"Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ)" - читать интересную книгу автора (БСЭ БСЭ)
Эйлера уравнения
Э'йлера уравне'ния,
1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.
Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид
Ix + (Iz — Iy ) wy wz = Mx ,
Iy + (Ix — Iz ) wz wx = My , (1)
Iz + (Iy — Ix ) wx wy = Mz ,
где Ix , Iy , Iz — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, wх , wу , wz — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx , My , Mz — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , , — проекции углового ускорения.
Кинематические Э. у. дают выражения wх , wу , wz через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид
wx = sin q sinj + cosj,
wу = sin q cosj — sinj, (2)
wz = + cos q.
Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.
2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р , плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u , u , w и проекции действующей объёмной силы X , У , Z рассматривать как функции координат x , у , z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:
,
,
.
Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X , У , Z , а также начальные и граничные условия, определить u , u, w, р , r, как функции х , у , z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера
.
В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р ) (или r — const, когда жидкость несжимаема).
Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.
Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.