"Анатолий Сухотин. Парадоксы науки (Серия "Эврика")." - читать интересную книгу автора

остаток, который ведет себя точно так же, как его более крупные
предшественники, и т. д.
Это не поддающееся измерению отношение диагонали и _стороны квадрата
было представлено выражением V2 (корень квадратный). Оно имеет следующее
происхождение.
Если квадрат разрезать по диагонали, получим два прямоугольных
равнобедренных треугольника, где линия бывшей диагонали будет гипотенузой,
а стороны квадрата - катетами. Согласно знаменитой теореме Пифагора
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, точнее, площадь
квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,
построенных на катетах. Отсюда и величина отношения гипотенузы к катету
(или диагонали к стороне квадрата), равная V2 (корень квадратный).
Позднее нашли, что также несоизмеримы отношения длины окружности к
диаметру (оно выражается числом я), площади круга и квадрата, построенного
на радиусе, и другие величины.
Кризис был преодолен введением новых чисел, которые не являются ни
целыми, ни дробными. Они могут быть представлены в виде бесконечных
непериодических дробей. К примеру, корень из 2 равен 1,41.., п = 3,14... и
т. д. Людям, знавшим только рациональные числа, вновь введенные казались
несуразными, противоестественными. Это отразилось и в их названии:
"иррациональные", что значит "бессмысленные", лежащие по ту сторону
разумного.
Дело в том, что если целые числа и дроби имели ясное физическое
толкование, то для иррациональных чисел ею не находилось. Был только один
способ придать им реальный смысл: сопоставить с ними длины определенных
отрезков. Греки так и поступили. Они отказались от понимания
иррациональных чисел в качестве именно чисел, а истолковали их как длины,
то есть перевели на язык геометрии.
Здесь важно подчеркнуть, что введение новых чисел оказало сильнейшее
влияние на последующее развитие математики.
Очередная катастрофа произошла несколько веков спустя и особенно
терзала математику в XVII-XVIII столетиях. В этот раз дело касалось
истолкования бесконечно малых величин. Мы видели, что бесконечность
участвовала и в первом кризисе. Там она отразилась в способе представления
иррациональных чисел. Она будет участвовать и в третьем кризисе. И вообще,
полагают некоторые, если резюмировать сущность математики в немногих
словах, то можно сказать, что она - наука о бесконечном. Так, крупнейший
немецкий ученый XX века Д. Гильберт, имея в виду математику, писал:
"Ни одна проблема не волновала гак глубоко человеческую душу, как
проблема бесконечного, ни одна идея не оказала сголь сильного и
плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного". Но вместе с тем,
заключает он, "ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие
бесконечного". Однако вернемся к кризисам.
Бесконечно малые - это переменные величины, стремящиеся к тлю, точнее,
как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис
возник в силу расплывчатою понимания бесконечно малого.
В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях
отбрасывалось, в других же - принималось как значение, отличное от нуля, о
чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к
бесконечно матым объясняется гем, что их рассматривали в качестве