена функция (40.29),
условие хг^>1 хорошо выполняется. Поэтому ограничение
xz^l, использованное при выводе (40.29), несущественно, если
выполняется условие
означающее, что на длине трассы укладывается много длин волн.
Остановимся еще на одном чисто формальном обстоятельстве,
которое, однако, в дальнейшем будет использовано. При выводе
формулы (40.29) мы предположили, что Fe(x, г) является «острой»
функцией ? практически для всех представляющих интерес зна-
значений х. Фактически мы неявным образом заменили функцию
Ft(n, г) на дельта-функцию 6(Q. Убедимся, что при замене
Fe (х, Q ¦— 2яФс (*, 0) б (?) г F|** (х, г) (40.30)
мы сразу же получаем из (40.22) формулу (40.29). Действительно,
подставляя (40.30) в (40.22) и выполняя интегрирование по za,
мы получаем формулу (40.27), в которой использован интеграл
(40.28).
Подобно тому, как, исходя из формулы (40.15), мы подсчи-
подсчитали двумерную спектральную плотность флуктуации уровня,
можно вычислить и двумерную спектральную плотность фазы
Fs{x, г), если исходить из формулы (40.16). Не приводя вычис-
вычисления (см. задачу 3), дадим окончательный результат:
e(x,0). (40.31)
Корреляционная функция флуктуации фазы в плоскости г -const
выражается через функцию Fs(x, z) обычным образом:
fe (Р , Рі) = $ Fs (С…, z) exp (ixp) <Px. (40.32)
Если поле е (р, z) статистически изотропно в плоскостях
г —const или в трехмерном пространстве, то i|)e(p, z) ^г|>е(|>, г)
и трехмерная спектральная плотность Ф8(хя, х„, и,) имеет вид
Фе(Кх»Ч у-1, xj). В этом случае Фе(х, 0) —Фе(х, 0), т. е. зависит
лишь от модуля двумерного вектора х. �з формул (40.29) и
(40.31) при этом. следует, что спектральные плотности Fx(r.,z)
и Fs(x, z) тоже зависят лишь от х = |х| и, значит, случайные
поля j и S' статистически изотропны в плоскостях z —const.
Формулы, выражающие корреляционные функции т)зх и tys через
§ 41. Анализ результатов МП В
Проанализируем полученные в предыдущем параграфе резуль-
результаты. Рассмотрим функцию
Wx(x,z)=\-?-sm^, (41.1)
т.е. множитель, переводящий Фе (к, 0) в Fx(x, г). Разлагая
синус в ряд Тейлора, получаем
Таким образом, в области
или
функция Wx(x) пропорциональна х1. Характерное волновое число
¦x.F -Уk/z~yr2n/Xz соответствует по порядку величины радиусу
первой зоны Френеля У%,г. В области к^>х^ функция Wx пере-
перестает зависеть от х и стремится к единице. График функции
Wx(x, г) изображен на рис. 53. Что касается функции
РЈРђ*,Рі) = 1+&*Р¬1С‚. (41-3)
фигурирующей в (40.31), то при х = 0 она равна 2, а при x>xf
стремится, как и Wx, к единице (рис. 53).
Вид функции Фе(х, 0) может быть различным в разных за-
задачах, но мы предположили, что волновое число ия, соответ-
соответствующее размеру наименьших неоднородностей среды, всегда
мало по сравнению с волновым числом излучения ft, и поэтому
[ГЛ. VI
(40.33)
(40.34)
316 МЕТОД ПЛАВНЫХ ПОЗМУЩЕН�Я
Fx и Fs> принимают мри этом вид
(40.35)
где J0(x) — функция Бесселя.
Структурная функция фазы Ds(p, z) — <{S\p1, г)- S'tPj + p, г)]г>
ныражаетсн в этом случае интегралом
(41.2)
АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ
317
в области х > хм функция Фс(х, 0) пренебрежимо мала. Что же
касается величины v.jv.F — [/Г/х''тг1к = 1/Г2лХг/11, то она зависит от
отношения радиуса первой зоны Френеля к размеру наименьших
неоднородностей диэлектрической проницаемости. Как мы пом-
помним, величину D --Y?mj**F~ Xz'll
принято называть волновым па-
параметром (§ 10).
Рассмотрим сначала случай
^1 т. о. xm<^xF пли
jfe (рис. 54). Как уже от-
отмечалось, в этом случае спра-
ведлива геометрическая оптика.
Во всей области, где сосредо-
сосредоточена функция Фв(х, 0), мож-
можно при D<^1 с ; достаточной
степенью точности ограничить-
ограничиться первыми членами разложе-
разложений №х(ч, г) и 1У4.(х, г), т. е.
считать, что
Рџ75()СЃ,Рі)В»2. (41.4)
Для двумерных простран-
пространственных спектров уровня и О
фазы формулы (40.29) и (40.31)
дают при этом
3
Р РёСЃ.
—Г"
f
53.
Фе(Х
i, 0).
(41
.5)
Таким образом, как уже было показано в гл. V, в области при-
применимости геометрической оптики средний киадрат флуктуации
уровня растете расстоянием, как г3, а средний квадрат флуктуа-
флуктуации фазы —как г. Волновое число k не входит в формулу для
Fx(x, г), т. е. в геометро-оптическом пределе флуктуации уровня
не зависят от длины волны.
Средний квадрат флуктуации уровня выражается через Fx
при помощи формулы.
РҐРі = J Fx (С…, Рі) d'x=-^ Сѓ Рє'Р¤, (Рє, 0)СЃР С…. (41.6)
Отсюда видно, что вклад компонент спектра, соответствующих
Крупномасштабным неодкороднестям, которым отвечают малые
значения х, подавляется множителем х*, обращающимся в нуль
316
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН��
[ГЛ. VI
при х-^0. Основной вклад в %г вносит часть спектра, отвеча-
отвечающая мелкомасштабным неоднородностям. В этой области произ-
Vn x/xF
Р РёСЃ. 54.
Р РёСЃ. 55.
ведение х'Фе(х, 0) имеет максимум. В связи с этим и поперечный
радиус корреляции для флуктуации х имеет порядок величины /„
(СЂРёСЃ. 55).
5 41] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ 319
Формулу (41.6) можно представить также в виде
P.?)]p=orf? (41.7)
(см. задачу 5). В этой форме выражение для %' уже было полу-
получено в гл. V при помощи МГО (см. (35.11)).
Для среднего квадрата флуктуации фазы из (40.31) и (41.4)
находим
~~ """" (41.8)
Здесь основной вклад обусловлен той же частью спектра неод-
нородностей, для которой ФЕ(х, 0) максимально. Таким образом,
амплитудные и фазовые флуктуации обусловлены разными участ-
участками спектра неоднородностей диэлектрической проницаемости.
Формулу (41.8) можно представить также в виде (см. за-
задачу 5)
ее
~~ '" " (41.9)
что отвечает формуле (33.9) для эйконала <p = S'/k, полученной
при помощи МГО. Мы видим, таким образом, что найденные
при помощи МПВ формулы переходят в предельном случае D<^cl
{V}.z<^lt) в соответствующие формулы приближения геометри-
геометрической оптики.
Рассмотрим теперь другой предельный случай ?)^>1, соот-
соответствующий фраунгоферовой дифракционной зоне.
Если трехмерный спектр ФЕ(и) обладает несколькими харак-
характерными масштабами хп (п — 1, 2, ...), то мы будем считать, что
условие D = ¦x'i/к'р ^> I выполнено для наименьшего из этих вол-
волновых чисел и,, т. е. область пространства, в которой рассмат-
рассматривается поле, отвечает фраунгоферовой зоне для неоднородно-
неоднородностей всех масштабов, присутствующих в среде.
Взаимное расположение кривых Wx, Ws и Фе для этого слу-
случая показано на рис. 56. Мы видим, что в большей части
области, существенной для интегрирования, Wx m tys»1.
Поэтому, если трехмерная спектральная плотность Фв(х, 0) не
имеет неинтегрируемой особенности в нуле (и, значит, изменение
в нуле весовой функции Wx{k, г) не играет роли), можно счи-
считать, что
Fx(*, z)»Fs(x, г)х~Фе(у„ 0), Dp-l. (41.10)
320
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
[ГЛ. VI
Таким образом, в предельном случае больших D спектральные
плотности флуктуации амплитуды и фазы оказываются примерно
одинаковыми, в силу чего примерно одинаковы и корреляцион-
корреляционные функции:
фх (р, г) ж ^ (р. г) « ^ j exp (/хр) Ф, (х, 0) d'x, D > 1. (41.11)
Для средних квадратов флуктуации уровня и фазы при D^> 1
получаем
^'«Ря^^^ФЛх, 0)dX D>1. (41.12)
Отметим, что формула для среднего квадрата флуктуации
фазы в случае D ^> 1 отличается от формулы (41.8), справедли-
справедливой при D<§\, только вдвое меньшим коэффициентом. Что
касается флуктуации уровня, то_здесь при переходе к случаю
D^>1 меняется вид зависимости х2 от г: при Д<^1, согласно
(41.6), x*<vz3> тогда как х*~г при Dj->\. �наче говоря, при
постепенном увеличении г величина хг сначала (в зоне геомет-
геометрической оптики, где D~Xzill<§.\) растет, как г», а затем (во
фраунгоферовой зоне, когда величина Xz/ll становится большой)
рост у? замедляется до линейного:
Ull [ фе (Х> 0) dsz при г.>/|/Я.
5 41] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ 321
Рассмотрим в качестве примера среду, у которой корреля-
корреляционная функция флуктуации диэлектрической проницаемости
описывается гауссовой кривой
(41.14)
а соответствующая трехмерная спектральная плотность имеет вид
(41Р›5)
Размер неоднородностей характеризуется здесь единственным
масштабом а.
Несложный расчет приводит для такого спектра ФЕ (х) к сле-
следующим выражениям для у* и S'* (см. задачу 6):
РҐ- =^olk'az f 1 -*Р›*СЂ] =^cl(fta)MD-arctgZ)), (41.16)
S*=Jв„ўol Vaz [ 1 В¦:- '-???] = *^ oВ».(to)В» (D + arctgZВ», (41.17)
где D — 2zika1. При D—*0 можно использовать разложение
arctgD — D—?>'/3+..., что приводит, в согласии с (41.6) и
(41.7), к кубической зависимости у.а от г:
а для S'1, в согласии с (41.8), — к линейной зависимости:
571 l/2S"alfe3az
j (41.19)
В случае же D^>\ членами ±arctgD/?) в (41.16) и (41.17)
можно пренебречь, и тогда, в соответствии с (41.12), получаются
примерно одинаковые выражения для %1 и S'':
(41.20)
Графики функций х1 и S'1, отнесенных к V^2na| (fta)*/16 в за-
зависимости от D приведены на рис. 57.
Следует отметить, что формулы того же вида, что и (41.18)—
(41.20), справедливы и в более общем случае, когда трехмерная
спектральная ллотность неоднородностей Фе(х) всюду ограничена
(Фе(х)<С) и имеет максимум в точке к — О. �сходя из общих
формул (41.6), (41.8) и (41.12), можно показать, что при 1
11 С. М. Рытое в др. ч. II
322
Р° РїСЂРё
МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й
[ГЛ. VI
где /е—радиус корреляции флуктуации е.
Рассмотрим теперь другой пример, который не укладывается
в общие предельные соотношения (41.10)—(41.12). Мы имеем в
виду степенной спектр, соответствующий флуктуациям диэлек-
диэлектрической проницаемости, вызываемым турбулентностью:
Фе (х) =- Ж1х-"': (41.21)
Здесь Л ж 0,033, а С\—структурная характеристика, входящая
в «закон 2/3» для флуктуации диэлектрической проницаемости.
В действительности спектр Фг(х) является степенным лишь в
ограниченном диапазоне волновых чисел
(41.22)
где /0 и ?0—соответственно внутренний и внешний масштабы
турбулентности. Однако во многих практически интересных слу-
случаях волновой параметр Dg—Xg/xJ.-,'«составленный» из радиуса
первой зоны Френеля и внешнего масштаба турбулентности Lo,
не превышает единицы даже на достаточно больших дистан-
дистанциях г').
') Например, при распространении света в атмосфере типичные значения
радиуса первой зоны Френеля не превышают несколько десятков сантиметров,
тогда как внешний масштаб турбулентности La порядка нескольких .пил ров.
На дистанциях в несколько сотен километров О0 остается малым па сравне-
сравнению с единицей.
АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ
323
Вместе с тем волновой параметр
Р± Р±
— х^/
х^/хр, «составленный»
Р’РјРµ СЂСЂ СЂ
из внутреннего масштаба турбулентности и радиуса первой зоны
Френеля, может быть как меньше, так и больше единицы. В по-
последнем случае метод геометрической оптики уже неприменим
из-за наличия неоднородностей, меньших радиуса первой зоны
Френеля. С другой стороны, поскольку D, <^ 1, всегда присут-
присутствуют и неоднородности размером больше |/"?.г, и для них по-
поэтому еще характерен не режим дифракции Фра у н гофера, а фре-
нелевская дифракция или даже геометрическая оптика.
*/*F
Предположим на время, что ограничения (41.22) отсутствуют.
Тогда функция х/1'х(х, г), интеграл от которой определяет х\ бу-
будет изображаться кривой, показанной на рис. 58. В области
^ имеем x/'x(x,*z) ~ к-к1-и-"'' — *.'!>, т.е. /',.(0, г) — 0, а
) "/ П площадь под
при х^>хР получаем х/-'х(х, г) ~ *-"/¦. Поэтому
кривой xfx(x, г) на рис. 58 конечна и интеграл
Fy(x, z)xdx
(41.23)
сходится.
Посмотрим теперь, к чему приводит учет реального хода
спектра Фе(х) вне интервала (х0, кт), в котором справедлив
закон (41.21). В области х < и, трехмерная спектральная плот-
плотность Фе(ч) возрастает с уменьшением х медленнее, чем х~"'',
или же вообще не возрастает.
324 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Поэтому, если xo<§xFl то в области х < х0 произведение
xWxO, уже мало и не влияет существенно на значение интег-
интеграла (41.23). Следовательно, если «реальная» функция Фе(к) в
области х < х0 уменьшится по сравнению с чисто степенной
функцией (41.21), то это заметным образом не повлияет на зна-
значение интеграла (41.23). Таким образом, если *,,<<;%, то откло-
отклонения «реального» спектра ФЕ(х) от чисто степенного можно
не учитывать.
Равным образом, если х„^>Хр, то точка х,„ лежит уже в той
области, где произведение KFx<ue мало и убывает с ростом х,
так что интеграл
5 x-'V.xdx-'/.С…-1/В» (41.24)
при больших х„ настолько мал, что его вкладом в полный ин-
интеграл (41.23) тоже можно пренебречь. Поскольку интеграл от
произведения «реального» спектра на Wx отличается в высоко-
высокочастотной части спектра от интеграла с чисто степенным спектром
на малую величину (41.24), этой разницей при xm^>xF тоже
можно пренебречь.
�так, если выполняются условия х0 <^;xf<5^*m> то при рас-
расчете ха можно считать, что Фе(х)~х-"'> при всех х, и в этом
случае подстановка (41.21) в (40.33) дает
^-'/.dx. (41.25)
Замена переменной интегрирования tfzjk — t* приводит этот ин-
интеграл к виду
-^)f"'dt. (41.26)
Полагая р=0 (напомним, что /„(0) —1), получаем для
a = i(!x(0, г) выражение
, (41.27)
где N—числовая константа, равная
_!В¦?<!) *-v>?ttВ« 0,077. (41.28)
I 4l] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ. 325
Степенная зависимость %г от г (показатель 11Д>) оказывается
промежуточной между предельными случаями ^а <~ г3 и х9~г>
соответствующими зоне геометрической оптики и зоне Фраунго-
фера. Это обусловлено тем, что при Xo^xf<^xm • всегда суще-
существуют неоднородности, для которых точка наблюдения находится
в зоне дифракции Френеля.
Расстояние р между точками наблюдения входит в (41.26)
лишь в комбинации р]/k'Z = V 2np<V).z. Это означает, что ра-
радиус корреляции флуктуации уровня имеет порядок величины
yTCz. График корреляционной функции (11.26) приведен на
СЂРёСЃ. 59 (СЃРј. [Р�]).
Обратимся к флуктуациям фаны. Если подставить трехмерную
спектральную плотность вида (41.26) в формулу (40.34) и не при-
принимать во внимание ограничений
(41.22), то интеграл в (40.34)
будет расходиться в точке х —0.
Это обусловлено тем, что, в от-
отличие от Wj(k, г), весовая функ-
функция Ws(x, г) не обращается
в нуль при х--0. Таким обра-
образом, роль компонент спектра, от-
отвечающих крупномасштабным не-
однородностям, пренебрежимо ^
малая для амплитудных флуктуа- ° w—¦— /yV&r'
ций, оказывается для флуктуа- р Г)9
ний фазы не меньшей, чем роль
мелкомасштабных компонент. Эго
не позволяет экстраполировать спектральную плотность вида
(41.21) на область х<«„. Для расчета величины S'" необходимо
знать истинную трехмерную спектральную плотность в указанной
области волновых чисел, т. е. надо учитывать влияние крупных
неоднородное!ей. Простейший способ учета «насыщения» флук-
флуктуации в области крупных масштабов состоит в замене спектра
(41.21) спектром (41.15), который не имеет особенностей при
я—>О. Оценка дисперсии эйконала, отвечающая такому спектру,
уже была ранее получена при помощи МГО (см. (36.8)).
Рассмотрим теперь структурную функцию фазы ?>s(P> г) в
плоскости г— const. Здесь мы уже можем ожидать, что крупно-
крупномасштабные неоднородности (с размерами, много большими р)
не будут играть роли, так как они дают одинаковый вклад в
набеги фаз по обоим лучам и поэтому выпадают из разности
S (Pi, г)—S'(p,, г). В формуле (40.35) это находит отражение
¦ "Юм, что множитель 1—У0(«р) в области ч<^р-' ведет себя
как х1. Поэтому, если подставить степенной трехмерный спектр
(41.21) в формулу (40.35) и не учитывать ограничении (41.22),
�сследование этого интеграла (см. задачу 7) приводит к следую-
следующим результатам. Если U<^.p<^.L0 и fep3S>>z, то
326 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й (ГЛ. V]
то мы получим сходящийся интеграл
(41.29)
Особенность в нуле имеет здесь вид х2-"''> — х~"\ т.е. является
интегрируемой. Повторяя рассуждения, проведенные при обосно-
обосновании формулы (41.24), можно убедиться в том, что при выпол-
выполнении условий
(41.30)
справедлива формула (41.29). В этих рассуждениях волновое чи-
число 2л/р будет играть ту же роль, что ки в предыдущем случае,
так как весовая функция [1—У0(хр)]Ws(r-, z) при и<^;2л/|>
имеет вид Xs, а при и^>2л/р она приблизительно постоянна.
Сделав в интеграле (41.29) замену переменной чр = t, получаем
(41.31)
(41.32)
(41.33)
Чтобы найти вид функций tx(i>, г) и АПр. г) ПР� Р^'о.
необходимо учесть, что трехмерная спектральная плотность Фе(к)
в области у-%>'лт быстро убывает. Лля области (><Sj5/n можно
получить формулы (см. задачу 8)
(41.34)
(41.35)
В заключение данного параграфа выведем ряд найденных выше
основных формул при помощи простых рассуждений качествен-
качественного характера (разумеется, мы не получим числовых коэффи-
коэффициентов, входящих в эти формулы).
Рассмотрим сначала флуктуации фазы. Как мы убедились
выше, для их расчета достаточно использовать приближение гео-
геометрической оптики, так как учет дифракционных эффектов при-
приводит лишь к изменению числовых коэффициентов. Возьмем луч
I 4|] АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ МПВ 327
длины г. Если масштаб неоднородностей равен 1е, то на луче
укладывается N~z/lt независимых неоднородностей. После про-
прохождения одной неоднородности произойдет набег фазы волны,
равный lz — ^t^lgk^l + -|-j, т.е. случайная компонента этого
набега равна по порядку величины /„fee. Так как случайные ве-
величины е, отвечающие различным неоднородностям, статистически
независимы, для суммарного среднего квадрата набега фазы имеем
S1' ~ N (Ijiiy = j- l\k\s\ — alk^lbz, что соответствует формуле
(41.19).
Оценим теперь в том же приближении геометрической оптики
флуктуации амплитуды. �х можно рассматривать как результат
случайных фокусировок и дефокусировок. Пусть по-прежнему
неоднородность имеет размер /е> а отклонение диэлектрической
проницаемости от средней равно е. Как известно, фокусное рас-
расстояние линзы, ограниченной сферической поверхностью с радиу-
радиусом R, равно F — nR/(n — п), где л— показатель преломления
линзы, а п — окружающей среды. Поэтому для рассматриваемой
неоднородности фокусное расстояние будет порядка F~ltiz, a
угол отклонения луча а (рис. 60) имеет порядок a~(lt/F) ~ е. �з-
�зменение диаметра упавшего па «линзу» пучка составит на рас-
расстоянии z позади нее величину Дй = га~ге. Но амплитуда вол-
волны А связана с диаметром\ пучка d соотношением А1йг — АЦ%,
откуда АА/А^ —\d/d. Если
рассматривать только слабые
флуктуации интенсивности,
то фокусное расстояние F
очень велико и d для z<^,F
будет порядка /е, т. е. А~А0
и, тем самым,
Ad^Ji. (41.36) Р РёСЃ0В°-
Ло 'е
Мы подсчитали относительное изменение амплитуды, вызванное
действием одной «линзы». Суммарная оптическая сила 1/F не-
нескольких слабых «линз», расстояние между которыми мало по
сравнению с их фокусными расстояниями, равна сумме оптических
сил составляющих, так что суммарное изменение амплитуды будет
Рњ= V ^i-
328 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУШЕН�П [ГЛ. VI
Среднее значение этой суммы равно нулю, а для среднего квад-
квадрата получаем
где JV« г//е—среднее число неоднородностей на дистанции г.
В итоге
что соответствует формуле (41.18).
Возьмем теперь случай, когда в среде присутствуют неодно-
неоднородности различных размеров, причем в соответствии с трехмер-
трехмерной спектральной плотностью (41.21), которой отвечает струк-
структурная функция Д>(р) = C|pVl, неоднородность размера / харак-
характеризуется флуктуацией диэлектрической проницаемости ё^Су».
Рассмотрим сначала амплитудные флуктуации. Согласно фор-
формуле (41.36)
РђР› _. РіРЎ/С‹ _ СЃ _Рі_ (41.37)
A I z /VВ»
Мы видим, что эффект тем больше, чем меньше неоднородность.
Если размер наименьших неоднородностей 1а удовлетворяет усло-
условию /0§>|АЯг (и поэтому дифракционными эффектами можно пре-
пренебречь), то в качестве I в (41.37) следует взять /„. Число таких
неоднородностей на пути распространения волн равно N ~ г//0,
и суммарный средний квадрат флуктуации амплитуды будет равен
но порядку величины
В¦ <41-Р·Р°)
Пусть теперь /0<^(/Хг, но вместе с тем V\z<^.L0, где Lo —
внешний масштаб неоднородностей. Это означает, что имеются
неоднородности с размерами / > У^г, к которым применима
геометрическая оптика, а значит, и формула (41.37). В то же
время к неоднородностям, размер которых I лежит в интервале
(/„, 1/Тг), геометрическая оптика неприменима к их действие
необходимо рассматривать с учетом дифракционных эффектов-
В данном случае роль дифракции сводится к тому, что линзы
с размерами, меньшими \'Xz, уже перестают фокусировать или
дефокусировать волну, а в обоих случаях создают расходящиеся
лучки с углом раствора порядка X//. Следовательно, неоднород-
неоднородности с размерами, меньшими (/лг, можно вообще не учитывать.
i 111
АНАЛ�З РЕЗУЛЬТАТОВ MlIB
.129
Действие же более крупных неоднородностей по-прежнему опи-
описывается формулой (41.37). Поэтому окончательную формулу мы
можем получить прямо из (41.38), если заменим в ней размер /„
на размер наименьших неоднородностей, которые еще способны
фокусировать (или дефокусировать) волну, т.е. на ]/~Xz. В ре-
результате получаем формулу
Cik'1-z"
(41.39)
которая соответствует (41.27).
Перейдем теперь к флуктуациям разности фаз в двух точках
с координатами (р,,.г) и (р„ г), отстоящих друг от друга на
расстояние р = | pL—ря|.
*
Р РёСЃ. fil.
Рассмотрим два луча, приходящих в точки (р,, г) и (р2, г),
и выберем слой среды такой толщины Дг, чтобы на протяжении
Az величины е(р,-, г) мало менялись. Этот участок трассы вносит
сдвнг^фаз AS ~ k Де (р) Дг, где Де(р) — разность значений е на
лучах (рис. 61). Здесь возможны следующие два случая.
Если р<^/0, то оба луча находятся в пределах одной неод-
неоднородности размера /0 и мы можем выбрать Дг~/0. Тогда для
участка длины /„ имеем
~ fe2 [Ле (p)]a /5. Но Деа (p) — это струк-
структурная функция t. Как было указано в гл. I, § 4, если р<^/0,
то Се(р)~С1(р//0)*/*0''~С^''''(>! и, следовательно,'Ssr|~C|fe8;j'/.p^J.
Число независимых неоднородностей на пути г в этом случае
N ~г//0, так что суммарный средний квадрат разности фаз равен
Пусть теперь L0^>p^>/0. В этом случае основной влад в AS
вносят неоднородности с размерами порядка р. Действительно,
более мелкие неоднородности обладают меньшими значениями к, а
более крупные вносят одинаковый вклад в сдвиг фазы обоих
•тучей" и поэтому несущественны для разности фаз AS. Мы можем
поэтому выбрать Дг~р, и тогда
330 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й 1ГЛ. V
(поскольку Де (р)~Сер1/'). Полный средний квадрат разности
фаз, вызванной всеми Л'~г/р неоднородностями, будет иметь по-
порядок величины
6S* ~ CJfe'p''1 — ~ Clfe'p''"^, (41.41)
что соответствует формуле (41.32).
�з приведенных качественных рассуждений видно, что основ-
основные формулы МП В для турбулентной среды можно получить из
геометро-оптического анализа, если только учесть дополнительно,
что неоднородности с масштабами, меньшими радиуса первой
зоны Френеля, несущественны для амплитудных флуктуации.
Что же касается предельного случая D^>1, которому соот-
соответствуют формулы (41.20), то здесь геометрическая оптика уже
полностью неэффективна. Формулы (41.20) тоже можно получить
путем качественных рассуждений, но при этом необходимо поль-
пользоваться чисто дифракционным понятием эффективного попереч-
поперечника рассеяния для зоны фраунгоферовой дифракции [6J.
§д42. Распределение вероятностей флуктуации
амплитуды и фазы. Закон сохранения энергии
в границы применимости МПВ
�сследуем законы распределения вероятностей для уровня
и фазы волны. Если при расчете комплексной фазы Ф можно
ограничиться первым приближением Ф,, то, согласно (40.5а)
Рё (40.РЎ),
Z
Ф|(Р. z) = — fc'Jdy ^ dz'/C(p—р', z—z')e(p', г'), (42.1)
Рѕ
где функция К определяется формулой (40.8). Отсюда для
уровня х ч фазы S' следуют формулы
2
Xi(P> г)~— *'\dV \ <аЬ'Де/С(р — р', г—г')в(р', г'), (42.2а)
S[(p. г) = —fe« J dy $ dz' Im/C(p—р', г—г')ё(р', г'). (42.26)
Рѕ
Для того чтобы найти законы распределения вероятностей х и
S', можно было бы, пользуясь этими формулами, найти моменты
<Х">. <S'in>, <XiS[m> и по ним построить плотности вероятностей
для х. S' и совместную плотность вероятностей для (х/ S[).
Такой путь, однако, слишком сложен.
I ,2| РАСПРЕДЕЛЕН�Е ВЕРОЯТНОСТЕЙ 331
В конце предыдущего параграфа нам удалось получить иснов-
ные формулы для средних квадратов флуктуации уровня и фазы,
исходя из простых качественных соображений, причем неодно-
неоднородная среда разбивалась на отдельные объемы, вносившие ста-
статистически независимые вклады в х и S'. Аналогичное разбие-
разбиение можно провести и в формулах (42.2), представив интегралы
как суммы интегралов по слоям (г,, г1Л1), продольные размеры
которых Дг значительно превышают радиус корреляции флук-
флуктуации диэлектрической проницаемости (Аг^>/8). При этом мы
получим для х и S' формулы, имеющие вид
РҐ~2С…"\ S' -2S"", (42.3)
в которых отдельные слагаемые можно приближенно считать
статистически независимыми. Если размер Дг [можно выбрать
так, что будут выполняться соотношения
то на протяжении пути волны число независимых слагаемых
в формуле (42.3) будет велико: Лг = г/Дг^>1. В этом случае вели-
величины % и S' оказываются представленными в виде сумм большого
числа статистически независимых слагаемых и в силу централь-
центральной предельной теоремы их можно считать распределенными по
нормальному закону.
Приведенное рассуждение весьма нестрого. В дейсгвительно-
сти вклады отдельных слоев не являются полностью некоррели-
некоррелированными, так как неоднородности, примыкающие к границам
этих слоев, вносят коррелированный вклад в соседние члены
сумм (42.3). Далее, и» некоррелированности отдельных слагае-
слагаемых, входящих в суммы (42.3), еще не следует их статистическая
независимость. Позтому строгое обоснование утверждения о стрем-
стремлении законов распределения для у. и S' к нормальным должно
опираться на прелелвные теоремы для линейных функционалов
от случайных функций1) (см., например, [7]). Мы не будем,
1) Например, для случайных процессов 5(0 условия, при которых рас-
пределение вероятностей интеграла т)= f | (t) f (I) it стремится к пормалыюму
t,
при увеличении интервала (lt, lt), включают и так называемое условие силь-
сильного перемешивания:
СЂ
(I
-В¦>
;Ш МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� [ГЛ. VI
однако, углубляться в этот вопрос. Отметим, что эксперимен-
экспериментальные данные хорошо подтверждают вывод о нормальности
распределений вероятностей для х и S' в тех случаях, когда
применимо первое приближение МПВ [8].
Амплитуда А волны связана с уровнем % формулой
2 = In-Рі, (42.4Р°)
откуда
Л = Л„ехр(Х). (42.46)
Как следует из (42.4а), логарифм амплитуды распределен по
нормальному закону, откуда вытекает, что сама амплитуда имеет
логарифмически нормальное распределение. Легко найти мо-
моменты А". Для этого представим % в виде % = % + %¦ Как уже
отмечалось выше, величина х в первом приближении МПВ равна
нулю и для ее расчета необходимо использовать второе прибли-
приближение. Формула (42.46) принимает вид А = Л„ехр(х)ехр (¦/).
Отсюда
~Рђ" = /IJe"* <<?"*>В¦
Так как для нормальной случайной величины п%, среднее зна-
значение которой равно нулю, справедлива формула
то для А" получаем
(42.5)
При распространении плоской волны в статистически однород-
однородной среде имеет место закон сохранения A' — cons,t = A'0(cM. (39.11)).
Полагая в (42.5) п = 2, получаем
Отсюда и из равенства А' = А\ следует, что должно выполняться
соотношение
X = -oJ, (42.6)
являющееся следствием закона сохранения энергии.
Разумеется,' величину х можно было бы найти и непосред-
непосредственно из второго приближения уравнений МПВ. Такой расчет
проведен, например, в работе [9], и его результат согласуется
с равенством (42.6).
{ 42] РАСПРЕДЕЛЕН�Е ВЕРОЯТНОСТЕЙ 333
Если подставить (42.6) в формулу (42.5), то она принимает
РІРёРґ
p^} (42.7)
Найдем средний квадрат флуктуации интенсивности / — Л". Оче-
Очевидно, 7^А*^А\. Для 7*=± А1 получаем из (42.7) fi^Ale'"*.
Поэтому дисперсия интенсивности о*=Р — (/)а будет
o) = Ai(eia*-l). (42.8)
Отметим, что интенсивность 1 — Аг = АЪе'г* имеет, как и ампли-
амплитуда, логарифмически нормальное распределение.
Рассмотрим теперь вопрос о границах применимости МПВ.
Прежде всего, поскольку уравнения МПВ получены из прибли-
приближенного параболического уравнения (38.4), условия применимо-
применимости последнего необходимы и для применимости МПВ. Но урав-
иения МПВ решены нами лишь в первом приближении, поэтому
следует выяснить условия, при которых поправки к величинам
oj, S'', Ds{p) и т. д., найденные из второго приближения, будут
малыми. Соответствующие расчеты проведены в целом ряде работ
{см., например, [9,10]), результаты которых сводятся к сле-
следующему.
Прежде всего, должно выполняться условие малости флук-
флуктуации уровня, найденных в первом приближении МПВ:
С…!<^1. (42.9)
При выполнении этоСЬ условия поправки второго приближения
X величине а| будут несущественными. Например, если трехмер-
трехмерная спектральная плотность флуктуации е имеет чисто степен-
степенной вид, как в случае турбулентных неоднородностей, то для
Величины а\ (с учетом следующих приближений МПВ) справед-
справедлива формула
<4-з2+о,(хВ*- O-MY+ ¦ ¦¦ =/(й). (42.Ю)
причем /(tf)«tf при 5с!<^1.
Если же мы интересуемся величиной Ds(p, г), то для нее
1в случае степенных спектров) с учетом следующих приближений
МПВ имеет место формула
Ds(p, z)=--Dsl(P, z)+ai[Dsl(p, z)]'+..., (42.11)
В которой DSl (р, г) — структурная функция фазы, найденная
¦ первом приближении МПВ. Поэтому условием применимости
з:н метод плавных возмещений [гл. vi
МПВ для вычисления Ds(p, г) служит неравенство
DS1(P, Рі)<1. (42.12)
Следует подчеркнуть, что условия (42.9) и (42.12) независимы:
возможны такие соотношения между параметрами задачи, когда
одно из них выполнено, а другое нет. В этом случае первое
приближение МПВ пригодно для расчета одной величины, но
непригодно для расчета другой. Ограничение (42.12) является,
по-видимому, излишне жестким. Расчеты, проведенные в при-
приближении параболического уравнения (гл. VII), приводят к зна-
значительно более слабому ограничению величины Ds(p, г), чем
(42.12). _
Важно отмстить также следующее. Пели условие %* <^ 1 на-
нарушено, например */.'«1, T0 Учет второго приближения не спа-
спасает положения, так как, согласно (42.10), при этом все члены
ряда становятся существенными.
В области применимости МПВ, в силу условия а?<:1, мы
можем разложить экспоненциальные множители и формулах для
А" в ряды и ограничиться их первыми членами. Например, вме-
вместо (42.8) можно написать
J|=e'4_lВ«4o|. (42.13)
В связи с этим возникает следующий вопрос. Так как МПВ
применим лишь в случае слабых флуктуации уровня (и ампли-
амплитуды) волны, то имеет ли он преимущества по сравнению с ме-
методом малых возмущений?
Если поле и (г) искать в виде u — u,, + ul+..., то флуктуации
амплитуды А и фазы 5 можно выразить через и„ и и,: А/А„ —
= Re(Ug/uJ, S= Im (uu'utI). Поэтому, зная вторые моменты для
Re«, и Im «j, можно найти соответствующие величины для ам-
амплитуды и фазы. Формулы для амплитудных и фазовых флук-
флуктуации, найденные таким путем, совпадают с полученными из
уравнений первого приближения МПВ, за исключением того, что
вместо In А следует подставить 1пЛ0ЧЛ/Л0, т. е. учесть первый
член разложения In Л в ряд по -4/Л0.
Если же обратиться к законам распределения вероятностей
для амплитуды, то здесь выводы, получаемые при помощи обоих
сравниваемых способов, будут отличаться коренным образом.
Применив к амплитудным флуктуациям теорию возмущений,
мы находим для закона распределения вероятностей амплитуды
обобщенный закон Релея (ч. I, формула (25.3)). Для этого за-
закона распределения отношение <Л*>/.А5 =——1--0,27, т.е. ббль-
i 42J
РАСПРЕДЕЛЕН�Е НЕРОЯТНОСТЕЙ
335
шие флуктуации амплитуды не находят объяснения. В то же
время МПВ приводит к логарифмически нормальному закону
распределения для А, при котором такого ограничения нет. Хотя
формально должно выполняться неравенство (42.9), фактически
оказывается, что формулы для а\, получаемые в первом прибли-
приближении МПВ, хорошо согласуются с экспериментальными данными
Р РёСЃ. f.2.
вплоть до значений oJ<S I [8, 11]. Законы распределения вероят-
вероятностей для А, полученные экспериментально при oj<], тоже
хорошо согласуются с логарифмически нормальным распределе-
распределением, и их нельзя аппроксимировать распределением Релея.
Однако в области, где рассчитанная при помощи МПВ вели-
величина сх превышает единицу, экспериментальные данные резко
расходятся с результатами расчета. Сопоставление измеренных
и рассчитанных при помощи МПВ результатов приведено на
рис. 62 [8]. На этом рисунке но вертикальной оси отложены
измеренные значения <тх, а по горизонтальной оси — значения
и0^ у х\, вычисленные в рамках первого приближения МПВ
с использованием независимо полученных (из микрометеорологи-
микрометеорологических измерений) величин С%.
_ �з сказанного ясно, что для описания области, в которой
Х*>1, необходимо использовать методы расчета, выходящие за
рамки теории малых возмущений и МПВ.
336 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�Й [ГЛ. VI
Задачи.
1. Функция Грина G(r) удовлетворяет уравнению
ДО (г) | *«С(г)-8(г) (1)
и условию излучения на бесконечности. Вывести для О (г) двумерное спек-
спектральное разложение.
Решение. Подставив в (1) трехмерное разложение Фурье
в{т)-()(р, г)--- J d*x JJ dpg(x, р)ехр{Г(хрН-рг)}, (2)
получаем уравнение
откуда следует, что
В знаменателе подынтегрального выражения введена бесконечно малая
(е --*¦-]- 0) мнимая добавка, соответствующая затуханию юлны (1т?>0) и
приводящая при вычислении интеграла (3) к функции Грина, отвечающей
расходящимся волнам.
Если выполнить в (3) интегрирование по р, то мы получим искомое раз-
разложение функции G (г) в двумерный интеграл Фурье. Рассмотрим интеграл по р:
— э>
Полюсы Pi.j—i Vk*—x*-t-i« расположены как в верхней полуплоскости
(ImPi > 0), так и в нижней (Imp. < 0). Ксли г > 0, то контур интегрирова-
интегрирования можно замкнуть бесконечной полуокружностью в верхней полуплоскости
комплексного переменного р, к вычет в верхнем полюсе дает
pip.* л»п It У^Аа x2zl
; — _ о-.- е ' =- _ nf е»Р 1' Г « х г;
„ « , (Г>)
Pi —Ра V*» — ха
причем
(выбор знака в нижнем равенстве обеспечивает выполнение условия Imp, > 0
как лри кг > х9, так и при к* < я1). Подставляя (5) в (3), получаем, что
РїСЂРё Рі > 0
О (Р. г)— я^-т \ ^и— ,.-,== — , г > 0. (С)
Диалогично вычисляется интеграл и при г < 0, когда вычет надо брать в по-
полюсе pt- Окончательная формула, охватывающая оба случаи, отличается от (б)
<aavr>unfi 9 РІСЏ I 2 t
люсе pt- Окончате
заменой г на | г |.
ЗАДАЧ� 3,47
i. Найти функцию Грина К [р. z) уравнения (40.5).
Решение. Будем искать решение уравнения
+A^-f(p, Рі)
с начальны» условием Ф (р, 0) — 0 в виде двумерного интеграла Фурье
Р¤(СЂ, z)=$exp(ixp).f(x, z)d*x. (2)
Подставляя в (1) такое же разложение и для функции /(р, г):
/(СЂ', z)^\ exp(ixp)n(x,
I r> (3)
(i (x, z)- J-5 Гсхр (-<xp') f(p';z) <Pp',
получаем
%^*,z)^p(*, Рі).
Умножая это уравнение на -^exp^ — JiA f и интегРиРУя по z от 0 до z
с учетом граничного условия <р(х, 0)=-0, находим
Подстановка (4) в (2) дает
z
Ф(Р, г)=-^ J ^' J <Рх «р |.xp-'x (^~ °| и (х, г'
Чтобы получить окончательное выражение для Ф, надо воспользоваться
обратный преобразованием Фурье для ц(х, г') (вторая формула (3)):
', z)
Взяв интеграл по к, получаем формулу вида (40.6), в которой /С(р, г) опре-
определяется формулой (40.8).
3. Найти двумерную пространственную спектральную плотность !¦$(*¦, *)
флуктуации фазы (40.16).
Решение. Как и для флуктуации уровня (см. (40.21)), имеем
, z)S(W, z)> = 6(n+x')fs(x, Рі). (1)
338 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� [ГЛ. VI
�з (40.16) следует, что
<S (С…, Рі) S (С…', *)> = Рў J dz' Idz"cos
Рў J dz' I
Xcos
а так как, согласно (40.19),
«. /—г"),
получаем следующую связь между спектральными плотностями /"s и /"с:
[2^i^3] [!^3] («. *'-*')• (3)
) = ? f В«fe'j
Еслн'воспользоваться теперь эффективной двумерной спектральной плот-
плотностью (40.30):
Fl**(x, г'—г')-2лФ8(х, 0)6 (г'—г*),
то формула (3) принимает вид
z
FS (и, г) = ^Фе(.с, 0) J cos» ["' (г2~г>)] Л',
что после вычисления интеграла приводит'к выражению (40.31).
4. Найти корреляционные функций флуктуации уровня и фазы для точек
наблюдения, разнесенных как в поперечном, так и в продольном направлении.
Решение. �сходя из формулы (3.11), получаем
. *СЊ Р Р°. *Рі) =
�спользуя формулы (40.15), (40.19) и (40.30), находим, далее,
z' Рі" Р“ Р° '1
!, *i)X<*,. Рі,)>-Рў1 Р¤' Idl" 3i" L Kl (2ft~Z ' I
Рѕ Рѕ
1 IL 2ft I X
Рѕ Рѕ
(4,-1 хг)-2пФ?(х„ 0)6(г1-r*)-
л*8 ., , . ^ , „ С ¦ Г"? (г, — г') 1 . Г "it's — г') 1 j.
= -2-6(Ki + «i)1)s(}ei'0)\ sin ^ "¦ г2к—-j sll> у 2k— J '
где z< = min(z1, zt). Подстановка (2) в (1) дает
*x(Pi. «i; Pi- гг) = ~- |(РхФе(х, 0) exp [i« (pj—p,)l X
ЗАДАЧ� 339
формула для функции корреляции фазы \J?s отличается от (3) лишь заменой
СЃРёРЅСѓСЃРѕРІ РЅР° РєРѕСЃРёРЅСѓСЃС‹:
(4)
Вычислив интегралы по г' и истюльзуя равенство
¦=1/«1г1~г»|> находим
Здесь верхние знаки относятся к ipx, нижние—к if5.
При Zj — г2 = г формула (5) переходит в формулы (40.29) и (40.31). Заме-
Заметим, что корреляционные функции, определяемые формулой (5), зависят лишь
от pi—рг, т. е. инвариантны-по отношению к одновременным сдвигам обеих
точек наблюдения в плоскостях z — Zi и z = z2 на одну и ту же величину.
Вместе с тем в (5) входит как (2t—га), так и (Zj-fjj). Таким образом, флук-
флуктуации уровня и фазы статистически однородны по поперечным координатам,
но не являются статистически однородными по продольной координате.
5. Вывести формулу (41.7) из (41.6) и (41.9) из (41.8).
Решение. Проинтегрируем разложение Фурье
(5)
по z в пределах (— оо, со):
(Рѕ
или, учитывая четность <])с(р, г) по г.
Действуя на это равенство оператором Aj_ и [принимая во внимание, что
Д^_ exp (ixp) = х1 exp (ixp), находим
340 МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕН�� [ГЛ. VI
Положим здесь р = 0; тогда
х'фе(х, 0)Рх=
Подставляя это равенство б (41.6), получаем (41.7).
Положив р = 0 в формуле (1), получаем
Фе (х, 0) dax=-i- j" Ч-, (0, г) dz
Подстановка этого равенства в (41.8) приводит к формуле (41.9).
6. Найти средние квадраты флуктуации уровня и фазы для частного слу-
случая гауссовой корреляционной функции флуктуации диэлектрической прони-
проницаемости:
Рµ ! (0
Решение. Найдем у_а = ч()х(0, г). Полагая в (40.33) р = 0, получаем
где к! — xjj+Xj. Полагая в (41.15) хг = 0 и подставляя Фе(х, 0) в (2), по-
получим
3D
"=JL—g ) (1-5Г,
* Рћ
Произведем замену переменной интегрирования, положив Ktai/2 = t. Тогда
для х5 получим
ер
Рѕ
где введен волновой параметр D = 2j//to2.
Рассмотрим входящий в х1 интеграл
Рѕ
Очевидно, при П=0 инеем /(0) — 0. Далее,
В« J0 /
j'(D) = \ cos D/(r-'d< ^ Re [ e-i1 + ''°>»ift = Re- ' — '
0 Рѕ'
ЗАДАЧ� 341
откуда
Следовательно,
Средний квадрат флуктуации фазы получается отсюда просто переменой
знака перед вторым слагаемым.
7. Найти асимптотические формулы для структурной функции фази (41.31)
для предельных случаев ?pa<^z и Ара^>г.
Решение. Наиболее существенный вклад в интеграл (41.31) даег область
f ~ 1, так как при г^> 1 мал множитель t~'lx, а при t <^ 1 мал множитель
1—¦'о (01- Если при t— 1 справедливо неравенство *рг/г-з2 1, то
V • ''-
f [1 —'о (01 (i+4tt sin т^г) /-'/•Л*]? [1-У. (01 f!'di--M,
J V Р“ 2 ftp / J
где Л(—числовая постоянная. Если же *i>2/zfe.|, то при (<—1 имеем
I / Р  \; <В« I
sin
�менно поэтому коэффициенты в формулах для Dj(p, г) в случаях
и kp'^-z отличаются в два раза.
8. Ограничиваясь случаем статистически изотропнш флуктуации е, найти
фй f( ) ?>( ) ^/ '
р у р фуу
вид функций ifj(p, г) и ?>,s(p, г) при p<^/Oi ГДе '«-¦¦размер наименьших
неоднородностей диэлектрической проницаемости.
Решение. Будем исходить из формул (40.33) и (40.36):
, (1)
(2)
Так как функция <bs (х. П) пренебрежимо мала при ч>хя~2я//0, основной
вклад в интегралы (1) и (2) дает область х < 2л/1а. Если р^/„, то и этой
области хр < 2яр//0 <^ 1. Поэтому можно воспользоваться перными членами
степенного разложения Л(хр) = 1— xVV*+ ••• Подстановка этого разложе-
разложения в (1) и (2) и приводит к формулам (41.34) и (41.35).
Глава VII
ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА В ЗАДАЧЕ
О РАСПРОСТРАНЕН�� ВОЛН В СРЕДЕ
СО СЛУЧАЙНЫМ� НЕОДНОРОДНОСТЯМ�
§ 43. Обоснование марковского приближения
Во всех рассмотренных в гл. IV—VI приближенных спосо-
способах описания распространения волн в случайно-неоднородных
средах использовалось предположение о малости флуктуации
диэлектрической проницаемости. Оно либо лежало в самой ос-
основе способа (метод малых возмущений для точного волнового
уравнения), либо вводилось потому, что без него нельзя было
продвинуться в решении приближенных уравнений (геометриче-
(геометрическая оптика, метод плавных возмущений). Только при этом
предположении удавалось выразить с помощью указанных ме-
методов в явном приближенном виде волновое поле в случайной
среде или его амплитуду и фазу через г. Для нахождения ста-
статистических характеристик различных параметров волны надо
было лишь выполнить усреднение полученных выражений или
их комбинаций. Разумеется, использование в той или иной
форме теории возмущений по е налагает на границы примени-
применимости этих методов довольно жесткие ограничения. Например,
ни один из рассмотренных выше методов решения стохастиче-
стохастического волнового уравнения не позволяет дать адекватное описа-
описание сильных флуктуации волнового поля.
В ч. I книги для анализа физических задач, описываемых
системой обыкновенных дифференциальных уравнений со слу-
случайными коэффициентами, был применен аппарат марковских
случайных процессов. При этом в ряде случаев удавалось по-
получить уравнение непосредственно для распределений вероят-
вероятностей или для усредненных величин—моментов и т. п. В случае
динамических систем, подверженных случайным параметрическим
воздействиям (см. задачу 22 к гл. I), для применения аппарата
марковских случайных процессов оказалось необходимым выпол-
выполнение следующих условий.
} 43] ОБОСНОВАН�Е МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 343
Во-первых, должен выполняться принцип динамической при-
причинности: решение в некоторый момент времени должно функ-
функционально зависеть лишь от предшествующих по времени значе-
значений случайных коэффициентов.
Во-вторых, время корреляции случайных воздействий (т. е.
случайных функций, входящих в уравнения) должно быть малым
по сравнению с наименьшим характерным временем отклика
динамической системы. В этом случае возможна аппроксимация
корреляционных функций случайных воздействий дельта-функ-
дельта-функциями от времени.
При выполнении обоих условий оказалось возможным полу-
получить замкнутое уравнение для плотности вероятностей состояния
динамической системы. При гауссовых дельта-коррелированных
коэффициентах это было дифференциальное уравнение Эйнш-
Эйнштейна—Фоккера. Если динамическая система к тому же линей-
линейна, то можно получить замкнутые уравнения и для моментов
(ч. I, §§ 36, 37 и задача 7 к гл. V, а также задача 22 к гл. I
данной книги).
Аппроксимация марковским случайным процессом использует,
в отличие от теории возмущений, другой малый параметр—отно-
параметр—отношение то/т, т. е. времени корреляции воздействий т0 ко времени
корреляции отклика т. Нулевому приближению по этому пара-
параметру и отвечает марковское приближение. Для законности такой
аппроксимации, разумеется, могут потребоваться также ограни-
ограничения интенсивности флуктуации параметров, но возникающие
при этом неравенства содержат и параметр то/т, так что огра-
ограничения интенсивности флуктуации оказываются менее жесткими.
Можно ли применить теорию марковских процессов к задаче
о распространении волн в случайно-неоднородной среде, т. е.
к задаче о случайных поля»}
Прежде всего, само понятие марковского процесса предпола-
предполагает наличие упорядоченной переменной (аналогичной времени),
без наличия которой невозможно формулировать основное свой-
свойство таких процессов—возможность представления многоточеч-
многоточечной плотности вероятностей в виде произведения вероятностей
перехода. Ясно, что упорядоченную переменную можно ввести
лишь в отношении одной координаты. Следовательно, можно
надеяться описать распространение волны как марковский слу-
случайный процесс либо в одномерной задаче (например, для слу-
случайно-неоднородной слоистой среды), либо же в том случае,
хогда одна из координат физически выделена по отношению
к другим (например, при распространении плоской волны или
узконаправленного пучка излучения).
Далее, если из трех пространственных переменных удастся
выделить одну, играющую в указанном выше смысле роль вре-
времени, то по этой координате должно выполняться условие
344 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
динамической причинности, т. е. рассматриваемое волновое поле
должно функционально зависеть лишь от предшествующих1) (по
данной координате) значений случайного параметра. В общем
случае волновое поле не удовлетворяет этому требованию, так
как в неоднородной среде присутствуют волны, рассеянные как
вперед, так и назад (§ 38), а наличие волн, рассеянных назад,
обусловлено теми неоднородностями среды, которые расположены
за точкой наблюдения.
Тем не менее для одномерного уравнения Гельмгольца
описывающего распространение скалярной волны в слоистой
среде, можно ввести -функцию
удовлетворяющую уравнению первого порядка
и «начальному» условию (т. е. граничному условию, например,
при z = 0). В таком случае значения R{z) функционально за-
зависят лишь от е(?) при 0^?^z, так что условие причинности
для R выполнено и эту функпию можно аппроксимировать мар-
марковским случайным процессом, если радиус корреляции для
в (г) достаточно мал (см., например, [1]).
Однако для волн в среде, содержащей трехмерные неодно-
неоднородности, не удается ввести аналогичную функцию, для которой
выполнялся бы принцип причинности. Здесь переход к аппрок-
аппроксимации распространения волны марковским случайным процес-
процессом возможен лишь в том случае, когда законно пренебрежение
волнами, рассеянными назад.
Как мы установили в § 38, приближение параболического
уравнения как раз и соответствует пренебрежению рассеянными
назад волнами. Кроме того, в МПУ имеется физически выде-
выделенная координата—вдоль направления распространения волны,,
падающей на неоднородную среду. Таким образом, в приближе-
приближении параболического уравнения переход к аппроксимации рас-
распространения волны в среде со случайными неоднородностями
марковским процессом, вообще говоря, возможен, но необходимо
еще предварительно выяснить, каково соотношение между харак-
') Мы будем пользоваться термином «предшествующий» не только для
временной, но и для любой другой координаты, играющей а указанном выше
смысле роль времени.
I 43] ОБОСНОВАН�Е МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 345
терными продольными масштабами флуктуации е и флуктуации
волнового поля V.
Существенное математическое отличие неодномерной задачи
о распространении волн в случайно-неоднородных средах от
задач, рассмотренных в ч. I, заключается в том, что динами-
динамическое уравнение является теперь уравнением в частных произ-
производных. Вместо случайной величины (или случайного вектора)
мы имеем здесь при каждом фиксированном значении г двумер-
двумерное случайное поле и(р, г). Распределения же вероятностей слу-
случайного поля полностью задаются, как мы знаем, характерис-
характеристическим функционалом (§ 7). Поэтому уравнение Эйнштейна —
Фоккера в интересующих нас случаях должно определять не
функцию, а функционал. В связи с этим оно существенно слож-
сложнее, чем для динамических систем с конечным числом степеней
свободы: вместо уравнения в обычных частных производных оно
оказывается уравнением с функциональными производными. Для
того чтобы упростить свою задачу, мы ограничимся поэтому
выводом уравнений для моментов поля v(p, г).
Как мы убедились на примере динамических систем с конеч-
конечным числом степеней свободы, замкнутые уравнения для мо-
моментов можно получить из уравнения Эйнштейна—Фоккера только
в случае линейных систем. Поскольку параболическое уравнение
(38.4) линейно, можно и здесь надеяться на получение замкну-
замкнутых уравнений для моментов. В отличие от (38.4), исходное
уравнение МПВ (40.3) нелинейно, и поэтому получить из соот-
соответствующего функционального уравнения Эйнштейна—Фоккера
замкнутые уравнения для моментов комплексной фазы Ф не уда-
удается (несмотря на то, что решение уравнения (40.3) для Ф удов-
удовлетворяет условию причинности).
Перейдем теперь41к оценкам продольных радиусов корреляции
флуктуации различных параметров поля. При этом мы будем
основываться на результатах, полученных в гл. VI при помощи
РњРџР’.
Продольный радиус корреляции флуктуации фазы и интен-
интенсивности (или уровня) можно оценить, исходя из качественных
соображений, развитых в конце § 41. Мы видели, что фаза волны
определяется всеми неоднородностями, которые пересекает при-
приходящий в точку наблюдения луч. Для оценки можно считать,
что различные неоднородности вносят в фазу независимые вклады
AS*. Набег фазы вдоль луча, прошедшего через л неоднород-
Р»
ностей, равен S — 2 AS,,. Для другой точки наблюдения, лежа-
Рї'
щей на том же луче, набег фазы будет S'= 2 AS*. Если п'>п,
34b ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
то S' = S-f- 2 AS* и. следовательно,
ssT=(s(s+ jg
\ *=Р»+
поскольку S ASk = 0 при k> п. Коэффициент корреляции равен
поэтому
Но мы видели (см. (41.17)), что S'coz, где г—длина дистанции,
пройденной волной в неоднородной среде. Отсюда следует, что
Ks = VTi? = VTJb. (43.1)
Эту формулу можно получить и более строго при помощи МГО
или МПВ (см., например, формулу (33.14) и задачу 4 к гл. VI).
Если зафиксировать г< = г и положить г> = г + С, то, согласно
(43.1),
W (43-2)
Таким образом, продольный радиус корреляции фазы имеет
порядок величины г, т. е. он во много раз больше радиуса
корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости.
Но, как мы уже убедились ранее, это и есть то необходимое
условие, которое позволяет переходить к приближению марков-
марковского случайного процесса.
Оценим теперь продольный радиус корреляции флуктуации
уровня. В конце § 41 мы подсчитали порядок величины фокус-
фокусного расстояния характерной неоднородности с размером 1г и
отклонением диэлектрической проницаемости от средлюго значе-
значения, равным е:
Если е<^1, то F^>te. В области применимости МПВ все
«линзы» можно считать слабыми, т. е. F^>г. В этом случае к
амплитудным флуктуациям допустимо применить те же сообра-
соображения, которые только что были использованы при оценке про-
продольного радиуса корреляции фазы. Если же условие F^>z не
выполняется, то [точка наблюдения может попадать в область
фокусировки излучения, где флуктуации интенсивности не малы.
Однако при е<^1 мы имеем и в этом случае F^>lt, так что
} 43] ОБОСНОВАН�Е МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 347
протяженность по оси г «области влияния» каждой неоднород-
неоднородности намного превышает размер самой неоднородности.
Анализируя амплитудные флуктуации, следует учесть и тот
случай, когда размер неоднородностей мал по сравнению с ра-
радиусом первой зоны Френеля: /e<^|/"?.z. Здесь уже нельзя
использовать геометрическую оптику, а необходимо привлечь
для оценок основные положения теории дифракции. Как мы
знаем, дифракция на неоднородности размера /е начинает суще-
существенно проявляться на расстоянии порядка гл — 1\J"k от нее.
Поэтому фокусирующее действие неоднородностей возможно лишь
на расстояниях, не превышающих zn. Таким образом, «область
влияния» неоднородности имеет продольный масштаб гл и усло-
условие 2д^>/е, при котором можно использовать приближение мар-
марковского случайного процесса, принимает вид (/?М)^>/Е, т. е.
Как мы видим, для слабых флуктуации и крупномасштабных
неоднородностей продольный радиус корреляции амплитудных
флуктуации оказывается во всех рассмотренных случаях боль-
большим по сравнению с размерами неоднородностей, что и необхо-
необходимо для применимости приближения марковского случайного
процесса.
Разумеется, приведенные качественные соображения не могут
служить строгим обоснованием марковского приближения, и
границы его применимости будут более последовательно рас-
рассмотрены ниже (§ 47). Все же следует подчеркнуть, что нам
нигде не пришлось делать предположение о малости флуктуации
амплитуды волны. Поэтому можно надеяться, что марковское
приближение окажется пригодным и для описания сильных
флуктуации поля,, если только допустимо пренебречь волнами,
рассеянными назад.
Проводя в гл. VI конкретные расчеты флуктуации фазы и
уровня при помощи МПВ, мы уже пользовались аппроксимацией
корреляционной функции в дельта-функцией. R § 40 была при-
применена формула (40.30):
/=•«(*, » — **•(*. 0 = 2яФ.(и. 0)8©, (43.3)
и было показано, что подстановка F|** вместо FB приводит при
расчете спектров флуктуации амплитуды и фазы к правильным
результатам, если выполнены условия
Поскольку корреляционная функция i|>e(P. С) связана с двумер-
двумерной спектральной плотностью Ре(к, t) формулой
i|)e(p, Р•)=^В«(РЅ, ?)exp(В«xp)d4
348 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКО6СКОГО ПРОЦЕССА [ГЛУП
легко установить, что замена (43.3) эквивалентна следующей
замене корреляционной функции:
Ъ (Р. О —1S*(P. S) - * (Р)«(0. (43.4)
РіРґРµ
/1 (р) = 2я $ фе(х, 0) exp (iftep) d*K (43.5)
(в силу четности А(р) можно использовать любой знак показа-
показателя экспоненты).
Рассмотрим интеграл от i)>e (р, z) по продольной координате ?¦
�спользуя трехмерное спектральное разложение
% (Р , S) = $ Р¤, (*, Р›) exp [i (С…СЂ + pg)J dВ»
и интегрируя его по ? в бесконечных пределах, получаем
S * (Р, О « = S ф* (и. Р) ехр (йер) d'x dp J «W d? =
-РћРЎ -РЎРћ
= $Фв(x, p) exp (txp) ¦ 2яб (p) a*x dp = 2n$ Ф„ (x, 0) exp (t'xp) dlx =
= A (p).
С другой стороны, интеграл по ? от аппроксимирующей корре-
корреляционной функции ^^(р, ?) = Л (р) 6 (?) тоже дает функцию
А (р), так что справедливо равенство
J A(p). (43.6)
-РІРѕ -В»
В дальнейшем часто будет встречаться комбинация
РЇ(СЂ) =-1[Р›(0)-Р›(СЂ)]=2|[1 -cosРёСЂ]Р¤,(Рє(/.0)<Р С…. (43.7)
Функция #(р) зависит от двумерного вектора р и выражается
при помощи двумерного преобразования Фурье через трехмерную
спектральную плотность Фе(х, 0).
Если случайное поле 8(р, г) является гауссовым, то для его
полного статистического описания достаточно задания корреля-
корреляционной функции 8 и, в частности, эффективной корреляционной
функции вида (43.4). Однако если не предполагать нормальности
поля е(р, г), то необходимо задавать и более высокие моменты
<"(Pi. г,)...ё(ря1 г„)>.
Для гауссова поля е(р, г) из дельта-коррелированности по г
вытекает, что при любых ггфг, случайные величины е(р„ г,) и
8 (р„ г,) статистически независимы. Но для негауссовых полей
{ 441 УРАВНЕН�Я ДЛЯ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х МОМЕНТОВ 349
некоррелированность еще не влечет за собой независимости.
Оказывается, что для негауссовых полей е (р, г) условие, ана-
аналогичное (43.4), при котором для "моментов случайного волнового
поля v (р, г) можно получить замкнутые уравнения, формулируется
следующим образом. Пусть гг (i — 1, ..., л) и г) (/ = 1, ..., т)
удовлетворяют при любых i, / условиям
*,<*.. г,>г„.
Тогда совокупности случайных величин i(p,, г,) и е(р/, zj)
должны быть статистически независимы. Аналогом дельта-корре-
дельта-коррелирован ности здесь является то, что при любом сколь угодно
малом «зазоре» между переменными обеих групп уже наступает
их полная статистическая независимость.
�звестно, что совместные кумулянты для нескольких случай-
случайных величин обращаются в нуль, если среди этих величин
имеется хотя бы одна, статистически независимая от остальных.
Поэтому совместные кумулянты для е(р,, г,) и e(pj, zj) должны
обращаться в нуль. С другой стороны, для негауссовых случай-
случайных величин высшие кумулянты должны быть отличными от
нуля. Отсюда следует, что кумулянты для случайных величин
*(Р(. гд должны иметь вид дельта-функций по переменным г,-:
¦и(Pi. «i*. P.. г,; ...; р„, г„) =
= Л(р! Р„, zl)6(z,-zl)6(z3-z1)...6(Z,1-*n_l). (43.8)
Случайные функции е (р, г), удовлетворяющие этому условию,
мы и будем называть дельта-коорелированными по г.
§ 44. Уравнения для статистических моментов
волнового поля в приближении марковского
случайного процесса
В соответствии с изложенными выше соображениями рассмот-
рассмотрим теперь приближение параболического уравнения
v(p,
считая е(р, г) случайной функцией, дельта-коррелированной
РїРѕ z.
Получим сначала уравнение для о(р, г) [2]. Для этого при-
применим тождественное преобразование
2*
350 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА (ГЛ. VII
при помощи которого уравнение (44.1) можно записать в следу-
следующей форме:
(p. 2)1.
. Рі). (44.2)
Проинтегрируем это уравнение в пределах от 0 до г, обозначив
переменную интегрирования в правой части через г', а затем
умножим обе его части на
В результате с учетом равенства
получим
2,to (p, Рі)-2/ft exp (^ j i (СЂ, РЎ)В«)Рѕ. (СЂ) =
f РЎ С‘(СЂ, 0^)РґС…В«(Р , Рі'). (44.3)
В правой части (44.3) под знак интеграла входит произведение
( f-
двух случайных величин Axf(p, г') и expl 1/tik ^ е(р,
\ Рі'
Так как о(р, г') функционально зависит лишь от предшествую-
предшествующих по г значений в(р, ?')> где 0<t'<z'ia в экспоненту вхо-
входят только последующие значения е(р, Q при S^z', для дель-
дельта-коррелированных по г случайных функций е(р, г) эти два
сомножителя статистически независимы. Поэтому, усредняя
уравнение (44.3), получаем соотношение
(44.4)
j.,41 УРАВНЕН�Я ДЛЯ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х МОМЕНТОВ 351
представляющее собой замкнутое уравнение относительно функ-
функции о(р, г).
В уравнение (44.4) входит функции
Я (г, г'; р)=(ехр(^ J Ё(Р> ?)<«)). (44.5)
Z'
Она известна, если заданы статистические характеристики слу-
случайной функции е.
Рассмотрим частный случай, кода е(р, г)—гауссово случайное
X
поле. В этом случае величина а= J ё(р, ?)d? является raycco-
2'
вой со средним значением, равным нулю. Следовательно,
С‚(?)] <44-6>
Найдем а4, используя формулу (43.4):
Z 2
= Р› (0) 5 <*РЎ, J dW (Р¬-Р« = (Рі-Рі') Р› (0).
Рі' Рі'
В результате получаем для Р выражение
"Р{г, г') = ехр [_*!^1(г_г')] , (44.7)
где введено обозначение Ло ()
Подставив (44.7) в уравнение (44.4), находим
, 2)-2ifeexp [-^i Рі] Рѕ,(СЂ) =
Z
= - J dz' ехр [-^ (г-г')] Д^(р, г'). (44.8)
После умножения (44.8) на ехр (1/,ЬМ„г) и дифференцирования
по г получаем'равенство
, z),
352 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
из которого вытекает искомое дифференциальное уравнение для
среднего значения о:
|*^^. Рі)=0. (44.9)
Решением этого уравнения мы займемся позднее, а сейчас
обратимся к выводу аналогичных уравнений для моментов лю-
любого порядка
r,,,В« = <f(p;, Рі)...Рѕ(СЂРђ, Рі)РІВ»(Р ;, *)...V(Pm, *)>. (44.10)
Прежде всего выведем дифференциальное уравнение для слу-
случайной функции
7 = Рѕ(СЂ1, Рі)...Рѕ(Р ;, Рі)1РЎ(Р ;, Рі)...Рѕ'(СЂ;, Рі). (44.11)
Запишем для этого уравнение (44.1) для и(р[, г), обозначив
через А, поперечный лапласиан Д'х по координатам х,, yt
точки р[:
Рѕ', Рі)
?-i + A;0(Pi Рі) + РєР§(СЂ[, z)v(p[, Рі)=0.
Умножим это уравнение на a(PJ, г) у (pi, z)...v(p'n, г)х
xo*(pl, г)...у*(Рт, г). Так как этот множитель не зависит
от pi, его можно внести под знак Ai, что дает
^ , Рі)7=0. (44.12)
Записав уравнение (44.1) для г (ft, г) я домножив его на
"(Pi. г)»(Р». г)...ч*(р'т, г), получим
^v(pi, Рі) ...o
(44.13)
Уравнения для t(pi, г), .... ч(р^, г) имеют аналогичный вид.
Взяв уравнение, комплексно сопряженное (44.1}:
запишем его для »•(?, г) и, домножив на t»(pj, z)...t»(pi, г)х
xo'tft г)...о*(Р^, г), получим
2ifar(pl, г)...«(р;,г)^^-^и«(Р;, г)...»»(^, г)—
-AIV-ft4(P;, Рі)С‚=Рћ. (44.14)
Аналогичные уравнения справедливы также для »•(?, г), ...
f(; )
, 44] УРАВНЕН�Я ДЛЯ СТАТ�СТ�ЧЕСК�Х МОМЕНТОВ 353
Сложив теперь все уравнения, начиная с (44.12), получаем
уравнение для случайной функции у:
21РєРґ?+1Сѓ+Рє'В»(Рі)Сѓ = Рћ, (44.15)
где введены обозначения
1=Рґ;+... +Рґ;_Рґ;_... _Рґ;,
? z)-?(ft, г)—...—е(р^, г). (44.16)
Уравнение (44.15) отличается от (44.1) только заменами
V—«-Y. Д±~••?> е—»(i. Поэтому, проделав такие же преобразо-
преобразования, как и при переходеот (44.1) к (44.2), (44.3) и (44.4),
мы получим уравнение для у = Т„,т, аналогичное (44.4):
p'f, 0) =
rn.M(P;, pl,z'). (44.17)
Уравнение (44.17)—замкнутое, а входящая в него функция
(44.18)
известна, если заданы статистические свойства в(р,. г).
Рассмотрим, как и для v (р, г), гауссово случайное поле ё. Тогда
''if*. г') определяется формулой
Pt(z,г') = exp j-kj J«i J«.<l*(Pa. Pp. У Ц (Pi- Pp. ?,)>!• (44.19)
Учитывая, что
n m
i*(p;. pp. В»=2 e(pi, o- 2 С‘ (pi, e).
a=] P—I
получаем
Pi. Pi. J,)(i(Pa, Pi. W>= 2 2
C 1 p 1
-222 <8(p;,ge(pi,y>+ 2 2 <В«(?;.
a=l fl=l a=l P= 1
12 С. М. Рнтов «'др. и. II
354 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Согласно (43.4)
<ё(Ра. ?,) « (рр, ?,)> = Л (Ра-Р„) в (?,-?,),
так что
РіРґРµ
-2 5 2Р»(СЂ;-СЂВ»)+2 2i4(P;-pj). (44.20)
Следовательно,
/>,(*, г') = ехр {-*!<?„.„(*-*')}¦ (44.21)
Подставим (44.21) в уравнение (44.17), затем умножим обе
его части на expO/.fe'-Q,,,,,*) и продифференцируем по г, В ре-
результате получим уравнение
которое, с учетом выражения (44.16) для ?, приводится к сле-
следующему окончательному виду:
«Начальное» условие к уравнению (44.22) имеет форму
г„.«(р;, pJT, о) = о.(р\) ...v.(Р;)vtа>[)...v;(pm).
При «i=l, m = 0 из формулы (44.20) следует, что
Л„ (44.23)
а для Tlttamv(p, г) из (44.22) получаем прежнее уравнение (44.9).
Запишем еще уравнение для момента ri,,=<w(p'i, г)и*(р", г)>,
т. е. для поперечной функции когерентности. Полагая в (44.20)
п = т=\, получаем
Qi. 1=2Р› (0)-2Р» (СЂ;-СЂ;)=2СЏСЏ (Р ;-СЂР­,
gij|gl СРЕДНЕЕ ПОЛЕ � ФУНКЦ�� HU1 'UHUHTHUU'1'� 355
где использовано обозначение (43.7). Уравнение (44.22) прини-
принимает при п = т=1 вид
Решение этого уравнения будет подробно рассмотрено в следую-
следующем параграфе. Функция взаимной когерентности Г,. , играет
важную роль при описании статистических свойств излучения.
В частности, при р" —р' она переходит в среднюю интенсивность
волны: ГЬ1(Р\Р'. *)-<�р',г) |«> = </(р\ г)>.
Наконец, запишем уравнение для момента четвертого порядка
Г,,, = <» (Pi. «) v (pi, г) в* (рГ, г) V (р"„ г)>.
Полагая п = т = 2, с учетом четности функции /4 (р) получаем
из формулы (44.20)
—2Л (pI-pO-2,4 (pI-P;)-2A (Pi—p
=2СЏ[//(СЂ;-СЂР­+Р»(Р ;-СЂ,-)+СЏ(СЂ;-СЂ
Уравнение (44.22) принимает в этом случае вид
Ра-Я(К-р;)-Я(р:-р;)1Га,, = 0. (44.25)
Момент Г,,, связан с флуктуациями интенсивности волны. �ссле-
�сследованию их свойств будет посвящен § 46.
Совокупность всех уравнений (44.22) эквивалентна одному
уравнению с функциональными производными для совместного
Характеристического функционала случайных полей v(p, г) и
о*(р, г) (см. [22]). Это уравнение и является аналогом уравнения
Эйнштейна — Фоккера для рассматриваемой здесь задачи.
§ 45. Среднее поле и функция когерентности
второго порядка
1. Среднее поле. Среднее поле и(р, г) подчиняется полу-
полученному в предыдущем параграфе уравнению (44.9):
12В»
356 приближение марковского Процесса Ггл. vii
Нетрудно получить решение этого уравнения. Заметив, что
запишем уравнение (45.1) в следующем виде:
1 [е*м.г/»у] _ 1 д х [е*м.г/9^ = о. (45.2)
Рассмотрим поле ш(р, г) в однородной среде. Уравнение для
него получается из (45.1), если положить Л„ = 0:
0, w (р, 0) — у0 (р). (45.3)
Сравнивая (45.3) с (45.2),[_мы видим, что эти уравнениями на-
начальные условия к ним) 'совпадают. Тем самым совпадают и
функции exp {'/Ji%Atz\ v (р, г) и w(p, г), подчиненные этим урав-
уравнениям, т. е. имеет место равенство
v(p, г) = ехр (- ^1 г) w (р, г)> (45.4)
которое связывает среднее поле v (р, г) с полем ш (р, г), созда-
создаваемым теми же истопниками на плоскости г--0, но в одно-
однородной среде. Таким образом, влияние случайных неоднородно-
стей среды проявляется в том, что среднее поле экспоненциально
затухает.
Этот результат нетрудно понять, если сравнить коэффициент
экстинкции йМ0/8 в формуле (45.4) с его значением, полученным
в борновском приближении. Последнее определяется формулой
(26.13):
2Р» СЏ
°« = Т" J d4> f sin в d6 Фе'(2ф1п 4)',
которая сразу записана здесь для статистически изотропшйх
флуктуации диэлектрической проницаемости. Выполнив интегри-
интегрирование по <р и введя вместо в новую переменную интегрирова-
интегрирования x = 2fcsin(6/2), приводим формулу для а, к виду
2В»
Но_в интересующем нас случае крупномасштабных неоднород-
ностей функция Фе (х) пренебрежимо мала в области 'л > 2k,
в силу чего можно, практически не меняя значения интеграла,
j^j среднее Поле и функция когерентности 35?
отодвинуть верхний предел в бесконечность:
(45.5)
(эта формула была получена в задаче 1 к гл. IV).
Сравним это выражение с величиной кгАа/8, где, согласно
(43.5),
РЎРћ
Л„ = 2я J Фе (х) dlv. = 4л8 \ Фс (х) х d-л.
Рћ
Мы находим, что
^2?J 4-o.. (45.6)
Для интенсивности среднего поля | о |" из (45.4) и (45.6) полу-
получается следующий закон убывания с ростом г:
, г) |«ехр {-??¦«} = !а.(р, z)|>e^. (45.7)
Отсюда ясно, что убывание среднего поля можно целиком объяс-
объяснить перекачкой энергии из упорядоченной составляющей поля
в его неупорядоченную (флуктуирующую) часть. Например, в слу-
случае падающей плоской волны, когда i»0 —const и w(p, 3) = const,
формула (45.7) принимает вид
|о(р, г)|» = |».1'ехр{-«�. (45.8)
В то же время средняя интенсивность поля, как мы установили
в § 39, в этом случае постоянна:
<| »• |> = |t»0 |s = const. (45.9)
Комбинируя формулы (45.8) и (45.9), получаем
<|Рї|1> = <|РЈ!|>-|В«1' = |РЈРѕ|'(1-Рµ-"'Рі)- (45.10)
Мы видим, что интенсивность флуктуационной части поля нарас-
нарастает по мере углубления волны в неоднородную среду, и на
расстояниях г^а,1 практически вся интенсивность волны свя-
связана с ее случайной компонентой.
2. Функция когерентности второго порядка. Рас-
Рассмотрим теперь функцию когерентности второго порядка Г,,,.
Для нее в предыдущем параграфе было получено уравнение
(44.24). Преобразуем это уравнение.
358 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Введем на плоскости г = const координату р+ центра тяжести
точек р', р" и относительную координату р:
p+ = V,(P' + P"). Р=Р— Р'-
РўРѕРіРґР°
Р°1 Р° Рґ
Если ввести обозначения Fj.^p', р", г) = Г,, j (p+ +P/2, р* —
— р/2, г) = Г(р, р+, г), то уравнение для Г, получаемое из (44.24)
путем перехода к новым переменным, будет
Уравнение (45.11) можно решить при помощи преобразова-
преобразования Фурье по переменной р4:
Г(р, р+, z)-Jv(P. P. г)ехр((рр+)^. (45.12)
Подставив это в (45.11), получаем для у уравнение
Р—Р“+Рў^+Рў-'Р–Рµ^Рћ. (45.13)
�спользуем операторную запись для ряда Тейлора *)
/(p + ft)=exp(ft?)ftp) (45.14)
и преобразуем сумму первых двух членов в уравнении (45.13):
Уравнение (45.13) можно записать поэтому в виде
«р(-5?)в[»р (t^)v(p. р. «)] —?я(й)т(р. р. «).
или, если умножить этот результат слева на Оператор
()
. Р. *)]• (45.15)
•) Разложив ехр<ро^-> в ряд, получаем обычную форму записи ряда
Тейлора.
СРЕДНЕЕ ПОЛБ � ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 359
формулу (45.14) и полагая в ней po = pz/ft, можно
Зависать'уравнение (45.15) еще и следующим образом:
Решение этого уравнения относительно функции y(p + pzjk, p, г)
где V1" (Р. Р) = Y (Р> Р> 0)—значение функции v при г = 0. Если
заменить р на р—рг/fe, то решение примет вид
(45.17)
Подставив (45.17) в (45.12), получаем
Р“(СЂ,Р +,Рі)= Р¶
-T' p)exp ^--^^(СЂ-С‚^-В»)^}^-
(45.18)
Остается лишь выразить здесь трансформанту Фурье У через
функцию Г<в>(р, р+) = Г(р, pti, 0). Согласно (45.12)
V(o)(P. P) =5? Je*P (~'PPi) Р“""(Р , СЂ;)d'p;-
Поставив это разложение в (45.18), находим
Р“(Р . Р +.Рі) =
Для того чтобы придать правой части этого равенства более
симметричный вид, введем вместо р новую переменную интегри-
интегрирования р' = р—(рг/Jfe), d?p = k*<Pp /г?. Тогда окончательно имеем
j
Р“(Р , СЂ+, Рі) = 4-^ j*p'*p;rw(p', p;)x
хехр j|(p_p')(P+_p;)-5*! jtf (р 1 + р' (l -i)) <J-
5
(45.19)
360 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VI)
Мы получили решение уравнения (45.11) в самом общем слу-
случае—для произвольной функции Я(р) и произвольной функции
Г<0|(Р. Р+) на границе [4—6].
Рассмотрим частный случай падения на неоднородную среду
плоской волны. Тогда Г(*'(р, р+) = const = /, и в (45.19) можно
выполнить интегрирование по р+, что приводит к появлению
множителя (4n*z»/feJ) 6 (р—р'). После этого выполняется интегри-
интегрирование и по р', в результате чего получаем
Г (р. р+, «) = /,«р[-5?я(р)]-Г(р,*). (45.20)
Естественно, в случае плоской волны, распространяющейся в ста-
статистически однородной среде, Г не зависит от координаты центра
тяжести р+. Полагая в (45.20) р = 0 и учитывая, что Я(0)=0,
получаем
Р“(0, СЂ+, Рі)-<Рѕ(СЂ+, Рі)РІВ»(СЂ+, Рі)>-=7(СЂ+, Рі) = /0.
Равенство /"=/0 для плоской волны мы уже получали в § 39.
Как мы знаем, функция #(р) возрастает при увеличении
своего аргумента. Поэтому функция Г с ростом р уменьшается.
Можно ввести некий характерный масштаб рк, для которого
Г(р*. г) уже мало по сравнению с Г(0, z), определив этот мас-
масштаб, скажем, как корень уравнения
^РЇ(Р *)=1. (45.21)
Если расстояние р между точками наблюдения мало по сравне-
сравнению с рА, то Г(р, г)/Г(0, г)« 1 и значения полей в этих точках
сильно коррелировани. Если же р??>р*, то ГгО и значения
полей оказываются пространственно некоррелированными. Таким
образом, масштаб рк является пространственным радиусом кор-
корреляции полей, или радиусом когеректости. Ясно, что f>k умень-
уменьшается с увеличением г. Если, например, Я(р)~С^р'/>, ка-;: это
имеет место для турбулентной среды, то
Этот результат уже был получен в § 37 при помощи МГО.
Обратимся теперь к общему случаю, когда Г1" не является
постояннойJ величиной (например, Г"' может быть отлично от
нуля лишь в некоторой области р*, что соответствует ограни-
ограниченному волновому пучку). Рассмотрим интеграл от Г по пере-
переменной р+. �нтегрируя выражение (45.19), получаем под инте-
интегралами по р' и pi множитель (4л*г'/?8)б(р—р'), что позволяет
выполнить интегрирование также по р' и приводит к следующему
I 4б] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ h ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 351
соотношению:
Jr(f>. P+, *)dВ»p+ = exp{-^z//(p)} jr">(p, p;)*p;. (45.22)
Таким образом, усредненная по сечению пучка функция коге-
когерентности второго порядка ведет себя так же, как функция
когерентности плоской волны.
Полагая в (45.22) р=0 и учитывая, что#(0)=0, Г(0, pf, г) =
= /(р+, О),чполучаем закон сохранения
J 7(Р +, 2)rf"P+ =$Up+)dВ«P+- (45.23)
Равенство (45.23) показывает, что флуктуации диэлектрической
проницаемости приводят лишь к перераспределению средней
интенсивности в плоскости г = const; интеграл же от этой интен-
интенсивности по плоскости z = const сохраняется.
Формула (45.19) позволяет рассчитывать распределения сред-
средней интенсивности и степени когерентности для волновых пучков
в Случайно-неоднородных средах (см. задачу 1).
3. Связь с уравнением переноса излучения. Оста-
Остановимся теперь на связи полученных результатов с так назы-
называемым уравнением переноса излучения (УП�), которое приме-
применяется для расчета энергетических характеристик излучения
(в том числе теплового) в рассеивающих средах и широко исполь-
используется во многих задачах астрофизики и геофизики. Обычно
УП� обосновывается феноменологически.
Рассмотрим абсолютную величину плотности потока энергии
|<W| в телесный угол do с вершиной, расположенной в точке R,
и осью, направленной вдоль единичного вектора п:
(45.24)
Введенная таким образом величина 3 носит название яркости
или лучевой интенсивности. Мы уже рассматривали ее в § 9 для
однородной среды (см. формулу (9.26)). Значение 3 (R\ n) в точке
R'=R + n<# отличается от 3 (R, п) да счет двух факторов.
Первый из них —ослабление излучения на пути dl из-за погло-
поглощения и рассеяния в другие направления: ДЭ(1' =— <x3dl. Коэф-
Коэффициент ослабления (экстинкции) а равен сумме коэффициентов
рассеяния н поглощения. Второй фактор—прирост потока энер-
энергии в направлении л из-за рассеяния потоков энергии, перво-
первоначально распространявшихся в других направлениях:
A3<»=^5(R, n')f(n—n')do(n')di.
(Здесь /(п—п')—отнесенное к единице объема сечение рассеяния
при изменении направления от п' до п). Тогда ДЗ =• ДЯ1" &3W
362 ГГР�ВЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
что приводит к уравнению
)+$3(R, n')/(n-n')do(n'),
где -jr—производная по направлению п, которую можно запи-
записать в виде -gJ = п -щ. В результате получаем УП�
(45.25)
Рассмотрим теперь случай крупномасштабных неоднородно-
стей, когда, как мы знаем, индикатриса рассеяния сильно вы-
вытянута вперед, т.е. функция /(п—п) заметно отлична от нуля
лишь при п'«п. Будем также считать первоначальный пучок
излучения узконаправленным, так что функция 9(R,n) заметно
отлична от нуля лишь в узком конусе направлений около оси г и
То же относится и к вектору п': п'г»\, \пх |<^1, поскольку
рассеяние происходит лишь на малые углы. �нтеграл в формуле
(45.25) распространяется на единичную сферу, но основной вклад
в него дает лишь небольшая область вблизи оси г. Воспользо-
Воспользовавшись этим, можно заменить интегрирование по сфере интегри-
интегрированием по касательной плоскости, перпендикулярной к оси г:
В§3(РЇ\ 1, n'j/^.L-nJdoK)^
00
S$ 1. ''l
Это приближенное равенство выполняется в силу того, что функ-
функция 3(R; I, n'L) отлична от нуля лишь при | n'j.1^1 и, значит,
далекие от полярной оси части сферы, равно как и далекие*
части касательной плоскости, не вносят в интеграл заметного
вклада.
Далее,
где R = {p+,«}, Vi=;jR~=ajp' Поэтому в случае крупномас-
крупномасштабных неоднородностей и узконаправленных пучков излу-
излучения можно записать УП� в так называемом малоугловом
ц СРЕДНЕЕ ПОЛЕ � ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� 363
Приближении [4, 5]:
j ( ')(Dl. (45.26)
Покажем теперь, что полученное из феноменологических со-
соображений уравнение (45.26) тесно связано с уравнением (45.11)
для функции Г(р, р+, г).
При решении уравнения (45.11) мы вводили преобразование
Фурье функции Г (р, р+, г) по переменной р+. Введем теперь
трвнсформанту Фурье от Г по разностной переменной р:
Р“(СЂ, СЂ+, Рі) = Jexp(В«xp)f (СЂ+, С…, Рі)<Р С…. (45.27)
Умножив уравнение (45.11) на exp(ftcp) н интегрируя по р, по-
получаем с учетом формулы (43.7).
= 0.(45.28)
�спользуем формулу (43.5) с тем, чтобы преобразовать член,
содержащий А (р):
if- J exp (ixp) Рђ (СЂ) Р“ (СЂ, СЂ+, Рі) d'p =
,(x\ Рћ)Р“(СЂ.Р +,
В результате уравнение (45.2$ принимает вид
+т j?+^ F=+j? ф« (*-*''0) F (р+• *'•г) **'¦ (4529)
Сравнивая уравнения (45.29) и (45.26), мы видим, что если по-
положить x/ft = nj., F (р+, х, г) = 7(р+, nj_, г) и сРч' = 6*й'я'1, то
Уравнение (45.29) совпадет с уравнением (45.26), в котором
коэффициенты аи/ принимают значения
«-*?*, /(nj.-ni) = ^®«(A(ni-ni), 0). (45.30)
Легко показать, что интеграл от /, взятый по всем направ-
направлениям рассеяния, равен а. Это означает, что истинное погло-
поглощение отсутствует и введенный выше коэффициент ослабления а
совпадает с коэффициентом рассеяния, т. е. с полным эффектив-
эффективным поперечником рассеяния из единицы объема.
364 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Обращаясь к формуле (45.6), мы убеждаемся, что а = сг0> т. е.
эффективный поперечник рассеяния а из единицы объема во
все направления—это именно та величина о„, которая фигури-
фигурировала в формуле для ослабления когерентной составляющей
поля. Что же касается /(пх—п^), то в этой величине мы узнаем
найденный в гл. IV эффективный поперечник рассеяния в еди-
единичный телесный угол из единичного объема (см. (26.8), (26.11)).
Таким образом, уравнение для функции Г, полученное из
параболического уравнения для поля, описываемого в марковском
приближении, оказывается эквивалентным малоугловому прибли-
приближению УП�. Эта связь впервые была установлена в работе Г7].
Связь между Г и 3 дается следующей, вытекающей из (45.27),
формулой:
Р“ (СЂ, СЂ+> Рі) = ft' Jexp (iknВ±p) 3 (СЂ+1 РїРҐ) Рі) dlnL. (45.31)
В гл. VIII мы получим полное уравнение переноса (45.25)
из уравнения для функции когерентности поля в более общем
случае, исходя не из параболического уравнения, а из уравнения
Гельмгольца.
Отметим, что приведенное выше решение уравнения для Г,
выражаемое формулой (45.19), позволяет, в силу соотношения
(45.31), одновременно найти в аналитической форме и решение
УП� в малоугловом приближении. �менно для этой задачи оно
и было первоначально получено в работах [4, 5].
§ 46, Функция когерентности четвертого порядка
и флуктуации интенсивности
Запишем снова уравнение (44.25) для четвертого момента
Р“,., (СЂ|, P'ii Pi, Pi', Рі) = <Рѕ (Р ;, z) v (pi Рі) V (pi, Рі) ^ (СЂ,\ Рі)>.
Оно имеет вид
+СЏ (СЂ;-СЂР­-СЏ(СЂ;-СЂСЌ-СЏ (СЂ,"-СЂР­] Рі,., - Рѕ. (46.1)
Как мы уже указывали, функция Г,,, связана с флуктуациями
интенсивности волны. Действительно, если совместить точку pi
с р;, а точку р"г с pj, то получим
Pi- Р В«- Рі)
СЂР°, РіВ».
W] ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ� 365
Поэтому корреляционная функция флуктуации интенсивности
может быть выражена через Г,,, и Г,,,:
*,(Р >. ft)
= r,.i(Pi. Pt: Pi, Pt, A—r,.,(Pi, Pi. г)Ти1(рг, р„ г).
Если нас интересуют только флуктуации интенсивности, то, ка-
казалось бы, можно не рассматривать четырехточечный момент Г,,,,
а ограничиться частным случаем двухточечного момента, который
получается из Г,,, при попарном слиянии'точек р[ с р", и pi с р?.
Однако в уравнении (46.1) произвести такое слияние нельзя,
так как при этом войдут, помимо функции Ttit(p[, р'г; р\, р'г, г),
еще Новые неизвестные функции [A^r^^pi, р'*\ Pi', Pi, г)]р-=р; •
Поэтому даже для исследования флуктуации интенсивности необ-
необходимо рассматривать полное уравнение (46.1).
Введем новые переменные:
(462)
Pi = P+ + V, (P,-P,)—V^P,
pj=p+—V.fPi—P,)—'ЛР.
Легко установить, что при этом АН AJ—А^—AJ— 2(VP+Vp+ VPlVp,).
Момент Г,,,, выраженный через аргументы р+) р, рх, р,, г, мы
будем обозначать через Г4(р+, р, р,, р,, г). Уравнение (46.1)
в новых переменных принимает следующий вид:
e^ ^v + VV)r^F(pl, Р Р°, СЂ)Р“4. (46.3)
Здесь р (с учетом четности функции Я(р)) записывается в виде
F(Р .. Р ,. СЂ) = РЇ(СЂ1-^СЂ/2) + //(СЂ,-СЂ/2) +
+ Р� (СЂ, + СЂ/2) +Рќ (СЂ,- СЂ/2)-РЇ (СЂ, + СЂ,)-Рќ (СЂ,-СЂ2). (46.4)
. Рассмотрим сначала простейший случай, когда на неоднород-
неоднородную среду падает плоская волна. В этом случае можно принять
"«(Р+, р, р„ р„ 0)= 1. Так как мы рассматриваем статистически
однородные флуктуации в, ясно, что Г4 не может зависеть от р+,
поскольку совместный сдвиг всех четырех точек наблюдения
на одну и ту же величину приводит к физически тождествен-
тождественной ситуации. Таким образом, Vp+r4 = 0 и уравнение (46.3)
366 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА (ГЛ. VII
упрощается:
^|.-^f(pl, Р ,.Р )Р“4.
(46.5)
Г,(Р„ р„р, 0)=1.
Здесь теперь отсутствуют производные и по р, так что эту
переменную можно рассматривать как параметр и выбирать ее
значение произвольно. Выберем р = 0, и тогда, согласно (46.4)
Рё (46.5),
P.. 0) = 5(р„ р,) =
СЂ1), (46.6)
т?«Т W*r« —^(Pi. Рь) Г4 (Л. Р„ *).
Г* (Р.. Р„0) = 1. (46.7)
Так как p = pl + pi—pi—ft, равенство р = 0 означает, что
Pi—Pi=P»—Ра. т. е. точки р;, pi, pi, pi расположены в вер-
вершинах параллелограмма, сторонами которого являются векторы
/V
р„ р, (рис. 63). Слиянию точек р[ с р[ и pi с р", соответствует
обращение в нуль аргумента ра функции Г4.
Так как
-^\ Рі)),
функция Г4 (pj, р„ г) обладает, очевидно, следующими свой-
свойствами симметрии:
Г4(р1. Р,. г) = Г,(р„ р„ г),
(46.8)
Г.(р1,-р„ г) = Г;(Р1, Pl, г).
Рассмотрим предельный случай |р,|—*оо, р, = const. Это
означает, что две пары точек (pi, p[) и (pa, pj) бесконечно раз-
раздвигаются при неизменных расстояниях внутри каждой пары,
Щ ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ� 367
явно, что корреляции между полями в точках (pi, pj) и (pj, pi)
ipt^mj при этом исчезать, т. е.
Ы Г4(Рх, р„ z) =
Л, ^ , г) Г (-А.1^* • г) • <469>
В силу симметрии относительно перестановки р, J=i р, функция Г«
обладает аналогичным свойством и при |р, j—> <». В частном
'случае плоской волны функции Г не зависят от VitPl + ft) и
»/,(pi + pj) и формула (46.9) принимает вид
lim Г.^.Р,, г) = (Г(р„ г))\
pt-В» В¦>
(46.10)
lira Р“. (Рђ. Р ., *) = (Р“(Р 1, *))'.
Проанализируем теперь следствия из закона сохранения
анергии, приводящие к некоторым ограничениям вида функции Г,.
KiK мы убедились выше (см. уравнение (39.7)), точным следст-
следствием параболического уравнения является закон сохранения
рвергни
}
(46.11)
,рде /(р, г) = |и(р, г)\*. Рассмотрим распространение ограничен-
»ого волнового пучка, для которого |о(р, г)|—>0 при |р|—>оо.
Проинтегрировав (46.11) по плоскости г = const и используя
теорему Гаусса для двумерного случая, получаем
где ^Ip^^^—компонента плотности потока энергии по направ-
направлению вектора п = р/р, взядая на окружности бесконечного ра-
Двуса. Но в силу ограниченности пучка v—>-0 при р-^+оо, так
что ^„Ip^j, =0, и мы получаем закон сохранения
CD
J / (СЂ, Рі) d'p = const = J / (СЂ, 0) d'p- (46.12)
— 00
В левой части этого равенства фигурирует случайная интенсив-
интенсивность У (р, г) = /(р, г) + /(р, г). Усредняя (46.12), приходим
к формуле
$7(СЂ, В«)fi*p-=S'(p.O)*p. (46.13)
368 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА 1ГЛ. VII
которая была уже получена выше из уравнения для Г
(см. (45.23)). Вычитая (46.13) из (46.12), получаем равенство
Рћ, (46.14)
физический смысл которого весьма прост: случайные отклонения
интенсивности от средней, имеющие различные знаки, всегда
взаимно компенсируются, так что флуктуации вызывает лишь
перераспределение интенсивности по поперечному сечению пучка.
Отметим, что равенство (46.14) уже было использовано в гл. V
(формула 35.25)) для объяснения равенства нулю интеграла от
корреляционной функции уровня.
Возводя (46.14) в квадрат и усредняя, имеем соотношение
которое при замене переменных р = р'—р" и р+ = 7, (р'+р")
можно записать в виде
J*#(p+1p,2)*p+*p-0. (46.15)
Отсюда следует, что корреляционная функция флуктуации ин-
интенсивности обязательно должна иметь отрицательный участок.
В случае плоской волны справедливо равенство, аналогич-
аналогичное (46.15):
$ 0, (46.16)
однако его вывод несколько более сложен в связи с тем, что
поле о(р, г) не убывает при р—юо. Равенство (46.16) можно
получить непосредственно из уравнения (46.7). Введем для этого
функцию
Х( р„ г) = Г4(Р„ р„ z)-r*(p,, *)¦ (46.17)
Если р, = 0, то Г4(0, р„ г) = </(р;, г) / (pj, г)>, Г» (0, г) = 7»,
а К(0, ра, г) = 1р,(р„ г)—корреляционная функция интенсивно-
интенсивности. Кроме того, при р,—»оо функция К, согласно (46.10), обра-
обращается в нуль. Привлекая уравнение (45.11) для функции Г
(в этом уравнении в случае плоской волны д'Т;дрдр+ = 0), не-
нетрудно установить, что К. удовлетворяет уравнению
- -^ Г' (р,, г) [F (Pl, р„) - 2Я (Pl)]. (46.18)
Если проинтегрировать это уравнение по р, в бесконечных пре-
пределах, то, в силу отмеченного выше предельного соотношения
lim K"(Pi., p,, <) = 0, интеграл от первого члена правой части
j 4в] ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ� 369
(46.18) обращается в нуль, т. е. получается
i, Р,. г)*р, = -^1^(Р1, р,)ЛГ(Рх, Р„ z)d»p,-
-¦^Т-ГМр,, 2) J[F(Pl. p,)-2//<Pl)jd«p,. (46.19)
Так как F (р,, р,)—2Я(Р1)^0 прир.—к», интеграл от второго
слагаемого в правой части (46.19) сходится. Положим теперь
в (46.19) р( = 0. В силу равенств f(0, р,) = 0, Я(0) = 0 мы по-
получаем дифференциальное уравнение
P,.
Решение этого уравнения с начальным условием } ty,{plt O)dap,=O
(при г = О^флуктуации интенсивности отсутствуют) выражается
равенством (46.16).
Отметим, что из формулы (46.14), справедливой для ограни-
ограниченных пучков, можно получить аналогичные (46.15) соотноше-
соотношения для моментов произвольного порядка.
Аналитического решения уравнения (46.7) для Г4 получить
не удается. В настоящее время получены численные решения
этого уравнения, соответствующие двум моделям флуктуации
диэлектрической проницаемости среды—со спектральными плот-
плотностями вида Фе(х)~ехр{— х'/'/2} [8] и Фе(х)~х-"/. [9—�].
В обоих случаях средний квадрат флуктуации интенсивности
р» = [/»—(Т)*)1(1)г с ростом г насыщается. Численные результа-
результаты, полученные для степенного спектра флуктуации е, удовлетво-
удовлетворительно согласуются с экспериментальными результатами.
Для области сильных флуктуации, где р» яз I, получены асимп-
асимптотические решения уравнения (46.7) [13—16]. Не приводя
довольно громоздких вычислений, необходимых для вывода соот-
соответствующих асимптотических формул, опишем основные резуль-
результаты, полученные в указанных работах.
Формальное решение уравнения (46.7) можно записать в виде
предела при iV—*oo 4#-кратного интеграла, соответствующего
замене непрерывной случайной среды, заполняющей слой (0, г),
иа N фазовых экранов, расположенных на расстоянии г/Л? друг
от друга. В области сильных флуктуации в этом бесконечно-
кратном (так называемом континуальном) интеграле появляется
большой параметр fTi/p*, равный отношению радиуса первой
зоны Френеля к радиусу когерентности рк, определяемому фор-
формулой (45.21). Этот параметр имеет ясный физический смысл.
В случае рк-^у\г когерентным образом складываются только
поля, рассеянные неоднородностями, разнесенными на расстояние,
меньшие р^. Поэтому при р,,<^УТг радиус когерентности играет
370 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
такую же роль, как радиус первой зоны Френеля в случае
При V^г/р*^> 1 асимптотическая формула для Р'(г) имеет вид
2
Р» (г) да 1 +п \ (z—z'Ydz1 $ d*v. х«Фе (*. 0) X
(46.20)
Корреляционная функция ^>,(р, г) обладает двумя характерными
масштабами. Одним из них является рк, другим—отношение
ro = z/ftpt. Первый из них с ростом г уменьшается, а второй —
растет. В первом приближении
^}... (46.21)
Для случая турбулентной среды, когда Фг (у) — ^CJh""/«, фор-
формула (46.20) принимает вид
p-i (z) = t +0,861 (Р Р™-/. + ..., (46.22)
где p5 = 4x5 = O,3O7Cift'/«z"/i—средний квадрат относительных
флуктуации интенсивности, найденный при помощи МПВ (см.
(41.27), (41.28) и (42.13)). Корреляционная функция (46.21)
в этом случае равна
*, (Р. г) = ехр {-0,729С!*'гр*/.> + ..., (46.23)
а масштабы р» и г, по порядку величины равны
Следует отметить, что функция (46.21) не удовлетворяет усло-
условию (46.16). Это связано с тем, что отрицательный участок функ-
функции tyr при р|^>1 располагается в области больших значений
р^>г„. Так как для статистически изотропных флуктуации ра-
равенство (46.16) записывается в виде
то ясно, что значения т|з/(р, г) при больших р входят в интеграл
с большим весом р. Поэтому достаточно очень небольших по
абсолютной величине отрицательных значений ifv, чтобы равен-
равенство (46.16) удовлетворялось. Но эти малые значения ф, не
описываются первыми членами асимптотического разложения,
ФЛУКТУАЦ�� �НТЕНС�ВНОСТ�
371
Kb что для выполнения равенства (46.16) необходимо учитывать
(уредующие малые члены в (46.21).
В заключение этого параграфа сопоставим результаты числен-
gfgX расчетов [11] с приведенными выше асимптотическими фор-
формулами для случая степенного спектра Ф8(х) = ^С|к""/». На
Р РёСЃ. 65.
рис. 64 приведена полученная в результате этих расчетов кри-
кривая p = f(P0) (кривая /). Там же показаны кривая 2, построенная
по формуле (46.22), а также усредненные экспериментальные
Данные (кривая 3). На обороте обложки данной книги—на фор-
ЙЦе приведено распределение интенсивности света п области
С�ЛЬНЫХ флуктуации [23].
372 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ ГЛ. VI
На рис. 65 приведены точки, полученные путем численных
расчетов функции ф,(р, г), а также кривые, построенные по
асимптотической формуле (46.23). �з рисунка видно, что с уве-
увеличением параметра (Jo результаты все лучше согласуются между
СЃРѕР±РѕР№.
§ 47. Учет конечности продольного радиуса
корреляции флуктуации в
и границы применимости марковского приближения
До сих пор мы предполагали, что случайную функцию е (р, г)
можно считать дельта-коррелированной по г, опираясь на ка-
качественный анализ, проведенный в § 43. Однако у нас пока нет
количественных оценок, из которых можно было бы получить
поправки к результатам марковского приближения, связанные
с конечностью продольного радиуса корреляции е. Рассмотрим
теперь более общий метод вывода уравнений для моментов вол-
волнового поля, позволяющий учесть конечность продольного ра-
радиуса корреляции е, но сразу же ограничимся при этом случаем,
когда е—нормальное случайное поле.
Будем исходить из параболического уравнения
()
"(Р . Рћ) = РёРѕ(Р )
н выведем систему уравнений для среднего поля и. Усредняя
(47.1), получаем уравнение
? = 5*Р”1" + Рў<В«(Р - ZMP>Z)>> (47.2)
»(Р, 0) = и„(р),
которое не замкнуто, поскольку содержит, наряду с искомой
функцией v, новую неизвестную функцию <ва>. Так как е —
гауссова случайная функция, a v—функционал от нее, можнс
применить для нахождения <еи> формулу Фуруцу —Новикова
(7.30), которая в данном случае имеет вид
<С‘(СЂ, Рі)Рё(СЂ, z)> =
|f, Z)e(p', 2<)>(|^)
Верхний предел интегрирования здесь равен г, так каи
6ч(р, г)/6е(р', z') = 0 при г' > г в силу условия причинности.
47] ГРАН�ЦЫ ПР�МЕН�МОСТ� МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 373
которое мы рассмотрели в § 43. Обозначив
запишем уравнение (47.2) с подставленным в него значением (47.3)
для <во> в следующей виде:
, z)?(p\ 2')>S,(p, Рі; СЂ', Рі'). (47.4)
Это уравнение, как и (47.2), не замкнуто.
Найдем теперь уравнение для функции S,. Для этого подей-
подействуем на равенство (47.1) оператором б/6е(р', г'), где г' < г:
д йУ(р.г) _| л Др(р, г) , ik:,_ _ч 8и(р. г) , - ... „
71^^=яд1г^Г+^ (р ^[^ГРГ 2<г<475)
Здесь отброщрн член у6(р—р')б(г—г')и(р, г), возникающий
при дифференцировании в(р, г), так как 6(z—г') = 0 при"г>г'.
Усредним уравнение (47.5):
. Рі; СЂ', Рі') =
^С‘ ^^), 2>Рі'. (47.6)
Но би/бё тоже является функционалом от е, в силу чего для
вычисления этой величины можно снова применить формулу
Фуруцу—Новикова:
^^>. (47.7)
Введем обозначение
Отметим, что функция 5, не меняется при перестановке аргу-
•ментов (р'( г")^*(р', г^. Подставляя (47.7) в (47.6), находим
*Si(p.В»; СЂ', Рі')
374 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
Ясно, что использованный процесс можно продолжить и полу-
получить в результате бесконечную цепочку уравнений для функ-
функций v и Sn.
Рассмотрим граничные условия к уравнению (47.8) и анало-
аналогичным уравнениям для Sn. Так как само уравнение справед-
справедливо при г>г', граничное условие должно ставиться при г = г'.
�ными словами, нам надо найти St(p, г'; р', г'). Проинтегрируем
для этого уравнение (47.1) по г, после чего применим оператор
Р±/Р±С‘(СЂ', Рі'):
"(Р . *) = В»
Так как 6а (р, ?)/6е(р', г') —0 при ?<г', нижний предел инте-
интегрирования в первом интеграле можно заменить на г'. Второй
же интеграл вычисляется, и в результате мы приходим к формуле
6С‡ (СЂ, Рі)
6Рµ(СЂ', Рі')
Положив здесь г' = г (при этом интеграл обращается в нуль),
мы получаем
—= = -<г°(Р—Р)v(Р. ч- С'-")
РЎРµ(СЂ', Рі) *
Это равенство является точным следствием уравнения (47.1).
Усредняя (47.9) и полагая г'=г, получаем граничное условие
к уравнению (47.8):
S,(p, г'\ р', г') = ^б(р—p')t»(p, г'). (47.10)
�з формулы (47.9) можно получить граничные условия и для
функции St. Для этого применим к (47.9) оператор б/бе (р*, г"),
усредним результат и положим затем г = г'\
SAP, Рі'; V', Рі'; Р ". *") = ."?, (Р . *'; Р ". Рі"; СЂ', Рі')-
= y6(p-p')S,(P, Рі'; СЂ', Рі"). (47.11)
ГРАН�ЦЫ ПР�МЕН�МОСТ� МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 375
.изводя л-кратное функциональное дифференцирование фор-
улы (47.9), можно аналогичным путем получить граничное ус-
для функции Sn+1.
До сих пор мы не делали предположения о дельта-коррели-
рованности е. Если сделать это предположение в уравнении (47.4),
т. е. положить в нем
<е(р, z)8(p'. г')>^фГ**(р,2; р'.г') = А (р-р')в(г-г'), (47.12)
то интеграл по г' в (47.4) вычисляется и мы получаем
-5Р“ = Р№Р”^+С‚1*Р 'Р›(СЂ-СЂ')51(СЂ,Рі; СЂ\ Рі),
причем при интегрировании б-функции появляется множитель »/»•
Но функция Sl (p, z; p', г) при совпадающих значениях продоль-
продольной координаты нам уже известна из формулы (47.10); подстав-
подставляя ее в интеграл, получаем замкнутое уравнение для v:
|^Ai"-jv4(0)u(p>2), (47.13)
Которое совпадает с полученным в § 44 уравнением (44.9). Таким
образом, если предположить дельта-коррелированность е в пер-
первом из уравнений нашей цепочки, то оно замыкается, так что
остальные уравнения оказываются излишними.
Сделаем теперь следующий шаг: в первом уравнении нашей
цепочки оставим точную корреляционную функцию, а прибли-
приближение дельта-коррелированности используем лишь во втором
уравнении вида (47.8). Тогда интеграл по г" вычисляется, и
в результате мы получаем уравнение
pM(p-p")5a(p^; Р ', Рі'; Р ", Рі). (47.14)
Если заменить в (47.11) г' на г, г" на г' и поменять местами
р' и р", то мы получим необходимое нам значение
S,(p, Рі; СЂ\ Рі'; СЂ", z) = iВ±6(p-p")Sl (СЂ, Рі; СЂ', Рі').
После этого уравнение (47.14) становится замкнутым, принимая
РІРёРґ
IF 2AAj-Sl W^Si' Рі>Рі- (47.15)
Теперь мы имеем уже систему из двух уравнений (47.4) и (47.15),
а остальные уравнения цепочки можно не использовать.
Ясно, что если в первых (я—1) уравнениях мы используем
точное значение корреляционной функции ij!c, а замену (47.12)
376 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА 1ГЛ. VII
совершим лишь в и-м уравнении, то получим замкнутую систему
из п уравнений, которая будет тем точнее, чем больше л.
Рассмотрим подробнее случай л = 2. Сначала нужно решить
уравнение (47.15) с начальным условием (47.10). Нетрудно про-
проверить, что решение имеет вид
Подставив это выражение для S, в (47.4), получаем уравнение
для v:
хехР{'2((Рг~Й' —^<г~г>>}*>(Р-р'' г~г')"(р'-г'); (47-17)
его легко решить, если воспользоваться преобразованием Лапласа
по г и преобразованием Фурье по р. Мы, однако, не будем этого
делать, а ограничимся выяснением условий совпадения решения
уравнения (47.17), которое мы будем называть уравнением вто-
второго марковского приближения, с решением уравнения (47.13).
Уравнение (47.13) получается из (47.17), если продольный
масштаб /„ функции ifs(p—р', г—г'?мал по сравнению с мас-
масштабами по г других сомножителей. Как мы выяснили в § 45
(см. (45.4)), характерный масштаб функции v(p', г') имеет поря-
порядок величины (ЬЛА,)"1. Тот же масштаб входит и в множитель
ехр{—гЦ?А%(г—г')} в (47.17). Поэтому необходимо, чтобы вы-
выполнялось условие
/ЛУ„<1. (47.18)
Если это условие выполнено, то под знаком интеграла в
(47.17) можно заменить v(p', г') на и(р', г) и считать, что
ехр{— г/,к*А,(г—*')}« 1. Тогда это уравнение примет следую-
следующий вид:
(47.19)
В области |р—р'|^>
ир] ГРАН�ЦЫ ПР�МЕН�МОСТ� МАРКОВСКОГО ПР�БЛ�ЖЕН�Я 377
выстро осциллирует. Если характерный масштаб функции % по р,
который мы обозначим через /j., велик по сравнению с Y(z—z')/ft~
му1„/к, то множитель it>e(p—р', г—г') мало меняется на ха-
характерном масштабе функции f и его можно счтитать постоян-
постоянным. Что касается функции ч(р', г), то ее характерный попе-
поперечный масштаб имеет порядок размера пучка а. Поэтому при
выполнении условий
VJ VT (47.20)
произведение_ ife(p—р', г—г')»(р', г) можно заменить на
фв(0, z—г')и(р, г), после чего интеграл по р' вычисляется и
дает единицу. Таким образом, при выполнении условий (47.20)
уравнение (47.19) еще более упрощается:
_ Z
? = ?-РђВ±РЄ-*РЄ(СЂ, Рі) J 11,(0, z-z')dz'. (47.21)
Рѕ
Наконец, если
*>'В¦. (47.22)
то верхний предел интегрирования в (47.21) можно заменить на
бесконечновть, и тогда, с учетом равенства
S*(0, *')&'-'/Р� <Рѕ).
Рѕ
мы получаем из (47.21) уравнение первого марковского при-
приближения (47.13).
�нтересно отметить, что даже уравнение (47.21) дает для v
более точное выражение в области г<^/ц, чем первое марковское
приближение. Например, в случае плоской падающей волны ре-
решение уравнения (47.21) имеет вид
РЄ(z) = Рѕ, exp J- ? j (Рі-РЎ) В¦.(0, QdA. (47.23)
При г<^1„ можно на всем участке интегрирования считать
Ч>«(0, Одаф^О, 0) = а\, и тогда (47.23) дает
(*</В«). (47.24)
Если же г^>/,|, то в формуле (47.23) можно считать
Z <Рћ
$ <* - 0 Р§'. (0. 0 4 * Рі J t|>e (0, ?) d? = V/2,
378 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VII
и мы получаем
п(г) = к„ехр{—feMnz/8} (z>M- (47.25)
В первом же марковском приближении мы при всех г получаем
для плоской волны формулу (47.25).
Остановимся на условиях (47.18), (47.20) и (47.22) применимо-
применимости марковского приближения для среднего поля и. Первое из ус-
условий (47.20) означает, что продольный масштаб корреляции
in должен быть мал по сравнению с дистанцией feaa, на кото-
которой начинает проявляться дифракция на апертуре пучка. Второе
условие тоже можно записать в виде 1Л <^.Ы\, так что масштаб 1„
должен быть мал и по сравнению с дифракционной длиной, со-
соответствующей поперечным размерам неоднородностей. Условие
(47.18) означает, что ослабление среднего поля на масштабе 1„
должно быть малым (напомним, что согласно формуле (4Я.6)
feM0/4 = eT0 — коэффициент рассеяния), или, иначе говоря, ln <^d=
=Т1. где й^длина экстиикции. Наконец, условие (47.22) озна-
означает, что /ц должно быть мало по сравнению с длиной трассы.
Мы видим, что все четыре условия можно формулировать как
ограничения сверху величины продольного масштаба корреляции
диэлектрической проницаемости. При этом условие (47.18) озна-
означает ограничение и величины al. Действительно, А,~а\1]и так
что неравенство (47.18) можно записать еще и в виде
aJ/W!, <1. (47.18Р°)
Отметим, что полученные условия применимости марковского
приближения не ограничивают сверху длины дистанции г, в от-
отличие от любого из ранее рассмотренных методов, использующих
теорию возмущений по е.
Мы рассмотрели уравнения более высоких приближений для
среднего поля. Подобным же образом можно получить уравнения
второго и более высоких приближений для произвольных мо-
моментов Г„, „ [20]. Мы не будем приводить здесь этих уравнений,
а изложим лишь некоторые качественные соображения и выводы
работы [20].
Если обратиться к уравнению (44.15) при я=т=1, т. е.
к уравнению для функции »(р,', z)v*(p[, г), то в него входит
в качестве случайного коэффициента только разность е (pj, г) —
— e(pj, г). При замене е—«-e + const эта разность не меняется.
Отсюда следует, очевидно, что крупномасштабные неоднородности
не сказываются на произнедении и (р,',г) v* (pl,z). Поэтому и условия
применимости марковского приближения для функции Г не могут
содержать таких величин, как о\, 1„ и /j_, которые зависят от
ЗАДАЧ� 379
доведения спектра флуктуации диэлектрической проницаемости
^области малых волновых чисел.
Условия применимости марковского приближения для Г
имеют вид
(47.26)
Здесь/,—масштаб наименьших неоднородностей диэлектрической
проницаемости. Второе из условий (47.26) ограничивает вели-
величину, характеризующую интенсивность флуктуации е. Если
вспомнить, что радиус когерентности поля определяется из усло-
условия й*г#(р*) ~ 1 (см. (45.21)), то второму условию (47.26) можно
придать вид
*Р В»>1-3 (47.27)
Таким образом, применимость марковского приближения требует,
чтобы радиус когерентности всегда оставался много большим
длины волны.
Задачи
1. Найти распределение средней интенсивности но поперечному- сечению
пучка излучения, у которого в плоскости г—О поле имеет вид
(I)
(гауссов пучок с эффективным радиусом а и с расстоянием от плоскости г=0
до центра излучения, равным F) [6]. Рассмотреть частный случай, когда
H(f>)— jpCjP*'3, что соответствует турбулентным флуктуациям диэлектрической
проницаемости.
Решение. Средняя интенсивность /(р+, г) может быть получена из
функции Г прн р = 0. На основании (45.19) имеем поэтому
!. (2)
Подсчитаем функцию Г<°>, используя начальное условие (1) для поля:
Лодставим (3) в (2) и выполним интегрирование по р+. В результате полу-
получаем формулу
(4)
380 Приближение марковского процесса
где введено обозначение
[РіР». vit
(5)
Формула (4) справедлива при любон виде функции Н (р). Если Н (р) = pCffl; то
I
и формула (4) после перехода к полярный координатам принимает вид
В¦ X
X У ехр{«??± cos,}*,,.
�нтеграл no q> равен 2nJ(,(ip'p+/z), так что для 1 получаем выражение
Рў(Р +. ,)= *^ |Рµ*Р { -<в„ў p.-flcВ«*V} Р› (^) Р Р¤- (6)
Введем /, (г)—интенсивность на оси пучка в однородной среде, т. е.
РїСЂРё РЎРІ = 0:
Отношение 7(р+, z)/{t(z) можно записать в виде
Если ввести безразмерную переменную интегрирования (gftj2a)^-l, то (7)
запишется так:
�з (8) следует простая формула для интенсивности на оси пучка:
РґР°
/о('г[ ¦=/(") = ] ехр{— I — ut'/'}dt,~
РіРґРµ
Злр , / 2о \V.
ЗАДАЧ�
381
Параметр и пропорционален структурной функции фазы на базе 2o/g (г). Раз-
дагая в"' или е~"'ш/> в ряды, нетрудно получить для /(ы) разложения
(— ц)п = 1 -0,94ц+0,75и'—0,56и8+ • ¦ -, (10)
Р»=0
Второе иа них представляет собой асимптотическое разложение f (и) при боль-
больших и. График функции f(u) приведен иа рис. 66.
t.0
0,6
0,2
4 Р’
Р РёСЃ. 66.
Согласно (45.23) интеграл от / (р+, г) по поперечному сечению пучка не
зависит от z. Уменьшение средней интенсивности на оси пучка можно объяс-
объяснить его уширением. Если определить эффективную площадь пучка при по-
помощи равенства
J Р“(СЂ+, Рі)<Р СЂ+-7(0
то из закона сохранения (45.23) будет следовать, что
Рў(0, Рі) S,m {Рі) =1 (0, 0) S,^ (0).
(12)
Правая часть этого равенства не зависит от неоднородностей среды. Поэтому,
если записать (12) для однородной среды, в которую посылает излучение
тот же источник (т. е. то же распределение поля на плоскости г—0), то мы
получим равенство
U W S'&, (z) = Р“(0, 0) Se4t (0), (13)
где /в (г) и 5?фф(г)—интенсивность на оси пучка и его эффективная площадь
в однородной среде.
�з (12) и (13) следует, чтЪ
I, (Рі) = 1 (14,
РџРћ, 2) /W |14
Если и>1, то, согласно (II), /(и) я 1,1и"#/< и
382 приближение марковского процесса [гл. vn
Например, при F — a> (коллимиреванный пучок) g2 (z)—1+А2а*/г!- Если
г<^*«- (ближняя зона источника), то g'{z) да k'a'/z', и тогда
Если же г^> кФ (фраунгоферова зона источника), то g* as 1 я
> . Сѓ/.
w
2. Случайный радиус-вектор «центра тяжести» распределения интенсив-
интенсивности пучка в его поперечном сечении определяется формулой
[СЂ'1(СЂ\ Рі)<Р СЂ'
| 1
$ / <СЂ\ Рі) <Р СЂ'
Выразить средний квадрат ?а через функцию когерентности Г,.
Решение. �нтеграл в знаменателе является постоянной детерминиро-
детерминированной величиной. Обозначая его через Р, получаем
Р� Рі)' (Pi-
РќРѕ
т. е. в формуле для Г, следует положить Pj = pJ и Pj^P^i что эквивалентно
для новых переменных р+, р, р,, ps (см. (46.2)) равенствам ра — 0, р-0.
При этом f?=p+ + VsPi. рг'=р+—VsPi. PiPi=(tl+—1/4pi "
Г«(Р+. р, Pi. Pj, г) = Г,(р+. О, pt, 0, г).
Следовательно,
V = P-> IJ dVVi (P^-'/jPf) Г, (р+, 0, р„ 0, г).
8. Фотодетектор, представляющий собой диск радиуса R, реагирует на
интеграл от интенсивности света / (р, г). Найти закон убывания относитель-
относительных флуктуации фототока J при увеличении R в случае, хогда падающая
плоская световая волна распространяется в статистически изотропной слу-
случайно-неоднородной среде.
Решение. Мгновенное значение фототока равно
7-<xjj/(p, z)d'p. (1)
2
где а—чувствительность фотодетектора, 2 — круг радиуса /?. Усредняя (I),
имеем J = е«72. �з (I) следует также, что
так что относительные флуктуации J/J выражаются формулой
7 1 РЎ 1(0 Рі)
грим случай, когда R намного превышает радиус корреляции флук-
Т|*ив. Тогда функция if/ (p, г) быстро спадает еще при таких значениях р,
M>J которых f(p) не успевает заметно измениться. Разложим / (р) в ряд
teiMopa no степеням р/2Я:
ЗАДАЧ� 383
«Овводя (2) в квадрат � усредняя, получаем
(3)
да ф7 — корреляционная функция, деленная на (/)*. Вводя функцию
I 1 при р € 2,
**> =\ 0 РїСЂРё p#S, "0Р–РќВ° "Р§**в„ў"1В» В° РІ РІРёРґР°
иди, после введения новых переменных интегрирования p = pi—pa в p'^Ps.
(Мовначим через /(р) функцию
Тогда (4) записывается в виде
(4)
(5)
(6)
(7)
8 силу статистической изотропности флуктуации (т. е. if/ тоже зависит только
от Р=|р|) можно записать (6) в виде однократного интеграла:
�з определения М следует, что произведение /2 равно площади перссе-
«ии двух кругов радиуса R, центры которых раздвинуты на расстояние р.
Эдемевтарныв расчет приводит к формуле
384 ПР�БЛ�ЖЕН�Е МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [ГЛ. VI]
и подставим это разложение в (7):
2В« 2R
I В¦* Рі)С„^ J *< Рі)СЂ'Р¤ + . (8)
2R
Первый интеграл можно записать в форме
S-M-
Рѕ Рѕ РіРє
что приводит к формуле
В» В» tR
—|г f Ъ(р, *)pdp-j^j fi|)/(p. г)р»ф + ... (9)
2В« Рѕ
Но интеграл в первом члене'в силу (46.1С) равен нулю, и поэтому в разло-
разложении (9) член с ?~* исчезает. Таким образом, флуктуации фототока убы-
убывают с ростов R быстрее, чем /}-*:
nR* j
(10)
Заметам, что при больших р функция t(i;(p, z) отрицательна, Э
Убывание о» с ростом R более быстрое, чем Л"1, объясняется тем, что
яа площади фотодетехтора Х = л/?' при больших А происходит почти полная
компенсация положительных и отрицательных флуктуации интенсивности.
Глава VIII
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОР��
МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН
§ 48. Теория возмущений и диаграммная техника
для среднего поля � функции корреляции
В этой главе мы рассмотрим некоторые общие вопросы тео-
теории многократного рассеяния волн. С частным случаем такой
теории мы уже встретились в гл. VII, где была очерчена теория
распространения волн в приближении марковского случайного
процесса, учитывающая многократное рассеяние волн, но лишь
при условиях, когда рассеяние происходит практически только
вперед. Если, однако, длина волны недостаточно мала по срав-
сравнению с размерами неоднородностей, то, как мы помним, ста-
становится существенным рассеяние не только на малые, а на любые
углы. Если, кроме того, неоднородная среда достаточно про-
протяженна, то и в этом более общем случае роль многократного
рассеяния может сделаться значительной.
Мы уже упоминали о том, что многократное рассеяние воз-
возможно как на совокупности дискретных рассеивателей (элект-
(электроны в плазме, частицы аэрозоля в атмосфере и т. д.), так и
на непрерывных неоднородностях, например на флуктуациях
диэлектрической проницаемости сплошной среды. Теория много-
многократного рассеяния для этих двух случаев строится несколько
различно, хотя и имеет много общего. Мы ограничимся здесь
методически более простой теорией многократного рассеяния
на непрерывных неоднородностях. Что касается теории рассеяния
на дискретных вкраплениях, то первоначальные сведения о ней
Можно найти, например, в обзоре [1].
Кроме того, мы будем рассматривать лишь наиболее
простую постановку задачи, когда распространение волны опи-
описывается скалярным волновым уравнением. Здесь следует заме-
заметить, что в случае крупномасштабных неоднородностей скалярная
постановка задачи позволяла хорошо описать многие законо-
закономерности распространения также и векторных (электромагнит-
(электромагнитных) волк, тогда как при произвольном соотношении между
Длиной волны и размерами неоднородностей это уже не так,
'3 С. М. Рыто» а др. ч. 1[
386 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
поскольку при многократном рассеянии происходят сильные
изменения поляризации. Тем не менее мы ограничимся скаляр-
скалярным волновым уравнением, так как уже в этом простейшем
случае четко выявляется специфика многократного рассеяния.
Наконец, мы ограничимся задачей о распространении волн
в безграничной среде, в которой флуктуации показателя пре-
преломления являются гауссовым случайным полем. Последние два
предположения делаются только для упрощения излагаемой
теории, но не являются обязательными.
Рассмотрим первоначально задачу о среднем поле точечного
источника, находящегося в некоторой точке г0 неоднородной
среды. Случайная функция Грина, т. е. поле такого точечного
источника в данной среде, удовлетворяет волновому уравнению
Z(r)G(r, r0) = AG(r,r0H Аг[1+ё(г)]О(г, го) = 6 (г-г„) (48.1)
(где Д—лапласиан по переменной г), а также условию излучения
при | г—г„1—»¦ оо.
Запишем ряд теории возмущений для этой задачи, который
получается из формулы (24.10), если считать в ней и,(г) =
= G,(r,r,), РіРґРµ
—функция Грина однородной среды («свободного пространства»).
Подставляя (48.2) вместо и0 в (24.10), получаем ряд
G (г, г,) =G, (r, r,)-ft' J С,(г, г,) в (rj Go (г„ г,)А-, +
+(-ft')' J Go (г, rj i (rj G, (г„ г,) ё(гг) х
X Go (г„ r0) d'r, d?r. + (- ft')» J Go (r, r.) e (r,) Go (г„ г,) х
X ё(г,)G,(г,, г,)е(r.)Go(г„ r0)d>rid>r,d'r3 + ... (48.3)
Заметим, что функция G, (г, г„) симметрична, т. е. удовлетворяет
равенству G, (г, г,) = G, (г,, г). Покажем, что такому же равенству
удовлетворяет и функция G (г, г,). Действительно, используя
симметрию функции G,, можно записать интеграл во втором
слагаемом (48.3) в виде
5 Go (г, г,) ё (г,) G, (г„ г.) dv, = J Go (rIt r0) в (г^ G, (г, г,) dV, =
= SG0(r0,r1)e(rl)G,(r1, r)*^.
Такое же преобразование можно проделать и в следующем
fljfl ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА 387
шатаемом:
$.ff,.(r, rj в (г,) G. (гг> г,) I (rj G. (г„ г.) #г, <*>г, =
= $ РЎ, (Рі0, Tt)l(Tt)GAr,, Рі,) РІ (Рі,) Рћ, (Рі,, Рі)*Рі,*Рі,-
= $ Go (<"«. >Ч) ё(г.) Go (rj, г,) e"(r,) G, (г„ г) d»r, d?r,.
Здесь мы изменили обозначения переменных интегрирования
(г,^г,). Ясно, что подобным же образом можно преобразовать
любой член ряда (48.3), в силу чего и имеет место равенство
G(r,ro)=G(ro,r), (48.4)
выражающее теорему взаимности: а произвольной линейной
неоднородной среде поле не меняется, если точку расположения
источника и точку наблюдения поменять местами.
Рассмотрим теперь среднюю функцию Грина. Усредняя (48.3),
следует учесть, что для гауссова поля е <е (i\)... e(rtn_,)> = 0,
а Лея четных моментов справедлива формула (7.20):
<ё(г.) ... ё(г,.» =2*.(г«,гр) ... Ф.(г„гв), (48.5)
СЂ. Рї.
причем сумма в правой части распространена на все возможные
разбиения множества точек г,, ..., г2я на пары (га,,го,) (поря-
(порядок следования внутри каждой пары не имеет значения). Так,
например, согласно (48.5)
r,, Рі,)С‚|)Рµ(РіСЌ, Рі4) +
i г„ r,)+ij>e(ri. г4)1|>.(г„'«>). (48.6)
а в формуле для <ё(г,) ... е(г2„)> будет (2л —1)11 слагаемых.
Усредняя (48.3) с учетом (48.5), получаем
Рі.(Рі,Рі.) +
J С,(г. ОО.^ГОО.Сг,, го)фе(ги r^firlth,+
J G, (г, г,) G, (г,, г,) G, (г„ г,) G, (г„ г.) G, (г„ г.) X
X ft>. (Гх, Г,) 1(1, (Г„ Г4) +1|)е (Г„ Г,) ф, (Г„ Г4) +
+¦¦ (гж, г.) «ь (г.. ••.)] *гх .. - dV4 + ... (48.7)
Чтобы наглядно представить себе структуру этого ряда,
введен графическое изображение входящих в него элементов.
Такого рода графики (диаграммы) были введены Р. Фейнманом
в квантовой электродинамике и получили затем распространение
в самых различных областях теоретической физики. Это объяс-
объясняется их лаконичностью по сравнению с аналитической записью
13В»
38Й ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VI11
и упрощением выкладок. Разумеется, оперирование этой «диаг-
«диаграммной техникой» требует известного навыка.
Сопоставим функции G0(r,, r,) отрезок прямой линии, концам
которой приписываются координаты гу и г,:
Множителю fe4i))E (г,-, г,) сопоставим пунктирную линию с двумя
точками па концах:
Точки TJt г,, в которых сходятся линии, изображающие С„ и %,
будем называть вершинами диаграммы. Условимся, что по коор-
координатам всех внутренних вершин производится интегрирование.
Число таких вершин в диаграмме будем называть порядком
диаграммы.
Приведенные правила соответствия позволяют сопоставить
каждому члену ряда (48.7) диаграмму Фейнмана. Так, первый
член в правой части (48.7) изображается диаграммой
а второму члену этой формулы соответствует график
Заметим, что, поскольку по координатам rlt г, внутренних вер-
вершин производится интегрирование, аналитическое выражение,
изображаемое диаграммой, не зависит от координат внутренних
вершин. В связи с этим мы не будем в дальнейшем отмечать
эти координаты на диаграммах. Третьему слагаемому в (48.7)
соответствуют следующие три диаграммы:
,-"'-, f-\
Рі РіРѕ
Неусредненный член порядка 2л ряда теории возмущений для G
имеет вид
ft'» \ Go (г, гч) Go (г,, г,) ... Go (г,„. ro)i (rj ... е (rjd'r, ... d'r».
?48] ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА 389
Поэтому диаграммы порядка 2я содержат In 4-1 линий функций
Грина Go и 2п внутренних вершин г,, ..., г4п. Так как при
усреднении множитель <е (rj ... е (г,„)> распадается ва сумму
(2п—1)1! слагаемых, в которых аргументы га, ..., г,„ объеди-
объединяются попарно всеми возможными способами, при усреднении
возникает (2п—1)1! диаграмм порядка 2д, в которых 2п вершин
Соединяются между собой попарно пунктирными линиями всеми
возможными способами. Наконец, введем графическое изобра-
изображение для самой средней функции Грина в неоднородной среде:
Тогда ряд (48.7) можно представить графически следующим
образом:
(48.7Р°)
16
17 С‚ 18 19
РіРѕ
Здесь, помимо написанных в (48.7) членов, представлены еще
все 15 членов шестого порядка (диаграммы с шестью вершинами).
Соответствие между диаграммами Фейнмана и аКалитическими
выражениями является взаимно однозначным. Мы можем не только
составить по аналитическому выражению соответствующую диаг-
диаграмму, но и обратно—восстановить по диаграмме аналитическую
форму записи. Например, диаграмме 19 из (48.7а) соответствует
член ряда С'1", равный
(48.8)
390 элементы теории многократного рассеяния волн 1гл. viit
Некоторые из диаграмм, входящих в (48.7а), содержат в ка-
качестве фрагментов диаграммы более низкого порядка. Например,
диаграмма 3 содержит в качестве фрагмента диаграмму 2, диаг-
диаграмма 19 содержит диаграмму 4. Этим можно воспользоваться
и для сокращения аналитических выражений. Например, можно
записать слагаемое G(1>> (г, г0) в виде
РЎ"В» (Рі, r0) = k' I G, (r, rx)G<*> (r,, r,) G, (Рі., РіСЃ) * fa. Рі,)
(48.9)
РіРґРµ
5<« (г„ г6)=*« \ Ge fa, г;) g0 (г;, гу с0 (г;, г;) х
х g0 (г;, г;) g0 (г;, г,) фе fa\ г;) ч>е («•;, г;) л-;... dv;. (48.1 о)
Легко убедиться, что подстановка (48.10) в (48.9) приводит
после изменения обозначений переменных интегрирования к вы-
выражению (48.8).
Прежде чем развивать дальше технику преобразований диаг-
диаграмм Фейнмана, остановимся на их физической интерпретации.
Диаграмма / из (48.7а) описывает распространение волн из
точки г0 в г без рассеяния (как в однородной среде). Диаг-
Диаграмма 2 описывает следующий процесс: волна распространяется,
как в однородной среде, из точки г0 в точку г,. Здесь проис-
происходит первое рассеяние, после чего рассеянная волна распро-
распространяется в точку Г[, в которой происходит второе рассеяние.
Двукратно рассеянная волна достигает точки наблюдения г.
Распространение описывается множителями G, (r, rt) G, (ru г,) х
X G, (г,, г0). Наличие в диаграмме 2 корреляционной функции
^(•"и ri) указывает на то, что оба рассеивателя (в точках г,
и г2) коррелированы, т. е. оба рассеяния фактически произошли
на одной и той же неоднородности.
Рассмотрим теперь диаграммы второго порядка, т. е. диаг-
диаграммы 3 — 5. Все они содержат одно и тоже произведение функ-
функций Грина
Go (г, г,) С„ (г,, г,) G, (г„ г.) Go (г„ г4) С, (г41 г,).
Это означает, что волна в точку г пришла после рассеяния
в точке г„ в точку гх—после рассеяния в точке г, и т. д., а пер-
первому рассеянию в точке г, подвергалась первичная волна G, (г,, г0).
Таким образом, все эти диаграммы описывают четырехкратное
рассеяние. В чем же состоит различие между процессами, кото-
которые описываются этими топологически различными диаграммами?
В диаграмме 3 линии корреляционных функций соединяют точ-
точку г, с г, и точку г, с г,. Это означает, что обе точки rt и г,
принадлежат одной неоднородности, а обе точки г, и г,—другой.
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
Р—РЈ1
Таким образом, процесс, описываемый диаграммой 3, заклю-
заключается в том, что сначала происходит свободное распростране-
распространение волны от источника к первой неоднородности, затем—дву-
затем—двукратное рассеяние на ней, затем—свободное распространение
двукратно рассеянной волны до второй неоднородности, после
чего—двукратное рассеяние на второй неоднородности. Диаграм-
Диаграмма 4 тоже описывает четырехкратное рассеяние на двух неодно-
родностях, но последовательность рассеяния здесь иная. Сначала
Р РёСЃ. 67.
происходит рассеяние на первой неоднородности (в точке г4),
'затем одиократно рассеянная волна распространяется до второй
неоднородности и рассеивается на ней (в точке га), яатем дву-
двукратно рассеянная волна снова возвращается к первой неодно-
неоднородности н рассеивается на ней (в точке г„ которая соединена
пунктирной линией с точкой г,), после чего трехкратна рассеян-
рассеянная волна снова рассеивается на второй неоднородности (в точке г,)
в достигает точки наблюдения. Схематически последовательность
рассеяний на двух неоднородностях изображена на рис. 67.
Представление решения уравнения (48.1) в виде совокупности
диаграмм (48.7а) полезно не только из-за наглядности, но и по-
потому, что оно позволяет преобразовывать ряд теории возмуще-
возмущений, используя топологические признаки входящих б решение
392 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
диаграмм. При этом удается выразить сумму ряда (48.7) через
сумму некоторой бесконечной подпоследовательности этого же
ряда. Чтобы осуществить такое сведение, произведем сначала
классификацию входящих^ в (48.7а) диаграмм.
Назовем входящую в G~ диаграмму слабо связной, если ее можно
разделить на две отдельные диаграммы, разорвав какую-либо
одну линию Go. В формуле (48.7а) слабо связными являются
диаграммы 3, 6—9 и 12. Остальные диаграммы назовем сильно
связными (2, 4, 5, 10, 11, 13—20 в формуле (48.7а)). Диаграммы,
получающиеся из слабо связной диаграммы путем разрыва ли-
линий Go, в свою очередь могут оказаться сильно или слабо связ-
связными. Если среди «вторичных» диаграмм есть слабо связные,
то и их можно путем разрыва какой-либо одной сплошной линии
разбить на более простые диаграммы. Продолжая этот процесс,
мы придем в конечном счете к некоторому количеству сильно
связных диаграмм. Назовем число сильно связных диаграмм,
на которое может быть разбита слабо связная диаграмма, пока-
показателем связности исходной диаграммы. Возвращаясь к фор-
формуле (48.7а), можно сказать, что диаграммы 3, 7—9 и 12 имеют
показатель связности 2, а диаграмма б—показатель связности 3.
Сильно связным диаграммам можно приписать показатель связ-
связности, равный 1.
Отберем из ряда (48.7а) все сильно связные диаграммы. Так
как каждая из диаграмм начинается и оканчивается линией Go,
то сумму всех сильно связных диаграмм можно представить
РІ РІРёРґРµ
^Рћ^В» (48.11)
где введено обозначение
(48.12)
В аналитической форме (48.11) имеет вид
o о (г, Го).., J G(r r.} q (r- f) G (r.p u)d»r<dV, (48.lla)
В«481
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
393
РіРґРµ
Q (г', г") = fc'G,, (г', г") i|=e (г', г") + ft» $ Go (г;, г,) Go (г„ г,) х
xG0(r,, Рі")СѓСЃ (Рі', rs)i|)e (rt, r")d3r,dВ»ra +
+ ft» $ Go (г', г,) Go (г„ r.) Go (г„ г") *, (г', г") х
X Р§)Рµ (rt, ra) d'r.d'r, + ... (48.12Р°)
Функция Q носит название ядра массового оператора (это назва-
название заимствовано из квантовой теории поля).
Рассмотрим теперь сумму всех диаграмм с показателем связ-
связности, равным 2. Каждая из них имеет вид
(48.13)
где <3D* и <Ж> — какие-либо диаграммы, принадлежащие
правой части (48.12Х Так как при построении ряда (48.7а) переби-
перебираются все возможные способы попарного объединения вершин,
ясно, что сумма всех возможных членов вида (48.13) равна
где <3> —полная сумма (48.12).
Точно так же сумма всех диаграмм с показателем связности 3
имеет вид
и т. д. Таким образом, мы можем представить среднюю функ-
функцию Грина в виде диаграммного ряда
(48.14)
Соответствующая формула отличается от исходного ряда (48.7а)
лишь перегруппировкой его членов.
394
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Убедимся теперь в том, что ряд (48.14) является решением
следующего уравнения:
которое носит название уравнения Дайсона. В аналитической
форме (48.15) имеет вид
G(r, ro) = Gc(r, го) + $ С,(г. г,) Q (rlt г,)О(г„ r.) Ayhy (48.15а)
Для того чтобы показать, что (48.14) есть решение уравнения
(48.15), найдем это решение, пользуясь последовательными ите-
итерациями. Это можно делать как в аналитической форме, так и
в графической, которой мы и воспользуемся. Подставляя выра-
выражение (48.15) для G в правую часть (48.15), получаем
Снова подставляя в правую часть этого уравнения правую часть
(48.15), получим
Ясно, что, продолжая итерации, мы придем к ряду (48.14). Как
сказано, те же выкладки можно было бы проделать и в аналити-
аналитической форме, если исходить из уравнения (48.15а). При этом
мы придем к разложению (48.14), записанному в аналитическом
виде. Мы не будем приводить здесь указанные выкладки, но
советуем читателю проделать их самостоятельно, что, несомненно,
подкрепит его доверие к графическим преобразованиям диаграмм.
Уравнение (48.15а), если считать в нем функцию Q извест-
известной, представляет собой линейное интегральное уравнение отно-
относительно G, которое во многих случаях может быть решено
(см. следующий параграф). При этом получается явное выраже-
выражение G_4epe3 Q, т. е. сумма ряда (48.7а) выражается через вели-
величину С<с"льио св), являющуюся некоторой подпоследовательностью
того же ряда.
I 491 ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА 395
В действительности функция Q точно не известна. В каче-
качестве этой функции можно использовать сумму нескольких пер-
первых членов ряда (48.12) или же выразить Q через некоторую
новую функцию, подчиненную нелинейному интегральному урав-
уравнению. Последний путь, однако, слишком сложен, и его мы
касаться не будем (см. монографию [2]).
Обратимся теперь к корреляции двух полей, создаваемых то-
точечными источниками, расположенными в точках г' и г':
<G(r', r;)C* (Рі", Рі;В» = Р“(Рі', Рі'; Рі;, Q. (48.16)
Для того чтобы найти Г, следует перемножить два ряда вида
(48.3) и после этого произвести усреднение—задача более гро-
громоздкая, чем рассмотренная выше. Ее можно несколько облег-
облегчить, если ввести диаграммные обозначения для входящих в (48.3)
еще-ке усредненных величин. Будем изображать множитель
— k*i(T) в виде косого крестика, а функцию G (г, го)^в виде
волнистой линии; при усреднении этих величин мы должны полу-
полутать введенные выше элементы:
6(r, rt)~f С†, ^ ;>=
(48.17)
-/f-l7rl~ х • (, J? x > = •—•
Р“ \ Р“, Р“,/ Р“, Р“;,
Разложение (48.3) изобразится при этом бесконечной суммой
диаграмм следующего вида:
(48.3Р°)
Если усреднить (48.3а), то диаграммы с нечетным числом крес-
крестиков исчезнут и, в соответствии с правилами усреднения, мы
получим снова разложение (48.7а).
Запишем теперь аналогичное разложение для G* (г*, rj). Оно
отличается от (48.3а) заменой функции С, на GJ, что мы будем
отмечать, перечеркивая соответствующую линию:
(48.18)
Мы должны перемножить теперь разложения (48.3а) и (48.18).
после чего усреднить результат. При перемножении отдельных
слагаемых из (48.3а) и (48.18) будем помещать сверху элементы,
принадлежащие (48.3а), а снизу—принадлежащие (48.18). Напри-
Например, усредненное произведение третьего члена из (48.3а) на
то результат перемножения и усреднения рядов (48.3а) и (48.19)
изобразится в виде
(48.20)
Здесь приведены все диаграммы четвертого порядка 3—10 и
только три из диаграмм шестого порядка.
Остановимся на физической интерпретации этих диаграмм.
Диаграмме / в (48.20) соответствует распространение волны
с учетом многократного рассеяния пз точки г| в г' и из точки
г; в г", причем на обоих путях распространения рассеяние про-
происходит на разных неоднородностях (рис. 68).
396 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. V111
третий член из (48.18) примет вид
(48.19)
Поясним этот результат. При усреднении произведения
в (г,) е (г,) в (г,) е (г,) возникают, согласно (48.5), три слагаемых,
которым соответствуют в правой части (48.19) три диаграммы.
В первой из них усредняется произведение множителей е, при-
принадлежащих G(r', rj) и G*(r", г„). Возникающая при этом диаг-
диаграмма состоит из двух независимых кусков, не соединяемых
какими-либо линиями (несвязная диаграмма). Очевидно, всякая
несвязная диаграмма такого типа представляет собой один из
членов произведения G (г', т'а) GJ (r", rj), а сумма всех несвязных
диаграмм равна этому произведению.
Если ввести для <G(r', ro)G*(r", г„)> графическое обозначение
S4S]
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й � Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
397
Диаграмма 2 описывает процесс, при котором и первая, и вто-
вторая волны испытывают однократное рассеяние на одной и той же
неоднородности и т. д. (см. еще два примера на рис. 68).
Произведем теперь классификацию диаграмм, входящих
в (48.20). Все диаграммы, за исключением принадлежащих к /,
Р РёСЃ. 68.
являются связными. Назовем диаграмму для корреляционной
функции сильно связной, если посредством разрыва одной ли-
линии G, и одной линии G; ее нельзя разбить на две такие неза-
независимые части, каждая из которых содержит хотя бы две вер-
вершины. В (48.20) сильно связны диаграммы 2, 4, 7, 9 и 13. Все
остальные диаграммы слабо связны, но' их классифихация_не-
сколько более сложна, чем для диаграмм, представляющих С.
398 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Каждая из сильно связных диаграмм оканчивается четырьмя
линиями Go и GJ, т. е. имеет вид
Рі', РїР° <
(48.21)
Рі, '1
или в аналитической форме
Г(с.ль»о с», (f', г.. г;> гЭ = J Go (Г', Г,) Go (Г,, ГД С; (Г", Г,) X
хС;(г„ г!)/ГЛ. га; г,, Tl)d'ri.. .d'r,. (48.21a)
Функцию К называют ядром оператора интенсивности. Диа-
Диаграммное представление К имеет вид
^^ (48-22>
В том случае, когда на верхнем или на нижнем уровне присут-
присутствует только одна вершина, в аналитическом выражении для К
содержится множитель 6 (г,—г3) или б (г,—г4). В аналитической
форме диаграммный ряд (48.22) записывается следующим образом:
*(fi. г,; г„, г.)-*Ч.(Г1. га)6(г1-г5)б(г,-г4) +
\ (г„ г4) G,* (г„ г,) GJ (г., г4) б (Г1 - rs) d»r, +
rlf г4) % (г„ г,) Go (rit r,) О,* (г„ г4) +
+1 k*fe (rit г,)фе (r6, r.) Gt(rlt r.) G,(tt, г,) б (г,—r.)d»r.+... (48.22a)
(здесь выписаны слагаемые только до четвертого порядка вклю-
включительно).
Рассмотрим теперь возможные типы слабо связных диаграмм.
1. Слабо связная диаграмма может содержать всего один из
сильно связных элементов, входящих в К, но быть слабо связ-
связной за счет того, что одна (или несколько) из внешних линий G,
или С;_заменена на элементы, принадлежащие средней функции
Грина G или G*. В (48.20) к этому типу относятся диаграммы
3, 5, 8 и 10. Все они принадлежат к совокупности диаграмм
РІРёРґР°
1* Р“, Р“, 1J
С‡ Рї
Например, диаграмма 3 в (48.20) получается, если в К выби-
выбирается элемент .—. , в б^(г„ гД—элемент -м'Т'ь ¦¦ ,а в остальных
% 48]
ТЕОР�Я ВОЗМУЩЕН�Й It Д�АГРАММНАЯ ТЕХН�КА
399
функциях G, G*—элемент Go. Очевидно, сумма всех диаграмм
этого типа равна (48.23).
2. Слабо связные диаграммы, содержащие два сильно связ-
связных элемента из К, в сумме равны
(48.24)
К этой совокупности диаграмм в (48.20) относятся диаграммы
6 Рё 12.
Аналогично, диаграммы, содержащие m сильно связных эле-
элементов из К, в сумме равны
Отсюда следует, что ряд (48.20) можно представить в виде
(48.25)
•^¦^^
аналогичном представлению (48.14) для G.
Подобно тому, как из (48.14) следует уравнение Дайсона
(48.15), из (48.25) легко получить так называемое уравнение
Бете—Солпитера:
^yfi-m"' (В«.26)
Рі" РіРђ' Рі*РіСѓ Рі- Рі, Рі4 Рі?
Действительно, если решать [уравнение (48.26) последователь-
последовательными итерациями, мы получим ряд (48.25):
В аналитической форме уравнение (48.26) имеет вид
Г (г', г'; г;, О = G (''• »» 5* (г*> г»> +
+ $ G (r\ rt) G' (г*, г,) /С (г,, г,; г„ г4) х
С…Р“(РіР°, Рі<; Рі;. OdВ»/v . .dv4. (48.26a)
400 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Следующие два параграфа этой главы будут посвящены исследо-
исследованию среднего поля и функции когерентности Г. Относительно
материала, изложенного в данном параграфе, следует сделать
одно замечание общего характера.
Фактически мы нигде не использовали до сих пор конкрет-
конкретного вида функции G0(r', г") и весь проведенный анализ опи-
опирался на разложение (48.3). Это разложение представляет собой
решение следующего интегрального уравнения:
G (г', г") =G0 (г', О-*1 $ Go (г'. О 5(г,) G (г„ Г) dV. (48.27)
Вообще говоря, мы могли бы рассматривать это уравнение с
произвольной функцией С„ в качестве исходной и пришли бы
в результате к тем же диаграммным рядам и тем же уравне-
уравнениям (48.15) и (48.26). Кроме того, размерность пространства,
в котором радиусом-вектором является г, тоже не играет роли.
Поэтому и г можно рассматривать как вектор в n-мерном про-
пространстве с произвольным п.
К уравнению вида (48.27) могут быть сведены весьма разно-
разнообразные физические задачи. Например, в задаче о параметри-
параметрических колебаниях осциллятора со случайной частотой ш =
= ш0у 1 4-е(*). где ?(/)—случайный процесс, стохастическая
функция Грина G (/, /„) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
и начальным условиям G (О, /0) = О, G (0, tt) = 0. Эту же задачу
можно сформулировать в виде интегрального уравнения вида
(48.27):
G(t, U)=G,(t. t0)-
РіРґРµ
здесь 9—функция скачка.
В качестве другого примера, также сводящегося к интеграль-
интегральному уравнению вида (48.27), укажем задачу о рассеянии волн
на поверхности со случайно распределенным импедансом [17].
Ряд других примеров можно найти в обзоре [18] и моногра-
монографии [19].
Другими словами, развитый выше аппарат относится к весьма
широкому кругу задач, описываемых линейными интегральными
уравнениями со случайным ядром гауссова типа.
i 49] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 40|
Отметим также, что наряду с диаграммной техникой часто
используется и теория возмущений в операторной форме (см.
обзор [5J), которая также позволяет получать приближенные
уравнениядлястатистических моментов решения уравнения (48.27).
§ 49. Среднее поле точечного источника
в неограниченной случайно-неоднородной среде
Рассмотрим уравнение Дайсона (48.15а):
§ (г, г0) - G. (г, г.) + J а„ (г. г,) Q (г„г.) G (г„ г.) *г, Л-,. (49.1)
Если применить к нему оператор (Д-f-Аа), то, в силу равенства
(A + ft!)G0(r,r0) = 8(r-r0), (49.2)
мы получим уравнение
AG(r, РіРѕ) + *Р§?(Рі, ro)-$ Q (Рі, r')G(r', ro)tf>r' = 6(r-ro). (49.3)
�з сравнения (49.3) с (49.2) видно, что, в отличие от Go, функ-
функция G удовлетворяет не дифференциальному, а интегро-диффе-
ренциальному уравнению. Уравнение вида (49.3) получается,
например, из уравнений Максвелла в том случае, когда связь
между электрической индукцией D и напряженностью поля Е
в изотропной среде имеет пространственно нелокальный характер:
D (г) а Е (г) + 4лР (г), Р (г) = J х (г, г') Е (г') d»r',
где Р—поляризация, а %—поляризуемость среды. Действительно,
из уравнений Максвелла rot Е = ikH, rot Н = — ikD мы получаем
тогда для напряженности Е уравнение
ДЕ +fe'E + 4nfe* J % (г, г') Е (г') d'r' = grad div E.
Сравнивая это уравнение с (49.3), мы видим, что величину
можно трактовать как поляризуемость среды с пространствен-
пространственной дисперсией. Найденный результат легко понять и с физи-
физической точки зрения, поскольку он выражает тот факт, что сред-
среднее поле в некоторой точке г зависит и от окружающих эту точку
неоднородностей.
Рассмотрим статистически однородную среду, т. е. предпо-
предположим, что \|>е (Гц г,)=\|)е (г,—г,). Если обратиться к разложе-
разложению (48.12а) для Q (г,, г,), то легко убедиться, что в этом слу-
случае ядро Q тоже зависит только от г,—г,, т. е. Q = Q(r1—rj.
402 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ: VII]
Наконец, поскольку функция Грина Go (г, г„) тоже зависит лишь
от разности своих аргументов, ясно.^то и средняя функция Гри-
Грина в неоднородной среде имеет вид G (г, г0) = G (г —г0). При этих
условиях уравнение (49.1) можно разрешить относительно G, вос-
воспользовавшись преобразованиями Фурье
Go (г —14) = $ g0 (к) exp [in (г — rj] d'x,
G (г—г,) = \ g (*) exp [Ы (г - г,)] #к. (49.4)
Q (г,—г,) = $ q М exp [ih (г, — r,)l_d»x.
Для go(x) имеем выражение
В знаменатель этой дроби введена бесконечно малая мнимая
добавка to, обеспечивающая при вычислении интегралов (49.4)
присутствие только расходящихся волн. Величину го можно,
конечно, рассматривать как бесконечно малое поглощение
(fe-,fe + V,В«o).
В рассматриваемом случае уравнение (49.1) имеет вид
РЎ(Рі-РіРѕ) =
= С0(г-г„) + $ С,(г-Г1) Q (г,-г.) Gfr.-r,)*,-!*!-,. (49.6)
т. е. двукратный интеграл представляет собой теперь двойную
свертку. Поэтому при преобразовании Фурье он дает произведе-
произведение трансформант Фурье и уравнение (49.6) приводит к чисто
алгебраическому уравнению
i(С…) = g, (x) + (8СЏ>)В«g, (С…) q (x) i(x). (49.7)
Разрешая это уравнение относительно g, получаем с учетом (49.5)
g (х) = g° М = .—j jJ— . .— . (49.8)
Подставив (49.8) в (49.4) и выразив ?(х) при помощи обратного
преобразования Фурье через Q (г), мы получаем формулу
Рґ(Рі_РіВ§) 1 Р“ ""[,-В»(Рі-РіРѕ)1 #С…, (49.9)
831 J Ai-x» — J Q (г') exp (—нет') tPr' + io
которая в явном виде выражает G через Q.
Хотя формула (49.9) является точной, выражение для Q
известно лишь в виде ряда, просуммировать который в общем
случае не удается. Поэтому формула (49.9) полезна лишь в том
*«] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 403
отношении, что она позволяет по тому или иному приближен-
приближенному выражению для Q получить соответствующее приближе-
приближение для G.
Одно из простейших приближений, которое в дальнейшем
будет рассмотрено подробнее,—так называемое приближение
Бурре—заключается в?том, что для Q берется первый член ряда
(48.12а), т. е. полагается
pr^^hCrV' (49.10)
Соответствующее приближение G, для G мы будем изображать
графически как
Если в (4.8.14) подставить вместо Q диаграмму_(49.10), то полу-
получится следующее диаграммное представление Gt:
/"Сѓ
(49.11)
Следовательно, подстановка (49.10) в (49.9) и последующее вы-
вычисление интеграла позволяет найти 0^ т. е. просуммировать
СЂСЏРґ (49.11).
Если случайно-неоднородная среда не только статистически
однородна, но _и статистически изотропна, то, очевидно,
Q(r')=Q(r') и G(r—ro) = G(|r—го|). В этом случае формула
(49.9) может быть еще более упрощена посредством перехода
к сферическим координатам (как по г', так и по х) и выполне-
выполнения интегрирования по всем угловым переменным. В резуль-
результате (49.9) преобразуется к виду
J^"" . (49.12)
" ¦ *» -xJ —~ \
К = 1'-г„|.
Уравнение Дайсона (49.1) можно преобразовать к виду,
в котором вместо функции Грина невозмущенноб среды Оо будет
фигурировать уже частично просуммированная бесконечная под-
подпоследовательность ряда для G [3, 4J. Тькое преобразование
Позволяет улучшить сходимость ряда для G. Для его осуществле-
осуществления запишем сначала уравнение Дайсона в операторном виде.
404 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН ?ГЛ. VIII
Введем для этого линейные интегральные операторы Af, Л?„ и Q
с ядрами G, <?„ и Q:
(AW)(r)=$G0(r,r0)/(r0)<fV0,
j
Запись (Mf) (г) означает, что функция / преобразуется опера-
оператором М ъ функцию (Af/), значение которой берется в точке г.
Если умножить (49.1) па /(г0) и проинтегрировать по г0, то
полученное равенство можно записать в следующей оператор-
операторной форме:
Так как это равенство справедливо при любой функции /,
его можно записать и как уравнение для оператора М:
AJ = Af, + AV.QAf = iW0(l+QiW). (49.1Р°)
В предыдущем параграфе было показано, что функция
G(r', г") (еще не усредненная) симметрична: G(r', r") = G(r", r').
После усреднения это равенство, естественно, сохраняется:
3(r', r") = G(r*,r').
В операторном виде последнее равенство означает, что транспо-
транспонированный оператор М1 совпадает с М:
ЛГ = Л?. (49.13)
�з симметрии функции G, вытекает такое же равенство и для
оператора /�п:
Лй = Л*„. (49.14)
На диаграммном языке равенство (49.13) означает, что каждая
диаграмма, входящая в ряд для С, либо симметрична относи-
относительно вертикальной оси, проходящей через центр диаграммы,
либо, если она несимметрична, входит в G в сумме с другой
диаграммой, которая получается из исходной несимметричной
диаграммы путем отражения относительно вертикальной оси.
Например, в (48.7а) входят симметричные диаграммы /—6, 10,
13 и 17—20 и пары несимметричных диаграмм (7, Р), (8, 12),
{11, /5), (14, 16).
�з симметрии G (г', г*) следует, что и Q (г', г") = Q (г", г'),
так как диаграммы для Q имеют тот же тип симметрии, что и
S 49] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 405
диаграммы для G. Следовательно,
QT=<?. (49.15)
�звестно, что при транспонировании произведения операторов
порядок их следования меняется на обратный: (ЛВС...)Т =
= ...С'ВГАТ. Применим операцию транспонирования к уравнению
(49.1а). С учетом (49.13)—(49.15) получаем уравнение
M = M, + MUMt = (\+MU)M<l. (49.16)
Предположим, что нам известно какое-либо приближенное
решение Af, уравнения (49.16), соответствующее некоторому
приближенному выражению jjlf т. е. известно решение уравнения
*, = (!+/*!&) Р›?Рѕ. (49.16)
Мы всегда можем получить такое решение, если подставим в (49.9)
некоторое приближенное выражение Q, вместо неизвестного точ-
точного выражения Q (например, используем в качестве Q, при-
приближение Бурре). Умножим операторное уравнение (49.1а) слева
на оператор (1 + М^):
1 + QM).
Учитывая в правой части последнего равенства формулу (49.16),
получаем отсюда
Наконец, перенося член /i^ Qt/M в правую часть этого равенства,
запишем его в форме
<3 — Q,)M. (49.17)
Уравнение (49.17) аналогично уравнению Дайсона (49.1а),
но вместо М„ в нем фигурирует оператор Af,, а вместо Q—раз-
Q—разность (Q—Qj). Ясно, что если норма оператора Q—Q, меньше
нормы исходного оператора Q, то итерационный ряд уравнения
(49.17) будет сходиться быстрее, чем исходный.
Применив операторное равенство (49.17) к дельта-функции,
получим соответствующее уравнение для ядер операторов М,
Р›*,. Q Рё <?,:
G (г, г,) = G, (г, г,) + J G, (г. г,) [Q (г„ г,) - Qx (т„ г,)] х
xG(r2, ro)dV,dVs. (49.17a)
В случае статистически однородной среды уравнение (49.17а)
можно решить при помощи преобразования Фурье. В спектраль-
406 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
ной форме, т. е. для трансформант Фурье, решение имеет вид,
аналогичный (49.8):
<4918>
Описанную процедуру улучшения сходимости ряда для G
можно повторять. Например, мы можем задать приближенное
выражение для Q—Qi = Q, и, используя формулу (49.18), найти
соответствующее выражение для G2.
Обратимся теперь к более подробному рассмотрению при-
приближения Бурре для статистически изотропных флуктуации е.
�з формулы (49.12), в которой вместо Q(r) использовано
приближение (49.10), получаем
В»
М*>-япв ^-^ • <4919>
-"« Аа—Xs : — \ %{r)elkrs\n*rdr + la
"Рѕ1
Для лучшего уяснения этого результата рассмотрим сначала
частный пример, когда $>(r)'=0iexp(—аг), гдеа"1 = /,—радиус
корреляции флуктуации е. При таком виде 1|>г интеграл, входя-
входящий в знаменатель подынтегрального выражения в (49.19), легко
берется. Чтобы вычислить затем интеграл по х, будем считать х
комплексным. Тогда контур интегрирования можно замкнуть
бесконечной полуокружностью в верхней полуплоскости х и
значение интеграла сведется к сумме вычетов в полюсах, лежа-
лежащих в области Im х > 0.
В рассматриваемом примере корни знаменателя легко вычи-
вычисляются; они равны
e^l-j/l+tfffi^.-
Для упрощения дальнейших вычислений рассмотрим достаточно
малые флуктуации, когда |6|<^1, что выполняется при условии
I а» (а—2«)« | ~а» (а«+44») ^" *
В этом случае
б ж — 2/s4jJ/o« (а—2ife)>, 161 <^ I
<49-22)
S 491 СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 407
Потребуем, чтобы, наряду с (49.21), выполнялись условия
<49-23>
позволяющие приближенно извлечь квадратный корень из (49.22)
и записать лежащий в верхней полуплоскости корень х, в виде
<49-24>
Заметим, что три ограничения (49.21) и (49.23) можно объе-
объединить в одно:
Воспользовавшись очевидным неравенством
мы несколько усилим последнее ограничение, заменив его на
требование
при котором все три неравенства (49.21) и (49.23) будут выпол-
выполнены. Последнее же ограничение сводится, очевидно, к тому, что
В¦^ol-=k'l\al<^l. (49.25)
Что касается второго корня х3, то при |6|<^1 он равен
С…, = * + В»<*+... (49.26)
Если теперь взять вычеты подынтегрального выражения в ин-
интеграле по х (49.19) в полюсах х, к к,, то для Gl(R) получится
выражение
1 /j/2) I e(1<lR в «'"•"
Jx,R Л „(x>"
х — 1 (-_?- ? . (49.27)
Проанализируем это выражение.
Функция G, описывает две расходящиеся волны, причем
амплитуда' второй волны много меньше, чем первой. Сравним
коэффициенты ослабления обеих волн, т. е. Imxt и Imx,:
Imxi k*a\
lm щ a2 (аг+4А2)'
408 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. VIII
В силу условия (49.21) это отношение мало, т. е.
Таким образом, вторая волна в (49.27) не только мала по ампли-
амплитуде, но и затухает значительно быстрее основной волны (зату-
(затухание второй iволны происходит на длине порядка размера не-
однородностей а"1 = /е). Поэтому с достаточной точностью можно
считать, что
^Р™ (49.28)
Это выражение отличается от Go лишь заменой веществен-
вещественного k на комплексное xt(причем Imxj > 0), т. е. среднее поле
экспоненциально затухает. Кроме того, и вещественная часть х4
отличается от k: Rex, > k.
Оба эти результата легко объяснить: наличие неоднородностей
приводит к перекачке энергии волны из детерминированной
компоненты поля в случайную, т. е. к ослаблению среднего
поля. Кроме того, неоднородности увеличивают фазовый путь
лучей, что эквивалентно увеличению вещественной части волно-
волнового числа.
Отметим, что в силу условия (49.25) относительные изменения
волнового числа малы:
Это позволяет провести исследование приближения Бурре, опи-
описываемого формулой (49.19), в общем виде, без конкретизации
корреляционной функции т|>е.
Полюсы ч„ подынтегрального выражения в (49.19) являются
корнями уравнения
fe2—*Х + 4- f $e(r)e'*rslnxnrdr + io=0. (49.30)
0
При этом основной интерес представляет тот, лежащий в верхней
полуплоскости х, корень н, уравнения (49.30), который имеет
наименьшую мнимую часть, поскольку остальные корни дают
малые и быстро затухающие вклады в (Г,. Но в силу условия
(49.29) роль интегрального члена в (49.30) мала, и если им
пренебречь, то мы получим х„ = й + !О, а интересующий нас
корень х, будет близок к этому значению. Следовательно, урав-
уравнение (49.30) можно решать последовательными итерациями:
в нулевом приближении x,=ft, а уравнение первого приближе-
приближения получится, если в интегральный член (49.30) подставить
49] СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 409
ft1—y.\+k*l^t(r)elkrsinkrdr^O. (49.31)
Рѕ
Решая это уравнение и считая интегральный член малым, полу-
получаем для эффективного волнового числа &,фф = х, выражение
= ft["l+4fsl
n2krtfa (Рі) dr + i j | sin' kr ij>e (r) dr j. (49.32)
Удобно выразить k,^ через спектральное разложение функции
i|)g(r), которое для статистически изотропных флуктуации опре-
определяется формулой (3.11):
99
1|>, (г) = Щ- ^ Фг (х') sin (ч'г) х' 6.Y.1. (49.33)
Рѕ
(3) РІ (49.32) Рё
no r и х'. С учетом формул
Подставим (49.33) в (49.32) и изменим порядок интегрирования
r Рё С…'. РЎ С„
РїСЂРё
получаем после выполнения интегрирования по г
. (49.34)
В рассматриваемом приближении усредненная функция
Грина, согласно (49.19), равна
В»*С„"
Таким образом, мы пришли к тому, что при #^>/е средняя
функция Грина имеет тот же вид, что и в однородной среде,
410 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VII]
но с заменой исходного волнового числа k на й>4ф. Величину
6,фф/& можно трактовать как эффективный показатель прелом-
преломления случайно-неоднородной среды. Согласно (49.34)
(49.36)
�з этих формул видно, что я, > 1 при любом виде спект-
спектральной плотности Фе(и) Гтак как In f2Jfe_^j >0j , a n, всегда
положительно. Объяснение этому уже было дано выше при
обсуждении результатов расчета с корреляционной функцией
\|>е~ехр(—аг).
Согласно (49.34) коэффициент ослабления среднего поля по
мощности равен
ik
Сѓ = 2 Im (fe8tt) = СЏ'Р›* $ Р¤,(С…) С‡dx. (49.37)
Легко убедиться в том, что эта величина совпадает с коэффи-
коэффициентом рассеяния о*„, вычисленным в борновском приближении
для статистически изотропных флуктуации е (см. (26.13)):
Принимая здесь 2ft sin (0/2) = х за новую переменную интегри-
интегрирования, мы получаем правую часть (49.37), т. е. Т=о«-
Если обратиться к случаю крупномасштабных неоднородно-
стей, т. е. считать, что *^>х„, то верхний предел интегрирова-
интегрирования в (49.37) можно заменить на бесконечность и эта формула
перейдет в полученную ранее в марковском приближении фор-
формулу (45.6). В выражении (49.36) для п1 можно при ?^
считать, что
1 ln fU+xy _ С…
ln f+y _
и, следовательно,
$ 401 СРЕДНЕЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО �СТОЧН�КА 411
По порядку величины в этом случае имеем
т. е. изменение (по сравнению с волновым числом для однород-
однородной среды) действительной части волнового числа мало по срав-
сравнению с изменением его мнимой части.
Остановимся теперь на вопросе о границах применимости
приближения Бурре. В качестве первого приближения мы рас-
рассмотрели ядро массового оператора Q в приближении (49.10).
Возьмем теперь следующее приближение для Q, в которое вклю-
включим следующую бесконечную подпоследовательность диаграмм
из точного ряда для Q:
(49.38)
Таким образом, функция Q, отличается от <?, тем, что содержит
вместо G, среднюю функцию Грина GP найденную в приближе-
приближении Бурре:
� в этом случае полюсы функции Грина будут определяться
уравнением, аналогичным (49.30), но под знаком интеграла
вместо е'*г будет фигурировать е'*»*Ф':
00
у? = k* + -?- j фе (г) е1 W sin кг dr. (49.39)
Рѕ
Мы уже знаем, что в первом приближении корень этого уравне-
уравнения равен »<1 = А,фф- Поэтому в правую часть (49.39) вместо я
можно подставить найденное выше fe
45 В¦*fel+i? J *В¦(r) e*"**r sin (k**r) dr- (4940)
Нам следует теперь сравнить это выражение с
» J фв (г) е'*' sinkr dr. (49.41)
Рѕ
Положим krtt = k + &k, где согласно (49.29) |Afc|<^fe. Тогда
lfel/^—Дй/А1. Подставим это значение I/ft,»» в (49.40) и
412 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VII!
после этого вычтем (49.41) из (49.40). Заменяя синус по формуле
Эйлера на разность экспонент, получаем
Чтобы оценить эту разность, снова воспользуемся модельной
корреляционной функцией ¦Ц>в(г)=о*ехр(—ат). �нтегралы при
этом легко берутся и выражение х|—х\ приводится к виду
С…' Рё'
X, X, _
—в (а-2«) J "
Так как мы оцениваем разность и!— х| с точностью до величин
первого порядка по Д/г, можно положить в квадратных скобках
k^k и тогда
�Л�, ПОСКОЛЬКУ Х| —�? = (Х,—K1)(tc,+Kl)t*f2k(ilt —
Для того чтобы найденный в приближевии Бурре сдвиг Ak имел
смысл, необходимо потребовать малости по модулю по сравне-
сравнению с |ЛАс| поправки следующего приближения м,—х,, т. е.
\-sr
(49.43)
Но это условие совпадает со вторым условием (49.23) и заведомо
выполняется, если удовлетворено условие (49.25), при котором
были выведены основные формулы в приближении Бурре. Таким
образом, можно считать, что полученные выше в приближении
Бурре формулы для G справедливы при выполнении условия
где /,—радиус корреляции случайного поля е.
Следует отметить, что оценка (49.43) получена из сравнения
приближения Бурре не с точным решением, которое неизвестно,
а со следующим приближением (правда, включающим, как это
видно из (49.38), бесконечное число диаграмм для Q). Поэтому
это условие нельзя считать достаточным, но оно является необ-
необходимым.
S ВО] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 413
Помимо приближения Бурре известен еще целый ряд дру-
других приближенных решений, а также ряд более сложных урав-
уравнений (в том числе и нелинейных) для средней функции Грина.
Более подробно с ними можно ознакомиться по работам [2, 4—6J,
а дальнейшие литературные ссылки можно найти в обзоре [7J.
С работами, посвященными применению теории многократного
рассеяния к различным задачам распространения электромагнит-
электромагнитного излучения в случайно-неоднородных средах, можно ознако-
ознакомиться по обзору [8].
§ 50. Функция когерентности поля.
Оптическая теорема и уравнение переноса излучения
Выше было получено уравнение Бете—Солпитера (48.26а)
для функции когерентности
Р“ (Рі', Рі"; Рі;, r;) = <G(r',ri)G*(r', РіР”>
поля двух точечных источников; оно имеет вид
Г (г', г"; г'„ r;)-G(r',ri)G«(r', гЭ +
+ \ G (г', г,) G" (г", г.) К (г,, г,; г„ г4) Г (г„ г,; т'„ rj) x
X dВ»rl... d*rt. (50.1)
Разумеется, от него нетрудно перейти и к уравнению для функ-
функции когерентности поля и (г), создаваемого в неоднородной среде
произвольным распределением объемных источников /(г). Поле
и (г) выражается через /(г) формулой
n(r) = $G(r,r,)j(r,)Av
Отсюда следует, что среднее поле равно
S $G(r,ro)/(r0)dВ»/-o, (50.2)
а функция когерентности поля получается усреднением произ-
произведения и (г') и* (г*):
- $ <о (г', г;) о у. гэ> у (гэ г («Э л;*г;=
= 5 г (г', г"; г;, г;) /«) /• (г
Поэтому, если умножить уравнение (50.1) на / (ri) ;• (i-J) и про-
проинтегрировать по т'с и rj, то результатом будет уравнение
Г. (г1, г*) = п(г') «• (О + j О (г', г,) G* (г', г,) х
X К(г„ г,; г„ г4) Г„ (г„ г.) dV,... d*rt, (50.3)
414 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
определяющее функцию когерентности поля, возбуждаемого
произвольным детерминированным распределением источни-
источников /(г).
В отличие от уравнения Дайсона, уравнение Бете—Солпи-
тера (50.1) не удается разрешить относительно Г.
В этом параграфе мы займемся исследованием связи между
уравнением Бете—Солпитера и УП�—феноменологическим урав-
уравнением переноса излучения (45.25). Выше, в § 45, такая связь
была установлена в том частном случае, когда для описания
распространения волн использовалось приближение параболи-
параболического уравнения, а для УП� — малоугловое приближение.
Теперь задача ставится в общем случае, но для ее упрощения
мы ограничимся статистически однородной случайной средой,
а функцию когерентности Г (г', г") будем рассматривать только
в области, свободной от источников, т. е. там, где / (г) = 0.
Преобразуем сначала (50.3) в интегро-дифференциальное
уравнение. Для этого вспомним, что функция G удовлетворяет
уравнению (49.3), которое мы запишем в виде
D(r)G(r,r') = 8(r-r'), (50.4)
где б(т) — оператор Дайсона:
б (г) = ? + *•-&. (50.5)
a Qr — массовый оператор, т. е. интегральный оператор с ядром
Q (Рі, Рі'):
Если применить оператор D(r) к формуле (50.2), то в силу
(50.4) получим
D(r)u(r) = j(r),
а значит, в области, свободной от источников, справедливо
уравнение
D(r)u(r)=0. (50.6)
Применим теперь оператор б (г') к уравнению (50.3). С уче-
учетом (50.6) и (50.4) находим
Й(г')Г„(г', г") =
= $С*(г". г,)/С(г', г,; г., г4)Г„(г„ rJd'/ydV.dV.. (50.7)
Точно так же, если применить к (50.3) оператор D* (г"), то
с учетом уравнений, комплексно сопряженных с (50.4) и (50.6),
f ВО] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 415
получим
Рі'.Рћ =
J G (г', г,)ЛГ(г,, г"; г„ г.) Г„ (гэ, г«) d'r, d'r, d'rt. (50.8)
Вычтем уравнение (50.8) из (50.7). Если обозначить при этом
через г, переменные интегрирования г, в (50.7) и г, в (50.8),
то эта разность запишется в виде
r', г") = J [б* (г", го)К(г', г0; г„ г4)-
-G(r\ Рі,)Рљ(Рі0> r"; rs. r.)jr.(rt. rt)d'r.d'r,dВ»rt. (50.9)
Но согласно определению (50.5)
-J *r.[Q (г', го)Г„(г„, r')-Q'(r', г.) Г. (г', г,)]. (50.10)
Введем теперь, как уже неоднократно делалось, новые пере-
переменные R = V,(r'+r") и г=г'—г". Тогда A'—A" = 2vRV,. Функ-
Функцию Г., выраженную через переменные R, г, будем обозначать
через T(R, г):
r(R,r)-r.(R-|-V.r, R-7,r).
Перейдя к новым переменным и подставив (50.10) в (50.9) с уче-
учетом статистической однородности среды (G (г', г") = G (г'—г"),
Q (г', г*)= Q (г'—г")), находим
2vВ«V,r(R,r)-
=J [Рѕ*(Рє-С‚-РіВ»
xd>rtd'r,d'rt. (50.11)
Выполним в различных слагаемых (50.11) замены перемен-
переменных интегрирования, принимая каждый раз за независимую
переменную аргумент той из функций Q, Q*, G' или G, которая
входит в данное слагаемое, и, кроме того, обозначая R'^Va (Г3+Г4)
416 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
и г' = г,—г4. Уравнение (50.11) принимает после этого вид
V,r(R, r)-J [Q (Рі')Р“ (R~. Рі-Рі-)-
-|r,R—?-r"; R'+^. R'—{¦)-
+y-r\ R--\; R' + ?, R'—y)
xT(R', T')d'R'd'r'd*r: (50.12)
Отметим, что (50.12)—это точное следствие уравнения Бете —
Солпитера.
Рассмотрим связь уравнения (50.12) с законом сохранения
энергии, который во всякой области, свободной от источников,
записывается в виде (см. (39.2))
РіРґРµ
Усредняя эти выражения, получаем
0, (50.13)
Средняя плотность потока энергии <<5°> может быть выражена
через функцию r(R,r). Действительно, дифференцируя по г
равенство
r(R, r) = <В«(R + r/2)UВ»(R-r/2)>,
находим
V,r (R, r) = V, <«* (R -r/2) V«« (R + г/2) -
—и (R +г/2) V«u* (R—г/2)>.
Полагая здесь г=0, получаем
fVrr (R, r)Jr= Рѕ = '/,<В«' (R) VRu (R)-Рё (R) V*m* (R)>,
так что
<^(R)>=((?)-'[V,r(R, r)Jr=0. (50.14)
Вернемся к уравнению (50.12). Если положить в нем г=0, то
для величины 2V*V,T(R, r), используя (50.14) и (50.13), получим
$ 60] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 417
Поэтому уравнение (50.12) принимает при г = 0 вид
j[Q(Or(R—?.-r")-Q'(r")
= J[g*(OX"(r, R-Рі";
-G(r")A:(R-r", R; R' + T. R'—I")
(50.15)
Обратим теперь внимание на следующее. Функция Г в (50.15).
зависит от выбора поля источников /(г), тогда как функции
Q, в и /С от выбора /(г) не зависят. Поскольку соответствую-
соответствующим выбором источников можно произвольно изменить функ-
функцию Г, не меняя функций Q, G и К, уравнение (50.15) должно
выполняться тождественно относительно Г. Записав левую часть
(50.15) в виде трехкратного интеграла:
J[Q(r-)d(R—?-R')«(r"+r')-
-Q*(r") 6 (R--?— R') б (г*—г')] T(R', r')dV d»R'd*r",
подставив это выражение в (50.15) и приравняв коэффициенты
при F(R', г') в левой и правой частях, получаем
Q(-r')fi(R-R'+-)-Q'(r')s(R-R'-T) =
= J [G(r")/t(R-r\ R; R'+T, R'-T)-
—G'(r")K^R,R—r";R'+~, R'—T)] d'r". (50.16)
Это равенство, связывающее среднюю функцию Грина с ядрами
массового оператора и оператора интенсивности, носит назва-
название оптической теоремы [9].
Физический смысл оптической теоремы заключается в сле-
следующем. Ослабление среднего поля выражается через 1тй»фф,
т.е. через ImQ, но вызывается оно не поглощением (среда
прозрачна), а' рассеянием, которое описывается оператором /С.
Поэтому между этими величинами должна существовать опреде-
определенная связь. Эта связь и выражается оптической теоремой.
Заметим, что, когда для G, Q и К используются какие-либо
приближенные выражения, они должны удовлетворять соотно-
соотношению (50.16), так как в противном случае может возникнуть
противоречие с законом сохранения энергии.
Вернемся к уравнению (50.12). Нашей следующей задачей
будет преобразование этого уравнения в УП�.
14 С. М. Рытов н ар. ч. II
418 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Воспользуемся приближением (49.38) для Q:
Q (Рі) = **В¦.(В») 0(1), (50.17)
где G—средняя функция Грина в приближении Бурре. Для
оператора интенсивности используем первый член разложения
К (г„ г,; г„ Г4) = *«фв(г1_г,)в(г1-г,)в(г,-г4). (50.18)
Такая аппроксимация ядра оператора интенсивности носит
название «лестничного» приближения. Объясняется это название
тем, что если в разложении (48.25) использовать лишь первый
член ряда (48.22) для Я, то диаграммное представление функ-
функции Г будет иметь вид слестницы»:
Подставив (50.17) и (50.18) в уравнение (50.12), получаем
= fc. J {В (г') fo, (r')—if.(r-r')] Г (R -4-, r-r')_
- РЎ* (Рі') [tpB.(r'j -tfc (r +r')] Р“ ( R -4-, Рі + Рі') j. d'r'. (50.19)
Прежде всего, отсюда видно, что при г = 0 правая часть
обращается в нуль, т. е. в рассматриваемом приближении закон
сохранения энергии и оптическая теорема удовлетворяются
(иными словами, приближения (50.17) ж (50.18) согласованы
между собой и не вызывают нарушения закона сохранения
энергии). Кроме того, как видно из (50.19), в уравнение для
Г входят лишь разности if, (г')—i|>t(r±r'), которые можно выра-
выразить через структурные функции />»(г). Это означает, что крупно-
крупномасштабные неоднородности не влияют на функцию когерент-
когерентности поля (напомним, что в приближении марковского случайного
процесса дело обстояло точно так же, § 45).
Очевидно, необходимым условием применимости приближен-
приближенного уравнения (50.19) должно быть полученное в предыдущем
параграфе условие применимости приближения Бурре. Рассмот-
Рассмотрим в этой связи характерные масштабы функции F(R,r) по
обоим ее аргументам.
Как мы знаем из предыдущего параграфа, среднее поле экспо-
экспоненциально убывает по мере удаления от источника, причем
характерный масштаб убывания равен (lm k,^)~l ^ d. Так как
ослабление среднего поля обусловлено рассеянием на неодно-
родностях, то ясно, что тот же масштаб d будет характерным
продольным масштабом функции Г по переменной R. Характер-
f 50) ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 419
ним поперечным масштабом Г по R может являться диаметр
пучка излучения или же характерное расстояние, на котором
заметно меняются такие усредненные характеристики среды, как
crj или радиус корреляции <в.
Что касается характерного масштаба г„ функции F(R,r) no
разностной переменной г, то он может быть порядка либо радиуса
корреляции /, неоднородностей
среды, либо радиуса первой |лГгП-*(г-г')1
зоны Френеля (что имело место '« « '
в области применимости МПВ),
либо быть еще меньше (как при
рассмотренных в гл. VII силь-
сильных флуктуациях поля). Во вся-
всяком случае, всегда можно счи-
считать, что гк, намного меньше,
чем характерный масштаб d
функции Г по переменной R. _ _f
Такое соотношение между ~lt ° '» г"'е r r*h r'
масштабами функции Г можно Рнс бд
использовать для того, чтобы
еще несколько упростить урав-
уравнение (50.19). Действительно, разность |tyE{т')—ij>,(r ±г')| при
riark заметно отлична от нуля лишь при г < (tt+r) ~ (<«+/¦»)
(рис. 69). Но, как мы предположили, величина (/,+ f*) мала по
сравнению с характерным масштабом d функции T(R, r) по
переменной R. Это означает, что в (50.19) можно считать
HR—2-,т±гЛ »T(R, г±г'). Тогда уравнение (50.19) при-
принимает вид
, Рі) = ft* J РЎ (Рі') в„–.(Рі')-^^-Рі'РЈ Р“ (R, r-r') d'r'-
- A* J GВ« (Рі') f^ (Рі') - С„. (Рі + Рі')] Р“ (R. Рі + Рі') d'r'.
Сделаем во втором интеграле замену переменной интегрирования
г'-* —г'. Так"как G*(— r') = G'(O и ф,(— г')=ф,(г'), полу-
получим уравнение
x
-С„.(В»-r')J Р“(R. r-С‚') *Рі'. (50.20)
В случае, если п(г) = О (тогда T(R, г) совпадает с корреля-
корреляционной функцией поля), уравнение (50.20) эквивалентно урав-
уравнению переноса излучения. Убедимся в этом. Введем трансфор-
14В»
420 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. VIII
нанту Фурье функции T(R, r) по разностной переменной1):
Р“ (R. Рі) = I /(R, С…) exp (ixr)dВ»x, (50.21)
/ (R, х) = (8л»)-1 J Г (R, г) exp (—txr) d'r. (50.22)
Для облегчения перехода к трансформантам Фурье я урав-
уравнении (50.20) вычислим предварительно трехмерную спектраль-
спектральную плотность средней функции Грина G, которую мы возьмем
в приближении
^(Р—Р” (50.23)
где km^ = kl + lkl и kL^>k2. Как нетрудно убедиться, спектраль-
спектральная плотность разности G (г)—G* (г) равна
г (х) = г (х) = ±г Г [.5 (г') —G* (r')] exp (—ixr') d'r' =
= a 2l^' ,ч, ГТТ- (50.24)
Покажем, что в силу неравенства k,<^.ks функцию (50.24) можно
приближенно заменить на дельта-функцию. Максимум модуля
функции г (х) соответствует х = х0 = VfeJ—ftj, причем в этой точке
i {*<!> ~ 1/вяЧ*!*,. Вместе с тем при x' = fej—ft|=F2/s1ft,, т. е. при
х я: х0 т Л,, получаем z (х„ =F ft,) = Vsz (х0). Таким образом, г (х)
падает в два раза при сдвиге аргумента от х„ на малую вели-
величину k, — lmkatlQl—\/d. Легко проверить, далее, что
РѕСЌ
^ 1 *'+*Йв Л=1-
Поэтому, если (как мы уже предположили) масштаб d велик по
сравнению с масштабами функции ipe(r') и T(R, г—г') по г',
то функцию
J 2*1*,
сосредоточенную в узком интервале Дх ~ 2&„ можно заменить
на 6(ftJ—fej—х1); тогда получим
а) Если и / 0, то предварительно следует вычесть из Г произведение
средних полей с тек, чтобы брать трансформанту Фурье от корреляционной
функции (си. [10] и задачу 1).
§ БО] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПО.ЧЯ 421
�спользуя формулу 6 (х'—xg) = & (�~"°)2^(|6 {к + Хо) и учитывая,
что 6(х + хо) = 0 (поскольку х > О и х„ > 0), можно написать
Р°(С…
8
а если учесть малость fea, то
*w*ire1- <50-25>
Теперь легко выполнить преобразование Фурье уравнения
(50.20). Подставив в него выражение
5
(г')-О' (г') = J Й4^ехр (ix'r')d'x'
и разложение (50.21), после несложных вычислений с учетом
формулы
J \р„ (г') exp (ixr')d'r' = 8л»Фв (х)
получаем
2iVВ«_j"exp(ixr)x/(R, x)d'x =
= — —^ fd3xexp(ixr)/-(R, х) Г *х'б (х' — й,)Фе(х' — х) +
x'r)6(x'— ftj fd»x/(R. х)Ф,(х' —м).
Меняя в последнем интеграле обозначения переменных интегри-
интегрирования, *^«'i и приравнивая коэффициенты при exp (ixr), по-
получаем уравнение
пр члене в правой части этого уравнения введем по пе
ременной интегрирования-х' сферические координаты, положив
х' = х'п', где п' — единичный вектор. Тогда d'v.' — v/'dWdo(n')
и уравнение принимает вид
-f ^б(х-*,) jd'x'/(R, и')фе(х-х') (50.26)
422 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССВЯН�Я ВОЛН 1ГЛ. VI11
Будем искать его решение в следующем виде:
/ (R, С…) = 6 (С…-Рђ) 3 (R. Рї)-^, (50.27)
РіРґРµ С… = С…Рї.
Подстановка (50.27) в (50.26) дает для 3 (R, п) следующее
уравнение:
хпб(х—*,)V*3(R, n)= — 2^-6 (х—kt)3(R, n)x
Ф.(М'—к») do (n') + щб (х—ft,) f х'*Же'^do (n') X
Хб(х'—ftJJfR, n')<V>m—х'п).
Так как имеет место равенство ф(х)6(х—k,) = <t(k1)6(*—*,),
можно везде заменить х и х' на fe,, после чего сравнение коэф-
коэффициентов при дельта-функциях приводит к уравнению
, n) +
. n')do(n'). (50.28)
где учтена четность функции Фв.
Это уравнение представляет собой не что иное, как УП� (45.25),
причем коэффициент ослабления равен
06
В§
а эффективное сечение рассеяния из единицы объема в единич-
единичный телесный угол имеет вид
Р°(Рї, Рї') =^Р¤.(*, (Рї-Рї')). (50.30)
Действительно, с использованием этих обозначений уравнение
(50.28) принимает стандартную форму УП� [14J:
) + /o(n, n') 3 (R, n')do(n'). (50.31)
�з сопоставления (50.29) и (50.30) видно, что
а = §а{п, n')do(n'), (50.32)
т. е. все ослабление поля обусловлено рассеянием. Сравнение
формулы (50.30) с полученной в борновском приближении фор-
формулой (26.13) показывает, что значение о, определяемое выра-
выражением (50.30), отличается от значения в борновском прибли-
приближении заменой k на kt. Мы видели, что отличие ^ от к обуслов-
f 50) ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 423
леко влиянием многократного рассеяния. Однако в рассмотренном
в § 49 приближении отличие ft, от ft мало, и, если Ф, (*) —
достаточно плавная функция, этим отличием можно пренебречь.
Принципиально важная сторона полученных результатов
заключается в следующем. В феноменологической теории пере-
переноса излучения, яркость, или лучевая интенсивность, Э никак
не связана с параметрами, описывающими волновое поле. Теперь
мы получили возможность установить эту связь. Комбинируя
формулы (50.21) и (50.27), находим, что
T(R, r)=-^|e""В»6(x-fe1) jr(R, n)xВ»dHdo(n).
или, после интегрирования по ч,
Р“(РЇ, Рі) = (СЂР—(РЄ. Рї)Рµ"-в„ўР–>(Рї). (50.33)
Таким образом, лучевая интенсивность представляет собой угло-
угловой спектр функции когерентности. Положив в (50.33) г=0, _мы
получаем формулу, связывающую среднюю интенсивность Г—
|'|">Г(Я, 0) с лучевой интенсивностью:
7(R) =? J(R, n)do(n). (50.34)
Далее, продифференцировав (50.33) по г, положим затем г=0:
, Рі)!_, = В», $
Подставляя это выражение в (50.14) и пренебрегая разницей
между ft и felt получаем среднюю плотность потока энергии:
<4Р“(РЇ)> = <Р Рџ3(РЄ, n)do(n), (50.35)
Таким образом, через J(R, n) можно выразить все основ-
основные характеристики волнового поля: плотность энергии (интен-
(интенсивность), плотность потока энергии и функцию когерентности1).
Разумеется, свести точное уравнение Бете—Солпитера к УП�
возможно отнюдь не всегда. В общем случае функция когерент-
когерентности r(R, r) разлагается в интеграл Фурье вида (50.21), в ко-
котором присутствуют плоские волны exp(ixr) с произвольными
значениями х. Лишь в том случае, когда в этом разложении
|х| =ft, справедлива формула (50.33).
Далее, при выводе УП� мы использовали приближение Бурре
для G и ограничились только первым членом разложения one-
') Отметин, что в § 9 были приведены аналогичные формулы для слу-
случайного волнового поля в однородной среде.
424 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
ратора интенсивности («лестничное» приближение). Правда, более
подробный анализ показывает, что второе из этих приближений
справедливо тогда же, когда и первое (т. е. когда справедливо
приближение Бурре), так что оба верны при необходимом условии
feV|a'В«^l. (50.36)
Наконец, при переходе от уравнения (50.19) к (50.20) было
сделано предположение о малости характерного масштаба функ-
функции F(R, г) по переменной г по сравнению с ее характерным
масштабом no R. Окалывается, однако, что для выполнения этого
предположения тоже необходимо условие (50.36).
Тем не менее возможны и такие ситуации, когда УП� заве-
заведомо неприменимо. Так обстоит дело, например, в том случае,
когда нас интересует обратное рассеяние. В УП� производится
некогерентное сложение рассеянных волн (сложение интенсив-
ностей), что особенно наглядно проявляется при феноменологи-
феноменологическом выводе этого уравнения (§ 45). Но при рассеянии назад
рассеянная волна проходит точно через те же неоднородности,
что и падающая, в силу чего существенны фазовые соотношения
между этими волнами. В результате УП� оказывается непри-
непригодным для описания рассеяния назад [12, 13]. Существенную
роль при таком рассеянии играют «циклические» диаграммы
(например, диаграммы 7 и 13 в формуле (48.20)).
Мы ограничились весьма упрощенной задачей о распростра-
распространении скалярного волнового поля в статистически однородной
случайной среде. Более общий случай статистически неоднород-
неоднородной среды рассмотрен в работе [10]. В работе [11] УП� выве-
выведено для электромагнитного поля, причем с учетом простран-
пространственной и частотной дисперсии.
Остановимся еще на одной стороне вопроса, поетансвка кото-
которого даже не возникала в феноменологической теории переноса
излучения [14]. Речь идет о дифракционном содержании УП�.
Как мы видели, УП� эквивалентно уравнению (50.20) для функ-
функции когерентности T(R, г), которое в свою очередь получено
из волнового уравнения. Поэтому, если известно аналитическое
выражение функции 3 (R, п), то при помощи формулы (50.33)
можно восстановить функцию Г, которая должна содержать ин-
информацию и о дифракционных эффектах (см. задачу 2). Здесь
возникает вопрос о том, как следует формулировать граничные
условия к УП�, чтобы при обратном переходе к F(R, г) полу-
получить описание дифракционных эффектов. Этот и ряд других
вопросов о взаимосвязи теории когерентности с теорией переноса
излучения анализируются в работах [15, 16].
Подведем некоторые итоги. Общая теория многократного рас-
рассеяния охватывает случаи не только крупных, но и мелких
неоднородности. В рамках этой теории получены приближенные
$ 50] ФУНКЦ�Я КОГЕРЕНТНОСТ� ПОЛЯ 425
замкнутые уравнения для моментов поля, вывод которых факти-
фактически основан на частичном суммировании рядов теории воз-
возмущений. При этом в рамках общей теории многократного рас-
рассеяния удается вывести все уравнения, полученные различными
приближенными методами, и, что еще важнее, указать границы
применимости таких методов. Существенным достижением теории
можно считать «статистико-волновое» обоснование УП� и уста-
установление дифракционного содержания этого уравнения. Здесь
получены и другие важные результаты. В частности, удается
вывести УП� с учетом трансформации когерентной составляю-
составляющей поля в некогерентную (см. задачу 1, где соответствующее
уравнение выводится для скалярных волн, и работу [II] для
электромагнитных волн). При вычислении когерентного поля
одновременно решается и задача об определении эффективного
показателя преломления случайной среды.
В рамках теории многократного рассеяния можно получить
приближенные замкнутые уравнения не только в случае сплош-
сплошной случайно-неоднородной среды, но н для моментов волнового
поля, рассеянного на совокупности большого числа дискретных
вкраплений (дифракция на телах, занимающих случайное поло-
положение и случайно ориентированных). Здесь также удается вы-
вывести УП� (см. например, [20, 21J) и установить микроскопи-
микроскопический смысл феноменологических параметров, входящих в это
уравнение. Оказывается, что сечение рассеяния единичного объема
в общем случае не совпадает с сечением рассеяния одной ча-
частицы, умноженным на концентрацию частиц: при больших кон-
концентрациях проявляются так называемые коллективные Еффскты
J22J, вызванные падением На данную частицу не только прямых
волн, но и волн, рассеянных другими частицами.
Что касается перспектив дальнейшего развития теории мно-
многократного рассеяния, то, во-первых, можно ожидать, что она
приведет к решению задачи о распространении волн в среде с
не малыми флуктуациями диэлектрической проницаемости (это
имеет место, например, в плазме, если частота электромагнитной
волны близка к плазменной частоте, или в жидкостях вблизи
критической точки).
Кроме того, имеется широкий круг практически интересных
задач, несомненно относящихся.к теории многократного рас-
рассеяния, но усложненных многочисленными дополнительными фак-
факторами. Здесь можно упомянуть дифракцию частично когерентных
полей в случайно-неоднородной среде, рассеяние волн на шерохо-
шероховатой поверхности, окруженной случайно-неоднородной средой,
дифракцию волн в случайно-неоднородной среде при наличии
дискретных вкраплений, тепловое излучение случайно-неодно-
случайно-неоднородных сред и т. д. (см. сбзор [23J и цитированную в нем ли-
литературу).
426 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
Задача
I. �схода из уравнения (60.19), получить УП� для случая, когда сред»
яее поле п не равно нулю'
Р;ешен>е. Введем ^обозначение F(R, r) = u(R4_r/2)u*(R—г/2) и под-
¦cTaBHMB(60.19)r(R,r)=4i,(R,D4-F(R,r),we»«(R,r)=<;(R+r/2)S«(R-r/2)>.
�з уравнения (50.6) легко получить, что
(I)
С учетам этого уравнения находим после подстановки в (50.19)
следующее уравнение для 1}(:
-f ? j(OV)(y. )
-*(O4k(r+fT(В«-y. r+r-)|<JВ»r'. (2)
Пренебрегая, как и при переходе от (50.19) к (50.20), величиной т'/2 в ар-
аргументах <Ь, и F, получаем уравнение, обобщающее (50.20):
eR, r-r')<Pr'. (3)
Введен трансформанты Фурье
*. (R. г)= \ f (R. к)ехр (1�Г)<l»x.
'(R. O- J /.(R. *)e*P(<РєРі)Р›(.
Выполняя преобразование Фурье уравнения (3) н учитывая формулы (50.24),
(50.25), получим
, Рє')]. (5)
Если искать решение этого уравнения я виде
/(R. H)=8(x~.^l)g(R. Рё). *=С…Р»,
задачи 487
то это приводит к следующему уравнению для 3:
R. n) =—aJ(R.n) + $о(п, n')j(
R nl
(здесь использованы те же обозначения, что и в (50.29) н (50.30)).
Уравнение (6) отличается от стандартного УП� (50.31) наличием допол-
дополнительного (последнего) слагаемого, описывающего трансформацию когерент-
когерентной части поля в некогерентную. Формула (50.33) теперь справедлива не для
Г, а для функции корреляции:
iMR, С‚)=<{> 3 (R- В»)В«'*'"*>(Рї). (7)
2. Плоская волна «„ (г) падает аа объем V, внутри которого в (г) ф 0.
Размер объема V мал по сравнению с длиной экстинкции й, так что рассея-
рассеяние волны и, (г) на неодно род-
ностях можно описывать в бор-
новском приближении. Полу-
Получить решение задачи о рассея-
рассеянии, всходя из УП�, выведен-
выведенного в предыдущей задаче, и
пренебрегая различием между
t РЅ ki.
Решение. Поскольку рас-
рассеивающий объем мал по срав-
сравнению с d, энергия рассеянного
поля значительно меньше энер- р 7П
гни падающей волны. Поэтому
в УП� (формула (6) предыдущей
задачи) можно пренебречь членами, описывающими экстинкцию и рассеяние
некогерентного поля, т. е. в правой частя остается только последний член:
,(*п—к', K)h (Ri "О <***'• 0)
Здесь специально выделена зависимость Фе от R, так как флуктуации в
не являются статистически однородными. Так как размер рассеивающего
объема мал по сравнению с d, можно считать, что и (г) — и, (г) — Uo«f*"»r, где
п0—единичный вектор вдоль направления распространения первичной волны,
a U| — ее амплитуда. Тогда (обозначения те же, что н в предыдущей задаче)
(3)
Подставляя (2) в (I), получаем уравнение
I Рё I*
Функция Фв отлична от нуля только внутри рассеивающего объема V. Так
как ny«3(R, n) =gj-ir, где ^—производная по направлению единич-
единичного вектора п (рис. 70), то очевидно, что решение уравнения (3) имеет
428 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОР�� МНОГОКРАТНОГО РАССГЯН�Я ВОЛН [ГЛ. VIII
следующий вид:
Р°>
Рћ
Найдем теперь i|0<R, г), воспользовавшись формулой (7) задачи I:
i|jo (R, г) = (? eiJ>"' do (и) ^л**1''«1> ф, (* (n—n«), R—пО Ш. (5)
Рё
Введем новую переменную интегрирования г1--—п/, 11редс1авляющую совой
радиус-вектор точки R — Ы, проведенный на точки R. Тогда <Pr'~ fidldotn),
т. е. (f.'do (n) = —j2-=—tj-• Формула (5) принимает вид
'MR. ')=-—I) \ fxpf ——т—) фе (*(" — "«)¦ R -г') —тг- (6)
В гл. IV эта формула била получена в приближении однократного рас-
сеини», и, как ясно из проведенного там вывода, она полностью учитывает
дифракционные аффекты. Таким образом, данная задача непосредственно под-
подтверждает, что УП� описывает дифракционное поведение поля.
Глава IX
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
§ 51. Рассеяние на малых неровностях.
Метод возмущений
Поверхности реальных тат всегда в той или иной степени
неровны, в силу чего отражение и преломление волн на этих
поверхностях сопровождаются явлениями, которые отсутствуют
в случае идеально гладких границ раздела. Разумеется, степень
«гладкости> определяется в первую очередь соотношением между
длиной волны и геометрическими параметрами неровностей.
Одна и та же поверхность, «идеально» гладкая для радиоволн
или звука, может быть шероховатой для света или ультразвука.
Неровности могут изменяться со временем (морское волне-
волнение, тепловые флуктуации формы поверхности), но могут быть
и практически неизменными \(рельеф суши или морского дна,
поверхность бумаги, матового стекла, вообще твердого тела).
Наконец, как и для объемных неоднородностей среды, сами
задачи об отражении и преломлении волн на неровных поверх-
поверхностях или о дифракции и рассеянии на них могут быть и
детерминированными, и статистическими. Последние возникают,
как обычно, в тех случаях, когда нас интересует не какой-то
конкретный, «индивидуальный» вид неровной поверхности, а
характеристики ансамбля таких поверхностей. Со статистическим
ансамблем приходится иметь дело при наличии большого числа
неровностей на облучаемом участке поверхности (шероховатые
поверхности), но возможны, конечно, и такие ситуации, когда
речь идет о малом количестве неровностей. Например, нас может
интересовать рассеяние от некоторого единичного выступа на
плоскости, ансамбль же состоит из реализаций с выступами
разного вида, причем геометрические и (или) физические харак-
характеристики выступа случайны (подчинены определенным вероят-
вероятностным распределениям).
Рассеяние волн на телах, имеющих случайную форму или
занимающих случайное положение, мы отнесли в § 8 к задачам
430 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
типа 3). Обычная постановка задач этого типа состоит в том,
чтобы найти статистические характеристики рассеявного поля
по заданной статистике неровностей, но часто возникает необхо-
необходимость и в решении обратной задачи—по статистике рассеян-
рассеянного поля определить свойства поверхности.
Характер рассеяния определяется многими факторами. Кроме
размеров неровностей и длины волны падающего излучения,
играют роль и размеры рассеивающей площади, и способ ее
облучения, а также поляризация первичной волны, отражающие
и преломляющие свойства вещества и т. д. В зависимости от
соотношения между различными параметрами применяют те или
иные приближенные методы расчета рассеянного поля. Мы рас-
рассмотрим только два наиболее простых и часто применяемых
метода—метод малых возмущений и метод Кирхгофа. Сведения
о более общих методах, учитывающих многократное рассеяние,
можно найти в монографии [1] и в обзорной статье [2].
Пусть шероховатая поверхность задана уравнением г =
~?(*> 1/) = ?(р)- Примем, что <?> = 0, т. е. ограничимся случаем
в среднем плоской поверхности, уклонения от которой описы-
описываются случайным полем ?(р). Если поверхность z = ?(p) пред-
представляет собой границу двух сред, то на ней должны выпол-
выполняться соответствующие «двусторонние» граничные условия.
Например, если а, и иг—потенциалы акустической скорости
в первой и второй средах, то для звуковых волн на границе
должно выполняться равенство нормальных компонент скорости
fgrr«=g^, N — нормаль к поверхности) и равенство давлений
(р1и1=р!а,, где рг и р,— плотности сред). В электромагнитной
задаче на границе должны быть непрерывны тангенциальные
компоненты напряженностей Et и //,. Рассеянные волны рас-
распространяются при этом в обеих средах.
Рассматривая для простоты скалярные волны, мы упростим
постановку задачи еще в одном отношении: будем считать, что
распространение волн возможно лишь в одной среде, т._е. по-
поверхность г = ?(р) либо «абсолютно мягкая» (на ней и = 0), либо
«абсолютно жесткая» (;ш- = о)- В обоих случаях происходит
полное отражение. В электромагнитной задаче этому соответ-
соответствует идеально проводящая поверхность (?, = 0) и поверхность
идеального магнетика (Я, = 0).
�так, для абсолютно мягкой поверхности граничное условие
имеет вид
u|j = В«(p, Рі)|1=РЎ(СЂ, = 0, (51.1)
а для абсолютно жесткой —
i 51] РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 431
причем единичный вектор внешней-нормали N имеет компо-
имеет компоненты
(Nj., tf2)=(ctVi& -a). o = [l + (VJL;)1]-l/t, (51.3)
V± = (^. щ\ — поперечный оператор дифференцирования.
Строгих методов решения волнового уравнения со случай-
случайными граничными условиями (51.1) или (51.2) не существует,
и задачу удается решить лишь приближенно, при определенных
ограничениях, налагаемых на размеры и форму неровностей.
Мы рассмотрим ниже два случая таких ограничений, при кото-
которых и приложнмы два упомянутых метода. А именно—мы рас-
рассмотрим поверхности, неровности которых в масштабе длины
волны Я либо малы и пологи, либо плавны. В первом слу-
случае применим метод малых возмущений, а во втором—метод
Кирхгофа.
Пологость неровностей означает, что наклоны поверхности
в среднем невелики, т. е.
<(Vi.В»'>~ <В»!//&? 1. (51.4)
где а| ==<?*>—средний квадрат уклонения от невозмущенной
поверхности г = 0, а /;—характерный размер неровностей. Ра-
Разумеется, это неравенство, справедливое для среднего квадрата,
при расчетах используется еще до усреднения.
Малость неровностей означает, что моменты <?"> малы по
сравнению с соответствующими степенями длины волны, <?™><^п,
в частности,
Рѕ(<4*-'- (51.5)
В результате для малых и пологих неровностей можно исполь-
использовать разложение как граничного условия, так и искомого
решения по степеням малых параметров ?Д <^ 1 и | Vj.J |~oj//{ <^ 1,
в чем и состоит метод малых возмущений.
В случае плавных неровностей величина уклонения ? не
ограничивается, а условие пологости заменяется требованием
малой кривизны (плавности) неровностей: радиусы кривизны
поверхности RKf должны быть велики по сравнению с К:
или й/?кр>1. (51.6)
Соответственна неоднородности должны обладать и ри ?г>Я боль-
большой протяженностью в направлениях х и у (крупномасштабные
неровности). При этих условиях применимо кирхгофово прибли-
приближение: поле в окрестности каждой точки поверхности прибли-
приближенно представляется суммой падающей волны и волны, отра-
отраженной от соприкасающейся плоскости в этой точке; при этом
используются локальные значения «плоских» коэффициентов отра-
432 РАССЕЯН�Е НА ЩЕРОХОНАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
жения (в электромагнитной задаче — френелевских коэффициен-
коэффициентов). Под падающей волной можно понимать не только первичную
волну, но и волны, попадающие на данный участок поверхности
в результате отражения от других ее участков. Простейшим
является случай, когда многократные отражения отсутствуют.
Для плавных неровностей отношение c^'U может и не быть
малым. В принципе метод Кирхгофа применим и в этом случае
крутых неровностей (а^'/;^1). Ясно, однако, что с ростом кру-
крутизны неровностей многократные отражения будут все более
существенными. Учесть их, пользуясь методом Кирхгофа, очень
трудно. Для того же, чтобы ими можно было пренебречь, опять-таки
требуется даже в случае крупномасштабных неровностей опре-
определенная их пологость. Она нужна еще и для того, чтобы можно
было пренебречь затенениями одних элементов поверхности
другими, хотя учет затенений осуществить легче, чем учет мно-
многократных отражений. Таким образом, в отличие от метода воз-
возмущении, наклон неровностей |Vj_?| не является в методе Кирх-
Кирхгофа малым параметром. Пологость требуется лишь для упрощения
задачи, т. е. в той мере, в какой это нужно для пренебрежения
многократными отражениями и затенениями. Метод Кирхгофа
мы рассмотрим в § 52, а сейчас обратимся к случаю малых
неровностей.
Как сказано, в основе метода возмущений лежит разложение
искомого поля и и граничных условий в ряды по степеням малых
параметров ? А ~ at/X <S! 1 и | Vj.S|/~ot/'t<^'- Такой подход был
впервые предложен еще Релеем для случая синусоидальных
неровностей и был применен затем Л. �. Мандельштамом к ста-
статистической задаче о рассеянии света на неровностях, обуслов-
обусловленных тепловыми флуктуациямн поверхности жидкости [3].
Пусть U (г) — первичное монохроматическое поле, падающее
на шероховатую поверхность (множитель е~'ы' для краткости
опускаем). Запишем решение уравнения Гельмгольца в виде ряда
Рё (Рі) = L/ (Рі) Рќ- 2В«("В»(Рі). (51.7)
0
где п-й член ряда имеет порядок (<Т;/л)" или (<т;/^)\ Этот ряд
представляет собой разложение по кратности рассеяния.
В случае абсолютно мягкой поверхности граничное условие
(51.1), разложенное по степеням ?, принимает вид
здесь и далее нижним индексом 0 отмечены значения поля и его
производных по г при г = 0. В данном случае Vj.? в граничное
условие не входит, так что требование пологости (51.4) для
§ 61] РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 433
абсолютно мягкой поверхности является излишним и в разло-
разложении (51.7) используется только один малый параметр а;Д<*1.
Подставив (51.7) в (51.8), получаем граничные условия (уже
на плоскости z = 0, которую иногда называют подстилающей)
для последовательных приближений поля:
Таким образом, нахождение n-кратно рассеянного поля а(в)(г)
сводится к рассмотренной в § 9 задаче о волновом поле, имею-
имеющем заданное значение vl")(p) = u(^^u{a) (р, 0) на плоскости
z — 0. Эго заданное значение известно, коль скоро известны по-
полученные одно за другим предшествующие приближения от и"" до
и'""11. Случайный характер граничных значений uin> обусловлен
присутствием в (51.9) случайной функции ?(р).
Для фактического нахождения поля в п-ы приближении можно
воспользоваться либо формулой Грина (9.12), либо методом Релея
(разложение по плоским волнам—формулы (9.14)—(9.16)); для
плоской границы z = 0 оба подхода эквивалентны. Проведем рас-
расчеты по формуле Грина (9.12), которая для полей нулевого и
первого приближения дает следующие выражения (здесь г — {р, г},
<51Р›0>
В рассматриваемом случае, когда на плоскости г = 0 заданы
сами поля, вычисление и"" (г) имеет смысл как .для ограничен-
ограниченного участка площади 2 этой 'плоскости, так и для всей беско-
бесконечной плоскости. Если берется конечная площадка, то в пред-
предположении, что ее размеры велики по сравнение с длиной
волны, мы можем воспользоваться гипотезой Кирхгофа о том,
что формулы (51.10), написанные для бесконечной плоскости,
остаются в силе и на рассматриваемой площадке конечных раз-
размеров, и надо только ограничить область интегрирования в (51.10)
пределами площадки. Пусть на шероховатую поверхность под
углом 0, к оси z падает плоская волна
U (г) - А ехр (<fcn,r) = A exp [ik (n^p + п'гг)] =
-= Л exp [/ft (nip — zcos90)l, (51.11)
'5 С, М. Рытов и др. ч. II
4.34
РАССЕЯН�В НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[ГЛ. IX
где n,-=(ni, /t,) —единичный вектор в направлении распростра-
распространения падающей волны, причем nj = — cos60 (рис. 71). В случае
бесконечной поверхности ясно и без расчета по первой из фор-
формул (51.10), что в нулевом приближении мы имеем зеркально
отраженную волну
Если площадка имеет конечные размеры, то по гипотезе Кирх-
Кирхгофа вблизи площадки поле
ию) тоже представляет собой
зеркально отраженную волну
(51.12), но на достаточны^
удалениях от площадки поле
и«» превращается в направ-
направленную сферическую волну
с максимумом интенсивности
о направлении зеркального
отражения.
Поле нулевого приближе-
—У / ния «(0) (г) представляет для
у нас интерес лишь в той ме-
Рнс. 71. ре, в какой оно определяет
величину однократно рас-
рассеянного поля иш. �з (51.11) и (51.12) следует, что
и, стало быть, в соответствии с (51.10),
. (51.13)
Второй вариант этой формулы относится к случаю кг^>\, когда
точка наблюдения удалена от плоскости z=- 0 по меньшей мере
на несколько длин волн.
Среднее значение поля и111 равно нулю, а расчет его средней
интенсивности 7[ = <|иш|4> во многом сходен с вычислением /,
в случае рассеяния на объемных неоднородностях. В предполо-
предположении о статистической однородности флуктуации ?(р) при
помощи (51.13) находим
(РЎ
Л = ^Г^|Л|а^1|);(р' —p")exp[ifeni(p' — p") i ik(R'~R")\x
(51.14)
РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ
435
В¦ Ml
где i|>t(p'—P") ~ <?(p') S(p")> —функция корреляции неровностей,
r' «=]/"г1-г-(р—р')*, Л" = Vz* — (p— p')*. Введем новые перемен-
переменные интегрирования | —р' —р", т) = (р'+ р")/2 и разложим /?' и
R" в ряды Тейлора по разностной переменной ?. Наличие под
интегралом функции корреляиии ih(l) = ipt(p'—р"), быстро спа-
спадающей до нуля при 6^>/;,
позволяет ограничиться в этих
разложениях первыми членами.
А именно при Ы\!г% <^ 1') можно
Г1�ближенно заменить R' и R'
знаменателе подынтегрально-
подынтегрального выражения на Ri = \ г—r\ | =
= V^Z' + (P—Л)*» а разность
R'—R" в показателе—на — пЦ.
Через п, = Ri/'Д, обозначен еди-
единичный вектор в направлении
от точки рассеяния tj на плос-
плоскости г = 0 к точке наблюдения
г = (р, г), а через п*х—поперечная составляющая этого вектора:
¦о ТГ—f-t *
в„– t)
Далее, распространив пределы интегрирования по ? до бес-
бесконечности (это возможно, даже если площадка 2 конечна, но
велика по сравнению с радиусом корреляции /;), находим
фс (|) exp lift (ni- ni) l\ <P6 = 4n»ft (4l),
РіРґРµ
— преобразование Фурье функции корреляции, т. е. двумерный
пространственный спектр неоднородностей; q_i_—fe(nj.—n'J — по-
поперечная компонента вектора рассеяния q = fe(n,-—п,) (рис. 72).
В результате в (51.14) остается только интеграл по т\:
•) Заметим,-что это неравенство слабее, яем условие Щ1г<^1, отвечаю-
отвечающее удалению точки наблюдения во фраунгоферову зону отдельной неодно-
неоднородности.
15*
436 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ (ГЛ. ]Х
который распространяется на всю плоскость г = 0 или только
на ее часть 2, если шероховатая поверхность имеет конечные
размеры.
Согласно (51.1 6) каждый элемент поверхности dlx\ = diZ с цент-
центром в точке ц дает в суммарную интенсивность 1L вклад
|i4|В»-g, (51.17)
где rt| = 2//?1 = cos9—косинус угла между вектором п^ —R,//?^
и осью z (рис. 71). Формула (51.16) отражает, таким образом,
избирательный характер рассеяния: в ладанном направлении п,
рассеивает только определенная «гармоника» неровностей, отве-
отвечающая вектору рассеяния qj_ = ?(nj_— njj, что полностью ана-
аналогично селективности рассеяния на объемных неоднородностях
(см. § 25). В частности, при нормальном падении первичной
волны, когда л'г — —1, п^ —0 и qi_ = knsL, длина волны «активной»
гармоники неровностей A^ — Sn/q^ равна Я//г^ = A/sin 0. При
рассеянии в направлении зеркального отражения, когда п^ —п^
и qj. = O, Л, обращается в бесконечность. Наконец, при обрат-
обратном рассеянии (n^ — — ni, qj_ = — 2feni_)
Р› -=_?5- = -
' 2Ani 2sin00В°
Величина
т. е. коэффициент при \A^dLlR\ в формуле (51.17), пред-
представляет собой сечение рассеяния единичной площадки абсолютно
мягкой поверхности в направлении ns. В отличие от объемного
рассеяния, сечение (51.18) безразмерно. Формула (51.16), запи-
записанная в виде
явно выражает некогерентность волн, рассеянных отдельными
элементами шероховатой поверхности, их сложение по интенсив-
интенсивности. В рассматриваемом случае абсолютно мягкой поверхно-
поверхности сечение (51.18), содержащее множитель (п'гп1)г = cosa 0, cosa в,
обращается в нуль при скользящих углах падения и отражения,
т. е. при 8, 90—<-л/2. �менно поэтому интеграл (51.19) сходится
даже при интегрировании по всей плоскости 2=0.
Если рассеивающая поверхность имеет конечную площадь 2
и в пределах этой площади величины aM(qx) и Ry практически
f «I) РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 437
постоянны, то
M|i(
(51.20)
Условие постоянства cM(qx) и У?! в пределах площадки 2 с мак-
максимальным размером L записывается, как нетрудно установить,
РІ РІРёРґРµ
если /t<j?i (мелкомасштабные неровности),
если /;^>Я (крупномасштабные неровности). '
Случай абсолютно жесткой поверхности отличается тем, что
рассеянное поле уже в первом приближении зависит не только
от ?,, но и от \±1. �з (51.2) и (51..4) следует, что на границе
должно быть
Подставляя сюда разложение (51.8), находим
Таким образом, для последовательных приближений поля, в от-
отличие от (51.9), получаются граничные условия, содержащие Vx?:
Для нахождения полей u{ni по заданным на плоскости г = 0
значениям нормальной производной 1-з—J можно воспользо-
воспользоваться формулой Грина (9.13):
(51.24)
Пусть на и/ероховатую поверхность падает ллоская волна
(51.11). Ясно, что в непосредственной близости к площадке
регулярно отраженнаи волна и(0>, удовлетворяющая первому из
граничных условий (51.22), подчиняется законам зеркального
отражения и записывается в виде
ц«» = А ехр [ik (n^_p — n\z)\.
438 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
Тогда выражение в фигурных скобках 8 (51.24) равно
Среднее значение этой величины равно нулю, а функция кор-
корреляции 1>/(1) = </(р')/*(Р")> выражается через ^с (|) следую-
следующим образом:
17(6)= 4|^|1exp((ftni|)[ife(n'LVi)-fcs("i)2]stc(l)- (51-25)
(дифференцирование Vj. здесь производится по | = р'— р").
Подсчитаем среднюю интенсивность рассеянного поля
'=ik J J В¦/ (СЂ'-
Как и ранее, целесообразно перейти к новым переменным инте-
интегрирования |=р' — р" и т) — (р'— р")/2 и заменить приближенно
elk<K'-K^;R'R" на ехр( — iftn'j_?)/#f. �спользуя (51.25), запишем
выражение для 7t в виде
Р› = -Hjr- f-^r f exp (-/q J) [i* (niyj.) -f A! (В«i)? В¦; (1) *E.
Внутренний интеграл выражается через двумерную спектраль-
спектральную плотность неровностей Ft (x):
Но qi^fe(ni—nji.), и поэтому
f- * ("iqi) -f fe2 (nj)2]2 = fc' [(n>)* + (n\ )Рі-(Рї'С…Рї1)] =
= ** [l-
В результате имеем
7.^4Рњ|^]"-<^В»1^Рњ^. (51.27)
Это выражение можно представить в форме (51.19), если
ввести сечение рассеяния единичной абсолютно жесткой пло-
площадки
аж (q 1) = 4Л* [ 1 — (nioi)J« Ft (qx), (51.28)
которое отличается от сечения рассеяния мягкой площадки (51.18)
другим множителем при /•'t(qi). Этот множитель [1 — (n'j.n'J]1
(а тем самым и сечение аж) не стремится к нулю при скользя-
скользящих углах, падения и отражения, так что интеграл (51.27),
взятый по всей плоскости г —0, расходится. Разумеется, интен-
интенсивность реального рассеянного поля не может обращаться
в бесконечность. Расходимость связана лишь с примененным
i 611 РАССЕЯН�Е НЛ МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 439
методом расчета, а именно с использованием первого приближе-
приближения. Расходимость интеграла в (51.27) в этом приближении
влечет за собой появление бесконечностей и в последующих
приближениях, но интенсивность суммарного поля u = 2u""
Рї
должна оставаться конечной.
Указанную расходимость можно устранить, применяя усовер-
усовершенствованные формы теории возмущений, учитывающие зате-
затенения и многократное рассеяние уже в нулевом приближении.
Не вдаваясь в подробности, отметим только, что при учете
затенений и многократного рассеяния (о которых кратко будет
сказано в § 53), в отличие от (51.28), сечение рассеяния ож
обращается в нуль при скользящих углах падения и рассеяния,
т. е. при 80- «л/2 или 0—>-л/2 (когда п'г—>-0 или п$—> ()), а
при умеренных значениях углов 80 и 8 сечение совпадает с (51.28).
Таким образом, расчет интенсивности рассеянного поля по фор-
формуле (51.27) правомерен лишь для площадок конечных размеров.
Переход же к бесконечным пределам требует использования
более точного выражения для <тж(ч).
Рассмотрим угловую зависимость сечения рассеяния а для
мягкой и жесткой границ на примере шероховатой поверхности
с изотропной гауссовой функцией корреляции неровностей
которой отвечает спектральная плотность
Если положить n, = (sineo, 0," —cos 0o), n^ — (sin 8 cos ф,
sinSsincp, cos8), то по формулам (51.18) и (51.28) находим
о„ ^ cos*-8, cos5 8 \
ож\ (1— sineosin9cos<p)a J
^ ^-(sin!804-sin28—2 sin 00 sin 8 cos ф)
При малых fe/j (мелкомасштабные неровности) угловая зави-
зависимость определяется предэкспоненциальными множителями; при
этом рассеяние происходит в широкий сектор углов с раствором
порядка 90°. Зависимость сечений я„ и о. от угла 8 (при фикси-
фиксированных значениях угла падения 8„ и азимутального угла <f)
показана на рис. 73, а и 73, б. Пунктиром на рис. 73, б по-
:азан истинный ход индикатрисы <тж (0) с учетом многократного
'ассеяния.
440
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[ГЛ IX
При ft/;^>l форма диаграммы рассеяния определяется в основ-
основном экспоненциальным множителем, одинаковым для а„ и аж.
Максимальное значение а приходится в этом случае на направ-
направление зеркального отражения 6 = 60, tp = O, а убывание интен-
Р РёСЃ. 73.
сивности в е раз происходит при угловом отклонении от
максимума примерно на A0~I/Wt (рис. 74).
Нетрудно подсчитать, что при Wj^>1 и для углов падения,
не слишком близких к скользящему (cos0o;j> \/Щ), отношение
полной интенсивности поля, рас-
рассеянного единичной площадкой,
2СЏ СЏ/Рі
<С‚(РІ)
MtВ»l
к полной интенсивности падающе-
падающего на эту площадку излучения
/0 = | ^4 |* cos90 приближенно равно
Отсюда видно, что с ростом высоты
неровностей 0г условие /п<^ /„, поз-
позволяющее ограничиться первым
приближением теории возмуще-
возмущений, рано или поздно нарушается.
На практике чаще приходится встречаться не с рассмотрен-
рассмотренной постановкой задачи о рассеянии на шероховатых поверх-
поверхностях (плоская первичная волна, в среднем плоская рассеи-
рассеивающая площадка), а со случаем, когда облучение большой
(практически бесконечной) шероховатой поверхности произво-
производится волновым пучком—коллимированным или расходящимся.
�менно так обстоит дело в радиолокации и гидролокации, а
также в лабораторных экспериментах по рассеянию света. Путем
незначительного видоизменения расчетов нетрудно обобщить вы-
5 ЯП РАССЕЯН�Е НА МАЛЫХ НЕРОВНОСТЯХ 441
ражшие (51.19) и на этот случай, учитывая также и возможное
искривление подстилающей поверхности.
Пусть на шероховатую поверхность падает квазиплоская
волна U = Aeil"1, амплитуда которой А и локальный волновой
вектор k( = ftV(p практически постоянны в масштабе радиуса
корреляции неровностей /;. Пусть уравнение поверхности задано
в параметрической форме:
Рі (Р°. Р )~7(Р°. Р ) + Р•(Р°. P)N,(o, p), (51.30)
где г=7(а, Р)—уравнение невозмущенной (подстилающей) по-
поверхности 20, a ?.(°i p)N0(a, р")—случайные смещения по нор-
нормали к 2С (рис. 75). Если радиус кривизны подстилающей
поверхности велик по срав-
сравнению с длиной волны X и
с радиусом корреляции /;,
то малый элемент поверх-
поверхности dS, на который
падает квазкплоская волна
Ae""f, рассеивает так же,
как и элемент плоской
поверхности, касательной
к 20. Обозначим через п;
градиент эйконала падаю»-
щей волны в точке рассея- '
ния Р, лежащей на 20 Рис. 75.
(n, = k,/fe = Vq>), а через
пг—единичный вектор в направлении от Р на точку наблю-
наблюдения Q (рис. 75). Если под п^ и п[ понимать компоненты
векторов п,- и ns> касательные к 2„, а под 7?, — расстояние
между Р и Q, то средняя интенсивность рассеянного поля за-
запишется в виде
(51.31)
где сечение a(q±) определяется спектром неровностей F^ в ок-
окрестности точки рассеяния Р. Пределы интегрирования опре-
определяются размерами либо рассеивающей площадки, либо облу-
облучаемой области, т. е. области, где амплитуда первичной волны
заметно отличается от нуля. Формула (51.31), как и выражение
(51.19), применима при условии i?,§>KWf- При ft/;§>l это
условие слабее условия Rt^>kll, означающего удаление точки
наблюдения во фраунгоферову зону отдельной неровности. В слу-
случае же W:<^1 формулы (51.19) и" (51.31) справедливы уже при
удалении на расстояния R, ~ X от шероховатой поверхности.
442 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
§ 52. Рассеяние на крупномасштабных неровностях.
Метод Кирхгофа
В акустике, оптике и радиофизике часто интересен случай
не малых, а больших неровностей, когда зеркальное отражение
практически отсутствует. Примером может служить рассеяние
дециметровых и сантиметровых радиоволн на поверхности взвол-
взволнованного моря или отражение звуковых волн от морского дна.
Эта задача была впервые достаточно полно исследованаМ. А.�са-
А.�саковичем [4], который применил для ее решения метод Кирхгофа.
Мы будем следовать в основном оригинальной работе [4], а также
работе [5], где сняты некоторые ограничения, принятые в ряде
предшедствующих публикаций.
Для интересующего нас теперь случая больших неровностей
воспользуемся формулой Грина (9.13). Пусть на поверхность
падает локально плоская скалярная волна
1! = Рђ(Рі)Рµ"<С‡>Рј, (52.1)
которую мы описываем в приближении геометрической оптики.
Это может быть, в частности, плоская или сферическая волна
(направленная или ненаправленная). Мы будем предполагать,
что ни для падающей волны, ни для рассеянной нет затенений
каких-либо элементов поверхности. Очевидно, сколь бы плавной
поверхность ни была, это условие исключает слишком малые
углы скольжения как для падающей волны, так и для направ-
направления наблюдения.
Как известно, при падении плоской волны U (г) на плоскую
границу раздела отраженное поле и (г) и его нормальная про-
производная du/dN связаны на этой границе с U и dU/dN точными
соотношениями
u(r) = 5U/(r), |^ = _5i|^-, (52.2)
где Я—коэффициент отражения, зависящий от угла падения.
В соответствии с принципом Кирхгофа мы принимаем, что гра-
граничные условия (52.2) приближенно справедливы для локально
плоской волны (52.1), падающей на локально плоскую по-
поверхность 2, т. е. на поверхность с плавными неровностями.
Разумеется, под Я следует понимать в этом случае локальный
коэффициент отражения.
Подставляя (52.2) в формулу Грина (9.11), для вторичного
(рассеянного) поля цвтор = и (г) получаем
]Р»' <52-3)
где R — \г—г'|—расстояние от точки наблюдения г = (р, г)
до точки г' = (р', г'), лежащей на неровной поверхности г'=
§52 РАССЕЯН�Е НЛ КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 443
= ?(р')- Преобразуем это выражение к виду, удобному для ста-
статистического усреднения. Для простоты рассмотрим случай,
когда подстилающей поверхностью является плоскость г'—?, — 0.
Прежде всего, перейдем в (52.3) к интегрированию по под-
подстилающей плоскости г'=0: если a—\/V\ + (Vj.?)* ¦ то d2 —
= dZt/a = dip'/a. Вводя нормальный к поверхности 2 вектор
N, = N/a с компонентами (—V.?. 1), имеем
(52.4)
(оператор дифференцирования т' действует на координаты точки
Рі' = (СЂ', Рі')).
Далее, пусть точка наблюдения г удалена от 2 на расстоя-
расстояние, которое превышает и длину волны Я, и высоту неровностей:
fe*j>l, z^xjj. Тогда можно дифференцировать в (52.4) только
быстро осциллирующую экспоненциальную функцию e'*<*f»>, пре-
пренебрегая производными от медленных функций А (г) и l;R:
| ^ (52.5)
РіРґРµ
q=-*V'(В«-i?) = t1n,-n() (52.6)
— вектор рассеяния. Величина n, =V'<p представляет собой нор-
нормаль к фазовому фронту падающей волны, а единичный вектор
указывает направление из точки г' на точку наблюдения г.
Учитывая, что для пологих неровностей V±t,<^l и рассеяние
на таких неровностях происходит в направлениях, близких
к направлению зеркального отражения (в этом направлении
п^ = п^ и q._ — 0), заменим скалярное произведение (N,q) =
=—(4iYi?)-| Яг просто на qz. В результате имеем
(52.7)
Все величины под интегралом относятся к точке неровной
поверхности г' = {р', ц(р')}. Чтобы выделить в явном виде за-
зависимость от возмущения ?(р'), разложим подынтегральные
функции в ряды Тейлора по С, причем в медленных функциях Я,
444
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
ГГЛ. IX
qz, А и \/R ограничимся нулевым приближением, а в показа-
показателе экспоненты учтем еще и линейный по ?(р') член:
(52.8)
Локальный коэффициент отражения 5J|j=0 отвечает здесь на-
направлению зеркального отражения, в котором пх=пх, qj. = O,
и является уже детерминированной величиной. Для френелев-
ских коэффициентов отражения, меняющихся (если исключить
случай полного отраже-
отражения) в функции угла паде-
падения медленно, это при-
приближение вполне оправ-
оправдано, поскольку в дан-
данном направлении as рас-
рассеивают только такие
участки поверхности S
(дающие «блики»), которые
наклонены под одним и
тем же определенным уг-
углом (рис. 76).
Пренебрегая линейны-
линейными членами в медленных
амплитудных функциях и квадратичными—в показателе экспо-
экспоненты, мы совершаем относительную ошибку, не превышающую
ka\lD, где D—либо радиус кривизны фазового фронта падающей
волны, т. е., по существу, расстояние до источника, либо рас-
расстояние до точки наблюдения R. Требуя, чтобы выполнялось нера-
неравенство
^-<U (52.9)
означающее, что источник и точка наблюдения должны нахо-
находиться в зоне Фраунгофера по отношению к масштабу неров-
неровностей а;, после подстановки (52.8) в (52.7) находим
:В«+<f)-^:d2p'i (52.10)
где значения величин qz. A, R, ф, Ш взяты на плоскости г = 0.
Более аккуратный расчет, при котором член (qiVxJ) в фор-
формуле (52.5) не отбрасывается, а преобразуется путем интегри-
интегрирования по частям [4|, приводит к выражению
Р РёСЃ. 76.
5 52] РАССЕЯН�Е НА КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 445
которое отличается от (52.10) заменой qz на q*!qz. В выражениях
(52.10) и (52.11) все величины являются функциями точки г'=
— {р', Of подстилающей плоскости г = 0, а не точки г' —{р',
&р')\ неровной поверхности 2, как в (52.7).
Наличие возмущения ?(р') в показателе экспоненты придает
некоторое сходство рассматриваемой задаче с задачей о про-
прохождении волны через фазовый экрип [б], но следует помнить,
что при рассеянии на шероховатости случайный набег фазы —</г?
зависит (через qz) от 'направлений первичной и отраженной
волн.
Переходя к статистической части задачи, мы сразу обратимся
к случаю не малых qzt,. Нелинейная зависимость поля а от t,
означает, что для нахождения моментов и (г) необходимо знать
уже не моменты случайного поля ?(р') того же порядка, а его
функции, распределения.
Согласно (52.11) среднее значение и равно
Величина
где и»!; (?)—плотность вероятностей отклонений, представляет со-
собой характеристическую функцию поля ?(р). Если это поле одно-
однородно, то /it(<7z) зависит от р' лишь неявно—через локальное
значение z-компоненты вектора рассеяния"?,, (р'). Таким образом,
'e'- (5212)
Поскольку и определяется характеристической функцией ?,
формула (52.12) легко распространяется на случай, когда не-
неровность поверхности представляет суперпозицию независимых воз-
возмущений ? = 2?v- Функция fii(qz) равна тогда произведению
v
соответствующих характеристических функций.
Применив для вычисления (52.12) метод стационарной фазы
(5], можно показать, что
(52.13)
где нижний индекс «с» означает, что Slviq^ берутся в стационар-
стационарной точке рс, отвечающей зеркальному лучу, приходящему в точку
наблюдения г (рис. 77). Через и"»(г) обозначено значение ин-
интеграла (52.11) при ? — 0, т. е. поле волны, отраженной от под-
подстилающей плоскости г = 0 по законам геометрической оптики.
446
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[ГЛ. IX
Например, для плоской звуковой волны (52.11), падающей на
абсолютно мягкую поверхность (для нее Э1 =—1), и<0) дается
выражением (52.12), а для сферической первичной волны это поле
зеркального (относительно
плоскости г — 0) точечного
источника.
�з (52.13) видно, что не-
неровной поверхности Можно
приписать эффективный
коэффициент отражения для
: среднего поля
- (52.14)
Для идеально отражающей
поверхности, очевидно,
Рис. 77. В случае малых неровно-
неровностей (^о;<^1) приближенно
/ijsw I +iqzt, — 1, поскольку ?—0. Это означает, что в первом
приближении по ? неровности не влияют на среднее ноле. С ро-
ростом q^ среднее поле быстро убывает, так как /i;(<?z) умень-
уменьшается.
Найдем теперь среднюю интенсивность флуктуационного поля
/, = <|"|2> = <|В«|1>-|Рї|В«. (52.15)
Согласно (52.11)
(52.16)
X <ехр
где одним и двумя штрихами отмечены величины, относящиеся
к точкам (»' и р" подстилающей плоскости г = 0. Выражение
= />t(7В« q'u Р '. P") (52.17)
— это двумерная характеристическая функция поля 5, зависящая
от р' и р" как от параметров.
Пользуясь формулами (52.12) и (52.16), для интенсивности
рассеянной волны находим
ql; p'
- (52.18)
52 РАССР.ЯН�К НЛ КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 447
4ерез 5s здесь обозначена разность двумерной характеристической
функции (52.17) и произведения одномерных характеристических
функций:
S%*. U (•'. р")-/*(?. -<?/. Р'. P")-fh№Uto"z)- (52-19)
Эта разность обращается в нуль при большом (по сравнению с ра-
радиусом корреляции неровностей /j) разнесении точек р' и р", по-
поскольку при |р' — р"|^>'; значения ?(р') и ?(р") становятся
некоррелированными, а двумерная характеристическая функция
/2? распадается на произведение одномерных характеристических
функций. Ниже мы убедимся на одном из примеров, что область,
где 5s заметно отличается от нуля, в действительности даже меньше,
чем круг |р' — р" |sg/t.
Воспользуемся указанным свойством функции 5> для прибли-
приближенного вычисления интеграла (52.18). Перейдем отр' и р" к пере-
менным? = р' — р'и т| = (р' + р")/2. Разностьk(R' +<p') — k{R" + <p")
в показателе экспоненты разложим в ряд Тейлора по %, сохранив
в нем только линейный член:
*(В«^')-fc(tf' + T")t=.В«*(V.LВ« + Vj.<p)!=-q1S. (52.20)
В предэкспоненциальном же множителе положим % — 0 (т. е.
р' = р" = 1|) и, кроме того, заменим, q'z и q\ в аргументах 5s зна-
значением щг в «центре тяжести» т1=(рЧ-р")/2, т. е. положим q't»
В«^В«^(Р§). РўРѕРіРґР°
где R1 = V z' + (p—Я)11 5s (1> л) — ^ (<?* (i) ¦ 9Лл)! Pi р")-
Распространив, далее, пределы интегрирования по % в (52.18)
до бесконечности, получаем формулу некогерентного рассеяния
(сложения ннтепсивностей)
Р›= <\^r-В°d''y\< (52.21)
в которой величина
имеет смысл сечения рассеяния единичной площадки.
Область применимости выражения (52.21) определяется теми
приближениями, которые были сделаны при его выводе. Наиболее
жестким оказывается условие
(52.23)
448 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 1ГЛ. 1Г
при выполнении которого можно отбросить кубичный член в раз-
разложении (52.20) (квадратичный член и вообще слагаемые четных
степеней в этом разложении отсутствуют). Здесь R—расстояние
от точки ц на плоскости z=0 до точки наблюдения или до источ-
источника, alp—характерный масштаб изменения 5* по переменной ?.
В случае малых неровностей, когда
(52.24)
характерный масштаб 1р совпадает, очевидно, с радиусом корреля-
корреляции неровностей /;. В противоположном предельном случае qzo{^> 1
масштаб 1р по порядку величины равен /;/?гС;. В этом можно
убедиться, скажем, на примере двумерного нормального распре-
распределения
exp /-C"ty'-2$EtC4 • (52.25)
для которого
5В» (I, Р») = e-''oc[e*'В°t*i;(В» - РЇ (52.26)
Оценка 1р ~ 1%1йх°1 выводится отсюда так же, как и аналогичная
оценка la~ /j/crs в случае фазового экрана (см. § 10), причем роль
фазового набега as = V <Sa> в данном случае играет «фазовая
высота» неровностей q,oz [6J.
В обоих предельных случаях qza^<^.\ и qza^^>\ величина
VW?P значительно меньше, чем расстояние Ы\, начиная с которого
точка наблюдения находится в фраунгоферовой зоне отдельной
неровности. Таким образом, формула некогерентного рассеяния
(52.21) становится справедливой еще до удаления точки наблю-
наблюдения и источника во фраунгоферову зону отдельной неров-
неровности [5].
Сечение рассеяния о существенно при расчете энергетических
характеристик поля как при рассеянии на площадке конечных
размеров, так и в случае неограниченной неровной поверхности.
Вычислить интеграл (52.22) точно удается лишь в немногих слу-
случаях, обычно он оценивается приближенно. Рассмотрим некоторые
частные случаи.
1. В случае малых неровностей (<?zoj<^1), когда, в соот-
соответствии с (52.24), ff1 л> Й^с©. сечение а выражается через
трансформанту Фурье корреляционной функции ^t(l), т.е.
521 РАССЕЯН�Е НА КРУПНОМАСШТАБНЫХ НЕРОВНОСТЯХ 449
пропорционально спектральной плотности (51.15):
iВ»JL. (52.27)
Для абсолютно жесткой и абсолютно мягкой поверхностей (|о*| = 1)
это выражение эквивалентно результатам теории возмущений (см.
задачу 1), поскольку в направлениях, близких к направлению
зеркального отражения, q я; \qz\ = 2k\п'г\.
2. При вычислении интеграла (52.22) в противоположном слу-
случае неровностей, больших по сравнению с длиной звуковой волны
(ЧгаЪ^>'). можно использовать то обстоятельство, что основной
вклад в (52.22) вносит область малых g, а второе слагаемое в вы-
выражении (52.19) при <7,Oj^>1 пренебрежимо мало по сравнению
с первым, и, следовательно,
*№. Ч);»/*(7.. -?,. Р'. р") = <«-'•»«'-">. (52.28)
Вычислим в качестве примера сечение рассеяния а для не-
неровностей, распределенных по нормальному закону (52.25) и изо-
изотропных в плоскости г — 0. �зотропность поля ? означает, что
коэффициент корреляции зависит только от модуля вектора ?:
./(; = /(;(!). Разлагая К^ в формуле (52.26) в ряд Тейлора и пре-
пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в квадратных
скобках, получаем для 3s приближенное выражение
(52.29)
Подстановка (52.29) в (52.22) дает после интегрирования
еХР \ 5 б
°~ д* Snoll-КЦО)] еХР \ — ~2^|5| [— Л? (б)Г
Этой формулой можно пользоваться в случае неровностей, об-
обладающих единственным пространственным масштабом (радиусом
корреляции) /f~[—АГ;(О)]~ъ'а. Если же коэффициент корреляции
убывает не монотонно, а имеет осциллирующий характер (как,
например, в случае морского волнения), то, наряду с окрестностью
точки | = 0, надо учитывать вклад и других точек, в которых 9>
имеет локальные максимумьЦпример такого расчета приведен в[4]).
3. Для высоких неровностей {qzaz^> 1), обладающих единствен-
единственным радиусом корреляции, сечение рассеяния можно рассчитать
и без предположения о нормальном распределении [7, 8]. Полагая,
как и ранее, что основной вклад в интеграл (52.22) вносит окрест-
окрестность точки % = 0, разложим разность ?' — ?" в формуле (52.28)
в ряд Тейлора по | = р' — р":
450
РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
где вектор v es v i? характеризует случайные наклоны неровной
поверхности. Но <ехр (iav)> = /v(a) -это характеристическая
функция v, связанная с функцией распределения наклонов ffi>«(v)
преобразованием Фурье:
/v(a)= ^ exp(iav)wv(v)d"v,
так что обратное преобразование дает
—tav)d»a.
(52.32)
Если ввести в (52.31) новую переменную интегрирования а—•
== <?Д, то, в соответствии с (52.32), сечение а можно выразить
через aiv(qi/<7z):
exp (- iq La
(52.33)
Таким образом, сечение а пропорционально вероятности такого
наклона, при котором происходит зеркальное отражение. Сечение
максимально при qx = 0> поскольку a\.(v) имеет максимум при
v = Vxe — 0 (наиболее вероятная
ориентация элементов неровной
поверхности—параллельная плос-
плоскости г = 0), а увеличение qx
приводит к уменьшению о, в со-
соответствии с тем, что большие
наклоны менее вероятны.
Если неровности распределе-
распределены по нормальному закону и изо-
изотропны в плоскости г = 0, то фор-
формула (52.33), как легко убе-
убедиться, переходит в (52.30). От-
Отметим еще, что формулы (52.30)
и (52.33) соответствуют вычислению сечения рассеяния (52.22)
в приближении геометрической оптики. Это ясно уже из того,
что обе формулы не содержат длины волны, поскольку отношения
4j./<7i и qjq, не зависят от к.
Рі Р·
Р РЅСЃ. 78.
J 53) ДОПОЛН�ТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАН�Я- ДРУГ�Е ПОДХОДЫ 451
4.. Для изотропного поля ?, распределенного по нормальному
закону с гауссовым коэффициентом корреляции /С{ (р)=е~р'/2'?,
в работе [9] было получено точное выражение для сечения а
в направлении зеркального отражения (qj,—0):
(52.34)
Здесь С = 0,577 — постоянная Эйлера, a Ei (z)— интегральная экс-
экспонента (о3 при ч±фО выражается в виде бесконечного ряда).
График нормированного сечения 8жт3/| Я. \'qUi B зависимости от
qzo^ показан на рис. 78. Сначала ет, растет, как ог{, в соответствии
с первым приближением метода малых возмущений. При qza^ « 1
сечение достигает максимума, а при больших qza^ убывает по за-
закону I/eg. Разумеется, полное (проинтегрированное повеем углам)
сечение рассеяния продолжает расти при qzo^—> <», но при этом
происходит пространственное перераспределение рассеянного из-
излучения, сопровождающееся уширением индикатрисы рассеяния
и Уменьшением <г3.
§ 53. Дополнительные замечания. Другие подходы
В большинстве работ по рассеянию на -шероховатых поверх-
поверхностях используются, как уже было сказано, метод возмущений
и метод Кирхгофа. Приведем некоторые результаты, полученные
этими методами, и укажем также па другие подходы к проблеме,
основываясь в первую очередь на монографин [1], в которой
подробно освещены затрагиваемые здесь вопросы, а также на
РѕР±Р·РѕСЂРµ [2].
1. Рассеяние электромагнитных волн отличается от
скалярного случая только учетом поляризации. Для первичной
волны, заданной в приближении геометрической оптики, вывод
динамических соотношении в принципе не отличается от ска-
скалярной задачи, но выкладки становятся более громоздкими, по-
поскольку вместо (9.13) следует пользоваться векторным вариантом
формулы Грина. Креме того, при расчетах по методу Кирхгофа
необходимо учитывать различие локальных френелевских коэф-
коэффициентов отражения для двух ортогональных поляризаций поля
падающей волны.
Наиболее простые формулы получаются при рассеянии на иде-
идеально проводящей поверхнести. В частности, выражение для элект-
электрического вектора рассеянней волны при применении метода Кирх-
Кирхгофа можно получить из формулы (52.11), положив в ней а = 1 и
заменив скаляр q' вектором е„<72 — 2q (eoq), где е„ — единичный
вектор поляризации первичной волны. С этой заменой можно
452 РАССЕЯН�Е НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 1ГЛ. IX
вывести затем формулы для средних значений напряженностей
и для билинейных характеристик рассеянного электромагнитного
поля (средней интенсивности, среднего вектора Пойнтинга, эле-
элементов поляризационной матрицы). На расстояниях R^>]fklpOT
неровной поверхности для билинейных характеристик оказыва-
оказываются справедливыми формулы некогерентного рассеяния типа
(52.21), разумеется, с заменой интенсивности /0 = |Л|г более слож-
сложным выражением, зависящим от е0. Существенно, однако, что в
подынтегральные выражения для билинейных величин будет
входить сечение (52.22), вычисленное при скалярной постановке
задачи, так что результаты скалярной теории можно непосредст-
непосредственно использовать и в теории рассеяния электромагнитных волн.
Например, дисперсия /,=»<]Е|2> поля электромагнитной волны,
рассеянной на неровной поверхности, определяется форму-
формулой (52.21), если понимать под ст величину о = уоск, где аск
дается выражением (52.22),
а у = 1—|qeo|V<7*—поляри-
1—|qeo|V<7*—поляризационный множитель.
2. Учет затенений в
методе Кирхгофа. Мы
уже указывали на то, что
Рис. 79. с увеличением высоты не-
неровностей и с уменьшением
угла скольжения рано или поздно начинается затенение от-
отдельных элементов поверхности: часть шероховатой поверх-
поверхности оказывается неосвещенной (рис. 79), а часть освещен-
освещенных участков не будет видна из точки наблюдения. Нетрудно
оценить диапазон углов скольжения if>, в котором еще можно не
учитывать эффект затенения: очевидно, если 1^—размер неров-
неровностей, a <tj—их среднеквадратичная высота, то затенениями мож-
можно пренебречь при условии t)j^>ct;//;.
Вследствие затенений отдельных элементов поверхности проис-
происходит уменьшение сечения рассеяния о по сравнению со значением,
даваемым выражением (52.22). Величина фактора ослабления
определяется отношением площади освещенной части поверхности
к полной поверхности, причем освещенные участки можно выде-
выделить, исходя из простых геометрических соображений: на осве-
освещенных участках падающий луч пересекает неровную поверх-
поверхность один раз, тогда как затененным участкам отвечает трех-,
пяти- и т. д. кратное пересечение. Таким образом, дело сводится
к нахождению вероятности того, что луч пересечет заданную
случайную поверхность только один раз. Несмотря на простоту
постановки задачи, ее решение оказывается довольно сложным.
Результаты исследований этого вопроса (и ряда других аспектов
проблемы) суммированы в книге [1].
$53] ДОПОЛН�ТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАН�Я. ДРУГ�Е ПОДХОДЫ 453
3. Рассеяние при наложении мелкомасштабных
и крупномасштабных неровностей (комбинирован-
(комбинированный подход). Реальные поверхности часто содержат как мелкие
(W;<^1), так и крупные (Wc^> 1) неровности. Такие поверхности
можно рассматрваать как крупномасштабные образования, на
которые наложена мелкая рябь («шероховатый рельеф»). В то
время как у крупных неровностей диаграмма рассеяния срав-
сравнительно узкая, мелкие неровности рассеивают практически во
вес стороны и их влияние в направлении зеркального луча
пренебрежимо мало. Но под малыми углами скольжения рас-
рассеяние обусловлено именно мелкомасштабной компонентой. Она
же определяет форму спектра рассеянного поля в направлениях,
не совпадающих с зеркально отраженным лучом. Эти и некоторые
другие соображения позволяют качественно объяснить ряд экспе-
экспериментальных данных, в частности, особенности рассеяния на
взволнованной морской поверхности..Однако теоретический ана-
анализ рассеяния волн на поверхности типа «шероховатый рельеф»
наталкивается на определенные трудности: исследование здесь
не может быть проведено ни методом возмущений (поскольку
высота крупных неровностей не мала), ни методом Кирхгофа
(поскольку имеется мелкомасштабная компонента).
Б. Ф. Курьянов [10] предложил комбинированный метод рас-
расчета, в котором в качестве пулевого приближения взято кирхго-
фово решение типа (52.11), отвечающее плавным крупномасштаб-
крупномасштабным неровностям, а влияние мелкой ряби учтено и первом порядке
теории возмущений, причем оба>--типа неровностей считаются
статистически независимыми. Этт метод был развит в дальнейшем
в работах 111, 12]. Несколько иной подход применен в [13, 14],
где использована формула сложения интенсивностей полей, рас-
рассеянных мелкомасштабными неровностями.
Возможности комбинированного подхода ограничены двумя
условиями: во-первых, результаты расчета не должны зависеть
от способа разбиения отклонения t,{x) на независимые части
ц (х) 'и т](х), и, во-вторых, должны выполняться условия при-
применимости метода возмущений для расчета рассеяния на мелко-
мелкомасштабной компоненте. Оказывается, что эти требования удов-
удовлетворяются не для всех видов волнения [1].
4. Учет многократного рассеяния. Как в методе
Кирхгофа, так и в методе малых возмущений (если ограничи-
ограничиваться первым приближением) рассматриваются только однократно
рассеянные (или однократно отраженные) поля. Это допустимо,
пока неровности достаточно пологи и сравнительно невысоки.
С ростом высоты неровностей aj и (или) с увеличением кх наклона
О; Д; необходимо учитывать многократное рассеяние волн.
Учет многократного рассеяния удобно осуществить на основе
интегрального уравнения для функции Грина [1]. Если линеа-
454 РАССЕЯН�Е НЛ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [ГЛ. IX
ризовать интегральное уравнение по возмущению ?, то из него
можно вывести уравнение Дайсона для средней функции Грина
<G> и уравнение Бете—Солпитера для функции когерент-
когерентности <С(г„ г0) <?• (г2, г„)>. Оба уравнения можно далее решить
приближенно, первое—в приближении Бурре, а второе—в лест-
лестничном приближении. Как и в случае объемного рассеяния, эти
способы решения указанных уравнений эквивалентны приближен-
приближенному (частичному) суммированию бесконечного ряда теории воз-
возмущений.
Описанный подход оказался весьма эффективным при решении
ряда задач, в частности при рассмотрении волноводов с шерохо-
шероховатыми стенками. Здесь удается вычислить коэффициенты зату-
затухания нормальных волн, коэффициенты трансформации из одной
моды в другую и вывести уравнение переноса излучения в вол-
волноводе, учитывающее взаимную трансформацию волн [1J. Кроме
того, при учете многократного рассеяния можно обосновать
и уточнить так называехше «нелокальные» граничные условия
для среднего поля, которые были ранее выведены иным спо-
СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРј [1J.
5. Крутые неровности. Несмотря на значительные успехи
теории рассеяния волн на плавных шероховатых поверхностях,
трудной задачей остается случай рассеяния на плавных, но кру-
крутых неровностях, к которому нельзя подойти при помощи су-
существующих приближенных методов. Вполне естественны поэто-
поэтому попытки модельного описания подобных неровностей—либо
в виде хаотически разбросанных по плоскости полусфер, полуци-
полуцилиндров и т. д. (типичная модель такого рода описана, например,
в [15]), либо и виде плоских площадок со случайным распределе-
распределением наклонов. Вторая модель широко используется, в частности,
в оптических расчетах отражения света как при помощи метода гео-
геометрической оптики [16, 17], так и с поправками на дифракцию,
которая учитывается введением индикатрис рассеяния элементар-
элементарных площадок [18].
Модельному описанию присуши, по крайней мере, два недо-
недостатка. Во-первых, область применимости результатов, получен-
полученных при помощи конкретных моделей, сильно ограничена. Во-
вторых, погрешности результатов, возникающие из-за упрощающих
предположений при расчетах, с трудом поддаются оценке. Тем
не менее к модельному описанию крутых неровностей прибегают
довольно часто — просто в силу отсутствия более общих методов.
Более того, иногда прибегают к моделированию не формы по-
поверхности, а самого закона рассеяния, т. е. функции а (8, <р).
Наиболее известной моделью такого рода является закон Лам-
Ламберта, согласно которому о (6) —const- cosU. Этот простой закон,
однако, принадлежит к числу наименее обоснованных —как •
теоретической, так и с экспериментальной точек зрени;.
ЗАДАЧ� 455
Задачи
1. Показать, что в случае крупномасштабных неровностей (W.^>1) сечения
рассеяния, вычисленные по методу возмущений для абсолютно мягкой и абсо-
абсолютно жесткой поверхностей, практически одинаковы.
Решение. Пр|ГЫ?>1 спектр ^(Ч^) заметно отличается от нуля
только в узком интервале I q± | ^ 1//^, т. е. в окрестности направления зер-
зеркального отражения, для которого qj ^Л(п^.—ir,) = 0. В этом интервале
"i. я nJL' н поэтомУ множители (п1гп'г)% и (51.18) и (I—n^n^)1 в (51.28)
приближенно совладают и равны (n'z)4 — соэ400. В результате
РѕР¶ В« РѕРё Р° В«< (СЏ-)' F, (qx) = 4 (* cos РІ,)* F. (qВ±).
2. Оценить поперечный радиус корреляции поля, рассеянного на поверх-
поверхности с мелкомасштабными неровностями (kU<^l), в двух случаях: 1) точка
наблюдения удалена от неровной поверхности на расстояние fij, большее
диаметра освещенной площадки, и 2) диаметр освещенной площадки L опре-
определяется шириной диаграммы направленности облучателя у — X/d (d — попереч-
поперечник антенны).
Решение. В первом случае, в соответствии с теоремой Ван Циттерта —
Церникс, поперечный радиус корреляции Ix определяется величиной угла
АО — L/R,, под которым видна рассеивающая площадка с расстояния Ry:
l±~\/A0~XR,/L. В частности, если Д6— 1, то /j. ~ X.
Во втором случае L ~ yR0 — XR^Id, где Р„—расстояние мсж*у облучате-
облучателей и центром освещенного пятна па поверхности. Поперечный радиус корре-
корреляции на расстоянии fii от центра освещенного пятна равен поэтому /^ —
~XRl/I~dR1/^o- При рассеянии назад, когда Л, ~ /?„, радиус корреляции
совпадает с диаметром антенны, /х ~d, хак и в случае рассеяния на объем-
объемных нсоднородностях (см. задачу 3 к гл. IV},
3. Оценить поперечный (по отношению кэеркальному лучу) радиус кор-
корреляции рассеянного поля в случае крупномасштабных неровностей поверх-
поверхности.
Решение. Оценки радиуса корреляции проще Rcero получить, исполь-
используя результаты, найденные для фазового экрана |6|. Пели плоская волна
падает нормально на бесконечную поверхность с радиусом корреляции не-
неровностей 1^1 я среднеквадратичным отклонением о>, то отраженная волна
оказывается промодулированной по фазе с дисперсией o| = (2*Oj)2. В соот-
соответствии с п. 2 в § 10 имеем при этвм 1а я /j при 2*с?<^1 (малые неров-
ровностн) и /„ si /j/2*0j при 2?о> 5>> I (высокие неровности).
Если шероховатая поверхность облучается не плоской волной, то при-
приведенные оценки справедливы только на малых расстояниях от плоскости z-0.
На больших же расстояниях 1и будет увеличиваться (или уменьшаться) в соот-
соответствии с изменением сечения лучевых трубок, отвечающих зерхально отра-
отраженным (от плоскости г-=0) лучам. Например, если на шероховатую поверх-
поверхность падает сферическая волна, то
'"Р–' "Р 
где R\— расстояние от точки зеркального отражения до точки наблюдения,
а /?« — от точки зеркального отражения до источника.
Л�ТЕРАТУРА
К главе I
1. Татарский В. �. Распространение поли r турбулентной атмосфере.---М.:
Наука, 1967.
2. Монин А. С, Я&юм А. М. Статистическая гидромеханика. ч.1. — М.: Наука,
1965, С‡. II, 1967.
3. Колмогоров А. Н. Кривые н гильбертовом пространстве, инвариантные по
отношению к однопаранетрической группе движении.—ДАН СССР, 1940,
С‚. 26, СЃ. 6.
4. Колмогоров А. Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые
в гильбертовом пространстве.—ДЛ� СССР, 1940, т. 26, с. 115.
5. Кляцкин В. �. Статистическое описание динамических систем с флуктуи-
флуктуирующими параметрами.—М.: Наука, 1975.
6. Furulsu Рљ- On Statistical Theory of Electromagnetic Waves in a Fluctua-
Fluctuating Medium. —J. Res. NBS, 1963, v. 67, p. 303.
7. Новиков Е. А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбу-
турбулентности.— ЖЭТФ. 1964, т. 47, с. 1919.
8. Donsker M. D. On Function Space Integrals.— Proc. of a Conference on the
Theory and Applications of Analysis in Function Space—Cambridge. Л1. I. T.
Press, 1904, p. 17—30.
9. Виноградов А. Г., Коавцов Ю. А., Фейзулин 3. �. Флуктуации сигнала
от источника, движущегося в многомасштабной случайно-неоднородной
среде.—Радиотехника и электроника, 1974, т. 19, с. 1758.
К главе II
1. Ахманов С. А., Чиркан А. С. Статистические явления в нелинейной оп-
оптике.—М.: �зд. МГУ, 1971.
2. Ахманов С. А. Взаимодействие случайных волн в нелинейных средах.—
�зв. вузев: Радиофизика, 1974, т. 17, с. 541.
3. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы.—М.: Атоииздат, 1971.
4. Кадомцев В. Б., Канторович В. М. Теория турбулентности в гидродина-
гидродинамике и плазме. — �зв. вузов: Радиофизика, 1974, т. 17, с. 511.
5. Филлипс О. М. Динамика верхнего слоя океана. — М.: Мир, 1969.
6. Мандель //., Вольф Э. Когерентные свойства оптических полей. — УФН,
1965, С‚. 87, СЃ. 491, С‡. I; С‚. 88, СЃ. 347, С‡. II; С‚. 88, СЃ. 619, С‡. III.
7. Глаубер Р. Дж. Оптическая когерентность и статистика фотонов.—
В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика—М.: Мир, 1966, с. 91.
8. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики.—М.: Мир, 1970.
9. Перина Я- Когерентность света. —М.: Мир, 1974.
10. Лоудон Р. Квантовая теория света. — М.: Мир, 1976.
11. Рыжов Ю. А. Тепловое излучение в хаотически неоднородной прозрачной
среде. —ЖЭТФ, 1970, т. 5В, с. 218.
Л�ТЕРАТУРА 457
12. Kpaoqee Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �. Статистические проблемы
в теории дифракции.—УФН, 1975. т. 115, с. 239.
13. Нейл Э. О. Введение в статистическую оптику.—М.: Мир, 196G.
14. Строук Дж. Введение в когерентную оптику к голографию.— М.: Мир,
1РЈ67.
15. Шестов II. С. Выделение оптических сигналов на фене случайных по-
помех.—М.: Сов. радио, 1967.
16. Зверев В. А., Орлов Е. Ф. Оптические анализаторы. — М: Сов. радио, 1971.
17. Ван-дер-Люгт А. Когерентная оптическая обработка информации. —
Т��ЭР, 1974, т. 62, с. 5.
18. Клоеский Д. Д., Сойфер В. А. Обработка пространстненно-временных
сигналоп.—М.: Связь, 1970.
19. Передача информации по канала», содержащим статистически неодно-
неоднородные среды./Под ред. В. �. Сифорова, А. В. Просина.—М.: Наука, 1970.
20. Бакут П. А., Устинов �. Д., Троицкий �. Н., Свиридов К. Н. Методы
обработки световых полей при наблюдении объектов через турбулентную
среду: обзор.—Зарубежная радиоэлектроника, 1976, вып. 7, с. 15, ч. I,
вып. 0, с. 3, ч. II; 1977, вып. 1, с. 3, ч. III; вып. 3, с. 55, ч. IV.
21. Кори .VI., Вольф Э. Основы оптики,—М.: Наука, 1970.
22. Bcran M. J., Parrent С. В. Theory of Partial Coherence. —N. Y., 1964.
23. Денисок Н. Г. О дифракции волн на хаотическом экране.—�зв. вузов:
Радиофизика, 1961, т. 4, с. 630.
24. Booker II. G., Ratcliffe J. A , Schiun D. II. Diffraction from an Irregular
Screen with Application to Ionospheric Problems. — Phil. Trans. Roy. Soc,
1950, v. A 242, p. 579.
25. Hmish A. The Diffraction of Radio Waves in Passing through a Phase-
Changing Ionosphere. — Proc. Roy. Soc, 1951, v. A 209, p. 81.
26. Fejcr J. A. The Diffraction of Waves Passing through an Irregular Ref-
Refracting Medium.—Proc. Roy. Soc, 1953, v. A 220, p. 455.
27. Барабаненкоо 10. П., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �.
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде.—
УФН, 1970, т. 102, с. 3.
28. Ерухимм v7. /�., Максимеико О. �. �сследования нсоднородностей ионо-
ионосферы при помощи 11С.З.—В сб.: Дрейфы и неоднородности в ионосфере. -
М.: Наука, 197,4, с. 41.
29. Briggs li. Н., Ionospheric Irregularities and Radio Scinti! lations. — Contemp.
Phys., 1975, v. 16, p. 469.
30. Дьяков Ю. Е. Некоторые статистические характеристики огибающей и
фазы нестационарного гауссового процесса.—Радиотехника и злектро-
РЅРёРєР°, 1963, С‚. 8, СЃ. 1812. '
31. Всехсвятская �. С. Статистические характеристики сигналов, отражен-
отраженных от ионосферы.—М.: Наука, 1975.
32. Альбер Я. �., Ерухииов Л. /�., Рыжов В. А., Урядов В. П. О статисти-
статистических свойствах флуктуации интенсивности волны за хаотическим экра-
экраном.—�яв. вузов: Радиофизика, 1968, т. 11, с 1371.
33. Satpeler Р•. РЃ. Interplanetary Scintillations -Astrophys. J., Ifi(i7, v. 147,
p. 433.
34. Шишоа В. �. Дифракция воли на сильно преломляющем фазовом эк-
экране.—�зв. вузов: Радиофизика, 1971, т. 14, с. 85.
35. Якушкин �. Г. Флуктуации интенсивности поля плоской волны за хао-
хаотическим фазовым экраном. —�зв. вузов: Радиофизика, 1974, т. 17,
СЃ. 1350.
36. Франсон М., С.юнский С. Когерентность в оптике. — М.: Наука, 1967.
37. Зверев li. А. Раднооптика. М.: Сов. радио, 1975.
38. Шифрин Я- С. Вопроси статистической теории антенн.—М.: Сов. радио,
1970.
458 Л�ТЕРАТУРА
39. Курьянов Б. Ф. Пространственная корреляция полей, излученных слу-
случайными источниками на плоскости. — Лкустич. ж., 1964, т. 9, с. 441.
40. Долин Л. С. О лучевом описании слабо неоднородных волновых полей. —
�зв. вузов: Радиофизика, 1964, т. 7, с. 559.
41. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии.—М.: �Л, 1953.
42. Железняков В. В. Радиоизлучение Солнца и планет. — М.: Наука, 1964.
43. Горелик Г. С. Колебания и волны.—2-е изд.—М.: Физматгиз, 1959.
44. Кравцов К). А., Татарский В. �. Статистические явления при дифрак-
дифракции волн.: Лекции на IV Всес. школе по дифракции и распространению
волн. — Рязань: �зд. Рязанского радиотехнического института, 1976.
45. Руденко О. В., Содуян С. �. Теоретические основы нелинейной акус-
акустики.—М.: Наука, 1975.
К главе III
1. Рытое С. М. Теория электрических флуктуации и теплового излучения.—
М.: �зд. АН СССР, 1953.
2. Вайншпгсйн Л. А. Электромагнитные волны.—М.: Сов. радио, 1957.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.:
Гостехиэдат, 1957.
4. Рытое С. М. О тепловых флуктуациял в распределенных системах. —
ДАН СССР, 1956, т. ПО, с. 371.
5. Рытое С. М. Корреляционная теория тепловых флуктуации в изотроп-
изотропной среде, —ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 166.
6. Левин М. Л., Рытое С. М. Теория равновесных тепловых флуктуации
в электродинамике.—М.: Наука, 1967.
7. Лифшиц Е. М. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми
телами, —ЖЭТФ, 1955, т. 29, с. 94.
8. Силин В. Я., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмо-
подобных тел. — М.: Госатомиздат, 1961.
9. Гринберг Г. А. �збранные вопросы математической теории электрических
и магнитных явлений.—М.: �зд. АН СССР, 1948.
10. Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн над земной поверхностью. —
М.: �зд. АН СССР, 1961.
11. Дзялошинский �. Е., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Ван-дер-Вааль-
совы силы в жидких пленках.—ЖЭТФ, 1959, т. 37, с. 229; Общая тео-
теория Ван-дер-Ваальсовых сил, —УФН, 1961, т. 73, с. 381.
12. Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский �. Е. Методы квантовой
теории поля в статистической физике.—М.: Физматгиз, 1962.
13. Леонтович М. А. Обобщение формул Крамерса — Кронига на среды с про-
пространственной дисперсией. —ЖЭТФ, 1961, т. 40, с. 907.
14. Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме. — В сб.: Вопросы
теории плазмы.—М.: Госатомиздат, 1963, вып. 3.
15. Левин М. Л., Рытое С. М. «Кирхгофовская» форма флуктуационно-
диссипативной теоремы для распределенных систем.—ЖЭТФ, 1973, т. 65,
СЃ. 1382.
16. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. —
2-е изд.—М.: Наука, 1967.
К главе IV
1. Татарский В. �. Распространение ноли в турбулентной атмосфере.—
М.: Наука, 1967.
2. Барабаненков Ю. Я., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �.
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде. —
УФН, 1970, т. 102, с. 3.
Л�ТЕРАТУРА 459
3. ГореПк Г. С. К теории рассеяния радиоволн на блуждающих неодно-
родностях. — Радиотехника и электроника, 1956, т. 1, с 695.
4. Горелик Г. С. О влиянии корреляции рассеиьатслей на статистические
свойства рассеянного излучения. — Радиотехника и электроника, 1957,
С‚. 2, СЃ. 1227.
5. Родак М. �., Францсссон А. В. О применении теории турбулентности
к рассеянию радиоволн на блуждающих неоднородностях. — Радиотех-
Радиотехника и электроника, 1959, т. 4, с. 398.
6. Родак М. �. О рассеянии немонохроматического излучения па блуждаю-
блуждающих неоднородностях.—Радиотехника и электроника, 1960, т. 5, с. 1370.
7. Денисов Н. Г. Дифракция электромагнитных волн в гиротрошюм слое,
содержащем статистические неоднородности. —�зв. вузов: Радиофизика,
1960, С‚. 3, СЃ. 393.
8. Рытое С. М. Корреляционная теория рассеяния света.—ЖЭТФ, 1957,
С‚. 33, СЃ. 514, 679.
9i Вихренко В. С. Теория деполяризованного молекулярного рассеяния
света. — УФН. 1974, т. 113, с. 627.
10. Некогерентцое рассеяние радиоволн: Сб. переводных статей./Под ред.
В. А. Рудакова.—М.: Мир, 1965.
11. Ахисзер А. �., Axuejep �. А., Половин Р. В. и др. Коллективные коле-
колебании в плазме.—-М.: Атомиэдат, 1964.
12. Ван-дер-Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. —М.: �Л, 1961.
13. Ворн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.
14. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. —
2-е изд. —М.: Наука, 1967.
15. Денисов Н. Г. О рассеянии волн в условиях полного отражения. — �зв.
вузов: Радиофизика, 1961, т. 7, с. 378.
16. Горышник Л. Л., Кравцов Ю. А. Корреляционная теория рассеяния радио-
радиоволи в полярной ионосфере.--Геомагнетизм н аэрономия, 19Г>9, т. 9, с. 38.
17. Мигдал А. Б., Крайнев В. П. Приближенные методы квантовой меха-
механики.— М.: Наука, 1966.
К главе V
1. Красильникое В. А. О распространении звука в турбулентной атмосфере.—
ДАН СССР, 1945, т. 47, с. 486.
2. Bergman P. G. Propagation of Radiation in a Medium with Random Inho-
mogeneilies.— Phys. Rev., 1946, v. 70, p. 486.
3. Татарский В. �. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М.:
Наука, 1967.
4. Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными неоднородно-
стями,—М.: Наука, 1975.
5. Барабанчиков Ю. Я., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �.
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде.—
УФН, 1970, т. 102, с. 3.
6. Рытое С. М. О переходе к геометрическому приближению в электроди-
электродинамике сплошных сред. —ДАН СССР, 1938," т. 18, с. 283.
7. Кравцов Ю. А. Сильные флуктуации амплитуды световой волны и веро-
вероятность образования каустик,—ЖЭТФ, 1908, т. 55, с. 798.
8. Кравцов Ю. А. О двух новых асимптотических методах в теории распро-
распространения волн в неоднородных средах.— Лкустнч. ж., 1968, т. 14, с. 1.
9. Кляцкин В. �., Татарский В. �. О диффузии лучей в среде со случай-
случайными неоднородностями,— �зв. вузов: Радиофизика, 1971, т. 14, с. 706.
10. Кляцкин В �. Статистическое описание динамических систем с флукту-
флуктуирующими параметрами.— М.: Наука, 1975.
11. Денисов �. Г. Рассеяние волн в плоскослоистой среде.— �зв. вузов: Ра-
диофи!ика, 1958, т. 1, с. 34.
460 Л�ТЕРАТУРА
12. Голынский С. Л!., Гусев В. Д. Статистика лучей в неоднородной изотроп-
изотропной среде.— Радиотехника и электроника, 197(1, т. 21, с. СЗО.
13. Голынский С. М., Гусев В. Д. Траектории лучен в рефрагирующей рас-
рассеивающей среде,— Радиотехника и =лектрони*а, 11-76. т. 21, г. 1303.
14. Денисоа 11. Г., Ерухимов Л. /�. Статистические свойства флуктуации
фазы при полном отражении волн от ионосферного слоя.—Геомагнетизм
и аэрономия, I960, т. 6, с. 695.
15. Виноградов А. Г., Кравцов Ю. А., Татарский В. �. Эффект усиления
обратного рассеяния ка телах, помещенных в среду со случайными неод-
породностями. - �зв. вузов: Радиофизика, 1973, т. 16, с. 1064.
К главе VI
1. Фейнберг !•'¦ Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности.—
М.: �зд. Л� СССР, 1961.
2. Осташев В. Я., Татарский В. �. Ряд по кратности обратного рассеяния
в задачах о распространении волн в неоднородных средах.— �зв. вузов:
Радиофизика, 1978, т. 21, с. 714.
3. Рытое С. М- Дифракция света на ультразвуковых волнах.— �зв.
АН СССР: Сер. физ.. 1937, вып. 2, с. 223.
4. Обухов А. М. О влиянии слабых неоднородное гей атмосферы на распро-
распространение звуки и света. — �зв. АН СССР: Сер. геофиз., 1053, вып. 2,
СЃ. 155.
5. Горелик Г. С. Килебаинн и волны. 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1959.
6. Татарский �. �. Теория флуктуационкых явлений при распространении
волн в турбулентной атмосфере.— М.: �зд. ЛН СССР, 1959.
7. �брагимов �. Л., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные
величины.— М.: Наука, 1%5.
8. Гурвич.А. С, Кон А. П., Миронов В. Л., Хмелевиов С. С. Лазерное из-
излучение в турбулентной атмосфере.— М.: Наука, 1976.
9. Татарский В. �. Второе приближение в задаче о распространении волн
в среде со случайными неоднородностями.— �зв. вузов: Радиофизика,
1962, С‚. 5, СЃ. 490.
10. Писарева В. II. О границах применимости метода плавных возмущений в
задаче о распространении излучения через среду с пеоднородностями.—
Акустич. ж., 1960, т. 6, с. 87.
11. Татарский В. �. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М.:
Наука, 19(57.
К главе VII
1. Кляцнин В. �., Татарский В. �. К статистической теории распростра-
распространения волн в случайных слоистых средах.— �зв. вузов: Радиофизика,
1977, С‚. 20, СЃ. 1040.
2. Кляцкин В. �. О пределах применимости приближения марковского слу-
случайного процесса в задачах, связанных с распространением света в-среде
со случайными неоднородкостями показателя преломления.— ЖЭТФ, 1969,
С‚. 57; СЃ. 952.
3. Татарский В. �. Распространение коротких волн г, среде со случайными
неоднородпостями в приближении марковского случайного процесса: Пре-
Препринт ООФАГ, 1970.
4. Долин Л. С. О рассеянии световою пучка в слое мутной среды.— �зв.
вузов: Радиофизика, 19G4, т. 7, с. 380.
5. Вгеттсг //., Random Volume Scattering,- J. Res. NBS, 1964, v. fi8, p. C67.
6. Кляцкин В. �., Татарский В. �. К теории распространения световых
пучков в среде со случайными неоднородностями.— �зо. вузов: Радиофи-
Радиофизика, 1970, т. 13, с. 1061.
Л�ТЕРАТУРА 461
7. Долин Л. С. Уравнения для корреляционных функций волнового пучка в
хаотически неоднородной среде.— �зв. вузов: Радиофизика, 1968, т. 11,
СЃ. 840.
8. Дагкесманская �. М., Шишов В. �. Сильные флуктуации интенсивности
при распространении волн в статистически однородных и изогропных
средах.—�зв. вузов: Радиофизика, 1970, т. 13, с. 16.
РЈ. Rrgsm W. P., Fourth Moment of a Wave Propagating in a Random Me-
Medium.—J. Opt. Soc. Am., 1972, v. 62, p. 966.
10. Едепов Б, С, Михайлов Г. А. Методы Монте-Карло для оценки корре-
корреляционной функции сильных флуктуации света в турбулентной среде.—
Р–Р’Рњ Рё РњР¤, 1976, С‚. 16, СЃ. 1264.
11. Гуреич А. С, Елепов Б. С, Покосов В. В., Сабельфелд К- К., Татар-
Татарский В. �. Пространственная структура сильных флуктуации интенсив-
интенсивности света в турбулентной среде.— �зв. вузов: Радиофизика, 1979, т. 22,
вып. 2.
12. Гуреич А. С, Кон А. �., Миронов В. Л., Хмелюцрв С. С. Лазерное
излучение в турбулентной атмосфере.- М.: Наука, 1976.
13. Oochetashvily Рљ- S., Shishov V. I., Multiple Scattering of Light in a Tur-
Turbulent Medium,—Opt. Acta, 1971, v. 18, p. 767.
14. Гочелашвили К- С, Шишов В. �. Насыщенные флуктуации интенсивности
лазерного излучения о турбулентной среде.— ЖЭТФ, 1974, т. ОС, с. 1237.
15. Якушкин �. Г. Асимптотическое вычисление флуктуации интенсивности
поля в турбулентной среде при больших длинах трассы.—�зв. вузов:
Радиофизика, 1075, т. 18, с. 1660.
16. Заворотный В. У., Кляцкин В. �., Татарский В. �. Сильные флукту-
флуктуации интенсивности электромагнитных волн в случайно-неоднородных
средах.—ЖЭТФ, 15,77, т. 73, с. 481. :
17. кляцкин В. �., Татарский. В. �. О приближении^ параболического урав-
уравнения в задачах распространения волн в среде со случайными пеоднород-
ностями.—ЖЭТФ, HI70, т. 58, с. 024.
18. Фрадкин Е. С. Метод функции Грина в теории квантовых полей в кван-
квантовой статистике.—Труды Ф�АН, 1965, т. 29. с. 7.
19. Fradkin E. S. Application of Functional Methods in a Quantum Weld
Theory and Quantum Statistics. II.—Nucl. Phys., 1966, v. 76, p, 588.
20. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.—
Рњ.: РњРёСЂ, 1968.
21. Кляцкин В. �., Татарский В. �. Новый метод последовательных при-
приближений в задаче о распространении волн в случайных средах.— �зв.
вузов: Радиофизика, 1!)71, т. 14, с. 1400.
22. Татарский В. �. Распространение света в среде со случайными неодно-
родностями показателя преломления в приближении марковского случай-
случайного процесса.—ЖЭТФ, 1Г6У, т. 56, с. 2106.
23. Гуреич А. С, Каллистратжа М. А., Марте ль Ф. Э. �сследование
сильных флуктуации интенсивности света в турбулентной среде при малом
волновом параметре.— �зв. вузов: Радиофизика, 1977, т. 20, с. 1020.
К главе VIII
1. Барабаненков Ю. Н. Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и
теория переноса излучения.— УФН, 1У75, т. 117. с. 49.
2. Татарский В. �. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М.:
Наука, 1967, гл. 5.
3. Алексеев В. Н., Комиссаров В. М. Флуктуации звукового поля в случайно-
неоднородной среде,— Труды Акустического института, 1Г68, вып. 4, с. 27.
4. НалСамдян О. Г., Татарский В. �. Сопоставление диаграммных и ана-
аналитических методов приближенною решения линейных стохастических
уравнений.—�зв. вузов: Радиофизика, 1977, т. 20, с. 549.
462 Л�ТЕРАТУРА
5. Апресян Л. А. Методы статистической теории возмущений.— �зв. вузов:
Радиофизика, 1ЭТ4, т. 17, с. 165.
6. Татарский В. �. Некоторые методы решения стохастических AafetepeH-
циальных уравнений— �зв. вузов: Радиофизика, 1974, т. 17, с. 570.
7. Барабаненков Ю. Н., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. �:
Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде.—
УФН, IS70. т. 102, с. 3.
8. Рыжов Ю. А., Тамойкин В. В. �злучение н распространение электро-
электромагнитных волн в хаотически неоднородных средах.— �зв. вузов: Радяр:
физика, 1970,-т. 13, с. 356.
9. Барабаненков Ю. �., Финкельберг В. М, Оптическая геореыа в теории
многократного рассеяния волн.—�зв. вузов: Радиофизика, 1С6в, т. 11,
СЃ. 719.
10. Барабаненков Ю. Н., Виноградов А. Г., Кравцов Ю. А., Татарский В. �.
Применение теории многократного рассеяния волн к выводу уравнения
переноса излучения для статистически неоднородной среды.— �зв. вузов:
Радиофизика, 1972, т. 15, с. \'с52.
11. Апресян Л. А. Уравнение переноса излучения с учетом продольных волн.-—
�зв. вузов: Радиофизика, 1973, т. 10, с. 461.
12. Барабаненков 10. П., О волновых поправках к уравнению переноса для
направления рассеяния «назад».— �зв. вузов: Радиофизика, 1973, т. 16,
СЃ. 88.
13. Виноградов А. Г., Кравцов Ю. А., Татарский В. �. Эффект усиления
обратного рассеяния на телах, помещенных в среду со случайными неод-
нородностями—�зв вузов: Радиофизика, 1973, т. 16, с. 19К4.
14. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии.— М.: �Л, 1953.
15. Овчинников Г. �., Татарский В. �. К вопросу о соотношении теории
когерентности и уравнения переноса излучения.— �зв. вузов: Радиофи-
Радиофизика, 1972, т. 15, с. 1419.
16. Апресян Л. А. О применении уравнения переноса излучения для описания
свободного электромагнитного поля—�зв. вузов: Радиофизика, 1975,
С‚. 18, СЃ. 1870.
17. Басе Ф. Г., Фукс �. М. Рассеяние волн на статистически неровной
поверхности.— М.: Наука, 1972.
18. Кляцкин В. �., Татарский В. �. Приближение диффузионного случай-
случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах фи-
физики.-УФН, 1973, т. ПО, с. 499.
19. Кляцкин В. �. Статистическое описание динамических систем с флуктуи-
флуктуирующими параметрами.— М.: Наука, 1975.
20. Финкельберг В. М. Распространение волн в случайной вреде. Метод кор-
корреляционных групп.— ЖЭТФ, 1967, т. 53, с. 401.
21. Барабаненков Ю. Н., Финкельберг В. М. Уравнение переноса излучения
для коррелированных рассеивателей.— ЖЭТФ, 1967, т. 53, с. 978.
22. Ромнбсрг Г. В. Вектор-параметр Стокса (матричные методы учета поля-
поляризации излучения а приближении лучевой оптики).— УФН, 1955, т. 56,
СЃ. 77.
23. КравцовЮ. А., Рытое С. М-, Татарский В. �. Статистические проблемы
в теории дифракции.—УФН, 1975, т. 115, с 239.
К г л аве IX
1. Басе Ф. /'., Фукс �. М. Рассеяние волн на статистически неровной
поверхности— М.: Наука, 1972.
2. Шмелев А. Б. Рассеяние волн статистически неровными поверхностями.—
УФН, 1972, т. 106, с. 459.
3. Мандельштам Л. �. Полное собрание трудов.—�зд. АН СССР, 1948,
С‚. 1, СЃ. 246.
Л�ТЕРАТУРА 463
4. �сакович М. А. Рассеяние волн от статистически шероховатой поверх-
поверхности.— ЖЭТФ, 1952, т. 23, с. 305. Труды Акустического института,
1969, вып. 5, с. 152—251.
5.. Кравцов Ю. А., Фукс �. М., Шмелев А. Б. Последовательное применение
метода Кирхгофа к задаче о рассеянии звуковой волны на поверхности
со случайными неровностями.— �зв. вузов: Радиофизика, 1971, т. 14,
СЃ. 854.
6. Тамойкин В. В., Фрайман А. А. О статистических свойствах поля, рас-
рассеянного шероховатой поверхностью.— �зв. вузов: Радиофизика, 1968,
С‚. 11, СЃ. 56.
7. Чаевский Е. В. Энергетические характеристики поля, рассеянного шеро-
шероховатой площадкой.— �зв. вузов: Радиофизика, 1965, т. 8, с. 1128.
8. Barrick D. E. Relationship between Slope Probability Density Function
and the Physical Optic Integral in Rough Surface Scattering.—Proc. IEEE,
1968, v. 56, p. 1728.
9. Чаевский E. В. Рассеяние волн площадкой с нормальным распределением
. случайных отклонений.— �зв. вузов: Радиофизика, 1966, т. 9, с. 400.
10. Курьянов Б. Ф. Рассеяние звука на шероховатой поверхности с двумя
типами неровностей.— Акустич. ж., 1962, т. 8, с. 325.
11. Калмыков А. �., Островский �. Е., Розенберг Л. Д., Фукс �. М. О вли-
влиянии структуры морской поверхности на пространственные характеристики
рассеянного ею радиоизлучения.— �зв. вузов: Радиофизика, 1965, т. 8,
СЃ. 1117.
12. Фукс �. М. К теории рассеяния волн взволнованной поверхностью моря.—
�зв. вузов: Радиофизика, 1966, т. 9, с. 876.
13. Семенов Б. �. Приближенный расчет рассеяния электромагнитных волн
поверхностью типа шероховатого рельефа.— Радиотехника и электроника,
1966, С‚. 11, СЃ. 1351.
14. Семенов Б. �. Расчет рассеяния электромагнитных волн поверхностью
типа шероховатого рельефа для произвольных углов наблюдения.— Радио-
Радиотехника и электроника, 1970, т. 15, с. 595.
15. Burke J. E., Twersky V. Scattering and Reflection by Elliptically Striated
- Surfaces, —J. Acoust. Soc. Am., 1966, v. 40, p. 883.
16. Rense V. A. Polarisation Studies of Light Diffusely Reflected from Ground
and Etched Glass Surfaces.—J. Opt. Soc. Am., 1950, v. 40, p. 55.
17. Гершун А. А., Попов О. �. К вопросу о рассеянии света матовыми стек-
стеклами.— Светотехника, 1955, вып. 1, с. 3.
18. Полянский В. К-, Рвачев В. П. Рассеяние света при отражении от ста-
статистически распределенных микроплощадок. Дифракционное рассмотре-
рассмотрение.—Опт. и спектр., 1967, т. 22, с. 279.