Бурбаки Н.

Архитектура математики*

Математика или математики? ¹

Дать в настоящее время общее представление о математической науке — значит заняться таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала. В соответствии с общей тенденцией в науке с конца XIX в. число математиков и число работ, посвященных математике, значительно возросло. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, охватывают многие тысячи страниц. Не все они имеют, конечно, одинаковую ценность; тем не менее после очистки от неизбежных отбросов оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же касается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение.

Поэтому даже не возникает мысли дать неспециалисту точное представление о том, что даже сами математики не могут постичь во всей полноте. Но можно спросить себя, является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики; не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существуют в настоящее время одна математика или несколько математик?

Хотя в данный момент этот вопрос особенно актуален, ни в коем случае не надо думать, что он нов; его ставили с первых же шагов математической науки. Ведь действительно, если даже не принимать в расчет прикладной математики, между геометрией и арифметикой (по крайней мере, в их элементарных разделах) существует очевидная разница в происхождении, поскольку последняя вначале была наукой о дискретном, а первая — наукой о непрерывной протяженности (два аспекта, которые были коренным образом противопоставлены друг другу после открытия иррациональностей). Именно это открытие оказалось роковым для первой попытки унификации нашей науки — арифметизации пифагорейцев («все вещи суть числа»).

Мы бы зашли слишком далеко, если бы от нас потребовали проследить те превратности судьбы, которым подвергалась унитарная концепция математики от пифагорейцев до наших дней. Кроме того, это — работа, к которой более подготовлен философ, чем математик, так как общей чертой всех попыток объединить в единое целое математические дисциплины — все равно, идет ли речь о Платоне, о Декарте или Лейбнице, об арифметизации или логистике XIX в., — является то, что они делались в связи с какой-либо более или менее претенциозной философской системой, причем исходным пунктом для них всегда служили априорные воззрения на отношения между математикой и двойной действительностью внешнего мира и мира мысли. Самое лучшее, что мы сумеем сделать, — это отослать читателя по этому вопросу к историческому и критическому исследованию Л. Брунсвига «Этапы математической философии» [Brunschvig L., Les etapes de la philosophie mathematique, Paris, Alcana, 1912]. Наша задача более скромна и более точно очерчена; мы намереваемся остаться внутри математики и искать ответ на поставленный вопрос, анализируя ее собственное развитие.

 Логический формализм и аксиоматический метод

После более или менее очевидного банкротства различных систем, на которые мы указывали выше, в начале этого века, казалось, почти полностью отказались от взгляда на математику как на науку, характеризуемую единым предметом и единым методом; скорее наблюдалась тенденция рассматривать ее как «ряд дисциплин, основывающихся на частных, точно определенных понятиях, связанных тысячью нитей» [Л. Брунсвиг, цит. соч., с.447] которые позволяют методам, присущим одной из дисциплин, оплодотворять одну или несколько других. В настоящее время, напротив, мы думаем, что внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости более чем когда-либо упрочила единство ее различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было. Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют «аксиоматическим методом».

Иногда говорят также «формализм» или «формалистический метод»; но необходимо с самого начала остерегаться путаницы, которую вызывают эти недостаточно четко определенные слова и которая и без того часто используется противниками аксиоматического метода. Каждому известно, что внешней отличительной чертой математики является то, что она представляется нам той «длинной цепью рассуждений», о которой говорил Декарт. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, во всем существенном совпадающей с логикой, известной со времен Аристотеля под названием «формальной логики», соответствующим образом приспособленной к специфическим потребностям математики. Таким образом, утверждение, что «дедуктивное рассуждение» является для математики объединяющим началом, — тривиальная истина. Но столь поверхностное замечание не может, конечно, служить объяснением единства различных математических теорий, точно так же, как нельзя, например, объединить в единой науке физику и биологию под предлогом, что и та, и другая используют экспериментальный метод. Способ рассуждения, заключающийся в построении цепочки силлогизмов, является только трансформирующим механизмом, который можно применять независимо от того, каковы посылки, к которым он применяется, и который, следовательно, не может характеризовать природу этих последних. Другими словами, это лишь внешняя форма, которую математик придает своей мысли, орудие, делающее ее способной объединяться с другими мыслями ², и, так сказать, язык, присущий математике, но не более того. Упорядочить словарь этого языка и уточнить его синтаксис — это значит сделать очень полезное дело, эта работа и составляет действительно одну из сторон аксиоматического метода, а именно ту, которую следует назвать логическим формализмом (или, как еще говорят, «логистикой»). Но — и мы настаиваем на этом — это только одна сторона и при том наименее интересная.

То, что аксиоматика ставит перед собой в качестве основной цели — уразумение существа математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам по себе. Точно так же, как экспериментальный метод исходит из априорной уверенности в постоянстве законов природы, аксиоматический метод берет за точку опоры убеждение в том, что если математика не является нанизыванием силлогизмов в направлении, избранном наугад, то она тем более не является более или менее хитрым искусством, состоящим из произвольных сближений, в котором господствует одна техническая ловкость. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной помощи» [Л. Брунсвиг, цит. соч., стр. 446], которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию.

 Понятие «структуры»

Какую форму приобретает этот метод? Именно здесь аксиоматика больше всего сближается с экспериментальным методом. Черпая из картезианского источника, она «разделяет трудности, чтобы лучше их разрешить», В доказательствах какой-либо теории она стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений; затем, беря каждое из соответствующих положений изолированно и возводя его в общий принцип, она выводит из них следствия; наконец, возвращаясь к изученной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные составные элементы и изучает, как они взаимодействуют между собой. Конечно, нет ничего нового в этом классическом сочетании анализа и синтеза; вся оригинальность этого метода заключается в том, как его применяют.

Чтобы проиллюстрировать примером только что описанный метод, мы рассмотрим наиболее старую (и наиболее простую) аксиоматическую теорию — теорию абстрактных групп. Рассмотрим следующие три операции: 1° сложение действительных чисел, при котором сумма двух действительных чисел (положительных, отрицательных и нуля) определена обычным образом; 2° умножение целых чисел по простому модулю р, причем элементами, которые мы рассматриваем, являются числа 1, 2, 3, ..., р - 1, а произведением двух таких чисел является, по определению, остаток от деления на р их произведения в обычном смысле; 3° «композицию» перемещений в евклидовом трехмерном пространстве, причем результатом этой композиции (или произведением) двух перемещений Т и S (взятых в данном порядке) мы будем считать, по определению, перемещение, полученное в результате выполнения сначала перемещения Т, а затем S. В каждой из этих трех теорий двум элементам х и у, взятым в данном порядке, рассматриваемого множества (в первом случае множества всех действительных чисел, во втором — множества чисел 1, 2, 3, ..., р - 1, в третьем — множества всех перемещений) ставится в соответствие (с помощью особой для каждого множества процедуры) третий однозначно определенный элемент того же множества, который мы условимся во всех трех случаях символически обозначать хτу (это будет сумма, если х и у — действительные числа; их произведение по модулю р, если они — натуральные числа ≤ р — 1; результат их композиции, если они являются перемещениями). Если теперь рассмотреть свойства этой «операции» в каждой из трех теорий, то обнаружится замечательный параллелизм; внутри же каждой из этих теорий эти свойства зависят друг от друга, и анализ логических связей между ними приводит к выделению небольшого числа тех свойств, которые являются независимыми (т. е. таких, что ни одно из них не является логическим следствием остальных). Можно, например ³, взять три следующих свойства, которые мы выразим с помощью наших символических обозначений, но которые, конечно, легко перевести на язык каждой из этих теорий:

а) каковы бы ни были элементы х, у, z, имеем (хτy)τz == xτ(уτz) (ассоциативность операции хτу);

b) существует элемент е такой, что для всякого элемента х еτх = хτе = х (для сложения действительных чисел — число 0, для умножения по модулю р — число 1, для композиции перемещений — «тождественное перемещение», которое оставляет на своем месте каждую точку пространства);

с) для каждого элемента х существует элемент х΄, такой, что xτx΄ = x΄τx = е (для сложения действительных чисел — противоположное число -х, для композиции перемещений — обратное перемещение, т. е. такое, которое каждую точку, перемещенную смещением х, возвращает в исходное положение; для умножения по модулю р существование х΄ следует из очень простого арифметического рассуждения ⁴).

Тогда мы устанавливаем, что те свойства, которые при помощи общих обозначений возможно выразить одним и тем же образом в каждой из этих трех теорий, являются следствием трех предыдущих. Например, поставим перед собой цель доказать, что из хτу = хτz следует у = z. Можно было бы это сделать в каждой из этих теорий, используя рассуждения, специфические для данной теории. Но можно избрать следующий образ действий, который применим ко всем трем случаям. Из соотношения хτу = хτz мы выводим равенство х΄τ(хτу) = х΄τ(хτz) (х΄ имеет смысл, определенный выше). Далее, применяя а, получим (х΄τх)τу = (х΄τх)τz. Используя с, запишем это соотношение в виде еτу = еτz, и, наконец, применяя b, получаем у = z, что и требовалось доказать. В этом рассуждении мы полностью абстрагировались от природы элементов х, у, z, т. е. нам незачем было знать, являются ли они действительными числами, натуральными числами  ≤ р — 1 или перемещениями. Единственная посылка, которой мы пользовались, заключалась в том, что операция xτу над элементами х, у удовлетворяет свойствам а, b, с. Для того чтобы избежать скучных повторений, приходят, таким образом, к мысли, что удобно раз и навсегда вывести логические следствия из этих трех единственных свойств. Необходимо, конечно, для удобства речи принять общую терминологию. Говорят, что множество, на котором определена операция хτу, характеризуемая тремя свойствами а, b и с, снабжено структурой группы (или, более коротко, является группой). Условия а, b, с называются аксиомами группы ⁵, и вывести из них их следствия — это значит построить аксиоматическую теорию групп.

Теперь можно объяснить, что надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых ⁶ не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы ⁷ (в случае групп — это отношение хτу = z между тремя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры) ⁸. Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их «природы»).

  Основные типы структур

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть по своей природе весьма разнообразными. То отношение, которое фигурирует в групповых структурах, называют «законом композиции»; это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая структура называется алгебраической структурой (например, структура поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами: сложение и умножение действительных чисел определяют структуру поля на множестве этих чисел).

Другой важный тип представляют собой структуры, определенные отношением порядка; на этот раз это — отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего мы выражаем словами «х меньше или равно у» и которое мы будем обозначать в общем случае хRу. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы: а) для всех х хRх; b) из соотношений хRу, уRх следует х = у, с) из соотношений хRу, уRz следует хRz. Очевидным примером множества, снабженного такой структурой, является множество целых чисел (или множество действительных чисел), причем здесь знак R  заменяется на ≤. Но надо заметить, что мы не включили в число аксиом аксиому, отражающую следующее свойство, которое кажется неотделимым от того понятия порядка, каким мы пользуемся в обыденной жизни: «каковы бы ни были х, у, имеет место или хRу или уRх». Другими словами, не исключается случай, когда два элемента могут оказаться несравнимыми. На первый взгляд это может показаться странным, но легко привести очень важные примеры структур порядка, для которых имеет место именно это обстоятельство. Именно с таким положением вещей мы сталкиваемся, когда X, Y означают подмножества некоторого множества, а ХRY означает «X содержится в Y», или когда х, у являются натуральными числами, а хRу означает «х делит y», или, наконец, когда f(х) и g(x) являются действительными функциями, определенными на интервале a ≤ x ≤ b, а f(х)Rg(х) означает: «каково бы ни было х, f(х) ≤ g(х)». Эти примеры в то же время показывают, сколь велико разнообразие областей, где появляются структуры порядка, и заранее дают представление о том, насколько интересно их изучение.

Мы скажем еще несколько слов о третьем важном типе структур — топологических структурах (или топологиях), в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве.

Для перехода к абстракции, находящей свое выражение в аксиомах такой структуры, требуются усилия, значительно большие тех, которые имели место в предыдущих примерах, и размеры настоящей статьи вынуждают нас отослать читателей, желающих получить более подробные сведения по этому вопросу, к специальной литературе ⁹.

  Стандартизация математических орудий

Мы думаем, что нами сказано достаточно для того, чтобы читатель мог создать себе достаточно ясное представление об аксиоматическом методе. Наиболее бросающейся в глаза его чертой, как это видно из изложенного выше, является реализация значительной экономии мысли. «Структуры» являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы. Таким образом, можно было бы сказать, что аксиоматический метод является не чем иным, как «системой Тейлора» в математике¹⁰.

Но это сравнение — недостаточное. Математик не работает подобно машине; мы должны особенно подчеркнуть, что в рассуждениях математика основную роль играет особая интуиция [интуиция, которая, впрочем, часто ошибается (как и всякая интуиция)], отличная от обыденной чувственной интуиции и заключающаяся скорее в непосредственном угадывании (предшествующем всякому рассуждению) нормального положения вещей, которое, как кажется, он вправе ожидать от математических объектов, ставших в результате его частого оперирования с ними столь же для  него привычными, как и объекты реального мира. Но ведь каждая структура сохраняет в своем языке интуитивные отзвуки той специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ, описанный нами выше. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение. Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществленный в начале XIX в. благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зрения, это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной топологической структуры — структуры евклидовой плоскости — со всеми следующими отсюда возможностями приложений, — открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ.

Такие примеры умножились за последние 50 лет: пространство Гильберта и более общие функциональные пространства, вводящие топологические структуры в множества, элементами которых являются уже не точки, а функции; р-адические числа Гензеля, посредством которых — еще более удивительное обстоятельство! — топология воцарилась в той области, которая до этих пор считалась царством дискретного, разрывного по преимуществу — в множестве целых чисел; мера Хаара, безгранично расширившая область применения понятия интеграла и способствовавшая весьма глубокому анализу свойств непрерывных групп, — таковы решающие моменты в прогрессе математики, т. е. повороты, когда свет гения определял новое направление теории, обнаруживая в ней структуру, которая, как казалось а priori, не играла там никакой роли.

Это говорит о том, что в настоящее время математика менее чем когда-либо сводится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в ее распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом унифицированные аксиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесформенный хаос.

  Обзор в целом

Руководствуясь концепцией аксиоматики, попытаемся представить теперь математический мир в целом. Конечно, мы более не распознаем здесь традиционный порядок, который, подобно первым классификациям видов животных, ограничивался тем, что расставлял рядом друг с другом теории, представляющие наибольшее внешнее сходство. Вместо точно разграниченных разделов алгебры, анализа, теории чисел и геометрии мы увидим, например, теорию простых чисел по соседству с теорией алгебраических кривых или евклидову геометрию рядом с интегральными уравнениями, и упорядочивающим принципом будет концепция иерархии структур, идущей от простого к сложному, от общего к частному.

В центре находятся основные типы структур, из которых мы только что перечислили главнейшие, так сказать, порождающие структуры (les structures-meres). В каждом из этих типов господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия. Именно таким образом теория групп, помимо тех общих положений, которые справедливы для всех групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теорию конечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем хτу = уτх, каковы бы ни были х, у), а также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те, в которых (как при упорядоченности в множестве целых или в множестве действительных чисел) любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядоченными (totalement ordonnee); среди этих последних особо изучают множества, называемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чисел, каждое подмножество имеет «наименьший элемент») .Подобная же градация существует и для топологических структур.

За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно было бы назвать сложными (multiples) и в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещенные друг с другом (что не дало бы ничего нового), а органически скомбинированные при помощи одной или нескольких связывающих их аксиом. Именно такой характер носит топологическая алгебра, изучающая структуры, определяемые одним или несколькими законами композиций и одной топологией, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными функциями (для рассматриваемой топологии) элементов, над которыми они производятся. Не менее важной является алгебраическая топология, которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определенные топологическими свойствами (симплексы, циклы и т. д.), как элементы, над которыми производятся алгебраические операции. Соединение структуры порядка и алгебраической структуры точно так же изобилует результатами, приводя, с одной стороны, к теории делимости идеалов, а с другой стороны — к теории интегрирования и к «спектральной теории» операторов, где точно так же топология играет свою роль.

Наконец, далее начинаются собственно частные теории, в которых элементы рассматриваемых множеств, которые до сего момента в общих структурах были совершенно неопределенными, получают более определенную индивидуальность. Именно таким образом получают теории классической математики: анализ функций действительной и комплексной переменной, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию, теорию чисел. Но они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер.

Чтобы сохранить правильную перспективу, необходимо после этого беглого обзора сейчас же добавить, что он должен рассматриваться как весьма грубое приближение к истинному положению дел в математике. Он является одновременно схематическим, идеализированным и застывшим.

Схематическим — так как в деталях не все идет так гладко и планомерно, как это может представиться после того, что мы рассказали. Между прочим, имеются неожиданные возвращения назад, когда теория, носящая ярко выраженный частный характер, как, например, теория действительных чисел, оказывает помощь, без которой нельзя обойтись при построении какой-либо общей теории, как, например, топологии или теории интегрирования.

Идеализированным — потому что далеко не во всех разделах математики некоторая определенная часть каждой из основных структур распознана и вмещена в четко очерченные границы. В некоторых теориях (например, в теории чисел) существуют многочисленные изолированные результаты, которые до сего времени не умеют ни классифицировать, ни связать удовлетворительным образом с известными структурами.

Наконец — застывшим, так как нет ничего более чуждого аксиоматическому методу, чем статическая концепция науки, и мы не хотели оставить у читателя впечатление, будто бы мы претендовали дать очерк ее окончательного состояния. Структуры не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности вполне возможно, что дальнейшее развитие математики приведет к увеличению числа фундаментальных структур; открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, можно заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали уже известные структуры. С другой стороны, последние ни в коем случае не являются чем-то законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была уже исчерпана.

Введя эти неизбежные поправки, можно лучше понять внутреннюю жизнь математики, понять то, что создает ее единство и вносит в нее разнообразие, понять этот большой город, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие, все более удобные.

Возвращение к прошлому и заключение

Концепция, которую мы только что пытались изложить, возникла не сразу, а лишь в результате более чем полувековой эволюции и была встречена не без сопротивления как со стороны философов, так и со стороны математиков. Многие из этих последних долго не могли согласиться рассматривать аксиоматику как что-либо большее, чем ненужные тонкости логиков, неспособные оплодотворить какую-либо теорию. Эта критика объясняется, без сомнения, исторической случайностью: аксиоматизации, которые появились первыми и которые имели наибольший отклик (аксиоматизации арифметики Дедекинда и Пеано, евклидовой геометрии Гильберта), касались унивалентных теорий, т.е. таких, которые полностью определялись совокупностью своих аксиом, причем система этих аксиом не могла быть применена к какой-либо другой теории, кроме той, из которой она была извлечена (в противоположность тому, что мы видели, например, в теории групп). Если бы это имело место для всех структур, то упрек в бесплодности, выдвинутый по адресу аксиоматического метода, был бы полностью оправдан ¹¹. Но этот метод доказал свою мощь своим развитием, и отвращение к нему, которое еще встречается там и сям, можно объяснить лишь тем, что разум по естественной причине затрудняется допустить мысль, что в конкретной задаче может оказаться плодотворной форма интуиции, отличная от той, которая непосредственно подсказывается данными (и которая возникает в связи с абстракцией более высокого порядка и более трудной.

Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где мы не решаемся всерьез выступать из-за отсутствия компетентности; основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического ¹². То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл) и, быть может, мы их никогда и не узнаем. Во всяком случае сделанное замечание могло бы побудить философов в будущем быть более благоразумными при решении этого вопроса. Перед тем как началось революционное развитие современной физики, было потрачено немало труда из-за желания во что бы то ни стало заставить математику рождаться из экспериментальных истин; но, с одной стороны, квантовая физика показала, что эта «макроскопическая» интуиция действительности скрывает «микроскопические» явления совсем другой природы, причем для их изучения требуются такие разделы математики, которые, наверное, не были изобретены с целью приложений к экспериментальным наукам, а с другой стороны, аксиоматический метод показал, что «истины», из которых хотели сделать средоточие математики, являются лишь весьма частным аспектом общих концепций, которые отнюдь не ограничивают свое применение этим частным случаем. В конце концов, это интимное взаимопроникновение, гармонической необходимостью которого мы только что восхищались, представляется не более чем случайным контактом наук, связи между которыми являются гораздо более скрытыми, чем это казалось а priori.

В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм. Конечно, нельзя отрицать, что большинство этих форм имело при своем возникновении вполне определенное интуитивное содержание; но как раз сознательно лишая их этого содержания, им сумели придать всю их действенность, которая и составляет их силу, и сделали для них возможным приобрести новые интерпретации и полностью выполнить свою роль в обработке данных.

Только имея в виду этот смысл слова «форма», можно говорить о том, что аксиоматический метод является «формализмом». Единство, которое он доставляет математике, это — не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный жизни. Это — питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все великие мыслители-математики, все те, кто, следуя формуле Лежена Дирихле, всегда стремились «идеи заменить вычислениями» ** [ — см. прим. ред. сканирования — С. Катречко].  

Примечания:

  ¹  La Mathematique ou les Mathematiques? (т. е. одна математика или несколько математик?).

  ² Каждый математик, впрочем, знает, что доказательство не является «понятным» в подлинном смысле этого слова, если ограничиться лишь проверкой правильности выводов, которые его составляют, и не пытаться понять отчетливо идеи, которые привели к созданию этой цепочки выводов предпочтительно перед всякой другой.

  ³  Этот выбор не является единственно возможным, и известны различные системы аксиом, «эквивалентных» рассматриваемой, причем аксиомы каждой системы являются логическими следствиями аксиом любой другой системы.

  ⁴  Заметим, что остатки от деления на р чисел 1, x, x²,... хⁿ, ... не могут быть все различными. Приравняв два из них друг другу, легко показать, что степень x^k-l (k > l) от х имеет остаток, равный 1. Если х΄ является остатком от деления x^k-l-1 на р, то произведение хх΄по модулю р равно 1.

  ⁵  Разумеется, этот смысл слова «аксиома» не имеет ничего общего с общепринятым смыслом выражения «очевидная истина».

  ⁶  Мы становимся здесь на «наивную» точку зрения и не касаемся щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой «природы» математичских «объектов». Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих «объектов», мыслимых сначала как идеализированные «абстракции» чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований XIX—XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как «первоначальное» и «неопределимое», было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которые оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических «объектов») в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры. Читатель найдет более подробное развитие этой точки зрения в следующих двух статьях: Dieudonne J., Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathematiques, Revue Scientifique, 78 (1939), 224—232; Сагlаn Н., Sur lе fondement logique des mathematiques, Revue Scientifique, 81 (1943), 3—11.

  ⁷  В действительности это определение структуры не является настолько общим, насколько этого требуют нужды математики. Нужно также охватить и тот случай, когда отношения, определяющие структуру, имеют место не между элементами рассматриваемого множества, а между подмножествами этого множества, и даже, в более общем случае, между элементами множеств еще более высокой «степени» — в так называемой «лестнице типов». Дальнейшие детали читатель найдет в наших Elements de Mathematique, книга 1 (сводка результатов), Actual. Scient. еt Industr., № 846.

  ⁸  В случае групп надо было бы, если соблюдать полную строгость, считать аксиомой, кроме а, b, с, и утверждение о том, что соотношение z = хτу определяет одно и только одно z, когда даны x, у. Обычно считают, что это свойство молчаливо подразумевается самой записью этого отношения.

  ⁹  См., например, наши Elements книга III, введение к главе 1, Actual. Scient. еt Industr., № 858. (Русский перевод: Бурбаки Н. Топологические структуры, М., 1959.)

  ¹⁰  Система Тейлора — капиталистическая система организации труда, предложенная американским инженером Ф.У. Тейлором для получения максимальной прибыли. Одним из элементов этой системы является изучение трудовых процессов путем их разложения на составные элементы.

  ¹¹  Мы были свидетелями также, особенно в то время, когда аксиоматический метод только что начал развиваться, расцвета уродливых структур, полностью лишенных приложений, единственное достоинство которых заключалось в том, что, изучая их, можно было дать точную опенку значимости каждой аксиомы, выясняя, что происходит, когда эту аксиому удаляют или видоизменяют. Очевидно, в тот период можно было поддаться искушению и сделать вывод, что это — единственные результаты, которые следует ожидать от этого метода.

  ¹²  Мы не касаемся здесь возражений, вызванных применением правил формальной логики к рассуждениям в аксиоматических теориях; они связаны с логическими трудностями, на которые наталкивается теория множеств. Заметим только, что эти трудности могут быть преодолены таким образом, что не останется никакой неуверенности или сомнения относительно правильности рассуждений. По поводу этого можно обратиться к статьям Картана и Дьёдонне, которые были цитированы выше.

  ** — в предисловии к русскому переводу работы Н. Бурбаки «Теория множеств» (М., «Мир», 1965) ред. пер. В.А. Успенский (см. сноску на стр. 18) отмечает, что последняя фраза русского перевода статьи Н. Бурбаки «Архитектура математики» содержит опечатку. Напечатано «идеи заменить вычислениями», а следует читать: «вычисление заменить идеями» (в оригинале «substituer les idees au calcul»; см. «Les grands courants de la pensee mathematiques», presentes par F. Le Lionannais, Fontenay-aux-Roses (Seine), Cahiers du Sud, 1948, p. 47). Судя по всему,: при переводе с французского формально возможны оба варианта, поскольку там нет падежей и руководствоваться можно только порядком слов в предложении, т. е. в данном случае более подходяще буквальное «заменить что — чем», или содержательно «подставить идеи на место счета» (консультация М.В. Лебедева). В пользу этого — буквального перевода — говорит и косвенное свидетельство Г. Вейля, который в своей статье "Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике" (см. его книгу «Математический способ мышления») приводит именно этот вариант принципа Л. Дирихле (Томсона) (дословный текст русского перевода звучит так: «В речи, посвященной памяти Лежёна Дирихле, Минковский противопоставил принципу минимума, который в немецкой литературе принято связывать с именем Дирихле, но который на самом деле был всесторонне разработан Уильямом Томсоном, другой, подлинный принцип Дирихле: одолевать проблему при минимуме слепых вычислений и максимуме наглядных идей; с этого принципа, говорит Минковский, началось новое время в истории математики» (выделено мной — К. С.).

Бурбаки Н.

Архитектура математики*

Математика или математики? ¹

Дать в настоящее время общее представление о математической науке — значит заняться таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала. В соответствии с общей тенденцией в науке с конца XIX в. число математиков и число работ, посвященных математике, значительно возросло. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, охватывают многие тысячи страниц. Не все они имеют, конечно, одинаковую ценность; тем не менее после очистки от неизбежных отбросов оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же касается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение.

Поэтому даже не возникает мысли дать неспециалисту точное представление о том, что даже сами математики не могут постичь во всей полноте. Но можно спросить себя, является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики; не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существуют в настоящее время одна математика или несколько математик?

Хотя в данный момент этот вопрос особенно актуален, ни в коем случае не надо думать, что он нов; его ставили с первых же шагов математической науки. Ведь действительно, если даже не принимать в расчет прикладной математики, между геометрией и арифметикой (по крайней мере, в их элементарных разделах) существует очевидная разница в происхождении, поскольку последняя вначале была наукой о дискретном, а первая — наукой о непрерывной протяженности (два аспекта, которые были коренным образом противопоставлены друг другу после открытия иррациональностей). Именно это открытие оказалось роковым для первой попытки унификации нашей науки — арифметизации пифагорейцев («все вещи суть числа»).

Мы бы зашли слишком далеко, если бы от нас потребовали проследить те превратности судьбы, которым подвергалась унитарная концепция математики от пифагорейцев до наших дней. Кроме того, это — работа, к которой более подготовлен философ, чем математик, так как общей чертой всех попыток объединить в единое целое математические дисциплины — все равно, идет ли речь о Платоне, о Декарте или Лейбнице, об арифметизации или логистике XIX в., — является то, что они делались в связи с какой-либо более или менее претенциозной философской системой, причем исходным пунктом для них всегда служили априорные воззрения на отношения между математикой и двойной действительностью внешнего мира и мира мысли. Самое лучшее, что мы сумеем сделать, — это отослать читателя по этому вопросу к историческому и критическому исследованию Л. Брунсвига «Этапы математической философии» [Brunschvig L., Les etapes de la philosophie mathematique, Paris, Alcana, 1912]. Наша задача более скромна и более точно очерчена; мы намереваемся остаться внутри математики и искать ответ на поставленный вопрос, анализируя ее собственное развитие.

 Логический формализм и аксиоматический метод

После более или менее очевидного банкротства различных систем, на которые мы указывали выше, в начале этого века, казалось, почти полностью отказались от взгляда на математику как на науку, характеризуемую единым предметом и единым методом; скорее наблюдалась тенденция рассматривать ее как «ряд дисциплин, основывающихся на частных, точно определенных понятиях, связанных тысячью нитей» [Л. Брунсвиг, цит. соч., с.447] которые позволяют методам, присущим одной из дисциплин, оплодотворять одну или несколько других. В настоящее время, напротив, мы думаем, что внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости более чем когда-либо упрочила единство ее различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было. Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют «аксиоматическим методом».

Иногда говорят также «формализм» или «формалистический метод»; но необходимо с самого начала остерегаться путаницы, которую вызывают эти недостаточно четко определенные слова и которая и без того часто используется противниками аксиоматического метода. Каждому известно, что внешней отличительной чертой математики является то, что она представляется нам той «длинной цепью рассуждений», о которой говорил Декарт. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, во всем существенном совпадающей с логикой, известной со времен Аристотеля под названием «формальной логики», соответствующим образом приспособленной к специфическим потребностям математики. Таким образом, утверждение, что «дедуктивное рассуждение» является для математики объединяющим началом, — тривиальная истина. Но столь поверхностное замечание не может, конечно, служить объяснением единства различных математических теорий, точно так же, как нельзя, например, объединить в единой науке физику и биологию под предлогом, что и та, и другая используют экспериментальный метод. Способ рассуждения, заключающийся в построении цепочки силлогизмов, является только трансформирующим механизмом, который можно применять независимо от того, каковы посылки, к которым он применяется, и который, следовательно, не может характеризовать природу этих последних. Другими словами, это лишь внешняя форма, которую математик придает своей мысли, орудие, делающее ее способной объединяться с другими мыслями ², и, так сказать, язык, присущий математике, но не более того. Упорядочить словарь этого языка и уточнить его синтаксис — это значит сделать очень полезное дело, эта работа и составляет действительно одну из сторон аксиоматического метода, а именно ту, которую следует назвать логическим формализмом (или, как еще говорят, «логистикой»). Но — и мы настаиваем на этом — это только одна сторона и при том наименее интересная.

То, что аксиоматика ставит перед собой в качестве основной цели — уразумение существа математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам по себе. Точно так же, как экспериментальный метод исходит из априорной уверенности в постоянстве законов природы, аксиоматический метод берет за точку опоры убеждение в том, что если математика не является нанизыванием силлогизмов в направлении, избранном наугад, то она тем более не является более или менее хитрым искусством, состоящим из произвольных сближений, в котором господствует одна техническая ловкость. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной помощи» [Л. Брунсвиг, цит. соч., стр. 446], которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию.

 Понятие «структуры»

Какую форму приобретает этот метод? Именно здесь аксиоматика больше всего сближается с экспериментальным методом. Черпая из картезианского источника, она «разделяет трудности, чтобы лучше их разрешить», В доказательствах какой-либо теории она стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений; затем, беря каждое из соответствующих положений изолированно и возводя его в общий принцип, она выводит из них следствия; наконец, возвращаясь к изученной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные составные элементы и изучает, как они взаимодействуют между собой. Конечно, нет ничего нового в этом классическом сочетании анализа и синтеза; вся оригинальность этого метода заключается в том, как его применяют.

Чтобы проиллюстрировать примером только что описанный метод, мы рассмотрим наиболее старую (и наиболее простую) аксиоматическую теорию — теорию абстрактных групп. Рассмотрим следующие три операции: 1° сложение действительных чисел, при котором сумма двух действительных чисел (положительных, отрицательных и нуля) определена обычным образом; 2° умножение целых чисел по простому модулю р, причем элементами, которые мы рассматриваем, являются числа 1, 2, 3, ..., р - 1, а произведением двух таких чисел является, по определению, остаток от деления на р их произведения в обычном смысле; 3° «композицию» перемещений в евклидовом трехмерном пространстве, причем результатом этой композиции (или произведением) двух перемещений Т и S (взятых в данном порядке) мы будем считать, по определению, перемещение, полученное в результате выполнения сначала перемещения Т, а затем S. В каждой из этих трех теорий двум элементам х и у, взятым в данном порядке, рассматриваемого множества (в первом случае множества всех действительных чисел, во втором — множества чисел 1, 2, 3, ..., р - 1, в третьем — множества всех перемещений) ставится в соответствие (с помощью особой для каждого множества процедуры) третий однозначно определенный элемент того же множества, который мы условимся во всех трех случаях символически обозначать хτу (это будет сумма, если х и у — действительные числа; их произведение по модулю р, если они — натуральные числа ≤ р — 1; результат их композиции, если они являются перемещениями). Если теперь рассмотреть свойства этой «операции» в каждой из трех теорий, то обнаружится замечательный параллелизм; внутри же каждой из этих теорий эти свойства зависят друг от друга, и анализ логических связей между ними приводит к выделению небольшого числа тех свойств, которые являются независимыми (т. е. таких, что ни одно из них не является логическим следствием остальных). Можно, например ³, взять три следующих свойства, которые мы выразим с помощью наших символических обозначений, но которые, конечно, легко перевести на язык каждой из этих теорий:

а) каковы бы ни были элементы х, у, z, имеем (хτy)τz == xτ(уτz) (ассоциативность операции хτу);

b) существует элемент е такой, что для всякого элемента х еτх = хτе = х (для сложения действительных чисел — число 0, для умножения по модулю р — число 1, для композиции перемещений — «тождественное перемещение», которое оставляет на своем месте каждую точку пространства);

с) для каждого элемента х существует элемент х΄, такой, что xτx΄ = x΄τx = е (для сложения действительных чисел — противоположное число -х, для композиции перемещений — обратное перемещение, т. е. такое, которое каждую точку, перемещенную смещением х, возвращает в исходное положение; для умножения по модулю р существование х΄ следует из очень простого арифметического рассуждения ⁴).

Тогда мы устанавливаем, что те свойства, которые при помощи общих обозначений возможно выразить одним и тем же образом в каждой из этих трех теорий, являются следствием трех предыдущих. Например, поставим перед собой цель доказать, что из хτу = хτz следует у = z. Можно было бы это сделать в каждой из этих теорий, используя рассуждения, специфические для данной теории. Но можно избрать следующий образ действий, который применим ко всем трем случаям. Из соотношения хτу = хτz мы выводим равенство х΄τ(хτу) = х΄τ(хτz) (х΄ имеет смысл, определенный выше). Далее, применяя а, получим (х΄τх)τу = (х΄τх)τz. Используя с, запишем это соотношение в виде еτу = еτz, и, наконец, применяя b, получаем у = z, что и требовалось доказать. В этом рассуждении мы полностью абстрагировались от природы элементов х, у, z, т. е. нам незачем было знать, являются ли они действительными числами, натуральными числами  ≤ р — 1 или перемещениями. Единственная посылка, которой мы пользовались, заключалась в том, что операция xτу над элементами х, у удовлетворяет свойствам а, b, с. Для того чтобы избежать скучных повторений, приходят, таким образом, к мысли, что удобно раз и навсегда вывести логические следствия из этих трех единственных свойств. Необходимо, конечно, для удобства речи принять общую терминологию. Говорят, что множество, на котором определена операция хτу, характеризуемая тремя свойствами а, b и с, снабжено структурой группы (или, более коротко, является группой). Условия а, b, с называются аксиомами группы ⁵, и вывести из них их следствия — это значит построить аксиоматическую теорию групп.

Теперь можно объяснить, что надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых ⁶ не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы ⁷ (в случае групп — это отношение хτу = z между тремя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры) ⁸. Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их «природы»).

  Основные типы структур

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть по своей природе весьма разнообразными. То отношение, которое фигурирует в групповых структурах, называют «законом композиции»; это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая структура называется алгебраической структурой (например, структура поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами: сложение и умножение действительных чисел определяют структуру поля на множестве этих чисел).

Другой важный тип представляют собой структуры, определенные отношением порядка; на этот раз это — отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего мы выражаем словами «х меньше или равно у» и которое мы будем обозначать в общем случае хRу. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы: а) для всех х хRх; b) из соотношений хRу, уRх следует х = у, с) из соотношений хRу, уRz следует хRz. Очевидным примером множества, снабженного такой структурой, является множество целых чисел (или множество действительных чисел), причем здесь знак R  заменяется на ≤. Но надо заметить, что мы не включили в число аксиом аксиому, отражающую следующее свойство, которое кажется неотделимым от того понятия порядка, каким мы пользуемся в обыденной жизни: «каковы бы ни были х, у, имеет место или хRу или уRх». Другими словами, не исключается случай, когда два элемента могут оказаться несравнимыми. На первый взгляд это может показаться странным, но легко привести очень важные примеры структур порядка, для которых имеет место именно это обстоятельство. Именно с таким положением вещей мы сталкиваемся, когда X, Y означают подмножества некоторого множества, а ХRY означает «X содержится в Y», или когда х, у являются натуральными числами, а хRу означает «х делит y», или, наконец, когда f(х) и g(x) являются действительными функциями, определенными на интервале a ≤ x ≤ b, а f(х)Rg(х) означает: «каково бы ни было х, f(х) ≤ g(х)». Эти примеры в то же время показывают, сколь велико разнообразие областей, где появляются структуры порядка, и заранее дают представление о том, насколько интересно их изучение.

Мы скажем еще несколько слов о третьем важном типе структур — топологических структурах (или топологиях), в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве.

Для перехода к абстракции, находящей свое выражение в аксиомах такой структуры, требуются усилия, значительно большие тех, которые имели место в предыдущих примерах, и размеры настоящей статьи вынуждают нас отослать читателей, желающих получить более подробные сведения по этому вопросу, к специальной литературе ⁹.

  Стандартизация математических орудий

Мы думаем, что нами сказано достаточно для того, чтобы читатель мог создать себе достаточно ясное представление об аксиоматическом методе. Наиболее бросающейся в глаза его чертой, как это видно из изложенного выше, является реализация значительной экономии мысли. «Структуры» являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы. Таким образом, можно было бы сказать, что аксиоматический метод является не чем иным, как «системой Тейлора» в математике¹⁰.

Но это сравнение — недостаточное. Математик не работает подобно машине; мы должны особенно подчеркнуть, что в рассуждениях математика основную роль играет особая интуиция [интуиция, которая, впрочем, часто ошибается (как и всякая интуиция)], отличная от обыденной чувственной интуиции и заключающаяся скорее в непосредственном угадывании (предшествующем всякому рассуждению) нормального положения вещей, которое, как кажется, он вправе ожидать от математических объектов, ставших в результате его частого оперирования с ними столь же для  него привычными, как и объекты реального мира. Но ведь каждая структура сохраняет в своем языке интуитивные отзвуки той специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ, описанный нами выше. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение. Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществленный в начале XIX в. благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зрения, это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной топологической структуры — структуры евклидовой плоскости — со всеми следующими отсюда возможностями приложений, — открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ.

Такие примеры умножились за последние 50 лет: пространство Гильберта и более общие функциональные пространства, вводящие топологические структуры в множества, элементами которых являются уже не точки, а функции; р-адические числа Гензеля, посредством которых — еще более удивительное обстоятельство! — топология воцарилась в той области, которая до этих пор считалась царством дискретного, разрывного по преимуществу — в множестве целых чисел; мера Хаара, безгранично расширившая область применения понятия интеграла и способствовавшая весьма глубокому анализу свойств непрерывных групп, — таковы решающие моменты в прогрессе математики, т. е. повороты, когда свет гения определял новое направление теории, обнаруживая в ней структуру, которая, как казалось а priori, не играла там никакой роли.

Это говорит о том, что в настоящее время математика менее чем когда-либо сводится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в ее распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом унифицированные аксиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесформенный хаос.

  Обзор в целом

Руководствуясь концепцией аксиоматики, попытаемся представить теперь математический мир в целом. Конечно, мы более не распознаем здесь традиционный порядок, который, подобно первым классификациям видов животных, ограничивался тем, что расставлял рядом друг с другом теории, представляющие наибольшее внешнее сходство. Вместо точно разграниченных разделов алгебры, анализа, теории чисел и геометрии мы увидим, например, теорию простых чисел по соседству с теорией алгебраических кривых или евклидову геометрию рядом с интегральными уравнениями, и упорядочивающим принципом будет концепция иерархии структур, идущей от простого к сложному, от общего к частному.

В центре находятся основные типы структур, из которых мы только что перечислили главнейшие, так сказать, порождающие структуры (les structures-meres). В каждом из этих типов господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия. Именно таким образом теория групп, помимо тех общих положений, которые справедливы для всех групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теорию конечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем хτу = уτх, каковы бы ни были х, у), а также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те, в которых (как при упорядоченности в множестве целых или в множестве действительных чисел) любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядоченными (totalement ordonnee); среди этих последних особо изучают множества, называемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чисел, каждое подмножество имеет «наименьший элемент») .Подобная же градация существует и для топологических структур.

За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно было бы назвать сложными (multiples) и в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещенные друг с другом (что не дало бы ничего нового), а органически скомбинированные при помощи одной или нескольких связывающих их аксиом. Именно такой характер носит топологическая алгебра, изучающая структуры, определяемые одним или несколькими законами композиций и одной топологией, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными функциями (для рассматриваемой топологии) элементов, над которыми они производятся. Не менее важной является алгебраическая топология, которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определенные топологическими свойствами (симплексы, циклы и т. д.), как элементы, над которыми производятся алгебраические операции. Соединение структуры порядка и алгебраической структуры точно так же изобилует результатами, приводя, с одной стороны, к теории делимости идеалов, а с другой стороны — к теории интегрирования и к «спектральной теории» операторов, где точно так же топология играет свою роль.

Наконец, далее начинаются собственно частные теории, в которых элементы рассматриваемых множеств, которые до сего момента в общих структурах были совершенно неопределенными, получают более определенную индивидуальность. Именно таким образом получают теории классической математики: анализ функций действительной и комплексной переменной, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию, теорию чисел. Но они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер.

Чтобы сохранить правильную перспективу, необходимо после этого беглого обзора сейчас же добавить, что он должен рассматриваться как весьма грубое приближение к истинному положению дел в математике. Он является одновременно схематическим, идеализированным и застывшим.

Схематическим — так как в деталях не все идет так гладко и планомерно, как это может представиться после того, что мы рассказали. Между прочим, имеются неожиданные возвращения назад, когда теория, носящая ярко выраженный частный характер, как, например, теория действительных чисел, оказывает помощь, без которой нельзя обойтись при построении какой-либо общей теории, как, например, топологии или теории интегрирования.

Идеализированным — потому что далеко не во всех разделах математики некоторая определенная часть каждой из основных структур распознана и вмещена в четко очерченные границы. В некоторых теориях (например, в теории чисел) существуют многочисленные изолированные результаты, которые до сего времени не умеют ни классифицировать, ни связать удовлетворительным образом с известными структурами.

Наконец — застывшим, так как нет ничего более чуждого аксиоматическому методу, чем статическая концепция науки, и мы не хотели оставить у читателя впечатление, будто бы мы претендовали дать очерк ее окончательного состояния. Структуры не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности вполне возможно, что дальнейшее развитие математики приведет к увеличению числа фундаментальных структур; открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, можно заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали уже известные структуры. С другой стороны, последние ни в коем случае не являются чем-то законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была уже исчерпана.

Введя эти неизбежные поправки, можно лучше понять внутреннюю жизнь математики, понять то, что создает ее единство и вносит в нее разнообразие, понять этот большой город, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие, все более удобные.

Возвращение к прошлому и заключение

Концепция, которую мы только что пытались изложить, возникла не сразу, а лишь в результате более чем полувековой эволюции и была встречена не без сопротивления как со стороны философов, так и со стороны математиков. Многие из этих последних долго не могли согласиться рассматривать аксиоматику как что-либо большее, чем ненужные тонкости логиков, неспособные оплодотворить какую-либо теорию. Эта критика объясняется, без сомнения, исторической случайностью: аксиоматизации, которые появились первыми и которые имели наибольший отклик (аксиоматизации арифметики Дедекинда и Пеано, евклидовой геометрии Гильберта), касались унивалентных теорий, т.е. таких, которые полностью определялись совокупностью своих аксиом, причем система этих аксиом не могла быть применена к какой-либо другой теории, кроме той, из которой она была извлечена (в противоположность тому, что мы видели, например, в теории групп). Если бы это имело место для всех структур, то упрек в бесплодности, выдвинутый по адресу аксиоматического метода, был бы полностью оправдан ¹¹. Но этот метод доказал свою мощь своим развитием, и отвращение к нему, которое еще встречается там и сям, можно объяснить лишь тем, что разум по естественной причине затрудняется допустить мысль, что в конкретной задаче может оказаться плодотворной форма интуиции, отличная от той, которая непосредственно подсказывается данными (и которая возникает в связи с абстракцией более высокого порядка и более трудной.

Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где мы не решаемся всерьез выступать из-за отсутствия компетентности; основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического ¹². То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл) и, быть может, мы их никогда и не узнаем. Во всяком случае сделанное замечание могло бы побудить философов в будущем быть более благоразумными при решении этого вопроса. Перед тем как началось революционное развитие современной физики, было потрачено немало труда из-за желания во что бы то ни стало заставить математику рождаться из экспериментальных истин; но, с одной стороны, квантовая физика показала, что эта «макроскопическая» интуиция действительности скрывает «микроскопические» явления совсем другой природы, причем для их изучения требуются такие разделы математики, которые, наверное, не были изобретены с целью приложений к экспериментальным наукам, а с другой стороны, аксиоматический метод показал, что «истины», из которых хотели сделать средоточие математики, являются лишь весьма частным аспектом общих концепций, которые отнюдь не ограничивают свое применение этим частным случаем. В конце концов, это интимное взаимопроникновение, гармонической необходимостью которого мы только что восхищались, представляется не более чем случайным контактом наук, связи между которыми являются гораздо более скрытыми, чем это казалось а priori.

В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм. Конечно, нельзя отрицать, что большинство этих форм имело при своем возникновении вполне определенное интуитивное содержание; но как раз сознательно лишая их этого содержания, им сумели придать всю их действенность, которая и составляет их силу, и сделали для них возможным приобрести новые интерпретации и полностью выполнить свою роль в обработке данных.

Только имея в виду этот смысл слова «форма», можно говорить о том, что аксиоматический метод является «формализмом». Единство, которое он доставляет математике, это — не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный жизни. Это — питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все великие мыслители-математики, все те, кто, следуя формуле Лежена Дирихле, всегда стремились «идеи заменить вычислениями» ** [ — см. прим. ред. сканирования — С. Катречко].  

Примечания:

  ¹  La Mathematique ou les Mathematiques? (т. е. одна математика или несколько математик?).

  ² Каждый математик, впрочем, знает, что доказательство не является «понятным» в подлинном смысле этого слова, если ограничиться лишь проверкой правильности выводов, которые его составляют, и не пытаться понять отчетливо идеи, которые привели к созданию этой цепочки выводов предпочтительно перед всякой другой.

  ³  Этот выбор не является единственно возможным, и известны различные системы аксиом, «эквивалентных» рассматриваемой, причем аксиомы каждой системы являются логическими следствиями аксиом любой другой системы.

  ⁴  Заметим, что остатки от деления на р чисел 1, x, x²,... хⁿ, ... не могут быть все различными. Приравняв два из них друг другу, легко показать, что степень x^k-l (k > l) от х имеет остаток, равный 1. Если х΄ является остатком от деления x^k-l-1 на р, то произведение хх΄по модулю р равно 1.

  ⁵  Разумеется, этот смысл слова «аксиома» не имеет ничего общего с общепринятым смыслом выражения «очевидная истина».

  ⁶  Мы становимся здесь на «наивную» точку зрения и не касаемся щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой «природы» математичских «объектов». Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих «объектов», мыслимых сначала как идеализированные «абстракции» чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований XIX—XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как «первоначальное» и «неопределимое», было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которые оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических «объектов») в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры. Читатель найдет более подробное развитие этой точки зрения в следующих двух статьях: Dieudonne J., Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathematiques, Revue Scientifique, 78 (1939), 224—232; Сагlаn Н., Sur lе fondement logique des mathematiques, Revue Scientifique, 81 (1943), 3—11.

  ⁷  В действительности это определение структуры не является настолько общим, насколько этого требуют нужды математики. Нужно также охватить и тот случай, когда отношения, определяющие структуру, имеют место не между элементами рассматриваемого множества, а между подмножествами этого множества, и даже, в более общем случае, между элементами множеств еще более высокой «степени» — в так называемой «лестнице типов». Дальнейшие детали читатель найдет в наших Elements de Mathematique, книга 1 (сводка результатов), Actual. Scient. еt Industr., № 846.

  ⁸  В случае групп надо было бы, если соблюдать полную строгость, считать аксиомой, кроме а, b, с, и утверждение о том, что соотношение z = хτу определяет одно и только одно z, когда даны x, у. Обычно считают, что это свойство молчаливо подразумевается самой записью этого отношения.

  ⁹  См., например, наши Elements книга III, введение к главе 1, Actual. Scient. еt Industr., № 858. (Русский перевод: Бурбаки Н. Топологические структуры, М., 1959.)

  ¹⁰  Система Тейлора — капиталистическая система организации труда, предложенная американским инженером Ф.У. Тейлором для получения максимальной прибыли. Одним из элементов этой системы является изучение трудовых процессов путем их разложения на составные элементы.

  ¹¹  Мы были свидетелями также, особенно в то время, когда аксиоматический метод только что начал развиваться, расцвета уродливых структур, полностью лишенных приложений, единственное достоинство которых заключалось в том, что, изучая их, можно было дать точную опенку значимости каждой аксиомы, выясняя, что происходит, когда эту аксиому удаляют или видоизменяют. Очевидно, в тот период можно было поддаться искушению и сделать вывод, что это — единственные результаты, которые следует ожидать от этого метода.

  ¹²  Мы не касаемся здесь возражений, вызванных применением правил формальной логики к рассуждениям в аксиоматических теориях; они связаны с логическими трудностями, на которые наталкивается теория множеств. Заметим только, что эти трудности могут быть преодолены таким образом, что не останется никакой неуверенности или сомнения относительно правильности рассуждений. По поводу этого можно обратиться к статьям Картана и Дьёдонне, которые были цитированы выше.

  ** — в предисловии к русскому переводу работы Н. Бурбаки «Теория множеств» (М., «Мир», 1965) ред. пер. В.А. Успенский (см. сноску на стр. 18) отмечает, что последняя фраза русского перевода статьи Н. Бурбаки «Архитектура математики» содержит опечатку. Напечатано «идеи заменить вычислениями», а следует читать: «вычисление заменить идеями» (в оригинале «substituer les idees au calcul»; см. «Les grands courants de la pensee mathematiques», presentes par F. Le Lionannais, Fontenay-aux-Roses (Seine), Cahiers du Sud, 1948, p. 47). Судя по всему,: при переводе с французского формально возможны оба варианта, поскольку там нет падежей и руководствоваться можно только порядком слов в предложении, т. е. в данном случае более подходяще буквальное «заменить что — чем», или содержательно «подставить идеи на место счета» (консультация М.В. Лебедева). В пользу этого — буквального перевода — говорит и косвенное свидетельство Г. Вейля, который в своей статье "Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике" (см. его книгу «Математический способ мышления») приводит именно этот вариант принципа Л. Дирихле (Томсона) (дословный текст русского перевода звучит так: «В речи, посвященной памяти Лежёна Дирихле, Минковский противопоставил принципу минимума, который в немецкой литературе принято связывать с именем Дирихле, но который на самом деле был всесторонне разработан Уильямом Томсоном, другой, подлинный принцип Дирихле: одолевать проблему при минимуме слепых вычислений и максимуме наглядных идей; с этого принципа, говорит Минковский, началось новое время в истории математики» (выделено мной — К. С.).