"Анатолий Сухотин. Парадоксы науки (Серия "Эврика")." - читать интересную книгу автора

постоянных величин. В силу этого бесконечное понималось как нечто
завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.
Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно
построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши.
Это парадоксальное состояние (полагать бесконечно малые нулями и в то же
время неравными нулю) О. Коши разрешает введением качественно новых,
неслыханных ранее величин. Он берет их из области возможного, а не
действительного. Бесконечно малые - это величины, которые существуют лишь
как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не
достигающие. То есть они всегда остаются в возможности, в потенции, так
что не реализуется ни одна из указанных альтернатив. Величины не застывают
в каких-либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются,
приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.
Интересные величины!
Последний кризис (последний по времени, но, надо полагать, не по счету)
имел место на рубеже XIX-XX веков и был столь мощным, что затронул не
только саму математику, но и логику, поскольку эти науки тесно связаны и
язык, поскольку дело касалось способов точного выражения содержания наших
мыслен.
К концу XIX века в качестве фундамента всего здания классической
математики прочно утвердилась теория множеств, развитая выдающимся
немецким ученым Г.Кантором. Понятие "множество" или "класс",
"совокупность" - простейшее в математике. Оно не определяется, а
поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих
данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т. д Далее
вводится понятие "принадлежать", то есть "быть элементом множества". Так,
книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения
множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.
С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность
и законченность. Теперь ее грандиозное здание напоминало несокрушимую
крепость. Оно было прочно заложено и обосновано во всех своих частях.
Недаром же крупнейший французский математик того времени А. Пуанкаре в
послании очередному математическому конгрессу торжественно заявлял, что
отныне все может быть выражено с помощью "целых чисел и конечных и
бесконечных систем целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств".
Увы. скоро, очень скоро обнаружились сначала частные, а позднее
фундаментальные изъяны. Но здесь в разговор вмешивается логика.
Дело в том, что основные понятия теории множеств допускали логическое
описание. Доказательство возможности существования математических объектов
также получало логическое оправдание. Мы не будем вникать в детали.
Отметим лишь следующее. Многие исследователи, учитывая только что
сказанное, задались целью свести математику к логике, то есть выразить
исходные математические понятия и операции логически. Казалось даже, что
эта программа - ее назвали программой логицизма - близка к завершению.
Немецкий логик и математик Г. Фреге уже заканчивал и частью издал
трехтомный труд "Обоснования арифметики", венчающий усилия логицистов, как
вдруг разразилась "арифметическая катастрофа".
В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание Г.
Фреге на противоречивость его исходных позиций. Г. Фреге использовал такие
понятия, что это вело к парадоксу. Попробуем в нем разобраться.